Pomiary Automatyka Robotyka 2/2022 by Ł-PIAP

PAR P O M I A RY • A U T O M AT Y K A • R O B O T Y K A

2/2022 ISSN 1427-9126 Indeks 339512

Cena 25,00 zł w tym 8% VAT

Technical Sciences Quarterly | Measurements Automation Robotics

W numerze:

Od Redakcji

Algorytm regulacji odpornej ADRC – dobór nastaw i sposób dyskretnej implementacji

! " # $ $ %

Improved Control of Mesh Density in Adaptive Tetrahedral Meshes for ! " # $ ! " $ %

Sensitivity Limits and Functional Characteristics of Fluxgate Sensors # $ ! " % &

& ' ! '' ' ( ) " $ Measurement Technique

Rok 26 (2022) Nr 2(244) ISSN 1427-9126, Indeks 339512

Redaktor naczelny *+ . / &

* + " "+ &

* , "+ 8 $ & *+ ; < = $ *+ * "+ & = $ > *+ ? = $ *+ . / & = @

Korekta "+ ;

$ , A

Druk / < B ? % + + + C DEE +

Wydawca

% F 8 G = $ H $ J $ K H + $ LEL EL MOQ

Kontakt ; $ $ @ + $ LEL EL MOQ + LL OTM EU MQ V + + + Pomiary Automatyka Robotyka ; $ $ $ @ $ UWWT + UO X ; $ X + ;Y J @ $ ; $ @ $ +

Rada Naukowa &- . / $ 8 $ GK &- ! \ f * g ]% ; ` &- 0 1 H A H * $ h Y &- 2 " 3- 4 & C ? \ f * ]< ; ` 5 " 62 2 \ f * 8 $ ]C $ ` &- $ , 7 % F 8 G = $ H $ $ K H &- 8 /- 7 2 C \ ! f ]\ ` &- 6" '- 7 \ & $+ + + &- .- 0 ! H * ] ` &- . ! ! \ f ]% ; ` &- / ! , % F 8 G = $ H $ $ K H 3 %- ! \ f * ]< ; ` &- . 9 H " / Y 8 &- $ ' i!f f j C \ f ]\ ` &- " # H " / Y " % A / Y &- . $ . \ f ] `

$ $ @ ; J @ 8 /?A.Z < % HC#A[ . A CH.\% ]H.^ LEUW_ TM LD` J " J@ @ " $ H C? + Y ;Y X ; ; C X $ @ @ J $ $ $ @ + ;Y Y ] * ; Y` ; ; +

&- # $ . l \ f ] 8 `

; A ; C @ ; $ $ @ @ TE + ] $ $ K * ; $ X U LELU + + LWWWD`+ $ +

" $ ?8 = H * % $ ? 8 $ <$@Z ]C $ `

&- : $ H " ; !

&- " ; < ? h Y ; $ $ % $ K $ J @ !% = ; Y ; bF Y @ $ $ @ $ K ;Y ; X $ X ; Hc . Hc H A +

&- ' =2 % f $ * % ]% ; ` &- : :, H? \ f @ ] ` &- " 0- 3 i f j C \ f ]\ `

$ $ @ = B J $ $ WET> #\C>LEUW b K C % " bF ;Y Y X+

$ $ @ H%%C UMLT WULQ + LQ C L>LELL

Od Redakcji

Algorytm regulacji odpornej ADRC – dobór nastaw i sposób dyskretnej implementacji @ # . . = ? # H$ $

. c \ L# m#

! " # $ $ % Improved Control of Mesh Density in Adaptive Tetrahedral Meshes for Finite Element Modeling \ X b ; $ $ K &

29 35

# $ ! " $ % Sensitivity Limits and Functional Characteristics of Fluxgate Sensors with ! " # < b H * ; ; K * p $ $ $ X K

& Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique $ $ ; @ X *

/ $ ! " $% & ' wszystkimi korelacjami \ * % ! * $ * p ^ @ .

Informacje dla Autorów

% H% ? Ah.H

Kalendarium

64 $ Profesor Edward Jezierski 68

Nasze wydawnictwa

Nasze monografie

70 q

!( ) *

•

N R 2/2022

# A# . H

Drodzy Czytelnicy, / " $ * $ ; $ ; ; b $ K @ K + * A U LELL + ;Y $ X ; K " K K K + # ; " " b X $ $ ; $ $ $ $ K ; @ b$ $ + LELL $ ; ; + $ ;Y LEUT=LELU $ $ @ i Y X @ ; Yj+ $ ; $ Y @ @ ; @ K K ; ; @X Y X $ $+ / X @ Y " $ @ ; $ $ $ $ ; + @ ; + bF K ; ; X Y @Y K $ Y Y X+ . Y $ Y Y Y ;Y+ Y $ @ "Y $ ; $ ; = @ ; $ bF K + #@ ;Y Y ; bF $ = b$ K" TE+ $ $ $ = $ K K ; + X $ $ X $ $ b $ ; ;Y K F Y * ;X K $ ; $+ / X $ @ ; + $ ; @ X [[^H * ; $ + ; ; H ; LELL + @ "Y $ $ $ $ ;X ; ; ; + b X $ ; @ $ [^ H ; LELm = X Y Y $ LELm + $ = % 8 ; G = $ H $ $ K H = Y $ ; $ + Redaktor naczelny kwartalnika Pomiary Automatyka Robotyka *+ @+ "+ . / &

•

N R 2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022, 5–13, DOI: 10.14313/PAR_244/5

* + + & *-. / & 04 40 &

6 6 7 $ 8 & * $ . 0 ; $ < . 0 < + # $ & * = $ 6 $ >!?@>A 6 7

Streszczenie: W niniejszej pracy został przedstawiony algorytm regulacji odpornej Active Disturbance Rejection Control obiektem aerodynamicznym o dwóch stopniach swobody. Pokazano pełne wyprowadzenia równań algorytmu regulacji oraz wartości nastaw w zależności od pożądanych właściwości układu, na podstawie dynamiki obiektu oscylacyjnego drugiego rzędu. Dokonano dyskretyzacji równań algorytmu regulacji i zaproponowano jego dyskretną implementację. Testy przeprowadzono na laboratoryjnym zestawie aerodynamicznym firmy Inteco, którego model matematyczny jest silnie nieliniowy, ma dwa stopnie swobody i sprzężenia skrośne. Jakość działania oceniona została na podstawie przebiegów czasowych, a także całkowych wskaźników jakości. Przeprowadzone badania pokazują przewagę zastosowanego algorytmu nad regulacja PID dla badanego systemu. Przedstawiony algorytm regulacji cechuje się także większą przenośnością – nastawy dobierane są tylko w oparciu o rząd obiektu i teoretycznie raz dobrane są właściwe, niezależnie od modelu matematycznego. Zaproponowane równania dyskretne mogą zostać zaimplementowane z użyciem dowolnego języka programowania dla teoretycznie dowolnego obiektu, przy uwzględnieniu rzędu jego dynamiki. $, V *-. $ + 6<-$ B & $ 0 $ & 04 $ 0

1. Wprowadzenie Nieustannie w automatyce prowadzone są badania nad precyzyjnym sterowaniem złożonymi obiektami – szczególnie nieliniowymi, o wielu stopniach swobody. Można w takim sterowaniu wykorzystywać metody linearyzacji w punkcie lub przez sprzężenie zwrotne [12, 11, 14]. Przykłady wykorzystania statycznej oraz dynamicznej linearyzacji modelu do syntezy układów regulacji można znaleźć m.in. w [21, 15, 13]. Istnieją także techniki niewymagające dokładnej znajomości modelu fizycznego do syntezy regulatora, w szczególności oparte na metodach sztucznej inteligencji, jak sieci neuronowe [23] czy systemy rozmyte [24]. Dla takich technik model oparty jest nie na właściwościach fizycznych obiektu, ale do uczenia algorytmów wykorzystuje się najczęściej dane pomiarowe z wielu różnych eksperymentów. W przypadku braku znajomości modelu, lub

/ V " # $ % / , & '' !' '!'' $ & & (( !) '!'' !

też konieczności dopasowania nastaw regulatora do zmieniających się warunków pracy, można wykorzystać sterowanie adaptacyjne lub odporne, gdzie razem z regulacją przeprowadza się identyfikację parametrów obiektu [25, 4]. W pracy skupiono się na regulacji odpornej z estymacja stanu obiektu regulacji. Jednym z popularnych rodzajów takiej regulacji jest ADRC (ang. Active Disturbance Rejection Control), które upraszcza obiekt do postaci wielokrotnego integratora i nie wymaga pełnej znajomości modelu obiektu. Zostało ono przedstawione po raz pierwszy w [6] i jest do dziś szeroko wykorzystywane w robotyce [17, 26], czy też w napędach elektrycznych [16, 28]. W pracy nacisk został położony na wyprowadzenie równań i sposób wyznaczania nastaw występujących w regulacji ADRC. Struktura algorytmu regulacji została wyprowadzona dla prostego obiektu dwuinercyjnego. Przedstawiony został sposób dyskretnej implementacji całego algorytmu, a także przewaga tej metody nad klasyczną regulacją PID w przypadku złożonych obiektów nieliniowych. W rozdziale drugim została opisana struktura ADRC, z podziałem na poszczególne jego komponenty. Trzeci rozdział przedstawia sposób dyskretyzacji i dyskretną postać użytych równań. W rozdziale czwartym opisano obiekt regulacji. Rozdział piąty zawiera wyniki badań przeprowadzonych na rzeczywistym obiekcie i wnioski do nich, a rozdział szósty – podsumowanie i uwagi końcowe. Najważniejsze symbole stosowane w artykule opisano w Tabeli 1.

Algorytm regulacji odpornej ADRC – dobór nastaw i sposób dyskretnej implementacji Tabela 1. Wyjaśnienie symboli użytych w artykule Table 1. Explanation of the symbols used in the article Symbol

x = x(t)

(1)

Wyjaśnienie

wektor stanu w czasie t estymata wektora zmiennych stanu

(2)

wartość i-tej zmiennej stanu

wartość zadana (referencyjna)

sygnał sterujący obiektem (wymuszenie)

wyjście z pętli sterującej ADRC

sygnał wyjściowy (mierzony)

rząd systemu

zakłócenie wewnętrzne

Zmienna y(t) oznacza mierzone wyjście, a u(t) to sygnał sterujący obiektem. Wprowadzono do równania dodatkową zmienną w(t), oznaczającą zakłócenie wewnętrzne (niepewności modelowania). Wszystkie opisywane sygnały są funkcjami czasu ciągłego t, ale dla uproszczenia w dalszej części została pominięta jawna zależność od czasu. Parametry obiektu regulacji to wzmocnienie k oraz dwie stałe czasowe oznaczone odpowiednio przez T1 i T2. Aby sprowadzić układ do postaci wielokrotnego integratora (w tym przypadku podwójnego), należy przyjąć, że wewnętrzna dynamika obiektu stanowi dodatkowe zakłócenie g(·). Zabieg ten pozwoli doprowadzić równanie (1) do postaci

współczynnik skalujący wymuszenie i jego estymata

uchyb regulacji

błąd estymacji

y = g (t , y , y ) + w + bu,

g(·)

funkcja określająca dynamikę wewnętrzną obiektu regulacji

f(·)

funkcja określająca całkowite zaburzenie systemu

wektor wzmocnień obserwatora stanu

wektor wzmocnień sprzężenia od stanu

- / "

⎛T T ⎞ 1 y gdzie określa się funkcję g (⋅) = − ⎜ 1 + 2 ⎟ y − T1T2 ⎝ T2 T1 ⎠ współczynnik skalujący wymuszenie b =

⎧ x 1 = x 2 ⎪ ⎨x 2 = f (t , y , y , w ) + bu . ⎪ y =x 1 ⎩

Rys. 1. Schemat ogólny układu z regulacją ADRC Fig. 1. General scheme of system with ADRC control

•

= x2 = x 3 + bu . = f (t , y , y , w )

(6)

= x1

Równania stanu obiektu (1) z pominięciem zakłócenia można zapisać w postaci macierzowej, zakładając jedno wymuszenie i jedno wyjście: ⎧⎪x = Ax + bu , (7) ⎨ T ⎪⎩y = c x + du

Wyprowadzenie równań rozszerzonego obserwatora stanu ESO (ang. Extended State Observer) przedstawiono na przykładzie obiektu drugiego rzędu (n = 2) – członu dwuinercyjnego danego równaniem różniczkowym oraz transmitancją wymuszeniową G(s) i zakłóceniową Gz(s): M

(5)

Metoda ADRC zakłada wprowadzenie do układu dodatkowej zmiennej stanu odwzorowującej dynamikę oraz błędy procesu. Do powyższego opisu wprowadzić należy zmienną x 3 = f (⋅) , reprezentującą całkowite zaburzenie. Takie sztuczne zwiększenie rzędu modelu pozwala oddzielić zapis dynamiki zaburzeń. Otrzymuje się zatem ostateczną postać równań stanu: ⎧ x 1 ⎪x ⎪ 2 ⎨ ⎪x 3 ⎪y ⎩

- - # , "

(4)

Dla równania różniczkowego (4) zapis w postaci równań stanu po obraniu zmiennych fazowych x1 = y , x 2 = y , przedstawia się następująco:

Metoda regulacji ADRC sprowadza model obiektu do postaci wielokrotnego integratora. Obiekt opisuje się za pomocą równań stanu, a cały algorytm ADRC składa się z regulatora oraz rozszerzonego obserwatora stanu, estymującego zmienne wewnętrzne (Rys. 1). Do wyznaczenia uchybu regulacji wykorzystuje się estymatę wyjścia, ponieważ z założenia obserwator powinien także filtrować szumy pomiarowe. Nie jest konieczna znajomość modelu rozważanego procesu, bowiem zarówno struktura wewnętrzna, jak i zewnętrzne zakłócenia, stanowią dodatkową zmienną stanu obserwatora. Krotność całkowania zależy od rzędu obiektu n lub jego przybliżenia.

k . Dodatkowo nieT1T2

y = f (t , y , y , w ) + bu.

" / #%

oraz

znaną dynamikę obiektu wraz z zakłóceniem wewnętrznym można uznać za całkowite zaburzenie systemu f (⋅) = g (⋅) + w i zapisać równanie różniczkowe (3) po wprowadzeniu nowej zmiennej

-X- ' &

(3)

gdzie: A – macierz procesu (układu); – wektor wymuszenia (sterowania); – wektor odpowiedzi (wyjścia); d – element transmisyjny. A

•

N R 2/2022

Dla obiektu (2) macierzowe równania stanu będą miały postać uwzględniającą całkowite zaburzenie (w ogólności może być to funkcja nieliniowa) w osobnym wektorze

⎧ ⎡ x 1 ⎤ ⎡0 1 ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎪ ⎢x 2 ⎥ = ⎢0 0 ⎨ ⎢x ⎥ ⎢0 0 ⎪⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎪ y = ⎡1 0 ⎣ ⎩

0 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢x 2 ⎥ + ⎢b ⎥ u + ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ f (⋅) ⎥⎦ . 0 ⎥⎦ ⎢⎣x 3 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ 0 ⎦⎤ x

(8)

systemów nieliniowych ten parametr może także być funkcją innych zmiennych lub czasu b̂ = h (⋅) [27, 3].

-Z- ( ( Do estymacji zmiennych stanu wykorzystano obserwator pełnego rzędu Luenbergera [1, 2] o równaniach stanu (9), który wprowadza wektor wzmocnień korygujących model o błędy estymacji. Pełne równanie stanu obserwatora Luenbergera dane jest poniżej:

- - Y " (

(12)

W praktyce wielkość x3 jest niemierzalna, dlatego też buduje się obserwator stanu, zawsze rzędu o 1 wyższego od rzędu obiektu. Dla każdej i-tej zmiennej stanu wprowadza się wzmocnienie obserwatora li, które określa wpływ błędu estymacji na wartość danej zmiennej. Obserwator opisany jest następującymi równaniami:

⎧ xˆ 1 ⎪ ⎪xˆ 2 ⎨ ⎪xˆ 3 ⎪ ⎩y

= xˆ2 + l1eo ˆ +l e = xˆ3 + bu 2 o = l3eo = xˆ1

(9)

gdzie li oznacza wzmocnienie obserwatora dla i-tej zmiennej stanu, eo = y − yˆ = y − xˆ1 jest błędem estymacji, y to mierzony sygnał wyjściowy z obiektu, natomiast xˆi stanowi estymatę i-tej zmiennej stanu. Wart uwagi jest fakt, iż całkowite zaburzenie w równaniu obserwatora zostało pominięte. Rozszerzony obserwator stanu ESO (ang. Extended State Observer) ma za zadanie odtworzenie dynamiki obiektu bez znajomości jego modelu. Zakłada się estymatę bˆ, ponieważ przy nieznajomości dokładnego modelu obiektu, często wyznacza się ten współczynnik empirycznie. Estymacja x3 w pętli wewnętrznej ma za zadanie kompensować wpływ zakłóceń na układ. Obiera się nowy sygnał sterujący u0, który będzie stanowił wyjście z pętli wewnętrznej regulacji.

Można przedstawić wyprowadzenie jego wartości zakładając, że obiekt jest podwójnym integratorem (Rys. 2)

(10)

Przyrównując równania z układu (10), otrzymuje się zależˆ , z której następnie można odtworzyć właściwą ność u0 = xˆ3 + bu wartość sygnału sterującego w postaci u=

−xˆ3 + u0 . bˆ

(11)

Podstawiając powyższą zależność do (4) i zakładając, że f (⋅) ≈ xˆ3 oraz b ≈ bˆ, otrzymuje się zakładany model obiektu y = f (t , y , y , w ) + bu = f (t , y , y , w ) + b

⎡ −l1 ⎢ A0 = ⎢ −l2 ⎢⎣ −l3

1 0⎤ ⎥ 0 1⎥ . 0 0 ⎥⎦

(13)

Nastawy obserwatora dobiera się tak, aby zapewnić zadaną dynamikę podążania estymaty wyjścia za sygnałem mierzonym [5]. Nastawy uzależnia się od zadanej pulsacji granicznej pasma przenoszenia ω 0 , określając równanie charakterystyczne obserwatora w postaci

(s + ω0 )3 = 0 ⇒ s 3 + 3ω0s 2 + 3ω02s + ω03 = 0.

(14)

Wyliczając równanie charakterystyczne obserwatora określanego macierzą procesu (13), gdzie I jest macierzą jednostkową o rozmiarze n × n (tutaj 3 × 3), otrzyma się sI − A0 = 0 ⇒ s 3 + l1s 2 + l2s + l3 = 0.

(15)

Po przyrównaniu współczynników wielomianów (14) oraz (15) otrzymuje się zależności l1 = 3ω 0 ,

l2 = 3ω 02 ,

l3 = ω 03 .

(16)

Wartość ω 0 (parametr projektowy) dobiera się tak, by uzyskać zadaną dynamikę obserwatora stanu ESO. Wzrost wartości ω 0 zapewnia szybszą dynamikę obserwatora, ale przyspieszenie śledzenia wyjścia jest okupione większą wrażliwością na zakłócenia pomiarowe.

Rys. 2. Uproszczenie obiektu do podwójnego integratora Fig. 2. Object simplification to double integrator

ˆ ⎪⎧y = f (⋅) + bu ≈ xˆ3 + bu . ⎨ ⎪⎩y = u0

Za dynamikę śledzenia mierzonego sygnału przez obserwator odpowiada macierz A0 = A−lcT. Przyjmując macierz wzmocnień obserwatora l = [ l1, l2, l3 ]T, można zapisać

−xˆ3 + u0 ≈ u0 . bˆ

Warto pamiętać, że parametr b̂ może mieć krytyczny wpływ na stabilność układu. Im większa zostanie obrana jego wartość, tym łagodniejsze będą zmiany sygnału sterującego obiektem u oraz może nastąpić poprawa stabilności układu. W przypadku

-[- $ ( " Algorytm ADRC zawiera dwie pętle (Rys. 1). Zewnętrzna służy do estymacji stanu, wewnętrzna odpowiada za regulację i powinna z założenia działać szybciej niż obserwator [10]. Regulator będzie zwracał sztucznie dodany sygnał sterujący u0 oraz będzie działał na wzór klasycznego regulatora PD [8]. Prawo sterowania przedstawia wzór u0 (t ) = kPer (t ) − kDy (t ) ≈ kP [r (t ) − xˆ1 (t )] − kDxˆ2 (t ) ,

(17)

gdzie kP i kD to współczynniki torów odpowiednio proporcjonalnego oraz różniczkującego, r(t) to sygnał zadany, er (t ) = r (t ) − yˆ (t ) oznacza uchyb regulacji. Do toru różniczkującego doprowadzono tylko estymowany sygnał prędkości, aby uniknąć gwałtownych zmian sygnału sterującego przy pojawieniu się skokowych zmian wartości zadanej. Po podstawieniu zależności (10) do równania (17) można wyznaczyć wielomian charakterystyczny transmitancji uchybowej. Nastawy regulatora wyznaczone będą metodą lokowania biegunów, porównując współczynniki wielomianu charakterystycznego klasycznego regulatora PD.

Algorytm regulacji odpornej ADRC – dobór nastaw i sposób dyskretnej implementacji e r + kDe r + kPer = 0 ⇒ s 2 + kDs + kP = 0

gdzie Tp oznacza okres próbkowania, a k to numer kroku czasowego.

(18)

oraz członu oscylacyjnego [9] s 2 + 2ξωns + ωn2 = 0,

Po podstawieniu powyższego za x (t ) w równaniu ciągłym (7), można wyznaczyć dyskretną postać równań stanu

(19)

(

gdzie 0 < ξ ≤ 1 to współczynnik tłumienia, a ωn to pulsacja drgań własnych układu zamkniętego (parametry projektowe). Zazwyczaj stosuje się takie wartości parametrów, aby spełniona była zależność ω 0 ≈ (3 − 5) ωn [5]. Przyjmuje się też zwykle ξ = 1, by ograniczyć oscylacje w układzie. W szczególnych przypadkach zmniejsza się ten współczynnik – w celu skrócenia procesów przejściowych. Po przyrównaniu (18) i (19) otrzymuje się wartości nastaw regulatora (20) kP = 2ξωn , kD = ωn2 .

⎧ ⎡xˆ1(k +1) ⎤ ⎡xˆ1(k ) ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡l1Tp ⎤ ⎪⎢ ⎥ ⎡⎢1 Tp 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎢xˆ2(k +1) ⎥ = 0 1 Tp ⎢xˆ2(k ) ⎥ + ⎢bTp ⎥ u (k ) + ⎢⎢l2Tp ⎥⎥ y (k ) − yˆ(k ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎨ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎢ (k ) ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢l3Tp ⎥ ˆ ˆ ⎦ ⎣⎢x 3 ⎦⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎣⎢x 3 ⎦⎥ ⎣ ⎪ yˆ(k ) = ⎡⎣1 0 0 ⎤⎦ xˆ(k ) ⎪⎩

(

Ze stabilnego układu ciągłego można uzyskać tą metodą niestabilny układ dyskretny – aby zachować stabilność dobrany okres próbkowania Tp musi być odpowiednio mały (wystarczająco dokładne odwzorowanie). Dla wartości Tp → 0 ta metoda zapewnia bardzo dobrą aproksymację obiektu.

- - < " Prawo sterowania dane równaniem (11) można zapisać w dyskretnej postaci z użyciem zmiennych z obserwatora. Wartym uwagi jest fakt, iż nie trzeba tutaj używać aproksymacji pochodnej w dziedzinie dyskretnej, ponieważ szybkość zmian sygnału pomiarowego y odzwierciedla zmienna x̂ 2 z obserwatora. Taki zabieg może zapobiec gwałtownym zmianom sterowania w wyniku wystąpienia silnego zaszumienia pomiarowego [7]

-\- : ] ^ Poza subiektywną oceną uzyskanych wyników, jakość regulacji można ocenić także na podstawie wskaźników, będących liczbowymi miarami jakości. Do oceny regulacji wybrano wskaźniki Jise (ISE, ang. Integral of the Squared Error), Jiae (IAE, ang. Integral of the Absolute Error) [9]. Do oceny jakości estymacji sygnału pomiarowego zaproponowany został wskaźnik Jest, stanowiący całkę z kwadratu błędu estymacji wyjścia. Wskaźniki dane są wzorami:

J ise = ∫ er2 (t ) dt = ∫ [r (t ) − yˆ (t )] dt ,

(21)

J iae = ∫ er (t ) dt = ∫ r (t ) − yˆ (t )dt ,

(22)

J est = ∫ eo2 (t ) dt = ∫ [y (t ) − xˆ1 (t )] dt .

(23)

u (k ) =

Do dyskretyzacji równań stanu została użyta metoda ekstrapolacyjna Eulera (przekształcenie δ ), oparta na aproksymacji pochodnej

(25)

•

)

Obiekt TRAS (ang. Two Rotor Aerodynamical System) to zestaw laboratoryjny firmy Inteco. Składa się z dwóch prostopadłych do siebie aerodynamicznych rotorów, dzięki czemu jego dynamika ma przypominać zachowanie helikoptera. Zmiana pozycji pionowej lub poziomej belki umieszczonej na podstawie następuje w wyniku działania sił generowanych przez obrót śmigieł (przedniego i tylnego – Rys. 3), które z kolei napędzane są dwoma silnikami prądu stałego. Parametry ruchu w płaszczyźnie poziomej oznaczane będą indeksem h (ang. horizontal), natomiast w płaszczyźnie pionowej – v (ang. vertical). Model systemu jest silnie nieliniowy i ma dwa stopnie swobody, wychylenie pionowe oraz poziome. Ma także sprzężenia skrośne, wynikające ze wzajemnego oddziaływania na siebie stopni swobody. Ruch każdego ze śmigieł wpływa na przemieszczenie belki w obu płaszczyznach. W układzie są zrealizowane dwa wymuszenia: napięcia działające na silniki, napędzające ruch śmigieł. Sygnałami mierzonymi są położenia kątowe belki α h i α v , a ich pochodne stanowią prędkości, odpowiednio Ωh oraz Ωv(oznaczone na Rys. 3).

-X- (

(

Z-X- %

- / #%

)

Z- 5( "

(24)

dx (t ) x (k +1) + x (k ) ≈ , dt Tp

(

1 (k ) 1 u0 − xˆ3(k ) = ⎡kP r (k ) − xˆ1(k ) − kDxˆ2(k ) − xˆ3(k ) ⎤ . (28) ⎦ bˆ bˆ ⎣

W przypadku wskaźników jakości (21)–(24) zastosowano aproksymację całkowania metodą prostokątów. Przy dostatecznie dokładnym próbkowaniu różnice aproksymacji z wartościami wyznaczonymi w środowisku Simulink były niezauważalne.

W pracy zostały porównane wskaźniki (21), (22) do oceny jakości regulacji w przypadku ADRC oraz PID. Wskaźniki te różnią się właściwościami – na przykład wskaźnik Jise rośnie głównie dla większych od jedności wartości uchybu, zaś oscylacje o niewielkiej amplitudzie wokół wartości zadanej mają marginalny wpływ na wartość wskaźnika. Wskaźnik (23) został zaproponowany, aby ocenić jakość estymacji algorytmu ADRC. Dodatkowo został zaimplementowany wskaźnik jakości wyznaczający koszt sterowania, dany wzorem J u = ∫ u 2 (t )dt .

)

(27)

)

(26)

Dyskretne równania dynamiki obserwatora dla obiektu (8), z uwzględnieniem błędu estymacji i macierzy wzmocnień, będą miały postać

Struktura regulatora będzie niezmienna niezależnie od rzędu obiektu. Natomiast w przypadku zmiany rzędu n należy zmodyfikować strukturę ESO, zawsze analogicznie do przedstawionego wcześniej wyprowadzenia, zwiększając tylko rozmiar przestrzeni stanu. Do regulatora doprowadza się zawsze zmienne stanu x̂1 oraz x̂ 2 jako estymowane wyjście i jego pochodną, natomiast od sygnału u0 odejmuje się ostatnią zmienną stanu xˆn +1, gdzie n oznacza rząd modelu. Regulator i obserwator ESO można stroić niezależnie, zgodnie z zasadą separacji [10]. Warto zauważyć, że w ogólności nastawy regulatora w ADRC stanowią wzmocnienia sprzężenia od stanu u0 = −k Tx , które dobiera się na podstawie równania charakterystycznego w układzie zamkniętym sI − A − b k T = 0.

(

)

⎧⎪x (k +1) = I + ATp x (k ) + bTpu (k ) . ⎨ (k ) T (k ) (k ) ⎪⎩ y = c x + du

•

N R 2/2022

Z- - $ " " ( " ( W przypadku regulacji PID zostały wykorzystane cztery regulatory, ze względu na występujące w układzie sprzężenia skrośne. Sygnał wymuszający dla pojedynczego stopnia swobody będzie stanoRys. 3. Schemat budowy systemu z zaznaczonymi wychyleniami oraz siłami śmigieł wił sumę składowych pochoFig. 3. Diagram of the system structure with marked deflections and propeller forces dzących z regulatorów od każdego z wyjść układu. ADRC traktuje natomiast sprzężenia skrośne jako części całkowitych Z- - 9 , zaburzeń systemu, dlatego też wystarczające jest użycie dwóch Na Rys. 4 przedstawiono blokowy schemat modelu rozważanego sterowników – dla ruchu w płaszczyźnie poziomej oraz pionowej. Struktury regulatorów przedstawiono na Rys. 5. układu dla dwóch stopni swobody. Oznaczenia na schemacie to: α – wychylenie belki; – prędkość kątowa belki; K – moment Do budowy regulatora przyjęto uproszczone rzędy modeli dla pędu; M – moment obrotowy; F – siła aerodynamiczna (siła ruchu poziomego (horyzontalnego) n = 2 oraz n = 3 dla sterociągu) silnika; l – odległość silnika od osi obrotu (ramię siły wania w płaszczyźnie pionowej (wertykalnej). Przyjęto wartości aerodynamicznej); ω – prędkość kątowa silnika; U – współczynparametrów ω 0,h = 10, ωn ,h = 1,58, ξh = 1; ω 0,v = 2, ωn ,v = 2,45, ξv = 1. nik wypełnienia PWM sygnału silnika, z zakresu [−1; 1]; f – współczynnik tarcia dla silnika; J – moment bezwładności względem osi; G – moment tłumiący wirnika; H – model silnika prądu stałego. Oznaczenia stopnia swobody znajdują się w indeksach dolnych – h lub v. Nieliniowe równania stanu dla zestawu (określone na podstawie schematu) można znaleźć w [29]. W praktyce trudne jest określenie dokładnego modelu tego obiektu, a jego właściwości zależeć będą od obranego punktu pracy. Stąd też często wykorzystuje się sterowanie niewymagające znajomości fizycznego Rys. 5. Struktura regulatorów PID oraz ADRC Fig. 5. PID and ADRC control structures modelu, jak na przykład sterowanie rozmyte [22].

