01
RELACIONES LÓGICAS
¿Qué materiales utilizaremos?
¿Qué aprenderemos hoy?
A diferenciar enunciados y proposiciones. A reconocer conectivos lógicos. A resolver problemas aplicando operaciones básicas con conjuntos.
-
Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de lógica proposicional.
Lee con atención la siguiente lectura La Lógica - Antecedentes La lógica es la ciencia que estudia la estructura y validez de los argumentos. Existen dos tipos fundamentales de lógica: la lógica material, también llamada clásica o tradicional, y la lógica formal, llamada también simbólica, moderna o matemática. La lógica material se caracteriza por utilizar símbolos interpretados o palabras, es decir, el lenguaje cotidiano. Aristóteles (384 – 322 a.C.) en su obra Organon (instrumento) expuso la teoría del silogismo en la que establece sistemáticamente sus principios fundamentales así como los procedimientos lógicos más importantes (...) La lógica Fuente: http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ formal se caracteriza por la utilización de símbolos no interpretados que no se corresponden con las palabras del lenguaje ordinario. La lógica formal surgió en el siglo XIX con Goerge Boole, aunque la obra decisiva Principia mathematica fue escrita entre 1910 y 1913 por Bertrand Russell y Alfred Whitehead. En ella se sostiene que cualquiera que sea el contenido dado a los símbolos no interpretados, si se respetan las leyes o las reglas por las que se combinan las proposiciones, la argumentación es válida Fuente:
Libro Símbolos 4 – Editorial Santillana – Año 2000
Responde las siguientes preguntas: a) Expresa con tus palabras el significado de “lógica” ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Qué diferencias encuentras entre la lógica material y la formal? ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
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01
Actividades 1.
En un libro de consulta repasa los siguientes temas:
Puedes consultar textos o documentos relacionados con el tema tratadlo
Proposiciones - Clases Simbolización de proposiciones
Proposiciones lógicas
Concepto: Son expresiones del lenguaje que pueden calificarse como verdaderas o falsas. No se consideran proposiciones las preguntas, órdenes o exclamaciones. Por ejemplo:
María compra víveres en el supermercado ¿Qué es silogismo?
Sí es proposición No es proposición
Clases: a) Proposiciones simples: son aquellas que no tienen conectivos u operadores. Es decir aquellas que no están afectadas por negaciones ("no") o no se unen entre sí con términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si...entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones. b) Proposiciones compuestas: son aquellas que están constituidas por más de una proposición simple unida por términos, conectores o negaciones. Por ejemplo: María estudia para su examen final Proposición simple Eduardo come uvas; Miguel, manzanas Proposición compuesta
Actividades 1. En cada ejercicio marca la alternativa que corresponde en cada caso a)
Isidro es hermano de Vanesa.
Es proposición
No es proposición
b) ¿Cuántas manzanas tienes?
Es proposición
No es proposición
c)
Es proposición
No es proposición
d) ¡Auxilio!
Es proposición
No es proposición
e) Sofía estudia en el CPED Pampa Entsa.
Es proposición
No es proposición
4 es menor que 16.
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01
2. De las siguientes proposiciones señala las que son proposiciones simples o compuestas. Fundamenta tu respuesta. a) 2 es un número par y primo. ................................................................... ......................................................................................................................................... b) Isabel es abogada y Pablo contador. ................................................................... ......................................................................................................................................... c) La Iglesia San Antonio de Padua. ................................................................... ......................................................................................................................................... d) Humberto tiene propiedades en Tarma. ................................................................... ......................................................................................................................................... e) La puerta no está cerrada. ................................................................... .........................................................................................................................................
Simbolización de proposiciones Consiste en la representación del lenguaje ordinario mediante el lenguaje simbólico. Para ello, cada proposición simple es reemplazada por una variable proposicional (expresada con una letra minúscula) y los términos de enlace por operadores proposicionales. Veamos las siguientes proposiciones: Nosotros viajaremos a Huancayo. = p Piura es un departamento del Perú. = q Para representar oraciones compuestas utilizaremos los siguientes símbolos:
Conjunción: Al reunir dos o más proposiciones simples mediante el conector “y” representado por “ ”, obtenemos una tercera llamada conjunción. Por ejemplo: El león es un animal carnívoro y mamífero El león es un animal carnívoro = p El león es un animal mamífero = q
p q
Disyunción: Está formada por dos proposiciones simples relacionadas por el conectivo lógico “o” representado por “ ” Óscar estudia o trabaja Óscar estudia = p
Óscar trabaja = q
p q
Condicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo lógico “Si... entonces” cuyo símbolo es” ”. Por ejemplo: Si 16 es un número par entonces es divisible entre 2 16 es u número par = p 16 es divisible entre 2 = q
p
q 3 Prof. Beatriz Toledo López
01
Bicondicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo lógico “si y sólo si” y se representa con “ ”. Ellos visitarán las líneas de Nazca si y solo si viajan a Ica Ellos visitarán las líneas de Nazca = p Ellos viajarán a Ica = q
p
q
Negación: Se denomina proposición negativa a aquella proposición simple que es afectada por una negación. Se representa n”
”.
Rafael no estudiará para su examen del domingo Rafael estudiará para su examen del domingo = p
p
Actividades 1.
Simboliza las siguientes proposiciones: Ejemplo: a)
La Luna no es satélite de Marte La Luna es satélite de Marte = p
p
Miguel no es alto.
b) Hoy iremos al cine si y solo si nos recoges temprano. c)
Los estudiantes no irán de campamento el sábado.
d) Si hoy hace frío entonces es invierno. e) Estudio en la mañana y trabajo en la tarde.
¿Qué aprendimos hoy? 1.
En los ejercicios, marca V (verdadero) o F (falso) según convenga a) b) c) d) e) f)
¡Qué linda fiesta! El presidente del Perú Ellos no asistieron al museo Victoria irá a la fiesta Yovana no es pequeña 1 es primo y múltiplo de 8
Es una proposición simple No es proposición Es una proposición compuesta Es una proposición conjuntiva Es una proposición disyuntiva Es una proposición conjuntiva
( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) ) 4
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2.
Simboliza las siguientes proposiciones: a)
Si Pedro es futbolista entonces juega fútbol.
b) Hoy no iremos al cine. c)
Juan es arquitecto y Roberto no es dentista.
d) Hoy lloverá si y sólo si hace frío. e) Si 3 es primo entonces es impar. f)
Katty no va al cine y no va al parque.
g)
Hugo es un gran abogado y no es un buen futbolista.
h) Si estudio mucho y asisto a las clases entonces no reprobaré el examen y pasaré la materia.
Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado, desarrollando ejercicios referentes a :
Enunciados y proposiciones
Proposiciones simples y compuestas
Simbolización de proposiciones
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Lógica formal e informal http://recursos.cnice.mec.es/filosofia/swf/unidad03.swf Introducción a la Lógica http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/1_parte.pdf
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02 0
NÚMEROS REALES
¿Qué materiales utilizaremos?
¿Qué aprenderemos hoy?
A reconocer propiedades y relaciones en Números Reales. A aplicar propiedades con Números Reales. A resolver operaciones con el valor absoluto de Números Reales.
-
-
Libro de Matemática – 2do grado de secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008. Video : El conjunto de números reales.
El conjunto de Números Reales El conjunto de los números reales está conformado por: -
Los números Naturales. Los números Enteros. Los números Racionales. Los números Irracionales. Imagen extraída de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/number-sets.gif
a) Observa el gráfico. ¿Qué conjuntos observas? ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... b) Escribe dos ejemplos para cada uno de los siguientes conjuntos: a)
Números Naturales
-
b)
Números Enteros
-
c)
Números Racionales
-
d)
Números Irracionales
-
Repasa en tu libro de consulta los siguientes temas: Los Números Naturales Representación en la recta numérica 1 Prof. Beatriz Toledo López
02 0
Orden en R Dados dos números reales a y b, veamos dos casos: Se dice que a b si la diferencia de a – b es un número positivo Se dice que a b si la diferencia de a – b es un número negativo Por ejemplo a)
3
5 porque ( 3) ( 5) 2
b)
-1
3 porque ( 1) (3)
4
También se puede establecer un orden en R, si expresamos ambos números en forma decimal y luego comparamos cada una de las cifras. 10 y 6,17 Por ejemplo: Comparar : Desarrollando
10 6,17... entonces 10
4,98
Relaciones en R - Propiedades
Igualdad
A continuación veamos algunas propiedades fundamentales de los números reales: Propiedad Reflexiva Simétrica
si a b
Transitiva
si a b y b c
Menor
Orden
Aditiva
Notación a
si a b
a
b a
a c b c
Multiplicativa (I)
si a.c b.c
Multiplicativa (II)
si a.c b.c
Transitiva Relación Menor o Igual( Relación Mayor o igual( )
a c
Ejemplo 5 5 6 4 2 4 2 6
Si 8 4 4 y 4 4 4 x 2 7 12
8 4x2 7 ( 2) 12 ( 2) 5 10 3 15
3 4
15 4
12 60 6 2
a b yb c
6 4 a c
a b
si a b ó a b
a b
si a b ó a b
2 4
24 8 2 6 6 10 6 10 9 13 9 13 ó 9 13
16 10
16 10 ó 16 10
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02 0
Actividades 1.
2.
Escribe el tipo de propiedad que corresponde a cada enunciado: a)
15 15
b)
16 5 4 5
16 4
c)
3 5 5 12
3 12
d)
2x2 2x10
2 10
En tu cuaderno, grafica una recta y representa los siguientes números reales 2, 3,
3.
1 1 , , 0, 3, 2 8
Coloca el signo <, > , = según corresponda: 3 = 2
a)
2
b)
50 2
c)
17, 222
5, 4
d)
6
e)
5 16
8,59 g)
0,58
17, 242 f) 0
90
h)
i)
7,58
8
4,3
0, 458
5 2
j)
k)
0,589 l)
2, 4
9 7
2 3 4
0, 74
Valor absoluto de un número real Recordemos:
x se lee valor absoluto de “x” Si x ≥ 0, entonces x
x
y
Si x
0, entonces x
x
Ejemplo: Hallar el valor absoluto de – 6 y 8 a) Si 6 0
6
( 6) 6
b) Si 6 0
6
6
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02 0
Actividades 1. Halla el valor absoluto de los siguientes números: a)
9=
e)
3,14159 6
b)
56
f)
c)
4
g)
15
d)
6
5
4
4 3
h)
2. En tu cuaderno, desarrolla las operaciones combinadas con valor absoluto en R 6
1 2
8.
a) 3
8
9 x
b)
1
25
1 4
Operaciones en R - Propiedades
En las operaciones con números reales , encontramos las siguientes propiedades: Adición a b c, c
Actividades Clausura Conmutativa
a b b a a b c a
Asociativa i. 5 3 3 5 1 2Neutro .2 1 ii. Elemento
0
,a 0
3 3 iii. Elemento Inverso
0 a
/a
Distributiva 9. 2 3 iv.
9
2 27
Sustracción , si a y b a b a b
Multiplicación a . b c, c
a.b b.a b c Distributiva a.b .c a. b.c
a
a
1 , a .1 a Conmutativa 1 Si a 0, a / a.a 1 1 0 Elemento Inverso Aditivo a. b c a.b a.c Elemento Inverso Multiplicativo
División , si a y b a b
a b
1
4 Prof. Beatriz Toledo López
02 0
Actividades 1.
Relaciona los enunciados con sus respectivas propiedades
5 3 3 5
Distributiva
2 1.2 1
Conmutativa
0
Elemento Inverso Aditivo
2 27
Elemento inverso Multiplicativo
3 9.
2.
3 9
2 3
En tu cuaderno, resuelve los ejercicios utilizando las propiedades en números reales: 5 8
a)
e)
4 5
f)
c)
3 2,8 6,3
g)
d)
7 1, 78 7 5
b)
2
3, 45 =
x 2 3x 2
13 2
2 3,8
7,3 x 2, 4 8 2
1,8
4, 69
Para resolver operaciones en R es necesario que los valores tengan la misma cantidad de decimales
6 x 1
¿Qué aprendimos hoy? 2x 3 x 2
6 x 3
1. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) = 2
9 5
2 9
(
)
b)
5
0
(
)
c)
9 3 6 3
(
)
d)
3 1.3 1
(
) 5
Prof. Beatriz Toledo López
02 0
2. Hallar: A + G + U + A
A
5
2 10
3x 2 G
1 2
U
1 3 3
4 . 16
3. Resolver: a) Joaquín adquiere un bloque cuadrangular de 1 000 m 2 y quiere colocar palitos de chupetes de 0,05 m en el perímetro del bloque. ¿Cuántos palitos utilizará?
Reforzando lo aprendido Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: Actividad Números Reales
:
(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuerce los temas tratados.
Pág. 23
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Conjunto de Números Reales http://www.eva.com.mx/sia/materias/mat_052/podi/fla/act1.swf Números Reales http://www.genmagic.net/mates5/numeros_reales/mat4eso1_1c.swf Gráfica de conjunto de Números Reales http://members.fortunecity.com/omacetin/flash/Tema1.1.swf
6 Prof. Beatriz Toledo López
03
POTENCIACIÓN Y RACIONALIZACIÓN EN
¿Qué aprenderemos hoy:
¿Qué materiales utilizaremos?
A resolver ejercicios que involucran la potenciación y radicación en números reales.
-
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008.
