AULA 01 : PROGRASSÃO ARITMÉTICA Ø
ANOTAÇÕES
DEFINIÇÃO: É qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado a uma constante r, chamada de razão da PA. Na PA (a1, a2, a3, ..., an an = an
1
1,
an, ... ),
temos:
, n 2
+r
e
n Î IN
Exemplo: (3, 7, 11, 15, ...) Ø
RAZÃO DE UMA PA A razão r de uma PA é obtida subtraindo-se de qualquer termo, a partir do segundo, o termo anterior
113 r = an
an
1
Exemplo: A PA (1, 3, 5, 7, 9, ... ) tem a razão r = 3 Ø
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PA · Crescente: an > an · Decrescente: an < an · Constante: an = an
1 1 1
1=2
(r > 0) (r < 0) (r = 0)
Ø
REPRESENTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PA · Com 3 termos: (x r, x, x + r); razão = r · Com 4 termos: (x 3r, x r, x + r, x + 3r); razão = 2r · Com 5 termos: (x 2r, x r, x, x + r, x + 2r); razão = r
Ø
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre dois números a e b, extremos de uma PA, significa obter uma PA com k + 2 termos: (a .........b) k termos
Ø
PROPRIEDADES DE UMA PA · Em toda PA, qualquer termo a partir do segundo, é média aritmética dos termos eqüidistantes dele. · A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos · Se ar, as, at e ap são termos de uma PA então ar + as = at + ap Û r + s = t + p
Ø
TERMO GERAL DE UMA PA Se an e am são termos quaisquer de uma PA, então: an = am + (n Exemplo: a8 = a3 + (8
m) . r
3)r Þ a8 = a3 + 5r
Em particular, para m = 1, temos: an = a1 + (n
1) . r
a1: 1º termo an: enésimo termo ou termo geral n: número de termos r: razão Exemplo: a10 = a1 + (10 Ø
1)r Þ a10 = a1 + 9r
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por: n
å ai = Sn =
i =1
Exemplo: S5 =
(a1 + an ) . n 2
(a1 + a5 ).5 2
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113
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. (CEFET-AL/2009) O centésimo número natural ímpar é: a) 197. b) 201. c) 101. d) 199. e) 299.
01. (ENEM/2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras esta representada a seguir.
02. (UNIFOR/2009) Um atleta, após ter feito uma sucessão de lançamentos de um dardo, observou que a cada arremesso a distância alcançada pelo dardo aumentara em 2 cm. Sabendo que o alcance do seu primeiro lançamento foi de 24 m e o do último foi de 24,30 m, o total de arremessos que ele fez foi a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
Figura I
03. (CEDERJ/2009) A seqüência formada por todos os números naturais cuja divisão por 7 deixa resto 3, dispostos em ordem crescente, é uma: a) progressão aritmética de razão 4; b) progressão aritmética de razão 7; c) progressão aritmética de razão 3; d) progressão geométrica de razão 7; e) progressão geométrica de razão 3.