Rys. 4. Schemat modelu o dwóch stopniach swobody Fig. 4. Scheme of 2-DOF model

Rys. 6. Blok realizujący dyskretny algorytm ADRC w środowisku Simulink Fig. 6. A block that implements a discrete ADRC driver in the Simulink environment

Producent zestawu TRAS dostarcza użytkownikowi interfejs graficzny bazujący na pakiecie numerycznym MATLAB, za pomocą którego można łączyć się z obiektem, a także samodzielnie implementować w środowisku Simulink różne metody sterowania. MATLAB z kolei łączy się z kontrolerem sterującym, mikrokontrolerem z systemem czasu rzeczywistego, umożliwiającym odczyt pomiarów wychylenia z enkoderów oraz zadawanie napięć sterujących z poziomu programu. Do realizacji algorytmu ADRC posłużył blok MATLAB Function. Na Rys. 6 przedstawiono wygląd bloku generującego sterowanie w płaszczyźnie poziomej. Wewnątrz pokazanego bloku zaimplementowano dwie pętle – regulatora i obserwatora – przedstawione na Rys. 1. Analogicznie zrealizowany został algorytm regulacji dla płaszczyzny pionowej. Na wejścia wspomnianego bloku funkcyjnego podawane są odpowiednio: sygnał sterujący z chwili poprzedniej, mierzone położenie kątowe, estymowany wektor stanu (zmienna glo-

Algorytm regulacji odpornej ADRC – dobór nastaw i sposób dyskretnej implementacji balna), pozycja zadana oraz wskaźniki jakości (zmienna globalna). Na wyjściu znajduje się uaktualniany wektor stanu, sygnał sterujący oraz wskaźniki jakości. Nazewnictwo zmiennych w funkcji zostało na potrzeby programu zmodyfikowane w stosunku do oznaczeń z niniejszej publikacji.

poziomym oraz sinusoidalna w ruchu pionowym. Eksperyment trwał 90 sekund i w jego trakcie zebrano wartości sygnałów pomiarowych porównując je z wartościami referencyjnymi. Obliczone zostały całkowe wskaźniki jakości dotyczące regulacji (21), (22), a także estymacji (23) w przypadku ADRC. Porównano też koszty sterowania (24). Dla metody ADRC uchyb liczony był jako różnica wartości referencyjnej i estymowanej xˆ1, ponieważ ta była używana w algorytmie regulacji. Zastosowano regulatory PID dostarczone w programie Demo przez firmę Inteco. Podczas testów założono okres próbkowania Tp = 0,01 s. Dla każdego z regulatorów wykonane zostały dwa testy. Pierwszy z nich prezentuje działanie układu bez obciążenia, natomiast w drugim przypadku w czasie około t = 32 s dołożono do belki obciążenie o masie 0,022 kg, działające na płaszczyznę pionową. Wyniki eksperymentów zamieszczono na wykresach (Rys. 7–9) oraz w Tabeli 2. Porównane zostało działanie układu dla regulacji ADRC oraz PID w śledzeniu referencyjnych trajektorii w dwóch stopniach swobody. Na podstawie uzyskanych wyników eksperymentów przebiegów czasowych oraz wskaźnika Jiae widać przewagę tego pierwszego rozwiązania, szczególnie w kontekście odporności na zakłócenia wewnętrzne. Obrazuje to bardzo dobrze wpływ sprzężeń skrośnych – w przypadku zmiany zadanej pozycji kątowej w poziomie, na przebiegu wertykalnym są widoczne zakłócenia. Zauważalnie szybciej tłumił te zakłócenia algorytm ADRC, choć większą precyzja regulacji była okupiona nieco większym kosztem sterowania.

[- : ( < Przeprowadzono eksperymenty porównawcze metod regulacji, uruchamiając zestaw w układzie zamkniętym dla algorytmu PID oraz ADRC. Zadana była trajektoria prostokątna w ruchu Tabela 2. Zestawienie wartości wskaźników jakości Table 2. The values of quality indices ADRC, nieobc. PID, nieobc.

ADRC, obc.

PID, obc.

Jise,h

2,4970

2,3150

2,4002

2,0604

Jiae,h

5,5610

8,0960

5,5688

6,5992

Jest,h

1,0140 · 10−4

—

1,4432 · 10−4

—

Jise,v

0,2192

0,6996

0,4959

0,9550

Jiae,v

3,7320

6,3160

3,9355

5,6184

Jest,v

2,9780 · 10−5

—

1,0829 · 10−4

—

Ju,v

4,3138

3,8331

2,0178·101

1,9409·101

Rys. 7. Wyniki testów dla PID oraz ADRC, bez obciążenia Fig. 7. Test results for PID and ADRC, without the load

Rys. 8. Wyniki testów dla PID oraz ADRC, z dodatkowym obciążeniem Fig. 8. Test results for PID and ADRC, with the additional load

•

N R 2/2022

kretyzacji w celu określenia jakości odwzorowania algorytmu, także w odniesieniu do zmiennego okresu próbkowania w układzie. Materiał uzupełniający: https://youtu.be/IcX0TCeBXXM

Y ( " &

Rys. 9. Przebiegi sygnału sterującego dla eksperymentów z obciążeniem Fig. 9. The plots of the control signal for the experiments with the load

W przypadku dołożenia obciążenia w trakcie trwania eksperymentu, dla obu algorytmów regulacji można zauważyć znaczny wzrost kosztu sterowania (Tab. 2, Rys. 9) mierzony dla płaszczyzny pionowej. Taka zmiana spowodowała także zmianę modelu obiektu, która algorytm ADRC traktuje jako dodatkowy składnik całkowitego zaburzenia. W przypadku ADRC także po tym zakłóceniu nie obserwuje się znaczących zmian w stosunku do testu bez zakłóceń. Dla regulacji PID widoczny jest wpływ zwiększenia inercji układu po dodatkowym obciążeniu. Ze względu na to łatwiej było wtedy utrzymać zadany poziom, do którego utrzymania również dążyła konstrukcja. Taki rodzaj zakłócenia poprawił zatem jakość regulacji dla algorytmu PID, wciąż jednak pozostawiając ADRC na pierwszym miejscu. Jedynie wyniki dla wskaźnika jakości Jise,h wskazują na lepszą regulację PID. Dzieje się tak, ponieważ wskaźnik ten jest wrażliwy na początkowy fragment przebiegu – po zmianie amplitudy sygnału referencyjnego. Układ z regulatorem PID działa wtedy szybciej. Wolniejsza odpowiedź układu dla ADRC, przy skokowej zmianie r(t), powoduje szybszy wzrost tego wskaźnika (całkowany jest kwadrat wszystkich wartości uchybów) na tyle, że późniejsze niedokładności w regulacji PID nie wpływają już zbytnio na końcowy wynik.

\- '

Głównym parametrem wymaganym przez algorytm ADRC jest dokładny lub przybliżony rząd systemu, a nastawy dobiera się w oparciu o pożądaną dynamikę układu zamkniętego. Zadaje się zatem odpowiedni współczynnik tłumienia i pulsację drgań własnych, którymi ma się cechować układ regulacji. Dynamika układu oraz zakłócenia wewnętrzne stanowią całkowite zaburzenie estymowane przez obserwator, dlatego też w przypadku zmiany obiektu regulacji nie jest konieczny ponowny dobór nastaw, jak może się dziać dla regulacji PID. Wartym uwagi jest fakt, że w przypadku konieczności skrócenia obliczeń można także podejmować próby redukcji rzędu n modelu w stosunku do oryginalnego systemu. Dodatkowo zaproponowane równania dyskretne mogą być łatwo i skutecznie zaimplementowane także dla innych systemów i na dowolnych urządzeniach. Planuje się kontynuację badań i rozszerzenie estymacji stanu w sterowniku o bardziej zaawansowane metody, jak filtr Kalmana [20] czy filtracja cząsteczkowa [19]. Śledzenie trajektorii sinusoidalnej dałoby się poprawić poprzez zastosowanie sprzężenia wyprzedzającego, jednak nie było to przedmiotem niniejszych badań. Sprawdzone zostaną także inne metody dys-

1. Bermúdez-Rodríguez J.I., De León H.H., Velázquez-Trujillo S., Gómez E.E., Enríquez-Zárate J., Design of a state observer type Luenberger: used in a cantiliever beam, [in:] 15th Iberian Conference on Information Systems and Technologies (CISTI), 2020, DOI: 10.23919/CISTI49556.2020.9141071. 2. Bhattacharyya S., Observer design for linear systems with unknown inputs, “IEEE Transactions on Automatic Control”, Vol. 23, No. 3, 1978, 483–484, DOI: 10.1109/TAC.1978.1101758. 3. Chen S., Xue W., Zhong S., Huang, Y., On comparison of modified ADRCs for nonlinear uncertain systems with time delay, “Science China Information Sciences”, Vol. 61, No. 7, 2018, DOI: 10.1007/s11432-017-9403-x. 4. Cortiella A., Park K.C., Doostan A., Sparse identification of nonlinear dynamical systems via reweighted l1-regularized least squares. “Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering”, Vol. 376, 2021, DOI: 10.1016/j.cma.2020.113620. 5. Gao Z., Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning. [In:] Proceedings of the American Control Conference, Vol. 6, 2006, 4989–4996, DOI: 10.1109/ACC.2003.1242516. 6. Gao Z., Huang Y., Han J., An alternative paradigm for control system design. [In:] Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, Vol. 5, 2001, 4578–4585, DOI: 10.1109/CDC.2001.980926. 7. Gruk W., Habecki S., Piotrowski R., Implementacja niekonwencjonalnych regulatorów PID w sterowniku programowalnym. „Pomiary Automatyka Robotyka”, Vol. 21, No. 1, 2017, 31–40, DOI: 10.14313/PAR_223/31. 8. Han S., Wang H., Tian Y., A linear discrete-time extended state observer-based intelligent PD controller for a 12 DOFs lower limb exoskeleton LLE-RePA. “Mechanical Systems and Signal Processing”, Vol. 138, 2020, DOI: 10.1016/j.ymssp.2019.106547. 9. Horla D., Podstawy automatyki – ćwiczenia laboratoryjne, wyd. 4, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2011, ISBN: 978-83-7775-379-8. 10. Horla D., Sterowanie adaptacyjne – ćwiczenia laboratoryjne, wyd. 4, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2019. ISBN: 978-83-7775-560-0. 11. Kaleel A., Al-Shuka H., Hussein O., Adaptive Approximation-Based Feedback Linearization Control for a Nonlinear Smart Thin Plate. “International Journal of Mechanical Engineering and Robotics Research”, Vol. 10, No. 8, 2021, 458–463. 12. Khazaei J., Tu Z., Asrari A., Liu W., Feedback linearization control of converters with LCL filter for weak AC grid integration. “IEEE Transactions on Power Systems”, Vol. 36, No. 4, 2021, 3740–3750, DOI: 10.1109/TPWRS.2021.3049324. 13. Krim S., Gdaim S., Mtibaa, A., Mimouni M.F., FPGA-based real-time implementation of a direct torque control with second-order sliding mode control and input–output feedback linearisation for an induction motor drive. “IET Electric Power Applications”, Vol. 14, No. 3, 2020, 480–491, DOI: 10.1049/iet-epa.2018.5829. 14. Li X., Chen X., A Multi-Index Feedback Linearization Control for a Buck-Boost Converter. “Energies”, Vol. 14, No. 5, 2021, DOI: 10.3390/en14051496. 15. Lin C.K., Liu T.H., Yang, S.H., Nonlinear position controller design with input–output linearisation technique for an

Algorytm regulacji odpornej ADRC – dobór nastaw i sposób dyskretnej implementacji

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24. Šitum Ž., Ćorić D., Position Control of a Pneumatic Drive Using a Fuzzy Controller with An Analytic Activation Function. “Sensors”, Vol. 22, No. 3, 2022, DOI: 10.3390/s22031004. 25. Thenozhi S., Concha A., Resendiz J.R., A contraction theory-based tracking control design with friction identification and compensation. “IEEE Transactions on Industrial Electronics”, Vol. 69, No. 6, 2022, 6111–6120, DOI: 10.1109/TIE.2021.3094456. 26. Xi L., Shao Y., Zou S., Ma Z., ADRC Based on Artificial Neural Network for a Six-rotor UAV. [In:] 40th Chinese Control Conference (CCC), 2021, 7809–7815. IEEE. 27. Xue W., Hang Y., On performance analysis of ADRC for a class of MIMO lower-triangular nonlinear uncertain systems, “ISA transactions”, Vol. 53, No. 4, 2014, 955–962, DOI: 10.1016/j.isatra.2014.02.002. 28. Zhou W., Guo S., Guo J., Meng F., Chen Z., ADRC-Based Control Method for the Vascular Intervention Master–Slave Surgical Robotic System. “Micromachines”, Vol. 12, No. 12, 2021, DOI: 10.3390/mi12121439.

interior permanent magnet synchronous motor control system. “IET Power Electronics”, Vol. 1, No. 1, 2008, 14–26, DOI: 10.1049/iet-pel_20070177. Lu W., Li Q., Lu K., Lu Y., Guo L., Yan W., Xu F., Load adaptive PMSM drive system based on an improved ADRC for manipulator joint. “IEEE Access”, Vol. 9, 2021, 33369–33384, DOI: 10.1109/ACCESS.2021.3060925. Ma L., Yan Y., Li Z., Liu J., A novel aerial manipulator system compensation control based on ADRC and backstepping. “Scientific Reports”, Vol. 11, No. 1, 2021, DOI: 10.1038/s41598-021-01628-1. Madonski R., Michałek M., Odporne sterowanie ADRC w układzie z wielowymiarowym obiektem aerodynamicznym. Krajowa Konferencja Automatyki. Cedzyna k/Kielc, 2011. Michalski J., Kozierski P., Wielokrotny filtr cząsteczkowy w estymacji stanu systemów dynamicznych. „Pomiary Automatyka Robotyka”, Vol. 23, No. 1, 2019, 11–16. DOI: 10.14313/PAR_231/11. Michalski J., Kozierski P., Zietkiewicz J., Porównanie metod estymacji stanu systemów dynamicznych. „Pomiary Automatyka Robotyka”, Vol. 21, No. 4, 2017, 41–48, DOI: 10.14313/PAR_226/41. Penalba M., Ringwood J.V., Linearisation-based nonlinearity measures for wave-to-wire models in wave energy. “Ocean Engineering”, Vol. 171, 2019, 496–504, DOI: 10.1016/j.oceaneng.2018.11.033. Roman R.C., Precup R.E., Radac M.B., Model-free fuzzy control of twin rotor aerodynamic systems. [In:] 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED), 2017, 559–564, DOI: 10.1109/MED.2017.7984176. Sun W., Wu Y., Lv X., Adaptive neural network control for full-state constrained robotic manipulator with actuator saturation and time-varying delays. “IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems”, 2021 (Early Access), DOI: 10.1109/TNNLS.2021.3051946.

6 ] , 29. Two Rotor Aero-dynamical System (TRAS) User’s Manual, Inteco Ltd.

. 0 *-. / G + & - < Abstract: This paper presents the robust Active Disturbance Rejection Control method in an aerodynamical object with two degrees of freedom. Full derivation of control algorithm equations and the settings values depending on the desired properties of the system, based on the dynamics of the second order oscillating object, have been shown. The equations of the control algorithm were discretized and its discrete implementation was proposed. The tests were carried out on the Inteco aerodynamical laboratory kit, whose mathematical model is strongly non-linear, has two degrees of freedom and crosscoupling. The quality of operation was assessed on the basis of time graphs as well as integral quality indices. The conducted research shows the advantage of the applied algorithm over PID control for the tested system. The presented control algorithm is also more portable – the settings are selected only on the basis of the object order and once selected are correct regardless of the mathematical model. The proposed discrete equations can be implemented using any programming language theoretically for any object, taking into account the order of its dynamics.m pracy KeywordsV *-. $ 6<- $ E &0 $ F & & 0 $ + & $ &

•

N R 2/2022

" #$

% ORCID: 0000-0002-1666-733

%+ ORCID: 0000-0001-8777-6132

* 0 & ?& & 6 6 7 ? 0 I 0 4 L ? M$ & ? & J N J I ? + $ 4 B I I + I =0 ? 7 I B & & + & + $ & J I 4 0 0 I

* 6 6 7 O 4 0 7 & 0 4 L & E I? + 0 ? + M I? + L $ M

" #$

+ % ORCID: 0000-0003-3592-0942

& %& ORCID: 0000-0002-5535-4442

6 + ? 4 0 & ?& & < . 0 < + # 6 6 7 H + + 4 0 0 & 7 & I 0 7 4 E $ & ? + 0 ? + 4

- - 6 6 7 . & + 0 ? & &4 0 + $ ? I 0 & $ E ? + + 4 6 & 0 & & & ? I J I & 7 0 + 4 & & ? & + & " B ? & 8 KI& 6 8 ? B0 4B & 4& 0 ? & &

NR 3/2015

•

N R 2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022, 15–21, DOI: 10.14313/PAR_244/15

P 4 I & & '-? % !

* $ * " '!'$ !'?)Q> 8

' ( Precyzja jest cechą kluczową dla rozwoju systemów pomiarowych 3D. Wykorzystywane do takich pomiarów kamery Time-of-Flight tworzą chmury punktów zawierające dużo szumu, przez co mogą się okazać mało użyteczne w dalszej analizie. W ramach badań nad rozwiązaniem tego problemu proponujemy nową metodę precyzyjnego filtrowania chmur punktów. Do usuwania punktów odstających z pomiarów 3D, zarejestrowanych za pomocą kamery Time-of-Flight, wykorzystujemy informacje 2D z kamery z obiektywem telecentrycznym. Zastosowanie kamery telecentrycznej pozwala uzyskać najbardziej precyzyjną informację o konturze obiektu, co przekłada się na precyzyjne filtrowanie rekonstrukcji obiektu w 3D. $, V 4 -$ J 4 $ & '-

1. Wprowadzenie Przemysł nieustannie ewoluuje, a klienci systemów kontroli jakości wymagają coraz bardziej szczegółowych pomiarów. W zaawansowanych systemach kontroli jakości wykorzystanie klasycznej analizy obrazów 2D może okazać się niewystarczające [1]. Informację o głębi jest w stanie wyznaczyć wiele urządzeń pomiarowych dostępnych na rynku, takich jak kamery stereowizyjne, systemy fotogrametryczne, skanery laserowe i kamery ToF (ang. Time-Of-Flight) [26]. Tego rodzaju sensory rejestrują chmury Rys. 1. Uproszczony schemat działania zaproponowanej metody – niebieskie strzałki punktów [32], które mogą zawierać duże przedstawiają operacje na danych 2D, a zielone na danych 3D ilości szumu [36]. Występowanie takiego Fig. 1. Simplified diagram of the proposed method. Blue arrows represent operations on 2D data while problemu może być spowodowane przez green arrows represent operations on 3D data. See text for details wiele czynników, między innymi przez błędy kwantyzacji czy warunki oświetleniowe i temperaturowe otoczenia (punkt 1.1). Problemy te lub algorytmy wykorzystujące dodatkowe informacje z wyspew przypadku niektórych systemów mogą uniemożliwiać przecjalizowanych kamer [39]. W pracy skupiono się na drugim podejściu: do odfiltrowania prowadzenie poprawnej analizy. Do rozwiązania problemu zaszumionych pomiarów 3D powszechnie próbuje się stosować punktów odstających z chmury uzyskanej za pomocą kamery algorytmy filtracji, które na bazie analizy lokalnego otoczenia Time-of-Flight wykorzystujemy obraz z dodatkowej kamery poszczególnych punktów, starają się zidentyfikować punkty z obiektywem telecentrycznym. Zaprojektowany i skonstruowany odstające (ang. outliers) – nienależące do skanowanego obiektu system rejestruje obrazy głębi, które pozwalają na rekonstrukcję obiektu w 3D, oraz obrazy 2D, które są wykorzystywane do filtracji chmury punktów. Wykorzystana do akwizycji 2D kamera z obiektywem telecentrycznym pozwala na uzyskanie idealnej / V reprezentacji kształtu obiektu na obrazie. Obiekt poddawany 6 8 $ % analizie jest obracany w trakcie akwizycji, a obie kamery zbierają dane w tym samym położeniu względem obiektu. / , & '( ! '!'' $ & & (! !> '!'' Uproszczony schemat działania filtracji został przedstawiony na rys. 1. Na początku zostają pobrane dane 2D z kamery telecentrycznej oraz dane 3D z kamery ToF. Na wygenerowanych ! chmurach punktów zostaje przeprowadzona rekonstrukcja 3D

c ; $ K $ Y L# m# wadzeniu filtrowania w dwóch krokach: w pierwszym następuje usunięcie punktów odstających, a w drugim wygładzenie szumu. Te techniki wykorzystują modyfikacje algorytmów takich jak: mean shift [13] lub non-local means filter [15] z różnymi dodatkowymi źródłami danych: wektorami normalnymi oraz kolorem. Trzecia grupa metod obejmuje podejścia wykorzystujące specjalne operatory nazywane LOP (ang. Locally Optimal Projection). Po raz pierwszy raz przedstawiono je w pracy [20], następnie starano się je ulepszyć [14, 19], przeprowadzając modyfikację wag. W pracy [35] zaproponowano metodę, w której do usuwania punktów odstających i wygładzania chmur punktów wykorzystano wykrywanie płaszczyzn stycznych. Zaletą tej metody jest zachowywanie ostrych krawędzi i płaszczyzn, przez co dobrze nadaje się do rekonstrukcji naturalnych scen. W kolejnej pracy [38] zaproponowano nowatorską metodę automatycznej (niewymagającej dostrajania parametrów) filtracji chmur punktów w oparciu o uczenie maszynowe. Autorzy traktują rzeczywistą, zarejestrowaną chmurę punktów jako zbiór punktów, będący wynikiem transformacji idealnego zbioru punktów, z których każdy przesunięty został o pewien wektor szumu. Zaproponowane podejście wykorzystuje sieci neuronowe do wyznaczenia tych wektorów szumu. Rozwiązanie bazuje na architekturze enkoder-dekoder. Sieć, nazwana Pointfilter, przyjmuje na wejściu surowy punkt wraz z jego otoczeniem (punktami sąsiadującymi) i wyznacza wektor przemieszczenia zaszumionego punktu do jego „prawdziwej” pozycji. Funkcja strat zaprojektowana została tak, aby lokalne cechy charakterystyczne nie były przez tę sieć wygładzane. Metoda ta cechuje się wysoką precyzją, nie degradując jednocześnie ostrych krawędzi.

poprzez rotację każdej chmury o znany kąt (obrotu stolika między kolejnymi akwizycjami) oraz dopasowanie chmur z wykorzystaniem algorytmu ICP. Na obrazach z kamery z obiektywem telecentrycznym oraz na mapach głębi z chmur punktów zostaje przeprowadzona detekcja krawędzi. Na wynikowych obrazach zawierających krawędzie zostają wykryte punkty charakterystyczne. Deskryptory ORB tych punktów są następnie ze sobą porównywane między odpowiadającymi sobie obrazami z kamery telecentrycznej i z kamery ToF. Wynikiem dopasowania jest przekształcony obraz krawędziowy z kamery telecentrycznej. Na to przekształcenie zostaje następnie zrzutowana chmura punktów (oznaczona kolorem niebieskim). Punkty tej chmury, znajdujące się poza przekształconymi krawędziami, zostają oznaczone jako punkty odstające (oznaczone kolorem czerwonym).

X-X- Y,+ 0 & " Błędy systematyczne w pomiarach kamerami ToF są konsekwencją: − kwantyzacji pomiarów [10], − zmian temperatury urządzenia pomiarowego [2], − kąta padania wiązki lasera na przeszkodę [11], − koloru i właściwości powierzchni przeszkody (np. refleksyjności) [2, 11, 37], − warunków oświetleniowych [11], − szumu generowanego przez urządzenie dokonujące akwizycji [18]. Oprócz błędów systematycznych, w pomiarach kamerami ToF występują także błędy losowe (ang. flying pixels) [12], pojawiające się w miejscach braku ciągłości powierzchni – między krawędzią jednej powierzchni a powierzchnią znajdującą się w tle, kiedy na ten sam piksel matrycy kamery ToF pada światło odbite z dwóch różnych punktów znajdujących się w różnej odległości od sensora [28]. W takim przypadku, zmierzona odległość (punkt chmury) wypada gdzieś między jedną powierzchnią a drugą.

2.2. Dopasowanie 2D W literaturze znajduje się wiele prac dotyczących algorytmów dopasowania danych 2D. Te najbardziej znane wykorzystują algorytm najbliższych sąsiadów, przykładowo korzystając z dystansu Mahalonobisa [17, 25]. Podejście to ewoluowało do kilku ulepszonych wersji [23, 24], a te najnowsze zaczynają wykorzystywać sieci neuronowe [22]. Obecnie kładzie się nacisk na określanie coraz lepszych deskryptorów punktów oraz na znajdywanie punktów najbardziej charakterystycznych. Mimo to, powszechnie stosowane deskryptory, takie jak SIFT [21], ORB [31] oraz SURF [4], wciąż dają zadowalające wyniki. Proces dopasowania 2D może być jednak bardzo wymagający, szczególnie jeżeli w zdjęciach zachodzą duże zmiany w oświetleniu oraz gdy zmienia się punkt widzenia obserwatora. W takich przypadkach stosuje się bardziej zaawansowane deskryptory lub narzędzia do określania cech, wykorzystujące sztuczne sieci neuronowe [7, 27]. W poniższej pracy zostały przetestowane trzy wspomniane wcześniej deskryptory: SIFT, ORB oraz SURF. Za pomocą ORB udało się uzyskać najlepsze wyniki, dlatego tylko ten deskryptor przedstawiamy.

- ' -X-

Filtracja, obok m.in. dopasowania składowych chmur punktów, jest jednym z kluczowych etapów przetwarzania chmur punktów 3D. Jej celem jest oczyszczenie pomiarów 3D z szumów, czyli tzw. punktów odstających. Pozwala uzyskać lepszą dokładność wyników, dlatego techniki filtracji podlegają ciągłym badaniom i ulepszeniom. Do technik filtracji chmur punktów 3D zalicza się [3, 8, 33] metody statystyczne, metody bazujące na sąsiedztwie, metody bazujące na projekcji oraz metody oparte o uczenie maszynowe. Chmury punktów zawierają cechy, które sprawiają, że z powodzeniem mogą zostać do nich zastosowane metody statystyczne. W pracy [34] wykonano obliczenia prawdopodobieństwa wystąpienia punktu pi w zaszumionej chmurze punktów. Następnie wykorzystując podejście iteracyjne, wygładzono chmurę punktów, co pozwoliło uzyskać dobre wyniki w filtrowaniu punktów odstających. Wadą tej metody jest destrukcja „ostrych” cech powierzchni: zaokrąglanie ostrych krawędzi czy też usuwanie lokalnych „szpilek”. Innym podejściem jest wykorzystanie statystyki Bayesowskiej. W pracy [16] zaproponowano funkcję modelującą rozkład prawdopodobieństwa między estymowaną i zmierzoną chmurą punktów. Następnie ta funkcja była maksymalizowana w celu usunięcia szumu. Wadą również tej metody jest zaokrąglanie ostrych krawędzi. Metody oparte na sąsiedztwie wykorzystują informacje o punktach bezpośrednio sąsiadujących z danym punktem z chmury punktów. Najbardziej podstawową metodą jest wykorzystanie filtra bilateralnego 3D [29]. Inne metody polegają na przepro-

•

- - 5#Y ORB jest połączeniem detektora FAST [30] znajdowania punktów charakterystycznych oraz zoptymalizowanego binarnego deskryptora na bazie BRIEF, którego koszt obliczeniowy jest o dwa rzędy wielkości mniejszy niż popularnego SIFT [31]. Najpierw używa detektora FAST do odnajdowania tzw. narożników (punktów charakterystycznych), a następnie stosuję miarę odpowiedzi narożnika (ang. measure of corner response), aby znaleźć N najważniejszych punktów wśród wykrytych. Zastosowanie piramid umożliwia detekcję oraz tworzenie deskryptorów cech niezależnych od skali. Następnie obliczona zostaje ważona intensywność centroidu wycinka z narożnikiem znajdującym się w jego środku. Kierunek wektora od tego punktu wskazującego do środka ciężkości określa jego orientację. Aby poprawić niezmienność względem obrotu, momenty są obliczane za pomocą x i y, które powinny znajdować się w okręgu o promieniu r, gdzie r jest rozmiarem wycinka. Algorytm BRIEF A

•

N R 2/2022

nie jest odporny na zmianę orientacji punktów kluczowych. ORB dyskretyzuje pełny obrót na 30 części, każda o wielkości 12 stopni i tablicuje policzone wzorce BRIEF dla każdego kąta. Tak długo jak orientacja punktu kluczowego jest spójna między obrotami, poprawny zestaw punktów zostanie użyty do wyliczenia jego deskryptorów.

- '

W prezentowanej w niniejszym artykule metodzie wykorzystywane są dane z dwóch różnych źródeł: z kamery Basler Time-of-Flight ToF640-20gm_850nm oraz z monochromatycznej kamery matrycowej Basler z obiektywem telecentrycznym Opto Engineering TC16M096. Z tego powodu przedstawiana metoda została podzielona na dwa etapy: przetwarzanie obrazów 2D oraz przetwarzanie chmur punktów 3D.

-X- / (

Kamera telecentryczna dostarcza obrazy 2D w skali szarości, podczas gdy kamera ToF rejestruje mapę głębi (ang. depth map), przeliczaną następnie do chmury punktów 3D.

