matematica_i_pbvest_modulo1

Operações com conjuntos

AULA 01: CONJUNTOS Apresentação

União de conjuntos

Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves.

A União dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

¨

A = {a, b, c, d, e}

¨

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Propriedade O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. ¨

A = {x : x é uma vogal}

¨

N = { x : x é um número natural}

97 No caso de existirem três ou mais conjuntos, podemos utilizar a seguinte generalização:

Anote:?

A È B È C = (A È B) È C = A È (B È C)

É importante saber distinguir as relações de pertinência (Î) e de inclusão (Ì). Observe o esquema a seguir:

Interseção de conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B:

Relação de Pertinência Î - Conjunto e Conjunto Relação de Inclusão Ì - Conjunto

Elemento

Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A Ì B, se todos os elementos de A também estão em B. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o conjunto que contém A.

No caso de existirem três ou mais conjuntos, podemos utilizar a seguinte generalização:

Determinando os subconjuntos de um conjunto

A Ç B Ç C = (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

Dado o conjunto A = {2, 4, 6}, temos: ¨

subconjuntos com 0 elemento: Æ;

¨

subconjuntos com 1 elemento: { 2 }, { 4 }, { 6 };

Anote:?

¨

subconjunto com 2 elementos: {2. 4}, (2, 6}, {4, 6}

¨

subconjuntos com 3 elementos: {2, 4, 6}.

¨ Se o conjunto A e B não têm elemento comum, ou seja, B = Æ, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.

AÇ

Diferença de conjuntos

No total, temos 8 subconjuntos.

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Os conjuntos Æ e {2, 4, 6} são chamados de subconjuntos triviais de A; os outros, de subconjuntos próprios de A. Se um conjunto A tem n elementos, existe uma relação entre a quantidade de elementos de A e o total de subconjuntos de A, ou seja: A tem n elementos, então A tem 2n subconjuntos. a) No exemplo trabalhado acima, o conjunto A tem 3 elementos, logo ele tem 23 = 8 subconjuntos.

Exemplo

b) Se um conjunto B possui 64 subconjuntos, o número n de seus elementos é calculado da seguinte forma: 2n = 64Þ 2n = 26Þ n = 6

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97

¨

Sendo A = {1 , 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6}, temos:

A

B = {1 , 2, 3, 4, 5}

B

A = {2, 4, 6}

{2, 4, 6} = {1 , 3, 5}

{1 , 2, 3, 4, 5} = {6}

MATEMÁTICA I

EXERCÍCIO DE SALA

EXERCÍCIO DE CASA

01. Sejam A = {1, 3, 5, 7, 9, 11,} B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 4, 7, 8, 9, 10}. Então (A È B) Ç C a) {2, 4} b) {4} c) {2, 4, 8} d) {8, 10}

1) A condição necessária e suficiente para que é a) A = B = C = Æ b) A = C = Æ c) A = B = C d) C = Æ e) B = Æ

A é igual a

02. Seja o conjunto A = {x, y, {x}} e as proposições I- x Î A; II- {x} Î A; III- {x} Ì A; IV- ÆÌ A. a) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. b) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras. c) Todas as proposições são falsas. d) Todas as proposições são verdadeiras.

2) Seja o conjunto A = {x, y, {x}} e as proposições I- x Î A; II- {x} Î A; III-{x} Ì A; IV-ÆÌ A. a) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. b) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras. c) Apenas (I) e (II) são verdadeiras d) Todas as proposições são falsas e) Todas as proposições são verdadeiras

03. O número de conjuntos X que satisfazem { 1 , 2 } Ì X Ì {1,2,3,4} é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, das afirmativas I - A B = {1, 2, 4, 7} II - B A = {2, 4} III - A B = {4, 2} IV - B A = {1, 2, 4, 7} a) II e III são verdadeiras. b) IV é verdadeira. c) Somente II é verdadeira. d) Somente III é verdadeira. e) nenhuma das anteriores

04. No diagrama abaixo, a parte em destaque representa:

4) Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {4, 5, 6, 7, 8}, o número de elementos do conjunto (A Ç B) È (C A) é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

a) (A Ç B) È C b) (A È B) - C c) (B Ç C) - A

5) Sendo X o conjunto dos habitantes da cidade de João Pessoa, Y o conjunto dos habitantes da cidade de Campina Grande e Z o conjunto dos habitantes do Estado da Paraíba, pode-se afirmar que a) X Î Y b) Z É X c) X È Z = X d) X Ì Y e) X Î Z

d) A (B Ç C) e) B - C 05. Sejam A,B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A Ç B é 30, o número de elementos de A Ç C é 20 e o número de elementos de A Ç B Ç C é 15. Então, o número de elementos de A Ç (B È C) é: a) 35 b) 15 c) 20 d) 45 e) 50

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A Ì B, B Ì C e C Ì A

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MATEMÁTICA I

98

AULA 02: CONJUNTOS

b) Sabendo que A tem x elementos, B tem 9 elementos, A Ç B tem 4 elementos e A È B tem 11 elementos, vamos calcular o número de elementos (x) do conjunto A. n(A È B) = n(A) + n(B)

Complemento de um conjunto

11 = x + 9

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CA B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

n(A Ç B) 4

11 = x + 5 11

5=x

x=6 c) Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: "Quem é torcedor do Grêmio?" 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: "Quem é nascido em Porto Alegre?" 28 levantaram o braço.

Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são Gremistas e Porto-alegrenses.

Assim, temos: ¨

AÇB=B

¨

AÈB=A

¨

B

Vamos considerar, no universo U dos alunos dessa sala, o conjunto G dos que torcem pelo Grêmio e o conjunto P dos que nasceram em Porto Alegre.

Temos:

A=Æ

Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c colocada como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto.

Alguns exemplos especiais são: Æc = U ,Uc = Æ Exemplos

¨

a) Dados A = {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13}, B = {2, 5, 11} e C = {2, 3, 8, 13}, vamos calcular:

¨ y: número de alunos que são gremistas e porto-alegrenses = G Ç P;

¨ 13}

CA B = A

B = {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13}

{2, 5, 11} = {1, 3, 8,

¨

¨ 11}

CA C = A

C = {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13}

{2, 3, 8, 13} = {1, 5,

¨ t: número de alunos que não são Grêmio nem de Porto Alegre = U - (G È P), no caso zero, pois todos os alunos se manifestaram.

P);

z: número de alunos que são só porto-alegrenses = P

G;

Logo:

b) Se A = {x Î IR; x < 2}, o conjunto universo é IR; logo ¨ CR A = {x Î IR; x ³ 2} Determinando os elementos de um conjunto Podemos representar o número de elementos de um conjunto A por n(A).

¨

Total de 42 alunos: x + y + z + t = 42 (I)

¨

36 são Grêmio: x + y = 36 (II)

¨

28 são de Porto Alegre: y + z = 28 (III)

Substituindo t = 0, e a equação (lI) em (I), temos: 36 + z + 0 = 42 Þ z = 42

Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A È B e A Ç B. Observe: n(A È B) = n(A) + n(B)

x: número de alunos que são só gremistas = (G

36Þ z = 6

Agora, substituindo z = 6, na equação (III), vem: y + 6 = 28 Þ y = 28

n(A Ç B)

6Þ y = 22

Resposta: 22 dos 42 alunos são torcedores do Grêmio e nasceram em Porto Alegre.

Exemplos a) Sejam: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos: A Ç B = {4, 5, 6} e A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; logo, podemos comprovar que n(A È B) = n(A) + n(B) 8=6+5 8=8

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n(A Ç B)

3

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MATEMÁTICA I

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EXERCÍCIO DE SALA

EXERCÍCIO DE CASA

01. Em uma escola, 5 000 alunos inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B. Desses alunos, 2 825 matricularam-se na disciplina A e 1 027 na disciplina B. Por falta de condições acadêmicas, 1 324 alunos não puderam matricular-se em nenhuma das disciplinas.

O número de alunos matriculados, simultaneamente, nas duas disciplinas, é a) 156 b) 176 c) 297 d) 1027 e) 927

1) O conjunto A tem 20 elementos; o A Ç B tem 12 elementos; o A È B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é a) 28 b) 36 c) 48 d) 52 e) 56 2) Os conjuntos A, B e A È B têm, respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. O número de elementos de A Ç B é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

02. Numa cidade existem dois jornais, A e B, que têm juntos 5 000 assinantes. O jornal A tem 2 800 assinantes e os dois jornais têm 400 assinantes comuns. O número de assinantes do jornal B é a) 2 600 b) 2 800 c) 3 000 d) 3 200 e) 3 400

3) Uma pesquisa do gosto musical dos alunos, realizada num colégio, indicou que 458 gostam de rock, 112 gostam de música sertaneja, 62, de ambos e 36, de nenhum desses estilos musicais.

Com base nestes dados, o número de alunos consultados é a) 544 b) 582 c) 602 d) 640 e) 700

03. Em uma universidade, são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é a) 40% b) 50% c) 60% d) 70% e) 80%

4) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez.

Conclui-se, portanto, que a) 31 são mulheres. b) 29 são homens. c) 29 mulheres não jogam xadrez. d) 23 homens não jogam xadrez. e) 9 homens não jogam xadrez.

04. Numa cidade, são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo.

Produtos Nº consumidores

A

B

C

AeB

AeC

BeC

A,B e C

150

200

250

70

90

80

60

O número de pessoas que consomem o produto B ou o produto C é a) 370 b) 360 c) 350 d) 340 e) 300

5) Em uma escola, os alunos devem estudar uma língua que pode ser o francês ou o inglês. Se quiserem, poderão estudar as duas.