Figura II
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q 2 02. (ESPM/2009) Uma seqüência numérica (an) é tal que a1 = 1 e an = n + an 1. O centésimo termo dessa seqüência vale: a) 5050 b) 5500 c) 6500 d) 4950 e) 4650
04. (UNAERP/2010) Ao empilharem-se tubos de PVC na disposição abaixo, iniciou-se com 10 tubos até atingir o topo com 1 tubo. Para tanto, foram empilhados:
03. (UDESC/2009) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência ( x, 1, y, 1/4, z ) forma, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x + y + z é: 21 15 19 3 b) c) d) 2 e) a) 8 8 8 8
a) 30 tubos. b) 60 tubos. c) 120 tubos. d) 55 tubos. e) 100 tubos
04. (UEPB/2010) A quantidade de múltiplos de 7 entre 20 e 1000, somada com a quantidade de números divisíveis por 3 entre 100 e 400, é igual a a) 200 b) 240 c) 170 d) 210 e) 300 05. (UEPB/2009) A soma de todos os múltiplos compreendidos entre 600 e 800, é igual a: a) 23000 b) 20300 c) 20030 d) 20003 e) 30002
ANOTAÇÕES
de
7,
06. (UEMS/2009) A dívida de uma empresa junto a um de seus fornecedores foi paga da seguinte maneira: no primeiro ano foram pagas parcelas mensais de R$ 1.000,00; no segundo ano, foram pagas parcelas mensais de R$ 950,00 e assim por diante. A cada ano, as parcelas diminuíam R$ 50,00, até que no último ano, as parcelas mensais pagas foram de R$ 50,00. Qual o valor total da dívida paga, em reais? a) 126.000,00 b) 125.000,00 c) 120.000,00 d) 118.000,00 e) 92.000,00 07. (FGV/2010) Roberto obtém um financiamento na compra de um apartamento. O empréstimo deverá ser pago em 100 prestações mensais, de modo que uma parte de cada prestação é o juro pago. Junto com a 1ª- prestação, o juro pago é de R$ 2000,00; com a 2ª- prestação, o juro pago é R$ 1980,00 e, genericamente, em cada mês, o juro pago é R$ 20,00 inferior ao juro pago na prestação anterior. Nessas condições, a soma dos juros pagos desde a 1ª até a 100ª prestação vale: a) R$100000,00 b) R$101000,00 c) R$102000,00 d) R$103000,00 e) R$104000,00 08. (FGV/2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por Carlos foi: a) 512.000 b) 780.324 c) 1.000.000 d) 1.210.020 e) 2.048.000 GABARITO 01.B 02.A 03.C 04.B 05.B 06.A
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114
07.B 08.C
MATEMÁTICA II
114
Em particular, para m = 1, temos:
AULA 02 : PROGRESSÕES GEOMÉTRICA I Ø
DEFINIÇÃO: É qualquer sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante q, chamado de razão da PG. Na PG (a1, a2, a3, ..., an an = an
1
1,
.q
an, ... ),
temos:
, n 2
e
an = a1 . qn
1
a1: 1º termo an: enésimo termo ou termo geral n: número de termos q: razão
n Î IN
Exemplo: a6 = a1 . q6
1
Þ a6 = a1 . q5
Exemplo: (1, 3, 9, 27, ...) Ø
RAZÃO DE UMA PG A razão q de uma PG é obtida dividindo-se qualquer termo, a partir do segundo, pelo termo anterior. q=
ANOTAÇÕES
115
an an - 1
Exemplo: (2, 4, 8, 16, ...). A razão da PG é q =
4 =2 2
OBSERVAÇÃO: · A sequência (5, 0, 0, 0, . . .) é uma PG de razão q = 0. · A sequência (0, 0, 0, 0, . . . ) é uma PG de razão indeterminada e uma PA de razão nula. Ø
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PG · Crescente: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 · Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1 · Constante: q=1 · Oscilante ou alternante: q < 0 (Observe que na PA não existe esse caso.)
Ø
REPRESENTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PG ·
Com 3 termos:
·
Com 4 termos:
·
Com 5 termos:
ö æx çç , x , xq ÷÷ , razão = q ø èq æ x x ö çç 3 , , xq , xq 3 ÷÷ , razão = q² èq q ø ö æ x x çç 2 , , x , xq , xq 2 ÷÷ , ø èq q
razão
=q Ø
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Da mesma forma de PA, interpolar k meios geométricos entre dois números a e b, extremos de uma PG, significa obter uma PG com k + 2 termos.
Ø
PROPRIEDADES · Em toda PG, qualquer termo a partir do segundo, é média geométrica dos termos eqüidistantes dele. · O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos · Se ar, as, at e ap são termos de uma PG então ar . as = at . ap Û r + s = t + p
Ø
TERMO GERAL DE UMA PG Se an e am são dois termos de uma PG, então an = am . qn Exemplo: a8 = a5 . q8
5
m
Þ a8 = a5 . q3
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115
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. Quantos termos tem a PG (1, 3, ... , 729) ?