- - 5( ( ^ Z map głębi, otrzymanych z kamery ToF, zostają wyznaczone chmury punktów na podstawie zbioru równań (1), gdzie I reprezentuje zbiór pikseli mapy głębi, d – wartości graniczne głębi, a fx oraz fy reprezentują długość ogniskowej odpowiednio dla osi X oraz Y. z = I(u, v)/0xFFFF · (dmax − dmin) + dmin x = u · z/fx

(1)

y = v · z/fy Otrzymane chmury punktów zostają wstępnie obrócone względem ich środka o odpowiadającą wielokrotność zastosowanego kąta obrotu, który w omawianym przykładzie wynosił 60°. Zebrane obrazy z obu kamer zostają sprowadzone do tej samej rozdzielczości poprzez przeskalowanie obrazu z kamery telecentrycznej. Pozwala to uprościć transformacje przeprowadzane w kolejnych krokach. Następnie, aby na tych obrazach znajdywały się te same zestawy cech, zostaje na obu z nich przeprowadzona operacja detekcji krawędzi Canny [6] (rys. 3).

Mierzony obiekt umieszczono na środku stolika obrotowego tak, aby mógł być on precyzyjnie obrócony o dowolny kąt wokół osi obrotu stolika (rys. 2). Obok stolika zamocowano kolejno oba sensory skierowane w kierunku środka obrotu. Rozstaw kątowy pomiędzy sensorami wynosi 60°. W trakcie pomiaru, dla danego położenia zatrzymanego stołu, wykonywane są dwa niezależne pomiary każdym z sensorów. Następnie stolik obracany jest o stały kąt, który powinien stanowić podwielokrotność kąta 60°, co pozwala na późniejsze dopasowanie obrazów rejestrowanych kamerą telecentryczną do chmur punktów zarejestrowanych kamerą ToF z tego samego położenia każdego z sensorów względem obracanego Rys. 3. Kolejne etapy przetwarzania obrazu z kamery telecentrycznej: obraz surowy (po obiektu. Proces ten jest powtarzany aż do lewej), wykrycie krawędzi zoptymalizowanym detektorem Canny (w środku) oraz maska osiągnięcia pełnego obrotu obiektu. W przyobiektu (po prawej stronie) padku opisywanych badań, obiekt obracano Fig. 3. Successive processing steps of the telecentric camera image: raw image (left), edge detection with the optimized Canny detector (center), and object mask (right) również co 60°, co pozwoliło zarejestrować po sześć obrazów z każdego z sensorów. Aby możliwie zredukować liczbę nieistotnych artefaktów w chmurze punktów (punktów pochodzących spoza obszaru - - ( pomiarowego), ograniczono głębię pomiarową kamery ToF. Na etapie dopasowania zostają rozdzielone dwa równoległe procesy: dopasowania danych 2D oraz dopasowania elementarnych chmur 3D (rys. 1).

)$)$*$ + %

Rys. 2. Schemat stanowiska pomiarowego (widok z góry): obiekt skanowany kamerą ToF znajduje się na stoliku obrotowym. Po obrocie o 60°, z tej samej perspektywy rejestrowany jest obraz obiektu za pomocą kamery z obiektywem telecentrycznym Fig. 2. Diagram of the measurement setup (top view): the object to be scanned with the ToF camera is placed on a rotary table. After a 60 degree rotation, an image of the object is captured from the same perspective using a camera with a telecentric lens

"! )+

Każda z elementarnych chmur punktów 3D zostaje obrócona o kąt odpowiadający położeniu stolika względem kamery ToF podczas jej akwizycji – tzn. dokonana jest ich transformacja do wspólnego układu współrzędnych. Następnie przy użyciu algorytmu ICP (ang. Iterative Closest Point), chmury te zostają kolejno dopasowane do siebie, tworząc jedną globalną chmurę punktów – precyzyjnie dopasowaną, ale obarczoną szumem (punktami odstającymi). Podstawowym algorytmem wykorzystywanym do dopasowania chmur punktów jest algorytm ICP [5]. Pozwala on zniwelować pewne niedokładności wynikające z ograniczonej precyzji enkodera stolika, luzów na przekładni czy ograniczonej precyzji względnego rozmieszczenia sensorów. W praktyce, dla dużych chmur punktów i dla większych wstępnych transformacji (dla większych błędów wstępnego wzajemnego dopasowania) między dopasowywanymi chmurami, proces dopasowania chmur algorytmem ICP jest bardzo kosztowny obliczeniowo. Aby temu przeciwdziałać, wykorzystuje się wstępne dopasowanie chmur. Jako wstępne dopasowanie stosujemy rotację każdej chmury o wielokrotność kąta 60°, ponieważ o taki kąt obracany był skanowany obiekt między kolejnymi etapami akwizycji. Dopiero po tej operacji zostaje wykorzystany algorytm ICP w celu precyzyjnego dopasowania chmur. Chmura wynikowa, składająca się

c ; $ K $ Y L# m# ze wszystkich chmur elementarnych, przedstawia pełny obiekt wraz z wieloma punktami odstającymi, które mogą w znacznym stopniu niekorzystnie wpływać na wyniki dalszego przetwarzania oraz analizy pomiaru.

)$)$ $ + %

zostaje wypełniony stałym kolorem. Powstały obraz binarny jest wykorzystany jako maska do odfiltrowania globalnej chmury punktów. Złożona chmura punktów utworzona według algorytmu z poprzedniego podrozdziału jest rzutowana bezpośrednio na maskę. Projekcja chmury na obraz jest operacją odwrotną do przekształcenia obrazu głębi do chmury punktów, dlatego można ją przeprowadzić wykorzystując znane wzory oraz parametry kamery, którą została wykonana akwizycja. Wszystkie punkty rzutowanej chmury, które znajdują się w obszarze wykraczającym poza maskę, zostają odrzucone. Cała operacja zostaje powtórzona dla każdego zdjęcia otrzymanego z kamery telecentrycznej, za każdym razem obracając chmurę o kąt rotacji odpowiadający danemu zdjęciu przed projekcją. Pozwala to odrzucić punkty, które nie są widoczne z różnych widoków (przykładowo wykonując filtrację jedynie z jednego widoku, punkty odstające znajdujące się za obiektem nie zostaną usunięte). Wynik filtracji przykładowego obiektu został przedstawiony na rys. 4.

, - +

Każdy obraz z kamery ToF, przedstawiony w postaci mapy głębi, zostaje dopasowany do odpowiadającego mu obrazu z kamery telecentrycznej. W tym celu konieczne jest wyznaczenie macierzy transformacji obrazu z kamery telecentrycznej do obrazu z kamery ToF. Jest to wymagane, ponieważ należy usunąć wszystkie problemy wynikające z nieidealnej akwizycji. Dopasowanie przeprowadzamy na obrazach krawędzi, uzyskanych poprzez zastosowanie filtra Canny zarówno na obrazie z kamery telecentrycznej jak i na mapie głębi z ToF. Następnie wykorzystujemy algorytm ORB do wyznaczenia na każdym z obrazów krawędziowych punktów charakterystycznych i ich deskryptorów. Dla punktów charakterystycznych opisanych deskryptorami ORB zostają znalezione dopasowania do najbliższych (najbardziej podobnych) deskryptorów punktów z drugiego obrazu. Niepoprawne dopasowania zostają wykryte i odfiltrowane przy zastosowaniu algorytmu RANSAC (ang. Random sample consensus) [9] z progiem reprojekcji (ang. reprojection threshold) wynoszącym pięć pikseli. Znalezione dopasowania pozwalają wyznaczyć macierz homograficzną, która pozwala na przeprowadzenie transformacji obrazu krawędziowego z kamery telecentrycznej do obrazu z kamery ToF. Przekształcony obraz zostaje następnie wykorzystany jako maska, za pomocą której przeprowadza się odfiltrowanie odstających punktów w chmurze. Dzięki zastosowaniu tak wyznaczonej macierzy trasnformacji homograficznej obrazu z kamery telecentrycznej do przestrzeni z kamery ToF, system nie wymaga przeprowadzania kalibracji.

Z- : W ramach przeprowadzonych badań wykonano akwizycję pomiarów skanowanego obiektu w sześciu położeniach co 60°. Jak można zauważyć na rezultacie filtracji z rys. 4, wykorzystanie kilku widoków pozwala odfiltrować punkty odstające, które na pojedynczym widoku mogły znajdować się w obrębie maski. Warto zauważyć, że najwięcej punktów zostaje usuniętych przy pierwszej operacji filtrowania (przy filtracji z pierwszego widoku), co również widać wyraźnie na wykresie 5(a).

Do oceny poprawności filtracji punktów odstających za pomocą naszej metody wykorzystaliśmy model 3D zabawkowej -Z- kaczuszki – obiektu, którego fizyczny egzemplarz wytworzony Kontur obiektu, w postaci obrazu krawędziowego z kamery z gumy został zeskanowany na opisanym stanowisku pomiarotelecentrycznej, po transformacji do przestrzeni obrazu z ToF, wym. Ta sama chmura punktów, złożona za pomocą algorytmu ICP z sześciu elementarnych pomiarów z kamery ToF, została poddana filtracji punktów odstających – za pomocą metody wykorzystującej dodatkową kamerę telecentryczną oraz za pomocą metod referencyjnych. Jedną z miar, która pozwala określić, jak dobrze działa filtracja, jest precyzja. Pozwala Rys. 4. Filtracja chmury punktów dla kolejnych widoków. Punkty w kolorze niebieskim są przekazywane ona określić, jaka część odfildo następnego kroku filtracji; punkty w kolorze czerwonym zostają usunięte z chmury trowanych punktów jest tymi Fig. 4. Point cloud filtering of subsequent views. Blue points are transferred to the next filtering step; red points are removed from the cloud właściwymi. Właściwe punkty

Rys. 5. Wykres (a) pokazuje jak liczba punktów w chmurze maleje wraz z każdym kolejnym krokiem filtracji. Wykres (b) pokazuje jak wraz z kolejnym krokiem filtracji rośnie precyzja Fig. 5. Graph (a) shows how the number of points in the cloud decreases with each successive filtering step. Graph (b) shows how the precision increases with each successive filtering step

•

N R 2/2022

to te, które znajdują się w bliskiej odległości od modelu referencyjnego. Równanie (2) przedstawia definicję precyzji:

Precyzja =

TP , TP + FP

(2)

gdzie: TP – true positive – punkty poprawnie zaklasyfikowane jako należące do obiektu, FP – false positive – punkty niepoprawnie zaklasyfikowane jako należące do obiektu. Dla porównania użyliśmy dwóch powszechnie stosowanych metod filtracji punktów odstających. Pierwszą z nich jest statystyczne odrzucanie1, które polega na liczeniu średniej i odchylenia standardowego odległości punktu do jego sąsiadów. Przy założeniu rozkładu gaussowskiego tej miary, odrzucane są te punkty, których średnia odległość od sąsiadów jest powyżej średniej i powyżej odchylenia standardowego dla wszystkich punktów chmury. Druga metoda to odrzucanie radialne2, które polega na odrzucaniu punktów, które zawierają niewielką liczbę sąsiadów wewnątrz sfery o zdefiniowanym promieniu, której środkiem jest dany punkt. Na wykresie 5(b) widać jak precyzja naszej metody rośnie wraz z kolejnym krokiem filtracji. Dla każdej metody porównano również liczbę punktów, które mieszczą się w pewnej stałe, niewielkiej odległości od modelu referencyjnego. Punkty, które leżą poza tą odległością uznano za false positive a te, które leżą wewnątrz – za true positive. Na bazie tego wyliczono precyzję zgodnie ze wzorem (2). Wyniki umieszczono w tabeli 1. Tabela 1. Precyzja zaproponowanej metody filtracji (*) oraz metod referencyjnych Table 1. Precision of the proposed filtering method (*) compared to reference methods Metoda

Dopasowanie 2D-3D*

Statystyczne odrzucanie

Radialne odrzucanie

Precyzja

0,701

0,485

0,495

Porównaliśmy również jaka jest średnia i mediana odległości punktów w chmurze do najbliższego sąsiada na modelu referencyjnym dla punktów odfiltrowanych przy pomocy naszej metody i metod referencyjnych. Jako ostatnią metodę odniesienia użyliśmy chmury punktów odfiltrowanych poprzez usunięcie z pierwotnej chmury punktów położonych poza pewną odległością od modelu referencyjnego. W tabeli 2 widać wartości średnie oraz mediany odległości dla tych trzech metod. Tabela 2. Porównanie zaproponowanej metody filtracji (*) z metodami referencyjnymi: średnia i mediana odległości punktów chmury od najbliższego sąsiadującego punktu na modelu referencyjnym Table 2. Comparison of the proposed filtering method (*) with reference methods: mean and median distances of points of a given cloud to the nearest neighboring point on the reference model Metoda

Dopasowanie 2D-3D*

Statystyczne odrzucanie

Radialne odrzucanie

Średnia odległość

3,913

6,194

6,463

Mediana odległości

3,097

4,658

4,557

[- '

W ramach niniejszej pracy opisano nowatorską metodę filtracji punktów odstających z zaszumionych chmur przy zastosowaniu dodatkowego sensora w postaci kamery z obiektywem telecentrycznym. Może ona znaleźć zastosowanie w szczególności JJz parametrami: liczba sąsiadów = 1000; std_ratio = 0,3 2

z parametrami: liczba sąsiadów = 100; promień = 8,0

w warunkach laboratoryjnych, gdzie obiekty mierzone mogą być umieszczane na stole obrotowym. Z uwagi na swoją specyfikę, bazującą na porównaniu chmury z konturem obiektu, metoda nie pozwala na filtrację obszarów wklęsłych, znajdujących się w zagłębieniach powierzchni. W ramach dalszego rozwoju planujemy przeprowadzić badania z wykorzystaniem innych sensorów głębi, np. skanerów laserowych. Planowane są również badania, które pozwolą wyznaczyć optymalną liczbę elementarnych skanów, potrzebną do uzyskania najlepszych wyników. Badania będą prowadzone na zróżnicowanych obiektach pomiarowych, o bardziej skomplikowanym kształcie, zmierzonym również za pomocą innych technik pomiarowych.

' + System jest rozwijany w ramach projektu „System do pomiarów i analizy wymiarów wielkogabarytowych produktów metodami wizji maszynowej 2D/3D” dofinansowanego z Regionalnego Programu Operacyjnego Województwa Mazowieckiego.

Y ( " & 1. Al-Yoonus M., Abdullah M.F.L., Jawad M.S., Al-Shargie F., Enhance quality control management for sensitive industrial products using 2D/3D image processing algorithms, [In:] Electrical Power, Electronics, Communications, Control and Informatics Seminar (EECCIS), 2014, 126–131, DOI: 10.1109/EECCIS.2014.7003732. 2. Baek E.-T., Yang H.-J., Kim S., Lee G., Jeong H., Distance error correction in time-of-flight cameras using asynchronous integration time, “Sensors”, Vol. 20, No. 4, 2020, DOI: 10.3390/s20041156. 3. Balta H., Velagic J., Bosschaerts W., De Cubber G., Siciliano B., Fast statistical outlier removal based method for large 3D point clouds of outdoor environments,” IFAC-PapersOnLine”, Vol. 51, No. 22, 2018, 348–353, 12th IFAC Symposium on Robot Control SYROCO 2018, DOI: 10.1016/j.ifacol.2018.11.566. 4. Bay H., Ess A., Tuytelaars T., Van Gool L., Speeded-up robust features (SURF), “Computer Vision and Image Understanding”, Vol. 110, No. 3, 2008, 346–359, DOI: 10.1016/j.cviu.2007.09.014. 5. Besl P., McKay N.D., A method for registration of 3-D shapes, “IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence”, Vol. 14, No. 2, 1992, 239–256, DOI: 10.1109/34.121791. 6. Canny J., A computational approach to edge detection, “IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence”, Vol. PAMI-8, No. 6, 1986, 679–698, DOI: 10.1109/TPAMI.1986.4767851. 7. DeTone D., Malisiewicz T., Rabinovich A., SuperPoint: Self-supervised interest point detection and description, [In:] The IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) Workshops, June 2018. 8. Duan Y., Yang C., Li H., Low-complexity adaptive radius outlier removal filter based on PCA for lidar point cloud denoising, “Applied Optics”, Vol. 60, No. 20, 2021, E1–E7, DOI: 10.1364/AO.416341. 9. Fischler M.A., Bolles R.C., Random sample consensus: A paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography, “Communications of the ACM”, Vol. 24, No. 6, 1981, 381–395, DOI: 10.1145/358669.358692. 10. Frank M., Plaue M., Rapp H., Köthe U., Jähne B., Hamprecht F., Theoretical and experimental error analysis of continuous-wave time-of-flight range cameras, “Optical Engineering”, Vol. 48, No. 1, 2009, DOI: 10.1117/1.3070634.

c ; $ K $ Y L# m# 11. He Y., Liang B., Zou Y., He J., Yang J., Depth errors analysis and correction for time-of-flight (ToF) cameras, “Sensors”, Vol. 17, No. 1, 2017, DOI: 10.3390/s17010092. 12. Hoegg T., Lefloch D., Kolb A., Time-of-Flight camera based 3D point cloud reconstruction of a car, “Computers in Industry”, Vol. 64, No. 9, 2013, 1099–1114, DOI: 10.1016/j.compind.2013.06.002. 13. Hu G., Peng Q., Forrest A.R., Mean shift denoising of point-sampled surfaces, “The Visual Computer”, Vol. 22, 2006, 147–157, DOI: 10.1007/s00371-006-0372-0. 14. Huang H., Li D., Zhang H., Ascher U., Cohen-Or D., Consolidation of unorganized point clouds for surface reconstruction, “ACM Transactions on Graphics”, Vol. 28, No. 5, 2009, DOI: 10.1145/1618452.1618522. 15. Huhle B., Schairer T., Jenke P., Strasser W., Robust non-local denoising of colored depth data, [In:] IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition Workshops, 2008, DOI: 10.1109/CVPRW.2008.4563158. 16. Jenke P., Wand M., Bokeloh M., Schilling A., Strasser W., Bayesian point cloud reconstruction, “Computer Graphics Forum”, Vol. 25, No. 3, 2006, 379–388, DOI: 10.1111/j.1467-8659.2006.00957.x. 17. Johansen S., Juselius K., Maximum likelihood estimation and inference on cointegration–with applications to the demand for money, “Oxford Bulletin of Economics and Statistics”, Vol. 52, No. 2, 1990, 169–210. 18. Leal E., Leal N., Point cloud denoising using robust principal component analysis, 2006, 51–58, DOI: 10.5220/0001358900510058. 19. Liao B., Xiao C., Jin L., Efficient Feature-preserving Local Projection Operator for Geometry Reconstruction, [In:] Eurographics 2011 – Short Papers, Avis N., Lefebvre S., eds., The Eurographics Association, DOI: 10.2312/EG2011.short.013-016. 20. Lipman Y., Cohen-Or D., Levin D., Tal-Ezer H., Parameterization-free projection for geometry reconstruction, “ACM Transactions on Graphics”, Vol. 26, No. 3, 2007, DOI: 10.1145/1276377.1276405. 21. Lowe D.G., Object recognition from local scale-invariant features, [In:] Proceedings of the 7th IEEE International Conference on Computer Vision, 1999, DOI: 10.1109/ICCV.1999.790410. 22. Melekhov I., Tiulpin A., Sattler T., Pollefeys M., Rahtu E., Kannala J., DGC-Net: Dense geometric correspondence network, 2018, DOI: 10.48550/arXiv.1810.08393. 23. Muja M., Lowe D.G., Fast matching of binary features, [In:] Ninth Conference on Computer and Robot Vision, 2012, 404–410, DOI: 10.1109/CRV.2012.60. 24. Muja M., Lowe D.G., Scalable nearest neighbor algorithms for high dimensional data, “IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence”, Vol. 36, No. 11, 2014, DOI: 10.1109/TPAMI.2014.2321376. 25. Muthukrishnan S., Sahinalp S.C., Simple and practical sequence nearest neighbors with block operations, [In:] Proceedings of the 13th Annual Symposium on Combinatorial Pattern Matching, 2002, 262–278, DOI: 10.5555/647821.736373. 26. Park J., Kim H., Yu-Wing Tai, Brown M. S., Kweon I., High quality depth map upsampling for 3D-TOF cameras, [In:] International Conference on Computer Vision, 2011, 1623–1630, DOI: 10.1109/ICCV.2011.6126423. 27. Revaud J., Weinzaepfel P., Harchaoui Z., Schmid C., DeepMatching: Hierarchical deformable dense matching, “International Journal of Computer Vision”, Vol. 120, 2016, 300–323, DOI: 10.1007/s11263-016-0908-3.

•

28. Reynolds M., Doboš J., Peel L., Weyrich T., Brostow G.J., Capturing Time-of-Flight data with confidence, [In:] CVPR 2011, 945–952, DOI: 10.1109/CVPR.2011.5995550. 29. Rosli N.A.I.M., Ramli A., Mapping bootstrap error for bilateral smoothing on point set, [In:] AIP Conference Proceedings, Vol. 1605, No. 1, 2014, 149–154, DOI: 10.1063/1.4887580. 30. Rosten E., Drummond T., Fusing points and lines for high performance tracking, [In:] 10th IEEE International Conference on Computer Vision, Vol. 1, 2005, 1508–1515, DOI: 10.1109/ICCV.2005.104. 31. Rublee E., Rabaud V., Konolige K., Bradski G.R., ORB: An efficient alternative to SIFT or SURF, [In:] International Conference on Computer Vision, 2011, 2564–2571, DOI: 10.1109/ICCV.2011.6126544. 32. Rusu R.B., Cousins S., 3D is here: Point cloud library (PCL), [In:] IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2011, 1–4, DOI: 10.1109/ICRA.2011.5980567. 33. Schall O., Belyaev A. G., Seidel H.-P., Adaptive feature-preserving non-local denoising of static and time-varying range data, “Computer-Aided Design”, Vol. 40, No. 6, 2008, 701–707, DOI: 10.1016/j.cad.2008.01.011. 34. Schall O., Belyaev A., Seidel H.-P., Robust filtering of noisy scattered point data, [In:] Proceedings Eurographics/IEEE VGTC Symposium Point-Based Graphics, 2005, 71–144, DOI: 10.1109/PBG.2005.194067. 35. Wang J., Yu Z., Zhu W., Cao J., Feature-preserving surface reconstruction from unoriented, noisy point data, “Computer Graphics Forum”, Vol. 32, No. 1, 2013, 164–176, DOI: 10.1111/cgf.12006. 36. Xie H., McDonnell K.T., Qin H., Surface reconstruction of noisy and defective data sets, [In:] IEEE Visualization, 2004, 259–266, DOI: 10.1109/VISUAL.2004.101. 37. Zaman F., Wong Y.-P., Ng B.-Y., Density-based denoising of point cloud, [In:] Proceeding of 9th International Conference on Robotics, Vision, Signal Processing & Power Applications (ROVISP), 2016, DOI: 10.48550/arXiv.1602.05312. 38. Zhang D., Lu X., Qin H., He Y., Pointfilter: Point cloud filtering via encoder-decoder modeling, “IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics”, Vol. 27, 2021, 2015–2027, DOI: 10.1109/TVCG.2020.3027069. 39. Zhao J., Wang Y., Cao Y., Guo M., Huang X., Zhang R., Dou X., Niu X., Cui Y., Wang J., The fusion strategy of 2D and 3D information based on deep learning: A review, “Remote Sensing”, Vol. 13, No. 20, 2021, DOI: 10.3390/rs13204029.

•

N R 2/2022

6 & P + + '-? - # + # & ., ( Precision is a key feature for the development of 3D measurement systems. Time-of-flight cameras used for such measurements create point clouds containing a lot of noise, which may not be useful for further analysis. In our research to solve this problem, we propose a new method for precise point cloud filtering. We use 2D information from a telecentric lens camera to remove outlier points from 3D measurements recorded with a Time-of-Flight camera. The use of a telecentric camera allows us to obtain the most precise information about the contour of an object, which allows us to accurately filter the object reconstruction in 3D. KeywordsV - & $ & J +$ '- +

#$ %

#$ !

% & ORCID: 0000-0002-7932-7764

% ORCID: 0000-0001-9739-0911

8 '!'! B & ? E 8 & ; ? G < E 6 8 / R < B ? 4 < E =0 + & 0 0 7? 4

*0 6 O& 7 8 & P G # =0 & P G < P 6*H '!(Q * + & ? + ? & + E4

" #$

% ORCID: 0000-0001-7630-6629 *0 * ? . 0 8 & < B ? 6 & 6 8 ? L'!(( M 6 6 < * ? 6 4 6<*6 6<*6 =0 ? & + E * *& & S

NR 3/2015

•

N R 2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022, 23–28, DOI: 10.14313/PAR_244/23

< & E # - *& G & # E P ; # & + .

/ 01 # + " %

8 E G + $ < E # + & T & ; + +$ * T 0 QU 6K?!'?A'A 8 $ 6 &

V . H / < & . < E * & # 6<*6$ * " '!'$ 6K?!'?)Q>$ 8 $ 6 &

., ( Tetrahedral meshing is the critical element of finite element modeling. Recently, adaptive meshing has been commonly used. In such meshing, according to the Delaunay method, mesh density is connected with the curvature of modeled object’s edge. Such a method is especially efficient during the modeling of mechanical systems. However, the efficiency of commonly used meshing algorithms is strongly limited in surface-focused phenomena, such as eddy current induced by magneto-dynamic processes. The paper proposes the improved method of Delaunay meshing considering the specific requirements of magnetodynamic systems. In the proposed method, tetrahedral mesh density may be flexibly modified according to the needs of modeled physical phenomena, such as eddy current density. As a result, physical effects may be efficiently and accurately described in finite element models. The paper presents the example of implementing the proposed solution for cylindrical wire. The complete source code is available as open-source software for further practical use and development. 7 V & +$ & +$ P;# & +$ + &

1. Wprowadzenie The finite element method (FEM) is widely used for modeling solid-state mechanics [4], flow [3], and magnetodynamic systems, including microwave [9] and magnetoinductive [7] systems. Recently developed open-source FEM-based toolchains give the unprecedented possibility of flexible modeling and development of advanced and sophisticated systems, such as eddy current tomography [8], resistive tomography [6, 11], or airplane mechanics optimization [13]. On the other hand, the essential tool for efficient and robust FEM-based models is a meshing algorithm. Despite the fact that uniform grids are the most efficient from a physical point of view [12], such a meshing strategy leads to a radical increase in the number of elements [9]. As a result, adaptive meshes that utilize first-order tetrahedral elements are commonly used. In such meshes, considering the Delaunay algorithm [7], mesh

/ V . $ % + / , & '! !) '!'' $ & & (> !A '!'' !

density is connected with the curvature of the nearest edges of a meshed object. Such an approach is especially efficient during the modeling of mechanical systems, where strongly non-uniform mechanical stress distribution occurs in the close neighborhood of indents. In such a case, a decrease in the radius of indent edges causes an increase in mesh density. This mechanism is especially beneficial for the accuracy of mechanical models. On the other hand, in the case of magnetodynamic systems, the accuracy of models is mainly connected with the accuracy of eddy currents modeling. Eddy current distribution is mostly coupled with driving signal frequency [5] as well as material magnetic permeability and resistivity instead of the radius of the nearest edge. As a result, commonly used Delaunay algorithm-based approaches to meshing for mechanical systems are not efficient for magnetodynamic modeling. It should be highlighted that a more specific approach is essential for advanced analyses of magneto-mechanical systems utilizing magnetodynamic phenomena [14]. Such systems are especially promising in the case of haptic robots [10], where user-friendly and robust coil-less magneto-mechanical external mechanical forces sensors might be developed. However, precise FEM models of such sensors, necessary for their efficient application, require balancing of mesh density considering both mechanical and eddy current-based phenomena. The paper presents both the method and implementation of adaptive meshing strategies suitable for magnetodynamic systems. The proposed method is implemented based on an open-source NETGEN mesher [17], considering the example of

Improved Control of Mesh Density in Adaptive Tetrahedral Meshes for Finite Element Modeling a cylindrical wire subjected to a high frequency driving current. Such a system is especially suitable for mechanical forces haptic sensors of human cooperating robots. Importantly, open-source tools used for the study allow further free development of the code. Even though solutions to adapt local mesh for each model are available in other commercial software such as Ansys [18], they are limited to predefined specific cases. Open access to the source code removes such limitations and allows better control of user-defined meshes.

- 2

- 0 & 2 " & " " For the efficient proposition of tetrahedral meshing algorithms for the magnetodynamic modeling of a cylindrical object, the eddy current distribution in such a wire has to be analyzed. In terms of a complex value, the eddy current density J(r), dependent on a distance from the wire axis r in the cylindrical wire, is given according to the following equations [15, 16]:

In meshes generated according to the Delaunay algorithm [2], mesh density is directly connected with the radius of the surrounding edges of an object. An example of such an object is presented in fig. 1. The tetrahedral mesh of a rectangular body with a cylinder-shaped indent is much denser nearly the indent, which can be observed in fig. 1b. On the other hand, the Delaunay algorithm applied for meshing cylindrical bodies creates uniform meshes. It is connected with the fact that the curvature of a cylinder is constant regardless of the direction. The examples of such tetrahedral meshes with lower and higher mesh density are presented in figures 2a and 2b, respectively. Despite the fact that the lower density mesh consists of tetrahedral 3 137 elements, whereas the higher density mesh consists of 1 421 307 elements, both meshes are created uniformly. Such a meshing algorithm would be strongly inefficient for high-frequency magnetodynamic systems, where physical phenomena are observed nearly the surface of a modeled element.

