01
LÓGICA PROPOSICIONAL
¿Qué materiales utilizaremos?
¿Qué aprenderemos hoy?
A diferenciar enunciados y proposiciones. A reconocer conectivos lógicos . A resolver problemas aplicando operaciones básicas con conjuntos.
-
Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de lógica proposicional.
Lee con atención, la siguiente lectura Lógica formal La lógica formal hace abstracciones de los razonamientos que realizan las personas, y los expresa mediante fórmulas que usan símbolos especiales (...) También establece un conjunto de reglas teóricas que dicen qué es posible hacer y qué no para deducir cosas nuevas. Hay lógicas formales muy antiguas, como la llamada tradicional (la que escribió el Aristóteles, y usada desde mucho antes). En aquellos tiempos estaban de moda los silogismos (una conclusión deducida de dos premisas), y su notación fue usada durante mucho tiempo. Pero también son lógicas formales muchas de las modernas, como las que proponían Leibniz, Boole o Hilbert. Su resultado (lógica proposicional, lógica de primer orden, y otras) es un sistema más abstracto y complejo de entender para los filósofos, ya que cada vez se parece más a las matemáticas. Por eso se llama a estas lógicas lógica matemática (además de lógica simbólica), pero no porque traten de la lógica de las matemáticas, sino de las matemáticas de la lógica. Extracto: www.danielclemente.com/.../hl.es-node13.xhtml
Responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué entiendes por lógica matemática? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Qué relación crees hay entre la lógica formal y las matemáticas? ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
1 Prof. Beatriz Toledo López
01
Actividades 1.
Con ayuda de un libro de consulta, repasa los siguientes temas:
Puedes consultar textos o documentos relacionados con el tema tratadlo
Enunciado y proposición Conectores lógicos. Operaciones con conectores lógicos
Proposición y enunciado Recordemos:
Proposición: Es una expresión que puede calificarse como verdadero o falso. Se representa con letras minúsculas. a) Proposiciones simples: son las que no tienen conectivos u operadores.
b) Proposiciones compuestas: conformadas por más de una proposición simple, unidos por operadores o conectores lógicos. Por ejemplo: Aquellos niños lograron ingresar a la competencia. P. Simple Juana no irá al cine y vendrá a cenar con nosotros P. Compuesta
Enunciado numérico: Es una expresión numérica relacionada con números. Los enunciados numéricos no siempre son proposiciones. Por ejemplo: Es proposición 2 3 5 No es proposición x 9 5 Toda proposición puede calificarse como verdadera o falsa. - Mañana visitaremos el planeta Plutón ( F ) - La raíz cuadrada de 16 es 4 ( V )
Actividades 1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e) f) g) h)
La llama es un auquénido que tiene como hábitat la selva. 18 es múltiplo de 6. La Luna es un planeta. Tarma es la capital de Chiclayo. 1, 2 y 3 son números primos. 16 es el doble de 8. El avestruz es un animal carnívoro. 15 +18 = 33
( ( ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) ) ) ) 2
Prof. Beatriz Toledo López
01
Operaciones con conectores
Conjunción: La conjunción está formada por dos proposiciones simples unidas por el conector “y” representado “ ”. Una conjunción es verdadera sólo cuando ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será siempre falsa.
p V V F F
q V F V F
q
q V F V F
p
p
q V F F F
p V V F F
q V F V F
p
q V F V V
Bicondicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo lógico “si y sólo si” y se representa con “ ”. La proposición bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas.
q
q V F V F
Disyunción: Está formada por dos proposiciones simples relacionadas por el conectivo lógico “o” representado por “ ”. Una disyunción es verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera y falsas cuando ambas son falsas.
V V V F
Condicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo lógico “Si... entonces” cuyo símbolo es” ”. La proposición condicional será falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; será verdadera en los demás casos.
p V V F F
p
p V V F F
V F F V
pq
p
Negación: Se denomina proposición negativa a aquella proposición simple que es afectada por una negación. Se representa con” ”.
V F
F V
Actividades 1.
En tu cuaderno desarrolla los ejercicios encontrando el valor de verdad en cada caso: Ejemplo:
a) p b) q
p
q
p
q
p
e) q q f) p q
p
c) q
p
d) q
p
q
g) h) q
p q p
p
p
q
V V F F
V F V F
p
p
q
V F V V
V F F F
V V F F
p
p p q
Para hallar el valor de las proposiciones primero resolveremos las que están en paréntesis.
3 Prof. Beatriz Toledo López
01
Esquemas moleculares Se llaman esquemas moleculares a la combinación de variables proposicionales por medio de los conectivos lógicos, así como por los signos de agrupación como los paréntesis, corchetes y llaves. Por ejemplo: ( p q) (q p) q
Tabla de valores de verdad: Es la presentación de filas y columnas de los valores de verdad de las variables y operadores proposicionales. Para construir una tabla de verdad realizamos los siguientes pasos: a) Calculamos el número de filas con la fórmula 2n (“n” representa el número de variables del esquema molecular). b) A la primera variable se le asigna la mitad de los valores VERDADEROS y la otra mitad de valores FALSOS de la cantidad obtenida. c) A la segunda variable se le asigna la mitad de los valores VERDADEROS y FALSOS de la primera variable. d) Luego se procede a colocar los valores de verdad según la jerarquía de operaciones, en general, la mayor jerarquía tienen los signos de colección (llaves, corchetes y paréntesis), luego la condicional ( ) y bicondicional ( ) y finalmente la disyunción ( ) y conjunción ( ) .
Clasificación de los esquemas moleculares: Tautológica, cuando todos los valores de verdad son verdaderos. Contradictoria, cuando todos los valores de verdad son falsos. Consistente, cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros son falsos.
Actividades 1.
En tu cuaderno evalúa los siguientes esquemas: Por ejemplo:
( p q)
r
Solución: 3 La cantidad de variables son 3 por lo tanto 2 = 8 Distribuimos los valores respectivamente. Luego evaluamos el esquema según la jerarquía de operaciones.
a) p d) g) r
q
q
r
e)
p
p
b)
q
h) p
p r
q
p
p
q
r
p q
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V F F F F F F
c)
q
r V F V V V V V V
V F V F V F V F
r
r
f) p
q
q r
i) r
p
p q r
p
4 Prof. Beatriz Toledo López
01
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Dadas las siguientes proposiciones: p = Ricardo será veterinario q = Paola es médico Traduce en el lenguaje cotidiano las siguientes expresiones: a)
p q
b)
p
c)
p
q
d)
p
q q
e) f)
2.
q
p
q
p
Plantea dos proposiciones, tradúcelas al lenguaje cotidiano y evalúa los esquemas planteados: p= q= a)
b)
q
p
p q
c)
q
d)
p
q
5 Prof. Beatriz Toledo López
01
3.
Evalúa los siguientes esquemas: a)
b)
p
p q
q
c)
q r
d)
p q
p
q
t
r
Reforzando lo aprendido Desarrolla los ejercicios con los siguientes temas:
Proposiciones y enunciados.
Operaciones con conectores.
Esquema molecular.
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Lógica formal e informal http://recursos.cnice.mec.es/filosofia/swf/unidad03.swf Ejercicios de simbolización – Lógica proposicional www.lopezdemendoza.es/desc/filosofia/ejercicioslogica.pdf
6 Prof. Beatriz Toledo López
02 0
NÚMEROS REALES
¿Qué aprenderemos hoy?
¿Qué materiales utilizaremos?
A identificar el conjunto de los números reales. A realizar operaciones de adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación de números reales
Libro de consulta Matemática 3er grado Ediciones El Nocedal - 2008
El conjunto de Números Reales El conjunto de los números reales está conformado por: -
Los números Naturales. Los números Enteros. Los números Racionales. Los números Irracionales. Imagen extraída de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/number-sets.gif
a) Observa el gráfico y descríbelo.
....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... b) Escribe dos ejemplos para cada uno de los siguientes conjuntos: a)
Números Naturales
-
b)
Números Enteros
-
c)
Números Racionales
-
d)
Números Irracionales
-
Repasa en tu libro de consulta los siguientes temas: Los Números Naturales Representación en la recta numérica
Prof. Beatriz Toledo López
1
02 0
Representación de los Números Reales Representación en la recta numérica -3
-2
2
-1
0
1 3
1
2
2
3
Dados dos números reales a y b, veamos dos casos: Se dice que a b si la diferencia de a – b es un número positivo. Se dice que a b si la diferencia de a – b es un número negativo. Por ejemplo a)
5 porque ( 3) ( 5) 2
3
-1
b)
3 porque ( 1) (3)
4
Actividades 1.
Escribe cada número en expresión decimal y grafícalos en la recta numérica. 2 a) 1,5;1 ; 2;1,8 3
0
b)
1
2
3
3 1 ;0, 45; ; 0,36 10 3
0
1
0,5
1 1 c) 2,3; ; 3;1 4 2
0
1
2
3
Prof. Beatriz Toledo López
2
02 0
Operaciones con números Reales
Adición
Sustracción
Sea a, b a b c, c
5
Sea a, b axb c , c
Sea a, b a b c, c
Ejemplo:
3
Multiplicación
3 8
Sea a, b a b c,c
Ejemplo:
Ejemplo:
2
División
2 x
11
1 7
Ejemplo: 2 7
2 3 2
3
Actividades 1.