01. Determine a razão da PG em que a5 = 32 e a8 = 256 02. (UFCG) As idades de um pai e seus dois filhos são dadas, respectivamente, por x, y e z, as quais estão, nesta ordem, em uma progressão geométrica. Se x, 2y e 3z estão, nesta ordem, em uma progressão aritmética e a idade do pai é x = 36, então as idades de seus dois filhos são: a) 3 e 8. b) 2 e 5. c) 4 e 12. d) 8 e 12. e) 9 e 15. 03. (FGV/2010) Um capital de R$1000,00 é aplicado a juro simples, à taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a 1, 2, 3, ..., n anos, formam a seqüência (a1, a2, a3 ... an). Outro capital de R$2000,00 é aplicado a juro composto, à taxa de 10% ao ano gerando a seqüência de montantes (b1, b2, b3, bn) daqui a 1, 2, 3, ... n anos. As seqüências (a1, a2, a3 ... an) e (b1, b2, b3, bn) formam, respectivamente, a) uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão geométrica de razão 10%. b) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 0,1. c) uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão geométrica de razão 1,10. d) uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão geométrica de razão 1,10. e) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 1,10.
02. (FEI/2010) Em uma progressão geométrica, o segundo termo vale 729 e o quinto vale 5832. Assinale a alternativa incorreta em relação a esta progressão: a) a razão vale 2. b) o produto dos três primeiros termos é igual a 318. 729 c) o primeiro termo vale 2 d) a progressão é crescente. e) o sétimo termo vale 23 338.
04. (FUVEST) Uma PA e uma PG tem ambas o primeiro termo igual a 4, sendo que os terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da PA excede o segundo termo da PG em dois. Então, o terceiro termo da progressão é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 GABARITOS Exercícios de casa 01. resposta 2 02. c 03. e 04. d
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MATEMÁTICA II
116
AULA 03 : PROGRESSÕES GEOMÉTRICA II
Ø
EXERCÍCIOS DE SALA 01. (UFPB/2007) Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco semanas consecutivas, de tal forma que, a partir da segunda semana, o valor apostado era o dobro do valor da semana anterior. Se o total apostado, nas cinco semanas, foi R$2.325,00, o valor pago por Cecília, no jogo da primeira semana, foi: a) R$ 75,00 b) R$ 85,00 c) R$ 100,00 d) R$ 95,00 e) R$ 77,00
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:
n
åa
i
= Sn =
i =1
(
)
a1 q n -,1 q ¹ 1 q -1
x x x x + + + + L = 40 2 4 8 16 apresenta como resultado um valor x, tal que : a) 21 x < 22 b) 17 x <18 c) 20 x < 21 d) 18 x <19 e) 19 x < 20
02. (FGV/2009) A equação x + 7
a (q - 1) Exemplo: S 7 = 1 q -1
Ø
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG O limite da soma dos infinitos termos de uma PG é dado por:
S=
a1 , 1-q
1<q<1
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
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117
MATEMÁTICA II
117
09. (UPE/2010) No primeiro dia de um experimento laboratorial, exatamente uma gota de uma dada substância é acrescentada a um balão de ensaio inicialmente vazio. Nos dias seguintes, a cada dia é acrescentada exatamente uma gota a mais que o dobro do número de gotas do dia anterior (por exemplo, no 2º dia, serão adicionadas 3 gotas). Ao final do 10º dia, terão sido acrescentadas, ao todo, exatamente a) 1043 gotas. b) 2086 gotas. c) 1023 gotas. d) 2046 gotas. e) 2036 gotas.