Nenhum deles Sabendo-se que há180 200 alunos estudando francês, há 130 alunos estudando inglês, o total de alunos da escola é 300, Determine quantos alunos estudam apenas francês: a) 140 b) 70 c) 130 d) 30 e) 100

05. Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal B, dos quais 150 assistem a ambos os canais A e B e 80 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é: a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600

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MATEMÁTICA I

100

¨ AULA 03: CONJUNTOS NUMÉRICOS

¨ Cada intervalo representa todos os reais entre a e b estando os extremos incluídos ou não

Números naturais

¨ Inclusão de extremo Û fechado Û bolinha cheia ( ) Ûcolchetes normais [ ].

N = {0, 1 ,2, 3, ...}

¨ Exclusão do extremo Û aberto Û bolinha vazia ( ) Û colchetes invertidos ] [.

Números inteiros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}

Considerando a um número real qualquer, utilizamos os símbolos + e , para representar intervalos infinitos. Veja:

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z. Números racionais

101

São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q = {x/x = a/b ; a Î Z, b Î Z com b ¹ 0} Números irracionais São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b Inteiros e b diferente de 0.

Exemplos:

Operações com intervalos reais

a) 3 = 1,73205 b) p = 3,141592654

Sendo os intervalos subconjuntos de R, pode-se calcular a união, a interseção e a diferença desses intervalos.

Exemplos ¨ Calcule ] 3, 7] È ] 4 , + [

Números reais A união dos números Irracionais com os números racionais constitui o conjunto dos números reais.

Conjunto dos números complexos Esse conjunto surgiu da necessidade de dar sentido a raízes quadradas de números negativos. São números da forma (a + bi), com i² = -1 ou seja:

¨

Calcule: ] 3, 7] Ç ]4, + [

¨

Calcule: ] -3, 7]

¨

A união de dois intervalos não é necessariamente um intervalo

C = {a + bi, a Î IR e b Î IR, i = - 1 }.

Intervalos reais ¨

Intervalo fechado de extremos a e b.

Representação: [a, b] = {x Î R; a £ x £ b} Na reta real:

¨

]4, + [

Intervalo aberto de extremos a e b:

]a, b[ = {x Î R; a < x < b}

¨

Intervalo fechado em a e aberto em b:

[a, b [ = {x Î R; a £ x < b} Na reta real:

¨ Intervalo aberto em a e fechado em b: ] a, b] = {x Î R; a < x £ b}

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101

MATEMÁTICA I

EXERCÍCIO DE CASA

EXERCÍCIO DE SALA

æ æ ö ö 01.Se A = ç x Î IR; x > 5 ÷ , B = ç x Î IR; x > 2 ÷ e 8ø

è

è

3ø

1) Se A = {x Î IN / x = 4n, com n Î IN} e B = {x Î IN* / 20/x = n, com n Î IN}, então, o número de elementos de A Ç B é a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Æ

æ ö C = ç x Î IR; 5 £ x £ 3 ÷ , então (A È C) Ç B é: 8

è

4ø

ü ì a) íx Î IR; x < 2 ý 3þ î

ü ì b) íx Î IR; x £ 3 ý 4þ

î

ü ì c) íx Î IR; 5 £ x < 2 ý 8

î

102

3þ

2)Dados os conjuntos:

ì ü d) íx Î IR; 5 £ x £ 3 ý 8

î

4þ

N = {1, 2, 3, 4, ...}, X = {x Î N /

e) nda Y = {y Î N /

02. A expressão 888 - 444/844 - 422 é equivalente a: a) 1 - 228

03. Somando-se as dízimas periódicas 0,454545... e 0,545454..., obtém-se: a) Um inteiro b) Um racional maior que 1 c) Um racional menor que 1 d) Um irracional maior que 1 e) Um irracional menor que 1

3)Sendo A = {x Î IR B = { x Î IR / 2 < x £ 5}, então:

1 a e b = a, então + 2b 1 vale: 2 2 -11 -13 -15 a) b) c) 4 4 4 13 15 d) e) 4 4

d) 12,5

1

<

x

<

3}

c) 8

e) 80

5)Dada a expressão: A=

abc(a + b + c) e considerando que a = 1/2, b = -2 e (a + c)(a - c)

1/3, o valor numérico de A é: a) 1,30 b) 1,92 c) 2,64 d) 2,80 e) 2,92

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e

4) Se A é um número compreendido entre 0 e 1, então é FALSO que: a) 1/A > 1 b) A/2 > A c) 0,9.A < A d) - A > -1 e) A ÷ A = 0,5

05. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:

1 8

/

a) A Ç B = {x Î IR /2 £ x £ 3} b) A È B = {x Î IR / 1 < x £ 5} c) A B = {x Î IR / 1 < x < 2} d) B A = {x Î IR / 3 £ x £ 5}

04. Se a =

b)

y Î N}, então o número de elementos do conjunto 5

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

e) 288(288 + 1)

1 125

e

XÇYé

b) 244288 + 1) c) 9 . 244 d) 3(1 -288)

a)

20 Î N} x

102

MATEMÁTICA I

c=

AULA 04:NÚMEROS DIVISIBILIDADE E FATORAÇÃO

Se y = 0 Þ 2 + 6 + x + 3 + 0 = 11 + x Þ x = 1 ou x = 4 ou x = 7 Se y = 5 Þ 2 + 6 + x + 3 + 5 = 16 + x Þ x = 2 ou x = 5 ou x = 8

Conjunto dos números naturais Números primos

A necessidade de contar fez com que surgisse o conjunto dos números naturais:

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Em IN, estão definidas as operações de: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Exemplos a) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.