•

(1)

−2π f μr μ0 j

(2)

where f is the driving current I frequency, mr is the relative magnetic permeability of the material, m0 is the magnetic constant, ρ is the resistivity of the material, whereas J0(x) and J1(x) are Bessel functions of the first kind, 0 and 1 order respectively: 1 π −i ⋅x ⋅sin (t ) dt ∫ e 2π −π

(3)

1 π i ⋅(t −x ⋅sin (t )) dt ∫ e 2π −π

(4)

J 0 (x ) = J 1 (x ) =

Fig. 1. The example of a tetrahedral mesh generated according to the Delaunay algorithm: a) the shape of a modeled rectangular body with a cylinder indent, b) tetrahedral mesh created on the base of the Delaunay algorithm Rys. 1. Przykład siatki tetrahedralnej wygenerowanej według algorytmu Delaunaya: a) kształt zamodelowanej bryły prostokątnej z wcięciem walcowym, b) siatka tetrahedralna utworzona na podstawie algorytmu Delaunaya

k ⋅ I J 0 (k ⋅ r ) ⋅ 2π ⋅ R J 1 (k ⋅ r )

J (r ) =

Fig. 2. The examples of Delaunay algorithm-based tetrahedral meshes: a) low-density mesh (3 137 elements), b) high-density mesh (1 421 307 elements) Rys. 2. Przykłady siatek tetrahedralnych opartych na algorytmie Delaunaya: a) siatka o małej gęstości (3 137 elementów), b) siatka o dużej gęstości (1 421 307 elementów)

•

N R 2/2022

! " # $ $ % Due to the fact that J(r) function is complex, its amplitude |J(r)| can be calculated as: J (r ) =

(re J (r ))2 + (im J (r ))2

(5)

Figure 3 presents the amplitude of current density |J(r)| in the wire calculated for the different values of driving frequency f in the wire with diameter D = 2 mm, made of typical steel with relative magnetic permeability mr = 1000 and resistivity ρ = 1.6·10-7 Wm.

Fig. 4. NETGEN .msz file: a) the example of a file, b) the explanation of the file’s structure Rys. 4. Plik NETGEN .msz: a) przykładowy plik, b) objaśnienie struktury pliku

Fig. 3. The amplitude of current density |J(r)| in the wire calculated for driving frequency f = 10 Hz, 300 Hz, 1 kHz, and 3 kHz. The relative magnetic permeability of wire material μr = 1000, the resistivity of a wire ρ = 1.6·10 -7 Ωm Rys. 3. Amplituda gęstości prądu |J(r)| w przewodzie obliczonym dla częstotliwości sterowania f = 10 Hz, 300 Hz, 1 kHz i 3 kHz. Względna przenikalność magnetyczna materiału drutu μr = 1000, rezystywność drutu ρ = 1,6·10 -7 Ωm

After defining all of the model’s magnetomechanical parameters, the corresponding mesh with required refinement can be implemented. However, if necessary, after the analysis of a set of simulations with a refined mesh, meshing details can be modified manually by the user accordingly in order to perform more accurate calculations. During the meshing utilizing NETGEN open-source software, mesh density is controlled by maxH parameter describing the maximal acceptable height of a tetrahedral element [17]. Parameter maxH might be provided as a global parameter for the element (in .geo file geometry description) or by a special .msz file. In the .msz file, mesh densities might be defined in terms of maxH parameters in specified points (where the position of a point and the maxH value is given) or on the specified lines (where the position of the beginning and endpoint of the line together with the maxH value is given) [17]. The example and the explanation of the structure of .msz file for NETGEN are provided in fig. 4. The principles of the control of mesh density parameter maxH in the wire are presented in fig. 5. First, the difference between the maximal and minimal value of eddy current density J(r) is divided by m1 points into m1 – 1 sections. Next, each section is divided into m2 layers, where the maximal height maxH of any tetrahedral element is equal to the distance between layers. It should be highlighted that in the proposed algorithm calculated value of maxH might only increase the value of mesh density. If the computed value of maxH is higher than the previously defined global value of the maximal height of a tetrahedral element, the global maxH value is dominant.

Fig. 5. The principles of the control of mesh density parameter maxH in the wire for driving frequency f = 1 kHz, the relative magnetic permeability of the wire material μr = 1000, resistivity of the wire ρ = 1.6·10 -7 Ωm, m1 = 4, m 2 = 3 Rys. 5. Zasady kontroli parametru gęstości siatki maxH w drucie dla częstotliwości zasilania f = 1 kHz, względnej przenikalności magnetycznej materiału drutu μr = 1000, rezystywności drutu ρ = 1,6·10 -7 Ωm, m1 = 4, m2 = 3

To enable the further development of the proposed method as well as its validation, the source code generating results presented in the paper is freely available at: www.github.com/ romanszewczyk/magdyn_meshes. The examples of meshes for the cylindrical wire made of steel (μr = 1000, the resistivity of the wire rr = 1.6·10-7 Wm, m1 = 4, m2 = 3) are presented in figure 6. Meshes were generated according to the described method for the driving frequencies f = 10 Hz, 300 Hz, 1 kHz, and 3 kHz, respectively. It should be observed that mesh density increases mostly nearly the surface, where the highest values of eddy current density J(r) occur, whereas central elements remain relatively large. As a result, the significant reduction of the required number of tetrahedral elements may be reached without significant degradation of the quality of magnetodynamic modeling. For the same high granularity of the model throughout its volume, for 300 Hz – 1 095 817 elements would be needed, for 1 kHz – 7 647 323 elements, and for 3 kHz – 26 359 587 elements. The presented method enables for the number of elements reduction to 696 609 for 300 Hz, 3 097 356 for 1 kHz and 9 413 330 for 3 kHz, which reduces the need for computa-

Improved Control of Mesh Density in Adaptive Tetrahedral Meshes for Finite Element Modeling

Fig. 6. The examples of meshes for the cylindrical wire made of steel (μr = 1000, the resistivity of the wire ρ = 1.6·10 -7 Ωm, m1 = 4, m2 = 3) generated accordingly to the presented method for different values of the driving frequency f: a) 10 Hz, b) 300 Hz, c) 1 kHz, d) 3 kHz Rys. 6. Przykładowe siatki dla drutu cylindrycznego wykonanego ze stali (μr = 1000, rezystywność drutu ρ = 1,6·10 -7 Ωm, m1 = 4, m2 = 3) wygenerowane zgodnie z prezentowaną metodą dla różnych wartości częstotliwości sterowania f: a) 10 Hz, b) 300 Hz, c) 1 kHz, d) 3 kHz

tional memory from 2 (for 300 Hz) through 6 (for 1 kHz) up to 9 times for 3 kHz.

Z- %

The efficient generation of adaptive tetrahedral meshes for magnetodynamic models requires taking into account eddy current distribution. Such meshes can significantly differ from Delaunay tetrahedral meshes suitable for mechanical models. The method proposed in the paper directly connects the amplitude of eddy current density in a cylindrical wire with the maximal acceptable height of a tetrahedral element. As a result, generated meshes are adequate to the requirements of magnetodynamic modeling. In addition, the proposed algorithm was implemented with the use of an open-source code, including NETGEN software. As a result, the proposed solution might be easily developed and validated in further applications.

/ "

5. 6.

Participation of Warsaw University of Technology in the research was funded by the POB Research Centre for Artificial Intelligence and Robotics of Warsaw University of Technology within the Excellence Initiative Program – Research University (ID-UB). The authors express their gratitude to Prof. Joachim Schöberl and the whole NETGEN development team of Vienna University of Technology for their efforts to develop the open-source NETGEN mesher.

Y ( " 10. 1. Benitez D.S., Quek S., Gaydecki P., Torres V., A preliminary magnetoinductive sensor system for real-time imaging of steel

•

reinforcing bars embedded within concrete. “IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement”, Vol. 57, No. 11, 2008, 2437–2442. DOI: 10.1109/tim.2008.924939. Ferguson R.S., Practical algorithms for 3D Computer Graphics. Natick, MA: A K Peters; 2001. Fiala P., Jirku T., Behunek I., Numerical model of inductive flowmeter, “PIERS Online”, Vol. 3, No. 5, 2007; 704–708, DOI: 10.2529/piers061006093241. Gu S., Application of finite element method in mechanical design of automotive parts. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 2017, DOI: 10.1088/1757-899x/231/1/012180. Jiles D., Introduction to magnetism and magnetic materials. Boca Raton: CRC Press/Taylor & Francis Group; 2016. Kriz T., Roubal Z., Practical application of electrical impedance tomography and Electrical Resistive Tomography. 2016 Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS), DOI: 10.1109/piers.2016.7734692. Lü Jia, Clustering algorithm based on Delaunay triangulation density metric. “Journal of Computer Applications”, Vol. 29, 2009, 1380–1381. DOI: 10.3724/sp.j.1087.2009.01380. Nowak P., Szewczyk R., Ostaszewska-Liżewska A., Inverse transformation in eddy current tomography with continuous optimization of reference defect parameters, “Materials”, Vol. 14, No. 17, 2021, DOI: 10.3390/ma14174778. Ostaszewska-Liżewska A., Kopala D., Szałatkiewicz J., Szewczyk R., Råback P., The influence of mesh granularity on the accuracy of fem modelling of the resonant state in a microwave chamber, “Applied Sciences”, Vol. 11, No. 17, 2021, DOI: 10.3390/app11177932. Pacchierotti C., Cutaneous haptic feedback in robotic teleoperation. Springer Series on Touch and Haptic Systems, 2015, DOI: 10.1007/978-3-319-25457-9. Y

•

N R 2/2022

! " # $ $ % 11. Petruk O., Nowak P., Szewczyk R., Implementation of conductance tomography in detection of the hall sensors inhomogeneity. “Acta Physica Polonica A”, Vol. 131, No. 4, 2017, 1186–1188, DOI: 10.12693/aphyspola.131.1186. 12. Pirzadeh S., Structured background grids for generation of unstructured grids by advancing front method. 9th Applied Aerodynamics Conference 1991, DOI: 10.2514/6.1991-3233. 13. Przysowa K., Łaniewski-Wołłk Ł., Rokicki J., Shape optimisation method based on the surrogate models in the parallel asynchronous environment. “Applied Soft Computing”, Vol. 71, 2018, 1189–1203, DOI: 10.1016/j.asoc.2018.04.028. 14. Szewczyk R., Generalization of the model of magnetoelastic effect: 3D mechanical stress dependence of magnetic permeability tensor in soft magnetic materials. “Materials”, Vol. 13, 2020, DOI: 10.3390/ma13184070.

15. Temme N.M., Special functions: An introduction to the classical functions of mathematical physics. New York: John Wiley & Sons; 1996. 16. Weeks W.L., Transmission and distribution of Electrical Energy. Cambridge: Harper & Row; 1981.

5 17. Netgen/NGSolve. https://ngsolve.org/ (accessed April 18, 2022). 18. Ansys Blog. How to Accelerate Ansys Fluent Simulations with Adaptive Meshing. https://www.ansys.com/blog/how-to-accelerate-ansysfluent-simulations-with-adaptive-meshing (accessed April 22,2022).

& + & & & & 4 7 ' ( Siatki tetrahedralne są kluczowym elementem w metodzie elementów skończonych. Ostatnio powszechnie stosowane są siatki adaptacyjne, w których zgodnie z metodą Delaunay’a gęstość powiązana jest z krzywizną krawędzi modelowanego obiektu. Metoda ta jest wyjątkowo efektywna w przypadku modelowania układów mechanicznych. Niemniej jednak wydajność powszechnie stosowanych metod siatkowania jest mocno ograniczona w przypadku zjawisk skupionych na powierzchni modelu, takich jak prądy wirowe indukowane przez procesy magnetodynamiczne. Artykuł przedstawia propozycję ulepszonej metody siatkowania metodą Delaunay’a, uwzględniającą specyficzne wymagania układów magnetodynamicznych. W proponowanej metodzie gęstość siatki tetrahedralnej może być elastycznie modyfikowana odpowiednio do potrzeb modelowanego zjawiska, takiego jak gęstość prądów wirowych. W rezultacie efekty fizyczne mogą być efektywnie i dokładnie opisane za pomocą modeli stworzonych metodą elementów skończonych. W artykule przedstawiono przykład implementacji zaproponowanego rozwiązania dla przewodu cylindrycznego. Pełny kod źródłowy dostępny jest w formie otwartej licencji do dalszego rozwoju i użycia w praktyce. ( V & $ & $ & #; $ & + &

Improved Control of Mesh Density in Adaptive Tetrahedral Meshes for Finite Element Modeling

/ 01 # + 2 $

+ " % ' 2 $

% & ORCID: 0000-0002-5203-8129

& & % & ORCID: 0000-0003-4936-0616

* E < E # ? + & T & ; + + E 8 E G + X ? & Y & + ? + J & & + ? E E J +

* + & E P E # 8 E G + ? 6 - & < E # + & T & ; + + X J & E E & + E P ; # & E ? & + . & + & $ + J &

3$ "

+ +' 2 $

% + ORCID: 0000-0002-1214-1009 * + E V N* <;? 8< . H / < & ? . < E * ? & # 6<*6 G E ' 8 + - + E < & G E < & G E ? $ # E - ? L'!(>/'!(ZM G # 0 & - E E () 8 + L ? & + 0 M & + # E ; E = 6 + < + - L'!(A/'!(QM G & E E + E & $ + & & E & E # S & E $ 0 & [ & & E & G & E E * & . 6 + LH T .M & & + $ & ? &

•

N R 2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022, 29–33, DOI: 10.14313/PAR_244/29

K & P E P F+ . &? & # + + " % .

/ 01 #

8 E G + $ < E # + & T & ; + +$ * T 0 QU 6K?!'?A'A 8 $ 6 &

Roman Szewczyk V . H / < & . < E * & # 6<*6$ * " '!'$ 6K?!'?)Q>$ 8 $ 6 &

Abstract: Highly sensitive fluxgate magnetic field sensors with rod-shaped cores are widely used for non-destructive testing as well as for industrial applications. However, in case of both Foerster and Vacquier (two-core sensors configurations), fluxgate sensors sensitivity is directly connected with the relative magnetic permeability of the sensor’s core. It should be highlighted that the magnetic permeability of rod-shaped magnetic cores is driven mainly by the demagnetization factor determined by its slenderness (aspect ratio). The paper presents the analyses of sensitivity limits of fluxgate sensors with rod-shaped cores. On the base of estimations of demagnetization factor specific for fluxgate sensors, it is shown that in case of rod-shaped cores, the sensor’s sensitivity is connected with the shape of the core rather than its relative magnetic permeability. This conclusion is essential during the development and optimization of functional characteristics of fluxgate sensors. 7 V \ F+ $ & + ] $ + 0

1. Wprowadzenie High-resolution magnetic field measurements play a significant role in many different technological and scientific research areas such as nondestructive testing [1, 5], dangerous objects detection [12] and demining [6], archeological [18] and geological studies [19] as well as space research [21]. In spite of radical advancements in the development of magnetoresistive [8] and magnetoimpedance sensors [4], fluxgate sensors [14] are the most crucial sensor type for room temperature, high resolution, and nearly constant magnetic field measurements. Commonly used fluxgate sensors appear in three main configurations: Foerster configuration [3], Vacquier configuration [15] and ring-shaped core configurations [13]. Highly sensitive fluxgate sensors in Foerster and Vacquier configurations, highly sensitive fluxgate sensors utilize rod-shaped cores made of high permeability soft magnetic materials like permalloy [7] or supermalloy [20]. However, due to the open magnetic circuit of the rod-shaped core, it is observed that magnetic permeability is significantly reduced by demagnetization factor N [10].

/ V . $ % + / , & ! !A '!'' $ & & '! !> '!'' !

Despite the fact that those general calculations of demagnetization factor N for rod-shaped cores were widely presented in the literature [17, 8], the demagnetization factor is considered as the averaged result for the whole rod-shaped core’s length. On the other hand, in the case of fluxgate sensor in Foerster or Vacquier configuration, only a part of its core influences the sensor’s sensitivity. As a result, assessing the effect of demagnetization on the fluxgate sensor’s functional characteristic should be carried out on specific data considering the particular sensor’s construction. Present paper is filling the gap in the state of art by presenting the finite element method (FEM) based solution for estimation of the influence of the demagnetization process on the sensitivity of fluxgate sensor. Presented results indicate that understanding of the demagnetization factor plays a key role in efficient material selection and construction of fluxgate sensors in both Foerster and Vacquier configuration.

- ' & & & _" sensor Geometric model of fluxgate sensors in Vacquier and Foerster configurations are presented in figures 1a and 1b, respectively. In both configurations fluxgate sensor consists of two rod-shaped cores (1), two cylindrical magnetizing windings (2), and one or two sensing windings (3), depending on the sensor’s configuration. It should be highlighted that in case of fluxgate sensors with rod-shaped cores, due to the configuration of elec-

Sensitivity Limits and Functional Characteristics of Fluxgate Sensors with Rod-Shaped Magnetic Cores Finally, the output voltage signal U at the sensing winding can be calculated as:

U = kV

d (B1 + B2 ) dt

(5)

for Vacquier configuration and:

⎡d (B1 ) d (B2 ) ⎤ U = kF ⎢ + ⎥ dt ⎦ ⎣ dt

(6)

for Foerster configuration. In equations (5) and (6) kV and kF are the factors describing the cross-section of rod-shaped cores and the number of turns of sensing coil windings in Vacquier and Foerster sensor configuration, respectively.

In both Vacquier and Foerster fluxgate sensor configurations, the core has to be deeply saturated during each magnetization cycle [14]. In such a case, the second harmonic of a driving signal should be considered as the output signal at the sensing coil [14]. It can be proved that for the linear approximation of B(H) core characteristic with core magnetic relative permeability mrc and saturation at flux density Bs, the amplitude of the second harmonic at the sensing coil is proportional to the core’s relative permeability mrc. However, it should be highlighted that mrc is the relative magnetic permeability of the part of a rod-shaped core covered by the sensing coil, not the relative magnetic permeability mr connected to the properties of the core’s material.

Fig. 1. Geometric models of fluxgate sensors in: a) Vacquier, b) Foerster configurations. 1 – two rod-shaped cores, 2 – two cylindrical magnetizing windings, 3 – one or two sensing windings (3) Rys. 1. Geometria modeli czujników fluxgate w konfiguracjach: a) Vacquier’a, b) Foerster’a. 1 – dwa rdzenie prętowe, 2 – dwa cylindryczne uzwojenia magnesujące, 3 – jedno lub dwa uzwojenia pomiarowe (3)

- "

trical connection of the windings, magnetizing cylindrical coils generate magnetizing field in the opposite directions. In case of sinewave driving current with the amplitude IA, magnetizing fields H1 and H2 in the sensor’s core can be calculated as:

H 1 = H m + km I A sin (2π ft )

(1)

H 2 = H m − km I A sin (2π ft )

(2)

Previously presented methods of assessing the demagnetization factor N of rod-shaped cores consider the whole length of the core [9]. To consider only the magnetization of its central part at 1/3 of the core’s length, the finite element method (FEM) should be used. In the presented research, the open-source FEM toolchain consisting of NETGEN [20], Elmer FEM [23], and ParaVIEW [24] was used. First, a tetrahedral mesh was generated on the base of Delaunay triangulation [16] with NETGEN. Next, the Whitney edge element method [2] was used to solve the magnetic system with Elmer FEM and determine the magnetization distribution in the rod-shaped core. Finally, results were visualized with ParaVIEW and quantitatively analyzed with OCTAVE [25], the open-source MATLAB [26] alternative. Modeling was carried out for the set of values of relative material permeability mr. The linear model with saturation was

where Hm is measured, the external magnetic field, f is the driving current frequency, t is time, and km is the cylindrical driving coil shape factor connecting the current driving with generated magnetizing field. Magnetic flux density B in the core can be calculated as:

B1 = μ0 μrcH 1

(3)

B2 = μ0 μrcH 2

(4)

where m0 is the magnetic constant and mrc is the relative magnetic permeability of a rod-shaped core at the length covered by the sensing winding (3) presented in figure 1. In recently developed fluxgate sensors, sensing winding covers typically 1/3 of the rod-shaped core’s length. Moreover, due to the non-uniform magnetization of the rod-shaped core [9], the relative magnetic permeability mrc of the core should be averaged at length covered by sensing winding. It should be highlighted that relative magnetic permeability of the rod-shaped core mrc is limited by the relative magnetic permeability mr of the core’s material. It is significantly smaller and dependent on the length/diameter relation of the shape of the core.

•

` !{ (

Fig. 2. The tetrahedral mesh of fluxgate sensor in Vacquier configuration. Mesh generated with open-source NETGEN software Rys. 2. Tetrahedralna siatka czujnika fluxgate w konfiguracji Vacquier’a. Siatka wygenerowana za pomocą oprogramowania NETGEN o otwartym kodzie źródłowym

•

N R 2/2022

# $ ! " $ % implemented for the magnetizing curve. However, for measured magnetic field Hm it was considered that its value is significantly lower than the saturation. The analysis of magnetization in the part of the sensor’s core covered by sensing winding was performed for different values of L/D parameter, where L is a constant core’s length equal to 100 mm, whereas D is the core’s diameter.

Z- # &

The results of modeling relative magnetic permeability of the part of a core covered by sensing winding are presented in figure 3. It can be observed that the core’s magnetic permeability is mostly determined by the L/D factor for high permeability materials. Moreover, to achieve high magnetic permeability of the core, resulting in a high fluxgate sensor’s magnetic permeability, the L/D factor should exceed 60. On the base of the proposed method of modeling, the sensitivity S of relative core magnetic permeability to the changes

of relative materials magnetic permeability was calculated. This sensitivity is defined as: S =

Δμrc Δμr

(7)

and was calculated for 10% change of material’s relative magnetic permeability. Presented results clearly indicate that the sensitivity S of core’s relative magnetic permeability significantly decreases for higher values of relative magnetic permeability of core’s materials. For relative magnetic permeability of core’s material mrc about 20 000 and L/D factor equal to 60, the reduction of material’s magnetic permeability results in about 70 times less reduction of core’s magnetic permeability. This phenomenon should be taken into consideration during the development, material selection as well as during the exploitation of fluxgate sensors.

[- %

Fig. 3. The relative magnetic permeability μ of the part of a core of fluxgate sensor covered by the sensing winding as a function of core’s length L to diameter D factor. Calculated for different values of relative magnetic permeability of core’s material mr = 100, 200, 500, 1 000, 2 000, 5 000, 10 000 and 20 000 Rys. 3. Względna przenikalność magnetyczna μ części rdzenia czujnika fluxgate objętej uzwojeniem detekcyjnym jako funkcja długości rdzeni L w zależności od średnicy D. Wyniki dla różnych wartości względnej przenikalności magnetycznej materiału rdzeni mr = 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10 000 i 20 000

Finite element method-based calculation presented in the paper enables the assessment of the influence of demagnetization process on the sensitivity of fluxgate sensors with rod-shaped cores in both Vacquier and Foerster configurations. The proposed method considers that the sensing coil of the fluxgate sensor covers only the part of the rod. As a result, previously determined demagnetization factors for the rods can’t be easily adapted. It should be highlighted that the proposed method utilizes only open-source software, which significantly reduces the costs of the possible practical application of the proposed method. The results of modeling clearly indicate that to reduce demagnetization, the core’s length to diameter L/D factor should exceed 60. Moreover, for rod-shaped cores, the increase of core material relative magnetic permeability doesn’t significantly influence the functional properties of fluxgate sensors. Furthermore, the increase of core’s material magnetic permeability reduces the sensitivity of relative core magnetic permeability to the changes of relative material’s magnetic permeability. The results of modelling indicates that for relative magnetic permeability of core’s material mrc about 20 000 and L/D factor equal 60 (which is a typical value for practical applications of fluxgate sensors), the reduction of material’s magnetic permeability results in about 70 times less reduction of core’s magnetic permeability. Such a significant reduction of core’s sensitivity changes of material’s relative magnetic permeability is valuable from the point of view of development, material selection and the exploitation of fluxgate sensors.

Y ( "

Fig. 4. The dependence of core’s relative magnetic permeability sensitivity on core’s length L to diameter D factor. Calculated for different values of relative magnetic permeability of core’s material mr = 100, 200, 500, 1 000, 2 000, 5 000, 10 000 and 20 000 Rys. 4. Zależność wrażliwości względnej przenikalności magnetycznej rdzenia od długości rdzenia L do współczynnika średnicy D. Wyniki dla różnych wartości względnej przenikalności magnetycznej materiału rdzenia mr = 100, 200, 500, 1 000, 2 000, 5 000, 10 000 and 20 000

1. Claycomb J.R., Brazdeikis A., Le M., Yarbrough R.A., Gogoshin G., Miller J.H., Nondestructive testing of PEM fuel cells, “IEEE Transactions on Applied Superconductivity”, Vol. 13, No. 2, 2003, 211–214, DOI: 10.1109/TASC.2003.813687. 2. Dibben D.C., Metaxas R., A comparison of the errors obtained with Whitney and linear edge elements, “IEEE Transactions on Magnetics”, Vol. 13, No. 2, 1997, 1524– 1527, DOI: 10.1109/20.582551. 3. Gaffney C., Gaffney V., Cuttler R., Yorston R., Initial results using GPS navigation with the Foerster magnetometer system at the World Heritage site of Cyrene, Libya.

Sensitivity Limits and Functional Characteristics of Fluxgate Sensors with Rod-Shaped Magnetic Cores

“Archaeological Prospection”, Vol. 15, No. 2, 2008, 151–156, DOI: 10.1002/arp.330. 4. Gazda P., Szewczyk R., Novel Giant Magnetoimpedance Magnetic Field Sensor, “Sensors”, Vol. 20, No. 3, 2020, DOI: 10.3390/s20030691. 5. Wei G., Chu J., A transducer made up of fluxgate sensors for testing wire rope defects. “IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement”, Vol. 51, No. 1, 2002, 120–124, DOI: 10.1109/19.989914. 6. Gürkan S., Karapınar M., Doğan S., Detection and Imaging of Underground Objects for Distinguishing Explosives by Using a Fluxgate Sensor Array. “Applied Sciences”, Vol. 9, No. 24, 2019, DOI: 10.3390/app9245415. 7. Lei J., Lei, C. Zhou Y., Analysis and comparison of the performance of MEMS fluxgate sensors with permalloy magnetic cores of different structures. “Measurement”, Vol. 46, No. 1, 2013, 710–715, DOI: 10.1016/j.measurement.2012.09.009. 8. Joseph R.I., Ballistic Demagnetizing Factor in Uniformly Magnetized Cylinders. “Journal of Applied Physics”, Vol. 37, No. 13, 1966, DOI: 10.1063/1.1708110. 9. Joseph R.I., Schlömann E., Demagnetizing Field in Nonellipsoidal Bodies. “Journal of Applied Physics”, Vol. 36, No. 5, 1965, DOI: 10.1063/1.1703091. 10. Matyuk V.F., Osipov A.A., Central demagnetization factor for bodies with different shapes. II. Rectangular rods. “Russian Journal of Nondestructive Testing”, Vol. 36, 2000, 27–32, DOI: 10.1007/bf02759390. 11. Morten B., De Cicco G., Prudenziati M., Masoero A., Mihai G., Magnetoresistive thick film sensor for linear displacements. “Sensors and Actuators A: Physical”, Vol. 46, No. 1–3, 1995, 261–265, DOI: 10.1016/0924-4247(94)00902-t. 12. Note N., Saey T., Gheyle W., Stichelbaut B., Van den Berghe H., Bourgeois J., Van Eetvelde V., Van Meirvenne M., Evaluation of fluxgate magnetometry and electromagnetic induction surveys for subsurface characterization of archaeological features in World War 1 battlefields. “Geoarchaeology”, Vol. 34, No. 2, 2018, 136–148, DOI: 10.1002/gea.21700. 13. Primdahl F., Brauer P., Merayo J.M.G., Nielsen O.V., The fluxgate ring-core internal field, “Measurement Science and Technology”, Vol. 13, 2002, DOI: 10.1088/0957-0233/13/8/312. 14. Ripka P., Review of fluxgate sensors. “Sensors and Actuators A: Physical”, Vol. 33, No. 3, 1992, 129-141, DOI: 10.1016/0924-4247(92)80159-z. 15. Ripka P., Janosek M., Butta M., Billingsley S.W., Wakefield E., Crossfield effect in magnetic sensors. “Sensors”, 2009, DOI: 10.1109/icsens.2009.5398405. 16. Rui Y., Wang J., Qian C., Liu J., Li X., A new compound algorithm study for Delaunay triangulation construction. 2007, SPIE Proceedings, Vol. 6751, DOI: 10.1117/12.759487. 17. Sato M., Ishii Y., Simple and approximate expressions of demagnetizing factors of uniformly magnetized rectangular rod and cylinder. “Journal of Applied Physics”, Vol. 66, No. 2, 1989, DOI: 10.1063/1.343481. 18. Smriglio F., Papale E., Verga F., Piro S., Noninvasive geophysical integrated survey at Madonna del Giglio (Sabine necropolis, Magliano Sabina, Latium, Central Italy). “Archaeological and Anthropological Sciences”, Vol. 12, 2020, DOI: 10.1007/s12520-020-01029-x. 19. Topal U., Can H., Çelik O.M., Narman A., Kamiş M., Çıtak V., Çakrak D., Sözeri H., Svec P., Design of Fluxgate Sensors for Different Applications from Geology to Medi-

•

cine. “Journal of Superconductivity and Novel Magnetism”, Vol. 32, 2018, 839–844, DOI: 10.1007/s10948-018-4781-x. 20. Topal U., Svec P., Can H., Celik F., Birlikseven C., Skorvanek I., Andrejka F., Kunca B., Marcin J., Svec P., Janotova I., Uygur A., Optimization of the Temperature Stability of Fluxgate Sensors for Space Applications. “IEEE Sensors Journal”, Vol. 21, No. 3, 2021, 2749–2756, DOI: 10.1109/jsen.2020.3024547. 21. Turner S., Hall M.J., Harmon S.A.C., Hillier N., Calibration of a Novel Three-Axis Fluxgate Gradiometer for Space Applications, “IEEE Transactions on Magnetics”, Vol. 51, No. 1, 2015, DOI: 10.1109/tmag.2014.2360614.