Lee con atención la siguiente lectura: ORIGEN DE LA RAÍZ CUADRADA El Papiro de Ajmeed datado en 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Fuente: www.aulafacil.com Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos. David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice, acerca de la situación existente: "En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada". El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operaciónque aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando. Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos, para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cómo representas la raíz cuadrada en función de la potenciación? ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
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03
Potenciación Recordando:
Exponente
an
Base
b
Potencia
Propiedades: Potencia de un Producto
(4 x2)
Potencia de un cociente
1 2
2
42 x 22
a
(22 )3
42.4 42
1 16
Potencia de exponente 0 0
1
43
26
64
64
Potencia de exponente negativo
1
11 2
0
1 2
Potencia de una potencia
4
14 24
64
Potencia de potencias de igual base
1
1 112
1 121
Actividades 1. Aplica las propiedades y determina el valor de cada enunciado: a)
2
1 3
b)
x
1 9
2 1 3 3
4
c)
1 4 d)
4
2 3
( 3) 2 ( 6) 2
{[(4) 2 ]3 }0 ]
2
32.34.36.39 210.22.16
2. Halla el valor de “X” en los siguientes ejercicios : a)
2x
b)
(43 ) x
2
16
(16) x
1
c)
32 x
d)
21
1
0
9
81
3x
2 Prof. Beatriz Toledo López
03
Radicación en Recordando:
Raíz Índice
n
a
b
b
a
1 n
Cantidad Subradical
Propiedades: Raíz de un producto
4.16
Raíz de un cociente
4. 16
3
2.4 8
8 27
3
8 3 27
Raíz de una potencia 9
2 3
3
99
93
93
729
Raíz de raíz 3
3
2 x3
3
6
3
Actividades 1.
En tu cuaderno, halla el valor de las siguientes expresiones utilizando las propiedades aprendidas: a)
c) 8
b)
d) 400
2.
64 1000 1000 . 2 8
3
1
4.10
4 4
64 4
Halla el resultado de cada una de las raíces: a) b)
16 5
c) d)
32 225
3
1000
3 Prof. Beatriz Toledo López
03
Racionalización El proceso de transformar un denominador o numerador irracional de una expresión en un denominador o numerador racional se denomina Racionalización. Ejemplo: Racionalizar
3 : 5
Factor racionalizante
1
Multiplicamos el factor racionalizante al numerador y denominador
2
Aplicamos la propiedad de raíz enésima de un producto
3
Operamos
3 5 . 5 5 3. 5 5.5 3 5 3 5 5 25
Actividades 1.
Racionalizar los denominador de las siguientes expresiones: a)
16 3 3
c)
b)
3 16 5
d)
15 6 7
e)
4
f)
3
3 9
9 2 13 3 3 7 21
Radicación exacta – inexacta Raíz cuadrada exacta: Es cuando la raíz cuadrada de un número no tiene residuo.
4
2
30
Empleando:
radicando
(raíz ) 2
Raíz cuadrada Inexacta: Es cuando la raíz cuadrada de un número si tiene residuo.
residuo
?
Empleando: radicando (raíz ) 2 residuo
4 22 0
30 52 5
Siendo 0 el residuo
Siendo 5 el residuo Nota: Elegimos el 5 por ser aquel que elevado al cuadrado se aproxima más al 30
4 Prof. Beatriz Toledo López
03
Raíz cuadrada de decimales: Para encontrar la raíz de un número decimal, se procede como si se tratara de un número natural y luego se señalan las cifras decimales obteniendo el cociente entre el número de cifras decimales de la cantidad subradical y el índice. Ejemplo: Halle
0, 0004
0, 0004 = 0,02 2 decimales 4 decimales
Actividades 1. Hallar el residuo de las siguientes raíces inexactas: a)
c)
47
b)
d)
7
10 27
11
2. Halla las siguientes raíces decimales: 0,36 a) b)
3
0, 008
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) b) c) d)
0, 7
(
)
0, 001 0,1
(
)
(
)
(
)
0, 049 3
1 2
3
1 8
3
4
3
5 Prof. Beatriz Toledo López
03
2.
Resuelve los siguientes problemas: a) Determinar el área de un terreno cuadrangular que tiene de lado 34,56 m. Hallar el resultado en décimas.
b) Juan sembró un jardín de 144 000m2 y quiere hallar la medida del lado de dicho jardín para poder cercarlo. ¿Cuánto equivale el lado del jardín?
Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*:
Actividad 4, 5, 6 y 7: Potenciación y Radicación
(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
de los Números Reales (Pág. 33-42)
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre potenciación http://www.genmagic.net/mates4/ser7c.swf Radicación http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica /Operaciones/Radicacion.htm
6 Prof. Beatriz Toledo López
04 0
NÚMEROS RACIONALES
¿Qué aprenderemos hoy?
A reconocer números racionales A resolver ejercicios que involucran el orden y la densidad en Q. A resolver problemas con números racionales
¿Qué materiales utilizaremos? -
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008.
LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA ANTIGÜEDAD Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fuente: www.aulafacil.com Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy. A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3). A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792. Extracto de HISTORIA DE LOS NUMEROS RACIONALES http://platea.pntic.mec.es/~bgarcia/racional.htm#historia
Investiga con tus compañeros y responde: a) Explica con tus palabras lo que entiendes por número racional. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Los números decimales pertenecen al conjunto de los números racionales? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López
04 0
Representación y orden Recordando: Si
a
b
,
b 0
a b
Representación en la recta numérica: Entre a y b existe
1 2
Ejemplo: Representa en la recta numérica
-1
Orden:
a . b
0
1
1 2
3
2
4
Para evaluar el orden de las fracciones se procede a multiplicar en aspa los numeradores con denominadores y de acuerdo al resultado de ambos productos indicar el orden. Ejemplo: Escribe <; > según corresponda:
4 ( 5
)
6 4 = 7 5
6 4 6 = 28 (<) 30 = (<) 7 5 7
Actividades 1.
Resuelve en tu cuaderno lo siguiente: Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
2 4
3 5
7 2
22 7
15 6
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
3 2
6 4
5 4
1 7
2 9
Densidad de los números racionales “Para toda pareja de números racionales siempre va existir otro número racional entre ellos.” Ejemplo: Entre 3 y 4 , 4 y 5
3
3 2
4
4 2
5
2 Prof. Beatriz Toledo López
04 0
Operaciones en Q
Adición
Sustracción
Homogéneas a b
Heterogéneas
c a c b b Ejemplo:
23 17 4 4
23 17 4
40 4
a b
c ad bc d bd Ejemplo:
1 7 5 6
6 35 30
41 30
Homogéneas
Heterogéneas
a b
a c a c b b b Ejemplo:
7 1 11 11
33 15 19 6
7 1 6 11 11
Multiplicación
c ad bc d bd Ejemplo: 198 185 114 13 114
División
a c x b b
a xc ;b b
0
3 6 x 8 11
3x8 8 x11
24 88
Ejemplo:
a b
c d
a xd ; c , b, d b xc
0
Ejemplo:
1 2
3 7
1x 7 2 x3
7 6
Actividades 1.
En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones: a)
1 3
2 3
b)
5 1 3 3
1 3 x 5 2 3 1 x 7 2
c)
2 11 3 x 4 2 5
d)
1 5 7 1 11 x x x x 3 4 6 4 4
3 Prof. Beatriz Toledo López
04 0
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Resuelve los siguientes problemas: a) Gloria vive Lima y decide visitar a su hermano que vive en la provincia de Canta. El primer día recorre 1/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que le falta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos km tiene el camino? b)
c) Los dos quintos de los ahorros de Laura son S/58 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?
Reforzando lo aprendido Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: (*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material Actividad 4, 5 y 6: Multiplicación y División de los que refuercen tratados.
Números Racionales (Pág. 78-81)
los
temas
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre fracciones: Operaciones http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/to do_mate/fracciones_e/fracciones_ej_p.html Suma, Resta, multiplicación y División de Números racionales http://www.aplicaciones.info/decimales/fraccion.htm Problemas con números racionales http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-019.htm
4 Prof. Beatriz Toledo López
05 0
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
¿Qué aprenderemos hoy?
¿Qué materiales utilizaremos?
A reconocer expresiones algebraicas. A resolver ejercicios que involucren el valor numérico de expresiones algebraicas.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008
EXPRESIONES LITERALES
Cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente interceptados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas a Vieta las descifró sin mayores problemas. Esto desconcertó a los españoles durante dos años Fuente: que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un www.aulafacil.com mago. Este mago, que era solo un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para las matemáticas (y otras ciencias) el efectuar cálculos con letras en lugar de con números. Extracto de EXPRESIONES ALGEBRAICAS http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematic as/materiales/3eso/algebra/simbolizacion/simbolizacion.htm
Investiga con tus compañeros y responde:
a) ¿Qué entiendes por expresión algebraica? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Toda expresión algebraica posee variables? ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
1 Prof. Beatriz Toledo López
05 0
Variable y simbolización de enunciados mediante el lenguaje algebraico. Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación, división, etc.)
3x2
Variable
“La variable es aquella cantidad incógnita de un enunciado; siempre se representa por letras.” Todo enunciado matemática se puede expresar en lenguaje algebraico: Ejemplo: El doble de la edad de Ana -----------------------> 2x La mitad de un número más cinco----------------> x/2 +5
Actividades 1.
Expresa en forma de enunciado las siguientes expresiones: Por ejemplo: Un número excede a otro en 6 :
2.
a)
A un número se le suma la mitad de otro número
b)
El producto de dos números se duplica
c)
La suma de dos números se eleva al cuadrado
d)
Un número incrementado en 4 es multiplicado por un número disminuido en 3.
x = y+6
Define las siguientes expresiones algebraicas en enunciados : a)
3x 4
b)
4x 5 y
c)
x2 1
d)
3x2
e)
x 2x 3
2 Prof. Beatriz Toledo López
05 0
Valor numérico Si se desea sustituir variables por números con la finalidad de calcular el valor numérico de la expresión , se debe tener en cuenta lo siguiente: Con una variable Si en una expresión como x( x 1) se presenta la misma variable varias veces, entonces se debe sustituir esa variable por el mismo número cada vez.
Con dos variables Si en una expresión como 2x - 3y + 4 hay distintas variables, éstas se sustituyen por números para cada una de ellas. Esos números pueden ser los mismos o diferentes.
Si x
3, x( x 1) 3(3 1) 3(4) 12
Si
x y
2 , 3
2(2) 3(3) 4 4 9 4 9
Actividades 1.
En tu cuaderno, calcula el valor numérico de la expresión a (b 2a ) 3a 2 en los siguientes casos:
a)
a b
2 3
c)
a
5
b
1 2
M
b)
a 5 b 7
M
M
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) 2x es una expresión algebraica
(
)
b) Si x=3 , 3x+1 = 3(3)+1
(
)
c) 3 es una variable
(
)
d) Existen dos variables en 2xy+4z
(
)
3 Prof. Beatriz Toledo López
05 0
2.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones:
x
y
3
11
2
2
-3
-4
5
3
0
5
4
-3
x 3y2
2y
x 3
3 y 4x
Reforzando lo aprendido Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: (*) Si no cuentas con el libro de
Expresiones algebraicas
Valor numérico
consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Expresiones Algebraicas http://www.juntadeandalucia.es/averroes/html/adjuntos/200 8/01/18/0007/Definitivo%20Polinomios/textopolinomios.swf Algo más de expresiones algebraicas http://www.genmagic.net/mates5/expalgeb1c.swf Valor Numérico http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Mategeneral/t1-reales-expresionesalgebraicas/T12-expresiones-algebraicas-julioetall/node2.html
4 Prof. Beatriz Toledo López
06 TEORÍA DE EXPONENTES Sumilla A través del desarrollo de ejercicios y los ejemplos propuestos aprenderemos a reconocer las propiedades de la potenciación y su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
Recursos
A reconocer las propiedades de la teoría de exponentes. A resolver problemas con reducción de términos semejantes.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? EXPONENTE DE UNA POTENCIA El primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x 2, lo escribía como 52. En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viéte en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x2 lo escribía como 5xii. Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo, que para la Fuente: potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, www.aulafacil.com como muchos hasta entonces, x2 como xx. Fuente: http://www.epsilones.com/paginas/t-signos.html#signos-exp-inf
Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Qué relación existe entre la multiplicación y la potenciación? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Cuáles son los elementos de una potencia? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
1 Beatriz Toledo López
06 Actividades 1.
2.
En este espacio de la ficha desarrollaremos las actividades en dos formas: Presentando un resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Si deseas profundizar el tema te recomiendo que repases de tu libro de consulta o de diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Potenciación de números reales Propiedades Reducción de términos semejantes
Propiedades Recordemos: Potencia de un producto
Potencia de un cociente
a b
(a.b) n
a n .b n
(4m) 2
42. m2 16m2
1 2
n
Potencia de potencias de igual base
n
a bn
4
a n .a m
14 24
1 16
42.4 43
Potencia de exponente 0
a0 1
1 2
an
Potencia de una potencia
m
(a n )m
64
(32 )3
a n.m 36
Potencia de exponente negativo
0
a
1
1 an
n
1 112
11 2
1 121
Actividades
1.
Desarrolla los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la potenciación: a)
1 2
(6) 2 1 4
d)
g)
2.
b)
2
2
32.34.36.39 210.22.16 1 3 1 3
5
3
3 5 3 5
5
3
9
e)
2 3
h)
2 3
4
3
1 4
8
2
2
6
2
1 9
3
2 3
2 3
2 1 5 5
9
3 2
5
4
c)
1 3
f)
4 5
i)
3 2 3 2
4
{[(4)2 ]6 }0 ]
2
5
11
4 5
2 3 2 3
5
4 5
4
7
2
Halla el valor de “y” en cada caso:
2 Beatriz Toledo López
06 a)
0
21
9 b)
3
y
(23 ) y
(16) y
1
c)
92 y
d)
2y
1
2
81 16
Reducción de términos semejantes La reducción de dos o más términos semejantes es otro término, con la misma parte literal, cuyo coeficiente es la suma o resta de los términos dados. Ejemplo: Reducir: 5 x 3 y 22 x 4 y
(5 22) x (3 4) y 17x y
Actividades 1. Reducir: a)
2x 4 y 6z 4x 3 y
d)
b)
3, 2 x 5,1y 3,6 z 4 x
e)
c)
3x3 y 3xy 4 x3 y 4 xy xy 3
f)
5x 3 y
1 x 4, 4 y 2
2 1 x 3, 2 y 0,5 x 5 y 3 3ab 3a 4b 4ab
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que hayamos terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciaremos con la elaboración y resolución de problemas utilizando las propiedades de la potenciación. En parejas elabora 2 problemas cotidianos en las que se representen alguna de las propiedades de la potenciación. Recuerda incluir las propiedades utilizadas y la resolución de los ejercicios. Por ejemplo: María tiene “x” cantidad de cuyes, la que alimenta utilizando 8/3 de paca de alfalfa por mes. Si en el siguiente mes la cantidad de cuyes crece a “x2” ¿Qué cantidad de paca de alfalfa consumirá en este mes? Respuesta: 8 3
2
82 32
64 9
PROPIEDAD POTENCIA DE UN COCIENTE
Fuente: www.agroterra.com
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………
3 Beatriz Toledo López
06
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……… 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones: a) Los términos 3x y 3z son semejantes b)
1 2
3
1 8
3238838230 1 1 d) 32 2 32 c)
e)
x15 x8
f)
a3 .a3
x 23 a9
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
¿A DÓNDE NOS LLEVA NUESTRO APRENDIZAJE?
Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: Actividad 4: Potenciación (Pág. 33) (*) Si no cuentas con el libro de Propiedades de la potenciación consulta, utiliza otro material que refuercen los temas Reducción de términos semejantes tratados.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre potenciación http://www.genmagic.net/mates4/ser7c.swf Términos Semejantes http://publab03.coseac.unam.mx/objetos/termse mj.html Ejercicios de Términos Semejantes http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algeb ra1ReducirTermSemej.htm
Proyecto: “Organizamos un concurso de Matemática: Creando historias utilizando la potenciación” Responsables: tutor y estudiantes Objetivo: Identificar la importancia del estudio de la potenciación y su aplicabilidad en las actividades cotidianas. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un concurso de Matemática, cuyo tema sea la creación de historias utilizando la potenciación. Recuerda relacionar las historias de acuerdo a la realidad de tu región.
4 Beatriz Toledo López
07 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Sumilla Con el desarrollo de la ficha recordaremos la clasificación de las expresiones algebraicas y las operaciones de adición y sustracción de polinomios, posibilitando su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
Recursos
A resolver ejercicios que involucren la adición y sustracción de polinomios.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? LOS POLINOMIOS TIENEN SU HISTORIA… La gran proeza matemática de descubrir los polinomios, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo del primero. Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna". En aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer. Estos duelos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio. El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale Della Nave y Antonio María Fiore. Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, durante 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica. Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars Magna", que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos, la solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano reconoce el mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento, Tartaglia nunca lo perdonó por faltar a su juramento. Fuente Los polinomios tienen su historia… http://aprenderencasa.educ.ar/aprender-en-casa/1-3S-los_polinomios_tienen_%20su%20historia.pdf
Beatriz Toledo López
1
07 Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Qué comentarios obtienes de la lectura? ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. b) Investiga con tus compañeros sobre los aportes en la Matemática de Scipione del Ferro, Girolamo Cardano y Nicoló Tartaglia. ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. c) Observa la imagen de la lectura y señala las tres de las características de le expresión planteada. - ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ - ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... - ............................................................................................................................................................ ...........................................................................................................................................................
Actividades 1.
2.
En este espacio de la ficha desarrollaremos las actividades en dos formas: Presentando un resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Si deseas profundizar el tema te recomiendo que repases tu libro de consulta o diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Expresiones algebraicas Adición de polinomios Sustracción de polinomios
Expresiones algebraicas Es toda expresión finita donde intervienen variables con exponentes racionales y números ligados por las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, división, radicación, potenciación) o una combinación de ellas.
4x 2 y 3 z 5 A un término algebraico lo denotamos T ( x; y; z )
4x 2 y 3 z 5
Beatriz Toledo López
2
07
Clasificación de Expresiones Algebraicas Polinomio Suma de dos o más términos Trinomio Binomio Suma de Tres términos Suma Dos términos 2
Monomio Un solo término
Número de términos
A( x) 3x 2 y 4
P( x)
x 2 3x
Racional Entera Fraccionaria Sus exponentes son Sus exponentes positivos son negativos
Naturaleza
x 2 3x 5
3x
2
P ( x, y )
3x
4 y 5x
Irracional Sus variable están afectadas por un radical o exponente fraccionario
2x 5
3x 1
Actividades 1.
Completa el siguiente cuadro con 2 expresiones diferentes en cada caso, de acuerdo a la clasificación de las expresiones algebraicas: 1.
Binomio
Según el
2.
Polinomio
número de
1.
Trinomio
2.
términos
1.
Monomio
1.
Entera
Según la naturaleza
2.
2.
Racional
1.
Fraccionaria
de los términos
2.. 1.
Irracional
2.
Adición de polinomios Para sumar dos o más polinomios se colocan uno a continuación de otro y se reducen los términos semejantes. Ejemplo: Si
P1 ( x)
3x 2
2 x3
x 1 y P2 ( x)
Solución
x 2 10 x 3 3 Determinar .
3x 2 2 x3 x
2
10 x
3
4 x 2 8 x3
P1 ( x) P2 ( x)
x 1 3 x 2
Beatriz Toledo López
3
07 Actividades 1.
Determina: P1 ( x) P2 ( x) a)
b)
P1 ( x) 3x 2 8 x 6 2 x 3
P1 ( x) 6 x3
P2 ( x) 2 x 2 7 x 6 4 x 2 c)
x5 6 x 7
P2 ( x) 5 x3 x 4 8x 6
P1 ( x) 7 x3 9 x5 6 x 7 P2 ( x) 5 x3 4 x 4 8 x 6
Sustracción de polinomios Se denomina opuesto de un polinomio cuyo coeficiente de sus términos son los inversos aditivos de los coeficientes de cada término correspondiente del polinomio dado. Ejemplo: Si P1 ( x)
x2
x3
4 x 5 y P2 ( x )
2x2
x 6 Determinar P2 ( x) P1 ( x)
x2
x3 4 x 5
x2
x3 4 x 5 2 x 2 3x x
2
3
3
5x 1
2
5x 1
x 3x
2x2
x 6 x 6
Actividades 1.
En tu cuaderno, determine P2 ( x ) - P1 ( x ) a)
c)
P1 ( x) 3x 2 2 x3 2 x 2 P2 ( x) 4 x 4 8 x3 4 x 4
b)
P1 ( x) 10 x 2 7 x3 12 x 27 P2 ( x) 10 x 4 4 x3 2 x 26
d)
P1 ( x) 8 x3 3x10 2 x 15 P2 ( x) 10 x3 2 x10 9 x 4
P1 x
3x 4 9 x 3 4 x 7
P2 x
4x4 9x2 4x 8
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Plantea dos problemas cotidianos en los que emplees las operaciones de adición y sustracción de polinomios. Recuerda colocar la resolución de cada ejercicio: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………..
Beatriz Toledo López
4
07
2.
Considerando los siguientes polinomios:
P( x)
4 x5 2 x 4 3x 7 x3 9 7 x 2
Q( x)
2 x 2 9 x3 5 x5 8 x 4 7 x
R( x) 17 8 x 9 x 4 2 x 3 5 x 5 a) b) c)
P ( x ) Q( x ) Q( x ) R ( x ) P( x) Q( x) R( x)
x2
d)
Q( x ) R ( x )
g)
R( x) P( x)
e)
P( x) R( x)
h)
P( x) R( x)
f)
Q( x ) P ( x ) R ( x )
i)
R ( x ) P( x ) R( x )
¿A DÓNDE NOS LLEVA NUESTRO APRENDIZAJE? Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: Actividad 14: Adición y Sustracción de Polinomios (*) Si no cuentas con (Pág. 84)
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Adición y sustracción de Polinomios http://www.genmagic.net/mates5/expalgeb1 c.swf http://descartes.cnice.mec.es/materiales_did acticos/Polinomios/polinomios1.htm http://algebrabaldor.webcindario.com/id41.h tm
el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
Proyecto: “Organizamos un duelo matemático” Responsables: tutor y estudiantes Objetivo: Identificar la importancia del estudio de los polinomios y la resolución de ejercicios de adición y sustracción de polinomios. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un duelo matemático que servirá para evaluar los aprendizajes obtenidos en la ficha. Se sugiere realizar los duelos en grupos, teniendo en cuenta las características detalladas en la lectura inicial de la ficha y con los ejercicios propuestos por cada estudiante en la opción ¿Qué aprendimos hoy? Las reglas del duelo deberá plantearlo el tutor y un representante de cada grupo.
Beatriz Toledo López
5
08 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS Sumilla Con el desarrollo de la ficha reforzaremos la multiplicación y división de polinomios utilizando diferentes métodos que permitan la resolución de ejercicios en forma sencilla y práctica.
¿Qué aprenderé hoy?
Recursos
A resolver problemas que involucran la multiplicación y división de polinomios.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? EL POLINOMIO VILLARREAL Federico Villarreal nació el 03 de Agosto de 1850 en la localidad de Túcume en Lambayeque. Fue un importante matemático, filósofo e ingeniero nacional, llegando a ser Decano de la Facultad de Ciencias y Rector de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Apenas a los 23 años, descubrió el método para elevar un polinomio a una potencia cualquiera. Esta operación fue denominada como el 'Polinomio Villarreal' y resulta más fácil y rápido que el binomio de Newton. En 1877 ingresó a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Al concluir el primer año obtuvo los premios de Geometría descriptiva, Revisión de Matemática y Geometría analítica. Durante los tres años siguientes ganó nuevamente el primer puesto en los cursos principales. Fuente: www.peru.gob.pe Obtuvo una beca que lo exoneraba de los pagos por derecho universitario en el bachillerato y licenciatura. Concluyó su carrera universitaria, logrando el título de doctor el 23 de septiembre de 1881, con calificaciones sobresalientes. Fue el primer doctor en matemática egresado de San Marcos. Al producirse la Guerra del Pacífico (1879), recién ungido con sus primeros grados universitarios, se alista en las filas de los defensores de la patria. No sólo comparte el sacrificio de la batalla del Morro Solar de Chorrillos, sino que cae herido en los campos de San Juan y Miraflores, ostentando la clase de subteniente del 18 Batallón de Infantería. A los 31 años postuló a la Escuela de Ingenieros (hoy Universidad Nacional de Ingeniería), graduándose como Ingeniero Civil y logrando un posterior doctorado en Matemáticas. Falleció de derrame cerebral, el 3 de julio de 1923 en Barranco. Fuente Nacimiento de Federico Villarreal http://www.deperu.com/calendario/resumen.php?cel=1128 Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Qué comentarios obtienes de la lectura? ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................
Beatriz Toledo López
1
08
b) Investiga con tus compañeros sobre el Polinomio Villarreal. Plasma tus conclusiones en las siguientes líneas: ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................
Actividades 1.
2.
En este espacio de la ficha desarrollaremos las actividades en dos formas: Presentando un resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Si deseas profundizar el tema te recomiendo que repases tu libro de consulta o utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Multiplicación de polinomios División de polinomios: División Clásica y Regla de Ruffini
Multiplicación de polinomios “Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva así mismo como las propiedades de productos de potencias de igual base y luego se reducen los términos semejantes” Ejemplo: Dado los polinomios P( x)
3x 2
2 x 5 ; Q( x)
4 x 2 3 x 1 determinar P( x) . Q( x)
3x 2 2 x 5 4 x 2 3x 1 3x 2 x3 12 x 4
Para realizar operaciones de multiplicación de polinomios se sugiere ordenarlos en forma creciente ambos términos antes de realizar las operaciones.
2x 5
6 x 2 15 x
8 x 3 20 x 2
12 x 4 17 x 3 29 x 2 17 x 5
Actividades 1.
Determina el producto de los siguientes polinomios: a)
P( x) 3x 4 y Q( x)
b)
P( x) 8 x3 4 x 2 3x 1 y Q( x)
c)
P( x) 3x 4 y Q( x)
2x 1
2x 5
4 x3 5x 4
d)
P( x) 5 x 2
e)
P( x) 3 x 2 5 x 4 y Q( x) 8 x 2
f)
P( x) 2a 2 3a 4 y Q( x) 5a 7
4 x 4 y Q( x) 6 x 2 3 x
Beatriz Toledo López
2
08 2.
Realiza las operaciones en tu cuaderno de trabajo las siguientes multiplicaciones:
x
3x 2
7x 2 6 x3 4 x 2 3x 4 6 x3 4 x 2 3x 4
5x2 9 x
4x 2
División de polinomios Para dividir los polinomios debemos tener en cuenta lo siguiente: Los polinomios dividendo - divisor deben estar ordenado y completos. 1er Método: División Clásica 2 Ejemplo: Dados los polinomios P ( x) 10 x 4 x
20 ; S ( x) 2 x 8 ; determinar P( x) S ( x)
Ordenar los términos que representan al divisor y dividendo en forma descendente.
4 x 2 10 x 20 4 x 2 10 x 20 2x 8
Dividimos el 1er término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo 2x.
4 x 2 10 x 20 2x 8 2x
Multiplicamos 2x por el divisor 2 x 8 , y el 2
4 x 16 x lo restamos del producto dividendo; obteniendo así un primer resto parcial 6 x 20 Dividimos el primer término del primer resto parcial entre el primer término del divisor, obteniéndose 3
Multiplicamos 3 por el divisor 2 x 8 , y el producto 6 x 24 lo restamos del resto parcial
6 x 20 ; obteniendo como resto 4
4 x 2 10 x 20 2x 8 4 x2 16 x 2x 6 x 20 4 x 2 10 x 20 2x 8 4 x2 16 x 2x 3 6 x 20
4 x 2 10 x 20 2x 8 4 x2 16 x 2x 3 6 x 20 6x 24 4
Beatriz Toledo López
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2do Método: División sintética o de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un binomio de forma x a 2 Ejemplo: Dados los polinomios P ( x) 10 x 4 x
20 ; S ( x)
Ordenamos el polinomio y ubicamos los coeficientes en el esquema El divisor se expresa de la forma x a y se ubica al lado izquierdo indicado
S ( x)
x 2
a
x 2 ; determinar P( x) S ( x)
4 10
20
4 10
20
-2
2
Escribimos el primer coeficiente del dividendo 4 debajo de la línea horizontal y lo multiplicamos por -2
-2
-8 4
Colocamos el resultado -8 en la segunda columna debajo del 10. Sumamos los elementos y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal
4 10
-2 4
Multiplicamos -2 por -2 y colocamos el resultado debajo del -20. Sumamos los elementos y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal
-2
20
-8 -2
4 10
20
-8 4 -2
4 -16
4 10
20
4
4 -16
El resultado obtenido se interpreta : 2
P( x) S ( x) = 4 x 2 con residuo R( x) -16
-2 Coeficientes del cociente
-2
Residuo
Actividades 1.