Realiza las siguientes operaciones combinadas de números reales: a)
3 2 2 0,5 2 2
b)
10 9 1 1,1 3 2
c)
9 2 5 3, 2 1 2
d)
2 3 2 2,5 3 1
e) f)
5 2 5 1,5 6 5 4, 2
5 1 2 1, 2 5 1 3 4
2 1 1 3,3 5 4
3 25 5 2,3 3 9
Radicación de los Números Reales Recordemos: Índice
b
a
c
Raíz
Radicando
Prof. Beatriz Toledo López
3
02 0
Propiedades de la Radicación
Raíz de una potencia
Raíz de una multiplicación
Raíz de una división n
n
( a)
n
n
a
Ejemplo:
( 3 12)3
n
a. b
n
a n b
a.b
Ejemplo: 4
12
3. 4 2
4
3.2
n
a b
Raíz de raíz
n m
Ejemplo: 4
6
3
7 3 2
3
7 2
m.n
a
a
Ejemplo: 2 3
5
3.2
5
6
5
Actividades 1.
Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones utilizando las propiedades con radicales: a) b) c)
d)
2
4
5
5
3
2
8. 4 2
3
27. 4 3 3
10 2 4
4
5 2 6
3
8 27
10
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) b) c)
3
3 2 4
4
3
3 2 32
2
(
)
(
)
(
)
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4
02 0
2. En tu cuaderno desarrolla los siguientes ejercicios (los resultados aproximarlos al centésimo): a) b) c) d) e) f)
2 3
5
5 8
2
3, 45
5
0,3 x 0,3
8 2
4, 69
76 x 7
36
2
1 2
4
72
0,36
i) j)
3 5
1,16
14
7 2
5 7
k)
3 2,8 6,3
l) ll)
4 21 x 8, 2 7 16 7,3 x 2, 4 1,8
m)
800
1
8
Para resolver operaciones en R es necesario que los valores tengan la misma cantidad de decimales
Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 3er grado - Ediciones El Nocedal - 2008: (*) Si no cuentas con el libro de
consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
La recta real (pág 12 y 13).
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Propiedades de la potenciación y radicación: http://argentina.aula365.com/cursos/MEGB3A3C03/03.swf Operaciones combinadas http://www.genmagic.org/mates4/jerarquia_opera_c.swf Operaciones combinadas interactivas http://www.lamiranda.info/docencia/mates6ep/combinadas.swf
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5
03 0
INTERVALOS
¿Qué aprenderemos hoy?
¿Qué materiales utilizaremos?
A diferenciar enunciados y proposiciones. A reconocer conectivos lógicos . A resolver problemas aplicando operaciones básicas con conjuntos.
Libro de consulta Matemática 3er grado Ediciones El Nocedal - 2008
Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cuántos conjuntos existen en los números reales. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... b) ¿Qué entiendes por intervalo? Explica brevemente tu respuesta. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
Clases de intervalos Sean los intervalos pueden clasificarse en acotados y no acotados: Acotados: x
Abierto : a; b a x b Cerrado a, b a x b
a
b
a
b
Semiabierto por la derecha x a, b a x b
a
b
Semiabierto por la izquierda x a, b a x b
a
b
x
Prof. Beatriz Toledo López
1
03 0
No Acotados: a;
x
/x a a
INFINITOS
a;
x
/x
a
a
;a
x
/x a
;a
x
/x a
a
a
;
x/ x 0
Actividades 1. Realiza las representaciones gr谩ficas de los intervalos siguientes: a)
A
5, 2
c)
C
b)
B
10;0
d)
D
;6 3;
2. Une los intervalos con sus respectivas representaciones: a)
A
1;9 -1
b)
B
9
12; 8
c)
C
;8 12
Prof. Beatriz Toledo L贸pez
2
03 0
Operaciones con intervalos
Uni贸n de Intervalos A B x/ x A x B Sean los intervalos A Hallar A B
3;1 , B
A 0
A
Sean los intervalos A hallar A B
0;5
B
A -3
Intersecci贸n de Intervalos A B x/ x A x B
B
A B
B
-2
0
7
4
5
A
3;5
Diferencia de Intervalos A B x/ x A x B Sean los intervalos A 2;4 , B hallar A B
B
0; 4
Complemento de Intervalos A x U/x A Dado el intervalo B
0;7
0;7 , determinar B B
B
B 0
A
A-B -2
0
A B
0;7
A
1
B
2;4 , B
4
7
B
7
;0
7;
2;0
Actividades 1.
2.
En tu cuaderno, realiza los siguientes ejercicios : a) Sean los intervalos A
3;4 , B
0;5 Hallar A B
b) Sean los intervalos C
1;6 , D
0;7 , Hallar C
c) Sean los intervalos E
2;0 , F
1;4 , Hallar E F
Dado los siguientes intervalos C
4;6 , D
D
2;7 representa gr谩ficamente las
siguientes operaciones: a)
C
b)
C D
e) D C
c)
C
f) D
D
d) C
D
Prof. Beatriz Toledo L贸pez
3
03 0
Operaciones combinadas con Intervalos Sean los intervalos A 1
5;6 , B
3;5 , hallar
(A
( A B) :
B)
Representamos gráficamente los intervalos
B A 3
-5
2
Determinamos A B y A B A
B
3;5
Determinamos ( A
3
4
Hallamos ( A (A
A B B)
B)
B)
( A B) ( A B)
-5
( A B)
; 5
5;5
5;
A
B
3
(A
( A B)
(A
B)
A B
5;3
B)
5
6
5
6
( A B)
3
-5
6
5
-5
3
6
5
Actividades 1.
En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones: Sean los Intervalos A 6;6 , B 3;9 halla las siguientes operaciones combinadas: a)
(A
B)
( B A)
b)
( B A)
(A
c)
( A B)
B
d)
( A B)
A
B)
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)
4
3;6
b) c)
0; 4
7
0;9
0;9
5; 1 d) e) 1 2;6
0; 4
0;6
(
)
(
)
(
)
( (
) )
Prof. Beatriz Toledo López
4
03 0
2.
Expresa en intervalos las siguientes representaciones gráficas:
-9
0
3
6
-5
0
4
6
-5
0
5
6
-5
3
5
6
Reforzando lo aprendido
Reforzando lo aprendido
Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 3er grado - Ediciones El Nocedal - 2008: (*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material Actividad 1: Intervalos acotados (pág. 18) que refuercen los temas
Actividad 2: Intervalos no acotados (pág. 19)
tratados.
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Operaciones con intervalos http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/mategeneral/t3-inecuaciones/inecuacionesjulioetall/node4.html
Suma en la recta real http://www.ite.educacion.es/w3/recursos/primaria/matematicas/decimales/pra ctica/rectasr.swf
Intervalos http://www.genmagic.net/mates5/numeros_reales/mat4eso1_1c.swf
Prof. Beatriz Toledo López
5
04 0
VALOR ABSOLUTO
¿Qué aprenderemos hoy? A resolver ejercicios con valor absoluto. A identificar ecuaciones con valor absoluto. A resolver problemas que implica el cálculo de el conjunto solución en ecuaciones con valor absoluto.
¿Qué materiales utilizaremos?
Libro de consulta Matemática 3er grado Ediciones El Nocedal - 2008.
SABÍAS QUE… Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto “a” al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 5 al origen es 5 unidades, igualmente la distancia del punto -5 al origen es 5. En notación, esto es - 3 = 3. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas.
www.perueduca.edu.pe
En el valor absoluto no importa en qué lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si “a” es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces “a = a” y si está a la izquierda del origen, es decir si “a” es negativo, entonces “a = -a”. Extracto de: http://atenea.inf.udec.cl/~srebolledo/practicas/bioin2009/Valor%20Absoluto.pdf
Investiga con tus compañeros y responde: a) Explica con tus palabras lo que entiendes por valor absoluto. ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... b) ¿Qué relación existe entre la distancia y el valor absoluto? Explica brevemente tu respuesta. ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... Prof. Beatriz Toledo López
1 1
04 0
Ecuaciones con valor absoluto Recordando: Sea x
x , si x ≥ 0
x= x , si x < 0
Ejemplos: a)
x 3
7
b)
x 3
7 2x 6
Toda ecuación cuya variable este siendo afectada está siendo afectada por el valor absoluto se denomina ecuación con valor absoluto.
x 1
Actividades 1. Determina el valor absoluto en cada uno de los siguientes ejercicios:
a) 3 =
e) 8 =
i)
b)
8 10 =
f) 22 =
j) 7 =
c)
2=
g) 34 =
k)
2 =
l)
13 =
d) 32 27 =
h) 9
3=
25 10 =
2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
2x 3
4
b)
3x 5 5x 1
e)
x 4 4x 1
c)
x 1 4
f)
x 1 7x
d)
2x 1
2 5
4 3
Prof. Beatriz Toledo López
2 2
04 0
Resolución de ecuaciones con valor absoluto 1er Método: Utilizando la definición de Valor Absoluto Ejemplo 1: Obtener el C.S. de x 1 1
Aplicamos definición del valor absoluto
Del paso anterior:
2
3
a) Si x 1 x 1 4 x 5 C.S1 5 b) x 1Si ( x 1) 4 x 1 4 x 3 C.S2 3
x 1 , x-1 ≥ 0 x ≥1
x 1=
4
( x 1) , x-1 < 0 x<1
El conjunto solución general es: C.S1
C.S2
C.S.