5 22. 23. 24. 25. 26.

https://ngsolve.org/ https://github.com/ElmerCSC/elmerfem https://www.paraview.org/ https://www.gnu.org/software/octave/index https://www.mathworks.com/products/matlab.html

•

N R 2/2022

# $ ! " $ %

O E 4 \ F+ & + 4 Streszczenie: Bardzo czułe sensory pola magnetycznego typu fluxgate z rdzeniami w kształcie prętów są szeroko stosowane w badaniach nieniszczących, jak również w zastosowaniach przemysłowych. Jednak zarówno w przypadku czujnika w konfiguracji Foerster’a, jak i Vacquier’a (obie konfiguracje dotyczą sensorów dwurdzeniowych) ich czułość jest bezpośrednio związana ze względną przenikalnością magnetyczną rdzeni. Należy podkreślić, że o przenikalności magnetycznej prętowych rdzeni magnetycznych decyduje przede wszystkim współczynnik rozmagnesowania określony przez jego smukłość (proporcje). W artykule przedstawiono analizę granic czułości sensorów typu fluxgate z rdzeniami prętowymi. Na podstawie oszacowań współczynnika rozmagnesowania charakterystycznego dla czujników typu fluxgate wykazano, że w przypadku rdzeni prętowych czułość sensora związana jest raczej z kształtem rdzenia niż z jego względną przenikalnością magnetyczną. Wniosek ten jest szczególnie ważny podczas opracowywania i optymalizacji charakterystyk funkcjonalnych czujników fluxgate. ( V \ F+ $ 4 & + $ R +

+ " % ' 2 $

/ 01 # + 2 $

& & % & ORCID: 0000-0003-4936-0616

% & ORCID: 0000-0002-5203-8129

* + & E P E # 8 E G + ? 6 - & < E # + & T & ; + + X J & E E & + E P ; # & E ? & + . & + & $ + J &

* E < E # ? + & T & ; + + E 8 E G + X ? & Y & + ? + J & & + ? E E J +

3$ "

+ +' 2 $

NR 3/2015

•

N R 2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022, 35–46, DOI: 10.14313/PAR_244/35

; E 6 # ; 66 6 0 + # G [ 4 8 6 E G + $ P E ; ; + +$ 6 4 (Z$ Z!? (!

., ( The paper presents a modification of the pressure-pressure (PP) sound intensity measurement method. In the proposed solution simultaneous measurement with a pair of microphones (used in the classical PP probe) is replaced by a sequence of measurements taken with a single microphone placed in successive positions. This approach requires an additional (reference) microphone to synchronize the successive measurements. Although, in the process of calculating the sound intensity only the signal from the measurement microphone is used. Thanks of this the errors associated with differences in the frequency responses of the measurement microphones (especially phase mismatch error) that occurs in the classical PP method are eliminated. This approach simultaneously increases the random error and limits the measurements to periodic signals only. The article presents the principle of operation of the classical PP probe and the currently used methods of phase mismatch error elimination based on pre-calibration of the probe. Next, the theoretical basis of the proposed measurement method is described. To verify the effectiveness of phase mismatch error elimination in the proposed method, an experiment was conducted. It consisted in estimation the angle of incidence of an acoustic wave under controlled conditions in an anechoic chamber. The measurement was carried out with the classical PP probe and with the modified method. Measurements were made for different sound sources (a loudspeaker set and a small electrical device). In the final part of the paper, the results are discussed, both methods (classical and modified) are compared and potential applications of the proposed method are indicated. 7 V 66? 0 $ & $

1. Indroduction 1.1. Sound intensity and its applications The theoretical basis of sound intensity was formulated in 1878 by Lord Rayleigh in his work “Theory of sound”. Attempts to measure this quantity took place in the following decades of the 20th century. A breakthrough came in 1977 when Fahy and Chung (independently) described the concept of using Fast Fourier Transform (FFT) and a cross-spectrum method to calculate the sound intensity from signals coming from two microphones [5, 3]. This method allowed the construction and

/ V # . 7 $ % & / , & (' !( '!'' $ & & !Q !A '!'' !

practical use of sound in-tensity probes (so-called intensity probes). Due to the dynamic development, intensity measurements and the probes used in them have been included in international standards [28–31]. Examples of application areas of the sound intensity measurement are: − determination of sound power of the sources [28–30]; − testing the acoustic absorption of materials [7, 23]; − localization of sound sources (Direction of Arrival estimation) [2, 12, 13, 17, 18]; − testing of acoustic energy flow in waveguides and closed areas [26]; − testing the properties of diffusers and loudspeakers [18, 19]; − scanning of noise sources to indicate the mechanism of noise generation [22, 24, 25]; − measurement of acoustic impedance [15]. A significant advantage of sound intensity measurements (in comparison to the most popular pressure measurements) is the possibility of making the measurements without an anechoic chamber, e.g. on a production hall in the presence of noise generated by many sources (in-situ).

Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique Then, the acoustic velocity (more precisely: one component lying on the line passing through the acoustic centers of the used microphones) can be calculated using:

Measurement of sound intensity is connected with the necessity of using more complicated measuring equipment (in comparison to sound pressure measurements which require the only microphone). To mathematically describe the sound intensity it is necessary to define two terms: sound pressure and particle velocity. Acoustic (sound) pressure is defined as pressure oscillations around a fixed level (usually atmospheric pressure). The value of the acoustic pressure at the time in the presence of a fixed pressure is described by (1).

pa (t ) = p(t ) − p0 ,

1 t G u(t ) = − ∫ [ p (τ ) − pa 2 (τ )]d τ ρΔx −∞ a1

The pressure is the average of the pressures recorded by a pair of microphones is done by: pa =

(1)

I =

(2)

P1P2 sin ϕa P1P2ϕa ≈ 2ωρΔx 2ωρΔx

(3)

SIL = 10 log10

A sign of the sound intensity indicates the direction of the acoustic energy flow (to or from the acoustic source). In practice, the average sound intensity described by: (4)

1.2. PP probe principle

SILm − SIL = 10 log10 1 +

In the PP-type probe, the determination of the acoustic velocity is done indirectly. Based on the linearized Euler equation, the acoustic velocity (in one direction) is given by:

1 ∂ G u(t , x ) = − ∫ p(t , x )dt ρ ∂x

δ pI 0

•

ϕb ϕa

(10)

⎛ Δx ω ⎞ ⎜ c⎟ = 10 log10 ⎜ ϕb ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠

(11)

International standards [4] defines the minimum values of Pressure-Residual Intensity Index for I and II class PP probes. Phase mismatch error is especially important for measurements performed at low frequencies (d 500 Hz) in the near field [33]. The measurement microphones used in a commercial PP probes have a phase mismatch error of 0.05 deg for 250 Hz and proportional to frequency [11, 36]. The use of such microphones results in a high price of the PP probe. Even when using high

Fig. 1. Measurement microphones used in one-dimensional PP probe; M1, M2 – microphones Rys. 1. Mikrofony pomiarowe użyte w sondzie pomiarowej (do pomiaru jednej składowej wektora natężenia dźwięku) typu PP. M1, M2 – mikrofony

(9)

Commonly, the assumed acceptable value of the error in sound intensity estimation is 1 dB [6]. The difference between Sound Pressure Level (SPL) and Sound Intensity Level (SIL) obtained when an identical signal is applied to both microphones is called Pressure-Residual Intensity Index [10] denoted by δ pI 0 and described by:

(5)

The gradient operation is approximated by the differential quotient using the sound pressure recorded simultaneously by two microphones located at a short distance Δx from each other (Fig. 1).

P1P2ϕa 2ωρΔxI 0

There are several types of systematic errors occurring in sound intensity measurement using PP probe (diffraction error, finite difference error [6]). Especially important is the error resulting from the fact that two pressure signal acquisition channels (microphones, amplifiers, etc.) used to determine a sound intensity component do not have the same frequency characteristics (amplitude and phase). The phase mismatch error of the microphones is particularly significant. In the real intensity probe, in addition to the shift introduced by the geometric distance between microphones, there is an additional phase shift introduced by the microphones. If we denote this shift by ϕb the error between real (SIL) and measured (SILm) sound intensity level is given by the:

Nowadays, there are two main types of sound intensity probes: PU probes (e.g. Microflown [1]) and PP probes. A PU probe consists of a pressure microphone (P) that allows the measurement of the sound pressure and a velocity sensor (U) that is used to measure the acoustic velocity. In modern PU intensity probes, acoustic velocity measurement is based on two alternative technical solutions: an ultrasonic sensor or a hot-wire anemometer sensor. The velocity sensor allows the determination of one, two, or three orthogonal components of the acoustic velocity vector. The main disadvantage of the PU probe is the high price and the significant failure rate of the velocity sensor.

(8)

1.3. Phase mismatch error and its elimination

G 1 G I avg = lim ∫0T I inst (t )dt T →∞ T

(7)

The approximation is correct for small angles: ϕa 1 rad, which, in the case of the PP probe (typical distance between microphones in PP probe is 8–25 mm) is generally satisfied [6]. The sound intensity level in this case is equal to:

The instantaneous sound intensity is the product of the instantaneous particle velocity and the instantaneous sound pressure. It is described by: G G I inst (t ) = pa (t ) ⋅ u(t )

pa1 + pa 2 2

For the harmonic plane wave and a phase shift between signals p1 and p2 with RMS values P1 and P2 equal to ϕa sound intensity is equal to:

Particle velocity defines the instantaneous velocity of an acoustic elementary particle. It is a vector quantity described in the Cartesian coordinate system by (2). G G G G u(t ) = iux (t ) + juy (t ) + kuz (t )

(6)

•

N R 2/2022

& quality measurement microphones, their characteristics may fluctuate over time. Therefore (and also in the case of probes using a lower class microphones [8]) it is necessary to periodically perform an initial calibration of the probe. The basic calibration method [6, 14] involves placing both PP probe microphones in the pistonphone and applying a wide-band signal to them. Then, by calculating the cross-spectral signals coming from both microphones, the pressure-residual intensity index is determined. In [9], a simplified calibration method was presented by taking measurements twice and switching microphones between measurement channels. Another method [21] requires the use of a reference (previously calibrated) measuring probe and is carried out in an anechoic chamber. Phase mismatch error is eliminated by taking comparative measurements with two probes. This type of approach is used for PP probes used to measure acoustic power [11]. A range of interesting solutions related to frequency response correction of microphones are used in Acoustic Vector Sensor (AVS) devices, which are based on the PP probe principle and are used to determine the angle of attack of an acoustic wave (Direction of Arrival – DOA). In publication [27], a calibration method is presented that requires carrying out several (at least three) preliminary measurements for different incidence angles of the acoustic wave. Then an all-phase Fast Fourier Transfer is applied to correct the phase shift (and also the gain) between the acoustic velocity and the acoustic pressure. A similar solution presented in [12, 13] was to use DSP algorithms (cross-correlation, sweep technique, FFT) and perform calibration in two steps. First the amplitude responses are corrected and then the phase responses. This approach has been implemented using popular MEMS microphones and a DSP board. The advantage of this approach is that the properties of the sound field during calibration do not need to be known exactly, but must remain constant throughout the calibration process. The use of an anechoic chamber during calibration seems to be necessary. A common feature of all the above mentioned methods of phase mismatch error elimination is the necessity to apply an initial calibration procedure carried out in a known (or at least unchanging) acoustic field. For PP probes designed for sound power measurements, additional equipment (pistonphone) or a reference probe is additionally required. Furthermore, the calibration procedure has to be systematically repeated due to variations of the microphone parameters over time. Elimination of the necessity of the initial probe calibration is possible by use a single-microphone PP method. In this type of PP probe the measurement microphone is placed in positions corresponding to the positions of microphones in the classical PP probe. Similar to a standard PP probe, the microphone must

be set in two positions to measure one sound intensity component. For two and three components, the number of positions is 4 and 6, respectively. Acoustic pressure is measured at each position of the microphone. Of course, these measurements must be synchronized and the acoustic field must be repeatable. Two types of synchronization could be used: − direct synchronization of the excitation signal and measurement data acquisition process; − use of an additional (external) synchronization signal. Direct synchronization of the acquisition and generation processes is only possible in a limited number of applications – generally only in cases where the sound source is a loudspeaker set controlled by a generation system synchronized with the acquisition system. This is impossible to achieve when the sound source is, for example, an electrical machine. In direct synchronization method, no additional data acquisition channels used to synchronize signals from subsequent measurements are required. This approach can be used, for example, to measure the acoustic parameters of loudspeakers [19], diffusers, reflective elements [18] or to measure the impulse (intensity) response of the room [20]. The second method of synchronization can be used to analyse acoustic fields generated by “autonomous” sources. This means that the acoustic source is not directly synchronized with the data acquisition process. Although, the acoustic field generated by the source must be periodically. In this case, an additional measurement channel used to synchronize the signals recorded at successive microphone positions is required. The main disadvantage of the single-microphone method is that it can only be used for periodically acoustic signals. In [16] a method with external synchronization was used to measure the sound intensity distribution in the waveguide. This method required an additional reference signal from generator. The consequence of use of only one measurement microphone was the elimination of any errors (including phase mismatch error) associated with differences in the frequency responses of the microphones. The article discusses the influence of sampling frequency on the accuracy of measurement and how to increase it by oversampling. A high quality measurement microphone was used in the experiment. The results obtained were compared with measurements made with a commercial PP-type probe. In the works [17–19] direct synchronization of the measurement signal generation and acquisition processes was used, which allowed the elimination of the reference microphone. The measurement method was used to measure the reflective properties of materials and to measure the parameters of loudspeakers. A commercial PU-type probe was used as a reference. In [20] a comparison was made between two measurement methods using low-cost miniature microphones: a classical PP

Table 1. Comparison of PP methods Tabela 1. Porównanie metod PP One-Microphone PP Classical PP

− the necessity to apply a calibration procedure under controlled acoustic field conditions − can be applied to any type of acoustic field (stationary and non-stationary)

with direct synchronization

with external synchronization

− calibration procedure is unnecessary − can only be applied to situations where the sound source is fully synchronized with the data acquisition process (e.g. loudspeaker and microphone controlled by a common generation/ acquisition interface)

− calibration procedure is unnecessary − acoustic signal must be periodic (e.g. an electric machine unning periodically) − random error is high and dependent of sampling frequency − additional (reference) microphone (or another sensor is necessary to synchronize measurements in two positions

Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique probe and a single-microphone PP probe using direct synchronization of the signal acquisition and generation process. Table 1 gives an illustrative overview of the advantages and disadvantages of the classical PP method, the single-microphone PP method with direct synchronization and the single-microphone PP method with external synchronization. The aim of this paper is to compare the classical PP method and the single-microphone PP method wit external synchronisation using an additional reference microphone. Both probes were based on low-cost microphones. The performed experiment consisting in the estimation of the angle of incidence of the wave on the measuring probe allows for a quantitative comparison of both methods and an assessment of the efficiency of phase mismatch error elimination in the single-microphone method.

Fig. 3. Signals from the measurement and reference microphone: before (a) and after (b) synchronization. In the final form are the signals: p1 and p 2(–Δt) Rys. 3. Sygnały z mikrofonu pomiarowego (p(t)) oraz mikrofonu referencyjnego (pref(t)) zarejestrowane w pozycji 1. i 2. Sygnały przed (a) oraz po (b) przeprowadzeniu synchronizacji. Sygnały w ostatecznej wersji (gotowej do wyznaczenia na ich podstawie jednej składowej natężenia dźwięku) to: p1 oraz p2(–Δt)

- 5 '' _ }

An important feature of the synchronous method with external synchronization is that, although two microphones are used (a variable position measurement microphone and a reference microphone), only the signals from the measurement microphone are used to calculate the sound intensity. The reference microphone is used only to synchronize the signals from the measurement microphone. Therefore, differences in the frequency responses of the measurement and reference microphones do not affect the accuracy of the measurement. The described method of measurement allows theoretically the complete elimination of the phase mismatch error (and other errors resulted from non-identical parameters of PP probe channels). Unfortunately, a significantly higher random error in comparison with the classical PP method occurred in the modified method (it is connected with the sampling frequency). According to the theory, this error can be eliminated using statistical methods. By sampling a signal of the frequency fa with sampling frequency fs maximum value of synchronization error ϕs is done by:

In this measurement method the acoustic pressure is recorded simultaneously by the measurement microphone (placed in successive positions) and an additional reference microphone, located in the constant position during the all measurement process. An example of a measurement sequence in two positions is shown symbolically in Fig. 2.

ϕs =

The successive measurements are not synchronized, therefore the phases of the recorded signals are random. The application of an algorithm (e.g. cross-correlation) allows determining the phase shift between reference signals recorded in the subsequent measurements. Then the signal p2 is shifted by this value in relation to the signal p1. The result is a pair of signals whose phase shift corresponds to the phase shift between signals acquired by microphones in a standard PP probe. The process of signal synchronization is illustrated in Fig. 3. P

•

(12)

The reduction of the error can be obtained most simply by increasing the sampling rate. For example, for: fa = 1 kHz, Δx = 10 mm and assumed ϕs < 0,1°, fs = 3.6 MHz. Such a high sampling rate is difficult to achieve with equipment designed for audio recording. Another way to reduce random error is oversampling performed after the data acquisition process. This solution was proposed in [16]. Since the error ϕs has a random character, it is possible to use statistical methods to eliminate it. The simplest method is to make a series of measurements and average the results. According to the theory, performing N averages reduces the standard deviation (whose main source is ϕs ) N times.

Fig. 2. Position 1 (a) and position 2 (b) of the measurement microphone (M) and reference microphone (M ref) during the measurement. The example waveforms recorded by the microphones are presented on the right Rys. 2. Pozycja 1 (a) i pozycja 2 (b) mikrofonu pomiarowego (M) oraz mikrofonu referencyjnego (Mref) podczas pomiaru. Przykładowe zarejestrowane sygnały są zaprezentowane po prawej.

360° fa fs

3. The experiment To verify the possibility of eliminating the phase mismatch error by using the one-microphone measurement method with external synchronization (with reference microphone), an expeA

•

N R 2/2022

& riment was carried out. It was based on the determination of the angle of attack of the acoustic wave on the intensity probe. There is a group of specialized devices (Acoustic Vector Sensor – AVS [2, 12, 13, 17, 18]) for the determination of Direction of Arrival (DoA) of acoustic wave. In the case of the proposed one-microphone measurement method, it is not possible to apply it to the determination of DoA for real-time random signals. Nevertheless, conducting an experiment consisting in the estimation of the angle under controlled conditions of a steady acoustic field for known values of this angle allows to determine the estimation error. Then the phase mismatch error can be determined.

3.1. Influence of phase mismatch error on & 2 angle estimation In a two-dimensional plane, to estimate angle a (Fig. 4), two components of sound intensity (perpendicular to each other) marked as Ix, Iy (13) must be measured.

⎛ Iy ⎞ ⎝ I x ⎟⎠

αest = arctg ⎜

(13)

Estimation error is given by:

αerr = αest − α

(15)

Figure 5 shows the calculated error values of the angle estimation α as a function of the true value of this angle for several values of phase mismatch error for frequencies: 500 Hz and 1000 Hz.

3.2. Experimental setup The measurement system is shown in Fig. 6. Type of the used microphones was Sonion 8011. Diameter of the microphones was 2.56 mm (0.1 inch). Frequency response was about 150 Hz–12 kHz. Details of the used transducers are described in [32]. The distance between the geometric centers of the microphones was 10 mm. Microphones were placed in a specially prepared plastic, symmetrical disc-shaped head. It is visible in Fig. 7. The positioning inaccuracy (estimated at 0.1 mm) introduces an additional phase mismatch, which for low frequencies is negligible (for 250 Hz about 0.02 degree). For higher frequencies its importance increases (for 5 kHz it is 0.5 degrees).

Fig. 4. Interpretation of the incidence angle of the wave on the PP probe. The direction of wave propagation coincides with the probe axis (left), the direction of wave propagation is angled away from the probe axis by angle α (right) Rys. 4. Interpretacja kąta padania fali akustycznej na sondę pomiarową. Kierunek propagacji fali pokrywa się z osią sondy (po lewej), kierunek propagacji fali jest odchylony o kąt α od osi sondy (po prawej)

In the classical PP probe (assuming identical amplitude responses of both microphones) the angle α is estimated by the equation:

αest

⎛ Δx ω sin α + ϕ ⎞ b ⎛ Iy ⎞ ⎜ ⎟ c = arctg ⎜ ⎟ = arctg ⎜ ⎟ ω ⎝ Ix ⎠ cos α ϕ x Δ − ⎜⎝ b⎟ ⎠ c

where ϕb is phase mismatch error.

(14)

Fig. 6. Measurement setup in the anechoic chamber. Measurement of: loudspeaker set (a), small electrical device (b) Description of the components: 1 – Active loudspeaker set, 2 – Measurement probe head, 3 – signal generator, 4 – Stepper motor, 5 – Reference microphone, 6, 7 – Amplifiers, 8 – Stepper motor driver, 9 – Industrial computer, 10 – Tested electrical device Rys. 6. Stanowisko pomiarowe w komorze bezechowej. Pomiar z wykorzystaniem: zestawu głośnikowego (a), małego urządzenia elektrycznego (b). Opis elementów: 1 – aktywny zestaw głośnikowy, 2 – głowica sondy pomiarowej, 3-generator sygnału sinusoidalnego, 4 – silnik krokowy, 5 – mikrofon referencyjny, 6,7 – przedwzmacniacze, 8 – sterownik silnika krokowego, 9 – komputer przemysłowy, 10 – badane urządzenie elektryczne

Fig. 5. Values of angle α estimation error for 500 Hz (a) and 1000 Hz (b) for different values of phase mismatch error (values in degrees) as a function of angle α Rys. 5. Wartości błędu estymacji kąta α dla częstotliwości 500 Hz (a) oraz 1000 Hz (b) dla różnych wartości błędu fazowego (jego wartości podane w stopniach) jako funkcja kąta α

Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique

3.3. Data processing

The stepper motor allows the head to rotate in the horizontal plane with a resolution of 1.8 degrees (there are 200 positions per full rotation). Due to the presence of two microphones, the probe can be used as a classic PP probe (using two microphones) or as a single-microphone probe (using one microphone in the probe and reference microphone which is fixed and located outside the probe – Fig. 6). The measurements were performed in an semi-anechoic chamber with a lower cut-off frequency of about 300 Hz. The sound source was a loudspeaker set type Genelec 8040 [33] controlled by a signal generator. Measurement data acquisition is performed by analog to digital converters (ADC) with a 16-bit resolution that are part of the PXIe-6368 [34] card. It cooperates with an industrial computer type PXie-1082 [35].

The signals recorded in the described experiments allow the a estimation in each position of the probe head. The estimation was performed for both classical and modified methods to compare them. Two methods of calculating Ix and Iy components of the sound intensity vector are presented below. 1. Classical PP method In the classical PP method, at first, the sound intensity values (using Equation 11 in the discrete version) were calculated for each head position using two microphones: M1 and M2. The intensity at position n is calculated according to the: I n = f ( p1n (t ), p2n (t ))

(16)

The expression f() denotes the function described by Equation (6), p1n(t), p2n(t) denote the acoustic pressures from microphone 1 and 2 recorded at position n, respectively. Then, based on the obtained intensities, the a estimations were calculated using the equation:

(17)

Fig. 7. Probe head Rys. 7. Głowica sondy

- ! & ` { '' _ In the modified method, a microphone (M1) and a reference microphone (Mref) are used to determine the sound intensity components (In). The sound intensity at position n is determined by the equation:

To determine the angle estimation error for the full range of angles the probe head was set in 200 successive positions. At each position, the acoustic pressure was measured with the probe microphones and with an additional reference microphone. This approach allowed the estimation error of the a angle to be determined using the classical PP method (the signals from both: M1 and M2 microphones, were used for the calculations) and the PP method with external synchronization (the signals from microphone M1 and the reference microphone were used for the calculations). The successive head positions are shown in Figure 8.

I n = f ( p1n (t ), p1n +100 (t + Δt ))

The symbol p1n(t) represents the pressure from microphone M1 at position n, and p1n +100 (t + Δt ) represents the pressure recorded by microphone M1 at position n + 100 (which means rotating the head by 180 degrees) in reference to position n). This pressure is shifted in time by Δt. The Δt factor is calculated from the signals recorded by the reference microphone Mref while the head was placed at positions n and n + 100. It is described by the equation: Δt = m

A series of 100 measurements were made at each position of the probe head with a 100 kHz sampling rate. The described measurement procedure was carried out for three different sound sources: − 500 Hz sinusoidal signal feeding the loudspeaker set; − 100 Hz rectangular signal feeding the loudspeaker set; − noise from the small electrical device (blender type SilverCrest SSMS 600 C3 600 W 230 V); The measurement data were saved in standard LVM format. The head positioning and data acquisition were controlled by an application written in the LabVIEW software. P

•

1 fs

(19)

m takes the value for which the variable diff defined by (20) takes the minimum value. This means that the signals recorded by the reference microphone when the probe head was in the position n and in the position n + 100 are the best synchronized (in the sense of their squared error):

Fig. 8. Successive positions of the probe head during the measurement Rys. 8. Kolejne pozycje sondy pomiarowej podczas pomiaru

(18)

diff = ( prefn (t ) − prefn +100 (t + m )) , 2

m = 0,1,2,..., M

(20)

prefn(t) is a fragment of the signal recorded by the reference microphone when head was at position n, and prefn +100 (t + m ) is a fragment of the signal recorded by the reference microphone when the head was at position n + 100, shifted in time by m samples. A

•

N R 2/2022

4. Results

5. Discussion

Figure 9 shows the calculated values of the a estimation error (in degrees) as a function of the true value of this angle (head position) for a sampling frequency (fs) of 50 kHz (obtained by the decimation of the original signal). Calculations were performed for several numbers of averages (denoted by N) of sound intensity In. Figure 10 shows the same data for fs = 100 kHz. Figure 11 shows the standard deviation values of the a estimation error for different averages for the classical method (blue color) and the modified method (red color) for fs = 50 kHz (a) and fs = 100 kHz (b). For the analyses of the rectangular signal, the recorded signals (p1, p2, pref) were filtered with a 2nd order bandpass filter with Butterworth characteristics. The filtering was done for standard 1/3 octave bands with standard center frequency values: 250 Hz, 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 5 kHz. For each of the described frequencies, the a estimation error values were calculated (only for the maximum number of performed averages N = 100). Results are presented in Fig. 12. The same analysis was performed for the recorded signal coming from the electrical device. The results are shown in Fig. 13.

The conducted experiment performed for three types of acoustic signals allowed verification of how the type of signal influences the accuracy of a estimation error. The measurement performed for the sinusoidal signal is the most idealized case, in which the factors that could influence the result (e.g. filtering process used for rectangular signal) were eliminated. Figures 8–10 clearly show that increasing the number of averages N causes a decrease of the statistical error in synchronized PP method, but error in classical PP method is generally independent of the number of averages and sampling frequency. It is still equal about 6.7 degrees. This is obvious, since in the classical PP method the main component of the angle a estimation error is the phase mismatch error (bias error). In the synchronous method, in contrast, the main component of the angle a estimation error is the random error resulting mainly from the sampling frequency (but also from the variation of the acoustic field). The synchronous method without any averaging (N = 1) has a larger a estimation error than the classical method (for both

Fig. 9. α estimation error as a function of head position for several numbers of signal averages (N = 1, 4, 9, 25, 64, 100) for fs = 50 kHz. The blue color indicates the classical PP method, the red color the modified (synchronous) PP method. Values expressed in degrees Rys. 9. Błąd estymacji kąta α w funkcji pozycji głowicy dla różnych liczb uśrednień sygnału pomiarowego (N = 1, 4, 9, 25, 64, 100) dla częstotliwości próbkowania równej 50 kHz. Kolorem niebieskim oznaczono wyniki dla klasycznej metody PP, czerwonym dla zmodyfikowanej (synchronicznej). Wartości podano w stopniach

Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique

Fig. 10. α estimation error as a function of head position for several numbers of signal averages (N = 1, 4, 9, 25, 64, 100) for fs = 100 kHz. The blue color indicates the classical PP method, the red color the modified (synchronous) PP method. Values expressed in degrees Rys. 10. Błąd estymacji kąta α w funkcji pozycji głowicy dla różnej liczby uśrednień sygnału pomiarowego (N = 1, 4, 9, 25, 64, 100) dla częstotliwości próbkowania równej 100 kHz. Kolorem niebieskim oznaczono wyniki dla klasycznej metody PP, czerwonym dla zmodyfikowanej (synchronicznej). Wartości podano w stopniach

Fig. 11. Dependence of the standard deviation of the α estimation error as a function of the number of averaged measurements for fs = 50 kHz (a) and fs = 100 kHz (b). The blue color indicates the classical PP method, the red color the modified (synchronous) PP method. Values expressed in degrees Rys. 11. Zależność odchylenia standardowego błędu estymacji kąta α w funkcji liczby uśrednień sygnału pomiarowego dla częstotliwości próbkowania 50 kHz (a) oraz 100 kHz (b). Kolorem niebieskim oznaczono wyniki dla klasycznej metody PP, czerwonym dla zmodyfikowanej (synchronicznej). Wartości podano w stopniach

•

N R 2/2022

Fig. 12. α estimation α error as a function of head position for a rectangular signal, for several frequency bands. The blue color represents the classical PP method, the red color the modified (synchronous) PP method. The values expressed in degrees, fs = 100 kHz, N = 100 Rys. 12. Błąd estymacji kąta α w funkcji pozycji głowicy dla sygnału prostokątnego dla różnych pasm częstotliwości. Kolorem niebieskim oznaczono wyniki dla klasycznej metody PP, czerwonym dla zmodyfikowanej (synchronicznej). Wartości podano w stopniach fs = 100 kHz, N = 100

50 kHz and 100 kHz sampling rates). Statistical error in the modified method is higher than the phase mismatch error in the standard PP method. For the synchronous PP method (at fs = 50 kHz), the number of N required to obtain a standard deviation of an error equal to the classical method is about 6. For the maximum number of averages N = 100, the standard deviation of the estimation error for the synchronous PP method is about 1.8 degrees, which is 3.7 times smaller than for the classical PP method. For fs = 100 kHz the synchronous PP method gives a standard deviation of an estimation error equal to the classical PP method at N = 3. For N = 100 the standard deviation is about 1.1 degrees for the synchronous PP method (6 times smaller than classical PP method). Based on the results of measurements of the a estimation error (Fig. 8, Fig. 9) and (30), the phase mismatch error between the probe microphones was calculated to be approximately 0.6 degree. This value is significantly higher than the error allowed by the standard [31]: class I probe: 0.05 degree and class II: 0.11 degree at 500 Hz. This means that the use of popular microphones in the classical PP probe does not provide the required accuracy. In the case of the proposed modified synchronous PP

method (for N = 100), the error, as mentioned above, decreases by 3.7 times (for fs = 50 kHz) and 6 times (for fs = 100 kHz). It means that it is within the limits specified by the standard [31] for a class II probe. Results are presented in Table 2. For the rectangular signal, the classical PP method gives significantly better results than the synchronous PP method at 250 Hz. However, the results for this frequency may be distorted because the cut-off frequency of the anechoic chamber is about 300 Hz. The advantage of the synchronous method is clearly visible at 500 Hz, while for higher frequencies the results for classical and modified PP method are comparable, with a slight advantage of the modified method. The obtained a estimation error results are comparable with the results obtained in [20]. In this paper the modified PP method with direct synchronization of the measurement data acquisition and generation process was described. It should be pointed out that this method has a significant advantage over the method with external synchronization described here, as it does not require the use of averaging. However, it is not always technically possible to apply such synchronization. For acoustic noise generated by an electrical device, both methods give significantly poorer results. It follows from the

Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique

Fig. 13. α estimation error as a function of head position for noise generated by the small electrical device, for several frequency bands. The blue color represents the classical PP method, the red color the modified (synchronous) PP method. The values expressed in degrees, fs = 100 kHz, N = 100 Rys. 13. Błąd estymacji kąta α w funkcji pozycji głowicy dla sygnału generowanego przez urządzenie elektryczne dla różnych pasm częstotliwości. Kolorem niebieskim oznaczono wyniki dla klasycznej metody PP, czerwonym dla zmodyfikowanej (synchronicznej). Wartości podano w stopniach. fs = 100 kHz, N = 100

Table 2. Phase mismatch error values obtained for both methods Tabela 2. Wartości błędu fazowego otrzymane dla obydwu metod Type of measurement method

One-microphone PP with external synchronization

Classical PP fs – sampling frequency N – number of averages

ϕb = 0.2 deg

fs = 50 kHz, N = 100

ϕb = 0.6 deg

fs = 100 kHz, N = 100

above facts that the effectiveness of a estimation error depends strongly on the nature of the sound source. The results obtained for both methods are similar, with a slight advantage for the classical method. The maximum error for the synchronous method exceeds 40 degrees (for 2 kHz bandwidth). A similar error value occurs for the classical method for the 5 kHz bandwidth. An important aspect regarding the synchronous method is the accuracy of microphone positioning. This is particularly important at higher frequencies ( > 1 kHz). The periodic nature of the error for the modified method, visible e.g. in Fig. 12 at 1 kHz, is most likely due to the inaccuracy of the microphone positioning. This fact may induce e.g. to use the synchronous method for low frequencies, while the classical method for higher frequencies.