En tu cuaderno, resuelve las siguientes divisiones utilizando el método clásico a)
d)
P( x) 2 x 2 40 2 x
b)
R( x) 28 x 2 24 44 x
c)
P( x ) 6 x 3 3 3 x 6 x 2
Q( x ) 2 x 5
S ( x) 14 x 6
Q( x) 3x 3
Hallar P(x) ÷Q(x)
Hallar R(x) ÷S(x)
Hallar P(x) ÷Q(x)
R( x) 12 x 9 x 2 4
e)
T ( x) 8a 6 4a5 4a 4
f)
H ( x) 14 x 4 21x3 35x 2
T ( x) 3 x 2
S ( x ) 2a 3
J ( x)
7 x2
Hallar R(x) ÷T(x)
Hallar T(x) ÷S(x)
Hallar H(x) ÷J(x)
Beatriz Toledo López
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2.
Con el método de Ruffini desarrolla P( x) Q( x) a)
Q( x ) b)
c)
P( x) 2 x 2 40 x x 6
d)
P( x) 2 x 3 8 x 9 6 x 2 Q( x )
x 1
e)
P( x) 3 x 2 8 4 x Q( x )
x 6
P( x)
x 3 3x 2 3 2 x
Q( x )
x 1
P( x) 3 x 2 8 4 x Q( x )
f)
x 6
P( x) 3 x 2 8 4 x Q( x )
x 6
¿Qué aprendimos hoy? 1.
2.
Halla el cociente y residuo de las siguientes divisiones: a)
2 20 22 40 x y z 5 x12 y 22 z 30
b)
x3
c)
2 x3 9 x2 14 x 8
x5 2
d)
x 1 x 2
8a 6 b 8 c 3 0, 4a 5 c 3
e)
6 x5 12 x 4 9 x
f)
5x3 17 x2 19 x 10
3x 2 x 2
Efectúa las siguientes divisiones utilizando la división de Ruffini: a)
x2 7 x 12
x 3
e)
12 x 4 26 x3 2 x 2 15x
b)
x2 7 x 10
x 3
f)
x3
c)
5x4 7 x2
x3 9
x 1
g)
x4 5x3 3x2 2 x 13
d)
x3 3x 2 11x 2
x 2
h)
y3
x2 7 x 3
y2
y 1
2 x 2 3x
x 3
x 2
y 2
¿A DÓNDE NOS LLEVA NUESTRO APRENDIZAJE? Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: Actividad 15: Multiplicación y división de polinomios (Pág. 87)
(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Un poco más sobre división de Polinomios por el Método de Ruffini http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/matematica/swf/rufini.swf Multiplicación de Polinomios http://www.r2will.com/swfs/exposicion.swf Ejercicios de Multiplicación de Polinomios http://www.vitutor.com/ab/p/a_6.html
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FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con la factorización de expresiones en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar la factorización de una expresión algebraica. Conocer los diversos casos de factorización. Resolver ejercicios donde se apliquen los casos de factorización.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? 1. Analiza los siguientes casos: María y José deciden jugar con monedas de S/.0.10 céntimos. María tiene 4 y José 8 monedas. El juego consiste en formar rectángulos diversos con dichas monedas. a) b) c) d)
¿Puedes hacerlo tú también? ¿Cómo? Realiza los esquemas pertinentes. ¿Cuántas posibilidades tiene María? ¿Cuántas posibilidades tiene José? ¿Si tuvieran 20 y 30 moneditas podrán formar rectángulos también? ¿Qué opinas?
2. Jacinto tiene una parcela de papa y otra de lechuga, ambas están juntas, desea calcular el área de su parcela. x A
y C y
D
a. ¿Cómo lo haría? b. Calcula el área de la parcela grande y luego pequeña. c. Calcula el área de la parcela en forma conjunta.
D
FACTORIZACIÓN Es la transformación de una expresión algebraica racional entera es expresarla en el producto de sus racionales enteros, primos entre sí. Existen diversos casos de factorización. Veamos a continuación.
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño, referente al tema. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Expresiones algebraicas Factorización Diversos casos de factorización
FACTOR COMUN MONOMIO Y POLINOMIO
Factor Común monomio Se saca M.C.D. de sus coeficientes. Se elige la(s) variable(s) con el menor exponente. Se divide cada término algebraico (E.A.) con el factor común obtenido. Se puede verificar multiplicando el factor común con cada término dentro del paréntesis.
Factor común polinomio Observar el polinomio común que se repite en todos los términos. Se divide cada término algebraico (E.A.) con el factor común polinomio obtenido. Si el caso lo requiere hay que conjugar con los signos sin alterar la expresión inicial.
5
12 x y
2
a(b + c) = ab + ac 6 x y 4 M.C.D. = 6 2
x 2y 2 6x 2 y 2 (2x3 – 1y2)
a(b + c) + d(b + c) = (b + c) [a + c] 3x(4x - 6p) + 5(4x - 6p) 3x(4x - 6p) + 5(4x - 6p) 3x(4x - 6p) + 5(4x - 6p) = (4x - 6p)(3x + 5)
Ejercicios 1. Factorizar, aplicando factor común monomio. a) 30m3n 9m4n2 c)
3m3n 9m4n2
b) 3 pq 4q 15 p 20 d) 3rs 4
30r 5 15r 8
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2. Factoriza aplicando factor común polinomio. 3 a) 5mn 3a b
4mn 3a b
b) 8x 5x 1 1 5x 1
c) 3 p x 5
5 x
Agrupación de términos. Agrupación de términos
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
6xy – 2 + 3x – 4y = 6xy + 3x – (2 – 4y) Consiste en agruparlos convenientemente a fin de obtener en cada grupo, un factor común y como consecuencia un factor común polinomio. Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser segundo factor.
Agrupamos el 1ro con el 3ro. Sacamos factor común monomio. 3x y 2
3x(2y + 1) – 2(1 + 2y) Sacamos factor común polinomio.
(2y + 1) (3x – 2) Por tanto a:
6xy – 2 + 3x – 4y = (2y + 1) (3x – 2)
Ejercicios 1. Realiza la factorización de los términos semejantes en los siguientes ejercicios : a) 30 pq 35 pr 18q 2 21rq
d) 3an 4n 15a 20
b) 2 xy 3 y 4 x 6
e) m2 mn 3m ms 3n 3s
c) an 2 xy ax 2ny
f)
am bm an bn
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Diferencia de cuadrados a2 - b 2 = (a + b) (a - b)
Diferencia de cuadrados Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.
2
2
Ejemplo: (w + t) - z 2 La raíz cuadrada de: (w + t) es (w + t) 2 La raíz cuadrada de: z es z
:(w + t)2 - z2 = ((w + t) + z) ((w + t) - z)
Ejercicios 1.
En tu cuaderno resuelve los siguientes ejercicios: a)
25a 4 b2
d)
16 6 r 81
2c6
b)
4 6 m 9
49 4 s 9
e)
0, 36c 4
36n10 4d 8
c)
0, 25 p10 100q16
f)
25 p110
9q 6
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos casos de factorizaciones. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Compartan en grupo las dificultades que tuvieron al desarrollar los ejercicios. Indica los temas previos necesarios a conocer antes de este tema.
¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1.
Relaciona ambas columnas :
m2 4 36a 4 16
6a 4 4 6a 4 4 (m 2)(m 2) 6a 2 4 6a 2 4
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2. Factoriza identificando a que tipo de factorización corresponde: a)
x3
b)
m4 5m3
c)
abc 2 2abc3
e)
40 x 4 50 x3 100 x 2
x
f)
( z 2)( z 1) ( z 1) ( z 1) 2
g)
a( x 9) x 9
i)
2r 2
4qr 5 pr 10 pq
j)
12m2 20b 16m 15bm
k)
30an-35ab
xy
3. Resuelve los siguientes problemas: a. Factoriza los lados de un terreno de espárragos de forma rectangular.
36 x6 49
(1.1)
25x 2 1
b. Calcular el área de este parque llamado: “El tripac”.
x2 9
x 3
4. Realiza un crucigrama con el tema de factorizaciones.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre factorizaciones: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/fcomun.htm Todo sobre factorizaciones: Ejercicios http://www.vitutor.com/ab/p/d_i.html
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FUNCIONES Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con las funciones lineal y afín en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar una función lineal de una afín. Reconocer el dominio y rango de una función. Resolver los diversos casos de funciones.
Libro de Matemática - 2do Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.
¿Cómo empezamos? 1. Lee el texto y completa el cuadro: Álvaro alquila un carro para hacer servicio de taxi y debe pagar S/.20 soles de cuota fija como derecho de alquiler, por cada hora de alquiler paga S/.5. a) Forma una tabla de pago para 2, 4, 6 y 8 horas de uso. b) Representa estos puntos sobre unos ejes. (x = tiempo, y =precio) c) ¿Cúanto se pagará por 24 horas? d) ¿Cómo escribirías la expresión matemática? http://www.gifmania.com.mx/carros/carreteras/
FUNCIONES Una función f de A en B, es un conjunto de pares ordenados (x, y) en el cual dos pares distintos no tienen la misma primera componente. Su denotación es: f(y)=ax
Formas de escribir una función: A través de una gráfica. Mediante una descripción verbal. En una tabla de datos. Mediante una expresión algebraica.
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño, referente al tema. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Funciones Gráfico de funciones lineal, afín. Ejercicios
FUNCIÓN LINEAL
Función lineal
f(y)=ax
Conocida como función proporcional. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. (0, 0). Su denotación es: y=mx, donde m es una constante. La gráfica puede ser positiva (creciente) o negativa (decreciente) depende del valor de m (pendiente).
Ejemplo: El tren VELOZ lleva una velocidad media de 240 km/h. ¿Cuánto recorrió en 2, 4 y 5 horas respectivamente?, da tu respuesta.
Ejercicios 1. Grafica las siguientes funciones (valor de x
1;5 )
a)
y
3x
b)
y
2x
c)
y
5x
d)
y
6x
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2. Una gaseosa Inka Kola de un litro cuesta S/.2.50. Elabora una expresión matemática que relacione el precio en función de los litros de gaseosa. Elabora una tabla.
Función afín
Función afín Puede ser creciente o decreciente depende de m. Su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. (0, 0). Su denotación es: y=mx + n, donde m y n son constantes reales, m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenadas en el punto (0, n).
y = ax + b
La gráfica representa la medición de temperatura de un líquido a medida que se calentaba. x=tiempo(min) y=temperatura (ºC)
0 15
1 20
2 25
3 30
4 35
… …
La función es: y=x+15
Ejercicios 1. tabula y grafica las siguientes funciones afín: a)
y
b)
y
c)
y
3x 2
2x 5
3 x 2 2
d)
y
3x 3
e)
y
3x 4
f)
y
5 x 2 2
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Dominio y Rango de una función lineal
Dominio
Rango
Su denotación es D(f). Es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de una función. Ejemplo: f=
Su denotación es R(f). Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de una función.
1;3 3;7 5;1
Ejemplo: f=
D(f)= 1;3;5
1;3 3;7 5;1
D(f)= 3;7;1
Ejercicios 1. Indicar el Dominio y Rango de las siguientes funciones: a)
y
x 4; x
d)
y
3x 9; x
1;3 3; 5
D(f)= R(f)= D(f)= R(f)=
b)
y
e)
y
2x 3; x 2x 1; x
2; 2 1;3
D(f)= R(f)= D(f)= R(f)=
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten una función lineal y afín. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Compartan en grupo las dificultades que tuvieron al desarrollar los ejercicios.
¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Analiza la siguiente situación: El bebé de Carla y Carlos pesó al nacer 3,5 kg y en los meses siguientes aumentó 1 kg cada mes. Considerando los 8 primeros meses. a) Dibuja un gráfico que relaciones el peso (kg) y la edad (meses). b) Menciona la variable dependiente e independiente. c) Formula la función. d) ¿Cuánto pesaba el bebé a los 5 meses?
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2. Elabora la tabla de valores y grafica las funciones: x
2;2
a)
y
3x 1
b)
y
2x 3
c)
y
2x
e)
y
x 3
f)
y
2x 2
g)
y
2x 1
i)
y
2x 3 ; x
j)
y
2x 3 ;
k)
y
2x
2;4
1;3
1;3
3. Resuelve el siguiente problema: Fernando le pregunta a su padre que tipo de alambre necesita para cercar su parcela y él le dice: Los costos son: S/.2x+1 y S/. x+200. Necesita 100 metros. ¿Cuál de los precios optaría comprar?
4. Coloca V o F según convenga: a) b) c) d)
El dominio de una función son las segundas componentes. Toda función es una relación. Una gráfica lineal es decreciente cuando m es positivo. La función afín tiene como gráfica una curva.