EXERCÍCIOS DE CASA 01. (UEPB/2008) Durante os sete dias destinados às inscrições de um concurso, o número de candidatos cresceu em PG do primeiro ao sétimo dia. Sabendo que no primeiro dia se inscreveram 2 candidatos e no sétimo dia 1.458, concluímos que o total de candidatos inscritos para o referido concurso foi de: a) 2916 b) 1460 c) 2186 d) 1458 e) 1944 02. (UFES/2009.2) Maria fez uma viagem de 8 dias. Em cada dia da viagem, a partir do segundo dia, ela percorreu metade da distância percorrida no dia anterior. No sexto dia, ela percorreu 48 km. A distância total, em quilômetros, percorrida durante os 8 dias de viagem foi: a) 2900 b) 2940 c) 2980 d) 3020 e) 3060
10. (UNESP/2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01361 36 a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00.
03. (UFJF) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em um mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da primeira prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação sofre um aumento de 10%, em relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor da prestação mensal será, aproximadamente, de: a) R$ 440,00 b) R$ 480,00 c) R$ 500,00 d) R$ 580,00 e) R$ 670,00
11. (ESPECEX/2011) Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é a) 480 b) 511 c) 512 d) 1023 e) 1024
04. (UFCG) Um estudante prepara-se para uma competição de natação e corrida na sua escola. No primeiro dia de sua preparação, ele nada 25 m e corre 1500 m. Sabendo-se que ele nada sempre o dobro do que nadou no dia anterior, corre sempre 300 m a mais do que correu no dia anterior e que nos primeiros N dias, somando-se as distâncias que ele nadou encontramos 3175 m, podemos afirmar que o estudante correu durante estes N dias a quantidade de: a) 17500 m b) 19500 m c) 15400 m d) 13200 m e) 16800 m
12. (UDESC/2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no: a) 9º dia. b) 10º dia. c) 8º dia. d) 5º dia. e) 6º dia.
05. (UNEMAT/2010) Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 1/2 da altura anterior. A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) 12 m b) 6 m c) 8 m d) 4 m e) 16 m
13. (UNESP/2011) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança,os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, ate o mês em que o valor do deposito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria ate o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de deposito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de a) 42.947,50. b) 49.142,00. c) 57.330,00. d) 85.995,00. e) 114.660,00.
06. (MACK/2009) A soma dos valores inteiros negativos de x, para os quais a expressão é a) 1
b) 2
2+
x x x + + + L é um número real, 2 4 8
c) 3
d) 4
e) 5
07. (PUC-RS/2009.2) Um visitante do MCT recebe informações sobre colônias de bactérias. Uma bactéria comum dobra sua população a cada 20 minutos. Supondo uma colônia inicial de 1000 bactérias, que uma hora mais tarde já soma 8000, é correto prever que depois de 2 horas o número de bactérias será de: a) 6000 b) 16000 c) 32000 d) 64000 e) 120000
14. (MACK/2011) Divide-se um segmento de comprimento x em três partes iguais, retirando-se a parte central. Repete-se o procedimento na parte retirada. Procedendo-se indefinidamente da mesma forma, a soma de todos os segmentos retirados é 30. O valor de x é: a) 90 b) 50 c) 55 d) 45 e) 60
08. (UFJF) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em um mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da primeira prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação sofre um aumento de 10%, em relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor da prestação mensal será, aproximadamente, de: a) R$ 440,00 b) R$ 480,00 c) R$ 500,00 d) R$ 580,00 e) R$ 670,00
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01.C 08.D
118
02.E 09.E
03.D 10.B
GABARITO 04.E 05.A 11.C 12.B
06.C 13.D
07.D 14.E
MATEMÁTICA II
118
Para transformarmos arcos de uma unidade para outra basta fazer uma regra de três simples com
AULA 04: TRIGONOMETRIA I Ø
TRIÂNGULO RETÂNGULO C b
180º ® p rad
a
b . A
Ø
a c
B
Da figura, temos: · hipotenusa: a · catetos: b e c · ângulos: a, b e 90º · relação entre os ângulos agudos: a + b = 90º · relação entre os lados: a² = b² + c²
REGRA PRÁTICA I. Para transformarmos um arco de radiano para grau, basta substituir p rad por 180º e fazer as operações. II. Para transformarmos um arco de grau para radiano, basta p rad multiplicarmos o arco por e fazer as operações. 180 º
119 ANOTAÇÕES
Ø
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS · Seno de um ângulo agudo: é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. · Cosseno de um ângulo agudo: é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. · Tangente de um ângulo agudo: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Em relação ao triângulo ABC acima, temos: sen a = b/a
cos a = c/a
tg a = b/c
sen b = c/a
cos b = b/a
tg b = c/b
Conclusões imediatas: I. O seno de um deles e o cosseno do outro são iguais II. A tangente de um deles é o inverso da tangente do outro sen a III. tg a = cos a IV. Ø
sen²a + cos²a = 1
ÂNGULOS NOTÁVEIS 30º sen cos tg
Ø
1
3 3
2
45º 2
2
60º 3
2 2
3
2
1
ARCO Chama-se arco a qualquer compreendida entre dois pontos.