3;5
Actividades 1. Determine el C.S. de las siguientes ecuaciones: a)
b)
19
d)
25
x 3
e)
13x 2 1 2
x 6
12
3x 1
Resolución de ecuaciones con propiedades del valor absoluto 2do Método: Utilizando las propiedades del valor de absoluto:
a
b
b 0
a
b
a
a b a
b a
b
b
Prof. Beatriz Toledo López
3 3
04 0
Ejemplo 2: Obtener el C.S. de 2 x 1
1ero: Identificamos propiedad a utilizar acuerdo a la expresi贸n. a
b
b 0
la de
2do: Aplicamos la propiedad 2x 1
a b a
x 1
x 1
x 1 0
2x 1 x 1 2x 1
Identificamos los valores de ayb a 2x 1 b x 1
C.S .
2 3
x 1 x
x 1
b
1;
1
( x 1)
2 3
El Conjunto soluci贸n de la ecuaci贸n es: C.S C.S1 (CS2 CS3 ) Graficando:
0
1
2 3
C.S
1;
C.S
1
1;
2 3
Actividades 1. Determine el C.S. de las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades del valor absoluto. a)
2x 6
b)
5x 1
3x 1
2x 1
3x 1
x 2
19 x
4
6
d)
2x 1
e)
13x 2 1 2x 3
x 3
3x 4
2x 1
2x 3
7
Prof. Beatriz Toledo L贸pez
4 4
04 0
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)
2.
34
b)
x
c)
x
d)
x y
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)
34 x, si x
x, si
x
x
y
Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto: a)
3x 8
b)
5x 9
7
4
d)
2x 1 3
e)
4x 3 13
5
Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 3er grado - Ediciones El Nocedal - 2008:
Actividad 3: Ecuaciones con valor absoluto de los Números Reales (Pág. 23)
(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Valor Absoluto http://www.saintmichaelcr.net/juegosflash/Matematicas/ValorAbsol utoRelativo.swf Valor absoluto - Números Enteros http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf Actividades interactivas: Valor Absoluto http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/valor%20absoluto.htm
Prof. Beatriz Toledo López
5 5
05 0
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Qué aprenderemos hoy?
¿Qué materiales utilizaremos?
A identificar ecuaciones cuadráticas con diversos métodos. A resolver ejercicios con ecuaciones cuadráticas.
Libro de consulta Matemática 3er grado Ediciones El Nocedal - 2008.
PIONERO DEL ALGEBRA Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini nacido alrededor del 200/214 fallecido alrededor de 284/298) fue un antiguo matemático griego. Es considerado "EL PADRE DEL ÁLGEBRA". Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega: "Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo.
Diofanto de Alejandría Fuente: http://www.softrake.com/?p=253
Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
x x 6 12
x x 5 4 7 2
x Donde x es la edad que vivió Diofanto
Extracto de Diofanto de Alejandría http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa
Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Qué entiendes por ecuación cuadrática? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... b) Menciona dos ejemplos de ecuaciones cuadráticas. .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
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Ecuaciones cuadráticas de una variable – 1er método Recordando: Una ecuación cuadrática de una variable se define de la siguiente manera:
ax 2 bx c
0
1er Método: Factorizando Ejemplo: Determine el conjunto solución de x 2 1ero
5x 6 0
Factorizando por el método del aspa simple
x2 5x 6 0 x 3 x 2 ( x 3)( x 2) 0 2do
Igualamos ambos factores a 0
x 3 0, x 2 0, 3ero
x x
3 2
Obtenemos el conjunto solución:
C.S.
2; 3
Actividades 1. Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) x2 5x 6 0
2 c) 6 x x 35 0
b) x2 2 x 15 0
d) x
2
e) x
2
10 x 21 0
4x 4 0
Ecuaciones cuadráticas de una variable – 2do método 2do Método: Completando cuadrados Consiste en transformar el polinomio ax 2 bx c 0 en una diferencia de cuadrados. Ejemplo 2: Al completar cuadrados determine el C.S. de x 2 1ero 2do
3x 2 0
2
3x 2 2 0 2 Restamos a ambos miembros 2 x Al primer miembro lo transformamos en un trinomio cuadrado perfecto para cual sumamos a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. x
2
3x
2
x
2
3x
3 2
2
2
3 2
2
3 x 2
2
1 4
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3ero
3 2
x 4to
2
3 2
1 2
1 1 4 4
x
3 2
2
3 2
x
1 2
2
0
1 2
x 2 x 1
0
0
Igualamos ambos factores a 0
x 2 0 6to
1 4
Factorizamos:
x 5to
1 4
Restamos a ambos miembros
x
2
x 1 0
x
1
Obtenemos el C.S.
C.S.
2; 1
Actividades 1.
Utilizando el método de completando cuadrados, hallar el C.S. de las siguientes ecuaciones: 2 2 a) 4 x2 x 35 0 c) x 4 x 12 0 e) x x 2 0 x 2 2 x 48 0 b) x2 3x 40 0 d)
Ecuaciones cuadráticas de una variable – 3er método 3er Método: Por la fórmula general Sea la ecuación ax
2
bx c
0 , donde a, b, c
x C.S .
b
b
,a
b 2 4ac , 2a
b 2 4ac b ; 2a
Ejemplo 3: Por fórmula general hallar el C.S. de 6 x 2 1ero
0
b 2 4ac 2a
x 1 0
Identificar los coeficientes de la ecuación cuadrática y reemplazar
x
( 1)
( 1) 2 4(6)( 1) 2( 1) 1 5 x 2
x
1
1 24 2
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3
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2do
Determinamos las raíces de solución
1 5 2
x1 3ero
3 ; x2
1 5 2
2
Hallamos el C.S.
C.S
2;3
Actividades 1. En los siguientes ejercicios halla el C.S. de las siguientes ecuaciones: a) 2 x2 12 x 16 0
2 d) 4 x 10 x 4 0 2 e) x 3x 40 0
b) 5x2 15x 10 0 c) 20 x2 18x 4 0
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: b 2 4ac a) La fórmula general es : x 2a b) La factorización es un método de resolución b
c) 6 x 2
x 35 0, C.S.
d) 2 x2 13x 14 0 , C.S .
2.
2,5 7 2 ; 4 3
(
)
(
)
(
)
(
)
Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas: a)
x2
b)
x2 9
c)
x 4 16
d)
4 x2 17 x 15 0
2x 2
0
0 0
e)
12 x 2
5x 2
f)
9 x2
42 x 40
g)
2 x2 9 x 11
h)
x2
28 3x
0 0
0
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3.
Resuelve los siguientes problemas: a) Si al cuadrado de un número se le agrega 47 unidades, resulta igual al cuadrado del número siguiente ¿Cuánto habrá que restarle al cuadrado del mismo número para que sea igual al cuadrado del número anterior?
Reforzando lo b) Si al triple de un número se le sumaaprendido su cuadrado se obtiene 88. Hallar las soluciones posibles.
Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 3er grado - Ediciones El Nocedal - 2008: (*) Si no cuentas con el libro de
Actividad 4. Ecuaciones cuadráticas de los números
consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.
racionales (Pág. 28)
Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Ecuaciones cuadráticas http://www.genmagic.org/mates5/sg1c.swf Resolución de ecuaciones cuadráticas http://www.extremate.es/Definitivo%20Segundo%20Grado/textoseg undogrado.swf ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas? http://www.jviera.net/pgs/ec2do/imgns/EC10.swf
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06
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los productos y cocientes notables su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar productos y cocientes notables. Valorar la utilidad de los productos y cocientes notables en la simplificación de operaciones algebraicas. Utilizar los productos y cocientes notables en la factorización.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Observa: 2x+1
X+6 X+3
m+5
3
a +27 a
m+5 m+5
3
Las imágenes mostradas representan los terrenos que tiene Jacinto, son las chacras que su padrelo heredó, él desea saber el valor de los terrenos. ¿Podrás ayudarlo a cuánto valorizan? Datos: m=$1; $ n=$3; a=$2 Responde a las preguntas indicadas: ¿Que terreno vale más?..................................................... ¿Qué terreno vale menos?................................................ ¿Qué expresión se puede factorizar?.................................. ¿Se puede dividir (a3+27): (a+3)?……………………………………. Bien en esta oportunidad vamos a tratar el tema de factorizaciones y cocientes notables, para ello vamos a expresar sus conceptos y sus respectivos casos. PRODUCTOS NOTABLES
COCIENTES NOTABLES
Son multiplicaciones entre polinomios que Es el cociente que se obtiene en casos tienen características especiales. especiales sin efectuar la división.
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06
Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos los productos y cocientes notables y es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Productos y Cocientes Notables. Casos diversos Ejercicios con productos y cocientes notables.
Productos Notables: Casos
A) Cuadrado de la suma o diferencia de los términos.
a b
2
a2
B) Producto de dos binomios con un término común.