( ( ( (
) ) ) )
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre funciones: http://www.arundanet.com/matesxronda/apuntes.php?curso=eso3
Todo sobre funciones: Ejercicio interactivos http://www.x.edu.uy/lineal.htm
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PROPORCIONALIDAD Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con las magnitudes proporcionales en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar una razón y una proporción. Diferenciar una proporción directa e inversa. Resolver los diversos casos de magnitudes.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? 1. Lee el texto y completa el cuadro: Andrea desea preparar un postre de melocotón y dispone de una tabla que le indica la cantidad necesaria de naranjas y leche. Nro. Naranjas Tazas de leche
3 1
6 2
9 3
12 4
15 5
a) ¿Cuántas tazas de leche necesita para 9 naranjas? b) ¿Empleando 15 naranjas cuantas tazas de leche necesita? c) ¿Cuántas tazas de leche necesita para 30 naranjas?
PROPORCIONALIDAD La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos difundidos en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades. Es importante conocer algunos elementos básicos como: MAGNITUD: Todo aquello cuya intensidad puede variar. CANTIDAD: Se entiende a la medida que se le da a la magnitud. EJEMPLO: Imaginemos que Andrea adquiere en la bodega 5 kg de azúcar. Magnitud : Peso Cantidad : 5 kg Luis viaja en su coche a una velocidad de 125 km/h Magnitud : Velocidad
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño, referente al tema. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Magnitudes y Proporcionalidad Proporcionalidad directa e inversa Ejercicios
Razones y proporciones Razones
Proporciones
Se llama razón geométrica entre 2 cantidades a y b donde (b 0) al cociente de la división.
Una proporción geométrica es una igualdad entre dos razones. Simbólicamente :
antecendente con sec uente
a b
r
a b
razón
Ejemplo: 2 Un restaurador de tapices rehabilitará 15 dm en 5 días. ¿Qué superficie rehabilitará en un día y en 3 días? 15 = 3 días es la razón. 5
Por tanto en 3 días será: 10 x 3 = 9 dm
2
c d
Donde: a y d son los extremos. b y d los medios. Y se cumple que: a.d = b.c Del ejemplo anterior: 15 9 =3 es la razón. 5
3
15 x 3 = 5 x 9 45 = 45
Ejercicios 1. Escribe como proporción geométrica y comprueba según el caso: a) 5 es a 4 como 15 es a 12 b) 4 5 c) 8 es a 3 como 16 es a 6
y 3 6 d) 4 100 y 3 75
2. La razón geométrica de los pesos de los bloques de la figura es 3/5: a) Si B pesa 30 kg. ¿Cuánto pesa A? b) Si A pesa 24 kg. ¿Cuánto más pesa B? A
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B
2
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Proporcionalidad directa e inversa
Proporcionalidad directa
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre los valores correspondientes es una constante. A.B = K Número de obreros
1
2
3
Número de días
240 120 80
4
Notamos que: 1x240 = 2x120 = 3x80 = ... = 240
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente entre los valores correspondientes es una constante. A = K.B Espacio (km) Tiempo (h)
50
100
1
2
200
300
Notamos que: 100 2
300 3
.......
50
Ejercicios 1. Completa los datos : a) El siguiente es la tabla muestra los valores para dos magnitudes A y B directamente proporcionales. Hallar x + y: A
20
B
5
40
x
80
15
y
25
50
b) Completar la siguiente tabla que muestra dos magnitudes A y B inversamente proporcional. A B
5
20
100 200
200 500 100
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3
11
Regla de tres simple directa e inversa
Tres simple directa
Tres simple inversa
Es cuando se comparan sólo 2 magnitudes directamente proporcionales.
Es cuando se comparan sólo 2 magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUD 1
MAGNITUD 2
MAGNITUD 1
MAGNITUD 2
a1 a2
x
a1 a2
x
b1 x
a2 .b1 a1
x b1
a1.b1 a2
MÉTODO PRÁCTICO
MÉTODO PRÁCTICO
Ejemplo: Para alimentar a 40 vacas se necesita 25 kg de pasto. ¿Cuántas vacas se alimentará con 15 kg de pasto si la ración por vaca no varía?
Ejemplo: 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra 8 hombres?
Solución: Si disminuye la cantidad de pasto, debe disminuir la cantidad de vacas, para así no variar la ración, luego son magnitudes DP:
Solución: Como que a más hombres, menos días, estas cantidades son IP.
CANTIDAD DE PASTO -25
15 X =
Nº DE VACAS -40
X
15.40 = 24 vacas 25
HOMBRES +4
DÍAS -12
8
X
X
=
4.12 8
= 6 días
Ejercicios 1. 2. 3.
EI salario de un obrero por 15 días trabajados es S/.750. ¿Cuánto cobrará por 2 meses, si no asistió 4 días? (1 mes = 30 días) Un empleado recibió S/.1, 530 por 18 días trabajados. ¿Cuánto cobrará por un mes y medio, si faltó 5 días? Un automóvil tarda 9 horas en recorrer un trayecto a una velocidad de 80 km/h. ¿Cuánto tiempo menos tardará, si su velocidad es 120 km/h?
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4
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¿Qué aprendimos hoy? 1. Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. En parejas inventa 2 problemas cotidianos relacionados a proporcionalidad directa e inversa. 2. Compartan en grupo las dificultades que tuvieron al desarrollar los ejercicios.
¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Completa los espacios en blanco. a) Si P y Q son magnitudes I.P. Completar el siguiente cuadro.
b)
P
80
Q
4
40
1 16
2
En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? MAGNITUD Volumen agua del mar (l) Masa de sal (g)
CASO 1 50 1300
CASO 2 5200
2. Resuelve los siguientes casos: a) Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 a 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la suma de sus edades es 85 años? b) La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la relación de 7: 4. ¿Calcule el peso del vehículo menos pesado? c) Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6? 3. Da solución a los siguientes casos: a) Una máquina fabrica 400 clavos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer 1000 clavos? MAGNITUD CASO 1 CASO 2 Nº de clavos 400 1000 Tiempo (h) 5
b)
Con 200 kilogramos de harina se elaboran 250 kilogramos de pan. a) ¿Cuántos kg de harina se necesitan para hacer un pan de 2 kg? b) ¿Cuántos panecillos de 150 gramos se podrán hacer con 500 kg de harina? MAGNITUD Harina (kg) Pan (kg)
CASO 1 200 250
CASO 2
CASO 3 500
2
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre razones y proporciones: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/razopro.htm http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.htm
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ÁNGULOS Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los ángulos y sus operaciones encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar los ángulos por su posición. Realizar operaciones con ángulos. Resolver problemas simples que involucran operaciones con ángulos.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? 1. Observa las siguientes imágenes y completa:
Fig. 1
Fig. 2
En la fig. 1(tijera) señala que ángulos se forman. En la fig. 2 colorea las zonas que son iguales. 2. Estas imágenes expresan tipos de ángulos podrías indicar su nombre. 3. Investiga y responde: ANGULOS Es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo.
Los ángulos se nombran de varias maneras: Con una letra minúscula, como a o b, o a veces con una letra griega como (alfa). Con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el vértice.
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Ángulos según su posición. Propiedades de ángulos formados por una secante. Operaciones con ángulos.
ANGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
ANGULOS ADYACENTES: Son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano. Es decir miden 180º.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Ejm: Ejm: Tomando como referencia la gráfica, si a=115º Tomando como referencia la gráfica si ¿Cuánto vale el ángulo b? 4=60º. ¿Cuánto vale los demás ángulos? Solución: 180º-115º=65º Solución: El 1 y el 4 son adyacentes Rpta.: El ángulo b vale 65º miden 180º, por tanto 180º-60º=120º, el valor del 1es de 120º. Por la propiedad de los ángulos opuestos: 4 y 2 son iguales y miden 60º, 1 y 3 son iguales y miden 120º.
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Ángulos por su posición
CONCEPTO
ANGULOS CONSECUTIVOS
Son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
Ejercicios 1. Observa el plano y el gráfico de ángulos, completa los espacios en blanco.
a) b) c) d)
Las calles Colonia y Convención se cruzan formando cuatro ángulos……………. Los ángulos 1 y 2 son……………….. Los ángulos 3 y 4 forman un ángulo…………………… Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el…….y un……..………..común.
2. Calcula la medida de los ángulos que faltan.
55º
x
x
132º 64º
x
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Rectas paralelas cortadas por una secante
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos internos Son congruentes los dos ángulos .Miden igual
Son congruentes los dos ángulos. Miden igual
Ángulos alternos externos
Ángulos conjugados
Son congruentes los dos ángulos. Miden igual. Los ángulos conjugados internos y externos miden 180º
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas con ángulos. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos casos de ángulos.
2.
Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
3.
Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Si R1 // R2 entonces el valor de x es:
98º
110º x x 50º
x
2. Si L1 // L2 // L3 , encuentra el valor de a y b L1 L2 L3
a 75º
b
3. ¿Se puede calcular la medida del ángulo x? 80º
x
4. ¿Cuánto miden los ángulos x, y , z ? 64º y
z
x
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre ángulos: Operaciones http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conoci miento/mat/angulos2/tipos_de_ngulos_segn_su_pos icin.html Todo sobre ángulos: Actividad virtual http://tareaescolar.net/tareaescolar/matematicas/S EXTO/GEOMETRIA/clasificacion%20de%20angulos%2 0segun%20posicion/clasificacion%20de%20angulos% 20segun%20posicion.html
m<x = m< y = m<z =
Proyecto: “Elaboramos nuestro álbum de ángulos” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Realizar un Álbum con organizadores visuales. Tarea: Con material reciclable reproduce los ángulos estudiados.
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LAS LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los triángulos y sus líneas notables encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar las líneas de un triángulo y sus puntos de intersección. Definir las líneas notables de un triángulo. Realizar construcciones, con regla y compás, las líneas notables del triángulo.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? 1. Observa las siguientes imágenes y completa: Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3
B
a b
En la fig. 1 el lado a representa la………………………. del triángulo. En la fig. 2 divide el lado b en 2 lados iguales, cada lado mide……… cm En la fig. 3 el ángulo mide…….… cm y la mitad del ángulo mide…….. cm Investiga la clasificación de los triángulos de acuerdo a su magnitud y a sus ángulos. TRIANGULOS Un triángulo se compone de: Base: uno cualquiera de sus lados (lado opuesto al vértice). Vértice: la intersección de los lados congruentes (que conforman el ángulo). Altura: es elemento perpendicular a una base o a su prolongación, trazada desde el vértice opuesto. Lados: son tres y conjuntamente con los ángulos definen las clases o tipos de ángulos. Características: Son figuras planas
Tienen área pero no volumen. Los triángulos son polígonos. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es de 180º.
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Elementos del triángulo. Líneas notables del triángulo. Ejercicios con líneas notables.
LINEAS NOTABLES: ALTURA
A
Son las rectas perpendiculares que van desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
L T U R A
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO.
"El Ortocentro en: Un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto". Un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo". Un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo".
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LINEA NOTABLES: MEDIANA
M E
Son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto a él.
D I
Las 3 medianas se cortan en un punto que se llama baricentro.
A N A
El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto.
Ejercicios 1. Construye un triángulo equilátero y traza las 3 alturas y las 3 medianas.
2. Construye un triángulo escaleno y traza las 3 alturas y las 3 medianas.
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LINEAS NOTABLES: MEDIATRIZ Y BISECTRIZ
MEDIANA -
BISECTRIZ
Son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio de cada lado del triángulo. Se cortan en un punto que se denomina circuncentro.
Son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro.
El Circuncentro en: -
Un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa. Un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo. Un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.
El Incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo.
¿Qué aprendimos hoy? 1.
2.
Una vez que has terminado de repasar los conceptos respecto al tema desarrollarás, actividades de construcción de triángulos. Trabajar de manera individual en papel bond construcciones de triángulos, todas las líneas notables. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Relaciona con una flecha, cada nombre con la descripción correspondiente. a. Baricentro b. Circuncentro c. Ortocentro d. Incentro
Punto de intersección de las mediatrices de un triángulo. Punto de intersección de las alturas de un triángulo. Punto de intersección de las medianas de un triángulo. Punto de intersección de las bisectrices de los ángulos de un triángulo.
2. Escribe la definición de: a. Altura de un triángulo:
b. Mediana de un triángulo:
3. Construye con regla y compás, lo que se indica en cada caso. a. Las medianas de un triángulo rectángulo. b. Las alturas de un triángulo obtusángulo. c. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo equilátero. 64º
4. En este triángulo traza las 4 líneas notables: (color rojo: alturas, color amarillo: mediana, color verde: mediatriz y color azul: bisectriz)
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre Línea notables: http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulo s/Geometria/tema3/Puntos%20notables.html Todo sobre Línea notables: http://descartes.cnice.mec.es/edad/1esomat ematicas/impresos1/1quincena9.pdf
Proyecto: “Construyendo triángulos” Responsable: Tutor y alumno. Objetivo: Reforzar el tema de líneas de triángulos. Tarea: Con ayuda de una regla y compás: Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera. Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras). Señala el punto de intersección de ambas. Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB. Escribir las conclusiones.
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ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con las áreas de figuras geométricas planas y relacionarlos en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Diferenciar área y perímetro de figuras planas. Conocer las igualdades matemáticas (áreas) de las figuras planas. Resolver situaciones propuestas aplicando las igualdades matemáticas.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? A CONTINUACIÓN TE PRESENTO UNA INFORMACIÓN MUY IMPORTANTE: IMAGEN 1 IMAGEN 2
a) b) c) d) e)
RESPONDE ANALIZANDO LAS IMÁGENES ¿Cuánto mide el largo del arco de una cancha de fútbol? ¿Cuánto mide el ancho del arco de una cancha de fútbol? ¿Cuál es el área del arco del fútbol? ¿Cuánto mide el recorrido de toda la red de vóley? ¿Cuál es el área y el perímetro de la zona de defensa?
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño, referente al tema. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Regiones de figuras planas. Área y perímetro de regiones poligonales.
Área de regiones poligonales DEFINICIONES PREVIAS REGIÓN: Una región plana es la reunión del conjunto de puntos del contorno de una figura plana con el conjunto de puntos del exterior. EXTERIOR
INTERIOR
ÁREA: Es la medida de una región plana, se refiere al tamaño y se expresa en unidad de longitud al cuadrado. (cm2, m2, km2) FIGURAS PLANAS CONGRUENTES: Es cuando tienen igual forma y tamaño, por lo tanto igual área.