2
1
2
3
parte
As unidades de medidas de arcos GRADO. Vamos trabalhar com grau mais usados. I. GRAU é o arco unitário que circunferência. Assim, 360º.
da
circunferência
são: GRAU, RADIANO ou e radiano por serem os corresponde a 1/360 da uma circunferência tem
SUBMÚLTIPLOS do grau · MINUTO: é um arco que corresponde a 1/60 do grau. Assim, 1 grau tem 60 minutos (1º = 60 ). · SEGUNDO: é um arco que corresponde a 1/60 do minuto. Assim, 1 minuto tem 60 segundos (1 = 60 ). II. RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Como o comprimento da circunferência de raio r é dado por C = 2pr, então, uma circunferência terá 2p rad. Ø
CONVERSÃO DE UNIDADES
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119
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. (UFRN) A casa central de uma fazenda situa-se a 9 km, contados ao longo de um caminho perpendicular à estrada reta que limita a fazenda. Na beira da estrada e a uma distância de 15 km da casa central, o fazendeiro construiu uma casa para seu filho. O fazendeiro agora quer construir, na beira da mesma estrada, um escritório que fique igualmente distanciado da casa do filho e da casa central.
01. No triângulo ABC, retângulo em C, o cateto oposto ao vértice A mede 8 cm e a hipotenusa mede 12 cm. Determine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo A.
Escritório 9
02. (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distante 40 m um do outro. Um ponto C na outra margem do rio está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75º e ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio.
Casa do filho
a) 40 m
b) 20 m
c) 20 3 m
03. (PUC-RJ/2010) O valor de Casa central
a)
A distância comum deverá ser: a) entre 8 e 9 km b) entre 11 e 12 km c) entre 12 e 13 km d) entre 9 e 10 km
2 m
2 +1
a) 2 km
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de: b) 2 2 m
e) 25 m
b) 2
c)
cos 45 º + sen30 º é: cos 60 º 2 4
d)
120
2 +1 2
e) 0
04. (PUC-GO/2010) Suponha hipoteticamente que um Zepelim passou em São José de Coroa Grande e que Leleu teve a oportunidade de observá-lo de uma certa distância. Tal momento, histórico para a cidade, pode ser representado pela seguinte figura, onde o ponto A é a posição do Zepelim e B a linha de visada de Leleu. Com base na figura abaixo e sabendo-se que o ângulo de elevação da linha visada (ângulo ) A B C) é de 30o, pode-se afirmar que a distância de Leleu ao Zepelim é de:
02. (UFPB/2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura abaixo.
a)
d) 30 m
15
b) 1 km
c) 3 km
d)
2 Km
d) 4 2 m e) 5 2 m
c) 3 2 m
ANOTAÇÕES
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120
MATEMÁTICA II
Ø Ø
AULA 05: TRIGONOMETRIA II Ø
CICLO TRIGONOMÉTRICO É uma circunferência orientada que possui as seguintes caracteristicas: Y (0,1) + II Q IQ ( 1,0)
r=1
GRÁFICO
y 1 p
(1,0)
0
(0, 1)
121
Sinal Crescimento
IQ
II Q
III Q
IV Q
+ C
+ D
D
C
Ø
PROPRIEDADE
Ø
O PERÍODO DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA f(x) = a + b.sen (kx + c) é dado por p =
é o menor dos arcos côngruos
1ª DETERMINAÇÃO POSITIVA positivos.