Divisibilidade

b) 11 tem apenas os divisares 1 e 11, portanto 11 é um número primo.

Vamos considerar a e b números naturais. O número a é divisível por b (diferente de zero) ou b é divisor de a ou a é múltiplo de b, se, e somente se, existir um número c Î IN tal que: a = b × c Generalizando, temos:

c) 8 tem os divisores 1, 2, 4 e 8, portanto 8 não é um número primo.

Observações ¨ 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. ¨

Relação fundamental da divisão

2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.

a = b × q + r; com 0 £ r < b

Decomposição em fatores primos Critérios de divisibilidade

Todo número natural maior que 1 pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 36 num produto:

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

36 = 6 ´ 6 36 = 2 ´ 3 ´ 2 ´ 3 36 = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 = 22 ´ 32

Divisibilidade por 2

No produto 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 todos os fatores são primos.

Um número natural é divisível por 2, quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 36 é 22 ´ 32.

Exemplo 510 é divisível por 2, pois termina em 0.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

Exemplo 432 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 4 + 3 + 2 = 9, e como 9 é divisível por 3, então 432 é divisível por 3.

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente, e assim sucessivamente, até obter o quociente 1.

Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5, quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplo 85 é divisível por 5, pois termina em 5.

Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10, quando ele termina em 0.

Exemplo: a) 6 250 é divisível por 10, pois termina em 0.

Então, 630 = 2 ´ 3 ´ 3 ´ 5 ´ 7 630 = 2 ´ 32 ´ 5 ´ 7

b) Seja o número 26x3y, determinar x e y, de modo que esse número seja divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo.

Se 26x3y é divisível por 5, então y só pode ser zero ou 5

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MATEMÁTICA I

103

EXERCÍCIO DE CASA

EXERCÍCIO DE SALA

01. Três dúzias de ovos valem 4 dúzias de maçãs e 5 dúzias de maçãs valem 3 dúzias de goiabas. Sabendo que uma dúzia de goiabas custa R$ 6,00, podemos afirmar que uma dúzia de ovos custará: a) R$ 4,60 b) R$ 4,80 c) R$ 5,00 d) R$ 5,10 e) R$ 5,20

1)Sejam os conjuntos A = {x Î Z; x = 6n + 3, n Î Z} e B = { x Î Z; x = 3n, n Î Z}. Então, A Ç B é igual a a) {x Î Z; x é ímpar e múltiplo de 3} b) {x Î Z; x é par e múltiplo de 3} c) {x Î Z; x é múltiplo de 3} d) {x Î Z; x é múltiplo de 6} e) {x Î Z; x é múltiplo de 9}

2)Sejam os conjuntos formados por números naturais

02. 40 pessoas, rapazes e moças, alugaram um ônibus para excursão por R$ 400,00. Os rapazes não permitiram que as moças pagassem a sua parte. Assim, a quantia de cada rapaz foi aumentada de R$ 30,00. Quantas eram as moças. a) 24 b) 30 c) 31 d) 32 e) 48

A = conjunto dos múltiplos de 3 B = conjunto dos divisares de 30 C = conjunto dos números pares O número de elementos de A Ç B Ç C = a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3) Um número é da forma 3a7b. Sabendo-se que este número é divisível por 25 e por 3, os possíveis valores de a e b, são a) b = 2, a = 0 ou a = 3 ou a = 5 ou a = 9 b) b = 5, a = 0 ou a = 5 ou a = 6 ou a = 9 c) b = 5, a = 0 ou a = 3 ou a = 6 ou a = 9 d) b = 9, a = 0 ou a = 5 ou a = 6 ou a = 9

03. Um aluno recebe R$ 3,00 por problema que acerta e paga R$ 2,00 por problemas que erra. Fez 50 problemas e recebeu R$ 85,00, quantos problemas errou? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

4)Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, o resto é a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e) 8

04. Numa divisão, o quociente é 8 e o resto, 24. Sabendo-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 344. Então a diferença divisor menos dividendo é: a) 127 b) 127 c) 100 d) 248 e) 248

15) Numa divisão de naturais, o dividendo é 62, o quociente é o sucessor do divisor e o resto é o maior possível. O quociente dessa divisão vale a) 8 b)7 c) 6 d)5 e) 4

05. Dividindo-se 427 e 322 pelo maior número possível, acha-se 7 para resto em ambas as divisões. Esse número é igual a: a) 55 b)105 c) 155 d)205 e) 305

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MATEMÁTICA I

104

Notação

AULA 05: FUNÇÃO

Quando temos uma função de A em B, podemos representá-la da seguinte forma: f: A ® B (lê-se: função f de A em B) · Se a fórmula for y = x + 5, podemos escrever também f(x) = x + 5.