FIGURAS PLANAS EQUIVALENTES: Es cuando tienen diferente forma pero igual área.
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Área de regiones triangulares
A) FÓRMULA BÁSICA
A
TRIÁNGULO CUALQUIERA
TRIÁNGULO OBTUSO
b h 2
TRIÁNGULO RECTANGULO
B) FÓRMULA DE HERÓN:
A ABC Donde: p=
p p a
p b
p c
a b c p: semiperímetro 2
C) FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA:
A ABC
a b Sen 2
D) ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO:
A ABC
l2 3 4
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Área de cuadriláteros Te presentamos un cuadro de resumen sobre las áreas de las regiones poligonales.
y
x 4; x
1;3
El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. El triángulo equilátero tiene sus lados iguales. Es un polígono de cuatro lados iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. Tiene diagonales iguales y perpendiculares. Es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. Las diagonales son iguales.
A
A
Bxh 2
equilátero
l2 3 4
A a2
A b h
El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.
A b h
El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 900.
A
Es un polígono de cuatro lados. Sus ángulos son distintos de 90º. Tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman BASE MAYOR y base menor.
A
D d 2 B b a 2
Ejercicios 1. Calcular el área y el perímetro de: a) Un cuadrado de lado 15 cm. b) Un cuadrado de diagonal 8 cm. c) Un rectángulo de lados 15 m y 8 m. d) Un rectángulo de ancho 6 cm y diagonal 10 cm. e) Un rombo de diagonales 14 cm y 18 cm. f) Un trapecio de bases 5 cm y 12 cm con altura de 4 cm.
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¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten una función lineal y afín. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Compartan en grupo las dificultades que tuvieron al desarrollar los ejercicios.
¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? I. DESARROLLA LOS EJERCICIOS PARA REFORZAR TUS APRENDIZAJES: 1. Coloca V o F según convenga. a) La ley de Herón es para trabajar con triángulos conociendo sus lados. b) El trapecio tiene 3 bases. c) Un cuadrilátero tiene 2 diagonales iguales. d) Sólo se pueda calcular el área de un triángulo conociendo su altura.
( ( ( (
) ) ) )
2. Dibuja 4 diseños: Un ropero, una silla, una puerta, una cocina y diferencia con colores para los cuadriláteros (rojo) y para los triángulos (amarillo). II. RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROBLEMÁTICAS: 1) ¿Cuál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm y el otro lado mide 3, 6 cm? 2) El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m, ¿cuál es la medida de la base si los lados congruentes miden 9 m cada uno? 3) El área de un triángulo es 108 cm2 y su base mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de la altura? 4) Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro? 5) ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 18 cm y 24 cm? 6) ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 6 cm y su hipotenusa mide 10 cm? 7) Si un cuadrado de 48 cm de perímetro, disminuye su lado en 4 cm. ¿Cuánto mide el área del nuevo cuadrado?
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre área de figuras planas: Teoría http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed990263-02/geometria/indice.html http://genmagic.org/mates1/ap1c.html Todo sobre área de figuras planas: Práctica http://www.encuentro.gov.ar/Gallery/2333.pdf
Proyecto: “Calculando mi barrio” Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Reforzar el tema de área de figuras planas. Tareas: Elige zonas de tu entorno que tiene forma de triángulos y cuadriláteros y calcula su área y perímetro.
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LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la circunferencia y el círculo, encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Diferenciar círculo y circunferencia. Conocer las líneas notables y propiedades de la circunferencia. Resolver ejercicios sobre círculo y circunferencia.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Ya culminó las vacaciones escolares de medio año y seguro más de un alumno ha podido disfrutar de los juegos mecánicos. 1. ¿Cómo se llaman los juegos mecánicos que se indican?
…………………………………………………………………...
…………………………………………………..
2. ¿Qué figura geométrica tienen estos juegos? 3. Resuelve el siguiente pupi-círculo:
V D T B I S M M A
N I A I S S O E O
I S N N O E D D N
A T G A S C A I A
C U E R D A S A I
E P N E I N R N R
N E T C A T A C T
T N E I M E D O O
R D S P E G I S T
O M F I E R I D A R OI C T R O J K L O P I E C A N U P
Cuerda Arco Diámetro Radio Tangente Secante Centro
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Círculo y circunferencia. Propiedades: Líneas Notables Ejercicios
Elementos de círculo y circunferencia Debes recordar que círculo y circunferencia son diferentes pero se complementan.
CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
Es la región definida por todos aquellos puntos que se encuentran a una distancia menor o igual a una constante r de otro punto denominado centro del círculo. Es la línea definida por todos aquellos puntos que se encuentran a una distancia r del centro del círculo.
CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
LÍNEAS NOTABLES AB = Diámetro Segmento que pasa a través del centro del círculo. El diámetro es igual a dos veces el radio. OC = Radio Segmento trazado desde el centro del círculo hasta un punto cualquiera de la circunferencia. ED = Cuerda Segmento que une dos puntos de la circunferencia. FG = Tangente Recta con solo un punto común con el círculo. EHD = Arco Porción de la circunferencia que está entre dos puntos de la misma. ADB = Semicírculo Es exactamente la mitad del círculo. OCB = Sector Circular Región comprendida entre dos radios y el arco. BOC = Angulo Central Ángulo formado por dos radios.
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Área del círculo y longitud de circunferencia ACÍRCULO=πr2
LCIRCUNFERENCIA=2πr
El radio de un platillo (círculo) es de 4 cm Hallar su área:
A= r 2 A=(3, 14).(4 cm) 2 A=(3, 14)16 cm2 A=50, 24 cm2
El radio de un platillo (círculo) es de es 4 cm Hallar la longitud de su contorno: L=2 r L o=2(3, 14)(4 cm) L o=6, 28(4 cm) L o =25, 12 cm
Ángulos de la circunferencia
Ángulo central:
Ángulo inscrito:
Ángulo semi-inscrito:
El vértice se encuentra en el centro, sus lados son 2 radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.
Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son 2 cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.
El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente y una cuerda. La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco correspondiente a la cuerda.
m O
m AB
Ángulo interior: La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.
m AOB
1 AB DC 2
m AB 2 Ángulo exterior: m O
m AOB
mOA 2
Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados puede ser 2 secantes, una tangente y una secante o dos secantes. Su medidas es igual a al semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
m AOB
1 AB DC 2
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Ejercicios 1. Tienes la oportunidad de graficar, ten a la mano tus instrumentos de medición a) Dibuja en tu cuaderno dos puntos A y B a una distancia de 5 cm: Determina con el compás todos los puntos que tengan una distancia de 4 cm de A y 3 cm de B
b) Dibuja una circunferencia y traza la línea notable que se define como: Es la mitad del diámetro. Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Es una parte de la circunferencia que se delimita entre dos puntos. Recta que pasa por una punto de la circunferencia. Recta que toca dos puntos de la circunferencia.
c) Dibuja un círculo con el radio de 4 cm. Elige 4 puntos en la circunferencia de tal manera que los puedas unir formando: Un rectángulo que no sea un cuadrado Un cuadrado
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas con círculos y circunferencias. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos casos de círculos.
2.
Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
3.
Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios y analiza los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) opción(es) es falsa? a) El diámetro de una circunferencia es el doble que la de su radio. b) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro. c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes. d) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia. 2. En la circunferencia de centro O (fig. 1), AB es diámetro. Entonces, el valor de a es: a) 10O b) 20O c) 40O d) 80O e) 140O 3. En la circunferencia de centro O (figura 2), se cumple que BA @ DC y AED + BC = 3 AB. Entonces, la medida del x es: a) 45o b) 60o c) 72o d) 84o e ) 90o 64º 4. L a rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda
ha dado 100 vueltas? 5 . La longitud de la circunferencia es 43, 96 cm. ¿Cuál es el área del círculo? 6 . En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente también de forma circular de 5 m de radio. Calcular el área de la zona de paseo.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre círculo y circunferencias: http://www.uco.es/~ma1marea/Geometria/C irculo/Circulo4.html http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/ci rcun3.htm Todo sobre círculo y circunferencias: http://www.matematica.raimapu.cl/guias.ht m http://www.aplicaciones.info/decimales/geop la04.htm
Proyecto: “Elaboramos nuestro álbum de figuras circulares” Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Realizar un Álbum con dibujos que representen círculos y circunferencias. Tarea: Con material reciclable reproduce objetos de tu entorno que tiene forma de círculo y circunferencia.
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POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES
Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los polígonos encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Reconocer los elementos de un polígono. Diferenciar un polígono regular e irregular. Calcular el área de regiones poligonales. Calcular el número de diagonales de un polígono.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? BUSCA EL NOMBRE DE LAS FIGURAS PLANAS DIBUJADAS
a
Escribe los nombres de la figuras planas encontradas: ………………………………. ……………………………….. ……………………………….. ……………………………….. ………………………………. ……………………………….. ……………………………….. ……………………………….. Elabora una silueta de cada figura obtenida.
POLÍGONOS Un polígono es una superficie limitada por una línea poligonal cerrada. Sus elementos son: vértices, lados, ángulos y diagonales.
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Polígonos Líneas Notables Ejercicios propuestos
Polígono Regular e Irregular En esta oportunidad ampliaremos la información sobre polígonos. A) POLÍGONO REGULAR: Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:
B) POLÍGONO IRREGULAR: Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:
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Líneas notables de un polígono El centro, que es el punto interior en el polígono que está a igual distancia de todos los vértices. La apotema, que es el segmento que une el centro con el punto medio de cualquiera de los lados. La apotema es siempre perpendicular al lado El radio, que es la distancia desde el centro a uno de los vértices. El ángulo central, que es el ángulo que forman dos radios consecutivos. La diagonal d es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Para calcular el número de diagonales D en función del número de lados, n:
D = (n-3)n/2 ACTIVIDAD: TRAZA LAS LÍNEAS NOTABLES EN LA FIGURA SIGUIENTE:
Ejercicios 1. Calcula el área de los siguientes polígonos regulares expresando el resultado en:
Lado: 5 cm
Lado: 2 cm
Lado: 4 cm
2. Tomando en cuenta los gráficos anteriores (1). Calcula el número de diagonales de cada polígono y ordénalos de menor a mayor. 3. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?
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Polígonos Regulares
El único triángulo regular es el triangulo equilátero, y el único cuadrilátero regular es el cuadrado. El hexágono es el único polígono regular que tiene el lado igual que el radio. Esta es una propiedad que se comprueba fácilmente pues sus radios lo dividen seis triángulos equiláteros. CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO POR EL MÉTODO DE TRIANGULACIÓN Podemos calcular el área de un polígono mediante el método de triangulación, es decir al polígono lo dividimos en varios triángulos y calculamos sus áreas.
CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO EN BASE AL PERÍMETRO
¿Qué aprendimos hoy? 1.
2.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas con polígonos. En parejas inventa 2 problemas cotidianos Prof: Juana Tueros Huamaní en las que se presenten al menos dos casos de polígonos. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
4
3.
Prof: Juana Tueros Huamaní Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? TOMANDO EN CUENTA LO ESTUDIADO, RESUELVE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Dibuja un octógono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio, construyendo el ángulo central con ayuda del transportador. Traza todas sus líneas notables. 2. Dibuja dos polígonos regulares que cada uno de ellos tenga sus lados paralelos dos a dos. 3. Construye un hexágono regular de 1 cm de lado y un triángulo equilátero de 2 cm de lado. 4. Comprueba que las dos figuras anteriores tienen el mismo perímetro. 5. El radio de un pentágono regular mide r_10 cm y su apotema a=8,1 cm. Halla la longitud de su lado (con una cifra decimal). 6. El lado de un octógono regular mide 4 cm y su apotema; 4, 8 cm. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. 7. ¿Cuánto vale el área de la parte sombreada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm2?
a)
b)
¡Tú puedes ,ten confianza!
64º
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Proyecto: “Elaboración de un Rompepolígono”
Todo sobre polígonos: Teoría http://plasticavegadeo.files.wordpress.com/2010/03/1 9-poligonos.pdf http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/Poligonos. htm Todo sobre polígonos: Ejercicios http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iessanjuand elacruz/dpto_matematicas/2_eso/sol_poliedros.pdf
Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Reforzar el tema de polígonos. Tarea: Asóciate con un compañero y elaboren un rompecabezas con el tema de polígonos. Emplea material a tu alcance.
5 Prof: Juana Tueros Huamaní Actividades interactivas
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LAS FIGURAS EN EL ESPACIO Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las figuras en el espacios, ángulos diedros y encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Conocer las posiciones de las rectas y planos en el espacio. Conocer los poliedros regulares y reconocer sus características. Resolver ejercicios propuestos aplicando la Regla de Euler.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? En eventos muy importantes como: El Mundial de Africa 2010, navidades, cumpleaños, habrás apreciado, objetos y decoraciones muy perfectas y eso es gracias a las bondades matemáticas, en especial de la geometría del espacio. LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO La geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de keplerpoinsot, no convexos) y otros poliedros. la geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa. La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X, Y, Z):
Lee atentamente y contesta: a) ¿Qué otro nombre se le atribuye al espacio tridimensional?........................................................ b) ¿En qué campos se aplica la geometría del espacio?.................................................................... c) Dibuja los sólidos que se mencionan en la lectura........................................................................ d) ¿Qué son cuerpos geométricos?...................................................................................................
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Geometría del espacio Ángulos diedros
Rectas y planos en el espacio I. POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO. Las rectas pueden ser a) Paralelas: Si están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. b) Secantes : Si están en el mismo plano y tienen un punto en común. c) Alabeadas: Si 2 rectas están en distintos planos y no tienen puntos comunes, se cruzan pero no se cortan. d) Coincidentes: Si 2 rectas están en un mismo plano y tienen más de un punto en común.