Experiment clearly shows that idea of replacing bias (phase mismatch) with statistical error and then removing it with statistical methods is correct. It allows the use of low-cost microphones in the PP probe while satisfying the requirements of the international standard. The number of measurements performed in the presented experiment was large (200 probe positions, with 100 measurements in each). This large number of measurements was due to the need to test the full range of angles. In practical applications, the number of measurements can of course be lower and depends on the specific application. In general: The determination of one sound intensity component requires measurements at two microphone positions. The number of measurements taken at a certain position determines the number of averages that can be performed and thus increases the accuracy of the measurement. The single-microphone method is not capable of replacing the classical PP probe, especially as it can only be used for stationary fields. It is, however, a supplement to it. The described synchronous method has a significant advantage over other methods of phase mismatch error elimination that use DSP algorithms for phase mismatch error elimination. The proposed method does not require initial probe calibration before measurement under well-known measurement conditions.

6. Conclusions The results presented in this paper show how, using single-microphone measurement with external synchronization, phase mismatch error can be minimized (or rather “replaced” by random error, which can be minimized by increasing the sampling rate or performing measurement averaging).

•

ϕb = 0.1deg

•

N R 2/2022

& The use of the single-microphone method with external synchronization allows an increase in the field of application (e.g. for testing noise generated by electrical machines) compared to the single-microphone method with direct synchronization. The next research that would allow to better determine the range of usefulness of the synchronous PP method should consist in the measurement of the acoustic fields coming from sources generating a signal of a precisely defined level, spectrum, and signal-to-noise ratio (generated, for example, by an arbitrary generator). It is also worth exploring the possibility of synchronizing the measurements using a mechanism other than an additional reference microphone e.g. an accelerometer placed on the surface of the test object. The synchronous PP method has an advantage over the classical PP method for periodic signals with a large signal-to-noise ratio. Therefore, it is effective to use it especially in applications where signals coming from electroacoustic transducers controlled by signals with strictly defined parameters. Such applications are e.g. mapping of acoustic field surface around loudspeakers (this type of approach was already described in [19] and gave positive results), measurement of acoustic properties of materials, investigation of the impulse response of rooms.

References 1. de Bree H.-E., The Microflown: An acoustic particle velocity sensor, “Acoustics Australia”, Vol. 31, 2003, 91–94. 2. Cao J., Liu J., Wang J., Lai X., Acoustic vector sensor: reviews and future perspectives, “IET Signal Processing”, Vol. 11, No. 1, 2017, 1–9, DOI: 10.1049/iet-spr.2016.0111. 3. Chung J.Y., Cross-spectral Method of Measuring Acoustic Intensity, Research Publication, General Motors Research Laboratory, GMR-2617, Warren, Michigan, 1977. 4. Duan W., Kirby R., Prisutova J., Horoshenkov K., Measurement of complex acoustic intensity in an acoustic waveguide, “The Journal of the Acoustical Society of America”, Vol. 134, No. 5, 2013, 3674–3685, DOI: 10.1121/1.4821214. 5. Fahy F.J., Measurement of acoustic intensity using the cross-spectral density of two microphone signals, “The Journal of the Acoustical Society of America”, Vol. 62, No. 4, 1977, 1057–1059, DOI: 10.1121/1.381601. 6. Fahy F.J., Sound Intensity, 2nd edition London, England: E&FN Spon, 1995. 7. Farina A., Torelli A., Measurement of the Sound Absorption Coefficient of Materials with a New Sound Intensity Technique, “Journal of The Audio Engineering Society”, 1997. 8. Gundre K., Comparative Study and Design of Economical Sound Intensity Probe, Open Access Master’s Report, Michigan Technological University, 2019. 9. Jacobsen F., A simple and effective correction for phase mismatch in intensity probes, “Applied Acoustics”, Vol. 33, No. 3, 1991, 165–180, DOI: 10.1016/0003-682X(91)90056-K. 10. Jacobsen F., Handbook of Signal Processing in Acoustics. Intensity Techniques, Springer: New York, NY, USA, 2008, 1109–1127. 11. Jacobsen F., de Bree H-E., A comparison of two different sound intensity measurement principles, “The Journal of the Acoustical Society of America”, Vol. 118, No. 3, 2005, 1510–1517, DOI: 10.1121/1.1984860. 12. Kotus J., Czyżewski A., Kostek B., 3D Acoustic Field Intensity Probe Design and Measurements, “Archives of Acoustics”, Vol. 41, No. 4, 2016, 701–711, 2016, DOI: 10.1515/aoa-2016-0067. 13. Kotus J., Szwoch G., Calibration of acoustic vector sensor based on MEMS microphones for DOA estimation, “Ap-

plied Acoustics”, Vol. 141, 2018, 307–321, DOI: 10.1016/j.apacoust.2018.07.025. 14. Krishnappa G., Cross-spectral method of measuring acoustic intensity by correcting phase and gain mismatch errors by microphone calibration, “The Journal of the Acoustical Society of America”, Vol. 69, No. 1, 1981, DOI: 10.1121/1.385314. 15. Lanoye R., Vermeir G., Lauriks W., Kruse R., Mellert V., Measuring the free field acoustic impedance and absorption coefficient o f s ound a bsorbing m aterials w ith a combined particle velocity-pressure sensor, “The Journal of the Acoustical Society of America”, Vol. 119, No. 5, 2006, DOI: 10.1121/1.2188821. 16. Mickiewicz W., Jabłoński M.J., Pyła M., Calculation of spatial sound intensity distribution based on synchronised measurement of acoustic pressure, [In:] Proceedings of the 18th International Conference on Methods & Models in Automation & Robotics (MMAR), Międzyzdroje, Poland, August 2013, DOI: 10.1109/MMAR.2013.6669996. 17. Mickiewicz W., Raczyński M., Mechatronic 3D sound intensity probe and its application to DOA, [In:] Proceedings of the 23rd International Conference on Methods & Models in Automation & Robotics (MMAR), Międzyzdroje, Poland, August 2018, DOI: 10.1109/MMAR.2018.8486005. 18. Mickiewicz W., Raczyński M., Mechatronic Sound Intensity 2D probe, [In:] Proceedings of the 22nd International Conference on Methods & Models in Automation & Robotics (MMAR), Międzyzdroje, Poland, August 2017, DOI: 10.1109/MMAR.2017.8046947. 19. Mickiewicz W., Raczyński M., Modified pressure-pressure sound intensity measurement method and its application to loudspeaker set directivity assessment. “Metrology and Measurement Systems”, Vol. 27, No. 1, 2020, DOI: 10.24425/mms.2020.131720. 20. Mickiewicz W., Raczyński M., Parus A., Performance Analysis of Cost-Effective Miniature Microphone Sound Intensity 2D Probe, “Sensors”, Vol. 20, No. 1, 2020, DOI: 10.3390/s20010271. 21. Nagata S., Furihata K., Wada T., Asano D.K., Yanagisawa T., A three-dimensional sound intensity measurement system for sound source identification and sound power determination by ln models, “The Journal of the Acoustical Society of America”, Vol. 118, No. 6, 2005, DOI: 10.1121/1.2126929. 22. Oswald L.J., Identifying the noise mechanism of single element of a tire tread pattern, [In:] Proceedings of Inter-Noise 81, ed. Royster L.H., Hunt D., Stewart N.D., Noise Control Foundation, 1981, 53–56. 23. Prascevic R., Milosevic A., Cvetkovic S., Determination of absorption characteristic of materials on basis of sound intensity measurement, “Journal de Physique IV Colloque”, Vol. 4 (C5), 1994, C5-159–C5-162. 24. Reinhart T.E., Crocker M.J., Source identification of a diesel engine using acoustic intensity measurements, “Noise Control Engineering”, Vol. 18, No. 3, 1982, 84–92, DOI: 10.3397/1.2832203. 25. Sani M.S.M., Rahman M.M., Baharom M.Z., Zaman I., Sound intensity mapping of an engine dynamometer, “International Journal of Automotive and Mechanical Engineering”, Vol. 12, 2015, 2820–2828, DOI: 10.15282/ijame.12.2015.2.0237. 26. Tervo S., Direction Estimation Based on Sound Intensity Vectors, [In:] Proceedings of the 17th European Signal Processing Conference, 2009. 27. Zhang Y., Fu J., Li G., A Novel Self-Calibration Method for Acoustic Vector Sensor, “Mathematical Problems in Engineering”, 2018, DOI: 10.1155/2018/1219670.

Elimination of the Phase Mismatch Error in PP Probe Using Synchronous Measurement Technique

Other sources 28. ISO 9614-1:1993 Acoustics — Determination of sound power levels of noise sources using sound intensity — Part 1: Measurement at discrete points; International Organization for Standardization: Geneva, Switzerland, 1993. 29. ISO 9614-2:1996 Acoustics — Determination of sound power levels of noise sources using sound intensity — Part 2: Measurement by scanning; International Organization for Standardization: Geneva, Switzerland, 1996. 30. ISO 9614-3:2002 Acoustics — Determination of sound power levels of noise sources using sound intensity — Part 3: Precision method for measurement by scanning; International Organization for Standardization: Geneva, Switzerland, 2002 31. International Standard. IEC Standard 1043: Instruments for

32.

33. 34. 35. 36.

measurement of sound intensity; International Electrotechnical Commission Geneva, Switzerland, 1993 Sonion. [www.sonion.com/hearing/microphones/8000-electret] (01.02.2021). Genelec. [www.genelec.com/8040b] (01.02.2021). National Instruments. [www.ni.com/pdf/manuals/374455c.pdf] (01.02.2021). National Instruments. [www.ni.com/pl-pl/support/model. pxie-1082.html] (01.02.2021). Sound Intensity Probe Kit Type 3599, Product Data, Brüel & Kjær Sound & Vibration Measurement A/S DK-2850 Nærum, Denmark, 2020

8 + & 0 & E + & 66 ' ( W artykule zaprezentowano modyfikację metody pomiaru natężenia dźwięku z wykorzystaniem sondy PP (ang. pressure-pressure). W zaproponowanym rozwiązaniu jednoczesny pomiar ciśnienia akustycznego za pomocą dwóch mikrofonów pomiarowych (używanych w klasycznej sondzie PP) został zastąpiony sekwencją pomiarów dokonywanych jednym mikrofonem pomiarowym umieszczanym w kolejnych pozycjach. Zaproponowana metoda pozwala na eliminację błędu związanego z niejednakowymi odpowiedziami częstotliwościowymi (głównie fazowymi) mikrofonów użytych w klasycznej sondzie PP. Jej zastosowanie jest ograniczone do pomiaru sygnałów okresowych. Jednocześnie wzrasta błąd przypadkowy, który można jednak wyeliminować metodami statystycznymi. Pomimo, że zaproponowane podejście wymaga zastosowania mechanizmu synchronizacji pomiarów i użycia w tym celu dodatkowego mikrofonu pomocniczego, to w samym procesie wyznaczania natężenia dźwięku bierze udział jedynie sygnał z mikrofonu pomiarowego. W artykule zaprezentowano zasady pomiaru natężenia dźwięku za pomocą klasycznej sondy PP oraz obecnie stosowane metody eliminacji błędów związanych z niedopasowaniem charakterystyk częstotliwościowych mikrofonów, bazujące na wstępnej kalibracji sondy. Następnie przedstawione są teoretyczne podstawy zaproponowanej metody pomiarowej. Aby zweryfikować jej skuteczność przeprowadzono eksperyment pomiarowy polegający na pomiarze kąta padania fali akustycznej w ściśle określonych warunkach w komorze bezechowej. Eksperyment przeprowadzono z wykorzystaniem klasycznej metody PP oraz z wykorzystaniem zaproponowanej metody zmodyfikowanej. Dokonano pomiarów dla różnych źródeł dźwięku (zestawu głośnikowego oraz małego urządzenia elektrycznego). W końcowej części artykułu wyniki porównawcze są poddane dyskusji w celu wskazania potencjalnych zastosowań zaproponowanej metody. ( V & B 66$ 0 I& & E $ B &^

4 ' 2 $ % & ORCID: 0000-0002-4106-6802 . & + - E $ + & ; ? ; + + P E ; ? ; + + E 8 6 E G + . ? E + & & + $ + +$ & ? + L & & M

•

N R 2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022, 47–58, DOI: 10.14313/PAR_244/47

. + R & 4 0 F Jacek Puchalski O 4 I& # $ ; '$ !!?!!( 8

Zygmunt Lech Warsza R T & V / 6 < * 6 4 6<*6$ * " '!'$ !'?)Q> 8

Streszczenie: Praca kontynuuje cykl publikacji o szacowaniu metodą regresji liniowej parametrów równania i granic pasma niepewności linii prostej y = ax + b dopasowanej do wyników pomiarów obu współrzędnych punktów badanych. Rozpatrzono przypadek ogólny, gdy współrzędne te mają różne niepewności i występują wszystkie możliwe autokorelacje i korelacje wzajemne. Zastosowano opis równaniami macierzowymi. Wyniki pomiarów współrzędnych przedstawiono jako elementy wektorów w X i Y. Propagację niepewności opisano macierzą kowariancji UZ o czterech macierzach składowych, tj. UX i UY – dla niepewności i autokorelacji zmiennych X i Y oraz UXY i jej transpozycja U – dla korelacji wzajemnych. Podano równanie linii prostej i granice jej pasma niepewności. Otrzymane je dla funkcji parametrów a i b spełniającej tzw. kryterium totalne WTLS, tj. minimum sumy kwadratów odległości punktów od prostej ważonych przez odwrotności niepewności współrzędnych. Przy nieskorelowaniu współrzędnych różnych punktów stosuje się uproszczone kryterium WLS. Kierunki rzutowania punktów wnikają z minimalizacji funkcji opisującej kryterium. W przypadku ogólnym istnieje tylko rozwiązanie numeryczne. Zilustrowano to przykładem. Parametry a i b linii prostej wyznaczono numerycznie z powiększonych fragmentów wykresu funkcji kryterialnej wokół jej minimum. Podano też warunki wymagane dla niepewności i korelacji współrzędnych punktów, które umożliwiają uzyskanie rozwiązania analitycznego i jego przykład. $, V + $ + $ 4 & $ R$ $ + $ $ $

1. Wprowadzenie Metodą regresji liniowej wyznacza się funkcję opisującą zależność między współrzędnymi zbioru badanych punktów, która spełnia określone kryterium. Dla dwu zmiennych x i y poszukuje się funkcji y = F(P0 + P1x + P2x2 + …) liniowo zależnej od jej parametrów Pi. W najprostszym przypadku dwu zmiennych y i x oraz linii prostej, kryterium tym jest minimum sumy kwadratów odległości punktów badanych od tej funkcji w kierunku 0y lub 0x. W metrologii i teorii działania systemów i przyrządów pomiarowych (wspólny ang. termin

/ V " 6 $ %+ + / , & (> ! '!'' $ & & (@ !A '!'' !

Measurement Science1) funkcją wyznaczoną metodą regresji opisuje się wyniki pomiarów menzurandu, a dla aparatury pomiarowej – jej właściwości metrologiczne, np. charakterystykę przyrządu jako wynik jego wzorcowania. Do szacowania dokładności menzurandu korzysta się z zaleceń Przewodnika Wyznaczania Niepewności Pomiarów o angielskim akronimie GUM [31]. W pierwszej, międzynarodowo opracowanej wersji GUM z 1993 r. wprowadzono pojęcie: niepewność pomiaru i podano zasady jej wyznaczania. Uwzględniają one zarówno występujące w eksperymencie rozrzuty wyników pomiarów, ocenione przez niepewność uA, jak i niezidentyfikowane i nie usunięte przez poprawki błędy systematyczne – przez niepewność uB oraz ich sumę geometryczną jako niepewność złożoną u i niepewność rozszerzoną U = kPu o współczynniku pokrycia kP dla określonego prawdopodobieństwa P, np. 0,95 %. Przewodnik GUM kilkakrotnie udoskonalano i ciągle uzupełnia się kolejnymi Suplementami. Używany jest on powszechnie w praktyce pomiarowej służb miar ponad 150 krajów, w nauce, technice i niemal we wszystkich innych dziedzinach oraz we współpracy międzynarodowej. z badań ekonometrycznych, 1

Termin ten zaproponował w Acta IMEKO w 1970 r. prof. Ludwik Finkelsztein z City University w Londynie, pochodzący ze Lwowa.

; bF ; $ K @ $ p $ ; $ socjologicznych i niektórych medycznych i przyrodniczych, a nawet fizycznych oraz w bogatej literaturze matematycznej [1, 7–15, 29] o różnych rodzajach regresji liniowej, chociaż obie niepewności składowe zwykle mogą mieć inne wartości dla każdej z mierzonych współrzędnych. Wpływa to na parametry prostej regresji i jej pasmo niepewności. Równanie prostej regresji i jej pasmo niepewności tworzy się z uwzględnieniem wszystkich zmierzonych wartości współrzędnych y punktów, ich niepewności uyi i skorelowań. Dokładność współrzędnych każdego z punktów wzrośnie, gdy ich pomiary powtórzy się wielokrotnie. Jeśli przy tej samej wartości odciętej xi występują rozrzuty wartości yij powtarzanych obserwacji rzędnej yi 1, to w dalszych obliczeniach prostej regresji stosuje się wartości średnie yi i ich niepewności standardowe uyi uwzględniając funkcję autokorelacji dla wartości bliskich siebie. To podejście zainicjował w Polsce M. Dorozhovets i z Z. Warszą opisali je w [2–6, 16, 18], a A. Zięba jeszcze to udoskonalił [30, 17]. Autorzy zastosowali to dla serii powtórzonych pomiarów zmiennej losowej yi pojedynczego punktu [25, 27]. Przy wyznaczaniu parametrów linii prostej metodą regresji uzyskuje się macierz kowariancji o istotnie mniejszym rozmiarze, niż wspólna dla wszystkich obserwacji. Wg koncepcji Z. Warszy autorzy opracowali też szereg publikacji o ocenie niepewności wg zasad przewodnika GUM w pośrednich pomiarach wieloparametrowych z autokorelacją i korelacją wzajemną [19–23]. Problematykę tę kontynuowali też w serii prac [24–28] o parametrach i niepewnościach linii prostej wyznaczanej metodą regresji liniowej z pomiarów jednej zmiennej bez korelacji i przy różnym skorelowaniu współrzędnych punktów badanych [24, 25]. Poniżej przedstawia się podstawy teoretyczne szacowania parametrów i przebiegów granic pasm niepewności linii prostej o równaniu y = ax + b wyznaczanym metodą regresji liniowej dla najbardziej ogólnego przypadku pomiarów zbiorów obu współrzędnych xi i yi punktów badanych o niejednakowych niepewnościach, występowaniu autokorelacji lokalnej pomiędzy obserwacjami wielokrotnie mierzonych współrzędnych y lub/i x jednego punktu i różnych punktów oraz korelacji wzajemnej między zbiorami współrzędnych x i y. Parametry te wyznacza się dla minimum funkcji opisującej kryterium WTLS (ang. Weighted Total Least Squares) wynikające z maksymalizacji funkcji największej wiarygodności. Macierzowe prawo propagacji niepewności dla pomiarów współrzędnych punktów tylko y lub x stosuje się w kierunku rzutu 0y lub 0x na funkcję regresji, dla regresji ortogonalnej – w kierunku prostopadłym [6] oraz w ogólnym przypadku pomiarów x i y każdego z punktów – w różnych kierunkach wynikających z minimalizacji funkcji opisującej kryterium, jak omówił to J. Puchalski [13]. (patrz sekcja 4).

Rys. 1. Trzy z punktów pomiarowych z niepewnościami ui (x), ui (y), prosta regresji y = ax + b i pasmo jej niepewności jako obszar pokrycia o określonym prawdopodobieństwie, np. P = 0,95 Fig. 1. Three of the measurement points with uncertainties ui(x), ui(y), the regression line y = ax + b and its uncertainty band as the coverage area with a certain probability, e.g. P = 0.95

Pi-1, Pi i Pi+1 na prostą regresji z uwzględnieniem składowych w kierunkach 0y i 0x. Wykreślono też pasmo niepewności prostej. ograniczone dwoma hiperbolami. U góry rysunku 1 jako przykład podano równania dla niepewności standardowej uy i rozszerzonej U y = t0,95, n − 2uy o współczynniku pokrycia z prawdopodobieństwem 0,95 i o n–2 stopniach swobody. Na podstawie parametrów macierzy kowariancji Uab dla prostej regresji, tj. niepewności standardowej dla współczynnika kierunkowego a, wyrazu wolnego b, oraz współczynnika korelacji między a i b, oznaczonych odpowiednio jako ua, ub i rab, pasmo niepewności prostej regresji wyznaczają dwie hiperbole

y = ax + b ± t0,95, n − 2 x 2ua2 + 2ρabxuaub + ub2 [24–28]. Kierunek rzutu w przypadku ogólnym wynika z minimalizacji funkcji kryterialnej. Zwykle dla regresji y względem x rzutuje się w kierunku 0y, dla regresji x względem y – w kierunku 0x i w regresji ortogonalnej – w kierunku prostopadłym do prostej regresji z dodatkowym wymaganiem spełniania określonej zależności między niepewnościami obu współrzędnych [6]. Dla pomiarów obu współrzędnych punktów Qi(xi, yi), mierzonych nawet z jednakowymi niepewnościami standardowymi uy, ux, parametry prostej regresji i rozstęp granic pasma niepewności prostej zależą od obu tych niepewności (sekcja 9). Równania granic niepewności prostej wyznaczanej metodą regresji liniowej mają postać wyznaczalną analitycznie dla pomiarów jednej wielkości w regresji y na x oraz x na y, nawet wtedy, gdy zmienne te mają autokorelacje. Dla pomiarów obu zmiennych opracowano rozwiązanie analityczne tylko dla przypadków szczególnych. Dorozhovets wyznaczył je dla jednakowej niepewności obu nieskorelowanych współrzędnych [6]. Mieści się to w podanym przez Deminga przypadku stałego ilorazu

- ' " ( , + (

wariancji

Równanie prostej wyznaczone metodą regresji liniowej dla opisu zależności między współrzędnymi badanych punktów, otrzymuje się z warunku minimalizacji funkcji kryterialnej. Pasmo niepewności prostej regresji o prawdopodobieństwie P jest ograniczone dwoma hiperbolami ±Uy(x). Otrzymuje się je z równań propagacji niepewności. W przypadku ogólnym parametry równania tej prostej i granice jego pasma niepewności zależą od wartości badanych współrzędnych punktów, jak i od zbiorów ich błędów pomiaru opisanych niepewnościami, funkcjami autokorelacji i korelacją wzajemną. Rysunek 1 przedstawia prostą regresji y = ax + b i rzuty na nią trzech z badanych punktów. Zaznaczono szerokości rozkładów błędów obu mierzonych współrzędnych xi i yi tych punktów Qi-1, Qi i Qi+1 oraz ich rzuty

•

u 2 (yi ) [13]. York rozwiązał to iteracyjnie przy koreu 2 (xi )

lacji tylko między współrzędnymi xi i yi każdego z punktów [29]. Równania macierzowe dla wyników pomiarów wartości współrzędnych n punktów przedstawionych jako dwa losowe wektory: X = [x1, …, xi, …, xn]T i Y = [y1, …, yi, …, yn]T, w przypadku ogólnym są rozwiązywalne tylko numerycznie. Postacie równań uproszczą się, jeśli zmienne X i Y oznaczyć wspólnie zmienną Z o 2n wartościach zi opisanych wektorem Z = [XT, YT]T. Niepewności pomiarowe punktów oznacza się wówczas ogólnie przez u(zi), a korelację par zmiennych zi i zj współczynnikami korelacji ρij – znanymi lub szacowanymi na podstawie współczynników Pearsona rij otrzymywanych z próbki. Już dla kilkunastu powtarzanych pomiarów rij » rij. Propagację niepewności pomiarów

•

N R 2/2022

/ $ ! zmiennej Z opisuje symetryczna macierz kowariancji UZ (1) z niepewnościami u(zi) jako odchyleniami standardowymi w jednostkach takich, jak zmienna zi, tj.: UZ

⎡ ! ρ1,2nu(z1 )u(z 2n )⎤ u 2 (z1 ) ⎢ ⎥ =⎢ # % # ⎥ ⎢ ⎥ 2 ! ρ u ( z ) u ( z ) u ( z ) 2n 2n ⎣⎢ 1,2n 1 ⎦⎥

(1)

W metodzie regresji liniowej do tworzenia kryterium najmniejszych kwadratów dla zmiennej Z stosuje się wielowymiarowy rozkład Gaussa o gęstości prawdopodobieństwa: f (Z p ) =

1 ⎛ 1 ⎞ ⋅ exp ⎜ − [Z − Z p ]TU Z−1[Z − Z p ]⎟ ⎝ 2 ⎠ (2π )n det(U Z )

(2)

- ' + ( Wyznaczono kryterium dla losowo zmiennych X i Y. Wartości zmierzonych obu współrzędnych punktów badanych obarczone są błędami losowymi i zrandomizowanymi i błędami systematycznymi o wartościach, których nie można było wyeliminować przez poprawki. Wartości yi lub yi (dla i = 1, …, n) wektora Y, mierzone jednokrotnie mają niep ewności złożone ui(yi) = uByi, a mierzone wielokrotnie – niepewności złożone ui (yi ) =

2 Ayi

)

2 + uByi . Wartości xi lub x i (dla i = 1, …, n)

wektora X są odpowiednio o niepewnościach ui(xi) lub gdzie: Z, Zp – 2×n-wymiarowe wektory współrzędnych punktów o wartościach zi z pomiarów i wartościach zp poszukiwanej funkcji regresji, które spełniają równanie Yp = F(Xp)

(3) T

Z = ⎡⎣X T , Y T ⎤⎦ , W p r z y p a Td k u o g ó l ny m T T Z p = ⎡⎣X p , Y p ⎤⎦ . Macierz kowariancji UZ i jej odwrotność U Z-1 są następujące: ⎡ UX UZ = ⎢ T ⎣⎢U XY

U XY ⎤ ⎥ UY ⎦⎥

⎡U 11 U 12 ⎤ U Z-1 = ⎢ T ⎥ ⎣⎢U 12 U 22 ⎦⎥

(4a)

(4b)

gdzie: UX, UY – symetryczne macierze kowariancji rozmiaru n × n opisujące wariancje (kwadraty niepewności) i kowariancje auto-skorelowań każdej ze zmiennych X i Y; UXY część macierzy kowariancyjnej UZ dla korelacji wzajemnej elementów wektorów X i Y. Macierze składowe macierzy U Z-1 są rozmiaru n × n, macierze U11 i U22 są symetryczne i ogólnie macierz U12 jest niesyT metryczna: U 12 ≠ U 12 . Dla tylko jednej zmiennej losowej: UZ = UY dla UX = 0 oraz UZ = UX dla UY = 0. Kryterium dla regresji liniowej o zmiennej uogólnionej Z wynika z wymagania, by funkcja (2) dla gęstości prawdopodobieństwa wielowymiarowego rozkładu Gaussa osiągała maksimum. Odpowiada temu minimum funkcji:

(

)

SK (Z p ) = − ln f (Z p ) → min

(5)

Wartość bezwzględna wykładnika potęgi we wzorze (2) powinna być jak najmniejsza, tj.: SK (Z p ) = [Z − Z p ]TU Z−1[Z − Z p ] → min

(6)

W pomiarach stosuje się często regresję liniową dla minimum sumy kwadratów odległości punktów od wyznaczanej funkcji (3), np. prostej regresji, w określonym kierunku i znormalizowanych do niepewności pomiaru tych odległości, tj. dla regresji y od x – w kierunku 0y, dla regresji x od y – w kierunku 0x oraz dla regresji ortogonalnej – w kierunku prostopadłym do funkcji (3). Dla pomiarów jednej tylko zmiennej Y lub X, są to przypadki szczególne kryterium (6) dla pomiarów obu tych zmiennych. Parametry i przebiegi prostych regresji dla kilku takich przypadków szczególnych o jednakowej niepewności bezwzględnej pomiarów porównał M. Dorozhovets [6].

ui (xi ) =

2 Axi

)

2 + uBxi . Dla linii prostej poszukiwanej metodą

regresji, zwanej dalej prostą regresji, rozwiązania równania liniowego ma postać wektorową: Yp = F(Xp) = aXp + b1 = aXp + b,

(7)

gdzie: 1 = [1, …, 1]T – wektor jednostkowy o wymiarze n, a – współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej, b – jej wyraz wolny, wektory Xp, Yp zawierające współrzędne punktów Pi linii prostej, do których wyznacza się odległości punktów Qi. Dla zmiennych nieskorelowanych, funkcja kryterialna (6) jest sumą kwadratów odległości badanych punktów Qi(zi) o parach współrzędnych zi = (xi, yi) dla i = 1, …, n, od punktów Pi na prostej regresji o współrzędnych zpi = (xpi, ypi), znormalizowanych do wariancji u2(yi) lub u2(xi) w kierunkach 0x lub 0y. Osiąga ona minimum dla równej zeru sumy kwadratów pochodnych względem parametrów a i b prostej regresji, tj., gdy obie pochodne jednocześnie są równe zeru. Dodatkowym warunkiem jest minimalizacja funkcji kryterialnej ze względu na wybór punktów xpi. Prowadzi to do kierunku projekcji tych punktów na prostą regresji o wartości −

1 u 2 (yi ) . Dla autokorelacji xi, yi i korelacji a u 2 (x i )

wartości różnych punktów pomiarowych, wyznaczenie prostej regresji wymaga znajomości aż trzech macierzy składowych: UY, UX i UXY. Przedstawi się tu ujęcie z [21, 22, 24] dla pomiarów Y przy X = const i rozwinięte dla pomiarów wektorów Y i X w [13]. Z postaci macierzy (4a, b) wynika, że dla wyznaczania minimum istotne znaczenie mają składowe odwrotnej macierzy kowariancji U Z-1, tj. U11, U22 i U12. Odległość wybranego punktu pomiarowego od prostej zależy od kierunku jego rzutu na prostą regresji. Zrzutowanie punktu pomiarowego Q, daje na prostej punkt P. Sumę znormalizowanych kwadratów odległości wraz z ich wagami uzyskuje się z macierzy odwrotnej U Z-1 do macierzy kowariancji UZ. Odległości punktów od prostej regresji opisuje wektor ΔZ = Z – Zp, a kryterium SK określa równanie w postaci zwartej i rozwiniętej:

(8) Przyrost ΔX = X – Xp zmiennej X pomnożony przez współczynnik kierunkowy a prostej ukośnej do krzywej regresji wyznacza przyrost ΔY = Y – Yp zmiennej Y z uwzględnieniem wektora Y – aX – b, gdyż z równania prostej regresji otrzymuje się ΔY = aΔX + Y – aX – b oraz:

; bF ; $ K @ $ p $ ; $

(9)

tryzować i przeszukiwać ustawienia wektora Xp. Hiper-funkcja ta ma minimum ze względu na ΔX i występuje ono, gdy wyznaczymy n-wymiarowy gradient, który można zapisać symbolicznie

(9a)

∂SK (ΔX , a,b) ∂SK (X - X p , a,b) ∂SK (-X p , a,b) = = = 0 (14) ∂Δ X ∂(X - X p ) ∂(-X p )

gdzie macierz symetryczna: U = U 11 + a

(

T U 12

)

+U 12 + a U 22 .