Ø
SENO DE UM ARCO O seno de um arco a é a ordenada do ponto M
M a A
2p |k |
COSSENO DE UM ARCO O cosseno de um arco a é a abscissa do ponto M y
y
M a A
sen a = OP
0
Q
cos a = OQ x
x
Usando a definição vamos encontrar o cosseno dos arcos: p 3p , p, e 2p 0, 2 2 y
Usando a definição vamos encontrar o seno dos arcos: p 3p , p, e 2p 0, 2 2 y
p/2
p/2 p p
0 2p
0 0
1
x
3p/2 a
p 2
0 2p
x
3p/2
a
x
Observações: · Dm(f) = Â · Im(f) = [ 1, 1] · Período: 2p · Paridade: ímpar
· raio: r = 1 · origem dos arcos: (1, 0) · sentido positivo: anti-horário · sentido negativo: horário · 1º quadrante: (0, p/2) · 2º quadrante: (p/2, p) · 3º quadrante: (p, 3p/2) · 4º quadrante: (3p/2, 2p) · ARCOS CÔNGRUOS são arcos que possuem a mesma extremidade. Diferem um do outro pelo sentido percorrido ou pelo número de voltas.
0
2p
-1
IV Q
P
3p/2
p/2
0
x
III Q
Ø
FUNÇÃO SENO É a função f : IR ® IR definida por f(x) = sen x
p
3p 2
2p
0
-1
0
sen a
O bserv e que o seno
p 2
p
3p 2
2p
1
0
1
0
1
cos a Observe que o cosseno varia de 1 a 1, ou seja, 1 £ cos a £ 1
varia de 1 a 1, ou seja, 1 £ sen a £ 1
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
0
121
MATEMÁTICA II
Ø
FUNÇÃO COSSENO É a função f : IR ® IR definida por f(x) = cos x
EXERCÍCIOS DE CASA
GRÁFICO
01. y
1 p 0
p/2
3p/2
2p
x
-1
Observações: · Dm(f) = Â · Im(f) = [ 1, 1] · Período: 2p · Paridade: par
(UNEMAT/2010) Quanto ao arco 4.555°, é correto afirmar. a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55º b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75º c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195º d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115º e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195º
02. (UFVJM/2009) Para a existência da expressão sen q =
2x - 1 , 3
os valores de x estão compreendidos no intervalo:
Ø
PROPRIEDADE
Ø
O PERÍODO DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA f(x) = a + b.cos (kx + c) é dado por p =
Sinal Crescimento
IQ
II Q
III Q
IV Q
+ D
D
C
+ C
a) 1 x<1 b) 1<x 0
1 d) 1 x 2 3 03. (ENEM/2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos apos ter atingido sua orbita, esta a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r 5865 em função de t seja dado por r(t ) = . 1 + 0,15 × cos (0,06 t ) Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) 12 765 km. b) 12 000 km. c) 11 730 km. d) 10 965 km. e) 5 865 km.
c) 1 x <
2p |k |
EXERCÍCIOS DE SALA 01. Determine o domínio, o conjunto imagem e o período das funções: a) f(x) = 5 3sen(3px + 1) b) f(x) = 7 + cos(2x + 3) 02. (CEFET-PI/2009) Não é incomum encontramos na natureza fenômenos cujo comportamento pode ser descrito por funções matemáticas. Dentre estes fenômenos, os que têm características cíclicas ou de repetição continuada podem ser expressas em função do tempo por funções trigonométricas periódicas. Considere que o volume de ar, em litros, que tem no pulmão durante a respiração do porquinho da índia (Cavia aparea) muito usada como cobaia de laboratório, pode ser, aproximadamente descrito pela expressão v(t) = 8 + 2sen(pt) onde t é o tempo dado em minutos. Quando t = 0, o animal se encontra em repouso sem inspirar nem expirar. Considerando estas informações, pode-se afirmar que, aproximadamente, o volume máximo de ar que cabe no pulmão deste animal é, em litros: a) 14 b) 8 c) 6 d) 10 e) 12 ANOTAÇÕES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
122
MATEMÁTICA II
122
Função cotangente: cotg x =
AULA 06: TRIGONOMETRIA III Ø
TANGENTE DE UM ARCO A tangente do arco AM é a medida do segmento AP onde P é a intersecção da reta r com o prolongamento do segmento OM. y
Ø I.