2ab b2
x2
x a x b
a b x ab
Ejm:
Ejm:
7 a 2 b3 5 x
4 2
49a 4b6 70a3b3 x 4 25x8
C) Cuadrado de un trinomio.
a b c
2
a2
b2
c2
2x 3 3x 5
6 x2
8 x 15
D) Producto
a b (a2
2ab 2bc 2ac
ab b2 )
a3
b3
Ejm: Ejm:
3x 2 (9x2 6x 4) 27 x3 8
2 x 3x 4 x
2
4 x2 9 x2 46 x2 12x 24x 16x
E) Producto de la suma por su diferencia
a2
a b a b
b2
mx a nx b
Ejm:
3m 2 p3 3m 2 p3
9m2
a b
a
3
2
3a b 3ab
2
b
an bm x ab
3x 2 2x 4
3
6 x2
16 x 8
H) Cubo de un trinomio
a b c
3
a 3 b3 c 3 3 a b a c b c
Ejm:
Ejm:
a 2 2b
mnx2
Ejm:
4 p6
G) Cubo de la suma o diferencia de dos términos 3
F) Producto (mx+a)(nx+b)
3
a 6 6a 4b 12a 2b 2 8b3
2 x 3 y 5z
2
8 x3 27 y 3 125 z 3 3(2 x 3 y )(2 x 5 z )(3 y 5 z )
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06 Ejercicios 1. EfectĂşa: a) d)
b)
2
x 3
e)
3x 2 3x 3
3x 4
3x 2
2
c)
3
f)
3x 5 3x 5 3m 2n 5 p
2
2. Simplifica las siguientes expresiones: a) 3x
2
2
2
3x 2
b) x
2
5
2
x2 5
2
2
c) a b
2
1 a 2 b2
7
3. Escribe en los casilleros el dato que falta para que se cumpla las igualdades:
a)
2
5x
x2 10 x 1
2
9 x2
b)
5
c)
2
4
4a2
4. Resuelve: a)
x 3 x2 9 x 3
b)
1 5y 1 5y
2 y 5 y 6
5. Relaciona correctamente: 2
(
)
x 2 3x 70
(
)
9 x2 4
3x 2 3x 2
(
)
x2 10 x 25
x 7 x 10
(
)
4 x2 4 x 1
a)
x 5
b)
2x 1
c) d)
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2 2 Cocientes Notables: a b entre a b
I. CASO
a2 a
b2 b
Ejm: Extraemos la raíz cuadrada al numerador. Observamos que el denominadores el resultado de la raíz cuadrada del numerador.
a
b
x 2 16 x 4 100 x 4 169 y 2 10 x 2 13 y
II. CASO
2
a b a b
x 4 10 x 2 13 y
Ejm:
x 2 64 x 8
2
a b
121x 4 225 y 2 11x 2 15 y
x 8
11x 2 15 y
Ejercicios
1. Realiza las operaciones sobre cocientes notables: a) 4 x 6 64 2 x3 8
c) 9 x 6 49 3x3 7
e) 9 x8 49 3x 4 7
b) 16 x 4 36 4 x2 6
d) 25 x12 81 5x6 9
f) 81x12 9 9 x6 3
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Cocientes Notables: a3 b3 entre a b
I.
CASO
a3 a
b3 b
a2
ab
b2
Ejm: Extraemos la raíz cúbica al numerador. Observamos que el denominador es el resultado de la raíz cúbica del numerador. Aplicamos la fórmula correcta.
x3 64 x 4 125 x 3 343 y 3 5x 7 y
II. CASO 3
a b a b
x2
4 x 16
25 x 2
35 xy
49 y 2
Ejm:
z 3 1000 z 10
3
a2
ab b 2
216 x 3 8 y 3 z 3 6 x 2 yz
z2
10 z 100
36 x 2 12 xyz
4 y2
Ejercicios 1.
En tu cuaderno resuelve las siguientes cocientes notables: a)
8 x3 1 2x 1
b)
27 x 3 8 3x 2
c)
d)
64 y 9 1 4 y3 1
e)
125m12 n3 5m3 n
64 y 3 8 z 3 3x 2 z
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades indicadas, trata de hacer un repaso. Luego intercambien los ejercicios para confrontar sus resultados obtenidos, en caso de error no borres realiza la corrección al costado y realiza una tabla de valoración: aciertos, no aciertos, no realicé.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Desarrolla los ejercicios por simple inspección: ¡Tú puedes, ten confianza!
3
a.
a 2 2b
b.
7a2b3 5x4
c.
5x2 3
d.
xa 1 8 xa 1 9
2
=
3
2. Reduce las siguientes expresiones: a)
x 3
b)
x
2
y 2
x 3 2
2
x y 2
2
3. Calcula por simple inspección:
a)
4 x2 9 = 2x 3
b)
y 2 125 = y 5
c)
m6 27 = m2 3
4. Encuentra el segundo término de:
x12 343 x4 7 5. Hallar el coeficiente menor:
a) 64 x9 1 entre 4 x3 1
b) 125m12 n3 entre 5m4 n
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Proyecto: “Elaborar un juego de memoria”
Todo sobre productos notables: http://www.vitutor.net/1/6.html
Responsables: tutor y estudiantes.
Todo sobre cocientes notables: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/cnota b4.htm
Objetivo: Realizar un juego de memoria con los casos de cocientes notables. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un juego de memoria en tarjetas de 4 cm por 6 cm.
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07
GEOMETRÍA PLANA: RECTAS Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con las rectas paralelas y perpendiculares en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar rectas paralelas y perpendiculares. Conocer su denotación simbólica. Resolver los diversos casos con rectas paralelas y perpendiculares.
Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? 1. Observa el siguiente croquis del Distrito de San Juan de Miraflores. (Lima)
Fuente:http://www.guiacalles.com/calles/index.htm?ID=3013&XC=475&YC=25
a) b) c) d)
Busca 2 calles que se cruzan. Menciona 2 calles que no se cruzan. ¿La calle Timorán, cruza con qué calle? ¿La calle Buenaventura Aguirre se cruza con la calle Genaro Numa Llona?
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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Revisa las páginas del libro Matemática 2do - Editorial Bruño, referente al tema. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Geometría plana Rectas paralelas Rectas perpendiculares
Elementos básicos de la Geometría
ELEMENTO PUNTO
RECTA
PLANO
IDEA DE Se representa con una pequeña cruz y se le designa con una letra de imprenta mayúscula. Se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de minúscula y/o mayúscula. Está compuesto por infinitos puntos
DENOTACIÓN A
COMO SE LEE
EJEMPLO EN EL ENTORNO
Punto A
La marca de un lápiz.
Recta AB
El borde de tu cuaderno.
Recta b b Una tabla de picar.
Plano P
Ejercicios 1. Denota puntos rectas planos según el caso. a) b) c)
.
d)
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2. En el interior del gráfico ubica tres puntos: 2 planos, 5 rectas, 6 puntos con su denotación.
Rectas paralelas Rectas paralelas
a//b Dos rectas son paralelas con el vector dirección o la misma pendiente.
Ejercicios 1. Denota las rectas y establece la relación que existe entre ellas : a)
d)
b)
e)
c)
f)
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Rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares
a b Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares. y
x 4; x
1;3
Ejercicios 1. Denota correctamente las rectas perpendiculares y no perpendiculares. a) b)
d)
e)
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten una función lineal y afín. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Compartan en grupo las dificultades que tuvieron al desarrollar los ejercicios.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Dibuja 4 diseños: un ropero, una silla, una puerta, una cocina y diferencia con colores (rojo) para las rectas paralelas y (verde) para las rectas perpendiculares.
2. Resuelve el siguiente problema: Fernando le pregunta a su padre: ¿Qué tipo de ángulo forman las rectas paralelas y perpendiculares? Realiza un esquema para fundamentar tu respuesta. 3. Coloca V o F según convenga: a) La simbología de rectas paralelas es . b) Una recta paralela y recta una secante se cortan. c) Dos rectas perpendiculares forman 90º. d) En un plano sólo hay dos puntos.
( ( ( (
) ) ) )
4. De cada figura indica un punto, recta y plano.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre rectas paralelas y perpendiculares: http://www.kalipedia.com/tecnologia/tema/trazar-rectas-paralelasperpendiculares.html?x1=20070822klpingtcn_141.Kes&x=20070822klpingtcn_142.Kes http://www.uantof.cl/estudiomat/extension/perpendiculares/perpendiculares.html
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EL MUNDO DE LOS TRIANGULOS Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los triángulos, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identifica la clasificación de los triángulos. Aplicar las propiedades de los triángulos. Calcular el área y perímetro de un triángulo.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? HISTORIA DEL TANGRAM El Tangram es un juego milenario de la antigua China, que se remonta aproximadamente a los años 618 a 907 de nuestra era, en que reinó la dinastía Tang, El “Chi Chiao Pan” (Juego de los siete elementos) o Tangram tiene varias versiones de su origen, la más aceptada es la que lo inventó un inglés la unir dos vocablos, el cantones tang que significa chino y el latín gram escrito o gráfico. Se desconoce quien lo inventó pero se sabe que era muy popular en China esto basadosen las primeras publicaciones del siglo XVIII. En este mismo siglo llegó a Europa y América, con la denominación de “rompecabezas chino”, el cual se volvió muy popular. El tangram, se obtienen al fraccionar una figura plana y que pueden acoplarse de diferentes maneras para construir distintas figuras geométricas. Además EL TANGRAM se constituye en un material didáctico ideal para desarrollar habilidades mentales, mejorar la ubicación espacial, conceptualizar sobre las fracciones y las operaciones entre ellas, comprender y operalizar la notación algebraica, deducir relaciones, para introducir conceptos de geometría plana, fórmulas para área y perímetro de figuras planas. Fuente: http://www.docente.mendoza.edu.ar/matematica/tangram.htm http://www.eleducador.com/ecu/documentos/1767_tangram1.pdf
RESPONDE CON UN COMPAÑERO QUE TU LO ELIGAS 1. ¿Cuántas piezas tiene el tangram? ………………………………………………………………… 2. ¿Cuántos triángulos hay? ¿Cómo son? Descríbelas ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………. 3. ¿Qué significa tangram? …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….. 4. ¿Qué contenidos matemáticos se pueden trabajar con el tangram? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5. Construye tu propio tangram a partir de un cuadrado de 8 cm de lado.