(

URi = λVi é Ri ,

dla i ≠ j dla i = j

⎧0 RiTRj = ⎨ ⎩1

)

T Wówczas: ΔX T = − [Y - aX - b ]T U 12 + aU 22 U -1. A stąd

Symetryczna macierz U zawsze ma rzeczywiste wartości własne λVi i powinna być dodatnio określona. Znormalizowane ortogonalne wektory własne Ri (dla i = 1, …, n) spełniają warunki: (10)

(15) Minimum wyrażenia (9) uzyskuje się analitycznie przez znalezienie lokalnego minimum dla wektora błędu ΔX. Jest to zależność kwadratowa hiper-paraboliczna. Następnie poszukuje się lokalnego minimum względem zmiennej b, aby ostatecznie otrzymać funkcję SK(a) jako jednowymiarową zależność od a. Jeśli skorelowanie nie występuje, to macierz kowariancji U ma tylko przekątną główną i wówczas wyrażenie (9) można przedstawić jako sumę form kwadratowych. Dla wielkości skorelowanych macierz U ma też różne od zera wartości poza przekątną. Aby ją zdiagonalizować wprowadza się macierz ortogonalną HT = H–1 składającą się ze znormalizowanych wektorów własnych H = [R1, …, Rn] i H–1 H = H H–1 = I i otrzymuje się postać:

0 ⎤ ⎡λV 1 0 ⎢ ⎥ H −1UH = ⎢ 0 ! 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 λVn ⎥⎦

-1 Macierz odwrotna UYeff do efektywnej symetrycznej macierzy kowariancji UYeff odpowiada regresji y na x i opisana jest jako [13]:

(

)

-1 T UYeff = U 22 − U 12 + aU 22 U −1 (U 12 + aU 22 )

(16)

T Dla macierzy symetrycznej U 12 = U 12 redukuje się ona do postaci -1 UYeff = (U 11U 22 − U 12U 12 )U −1 (17)

Gdy każda ze zmiennych x i y ma tylko autokorelację, tj. nie T występują korelacje wzajemne, to U 12 = U 12 = 0, U 11 = U X-1, -1 U 22 = UY oraz

(11) (18)

Zależność (11) można użyć do diagonalizacji każdej macierzy U z elementami niediagonalnymi. Funkcję SK(ΔX, a, b) dla zmiennych skorelowanych można przedstawić też jako sumę form kwadratowych. Po dwukrotnym wstawieniu macierzy jednostkowej H HT = I dla diagonalizacji U, otrzymuje się równanie (12):

Dla nieskorelowanych x i y, macierze UX, UY są diagonalne -1 i UYeff jest też diagonalna o następujących elementach:

(

)

-1 ⎡UYeff ⎤ = a 2u 2 (X i ) + u 2 (Yi ) ⎣ ⎦ii

−1

(gdzie i = 1, …, n)

(19)

Aby uprościć ostateczną postać kryterium SK(a, b), wprowadza się następujące parametry pomocnicze: -1 −1 ⎤ S = 1TUYeff 1 = ∑ni =1 ∑nj =1 ⎡⎣uyeff ⎦ -1 -1 Sx = X TUYeff 1 = 1TUYeff X

(20b)

-1 Sxx = X TUYeff X

(20c)

-1 -1 Sxy = X TUYeff Y = Y TUYeff X

(20d)

-1 -1 Sy = Y TUYeff 1 = 1TUYeff Y

(20e)

-1 Syy = Y TUYeff Y

(20f)

(12) oraz (13) w postaci sumy form kwadratowych:

(13) gdzie ΔX jest przekształconym liniowo (przez translację, obrót) wektorem do nowego n-wymiarowego wektora, hx = HTΔX, a hVDELi są elementami wektora H–1(U12 + aU22)[Y – aX – b].

Z równania (15), po użyciu parametrów (20a–f), otrzymuje się:

Dla wszystkich dodatnich wartości własnych λVi > 0 (dla i = 1, ..., n), funkcja SK osiąga minimum, gdy wszystkie formy kwadratowe mają minimum. Zatem macierz U musi być dodatnio określona. Jest tak, jeśli wszystkie wartości własne macierzy U są dodatnie. Wartość minimalna analizowanej funkcji wystąpi wtedy, gdy każda forma kwadratowa osiąga minimum, to jest dla wierzchołka hiper-paraboli (9). Można rozróżnić funkcję SK ze względu na wektor błędu X – Xp, tj. wybrać taki zestaw punktów Xp dla regresji, która minimalizuje lokalnie tę funkcję. Według tego warunku uzyskuje się wyrażenie wektora błędu dla ΔX i dla ΔY. Dla zminimalizowania funkcji nie trzeba parame-

•

(20a)

(21) Minimum SK ze względu na b występuje dla warunku: ∂SK (a,b) = 0, ∂b

(S > 0)

(22)

Lokalne minimum dla parametru b opisuje równanie 2bS – 2Sy + 2aSx = 0 czyli b = (Sy – aSx)/S A

•

(23) N R 2/2022

/ $ !

(

-1 Ogólna postać zależności UYeff od współczynnika kierunko-

∂G(a,b) wego a prostej regresji jest złożona i warunku = 0 nie ∂a

można wyznaczyć analityczne, tak jak jest to dla regresji y na x przy stałej, niezmiennej macierzy UY-1. Końcowym rezultatem tych rozważań dla parametru b określonego warunkiem (23), jest możliwość numerycznego wyznaczenia funkcji SK(a) jako

T a = − (U 11 + βU 12 ) U 12 + βU 22

)

−1

(27)

Regresję x względem y, lub y względem x, można zidentyfikować, gdy macierz β = 0, lub odpowiednio dla β −1 = 0. Wyznacznik macierzy UZ równa się zeru w skrajnych przypadkach regresji y względem x lub x od y. Można tego uniknąć wstawiając do obliczeń odpowiednio małe wartości wariancji. Z (25) otrzyma się: ΔYvertex = β ΔXvertex

(28a)

Δ Xvertex = β −1 Δ Xvertex

(28b)

lub (24)

Dokładne minimum funkcji SK(a) wyznacza się przez gęste próbkowanie numeryczne funkcji (24) i odpowiednio powiększając (Zoom In) fragment wykresu z badanym przedziałem występowania minimum – rys. 4. W ogólnym przypadku, minimum (24) nie można znaleźć analitycznie, gdyż SK(a) zależy explicite od nachylenia a prostej regresji w pierwszej i drugiej potędze. Dodatkowo występuje -1 zależność macierzy UYeff od macierzy odwrotnej U–1, a macierz U zależy też od a w pierwszej i drugiej potędze – równanie (16). Tylko w niektórych przypadkach, np. stałego stosunku niepewności/wariancji, lub stałych niepewności u(xi) = const, u(yi) = const i współczynnika korelacji ρxy = const (sekcja 9), rozwiązaniem są pierwiastki równania kwadratowego. W ogólnym przypadku można uzyskać przybliżone rozwiązanie analityczne stosując aproksymacje wielomianowe. Najszybciej otrzymuje się rozwiązanie wyznaczając numerycznie funkcję SK(a) i powiększając jej wykres w obszarze wokół minimum (rys. 4a, b, w przykładzie w sekcji 8).

Regresję x względem y identyfikuje się za pomocą β = 0, ponieważ ΔY = ΔYvertex = 0. W granicy, przy bliskich zera elementach macierzy diagonalnej UY → 0 (UXY = U12 = 0), U22 → ∞ (elementy diagonalne) otrzymuje się:

(

)

T β = − U 11 + aU 12 (U 12 + aU 22 )

ΔXvertex = −U

−1

W granicy, przy bliskich zera elementach macierzy diagonalnej UX → 0 (UXY = U12 = 0), U11 → ∞ (tylko elementy diagonalne) otrzymuje się

(

βdiag

)

ΔYvertex T = − U 11 + aU 12 (U 12 + aU 22 )−1 ΔXvertex

β −1 =

(

)

ΔXvertex T = − U 11 + aU 12 ΔYvertex

(

)

−1

(U 12 + aU 22 )

−1

(U 12 + aU 22 ) → 0

(30)

⎡β11 ! 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢! ! ! ⎥ ⎢⎣ 0 ! βnní⎥⎦

(31a)

⎡β −1 ! 0 ⎤ ⎢ 11 ⎥ = ⎢! ! ! ⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢⎣ 0 ! β nní ⎥⎦

(31b)

oraz

otrzymuje się macierz współczynników wagowych, które transformują liniowo błędy zmiennej x w błędy zmiennej y i na odwrót. Gdy macierz ta jest diagonalna, to zawiera współczynniki nachylenia linii rzutów punktów badanych na prostą regresji. Odpowiadają one minimum (14) funkcji SK(a, b) i są zdefiniowane jako:

β=

)

Dla nieskorelowanych współrzędnych x i y, tj. gdy UXY = 0, macierze UX i UY są diagonalne, tj. [UX]ii = u2(xi) oraz [UY]ii = u2(yi), i = 1, ..., n. Jeśli wszystkie macierze zawierają różne od zera elementy tylko na głównej przekątnej, to β = βdiag jest też macierzą diagonalną

(U 12 + aU 22 ) [aX + b -Y ]

T i ΔYvertex = U −1 U 11 + aU 12 [aX + b - Y ]

(29)

β −1 = 0, gdyż ΔX = ΔXvertex = 0.

Należy zdefiniować macierz β współczynników wagowych [13], które można wykorzystać do identyfikacji rodzaju regresji x względem y lub odwrotnej. Między współczynnikami wagi macierzy β , lub jej odwrotności β −1 i nachyleniem a prostej regresji istnieje jednoznaczna zależność. Wyznaczy się ją dla macierzy liniowej wektorów błędu w kierunku 0x i 0y. Z równań

→0

Podobnie regresję y względem x identyfikuje się dla

T β −1 = − U 11 + aU 12

Z- 7 "

−1

βdiag

W tym przypadku linie przechodzące przez punkty badane przecinające prostą regresji mają nachylenia

(25)

βii = βi = − (26)

Z (25) wynika, że współczynnik kierunkowy prostej regresji jest określony przez macierz współczynników wagowych β i części macierzy kowariancji odwrotnej do UZ (jest to dokładnie macierz diagonalna aI)

−1

1 u 2 (Yi ) (dla i = 1, ..., n). Efektywna macierz a u 2 (X i )

kowariancji odwrotnej jest też diagonalna – równanie (19), z którego wynika metoda efektywnej wariancji. Stosuje się ją do szacowania parametrów prostej regresji. Macierz β przy braku skorelowania jest diagonalna i pozostałe jej elementy są równe zeru. Rysunek 2 podaje geometryczną interpretację tego przypadku. Diagonalne elementy tej macierzy są nachyleniami linii przechodzących przez badane punkty ..., Qi-1, Qi, Qi+1, ... i przecinających prostą regresji w punktach ..., Pi-1, Pi, Pi+1, ... .

; bF ; $ K @ $ p $ ; $

U 11 = U X-1 = 0,

U XY = 0,

U 22 = UY-1,

β -1 → 0

i funkcja kryterialna upraszcza się do postaci: Τ

SK (a,b ) = [aX + b - Y ] U 22 [aX + b - Y ]

(35)

Parametry a, b opisane są wzorami:

Rys. 2. Interpretacja elementów diagonalnych macierzy ßdiag dla regresji liniowej bez korelacji otrzymanej z użyciem macierzy efektywnej Fig. 2. Interpretation of diagonal elements of the ßdiag matrix for linear regression without the correlation obtained with the effective matrix

Δa Δ

(36a)

Δb Δ

(36b)

gdzie: Δa = SSxy − Sx Sy , Δb = SySxy − Sx Sxy i Δ = SSxx − (Sx ) . 2

Zaś parametry macierzy Uab są następujące:

[- ' )ab & )-1 &&

S Δ

(37a)

Sxx Δ

(37b)

ua2 =

W przypadku skorelowanych obserwacji w próbkach pomiarowych o rozkładach gaussowskich, granice pasma niepewności prostej regresji wyznacza się bądź metodą numeryczną Monte Carlo, bądź metodą przybliżoną z macierzowego prawa propagacji wariancji niepewności macierzy kowariancyjnej UZ, tj.:

ub2 =

(37c) ⎡ U ab = ⎢ ⎢⎣ ρabuaub ua2

ρabuaub ⎤ ub2

T ⎥ = CU ZC ⎥⎦

(32)

gdzie: Uab – macierz kowariancji dla parametrów prostej regresji; ua, ub, rab – niepewności jej parametrów a i b oraz ich współczynnika korelacji, C – macierz współczynników wrażliwości o postaci: ⎡ ∂a C =⎢ , ⎣ ∂Z

∂b ⎤ ∂Z ⎦⎥

⎡ ∂a ⎢ ∂z 1 =⎢ ⎢ ∂b ⎢ ∂z ⎣ 1

∂a ⎤ ∂z 2n ⎥ ⎥ ∂b ⎥ ∂z 2n ⎥⎦

! !

- # " Zdeterminowana jest teraz zmienna Y. Nie uwzględnia się jej niepewności oraz nie ma korelacji wzajemnej obu zmiennych. Stąd wynika:

Parametry macierzy C wyznacza się numerycznie korzystając z formuł: (34a)

∂b bN (z i + h ) − bN (z i − h ) ≅ ∂z i 2h

(34b)

U XY = 0,

U 22 = UY-1 = 0 ,

SK (a,b ) = [aX + b - Y ]Τ

Mierzy się tylko zmienną zależną Y, a X jest zdeterminowaną zmienną niezależną i nie jej niepewność jest pomijalnie mała i nie ma korelacji wzajemnej obu zmiennych. Przy występowaniu funkcji autokorelacji Y otrzymuje się: M

•

(38)

( )

\- # " &

U 11 [aX + b - Y ] a2

Rozwiązanie tego przypadku jest identyczne jak w pkt. 5, jeśli zastosuje się zamianę oznaczeń X → Y i Y → X i jednocześnie -1 zamieni się macierz UY-1 na macierz U X oraz w oznaczeniach parametrów pomocniczych do wyznaczenia jej elementów, o postaciach jak w (20a–f) dla macierzy UY-1 , zamieni się symbol S na W. Wówczas otrzymuje się:

W dalszej części podano przypadki szczególne, tj. pomiary Y lub X z autokorelacją jako zmiennej zależnej.

U 11 = U X-1

i funkcja kryterialna redukuje się do postaci b → 0

gdzie aN i bN są wartościami wyznaczonymi z modyfikacji współrzędnych punktów pomiarowych o wartość ±h.

(37d)

Parametry S zdefiniowano tak, jak w równaniach (20a – f), -1 przy czym macierz UYeff zastępuje się macierzą UY-1.

(33)

∂a aN (z i + h ) − aN (z i − h ) ≅ ∂z i 2h

Sx SSxx

ρab = −

•

ax =

Δax Δx

(39a)

bx =

Δbx Δx

(39b)

N R 2/2022

/ $ !

Po wprowadzeniu nowych oznaczeń: Δax = WWyx − WxWy ,

( ) ( Δ x ≠ 0) ,

Δbx = WxWyy − WyWyx , Δ x = WWyy − Wy

parame-

try linii prostej y = ax + b w układzie x0y dla x jako zmiennej niezależnej, są następujące: a=

b=−

1 Δ = x ax Δax

(40a)

Δ bx = − bx Δax ax

(40b)

- ' , " " ^ , + ( Dla ilustracji omówionej metody, podano prosty przykład liczbowy dla pomiarów współrzędnych x i y pięciu punktów o jednakowej niepewności bezwzględnej. Wartości zmierzonych współrzędnych zawiera tabela 1, a uzyskane wyniki numeryczne parametrów prostej regresji, ich niepewności i współczynnika korelacji – tabela 2. Tabela 1.Wyniki pomiarów współrzędnych punktów badanych Table 1. Results of measurements of the coordinates of tested points

Parametry macierzy kowariancji U axbx 2 uax =

2 ubx =

W Δx

1,0089

3,013

1,9905

5,0022

2,9896

6,9923

3,9907

9,0116

4,9695

10,9815

(41a)

Wyy

(41b)

Δx

ρabuaxubx = −

Numer punktu pomiarowego

(41c)

Δx

Macierze UX i UY oraz UXY, czyli składniki macierzy UZ (4a) dla współrzędnych xi, yi badanych punktów:

Z prawa propagacji wariancji wynika

U X = UY = (0,01)

1 0,2 0,2 0,2 0,2

0,2 1 0,2 0,2 0,2

0,2 0,2 1 0,2 0,2

0,2 0,2 0,2 1 0,2

0,2 0,2 0,2 0,2 1

T U XY = U XY = (0,01)

0,2 0,1 0,1 0,1 0,1

0,1 0,2 0,1 0,1 0,1

0,1 0,1 0,2 0,1 0,1

0,1 0,1 0,1 0,2 0,1

0,1 0,1 0,1 0,1 0,2

(42)

Po wymnożeniu macierzy w równaniu (42), otrzymuje się ua = a 2uax = a 2

ub = a

W Δx

(43a)

b 2W + Wyy − 2Wyb

ρabuaub =

Δx

(

a 3 bW − Wy Δx

)

(43b)

(43c)

W następnych dwu sekcjach przedstawione są przykłady. W sekcji 8, dla minimów na fragmentach funkcji kryterialnej wykreślonych w powiększonej skali (rys. 3a, b) wyznaczono numerycznie wartości parametrów a i b prostej regresji oraz granice jej pasm niepewności standardowej i rozszerzonej. Zaś w sekcji 9 podano równania parametrów prostej regresji i jej niepewności dla jednakowego skorelowania obu mierzonych współrzędnych x, y każdego z punktów. Dla takiego przypadku równania te można wyznaczyć analitycznie. (Wzorów w tych krótkich przykładach nie numerowano).

Stąd wynikają jednakowe niepewności u(xi) = u(yi) = 0,01 jako elementy na przekątnych obu powyższych macierzy. Powiększone fragmenty charakterystyk SK(a, b) dla tego przykładu podano na rysunku 3 dla maksymalnej rozdzielczości programu obliczeniowego. Z nich wyznaczono wartości a i b dla minimum funkcji kryterialnej SK(a, b). Wyniki obliczeń wykonanych za pomocą algorytmów podanych w [13], zawiera tabela 2. Tabela 2. Parametry prostej uzyskane numerycznie metodą regresji x i y Table 2. Straight line parameters in the regression method x and y obtained numerically Parameter

Wyniki numeryczne według kryterium WTLS

εa , εb , Δua , Δub , Δρab

Wartości błędów

2,01043980

2 ⋅ 10−8

0,98922667

7 ⋅ 10−8

0,00607379

5 ⋅ 10−8

0,02151805

1,6 ⋅ 10−7

ρab

−0,84392235

6,5 ⋅ 10−5

; bF ; $ K @ $ p $ ; $ SK(a)

SK(b)

Rys. 3. Wykresy fragmentów funkcji kryterialnej SK(a) i SK(b) wokół minimum funkcji kryterialnej dla parametrów prostej a i b przy znacznie powiększonej skali na obu osiach Fig. 3. Graphs of fragments of the criterion function SK(a) and SK(b) around its minimum for parameters a and b with a significantly enlarged scale on both axes

Równanie prostej regresji, po zaokrągleniu a i b do 4 cyfr po przecinku, ma postać: y = 2,0104x + 0,9892. Prostą tę przedstawiono na rysunku 4a wraz z granicami pasma niepewności jako hiperbolami położonymi wokół niej o równaniach

U XY

yu = ax + b ± t0,95, n − 2 x 2ua2 + 2ρabxuaub + ub2 . Na rys. 4b, o po-

⎡ ρu (x1 ) u (y1 ) ! ⎤ 0 ⎢ ⎥ =⎢ ! ! ! ⎥. ⎢ ⎥ 0 ! ρu (xn ) u (yn ) ⎦ ⎣

Przy tym samym współczynniku korelacji r, macierz kowariancji UXY ma jednakowe elementy na przekątnej. Wówczas -1 efektywna odwrotna macierz kowariancji UYeff jest również diagonalna o takich samych wartościach na przekątnej. W takim szczególnym przypadku istnieje rozwiązanie analityczne [13, 29], które jest pierwiastkiem odpowiedniego równania kwadratowego (jak w metodzie Deminga), zaś funkcja celu jest zdefiniowana jako:

większonej skali 0y, przedstawiono same pasma niepewności uy(x) i Uy(x) = kPuy(x) dla P = 0,95. Obliczono je dla częstych w praktyce pomiarowej jednakowych wartości bezwzględnych niepewności standardowych uxi = uyi = 0,01, czyli dla rozszerzonych niepewności względnych o około 1 % wartości maksymalnej zakresu x i około 2 % zakresu y.

- ' , " ^ regresji

SK (a,b ) = ∑ni=1

W tej sekcji podano wzory analityczne, które istnieją dla jednakowego skorelowania wzajemnego zbiorów obserwacji pomiarowych obu współrzędnych, każdego z punktów, jako zmiennych losowych. Propagację ich niepewności opisuje się macierzą kowariancji (4a), tj.:

2 ueff = uy2 − 2ρauxuy + a 2ux2 ,

u(xi) = ux i u(yi) = uy, i = 1, …, n. Funkcja celu przyjmuje minimum, jeśli spełnione są razem dwa warunki dla pochodnych parametrów a i b:

Jeśli autokorelacje obu zmiennych nie występują, to macierz UZ i jej macierze składowe UX, UY i UXY są diagonalne, tj.:

2 ueff

gdzie niepewność efektywną opisuje równanie:

⎡ U X U XY ⎤ UZ = ⎢ T ⎥ ⎣U XY UY ⎦

(yi − axi − b )2

∂SK (a,b ) =0 ∂a

∂SK (a,b ) =0 ∂b

oraz

⎡u 2 (x ) ! 0 ⎤ 1 ⎢ ⎥ =⎢ ! ! ! ⎥, ⎢ ⎥ ! u 2 (xn ) ⎥⎦ ⎢⎣ 0

Z warunku 2) wynika zależność: ∑ni =1 −2 (yi − axi − b ) = 0

⎡u 2 (y ) ! 0 ⎤ 1 ⎢ ⎥ ! ! ⎥, =⎢ ! ⎢ ⎥ ! u 2 (yn ) ⎦⎥ ⎣⎢ 0

i z wyrażenia ∑ni =1 (yi − axi ) = nb

b = y − ax

•

N R 2/2022

/ $ ! Wstawiając obie zależności do warunku 1) otrzymuje się:

Wyrażenie to można przedstawić jako równanie kwadratowe: Aa2 + Ba + C = 0 w którym współczynniki A, B, C są określone jako: A = −ux ∑ni =1 (x − xi ) ⎣⎡ ρuy (x − xi ) + ux (yi − y ) ⎦⎤ B = ∑ni =1 (x − xi ) uy2 − ux2 (yi − y ) 2

C = uy ∑ni =1 (yi − y ) ⎡⎣uy (x − xi ) + ρux (yi − y ) ⎤⎦ Rozwiązaniem jest pierwiastek równania kwadratowego Aa2 + Ba + C = 0 dla minimum SK(a, b), tj., gdy zmienia się znak funkcji kwadratowej z (–) na (+). Zawsze należy wybrać znak (+), tj.: a=

−B + B 2 − 4AC oraz b = y − ax 2A

X - '

Wyznaczono podstawowe równania macierzowe i wynikające z nich zależności analityczne dla parametrów prostej regresji i granic pasma jej niepewności, gdy zbiory X i Y obu mierzonych zmiennych losowo współrzędnych punktów badanych o różnych niepewnościach, autokorelacji i skorelowaniu wzajemnym oraz przy braku korelacji. Stosowanie tych wzorów umożliwia algorytm cyfrowy opracowany przez J. Puchalskiego i opisany szczegółowo w [13]. Dla ilustracji numerycznego zastosowania omówionej metody w sekcji 8 podano prosty przykład liczbowy dla pomiarów współrzędnych x i y pięciu punktów o danych w tabeli 1 i wynikach numerycznych w tabeli 2. Sekcja 9 zawiera wzory analityczne, które można podać przy jednakowym skorelowaniu zbiorów obserwacji pomiarowych obu współrzędnych każdego z punktów. Inne przykłady liczbowe będą omówione szczegółowo w kolejnej pracy cyklu o wyznaczaniu parametrów i pasm niepewności linii prostej metodami regresji stosowanymi w pomiarach z uwzględnieniem zasad estymacji niepewności według przewodnika GUM. Porówna się parametry prostych i ich pasma niepewności dla jednakowych współrzędnych xi, yi badanych punktów, które uzyska się z pomiarów samych tylko współrzędnych yi przy zadanych wartościach xi, bądź mierząc obie współrzędne xi i yi.