Definição de função A função pode ser definida como um tipo especial de relação: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B.

Domínio, contra domínio e imagem de uma função Numa função, o domínio é constituído por todos os valores que podem ser atribuídos à variável independente. Já a imagem da função é formada por todos os valores correspondentes da variável dependente.

Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:

A definição acima nos diz que para uma relação f de A em B ser considerada uma função, é preciso satisfazer duas condições: · Todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de B. · A um dado elemento de A deve estar associado um único elemento de B.

f: A ® B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D. O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f: O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im.

Vamos agora observar algumas relações e verificar quais delas são funções. · Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x Î A e y Î B.

Por exemplo, na função f: A ® B definida por f(x) = x + 5, com = {-4, 0, 1, 2} e B = {-2, 1,3,5,6, 7, 9}, temos:

A

D = {-4, 0, 1, 2}, CD = {-2, 1, 3, 5, 6, 7, 9} e IM = {1, 5, 6, 7}

Observamos que: · Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. · A um dado elemento de A está associado um único elemento de R.

INJETIVA, SOBREJETIVA E BIJETIVA Uma função f : A ® B será chamada injetiva, se dois elementos distintos quaisquer de A corres- ponderem sempre a duas imagens distintas em B, isto é: X1 ¹ x2 implica que f (x1) ¹ f (x2) ou f (x1) = f (x2) implica que x1 = x2

Nesse caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5 é uma função de A em B. · Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x Î A e y Î B.

Uma função f: A ® B será sobrejetora, se todo elemento de B for a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual ao contradomínio da função (B), ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y = f(x).

Esse exemplo não expressa uma função de A em B, pois o elemento - 2 do conjunto A não tem correspondente em B. · Dados os conjuntos A = {-3, -1,1, 3} e B = {I, 3, 6, 9}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x2, com x Î A e y Î B.

Uma função f : A ® B será bijetora, se ela for, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

A relação expressa pela fórmula y = X2, nesse caso, representa uma função de A em B, pois: · A todos os elementos de A estão associados elementos de B. · A um dado elemento de A está associado um único elemento de B.

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MATEMÁTICA I

105

EXERCÍCIO DE CASA

EXERCÍCIO DE SALA 01. Considere a relação diagrama abaixo.

de

em

b) apagar as setas 1 e 4 e retirar o elemento e

.

e) apagar a seta 2 e retirar o elemento

.

=

.

3) Uma função real é tal que f(x). f(y) = f(x + y) , f(1) = 3 e 3) = 4. O valor de f(2 + 3) é: a) 18 b) 24 c) 36 d) 42 e) 48

.

d) apagar a seta 4 e retirar o elemento

02. A função

2) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é: a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3

.

a) apagar a seta 1 e retirar o elementos c) retirar os elementos

1) A imagem da função f(x) = (4x + 2) / 3 é (- , 5] , para todo x pertencente a R tal que: a) x 13/4 b) x < 3/4 c) x 3/4 d) x < 17/4 e) x < 11

, representada no

está definida no conjunto dos inteiros positivos por

/2 se

é par, e

de soluções da equação a) zero b) um c) dois d) quatro e) infinito

=3

+ 1 se

é impar. O número

= 25 é:

4) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos B(4,2). Podemos então afirmar que: a) = -2 = -2 b) c)

106 f(

A(1,-2) e

d) 03. O gráfico abaixo representa um função definida em

por

e)

=

.

O valor de a) -2 c) 0 e) 2

5) Uma função : é tal que (5 ) = 5 para todo número real . Se (25) = 75, então o valor de (2+ ) é igual a: a) b) c) d) e)

(2) +

(

(-5)) é igual a: b) -1 d) 0

04. Assinale a alternativa que indica o domínio da função real

: a) b) c) d) e) 05. É dada a função f(x)= a . 3bx, onde a e b são constantes.

Sabendo-se que f(0)=5 e f(1)=45, obtemos para f(1/2) o valor: a) 0 b) 9 c) 15Ö5 d) 15 e) 40

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106

MATEMÁTICA I

H: A ® C: a cada x Î A associa-se um único z Î C, tal que y2 = (2x)2 = 4x2

AULA 06: FUNÇÃO FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

z=

Essa função h, de A em C, dada por h(x) = 4x2, é denominada função composta de g e f.

De um modo geral, para indicar como o elemento z Î C é determinado de modo único pelo elemento x Î A, escrevemos:

Uma função real f é par, se qualquer que seja x Î Dom(f) tem-se que f(x) = f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OV.