r M
P +
1 , tg x ¹ 0 tg x
PERÍODO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 2p f(x) = a + b.sen (kx + c), p = |k | f(x) = a + b.cos (kx + c), p =
III.
f(x) = a + b.tg (kx + c), p =
IV.
f(x) = a + b.cotg (kx + c), p =
V.
2p f(x) = a + b.sec (kx + c), p = |k |
VI.
f(x) = a + b.cossec (kx + c), p =
tg AM = AP
A 0
x -
Usando a definição vamos encontrar o tangente dos arcos: p 3p 0, , p, e 2p 2 2
2p |k |
II.
p |k | p |k |
123
2p |k |
y p/2
ANOTAÇÕES p
0 2p
0
x
3p/2
a
p 2 não existe
0
tg a 0
3p 2 não existe
p 0
2p 0
Observe que a tangente varia de ¥ a +¥ Ø
FUNÇÃO TANGENTE É a função f: D ® IR definida por f(x) = tg x, com p ü ì D = íx Î IR / x ¹ + kp, k Î Zý 2 þ î GRÁFICO
y
2p 0
p 2
p
3p 2
x
Observações: · Dm(f) = {x ÎÂ/ x ¹p/2 + kp, k Î Z} · Im(f) = Â · Período: p · Paridade: ímpar IQ Sinal Crescimento Ø
+ C
II Q
III Q
IV Q
C
+ C
C
OUTRAS FUNÇÕES Função secante: sec x =
1 , cos x ¹ 0 cos x
Função cossecante: cossec x =
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
1 , sen x ¹ 0 sen x
123
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE SALA
EXERCÍCIOS DE CASA
01. Determine o domínio, o conjunto imagem e o período da função f(x) = 3tg(p + x).
01. Quem é maior tg 10º ou tg 365º ? Justifique 02. Ache o período da função f(x) = 5 + 3 tg 7x. 03. Encontre o sinal do produto tg 70º . tg 110º . tg 200º . tg 350º .
124
02. Dê o sinal do produto sen110º.cos350º.tg100º.
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124
MATEMÁTICA II
AULA 07: TRIGONOMETRIA IV Ø Ø
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE Reduzir um arco do 2º, 3º ou 4º quadrante ao 1º quadrante é relacioná-lo a um arco do 1º quadrante que tenha, em módulo, o valor do arco dado.
p x
x
REGRA PRÁTICA PARA REDUZIR AO 1º QUADRANTE: Considerando x um arco do 1º quadrante, temos: I. Se o número de p for inteiro (p, 2p, 3p, ...) mantém-se a função trigonométrica p 3p 5p , , ...) trocaII. Se o número de p for fracionário ( , 2 2 2 se a função pela co-função. Em ambos os casos, temos que observar o quadrante do arco inicial para identificar o sinal da função. Vejamos alguns exemplos:
125
p+x
2p
sen (p
x) = sen x
cos (p
x) =
tg (p
x) =
· sen (2p + x ) = · sec (2p x) = · sec (7p x) = p · cos ( + x) = 2 5p · tg ( + x) = 2 7p · sen ( + x) = 2 · tg (p x) = · cossec (p + x) = 3p · cos ( + x) = 2
x
cos x tg x
sen (2p
x) = sen x
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS São fórmulas que relacionam as funções trigonométricas. As cinco primeiras são as fundamentais e as três últimas são as decorrentes. I. sen² x + cos² x = 1, " x Î Â sen x , cos x ¹ 0 II. tg x = cos x
cos (2p
x) = cos x
III.