II. a) b) c)
POSICIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO Paralela: Una recta es paralela a un plano si no tienen ningún punto en común. Secante: Si tienen un punto es común. Contenida: Cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano.
III. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO. a) Incidentes: Los planos se cortan en una recta. b) Paralelas: Sus vectores de dirección o normales son proporcionales. No tienen ningún punto en común. c) Coincidentes: Son ecuaciones distintas del mismo plano.
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Ángulo diedro-Ángulo poliedro-Poliedros
ÁNGULO DIEDRO ÁNGULO POLIEDRO Es la porción de espacio limitado por 2 Es la porción de espacio limitada por 3 o más semiplanos que se llaman caras. La recta planos que concurren en un punto llamado común a las 2 caras se llama arista. vértice. Si son 3 planos se llama triedro, si son 4 tetraedro etc.
POLIEDROS Son sólidos limitados por caras en forma de polígonos. Existen 5 poliedros regulares. Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Todos los poliedros tienen vértice, caras y aristas y se cumple que: C=Cara C+V=Nro A +2 V=Vértice A=Arista En todo poliedro se cumple la regla de EULER. Existen poliedros CONVEXOS y no CONVEXOS. VERTICE CARA
ARISTA
CONVEXO
NO CONVEXO
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Ejercicios
1. Aplica la regla de Euler y completa el cuadro: FORMA DE LA CARA
C
V
TETRAEDRO
4
4
OCTAEDRO
8
6
ICOSAEDRO
20
12
HEXAEDRO (Cubo)
6
8
DODECAEDRO
12
20
A
2. Dibuja 3 objetos reales que sean poliedros.
3. Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas: El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es como mínimo, 4. Las caras de un poliedro son todas iguales. Hay poliedros con tres caras. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. El cilindro es un poliedro.
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas con rectas, ángulos diedros y poliedros.
2.
Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
3.
Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Escribe V(Verdadero) O f(Falso ) según convenga: a) Un octaedro tiene 6 caras. b) La regla de Euler dice: C+V=Nro A+2 c) Un ángulo diedro tiene 2 planos que concurren en un punto. d) Un recta que sus puntos pertenecen al plano se denomina Contenida. e) Dos rectas en diferentes planos reciben el nombre de: Alabeadas. 2. Traza según lo solicitado en cada caso: a) Una recta paralela
b) Un plano secante
( ( ( ( (
) ) ) ) )
c) Una recta secante
3. Clasifica los siguientes ángulos diedros:
64º
4. Dos planos se cortan en una recta. Uno de los ángulos diedros mide 118º. ¿Cuánto miden los otros tres?
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre poliedros: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarr oyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/p oliedros/poliedros.htm Todo sobre poliedros: http://www.aplicaciones.info/decimales/geois01 .htm
Proyecto: “Construimos poliedros y adornos con poliedros” Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Realizar poliedros con papel de colores. Tarea: Con sorbetes construye poliedros e indica sus elementos y con hojas de colores crea adornos navideños con poliedros con material reciclable.
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EL MUNDO DE LOS POLIEDROS
Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la pirámide y el cono, sus elementos y áreas, encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar los principales elementos y características de los poliedros . Diferenciar pirámide y cono. Calcular el área lateral y total de la pirámide y el cono.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos?
Al observar estas imágenes que te parecen familiares, da el nombre de cada uno y que poliedro lo genera………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Poliedros y arte Los poliedros han sido utilizados en muchas épocas de la historia como elementos decorativos. Pero, quizás el período histórico en el que la conexión entre arte y poliedros ha sido realmente fructífera ha sido el Renacimiento. Muchos de los grandes artistas de la época utilizaron los poliedros como un instrumento para desarrollar ciertas técnicas relacionadas con la perspectiva. Esto supuso el descubrimiento de algunos nuevos poliedros o el redescubrimiento de otros que habían quedado en el olvido. Éste es el caso de Paolo Uccello (1397-1475), pintor florentino e importante mosaiquista, o de Piero della Francesca (1410-1492), pintor renacentista cuyas técnicas sobre la perspectiva fueron olvidadas y atribuidas posteriormente a Luca Pacioli (1445-1514). En su principal trabajo ”De Divine Proportione” de Pacioli, incorporó los maravillosos dibujos poliedrales de su amigo Leonardo da Vinci (ver Fig. 21) de indudable belleza y realismo, algunos de ellos tomados de modelos huecos en madera. Estos modelos fueron interesantes objetos para aplicar las técnicas relacionadas con la perspectiva.
CONTESTA: a) ¿En qué época fue fructífera el arte con los poliedros?................................................................. b) ¿Qué artistas famosos trabajaron con los poliedros?..................................................................... c) Crea un acróstico con la palabra poliedro.......................................................................................
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Poliedros Cono y pirámide Ángulos diedros
POLIEDROS DEFINICIÓN: Son sólidos limitados por caras en forma de polígonos regulares.
Como podrás observar los poliedros tienen elementos que son importantes conocerlos. Así como también que figura genera cada poliedro, conociendo las plantillas de cada una. Te animo a que reproduzcas las plantillas y armes los poliedros más conocidos. Puedes emplear papel de colores para tu trabajo.
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PIRÁMIDE
Es un poliedro cuya base es un polígono cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común.
De acuerdo a su base la pirámide puede ser:
CÁLCULO PARA HALLAR EL ÁREA LATERAL, TOTAL Y VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
AL
Área lateral Área de la base PB Ap A área del polígono B 2 PB Ap base. AL 2
Área total AT
AL
AB
Volumen
V
AB h 3
EJM: La base de una pirámide es un hexágono regular de 6 cm de lado. Si el apotema de la pirámide mide 12 cm. ¿Cuál es su área total? - Calculamos el área de la base (es un hexágono): AB - Hallamos el área lateral: AL
- Hallamos el área total: AT
PB Ap 2
AL
AB
216
36 12 2
PB ap 2
36 x3 3 2
54 3
216
54 3 216 54 3 216 309,53cm2
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CONO
Es el cuerpo de revolución obteniendo al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Elementos: Eje: Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Base: Es el círculo que forma el otro cateto. Altura: Distancia del vértice a la base. Generatriz: Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
ππ
CÁLCULO DE LA GENERATRIZ DE UN CONO
Por el teorema de Pitágoras la generatriz.
g2
h2 r 2
g
h2 r 2
CÁLCULO PARA HALLAR EL ÁREA LATERAL, TOTAL Y VOLUMEN DEL CONO Área lateral
Área de la base
Al =πrg
área del círculo
A B
Área total AT
AL
AB
Volumen V
AB h 3
EJM: Para una fiesta, Luisa ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? ¿Cuál es el volumen de 1 cono? Debemos calcular el área lateral:
3,14x15 cmx25 cm=3,14x375 cm2=1177,5 cm2
Al =πrg
2
2
Nos piden por 10 gorros entonces: 1177,5 cm x10=11775 cm Para calcular el volumen necesitamos saber la altura y lo hallamos por Pitágoras
a
25
2
15
2
20 cm es la altura. Ahora sí podemos calcular el volumen.
Pero falta calcular el área de la circunferencia.
V
AB h 3
706,5 20 3
4710cm3 , es el volumen.
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Ejercicios
1. Completa con a veces, siempre o nunca según corresponda: a) b) c) d)
Una pirámide……………….tiene 8 aristas. Un cono………………………..puede ser oblicuo. Un prisma ……………………..tiene 5 vértices. Una esfera……………………tiene desarrollo plano.
2. Amplía la silueta de estas plantillas y arma los siguientes poliedros:
3. Identifica qué superficies corresponde al desarrollo de la cara lateral de un cono.
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas con pirámides y cono.
2.
Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
3.
Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? I. ESCRIBE V(VERDADERO) O F(FALSO ) SEGÚN CONVENGA: a) El cono tiene 2 bases.
( )
b) La pirámide tiene generatriz y altura.
( )
c) El hexaedro es un poliedro irregular.
( )
d) Un poliedro tienen diagonales
( )
e) La pirámide tiene 2 apotemas.
( )
II. RESUELVE LAS SITUACIONES PROPUESTAS. REALIZA EL GRAFICO CORRESPONDIENTE. 1) Halla el volumen en m3 de la gran pirámide de Cheops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 230 m de lado, siendo su altura los 7/10 de dicho lado. 2) Halla el volumen en m3 de una pirámide regular, que tiene por base un cuadrado de 16, 7 m de lado, siendo la altura 15 metros. 3) ¿Cuál es la altura de m de una pirámide cuyo volumen es 6, 75 m3 y el área de la base es 15 m2? 4) ¿Cuál es el área de la base en cm2 de una pirámide de 10, 92 cm3 y 7, 2 cm altura? 5) Calcula el área lateral de un paquete cónico de palomitas de generatriz 12 cm y radio 10 cm. 6) El área lateral de un cilindro de 5 cm es 188, 4 cm2. Calcular su radio y volumen. 7) Calcula el volumen de una pirámide cuadrada de altura 20 cm y perímetro básico 32 cm.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Proyecto: “Los poliedros del entorno.”
Todo sobre poliedros: http://www.geoka.net/poliedros/piramide_ geometria.html Todo sobre poliedros: http://www.aplicaciones.info/decimales/ge ois01.htm http://www.geoka.net/poliedros/piramide_ geometria.html
Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Construir poliedros con diversos materiales. Tarea: Con material reciclable, construye un poliedro e indica sus elementos y reproduce objetos que tengan forma de cono y pirámide, que se utilizan en eventos.
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LAS CONVERSIONES EN METROS CÚBICOS Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios propuestos sobre las conversiones en metros cúbicos, relacionaremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar la magnitud de volumen. Expresar la magnitud de volumen en las unidades adecuadas. Realizar cambios de unidades.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? David y Juana, desean realizar el techado de su casa, el maestro albañil le da un listado de materiales que debe comprar: 50 bolsas de cemento 3 3m de piedra chancada 20 fierros de media, etc. 10 tubos de luz de 2 pulgadas.
a) b) c) d)
¿Es lo mismo decir 3 m3 que 3 m2? ¿Qué otros productos no sólo en el campo de la construcción se compran en m3, dm3, mm3? ¿Es lo mismo capacidad que volumen? ¿Las gaseosas, que unidad de medida tienen?. Grafica HISTORIA DEL SISTEMA INTERNACIONAL
Después de la Revolución Francesa los estudios para determinar un sistema de unidades único y universal concluyeron con el establecimiento del Sistema Métrico Decimal. La adopción universal de este sistema se hizo con el Tratado del Metro o la Convención del Metro, que se firmó en Francia el 20 de mayo de 1875, y en el cual se establece la creación de una organización científica que tuviera, por una parte, una estructura permanente que permitiera a los países miembros tener una acción común sobre todas las cuestiones que se relacionen con las unidades de medida y que asegure la unificación mundial de las mediciones físicas. Así, el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado sistema internacional de medidas, es el sistema de unidades más extensamente usado. Junto con el antiguo sistema métrico decimal, que es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales. En 1971 fue añadida la séptima unidad básica, el mol. El Sistema Internacional de Unidades está formado hoy por dos clases de unidades: unidades básicas o fundamentales y unidades derivadas.
RESPONDE: a) ¿El volumen a que grupo pertenece? b) ¿Qué sucedió en 1960 y 1971?
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Volumen, Capacidad. Ejercicios para conversión.
Nociones básicas
VOLUMEN El volumen indica cuánto espacio ocupa un objeto. Generalmente se expresa en metros cúbicos (m3) y centímetros cúbicos (cm3). Un cubito de 1 cm de arista ocupa un volumen de 1 cm3.
CAPACIDAD La capacidad indica cuánto puede contener o guardar un recipiente. Generalmente se expresa en litros (l) y mililitros (ml).
MAGNITUD Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.
RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA • Un litro es la capacidad de un decímetro cúbico. 1l = 1 dm3 • Un kilogramo es la masa que tiene el agua pura (agua destilada) que cabe en un recipiente de un decímetro cúbico de volumen. 1 kg = 1 dm3 De estas dos igualdades resultan las equivalencias entre las unidades de volumen, capacidad y masa: 1 dm3 = 1l = 1kg 1m3 = 1kl = 1 t 1 cm3=1 ml = 1 g
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Conversión de medidas de volumen
DE UNIDAD MÁS GRANDE A MÁS PEQUEÑA, SE MULTIPLICA X 1000
m3
X 1000
dm3
X 1000
cm3
: 1 000
: 1 000
mm3
: 1 000
DE UNIDAD MÁS PEQUEÑA A MÁS GRANDE, SE DIVIDE.
Recuerda: Es importante saber
m3 Se mide en esta unidad la capacidad de una piscina, el consumo del gas o agua para el hogar.
l Se mide en esta unidad el volumen de una refrigeradora, de un recipiente.
cm3 o ml Se mide en esta unidad el volumen de botellas, de gaseosa, latas de conservas, ampollas.
Ejemplos de conversión a) Convierte 2 000 cm3 en l. b) Sabemos por dato que un dm3=1 litro entonces tenemos que convertir a dm3. Como tenemos que convertir de una unidad mayor a menor, vamos a dividir: c) 2 000/1000=2 dm3 que equivale a 2 litros. d) Convierte 4 500 l en m3. e) Por equivalencia sabemos 1l=dm3. Entonces vamos a convertir de menor a mayor. f) 4500dm3/1 000=4,5 m3 c) Convierte 300 ml a l 300ml/10=30 cl 30cl/10=0,30 dl 0,30 dl/10= 0,03 l d) Convierte 20l a cl 20l x 10x = 200 dl 2 00dl x 10 = 2 000 cl
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Ejercicios
1. Pasa a litros las siguientes unidades de volumen. 2 dm3=2 l 1 m3=1.000 dm3=1.000 l a) 0, 3 cm3 = b) 9, 6 m3 = 2. Pasa a mililitros las siguientes unidades de volumen. 1 dm3=1.000 cm3=1.000 ml a) 2 mm3= b) 1, 3 dm3= c) 2, 5 m3= d) 7, 21 mm3= 3. Halla la equivalencia en litros y en kilogramos, sabiendo que se trata de cantidades de agua pura. 2 dm3= 2 l=2 kg a) 3 m3= b) 12 cm3= c) 0, 9 m3= d) 7, 2 mm3= 4. Investiga cual es la unidad de medida para calcular el volumen de un objeto en estado sólido, líquido y gaseoso. 5. Resuelve: a) Un caramelo tiene un volumen de 1, 3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0, 4498 dm3? b) ¿Cuál es la cantidad de agua que contiene una piscina de base 50 m x 100 m y 5 m de alto si está llena hasta la mitad? c) Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja?