Z = g(y) = g[f(x)] Notação: A função composta de g e g o f (lê-se: g círculo f). (g o f)(x) = g[f(x)]

Uma função real f é ímpar, se qualquer que seja x Î Dom(f) tem-se que f (-x) = -f (x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

será

indicada

por

107 FUNÇÃO INVERSA Observe as funções ( e g de domínio real dadas por f(x) = 3x e g(x) = x/3 Vamos inicialmente dar alguns valores para x e determinar suas imagens pela função t; formando pares ordenados (x, f(x)): x = -5 ® f(-5) = -15 (-5, -15) x = 0 ® f(0) = 0 (0, 0) x = 1 ® f(l) = 3 (1, 3) x = Ö2 ® f(Ö2) = 3Ö2 (Ö2, 3Ö2)

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Uma função f é crescente, se quaisquer que forem x1 e X2 no domínio de f, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Agora vamos tomar os valores obtidos como imagens pela função e determinar as suas imagens pela função g: x = -15 ® g( -15) = -5 (-15, -5) x = 0 ® g(O) = 0 (0, 0) x = 3 ® g(3) = 1 (3, 1) x = 3Ö2 ® g( 3Ö2) = -12 (3Ö2, Ö2)

Uma função f é decrescente, se para quaisquer x1 e x2 do Domínio de f, com X1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

FUNÇÃO COMPOSTA

Você pode notar que podemos obter os pares da função g invertendo-se a ordem dos elementos nos pares obtidos pela função f:

Observe a seguinte situação: Uma fábrica que produz sapatos calcula o seu lucro por meio da equação L = 0,4C, em que L é o lucro e C o preço de venda desse sapato para o comércio. Por sua vez, o preço C de venda é calculado fazendo-se C = 20 + 2P, em que P é o valor gasto com a matéria-prima para a fabricação desse sapato. Vemos, então, que o lucro L é dado em função do preço C, e este é dado em função do gasto P. Seria possível determinar o lucro diretamente do gasto P com a matéria-prima? Para isso, podemos fazer uma composição entre as duas funções: L = 0,4C C = 20 + 2P

Observe o esquema;

Nesse caso, dizemos que g é a função inversa da função f e representamos por g(x) = f-l(x).

L = 0,4(20 + 2P) ® L = 8 + 0,8P, que relaciona diretamente L e P.

Então, se f(x) = 3x, f-l (x) = x/3

Agora faremos um procedimento análogo para as funções f: A ® B, definida por f(x) = 2x, e g: B ® C, definida por g(x) = x2.

Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g. f: A ® B: a cada x E A associa-se um único y E B, tal que y = 2x g: B ® C: a cada y E B associa-se um único z E C, tal que z = y2 Nesse caso, podemos considerar uma terceira função, h: A ® C, que faz a composição entre as funções f e g:

Na função f considerada, podemos destacar duas características importantes: · O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio. · Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. É necessário que a função satisfaça essas duas condições para que ela seja invertível, ou seja, possua inversa. As funções que satisfazem essas duas condições são denominadas funções bijetivas. Portanto, apenas as funções bijetivas possuem inversa.

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MATEMÁTICA I

EXERCÍCIO DE SALA

EXERCÍCIO DE CASA 1)Considere a função Y = 8X3 . A sua função inversa é: 3

01. Para

=

e

=1

temos que

X 2 3 X b) Y = 8 3 c) Y = 2 X X3 d) Y = 8 8 e) Y = 3X

é:

a) Y =

a) b) c) d) e) n.d.a

02. A função inversa da função

=

é:

a)

108

2)Considere três funções f, g e h, tais que: A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.

A função g atribui a cada país, a sua capital A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas

b) c) d) e)

3) Dentre as funções abaixo qual não é par e nem ímpar. a) f(x) = 3x b) f(x) = x2 + 1 c) f(x) = -x3 d) y = 4x 1 e) y = 7x4

03. Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares. q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y. r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. s: A composição de funções é uma operação comutativa. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.

4) Seja

Podemos afirmar que são falsas:

Então,

a)nenhuma b) todas c) p,q e r d) s e t e) r, s e t

, bijetora, definida por , bijetora, definida por = -1

(9) +

=

+ 1. Seja

.

vale:

a) b) c)

04. Seja f: IR ® IR uma função bijetora tal que f(5) = 2.

Se g: IR ® IR é a função inversa da função f, então g-1 (5) é igual a: a) 2 b) 7 c) 5 d) 3 05. A FUNÇÃO

=

d) e) 5) Se f e g são funções tais que f(x) = 2x é igual a:

-

x+3 2 1 b) 2x - 3

a) é sempre positiva b) nunca assume o valor -

a)

c) apresenta gráfico que não intercepta o eixo dos d) é sempre crescente e) assume todos os valores reais

c) 3x + 2 d) 2x + 3 e)

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3 e f(g(x)) = x, então g(x)

108

1 3x - 2

MATEMÁTICA I

De (II), vem: x = 2k; y = 3k;

AULA 07 : RAZÕES E PROPORÇÃO Definição Chama-se razão entre os valores a e b (b ¹ 0) o quociente de a por b.

Concluímos que cada apostador vai receber

Exemplos Razão entre

x = 2.12 000 = R$ 24 000,00 y = 3.12 000 = R$ 36 000,00

3 e 4 ® 3/4 ou 3 : 4

a)

z = 5k

Substituindo estes valores em (I), obtemos 2k + 3k + 5k = 120 000 \ k = 12 000

b) 20m e 4s ® 20m 1 4s = 5m/s; razão chamada de velocidade

z = 5.12 000 = R$ 60 000,00 Regra de três

c) 8g e 10cm3 ® 8g / 10cm3 = 0,8 g/cm3; razão chamada de densidade

Dizemos que uma regra de três é simples quando envolve apenas duas grandezas e composta quando envolve mais de duas grandezas.