Rys. 4. a) Prosta regresji wraz z pasmem niepewności, b) Punkty pomiarowe z niepewnościami uyi oraz pasma niepewności standardowej i rozszerzonej w rozszerzonej skali 0y Fig. 4. a) Regression line along with a band of uncertainty around it, b) Measurement points with uncertainties uyi and the standard and expanded uncertainty bands on the extended scale 0y

; bF ; $ K @ $ p $ ; $ 17. Warsza Z.L., Zięba A., Niepewność typu A pomiaru o obserwacjach samoskorelowanych. “Pomiary Automatyka Kontrola”, R. 58, Nr 2, 2012, 157–161. 18. Warsza Z.L., Evaluation of the type A uncertainty in measurements with autocorrelated observations. “Journal of Physics. Conference series”, 2013, DOI: 10.1088/1742-6596/459/1/012035. 19. Warsza Z.L., Puchalski J., Udoskonalona metoda wyznaczania niepewności w pomiarach wieloparametrowych. Część 1. Podstawy teoretyczne dla skorelowanych wielkości mierzonych. „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 23, Nr 1, 2019, 47–58, DOI: 10.14313/PAR_231/47. 20. Warsza Z.L., Puchalski J., Estimation of uncertainties in indirect parameter measurements of correlated quantities. Proceedings of 12th International Conference “Measurement 2019”, 51–57, DOI: 10.23919/MEASUREMENT47340.2019.8780042. 21. Warsza Z.L., Puchalski J., Rozszerzona metoda oceny niepewności pośrednich pomiarów wieloparametrowych i układów do tych pomiarów Cz. 1. Wpływ korelacji i niepewności funkcji przetwarzania – zależności podstawowe. „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 23, Nr 3, 2019, 55–63, DOI: 10.14313/PAR_233/55. 22. Warsza Z.L., Puchalski J., Rozszerzona metoda oceny niepewności pośrednich pomiarów wieloparametrowych i układów do tych pomiarów Cz. 2. Przykład zastosowania -pomiary za pośrednictwem czwórnika, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 23, Nr 4, 2019, 87–100, DOI: 10.14313/PAR_234/87. 23. Warsza Z.L., Puchalski J., Method of estimation uncertainties of indirect multivariable measurement including accuracy of processing function as extension of GUMS2. Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing AMCTM XII. Pavese F., Forbes A.B., Zhang N.F., Chunovkina A.G. (eds.): Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences. Vol. 90, 2021, 451–463, DOI: 10.1142/9789811242380_0029. 24. Warsza Z.L., Puchalski J., Niepewności pomiarów w metodzie regresji liniowej. Cz. 1. Prosta i jej pasma niepewności dla nieskorelowanych danych pomiarowych, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 24, Nr 3, 2020, 79–91, DOI: 10.14313/PAR_237/79. 25. Warsza Z.L., Puchalski J., Niepewności pomiarów w metodzie regresji liniowej. Część 2. Niepewności prostej regresji dla zmiennej Y o skorelowanych danych, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 24, Nr 4, 2020, 61–72, DOI: 10.14313/PAR_238/61. 26. Warsza Z.L., Puchalski J., Uncertainty Bands of the Regression Line for Data with Type A and Type B Uncertainties of Dependent Variable Y. Proceedings of 22nd Conference on Automation 2021, Vol. 1390, 342–363, DOI: 10.1007/978-3-03074893-7_32. 27. Warsza Z.L., Puchalski J., Uncertainty bands of the regression line for autocorrelated data of dependent variable Y. Proceedings of 22nd Conference on Automation 2021, Vol. 1390, 364–386, DOI: 10.1007/978-3-03074893-7_33. 28. Warsza Z.L., Puchalski J., Ocena dokładności pomiarów w metodzie regresji liniowej z uwzględnieniem zasad przewodnika GUM. „Metrologia Teoria i Praktyka” (Materiały 53. Międzyuczelnianej Konferencji Metrologów 53 MKM Warszawa Główny Urząd Miar 13–16 09. 2021) Politechnika Opolska 2021, 59–104. 29. York D., Evensen M.N., Lopez Martines M., De Basabe Delgato J., Unified equations for the slope, intercept, and Standard errors for the best straight line, “American Journal of Physics”, Vol. 72, No. 3, 2004, 367–375,

Doświadczenia z analizy metrologicznej pomiarów dwu zmiennych losowych powiązanych prostą wyznaczaną metodą regresji wykorzystano też do szacowania niepewności pomiarów pośrednich w układach wieloparametrowych [26–29].

Y ( " & 1. Amiri-Simkooei A.R., Zangeneh-Nejad F., Asgari J., Jazaeri S., Estimation of straight-line parameters with fully correlated coordinates. “Measurement”, Vol. 48, 2014, 378–386, DOI: 10.1016/j.measurement.2013.11.005. 2. Dorozhovets M., Warsza Z.L., Udoskonalenie metod wyznaczania niepewności wyników pomiaru w praktyce. „Przegląd Elektrotechniczny”, R. 83, Nr 1, 2007, 1–13. 3. Dorozhovets M., Warsza Z.L., Propozycje rozszerzenia metod wyznaczania niepewności wyniku pomiarów wg Przewodnika GUM (2), „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 11, Nr 2, 2007, 45–52. 4. Dorozhovets M., Warsza Z.L., Wyznaczanie niepewności typu A pomiarów o skorelowanych rezultatach obserwacji. „Pomiary Automatyka Kontrola”, Nr 2, 2007, 20–25. 5. Dorozhovets M., Warsza Z., Methods of upgrading the uncertainty of type A evaluation, Part 2. Elimination of the influence of autocorrelation of observations and choosing the adequate distribution, Proceedings of 15th IMEKO TC4 Symposium, Iasi Romania, 2007, 199–204. 6. Dorozhvets M., Uwzględnienie niepewności pomiaru obydwu wielkości w regresji liniowej. „Pomiary Automatyka Kontrola”, Vol. 54, Nr 2, 2008, 3–5. 7. Draper R.D., Smith H., Applied Regression Analysis, 3rd Edition Willey New York 1998. 8. Elster C., Bayesian uncertainty analysis compared with the application of the GUM and its supplements. “Metrologia”, Vol. 51, No. 4, 2013, 159–166, DOI: 10.1088/0026-1394/51/4/S159. 9. Fang X., A structured and constrained total leastsquares solution with cross-covariances. “Studia geophysica et geodaetica”, Vol. 58, 2014, 1–16, DOI: 10.1007/s11200-012-0671-z. 10. Stuart A., Kendall’s Advanced Theory of Statistics, Vol. 2. Charles Griffin Co Ltd., London, 3 ed. 1973. 11. Krystek M., Anton M., A weighted total least-squares algorithm for fitting a straight line, “Measurement Science and Technology”, Vol. 18, 2007, 3438–3442, DOI: 10.1088/0957-0233/18/11/025. 12. Malengo A., Pennecchi F., A weighted total least-squares algorithm for any fitting model with correlated variables. “Metrologia”, Vol. 50, No. 6, 2013, DOI: 10.1088/0026-1394/50/6/654. 13. Puchalski J., A new algorithm for generalization of least square method for straight line regression in Cartesian System for fully correlated both coordinates. “International Journal of Automation, Artificial Intelligence and Machine Learning”, Vol. 2, No. 2, 2021, 20–54. 14. Telnghuisen J., Least squares methods of treating problems with uncertainty in x and y. “Analytical chemistry” ACS publications, Vol. 19, No. 16, 2020, 10863–10871, DOI: 10.1021/acs.analchem.0c02178. 15. Van Huffel S., Vandewalle J., The Total Least Squares Problem, Philadelphia, SIAM, 1991, DOI: 10.1137/1.9781611971002. 16. Warsza Z.L., Dorozhovets M., Uncertainty type A evaluation of autocorrelated measurement observations. “Biuletyn WAT”, Vol. LVII, Nr 2, 2008, 143–152.

•

N R 2/2022

/ $ ! DOI: 10.1119/1.1632486. 30. Zięba A., Effective number of observations and unbiased estimators of variance for autocorrelated data – an overview, “Metrology and Measurement Systems”, Vol. 17, Nr 1, 2010, 3–16.

6 ] ,

b. JCGM102:2011. Extension to any number of output quantities. 32. NEW04 “Novel mathematical and statistical approaches to uncertainty evaluation” (08/2012-07/2015) funded by the European Metrology Research Program (EMRP) 2015A “Guide to Bayesian Inference for Regression Problems”

31. BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML. Evaluation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement. Joint Committee for Guides in Metrology, and a. JCGM 100, 2008. JCGM101:2008 Supplement 1. Propagation of distributions using a Monte Carlo method;

. + & E + ?K E # E F & S 0 * Abstract: The work continues the series of publications on the estimation of the parameters of the equation and the limits of the uncertainty band of the straight-line y = ax + b fitted to the measurement results of both coordinates of the tested points with the use of the linear regression method. A general case was considered when these coordinates have different uncertainties and there are all possible autocorrelations and cross-correlations. Description of matrix equations was used. The results of the coordinate measurements are presented as elements of the X and Y vectors. The propagation of their uncertainty was described by the UZ covariance matrix with four component matrices, i.e., UX and UY – for the uncertainties and autocorrelations of X and of Y, and UXY and its transposition U – for the cross-correlations. The equation of a straight line and of the borders of its uncertainty band are given. Obtained them for the function of parameters a and b satisfying the so-called total criterion WTLS, i.e., the minimum sum of squared distances of points from the straight line weighted by the reciprocal of the coordinate uncertainty. When the coordinates of different points are not correlated, the simplified criterion WLS is used. The directions of projecting the points result from the minimization of the function describing the criterion. In the general case, there is only a numerical solution. This is illustrated by an example, in which the parameters a and b of the straight line were determined numerically from the enlarged fragments of the graph of the criterion function around its minimum. The conditions for the uncertainty and correlation of coordinates of points required to obtain an analytical solution and its example are also given.m pracy KeywordsV E & $ $ + $ $ + + ? $ 0 &$ $ ?

; bF ; $ K @ $ p $ ; $

#$ !

$ #$ 5 "! 1 &

%+ + ORCID: 0000-0002-5055-8550

(@ >%+ ORCID: 0000-0002-3537-6134

*0 8 & P G # ? L(@Q> M 8 & ; L(@QQ M 6 8 ? 8 (@QZ/(@@A 6 ? 8 $ (@@A 0 & I N (! 0 B + E & I I I 6 + ? E & # P 4 & I? & 7 E =& '!!> O 4 & # & I + & 4 ? 4 & & + $ 0 + 4 + &

*0 8 & ; + 6 8 (@A@$ & ? (@>Z$ & & (@Z! 6 Y < ; (@AQ/(@> (@@)/(@@A$ 6 8 (@>!/(@Z!$ 6 _ (@Z!/(@ZQ L + & 8 & G . & M$ = + Y = & * ? 6 < # + O & 8 & (@ZQ/(@Q' & * 6 4 < 6 (@Q /(@@' - & # ;& H & (@@'/(@@A$ 6 . & (@Q /'!!' =0 + 4 6 < ? * 6 4 6<*6 * & )! 0 $ > + E $ & 0 & $ (( 4 ? ' & 4 6 6 + G # + + 6 6*. * & # +

•

N R 2/2022

$ $ @ H%%C UMLT WULQ + LQ C L>LELL

Informacje dla Autorów / = $ $ C % " LW $ ; LEUm + K @ $ = " $ F ;Y @ & $ $ $ $ @ $ ;Y @ ; $ K B ;Y ;Y @ $ X @ & @ @ ; $ ; ]@ @ BX`+ # K X " @ $ $ B $ $ $ @ Y $ ; K " @ $ +

Wskazówki dla Autorów " , ( @ ; $ Pomiary Automatyka Robotyka F X ;Y * $ _ = ] ;Y OE K ` ;X $ $ = $ X > K $ B ; ] ; @ ` = ] @;X b UDE=LEE K ` ;X $ $ = ]D=O ` ;X $ ;X $ $ = XbF = ;X $ ] @ ;+ $` = $ ;X $ ;X $ = @ ;X ;X $ = ; > B > ;X ; @ * $ + + +; @ + l b $ + mEE $ + UEEE b $ ;Y B b +

$ F @;X bF K Y ;$ ; E Q F @;X b U ]ME EEE K ; $ @ mEEE $L ; K ` ; + O " + K ;Y X @;X bF ; Xb + Nie drukujemy komunikatów! # $ Y @ F Y @ B K ] ;X ` @;X b DEE=TDE K * B + ; @ K K ;X ; ; $ $ + @ ;Y ;Y & Y F +

$ '/# # , , " ^ ( , + Y Y bF bF + $ K @ ; Y + / K bF ; ; ; ;X @ $ Y F @ $ $ Y @ F $ $ X K + 5 ^ / # $ # K ; ;X + K; b ; ; + ;Y ; " YF $ ;Y = K B ;X @ B + # ; K ; * $ ;X $ $ + " @ $K $ ;Y+

Kwartalnik naukowotechniczny Pomiary Automatyka Robotyka jest indeksowany w bazach BAZTECH, Google Scholar oraz INDEX COPERNICUS L< S '!(@Y Z)$'AM$ B w bazie naukowych 0 B *.<*HG* 6 I I & realizacji idei Otwartej Nauki, & 0 0 naukowo-technicznym Pomiary Automatyka Robotyka. Punktacja Ministerstwa ;& H 0 naukowe w kwartalniku Pomiary Automatyka Robotyka wynosi obecnie Z! L naukowych i recenzowanych 4 E & & & ( + & '!'( $ '@@@AM 6 & naukowe – automatyka, elektrotechnika i elektronika.

HCc . A #! \?

5^ ^ & + ( ; Pomiary Automatyka Robotyka " ;Y X C % " Y Y X $ K $ > K K ;X $ b ;Y _ 1. & + " wymieniowego Autora " ( = $ ; K + i j ;+ K @ ; K@ K @ ; @ $ @ K $ $ ; + 2. & + " + ( ( , , jej powstanie = $ ; _ = " @ $ ;Y X @ ; K @ ; @ K $ > X ;Y $ @ ; = " X ; i j + X ; ; K ; @ Y $ ; K $ ; ; X $ @ K @ ;

; $ ; ; $ Y $ X Y Y $ " Y $ $ $ @ ; $ +

3. & + ] , ( < ( = B @ ; ; @ @ $ $ ; * $ ; K b K X" + iB j = ; * $ ; @ ; ; ; $ $ $ & @ ; * $ ; @ X B @ &+

* , $ $ @ ; $ K " $ * $ ;Y ; * ; @ @ ; * " ; = $ $ $ " F F b + / $ > b Y" +

) , przeniesienie praw ( %% Y / Y ;X @ ; X ; $ ;Y X+ \$ ; $ ; + ; $ Y +

Redakcja kwartalnika Pomiary Automatyka Robotyka %

* K @ $ $ $ @ $ K Y X $ $ # H +_

Jacek Michalski, Marek Retinger, Piotr Kozierski, . & 6 $ * + + & *-. / & 04 40 & $ < H ()'Z?@('>$ . '>$ Nr 2/2022, 5–13, DOI: 10.14313/PAR_244/5.

•

N R 2/2022

czasopisma

pomiary eksperyment

miara

POLSPAR

automatyka

G = H

; projekt

publikacje

* ;

konkurs

Y" ;

automatyka

seminarium

konferencje

POLSPAR

publikacje AutoCAD

relacja

agencja kosmiczna

+ +

;

IFAC

esa

ZPSA

profesura

;

relacja

doktorat

robotyka seminarium

I szkolenie

•

2/2022

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 26, Nr 2/2022

Kalendarium wybranych imprez Nazwa konferencji

Data konferencji ? $ &

;

Informacje dodatkowe

Hc . . * %$ . CSC 2022

27–30 / 06 / 2022

% 8

www: _>> LELL+ @ + $ mail: LELL@ V $ + $

11 Hc . % $ $ H $ ^ IAV 2022

06–08 / 07 / 2022

Praga .

www: _>> + fLELL+ mail: fLELLV +

14 IFAC Conference on . % $ @ ^ . % LELL

14–16 / 09 / 2022

! @ Dania

DM+ X * ; K MKM 2022

21–23 / 09 / 2022 30 / 03 / 2022

2nd Hc . . * % $ CMWRS 2022

22–23 / 09 / 2022

13 Hc . % $ $ @ . SYROCO 2022

17–20 / 10 / 2022

1 Hc . . * . $ p % $ COSY 2022

24–25 / 11 / 2022

XXVII Konferencja Naukowo? $ LELm = $ ; = C b

07–09 / 03 / 2023 10 / 10 / 2022

www: _>> $ + + mail: * ; V + + f+

22nd Hc . . LELm

09–14 / 07 / 2023 31 / 10 / 2022

www: _>> + * LELm+ mail: * LELmV + +;

www: _>> + * $ LELL+

www: _>>$ $LELL+ + + mail: $ $LELLV + +

www: _>> $ LELL+ @+ $ + mail: $ LELLV $ +

www: _>> LELU+ $

www: _>> f + @ + > LELL mail: LELLV @ +

1948–2022

$ $ @ + LQ C L>LELL

Profesor Edward Jezierski 5 ;, " # " % ; <" " <= % <" 3 2 & " $ 3 * $ % > "! ! ; % - !# %- % - - $

A X O UWMO + % + UWTL + & K" $ A $ GK ; ; b $ $ + @ Y $ Y Y H $ $ + 8 b & K ;Y X " X @ $ $ $ $ $ * $ ; $ * $ ; $+ UWTT + @ X Y + # XF K ; UWOT + & @ b LEET + $ * + @ b $ " \ f # % $ i! % j ] ` \ f * % \ f * $ ] 8 `+ 8 ; * ;Y \ f ¡ ]c ; ` Y $ @ K + *+ A " * ; GK ; " Y+ 8 K Y $ $ / % @ K ]UWWU= LELE` X Y H $ ]UWOO=UWWD` $ + A A ]UWWQ=LEEL` " $ + GK ; ]LEEL=LEEO`+ 8 $ $ ; . $ X GK ; ] UWWL +`+ 8 Y $ + b GK ; ; $ ; & ; ; \ +

*+ A @ $ $ $ @ ; $ C $ < K ; C % " ] % ;Y ` K $ $ $ ; ; ; \ ? + 8 Y $ * ; K + % % \ ? + UWWQ + *+ @ ; ; ; b $ " $+ LEEm + * ;X A \ f + Y $ ; + 8 K . ! % ; Z $ + 8 $ ^ GK ? C $ ? A ? ; % ;+ 8 " $ ; X % $ + / *+ A X $ @ K $ @ K $ $ + mE ;$ X @ Y+ ; @ K $ " X K ; " ; @ " $ ; + H @ @ Y @ Y $ $ K X $ $ $ + @ & $ ; Manipulator arm development & end-effector design for ROBUG III limb climbing robot X " K ; " -

F b Y & $ $ + X $ @ ;X X $ $ ; $ @ K + $ $ b *+ @ @ ; $ B Dynamika robotów C? LEEQ + / ;Y bF $+ + " $ $ / $ " $ / $ $ ; A ; C ;+ ? $ * % G w 2020 r. 8 ; $ GK ; $ @ ; mE ; K $ ; $ $ $ $ @ ] m>LEUO`+ * A $ U LELL + C ;b * ; $ Y Y K K GK ; b ; $ @ + % b$ . $ ; C X & $ " $ ;+

= O + O $ E 6V

WSPOMNIENIA

*+ A $ = ; K = @ $ $ $ ; $ b$ X UWQL + . b$ ; ! $ K Y $+ $ & % $ b$ GK ; $ $ b$ $ $ " X b$ X Y GK ;+ b$ K b X b$ $ + @ @ ;Y $ $ $X" $ A " ; $ $ ; ; + * ;Y $ Y @ $K " -

; K + $ @ " " ; ; " $ ; $ + @ @ Y X " ; @ X LM + *+ A @ @ " K; G GK ; Y" ; " ; ; b " $+ b @ $ < b @ ; ; $ X +

$ A $ " X K" ; + 8 ; $ ; $ ; ; $ $ $ " $ K + @ b$ bF ; $ bF X

K X ; X $ @ F+ # K $ ; ; ; \ ? @ + 8 $ < @ ; +

*+ A ; ]LEEL=LEEO` @ $ ; ; ; $ + + 8 $ $ $ $ b$ X $+ h $ ; ;Y < &+ ; $+ $ X $ Y & + + $ b$ $ ;@ " + *+ A K@ @ $ + 8 $ $ ; ; ; \ ? + $ GK ; ; ; ; " ; $ K $ K $+ + X ;

GK ; * ; i j+ C ; ; ]LEEO +` GK ;X M+ $ ; b K + LEUE + & $ * ; $ ; C X % $ X Y+ 8 $ $ ; $ ; *+ A ;Y ; bF @ $ Y XF " + * A X ; $ X K C $ K +

•

; *+ G

*+ 8 Y \?

*+ & G UWWE=UWWQ LEEL=LEEO

N R 2/2022

$ $ @ + LQ C L>LELL

$ *+ $ $ K $ GK ; $ @ $ $ @ + # X $ $ $ $ * B F $ ; $ $ $ $ K $ Y & $ X K" $ @ $ ; " ; ; Y ; @ + < $ K $ K @ K @ $ $ " $ @ b K LD K + "

; $ b $ $ " i $ @@ j X Y $ @ $@ ; ; $ ? $ MM+ *+ @ $ $ $ ; $ $ $ ; $+ / $ $ F Y b $ F * ; + # " @ @ $ F ; + $ ;X " @X X * ;Y / $ % @ K +

$ A $ ; / A K ;Y $ $ K K K $ @ + A ; K@ ;$ + 8 @ " ; " + . X $ b$ Y Y $ X ; b $K K + A @ $ ; Y $ " @ Y

" Y @Y+ ? < b$ + $ ;Y $ X ; * ; @ K $ b$ ; $ F " F $ $ @ $ " K A $ ; " Y A "@ Y+ / b b$ X Y Y @X ; ; ; ; $ X +

< < *+ G

*+ ? / &

NASZE WYDAWNICTWA

www.jamris.org

www.par.pl

www.automatykaonline.pl/automatyka

•

N R 2/2020

NASZE MONOGRAFIE

www.piap.pl

¤# /ACH q C \ %

# & < '!'' młodzi młodzi

innowacyjni innowacyjni yj yj

! " # $ # % & #' ( ) # * # + + $ !# # , ,$ . # # , % #! ! #$

Ocenie konkursowej, jak co roku, poddano ; bF @ _ $ $ K @ K $ X $ K $ " &+ LELL + B Mm = UL $ LT " + ; ; K X = b h Y = $ ; $ ? = + $ $ 8 ] 8 ` < & ] < & ` < ]\ ` ] <Z $ <K Z ` G ] GK ` ] ` ] & ` % ]/ $ \ ? ` ] `+

$ ; @ ; @ G = H + @ b b K K F LQ $ ; LELL + ; ; ; [[^H * ; C ? ; i $ ; = C b j \? ?H C LELU+ % ; $ @ K X ; $ $ $ $ ; + 8 * $ $ $ b b & " K@ Y ; $ b ; + ? $ @ @ $ $ @ $ @ + / $ X $ $K $ $ ;Y X $ Y $ Y $ b Y " @ + C @ $ K Y Y ;Y b Y Y $ $ $ $ M+E+ ; = ; @ = @X X ; " K X T $ LELm + [[^HH * ; C ? ; \? ?H C_ $ ; = C b + / $ ¥¥¥

. $ ; ; $ $ ; ; _ • "+ % =G = H = Y $ ; • "+ & = ; i $ $ @ j ] $ ; ;` • *+ @+ "+ ; = % $ K $ @ !% • *+ + @+ "+ = ; • *+ @+ "+ $ % = G = H

' , # "+ ; # ; ; ; ; i $ $ * @ p @ f @ j $ $ @ $ " ;Y " Y $ & @ $ b Y K@ + ;X $ " Y $ $ X Y & * @ + bF Y & $ " @ F * $ & @ $ Y + / ;b @ ;Y * $ $ + @ & ; @ $ $ $ $ X @ & @ b $ K b @ b ; ; $+ . XbF Y ;Y @ & b = K $ ; $ ; $ $ @ $+ $ $ $ " ;Y Y K " $ $ @ $ + " bF Y & X X * b @ $ X ; b " K + / @ $ Y $ "+ # $ + ; i/ $ $ K & $ K $ ; $ $ * ;j $ X @ Y ; $ K b @ ; $ $ * $ Y -

• *+ @+ "+ . / & = $ $ @ C ; $ ; X" K" ] $ i $ $ @ j $ X @ " \? ?¤ i * $ @ @ H % $ j`+

•

N R 2/2022

$ $ @ H%%C UMLT WULQ + LQ C L>LELL Uczelnia

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza

Akademia Morska w Gdyni Uniwersytet Morski w Gdyni

–

Akademia TechnicznoHumanistyczna w Bielsku-Białej

–

Instytut Badań Systemowych PAN

–

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Sanoku

–

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Tarnowie

–

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Zamościu

–

Politechnika Białostocka

–

Politechnika Częstochowska

–

Politechnika Gdańska

Politechnika Koszalińska

–

Politechnika Krakowska

–

Politechnika Lubelska

–

Politechnika Łódzka

–

Politechnika Opolska

–

Politechnika Poznańska

–

Politechnika Rzeszowska

–

Politechnika Śląska

Politechnika Świętokrzyska

–

Politechnika Warszawska

Politechnika Wrocławska

–

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

–

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

–

Uniwersytet Rzeszowski

–

Uniwersytet TechnologicznoPrzyrodniczy w Bydgoszczy

–

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

–

Uniwersytet Warszawski

–

Uniwersytet Zielonogórski

–

Wojskowa Akademia Techniczna

–

Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania w Warszawie

–

Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

–

¤# /ACH q C \ % $ $ + 8 $ Y $ @ ;$ ;Y $ CA?<AC A! A cA ^HA .? ^A+ $ ; $ Y # ; $ K b X $ ; ; $ K ] bF b $ ;` bF @ ; + / $ " $ B $ h + # X@ ; " & K Y K $ $ A! A cA $ ; K $ X $ @ $ A ]c `+ b K " ; @ " X ; i ; @ $ @ ! $ $ j+ ; "+ K * % $ F Y $ ;Y K $ ; $ ; $ + " ;Y Y ; $ bF @ $ + X $+ + $ K Y Y ;Y + # X $ $+ K = $ $ @ $ $ B $ + " ; \ X + # " ; K @ $ $ $ $ " i @ * $ f * @ j+ H " A$ % $ & $ ; @ ; + Y XbF " c ; A c! ! ]% ; ` B $ C + $ = ; $+ + $ Y $ @ \ D ; b ; @ $ ; + @ $ ;X ; b $ ; ; * $ K $ + $ $ X b ; b $ X K X $ @ + ? ; $ " @ F $ b " $ " K $ +

Prace doktorskie

Nagroda Główna

dr inż. Olaf Dudek – Kształtowanie charakterystyk dynamicznych zawieszeń jezdnych robotów mobilnych opartych na kołach omnikierunkowych Politechnika Śląska, Wydział Mechaniczny Technologiczny Promotor – dr hab. inż. Sławomir Duda, prof. PŚl

Nagroda Główna

dr inż. Wojciech Dudek – Prudent management of interruptible tasks executed by a service robot Politechnika Warszawska, Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Promotor – prof. dr hab. inż. Wojciech Szynkiewicz

Nagroda Główna

dr inż. Tomasz Feliks – Minimum-energy perfect control for LTI MIMO systems described in the discrete-time state-space framework Politechnika Opolska, Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Promotor – prof. dr hab. inż. Wojciech Hunek

Wyróżnienie

dr inż. Paulina Kurnyta-Mazurek – Opracowanie i badania zaawansowanych algorytmów sterowania magnetycznym podparciem wirnika silnika odrzutowego Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Mechatroniki, Uzbrojenia i Lotnictwa Promotor – prof. dr hab. inż. Tomasz Szolc Prace dyplomowe magisterskie

I Nagroda

mgr inż. Przemysław Olszówka – Prototyp systemu rozpoznawania nieoznaczonych towarów do wspomagania zakupów samoobsługowych Politechnika Śląska, Wydział Mechaniczny Technologiczny Promotor – prof. dr hab. inż. Piotr Przystałka

II Nagroda

mgr inż. Dominika Kopala – Zastosowanie metody elementów skończonych do analizy wpływu wymiarów geometrycznych na zjawisko rezonansu w komorze mikrofalowej Politechnika Warszawska, Wydział Mechatroniki Promotor – prof. dr hab. inż. Roman Szewczyk

Wyróżnienie

mgr inż. Marek Wocka – Modelowanie przemysłowego zbiornika bezciśnieniowego oraz systemu sterowania z wykorzystaniem nowoczesnych metod szybkiego prototypowania Politechnika Opolska, Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Promotor – prof. dr hab. inż. Mirosław Szmajda

Wyróżnienie

mgr inż. Artur Wyciślok – Analiza wpływu zmian parametrów pacjenta oraz szumów pomiarowych na jakość działania sztucznej trzustki Politechnika Śląska, Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Promotor – prof. dr hab. inż. Jarosław Śmieja Prace dyplomowe inżynierskie

I Nagroda

inż. Józef Szymelewicz – Projekt i wykonanie robota mobilnego do usuwania Leptinotarsa decemlineata z uprawy ziemniaka Politechnika Białostocka, Wydział Mechaniczny Promotor – dr inż. Roman Trochimczuk

II Nagroda

inż. Mateusz Krawczyk – Projekt i realizacja stacji załadunkowo-rozładunkowej linii technologicznej do obróbki powierzchni butli metalowych Politechnika Warszawska, Wydział Mechatroniki Promotor – prof. dr hab. inż. Mariusz Olszewski

Wyróżnienie

inż. Jakub Gawron – Prototyp protezy dłoni sterowanej za pomocą sygnału EMG Politechnika Warszawska, Wydział Mechatroniki Promotor – dr inż. Jakub Możaryn

Wyróżnienie

inż. Emilia Szymańska – Robotization of the cappuccino preparation process with computer vision feedback Politechnika Wrocławska, Wydział Elektroniki, Fotoniki i Mikrosystemów Promotor – dr inż. Janusz Jakubiak

Wyróżnienie

inż. Norbert Prokopiuk – Projekt cyfrowego bliźniaka przeznaczonego do programowania zrobotyzowanego procesu WAAM z wykorzystaniem technologii wirtualnej rzeczywistości Politechnika Warszawska, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Promotor – prof. dr hab. inż. Cezary Rzymkowski

& B # + N 7

•

N R 2/2022

młodzi

innowacyjni

Sieć Badawcza Łukasiewicz – Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP ogłasza

XV Ogólnopolski Konkurs na

inżynierskie, magisterskie i doktorskie w dziedzinach Automatyka Robotyka Pomiary Zgłoszenie należy przesłać na adres konkurs@piap.lukasiewicz.gov.pl do dnia 31 stycznia 2023 r. Regulamin konkursu i formularz zgłoszeniowy są dostępne na stronie www.piap.pl Autorzy najlepszych prac otrzymają nagrody pieniężne lub wyróżnienia w kategorii prac doktorskich:

I nagroda 3500 zł

II nagroda 2500 zł

w kategorii prac magisterskich:

I nagroda 3000 zł

II nagroda 2000 zł

w kategorii prac inżynierskich:

I nagroda 2500 zł

II nagroda 1500 zł

Wyniki konkursu zostaną ogłoszone podczas Konferencji AUTOMATION w Warszawie, w dniu 7 marca 2023 r. Patronat Komitet Automatyki i Robotyki Polskiej Akademii Nauk Komitet Metrologii i Aparatury Naukowej Polskiej Akademii Nauk Polska Izba Gospodarcza Zaawansowanych Technologii Polskie Stowarzyszenie Pomiarów Automatyki i Robotyki POLSPAR

Organizator konkursu

Patronat medialny Kwartalnik naukowo-techniczny Pomiary Automatyka Robotyka

Informacji udziela: Małgorzata Kaliczyńska, malgorzata.kaliczynska@piap.lukasiewicz.gov.pl, tel. 22 8740 146

Jacek Puchalski, Zygmunt Lech Warsza

# " ^ ( _