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente al triángulo, clasificación, propiedades y es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Triángulos Ejercicios sobre área y perímetro, construcción de triángulos.
Triángulos: Elementos y clasificación. CONCEPTO: Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Sus elementos son: lados, vértices y ángulos.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: A) Según sus lados: Equilátero: 3 lados iguales. Isósceles: Dos lados iguales. Escaleno: 3 lados desiguales. B) Según sus ángulos: Acutángulo: tres ángulos agudos. Rectángulo: un ángulo recto. Obtusángulo: un ángulo obtuso.
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Propiedades del triángulo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.
En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos.
Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.
La suma de los ángulos externos de todo triángulo es 360º.
Un lado de un triángulo es MENOR que la suma de los otros dos y MAYOR que su diferencia. a < b + c a > b - c Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
2
2
2
a b Teorema de Pitágoras: h Ejm: ¿Cuál es el área y el perímetro de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 6 cm y su hipotenusa mide 10 cm? Sol: a=6cm h=10cm
SOLUCIÓN: Se necesita saber la altura del triángulo, aplicamos 2 2 pitágoras: 10 6 b2 2
100=36+b b=8 Sabiendo la altura podemos calcular el área y el perímetro: 6cmx8cm A 24cm2 P=6cm+8cm+10cm=24cm 2
Ejercicios 1. Resuelve los siguientes ejercicios: a) Construir razonadamente el triángulo ABC conociendo: lado a: 75mm ángulo B: 60º; ángulo A: 75º 2. Dibuja un triángulo PQR, mide los lados. ¿Qué triángulo obtuviste? P(2;0) Q(7;0) R(3;7)
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Área y perímetro del triángulo. Construcción
Área del triángulo:
Ejm: Hallar el área y el perímetro de:
bxh 2
Área del triángulo equilátero:
l2 3 4
Perímetro del triángulo: Es la suma de todos los lados del triángulo. Teorema de Pitágoras: h 2 a 2 b 2
A
11cmx7cm 2
38,5cm2
P=11cm+11cm+7,5cm=29,5cm
A) Conocidos un lado y sus B) Conocidos dos lados y el C) Conocidos los tres ángulos adyacentes. ángulo opuesto a uno de ellos. lados. Construir un triángulo con un lado de 7 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°. Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de ángulos, dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los ángulos, obtenemos el tercer vértice.
Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño. Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5 cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la figura adjunta.
Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm. Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer vértice.
¿Qué aprendimos hoy? 1.
Una vez que has terminado de conocer más sobre los triángulos referidos a sus propiedades, área, perímetro y construcción estás en condiciones de resolver las actividades indicadas.
2.
Ten a tu alcance los instrumentos y materiales para la resolución de lo solicitado. Recuerda en caso de error, vuélvelo a desarrollar y detecta donde te equivocaste.
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08
¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 430 y 1050. Seleccione una respuesta: ¡Tú puedes, ten confianza! a) 60 b) 32 c) 42 2. ¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una respuesta: a) Rectángulo
b) Acutángulo
c) Obtusángulo
3. Señala con qué ternas de longitudes se puede construir un triángulo y cuales no.
a=8 cm, b=7cm y c=1cm
4.
a=6cm, b=6cm y c=13cm
a=2cm, b=5cm y c=6cm
Calcula el valor de x 1200
x
1000
134º
x
5. Resuelve las siguientes situaciones: a) Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 10 m. b) En un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 5 cm, se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales y su longitud es 4 cm. Calcula el área del triángulo.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Proyecto: “Concurso: Elaborar un crucigrama”
Todo referente a triángulos: teoría. http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangul os.htm
Responsables: tutor y estudiantes.
Todo referente a triángulos: Ejercicios http://www.xtec.es/~smuria/projecte/act8ex.
Objetivo: Recordar todo referente al triángulo mediante el juego de un crucigrama. Tareas: Cada pareja de alumnos elaborará un crucigrama en una hoja bond con solucionario.
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5
09
SEMEJANZA DE LOS TRIANGULOS Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la semejanza de los triángulos, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Identificar si dos triángulos son semejantes. Conocer los criterios de semejanza de triángulos. Resolver situaciones propuestas aplicando los criterios de semejanza.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Observa en forma detenida los siguientes pares de gráficos y responde:
Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 ¿Qué puedes decir de los gráficos observados? ¿Es común observar estos casos en nuestra vida diaria? ¿Tienen la misma forma y tamaño? ¿Qué pasa con el tamaño de cada par de figuras? ¿Qué puedes afirmar? ¿Son iguales? ¿Son parecidos? ¿Son iguales? Como verás estos pares de objetos en algunos casos han aumentado su………………………. y en otras casos ha…………………..su tamaño cuando esto ocurre se dice que son semejantes. Semejanza en la vida cotidiana En los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros. Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.
Semejanza en Matemática El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos la congruencia y semejanza de triángulos y es importante recordar : Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Proporcionalidad Semejanza de triángulos. Ejercicios.
Definición de semejanza de triángulos:
DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Es decir: dos triángulos son semejantes si los ángulos interiores homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. B
A=
A’;
B=
B’;
C=
C’
10 6 C
B’
a a'
b b'
c c'
2
5
3 C’
4
8
A
A’
TEORÍA FUNDAMENTAL. Toda un=ladoB’de; un triángulo, A = paralela A’ ; a B C = C’ forma con los otros dos lados de un triángulo parcial semejante al total.
ABC
DBE
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09
Teorema fundamental de semejanza I. CASO: CRITERIO รกngulo - รกngulo ( A - A ) Si dos รกngulos de un triรกngulo son congruentes a dos รกngulos de un segundo triรกngulo, entonces estos dos triรกngulos son semejantes. Es decir , en los triรกngulos ABC y DEF :
C F
A= D y
B=
Entonces: ABC
E
DEF
D
E
A
B
II. CASO: CRITERIO lado - รกngulo - lado ( L .A .L ) Dos triรกngulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes el รกngulo comprendido entre ellos. A
Si A AC DF
Dy AB DE
Entonces:
B
C D
ABC
DEF E
F
III. CASO: CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . ) Dos triรกngulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Si
AB DE
BC EF
Entonces:
A
AC DF
ABC
B
C D
DEF
E
F
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Ejercicios EJEMPLOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS. A
1. Según la figura, si AB // DE , ¿Es ABC DCE ? AB // DE , entonces Si D = B (alternos internos entre paralelas) y E = A (alternos internos entre paralelas). Por lo tanto: ABC DCE
B
C
D
E
2. ¿Son semejantes los triángulos? Como 15 10
12 y ademas 8
Entonces:
CRJ
R=
B
B = 35º
8
Q
35º 10
LBQ
C
L
15
35º
12
R
J
3. ¿Son semejantes los triángulos TMQ y CJX?
T
18
12 15
Q
Como
18 12
Entonces:
12 8 ABC
15 10
J
M
10
8 C
X 12
3 2 DEF
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09 Semejanza en triángulos rectángulos
1.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
c c'
2. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
b b´
c c´
3. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
a a´
b b´
Ejercicios 1. Pon en práctica lo aprendido sobre semejanza. Haz uso de los instrumentos de medición. a) Dado los triángulos ABC entre los ángulos y los lados.
DEF. Dibuje ambos triángulos y establezca la correspondencia
2. Los lados de una parcela triangular miden 6 m, 9 m ,12 m. Si la razón de semejanza con otra parcela triangular es 2/3. ¿Cuánto miden los lados de la otra parcela?
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades indicadas, trata de hacer un repaso. Luego intercambien los ejercicios para confrontar sus resultados obtenidos, en caso de error no borres realiza la corrección al costado y realiza una tabla de valoración: aciertos, no aciertos, no realicé.
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09
¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? ¡Tú puedes, 1) Aplica el concepto de semejanza en los siguientes casos.
ten confianza!
a) Una fotografía de ancho 6, 5 cm y largo 10, 5 cm se amplía a un ancho de 13 cm. ¿Cuál será el largo? ¿Cuántas veces se amplió el área? b) Otra ampliación de la fotografía anterior tiene un ancho de 9, 75 cm. ¿Cuántas veces se amplió? ¿Cuál es el largo? 2) En las figuras siguientes, empléese la información dada para determinar si las parejas de triángulos son o no, semejantes. En caso positivo establecer cual criterio lo confirma.