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas sobre conversiones de metros cúbicos y litros.
2.
Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron.
3.
Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? I. REFUERZA TODO LO APRENDIDO 1. Coloca V (Verdadero) F (Falso) según convenga. a) La capacidad se mide en m3. b) S.I. significa sistema internacional de pesas y medidas. c) ¿Un jarabe de tos se vende en kg? d) Un refresco de Cifrut se mide en m3. e) Una botella de aceite se mide en: 1/4 litro, ½ litro, un litro
( ( ( ( (
) ) ) ) )
2. Un taller vende bidones de agua destilada. Observa la capacidad en litros de cada uno de los bidones y calcula. a) El volumen en centímetros cúbicos de cada bidón. BIDÓN A BIDÓN B BIDÓN C BIDÓN D II. RESUELVE: a) Los yogures son ofrecidos en diferentes tipos de envases. ¿Cuántos envases suman juntos un litro de yogurt?
250m l 150m 500m l Investiga en que unidades de medidas se ofrece las bebidas gaseosas. Busca 3 marcas de l 200 ml
b)
gaseosas, y elabora un cuadro de información.
c) Si una cucharilla de postre equivale a 5ml y un enfermo toma una cucharilla de postre de jarabe tres veces al día, ¿qué cantidad de jarabe tomará en una semana?
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre sistema internacional: http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen Todo sobre metros cúbicos: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ies_a zahar/MATEMATICAS1/medidas/volumen/ejimp rimir/ejimp3.html
Proyecto: “Investigando la capacidad de los medicamentos” Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Realizar un listado de medicamentos. Tarea: Visita una botica y/o farmacia y solicita información sobre las medidas en que se ofrece los medicamentos.
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ORGANIZACIÓN DE DATOS - TABLA ESTADÍSTICA Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la organización de datos y relacionar su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Organizar el conjunto de datos en forma adecuada. Identificar las medidas de tendencia central. Resolver ejercicios propuestos.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? OBSERVA LAS IMÁGENES Y RESPONDE:
¿Qué deporte practicas tú? ¿Qué deportes se observan en las imágenes?. Menciónalos ¿Qué deporte gustan más a tus compañeros? En esta oportunidad observas una información gráfica sobre los deportes que practican unos jóvenes de la ciudad de Lima. Podrías decir, ¿cuántos adolescentes fueron encuestados? ¿De que otra manera se pudo haber presentado la información recolectada? Da respuesta a las preguntas en base al cuestionario. A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos: 6 5 4 3 2 1 0 atletismo
ciclismo
baloncesto
natación
a) Calcular la tabla de frecuencias. b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo? c) ¿Qué deporte se practica más?
1 Prof: Juana Tueros Huamaní
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Organización de datos en tablas. Medidas de tendencia central.
TABLA DE FRECUENCIAS
VARIABLE Sím.
¿Qué es?
xi Es la característica que se está estudiando.
FRECUENCIA ABSOLUTA f Es el número de veces que se repite un dato por categoría.
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA F Es la suma de las frecuencias absolutas. La correspondiente a la última categoría es igual al total de observaciones.
FRECUENCIA RELATIVA h Se obtiene dividiendo un valor de la frecuencia absoluta entre el total de datos. h=
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA H Se suman las frecuencias relativas. La correspondiente a la última categoría de la variable es igual a 1 ó 100%.
f n
n= (Es el total de datos)
Las tablas de frecuencia nos permite organizar adecuadamente los datos para la toma de decisiones en forma correcta. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS CON REFERENCIA AL EJEMPLO INICIAL VARIABLE
FRECUENCIA ABSOLUTA
xi
f
Atletismo Ciclismo Baloncesto Natación
2 5 2 1
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA
F 2 7 9 10
FRECUENCIA RELATIVA
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
PORCENTAJE
h
H
%
2/10=0,2 5/10=0,5 2/10=0,2 1/10=0,1
0,2 0,7 0,9 1
20 70 90 100
n=10 N
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Para poder calcular todas las medidas de tendencia central debemos considerar los datos de la tabla de frecuencia. Frecuencia Frecuencia Para poderVariable calcular (todas las medidas central debemos considerar xi) absolutade tendencia absoluta xi . f los datos de la tabla de frecuencia. (f) Acumulada (F) Se ordenan de Es la cantidad de Se suman las Se multiplica cada menor a mayor veces que se repite frecuencias variable por su Variable ( xi) Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta xi . f la (f) variable absolutas. frecuencia(f) Acumulada (F) La primera es igual Se ordenan de Es la cantidad de veces Se suman las Se multiplica cada EJM: menor a mayor que se repite la variable frecuencias absolutas variable por su Se preguntaron su edad a cada uno de los.La25primera alumnos de un salón de tercero de secundaria, es igual frecuencia(f) obteniéndose el siguiente resultado: 14-14-14-13-15-14-14-14-14-15-13-14-15-16-14-15-13-1415-13-14-14-14-15-14. Veamos el siguiente cuadro como ejemplo ,calcularemos las medidas de tendencia central.
VARIAB. xi 13 14 Me 15 16
FRECUENCIA ABSOLUTA f 4 14Mo 6 1
x.f 52 196 90 16
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA F 4 18 24 25
FRECUENCIA RELATIVA h 4/25=0,16 14/25=0,56 6/25=0,24 1/25=0,04
F.RELATIVA ACUMULADA H 0,16 0,72 0,94 1
% % 16% 56% 24% 4%
n=25
LA MODA ES: 14 LA MEDIA ARITMETICA ES: X LA MEDIANA ES:
n 1 2
354 14,16 25
25 1 13 Busco el resultado en la F (frecuencia absoluta acumulada) y 2
se encuentra la mediana en la variable 13.
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Ejercicios
1. El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 010032140011201 120112130021235 a) Efectúa el recuento. b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada. 2. El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 010232130010301 100112120121535 a) Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje. b) Calcula la moda, la media de goles por partido. c) ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol? d) ¿Cuántos partidos han jugado? e) Haz una representación gráfica.(libre) 3. La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de Matemáticas: Nota Nº alumnos
2 2
4 5
5 8
6 7
7 2
8 3
9 2
10 1
a) ¿Cuántos alumnos aprobaron? b) ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo un 7? c) ¿Cuántos sacaron como mínimo un 6? d) Calcular la nota media, la moda y la mediana.
¿Qué aprendimos hoy? 1.
2. 3.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas sobre organización de datos y medidas de tendencia central. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? TIENES LA OPORTUNIDAD DE REFORZAR LO APRENDIDO A TRAVÉS DE LOS EJERCICIOS. 1. Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3ro de secundaria en una prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla: Nota 2 3 4 5 6 7 Alumnos 1 2 4 5 4 6 a) Elabora la tabla de frecuencias completa. b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia? c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos?
8 5
9 4
10 1
2. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año. Nº de visitas al médico Nº de personas 1 3 5 7 10 12 a) b) c) d)
10 25 43 31 12 4
¿Cuántas personas han ido el médico 7 veces en el último año?¿Cuántas han ido 4 veces? ¿Qué porcentaje de personas ha ido al médico más de 6 veces? Calcular la moda y el número medio de visitas al médico en el ambulatorio. Dibujar un diagrama de barras. a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido? b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas. c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado? d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40?
Nº de pares vendidos
3) Observa el gráfico y responde: 35 30 25 20 15 10 5 0 36
37
38
39
40
Nº de zapato
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre datos estadísticos: Teoría http://bibliotecavirtual.lasalleurubamba.edu.pe/ Estadistica/res/pdf/estadisticadescriptivavariabl es2.pdf Todo sobre datos estadísticos: Ejercicios http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/mt cent/mtcent.htm 4-
Proyecto: “ENCUESTA EN EL COLEGIO” Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Reforzar el tema. Tarea: Elabora una encuesta de 6 preguntas con opciones e investiga sobre los gustos de música a tus compañeros.
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ANÁLISIS COMBINATORIO Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con factorial, permutación, variación, encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Establecer la diferencia entre permutación, variación y combinación. Calcular las permutaciones, variaciones sin repetición y con repetición en situaciones concretas. Calcular las combinaciones sin repetición y con repetición en situaciones concretas.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? En esta oportunidad tienes situaciones que requieren realizar esquemas. Resuelve: 1. En estas Fiestas Patrias se pudo apreciar eventos culturales revalorando nuestra identidad peruana. Juan , Héctor y Sergio que participan en un grupo cultural de marinera bailaron, pero tuvieron que bailar varias veces para que participen las chicas de la foto. ¿Cuántas parejas de baile se pudieron formar?
2. ¿Cuántas palabras posibles con o sin sentido, se pueden formar con las letras P, A y N?
3. ¿Cuál son las variaciones posibles eligiendo 2 de los 3 triángulos siguientes?
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Combinación Permutación Variación
Factorial de un número DEFINICIÓN DE FACTORIAL: El resultado de multiplicar una serie de números naturales en orden descendente, como 4, 3, 2 y 1. Su símbolo es "!" Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24" 4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir “factorial de 4”.
Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:
n
n!
1
1
1
1
2
2×1
= 2 × 1!
=2
3
3×2×1
= 3 × 2!
=6
4
4×3×2×1
= 4 × 3!
= 24
5
5×4×3×2×1
= 5 × 4!
= 120
6
Etc.
Etc.
¿Dónde se usa el factorial? Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones. UN RETO: ¿Cuánto es?
4!+3!+6!=
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Permutación
DEFINICIÓN DE PERMUTACIÓN: Es una combinación ordenada que se puede formar con todos los elementos disponibles de un conjunto. Interesa el orden.
Permutación lineal: P n
n!
¿Cuántas palabras posibles con o sin sentido se pueden formar con la letras P, A y N? P(3)=3!=6 Permutación con repetición: PR
, ... n
n
n! ! !.. !
¿Cuáles son todas la palabras posibles que se pueden formar con las letras de la palabra PALA? 4! 24 PR= 2 2! 12
Ejercicios Resuelve los siguientes casos: 1. Si en una fila hay tres personas a, b y c. ¿De cuántas maneras podrán colocarse? 2. ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar 3 libros rojos, 2 azules y 4 blancos en un estante de 9 plazas si los libros del mismo color son iguales entre sí?
3
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Variación - Combinación. VARIACIÓN Concepto Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m≥n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: -No entran todos los elementos. -Si importa el orden. -No se repiten los elementos.
Notación
Casos CON REPETICIÓN:
m
Vnm
VRn;k
m n !
Ejm:
nk
Se tira una moneda al aire 6 veces y se anota “i” si sale cruz y un “0” si sale sellos. ¿Cuántas listas ordenadas de 6 elementos pueden salir?
Las variaciones se denotan por:
VR=26=64 listas. SIN REPETICIÓN:
Vnm o Vm , n
Vk n
n! n k !
Ana, Bertha, Carlos y Daniel son candidatos para los cargos de delegado y subdelegado de su club. Se debe elegir entre ellos, poniendo en una boleta un 1er nombre para delegado y subdelegado. ¿Cuántas boletas diferentes podrán aparecer?
V4,2
4 x3! 4 2!
4 x3x 2 ! 12 2!
COMBINACIÓN Concepto
Notación
Ejm:
Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos.
El número de combinaciones de “N” elementos diferentes tomados de k en k se calcula como:
¿Cuántos grupos de 5 personas se pueden formar con 8 personas? Solución: n=8(total de elementos) k=5(elementos de cada grupo)
Ckn
n! k! n k !
C58
8! 8 7 6 5! 8 7 6 5! 8 5 ! 6 5! 3!
56
0<k n
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la elaboración y resolución de problemas con factorial, variación y combinación. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos casos de ángulos.
2.
Identifica con objetividad tus desaciertos al resolver los ejercicios para analizar los errores.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?L
3
1. Escribe V(verdadero) o F(falso) según convenga: a) En una permutación no importa el orden de sus elementos b) En una combinación no importa el orden de sus elementos c) La simbología de factorial es ‘?’ d) El factorial se utiliza en las ecuaciones
( ( ( (
) ) ) )
2. Simplifica :
M
6! 5! 10.3!
N
7! 8! 6!
O 5! 6!: 4!
3. Efectúa : a) V26
b) V35
c) V27
V25
d) V23 V45
b) C35
c) C27
C25
d) C23
4. Efectúa: a) C 26
C45
5. Resuelve las siguientes situaciones propuestas. Recuerda identificar si es variación, combinación o permutación.
64º
a) Un alumno tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen, ¿de cuántas maneras puede el alumno escoger las 8 preguntas? b) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1; 3; 5; 7; 8 y 9? c) Se tiene los números: 1; 2; 3; 4; 5; 6 y se desea saber cuántos números de 3 cifras podemos formar con ellos. d) En un salón de clases de 42 alumnos se desea formar una comisión de 2 alumnos. ¿De cuántas formas se puede elegir la comisión?
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobrepermutación, variación: Teoría http://www.ditutor.com/combinatoria/variacio nes.html Todo sobre permutación, variación: Ejercicios http://www.ematematicas.net/combinacrepeti cion.php http://www.vitutor.com/pro/1/a_p.html
Proyecto: “Elaboramos nuestro álbum de ángulos” Responsables: Tutor y estudiantes Objetivo: Realizar un Álbum con organizadores visuales y ejercicios. Tarea: Crea ejercicios sobre variación, permutación, combinación, con sus respectivos organizadores visuales (teoría).
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