Proporções Problemas de regra de três simples

Definição

1. Para alimentar 10 cachorros, gastam-se 4 kg de ração. Quantos kg serão necessários para alimentar 4 desses cachorros?

Temos cachorros (c) ® ração(r) 10 4 kg ¯ ¯ 4 x

Proporção é a equivalência entre duas razões. Se os números a, b, c e d formam, nesta ordem, uma proporção, podemos escrever

a=c b d Propriedade fundamental das proporções Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Se

Menos cachorros proporcional a r. Daí

a = c então a × d = b × c b d

menos

ração;

c

é

diretamente

10 = 4 Þ 10x = 16 \ x = 1,6 kg 4 x

Exemplo: Calcular o valor de x, em

®

3 =2 x +1 7

Observação Grandezas diretamente proporcionais (D.P.) ¯ ¯

Aplicando a propriedade fundamental, temos 2. Uma engrenagem de 36 dentes movimenta uma outra de 48 dentes. Se a segunda engrenagem executar 120 voltas, quantas voltas executará a primeira?

2(x + 1) = 3.7 2x + 2 = 21 \ x = 19/2

Temos

Grandezas direta ou inversamente proporcionais Vamos considerar que as variáveis x e y representem as medidas de duas grandezas, que podem ser relacionadas entre si.

Chamando de k uma constante real diferente de zero, temos ¨

x é diretamente proporcional a y se, e somente se,

= k Þ x = ky ¨ x é inversamente proporcional a y se, e somente se,

®

voltas(v) x ­ 120

Observação Grandezas inversamente proporcionais (I.P.) ¯ ­

x y

Mais dentes Þ menos voltas e vice-versa; d é inversamente proporcional a v. Daí

48 = x Þ 36 x = 48 × 120 \ x = 160 voltas 36 120

xy = k

Þx= x

y

Problema de regra de três composta

EXEMPLO

Em uma indústria, 12 máquinas, trabalhando 8 horas por dia, produzem 64 camisas, em cada dia de trabalho. Quantas máquinas, trabalhando 12 horas por dia, serão necessárias para produzir 80 camisas por dia?

Temos máquinas tempo(h/d) camisas 12 8 64 x 12 80

Um prêmio de R$ 120 000,00 de uma loteria deve ser dividido proporcional a R$ 2,00; R$ 3,00; R$ 5,00, quantias que cada jogador apostou. Obter o valor a ser recebido por jogador.

Chamando x, y e z respectivamente, temos

dentes( d) 36 ¯ 48

o

que

cada

jogador

vai

receber,

ì x + y + z = 120000 (I) ï í x = y = z = k (II) ïî 2 3 5

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Daí,

12 = 12 × 64 Þ x = 12 × 8 × 80 12 × 64 x 8 80

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MATEMÁTICA I

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EXERCÍCIO DE SALA

EXERCÍCIO DE CASA 1)Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Neste mesmo mapa, 10 cm representam a) 10 km b) 20 km c) 30 km d) 40 km e) 50 km

01. Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Em m2, a medida da área da sala projetada é a)20 b)30 c) 40 d) 50 e) 60

2)O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja altura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. A razão entre a área do jardim e a área total do terreno é a) 30% b) 36% c) 40% d) 45% e) 50%

02. (Fuvest) O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quadrados. O valor da razão a/b é a) 5/3 b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) 3

3)Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x (x > 0). Os valores de p e de m, respectivamente, são a) p = 1/8 e m = 1/4 b) P = 1/2 e m = 1/2 c) P = 1/2 e m = 1/4 d) P = 3/4 e m = ¾

03. Um automóvel freado no momento em que sua velocidade é 32 km/h percorre ainda 10m até parar. Sabe-se que essa distância percorrida até parar é proporcional ao quadrado da velocidade do momento da freagem. A distância que o automóvel percorrerá até parar, se freado a 80 km/h, é a) 62,5 m b) 60 m c) 54,5 m d) 50 m e) 40 m

4)Considere um conto escrito em 10 páginas de 20 linhas cada, com 60 letras cada linha. Para escrevê-lo em páginas de 30 linhas, com 50 letras cada linha, o número de páginas gasto é a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6

04. Uma determinada despesa de R$ 280,00, feita em restaurante, deve ser paga por duas pessoas, A e B. Sabendo-se que A consumiu o triplo do que B consumiu, é justo que cada um pague proporcionalmente ao que consumiu. Assim, proporcionalmente, A e 8 pagaram, respectivamente, a) R$ 210,00 e R$ 70,00 b) R$ 200,00 e R$ 80,00 c) R$ 180,00 e R$ 100,00 d) R$ 90,00 e R$ 90,00 e) R$ 180,00 e R$ 90,00

5)Se 120 operários constroem 600 m de estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários necessário para construir 300 m de estrada em 300 dias é a) 6 b) 24 c) 240 d) 600 e) 800

05. Com 16 máquinas de costura, aprontam-se 720 uniformes em 6 dias. O número de maquinas que serão necessárias para confeccionar 2 160 uniformes, em 24 dias, é a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 24

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AULA 08: PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES

Montante É o capital somado com o juros. Indica-se por M.