3) Resuelve las siguientes situaciones: a) Un barco mide 250 metros de largo. Otro barco menor semejante a él mide 2/5 de largo respecto del grande. ¿Cuánto mide de largo el barco menor? b) ¿Es posible que dos triángulos rectángulos sean semejantes, si el primero contiene un ángulo que mide 85º y el segundo uno de 100º? ¿Por qué? c) La foto de frente de un edificio tiene 4, 6 cm por 6, 9 cm, si el largo del edificio tienen 20 m ¿Cuál es su altura?
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Todo sobre semejanza de triángulos: http://matematicahumbertoluna.blogspot.com/se arch/label/SEMEJANZA%20DE%20TRIANGULOS Todo sobre semejanza de triángulos. Ejercicios http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matema tica/Geometria/semejanza-de-triangulos.pdf
Proyecto: “Figuras semejantes en la vida cotidiana” Objetivo: Aplicar el concepto de semejanza en el entorno. Acciones: Coordina con 2 compañeros tuyos elegir cualquiera de las opciones propuestas tomen fotografías elaboren maquetas, reproduzcan imágenes en cuadrículas y/o mapas a una escala 1/50 referidas a tu entorno (casa, colegio, etc.).
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POLIEDROS - CLASIFICACIÓN Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los prismas, cubos, pirámide, clilindro, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Distinguir los principales elementos y características de los poliedros. Diferenciar, prismas, pirámides y cuerpos redondos(cilindro). Calcular el área y volumen de prismas, pirámides y cilindros.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Las fechas más comerciales que se conocen son: Día de la Madre y Navidad, son motivos para poder realizar un regalo a los seres más queridos. Nos esmeramos en darle lo mejor. Un aspecto es la envoltura existen muchas maneras de envolver regalos. Las cajas de regalo no se dejan de esperar. RESPONDE: ¿Qué formas de cajas conoces? ¿Sólo en cajas decorativas se dan regalos? ¿Puedes elaborar una caja decorativa Observa la imagen e indica que forma tienen la base de las cajas. ¿Todas son iguales? ¿Qué nombre recibe matemáticamente las cajas? Por otro lado nuestro quehacer diario consiste en estudiar, trabajar, etc. y empleamos objetos que nos permiten realizar diversas actividades. ¿Qué objetos de los observados usas con más frecuencia? ¿Por tu zona, cómo venden el agua? ¿Qué jugo te gustamás? ¿Para qué sirve el tubo PVC? ¿Qué nombre recibe matemáticamente los objetos? ¿Qué horario celebra la misa en tu zona? Responde: ¿Qué entiendes por?: PRISMA
CILINDRO
PIRÁMIDE
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente al triángulo, clasificación, propiedades y es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Prismas Pirámides Cilindro
Prisma-cubo: Elementos y clasificación:
CONCEPTO: Los prismas son cuerpos poliédricos que tienen por bases dos polígonos iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Sus elementos son: lados, vértices, arista, cara lateral, base.
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS: El prisma triangular tiene como base un triángulo. El prisma cuadrangular, un cuadrilátero. El prisma pentagonal, un pentágono. El prisma hexagonal, un hexágono.
CÁLCULO PARA HALLAR EL ÁREA LATERAL, TOTAL Y VOLUMEN DEL PRISMA Área lateral AL
PB
h
Área de la base
A B
p ap 2
Área total AT
2 AB
AL
Volumen V
AB
h
EJEMPLO: Un prisma recto tiene por base un triángulo equilátero cuya área es 4 3 cm2. Si la altura del prisma mide 6 cm. ¿Cuál es su área total? Determinemos cuanto mide la arista de la base:
AB
l2 3 4
Área lateral: AL Área total: AT
l2 3 l 2 16 l 4cm 4 PB h 12cm 6cm 72cm 2
4 3
2 AB
AL
2 4 3
72cm 85,86cm2
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Pirámide CONCEPTO: Es un poliedro cuya base es un polígono cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común. Sus elementos son: - Lados - Vértice - Arista - Apotema de la base - Apotema de la pirámide CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS: De acuerdo a su base puede ser: P.triangular
P. Pentagonal P.Cuadrangular
CÁLCULO PARA HALLAR EL ÁREA LATERAL, TOTAL Y VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
Área lateral
AL
PB Ap 2
Área de la base
Área total
Área del polígono
A
AT
B
AL
base.
Volumen
AB
V
AB h 3
EJM: La base de una pirámide es un hexágono regular de 6 cm de lado. Si el apotema de la pirámide mide 12 cm. ¿Cuál es su área total? Calculamos el área de la base (es un hexágono): AB Hallamos el área lateral: AL
-Hallamos el área total: AT
AL
PB Ap 2 AB
36 12 2
PB ap 2
36 x3 3 2
54 3
216
54 3 216 = 54 3 216 =309,53cm2
Ejercicios 1. Resuelve los siguientes ejercicios: a) ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular si el lado del triángulo mide 14 m y la apotema de la pirámide 17 m? b) Calcular el volumen de una pirámide de altura 15 cm, sabiendo que su base es la tercera parte de la altura.
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Cilindro-Elementos. Área y volumen
CONCEPTO: Es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. LOS ELEMENTOS SON: Eje: Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Bases: Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje. Altura: Es la distancia entre las dos bases. Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro. La generatriz del cilindro es igual a la altura. h=g OBJETOS EN FORMA DE CILINDRO
CÁLCULO PARA HALLAR EL ÁREA LATERAL, TOTAL Y VOLUMEN DEL CILINDRO Área lateral AL=2πrg AL=2πrh
Área de la base πr
A
2
B
Área total AT
2 B +AL
AT= 2(πr2)+2πrg AT=2πr(r+g)
Volumen V=πr2h V=πr2g
EJM: Calcula el área total y el volumen de un cilindro de radio 0,5 m y altura 2,75. 2
CÁLCULO DEL ÁREA LATERAL: AL=2πrh 2(3,14)x0, 5mx2, 75m=8, 6350m =8,64 m 2 CÁLCULO DE LA BASE: A πr (3,14)(0,5m)2=0,7850m2=0,79 m2
2
B
CÁLCULO DEL ÁREA TOTAL: AT
2 B +AL
2(0,79 m2)+ 8,64 m2=10,22m2
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de conocer más sobre los poliedros más conocidos referidos a su área, volumen y construcción estás en condiciones de resolver las actividades indicadas. Ten a tu alcance los instrumentos y materiales para la resolución de lo solicitado. Recuerda en caso de error, vuélvelo a desarrollar y detecta donde te equivocaste.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. COMPLETA LOS ESPACIOS EN BLANCO, SEGÚN CONVENGA: a) b) c) d) e)
¡Tú puedes, ten confianza!
Un prisma tiene siempre 2…………iguales. La generatriz es un elemento del………………………… La pirámide tiene 2……………….., de la……….y……………de la……………………… En el……………………..la……………………..es lo mismo que la…………………………….. la base de todo cilindro es un…………………………………
2. RESUELVE CADA SITUACIÓN PROPUESTA, GRAFICA EN CASO DE SER NECESARIO. a) Las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son 4 m y 3 m de base y 7 m de altura. Halla el área lateral en m2. b) Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m c) Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.
d) Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
e) Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125,66 cm. Calcular el volumen.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo referente a poliedros: Teoría. http://www.aplicaciones.info/decimales/geoes0 4.htm http://www.uensc.com/cuerposgeometricos.html#cuerpo Todo referente a poliedros: Ejercicios http://www.ditutor.com/geometria_espacio/vol umen_cilindro.html http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/P DF/geomesp.pdf
Proyecto: “Concurso: poliédrica”
Elaborar
una
maqueta
Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Identificar los poliedros en el entorno. Tareas: Cada pareja de alumnos elaborará una maqueta con los poliedros estudiados con diseños del tu entorno, casa, colegio y barrio. Antorchas en pequeño.
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios sobre Razones trigonométricas, ángulo de elevación y depresión, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas. diversas.
¿Qué aprenderé hoy
¿Qué materiales utilizaré?
Conocer las razones trigonométricas. Resolver situaciones propuestas aplicando las razones trigonométricas. Resolver situaciones aplicando ángulo de elevación y depresión.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? ANALIZA LA SIGUIENTE SITUACION: Juan es maestro albañil; tiene que construir una barda de 25 m de largo y 5 m de altura. Para que no se caiga, debe colocar a cada 5 m un refuerzo con un ángulo en su base de 75° con el piso, como se muestra en el croquis: El ángulo de inclinación del refuerzo debe ser de 75o. ¿Cómo puede Juan saber cuánto debe estar separado el sostén del muro?
ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
RESPONDE: a) Juan podrá encontrar el resultado aplicando el teorema de Pitágoras? ………………………………………………………………………………………………… b) ¿Qué estudia la trigonometría? …………………………………………………………………………………………………. c) ¿En que campos se emplea la trigonometría? …………………………………………………………………………………………………. d) ¿Qué significa trigonometría? ………………………………………………………………………………………………….
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos sobre razones trigonométricas y ángulos de elevación y depresión y es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Razones trigonométricas. Ángulo de elevación y depresión.