cotg x =
IV.
sec x =
V.
cossec x =
VI.
cotg x =
sen (p + x) =
sen x
cos (p + x) =
cos x
Ø
tg (p + x) = tg x
tg (2p
x) =
tg x
Observe que na redução do 2º, 3º ou 4º quadrante para o 1º quadrante, temos: y 180º
· · ·
F P
F
cos x , sen x ¹ 0 sen x 1 , cos x ¹ 0 cos x
1 , sen x ¹ 0 sen x
1 , sen x.cos x ¹ 0 tg x
VII. sec²x = 1 + tg²x, cos x ¹ 0
x 360º
VIII. cossec²x = 1 + cotg²x, sen x ¹ 0
Do 2º Q para o 1º Q: o que FALTA para 180º Do 3º Q para o 1º Q: o que PASSA de 180º Do 4º Q para o 1º Q: o que FALTA para 360°
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125
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE CASA
EXERCÍCIOS DE SALA 01. (ESCCAI-MG) O valor de y = tg x = 3, é: a) 9
b) 27
01. Determine
sec x - cos x , sabendo que cos sec x - sen x
c) 3
d) 1
E=
o
valor
da
expressão
2
sen 330 º + cos 300 º sen 200 º + cos 70 º + sec 2 240 º
e) 5 02. (UFJF/2010) Seja a um ângulo tal que sen²a Então tg²a é igual a: a) 1 b) 0
c) 1
cos²a =
d) 2
1 . 2
e) 3
03. (UFPI/2010) Seja a um número real satisfazendo 0 < a <
p e 2
tg a = 2 . É correto afirmar que: 2
a) cosa + sena =
1- 2 2 3
b) seca = 3 c) cosseca é um número racional d) sena = 1 e) sena cosa = 1 04. (CFS/2010) obtém-se a) cossec x
Simplificando-se b) cos x
a
expressão
c) sec x
tg x + cot g x , cos sec x
d) tg x
02. Calcule o valor de sen150º.tg135º + cos270º.tg50º. ANOTAÇÕES ANOTAÇÕES
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126
MATEMÁTICA II
126
AULA 07: TRIGONOMETRIA V
Ø
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS São equações em que a incógnita aparece no arco de alguma função trigonométrica. Exemplo:
a) 2 cos x 1 = 0 b) sen x cos x = 1
Não existe um único método para resolver todas as equações trigonométricas, mas na maioria dos casos elas podem ser reduzidas às expressões mais simples, chamadas de equações fundamentais: sen x = a Ø
cos x = a
127
tg x = a
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS São inequações em que a incógnita faz parte do arco de alguma função trigonométrica. 1 Exemplo: a) sen x > 2 b) 2 tg² x + tg x ³ 0 A resolução das inequações trigonométricas se dá de forma semelhante ao da resolução das equações.
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127
MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE CASA
EXERCÍCIOS DE SALA
01. Resolva a equação cos²x
01. Resolva, no intervalo 0 < x < 2p, a equação sen²x - senx - 2 = 0.
2cosx + 1 = 0 , com x Î [0, 2p].
02. (UFC) Considere a equação cos²x cosx 2 = 0. Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4p] é a) 1 b) -1 c) 0 d) 4p e) 2p 03. (FAAP-SP) Resolver, no intervalo 0 £ x < 2p, a equação sen x + cos 2x = 0.
1
04. (ESPM-SP) A soma das raízes da equação tg x = 1, para 0 £ x £ 2p, é : 3p b) 0 c) 1 d) 2p e) 3p a) 2
ANOTAÇÕES 01. (FUVEST) A soma das raízes da equação sen²x 2cos4 x = 0, que estão no intervalo [0, 2p], é: a) 2p b) 3p c) 3p d) 6p e) 7p
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MATEMÁTICA II
128