Conceito

M=C+j

Porcentagem é a razão na qual o denominador é 100, ou seja, p% = p/100.

É importante que a taxa i e o tempo t estejam numa mesma unidade de tempo.

A porcentagem de um número a em relação a outro b é dada pela razão a/b.

EXEMPLOS:

Uma taxa percentual pode ser representada de várias formas: fração de denominador 100, número decimal ou porcentagem (%).

1. O capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de 9,5% ao ano, com juros simples, produziu R$ 123,50 de juros. O tempo correspondente à aplicação foi de a) 1a e10m b) 1a e 11m c) 2a e1m d) 2a e 2m

Exemplos ¨ ¨ ¨ ¨

23 = 0,23 = 23% 100 23 = 0,023 = 2,3% 100 230 = 2,3 = 230% 100 100 = 1 = 100% 100

Temos:

C = 600 i = 9,5% aa j = 123,50 t = ?

600 × 9,5 × t j = cit Þ 123,50 = 100 100 123,50 = 6 × 9,5 × t Þ 123,50 = 57 t

Na resolução de problemas envolvendo porcentagem, utilizamos preferencialmente a forma decimal.

t=

123,50 1235 = 2a e 2m = 57 570

Cálculos 1235 570

Exemplos a) Determinar o valor: 32% de 400.

Temos 0,32 ´ 400 = 128

95

2a

95 a = 95 ´ 12 m = 1140 m 1140m : 570 = 2m Þ Resposta: 2a e 2m, letra d 2. Empregando R$ 3.000,00 a 10% ao mês, sistema de juros compostos, obteve-se, após 4 meses, M reais.

Calcular M. Temos C = 3 000

b) Numa prova de matemática de 40 questões objetivas, se um vestibulando errar 12 questões, o percentual de acertos será a) 70% b) 52% c) 26% d) 12% Temos Total de questões = 40 Questões erradas = 12 Questões certas = 28.

Logo P = 28/40 = 0,7 = 70% Resposta: a

i = 10% = 0,1 am t = 4m M = C(1 + i)t M = 3 000(1 + 0,1)t M = 3 000(1,1)4 M = 3 000 ´ 1,4641 M = R$ 4 392,30

1. Um produto comprado por R$ 120,00 deve ser vendido com um lucro de 20%. Obter o preço de venda.

JUROS SIMPLES Juros simples É a gratificação que se obtém por se ter emprestado um capital C durante um tempo t a uma taxa i. É importante observar que os juros J produzidos pelo capital não vão render novos juros.

Calculam-se os juros empregando-se a seguinte fórmula:

j = cit 100

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EXERCÍCIO DE SALA 01. O valor de

EXERCÍCIO DE CASA

1% é

1)Se numa prova de 40 questões objetivas um vestibulando errar 12 questões, o percentual de acertos será: a) 4,8% b) 12% c) 52% d) 70% e) 80%

a) 10% b)10 c) 1 d)1% e) 1,5 02. (Fuvest) (10%)2 é igual a a) 100% b) 20% c) 10% d) 5% e) 1% 03. (PUC-SP) Descontos sucessivos equivalentes a um único desconto de a) 25% b) 26% c) 40% d) 44% e) 45%

de

20%

e

30%

2)Se sobre transações financeiras se cobra uma taxa de 0,3%, o valor cobrado sobre um cheque de valor R$ 250.000,00 equivale a: a) R$ 650,00 b) R$ 750,00 c) R$ 850,00 d) R$ 950,00 e) R$ 1.050,00

são

3)Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de a) 0% b) 60% c) 75% d) 80% e) 150%

04. Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado para 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros cobrada foi de a) 0,6% ao mês. b) 4,2% ao mês. c) 6% ao mês. d) 42% ao mês. e) 0,42% ao mês.

4)O preço à vista de um carro usado é R$ 10 000,00. Um comprador pagou R$ 5 000,00 de entrada e R$ 6 000, 00 após um mês. A taxa mensal de juros cobrada pela loja é a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%

05. Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e 65% das mulheres têm mais de 20 anos. Quantas mulheres ainda não comemoraram seu vigésimo aniversário? a) 98 b) 105 c) 120 d) 182 e) 190

5) Uma pessoa tem 60% de seu capital aplicado à taxa de 5,5% ao mês e o restante a 5% ao mês. Se, ao fim de um mês, os juros produzidos foram de R$ 2 650,00, o capital inicial é de a) R$ 40 000,00 b) R$ 45 000,00 c) R$ 50 000,00 d) R$ 55 000,00 e) R$ 65 000,00

ANOTAÇÕES

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