Razones trigonométricas:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados. Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus ángulos de la siguiente forma: El seno de un ángulo, es la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es la cosecante:
sen
cat.opuesto , Csc hipotenusa
Hipotenusa cat.opuesto
El coseno de un ángulo, es la razón entre su cateto contiguo y la hipotenusa. Su inversa es la secante:
cat.adyacente Hipotenusa cos , Sec .adyacente A = A’ ; hipotenusa B = B’ ; C = catC’ La tangente de un ángulo, es la razón entre su cateto opuesto y su cateto contiguo. Su inversa es la contangente:
tag
cat.opuesto , Cotg cat.adyacente
cat.adyacente Generalmente se trabaja con triángulos notables cat.opuesto
de: 300, 450, 600, 370, 530 o en caso contrario con la tabla de valores trigonométricos o la calculadora. EJEMPLO :
TEOREMA DE PITÁGORAS
H
12
H
35
sen cos
12 37 35 37
H2
tan cot
122
352
1369
12 35 35 12
sec csc
37 37 35 37 12
EJEMPLO : Sabiendo que
es un ángulo agudo tal que sen =2/3..... 3
2
Calcular las 6 razones trigonométricas del ejemplo 1.
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Ángulo de elevación y depresión
A) ÁNGULO DE ELEVACIÓN: Es el ángulo formado por la línea visual horizontal y la línea visual hacia el objeto(arriba).
B) ÁNGULO DE DEPRESIÓN: Es el ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto(abajo).
OBSERVA AMBOS ÁNGULOS: Elevación y Depresión
CASOS: Para resolver triángulos rectángulos se nos pueden presentar cualquiera de los dos casos siguientes: A) Los dos datos conocidos son: 2 lados. En este caso nos interesa saber el ángulo formado por los lados. Estaríamos calculando tangente de dicho ángulo.
B) Los dos datos conocidos son: 1 lado y un ángulo agudo. En este caso se trabaja relacionando los 2 datos, identificando si es ángulo de elevación o ángulo de depresión.
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Ejercicios CASOS RESUELTOS 1. Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 150. ¿A qué distancia del faro está la embarcación? Solución: Lo primero que tenemos que hacer es dibujar el triángulo que se forma con los datos del problema. Por ser un ángulo alterno interno trabajamos con 150 como ángulo de elevación. PUEDES EXPRESAR ASÍ: (Es una manera práctica) Existen otras formas.
Razón Trigonométrica (en referencia al ángulo asignado) =
Cotg (15º )
x 120m
3, 7321
120cm
L.Desconocido L.Conocido
3, 7321 120cm 447,852cm
Respuesta: La distancia del barco al faro es entonces, aproximadamente de 448 metros. 2. Encontrar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de un observador al extremo superior del mismo es 320 y la distancia del observador a la cúspide es de 87 m Solución: Dibujando el triángulo.
APLICAMOS LA RELACIÓN PRÁCTICA Sen 320
x 87m
0,5299
87m
0,5299 87m
46,10m
Respuesta: La altura del árbol, aproximadamente es de 46 metros.
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades indicadas, trata de hacer un repaso de los ejercicios. Luego intercambien los ejercicios para confrontar sus resultados obtenidos, en caso de error no borres realiza la corrección al costado y realiza una tabla de valoración: Aciertos, no aciertos, no realicé.
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1. TE PRESENTO UN RETO:
¡Tú puedes ,ten ¿A qué ángulo se refiere el gráfico? ¿Qué pasos debes seguir? Indícalo confianza!
2. GRAFICA CADA SITUACIÓN Y RESUELVE LO SOLICITADO. COMPRUEBA LA RESPUESTA A) Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 570. Calcular la altura de la torre. R/207,88. B) Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40 m de la base de la antena. Si el alambre hace un ángulo de 580 con el suelo, encuentre la longitud del alambre. R/75,48. C) Desde la azotea de un edificio a 10m de altura, una persona observa a un niño. Si el ángulo de depresión del observador es de 250. Hallar la distancia del niño a la base del edificio. R/ 21,45. D) Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165 cm de estatura proyecta una sombra de 132 cm de largo a nivel del suelo. R/510. E) Un constructor desea construir una rampa de 8 m de largo que se levanta a una altura de 1,65 m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo de la rampa con la horizontal. R/120. F) Un avión está volando a una altura de 10 000 m. El ángulo de elevación desde un objeto en la tierra hacia el avión mide 300. ¿Qué tan lejos se encuentra el objeto del avión? R/20 000.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre razones trigonométricas, ángulo de elevación y depresión. Teoría http://www.aulafacil.com/matematicastrigonometria-plana/curso/Lecc-6.htm Todo sobre razones trigonométricas, ángulo de elevación y depresión Todo Ejercicios. http://www.vitutor.com/al/trigo/triActividades. html#uno http://www.matebrunca.com/Contenidos/Mate matica/Trigonometria/angulo-elevac-depres.pdf
Proyecto: “Elaboración de situaciones del entorno” Responsables: Tutor y alumno. Objetivo: Reforzar referente al tema tratado, ángulo de elevación y depresión. Tareas: En un folder registrar 10 situaciones creadas por tí(de tu entorno) sobre ángulos de elevación y depresión. Propuesto y resuelto y entregar en un folder.
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SISTEMA SEXAGESIMAL Y RADIAL Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las medidas de ángulos sexagesimales y radián, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Realizar operaciones con medidas angulares. Diferenciar el sistema sexagesimal y radial. Formula las equivalencias entre las unidades del sistema sexagesimal y el sistema radial.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Observa las imágenes y responde: a) ¿Cuántos grados está inclinado el vaso? b) ¿Cuánto es el ángulo de inclinación de la botella con respecto al eje horizontal. c) ¿De qué otra manera se puede expresar dicha inclinación de la botella? d) Se lee 450…………………………………………. e) ¿Es correcto decir 450=π/4? f) ¿Qué sistemas de medidas de ángulos conoces? Observarás también situaciones como:
RESPONDE: ¿Qué hora marca el reloj? Fig. 1 ¿De qué otra forma se puede expresar 45o, 60o, 90o y 180o? Fig. 2 Hoy estudiaremos el Sistema Sexagesimal y Radial.
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente al triángulo, clasificación, propiedades y es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Sistema sexagesimal. Ejercicios Sistema radial. Ejercicios
Sistema de medidas angulares: Sexagesimal
Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radián. SISTEMA SEXAGESIMAL: Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos sexagesimales. El grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. • Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° = 60' • Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60" ¿CÓMO SE OPERA EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL? Para operar en el sistema sexagesimal debemos tener en cuenta que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior. 1h 60 min 60s 1O 60’ 60’’ ¿QUÉ OPERACIONES SE PUEDE REALIZAR? SE PUEDE SUMAR, RESTAR MULTIPLICAR Y DIVIDIR. Se disponen los grados, minutos y segundos debajo, y alineados se suman.
32 24 ' 48 '' 43 49 ' 25 '' 75 73'73" Si los segundos suman más de 60 se divide dicho número entre 60, el resto serán los segundos y el cociente se sumará a los minutos.
Pasa a minutos las siguientes medidas de ángulos. a) b) c) d) e) f)
7° = 7 x 60 = 420' 15° = 28° = 34° = 34° 12' = 34 x 60 + 12 = 26° 7' =
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Operaciones entre ángulos en el sistema sexagesimal Se restan los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, pasamos un minuto del minuendo a 60‘’ segundos y se lo sumamos a los segundo del minuendo.
MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO Se multiplican los segundos, minutos y horas por el número.
Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60, el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. Lo mismo con los minutos.
DIVISIÓN DE UN NÚMERO Dividir 37048’25’’ entre 5 Se divide las horas(o grados) entre el número. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
Ejercicios 1 . Realiza las siguientes sumas: a) 68º 35' 42'' + 56º 46' 39'' b) 5 h 48min 50 s + 6 h 45 min 30 s + 7 h 58 min 13 s c) 6 h 13 min 45 s + 7 h 12 min 43 s + 6 h 33 min 50 s 2 . Halla el ángulo complementario y el suplementario de 3 8 0 3 6 ’4 3 ’ ’ 3 . Realiza el producto de: (1 3 2 0 2 6 ’3 3 ’x 5 )
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SISTEMA DE ÁNGULOS RADIAL
RADIANES: En el sistema radial (ó circular) se utiliza la longitud del arco como medida del ángulo. La unidad de medida se denomina radián. Un radián es la medida de un ángulo central que abarca un arco cuya longitud es igual a la longitud del radio de la circunferencia considerada. El sistema radial es muy utilizado en física ya que es mucho más práctico y directo que trabajar con grados. EQUIVALENCIA ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
Sexagesimales
Radianes
90º
π/2
60º
π/3
45º
π/4
30º
π/6
1. ¿Cuántos radianes mide un ángulo de 45º? Calculamos la proporción:
S 180
S 180
R
45 180
R
R
45 180
R
4
2. ¿Cuántos grados son 2 radianes? Calculamos la proporción:
S 180 Equivalencias S=R
R
2
S
180 2
S
360
3. ¿Cuántos radianes son 60º, 30'? En primer lugar pasamos los minutos a grados utilizando la calculadora: escribimos 60, 30 y el resultado es 60,5º. Ahora hacemos la proporción entre grados y radianes:
180 rad
60,5 rad
x
60,5. 180
60,5.3,14 1, 06 180
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de conocer más sobre los ángulos sexagesimales y radianes estás en condiciones de resolver las actividades indicadas. Ten a tu alcance los instrumentos y materiales para la resolución de lo solicitado. Recuerda en caso de error, vuélvelo a desarrollar y detecta donde te equivocaste.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROPUESTAS.
¡Tú puedes, ten confianza!
1) ¿Cuántos grados son π/3 radianes? 2) Completa la siguiente tabla:
Grados sexagesimales
180º
Radianes
225º /2
60º 3 /2
45º /6
3) ¿Cuántos grados son π/3 radianes? 4) 90º sexagesimales equivalen a: …..Radianes 5) Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos: a. b. c. d. e.
56º 20' 40" + 37º 42' 15" 125º 15' 30" + 24º 50' 40" 125º 15' 30" - 24º 50' 40" 125º 15' 30" x 2 24º 50' 40" x 3 f. 37º 42' 15": 4 6) Reducir al sistema sexagesimal.
a) 3/2 πrad
b) 2/5 πrad
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo referente a ángulos sexagesimales y radianes: Teoría. http://www.vitutor.com/di/m/b_1.html Todo referente a ángulos sexagesimales y radianes: Ejercicios http://www.iessandoval.net/descartes/1y2_eso/ Medicion_de_angulos/angulos3.htm http://www.genmagic.net/mates2/gs1c.swf http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigon ometria/ap03_medidas_angulares.php
c) 3 πrad
Proyecto: “Medidas en grados sexagesimales y radial” Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Reforzar y saber las equivalencias de un ángulo sexagesimal y radial. Tareas: Hacer un listado con su respectivo gráfico de situaciones de tu entorno que se miden en grados sexagesimales, radial y centesimal.
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las identidades trigonométricas, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Reconoce las identidades trigonométricas. Reduce ejercicios aplicando las identidades trigonométricas. Resuelve identidades trigonométricas.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Observa el siguiente gráfico responde a las siguientes preguntas:
UN RETO: Si sen θ=y/z ¿Cuánto es Csc θ? Reemplaza y calcula: Sen θ Csc θ= ¿…..? Hoy estudiaremos igualdades similares que se denominan Identidades Trigonométricas.
a) ¿Qué tipo de triángulo es? ………………………………………………………………………… b) ¿Qué teorema se cumple en dicho triángulo? …………………………………………………………………………… c) ¿Qué determina el ángulo θ? …………………………………………………………………………… d) ¿Cómo se llama la razón que relaciona x/y? ………………………………………………………………………… e) ¿Qué representa x con respecto al ángulo θ? …………………………………………………………………………… f) ¿Qué representa y con respecto al ángulo θ? …………………………………………………………………………… g) Halla las 6 R.T de dicho triángulo. ……..... , …………., ………… ,…………. , …………., …………
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran razones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen razones trigonométricas. SON DE 3 TIPOS: Identidades recíprocas. Identidades por cociente. Identidades pitagóricas.
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente al triángulo, clasificación, propiedades y es importante recordar : Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Triángulo rectángulo Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas: Recíprocas
CONCEPTO: Las identidades recíprocas se caracterizan porque al multiplicar por su inversa su resultado es 1.
Sen
Csc
1
Cos
Sec
Tag
1
Senα=1/Cscα
Cotg
Cosα=1/Secα
1
Sen
1 Csc
A partir de estas igualdades se puede despejar muchas más. A continuación un cuadro resumen:
Identidades Recíprocas sen csc
1 csc 1 sen
tan
cos sec sen cos
1 sec 1 cos
tan cot
cot
1 cot 1 tan
cos sen
Estas identidades se cumplen para cualquier ángulo denominador no sea cero.
para el cual el
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Identidades trigonométricas: Por Cociente
CONCEPTO: Las identidades trigonométricas por cociente se caracterizan porque se relacionan las razones trigonométricas Seno y Coseno.
Sen Cos
y r x r
yr xr
x r y r
Cos Sen
y x
tag
xr yr
x y
Tag
Cotg Cotg
Sen Cos
Cos Sen
RECOMENDACIONES: Trabajar con el miembro más complicado. Tratar en lo posible transformar en función de seno y coseno. Aplicar tus habilidades matemáticas.
Ejm:
1) SenA CotgA CosA CosA SenA CosA SenA
En el primer ejercicio trabajamos con identidad por cociente.
Cos A=Cos A 2) CosA CscA
CtgA
1 CtgA SenA = SenA
En el segundo ejercicio aplicamos identidades por cociente y recíproca
Ctg A=Ctg A
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Identidades trigonométricas: Pitagóricas CONCEPTO: Las identidades trigonométricas pitagóricas se obtienen por el teorema de Pitágoras:
r2
(A)
x2
y2
Dividiendo la igualdad (A) entre r2, aplicando la propiedad de las igualdades: "Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:
r2 r2
x2 r2
y2 x2 simplificando 1= r2 r2
x r
Cos
y además
y r
y2 . Se puede escribir como: 1 r2
Cos 2
2
y r
2
y como:
Sen
Se llega a la forma:
Sen2
x r
Identidades Trigonométricas
1
Relaciones Pitagóricas
Cos Sen
2
2
1 Sen 1 Cos
sen2 cos2
2
tan 2
2
1 cot2
Ejm: 1 Cos 2 A Sen 2
1
1 sec2 csc2
Ctg 2 A Cos 2 A
Cos 2 A Sen 2 A Cos2A=Cos2A
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de conocer más sobre las identidades trigonométricas, estás en condiciones de resolver las actividades indicadas. Ten a tu alcance los instrumentos y materiales para la resolución de lo solicitado. Recuerda en caso de error, vuélvelo a desarrollar y detecta donde te equivocaste.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1.
A)
RESUELVE LAS SIGUIENTES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ESPECIFICA QUE IDENTIDAD EMPLEAS.
2
2
1 Cos A 1 tg A
2
Tg A
2
2
Sen 2 A 1
2
2
Sec 2 A 1
B) Sen A Ctg A
C) Sen A Sec A
2
2
D) Tag A Ctg A
Sec 2 A Csc 2 A
E) SecA TagA SenA
2
F) Tag A
Sec 2 B
¡Tú puedes, ten confianza!
CosA
Sec 2 A Tag 2 B
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Proyecto: “Confección de dominó de identidades trigonométricas”.
Todo referente a identidades trigonométricas: Teoría. http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%2 0trigonometricas.pdf Todo referente a Identidades Trigonométricas: Ejercicios http://www.vitutor.com/al/trigo/trigoActividades. html
Responsables: Tutor y estudiantes. Objetivo: Recordar todo referente a Identidades trigonométricas. Tareas: Cada pareja de alumnos elaborará un juego de dominó con el tema de Identidades trigonométricas.
5
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LOS DATOS EN LOS HISTOGRAMAS Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las variables discretas y los histogramas, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Diferencia una variable cualitativa y cuantitativa. Construye histogramas a partir de un conjunto de datos organizados. Organiza los datos en intervalos en una tabla de frecuencia.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Hoy en día vemos que los medios de comunicación nos ofrecen información no sólo a través de escritos, sino también por medio de gráficos. Por ejemplo: Hoy en día nos ofrecen los resultados de los candidatos favoritos para la alcaldía en la provincia de Lima.
Pero también podemos recibir informaciones como: CASO 1 EL PESO DE UN GRUPO DE ALUMNOS
CASO 2 EL GRUPO DE SANGRE DE ALUMNOS
Responde: 1. ¿Qué tipo de variable se analiza en el primer y segundo caso? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ¿Cuántas personas fueron encuestadas en el primer caso? ¿Donde extraes dicha información? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Observando la tabla de datos en ambos casos. ¿Cómo están organizados dichos datos? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ¿Qué informaciones podrías registrar en una tabla y graficar? Da 3 ejemplos. …………………………......................................................................................................................
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente a la variable discreta y el histograma: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resume indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Variables discretas y continuas. Gráficos estadísticos. Histograma. Marca de clase.
Nociones preliminares CONCEPTO DE VARIABLE: Característica o característica de una población susceptible de ser medida. Existen 2 grandes grupos de variables VARIABLE CUANTITATIVA Son las que se expresan en forma numérica. DISCRETAS: Cuando asumen valores enteros. Ejm: El número de goles. CONTINUAS: Aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números Ejm: La altura de los 5 amigos: 1,73cm; 1,82cm; 1,77cm; 1,69cm; 1,75cm.
VARIABLE CUALITATIVA Son las que se expresan a través de características y cualidades y no se pueden expresar en números NOMINALES: Presenta modalidad no numérica que NO admiten criterio de orden. Ejm: El estado civil: soltero, casado, divorciado. ORDINALES: Presenta modalidad no numérica que SI admiten criterio de orden: Número de orden: 1ro, 2do 3ro.
Como te darás cuenta en los ejemplos iniciales, el caso A analiza una variable cualitativa nominal y el caso 2 variable cuantitativa continua. AHORA VAMOS A ESTUDIAR UN POCO MÁS DE LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA Para un estudio más objetivo se organizan los datos en una tabla de frecuencia que tiene la siguiente estructura. Variable organizada en intervalos
Marca De clase
f
F
h
%
Si se tiene una distribución con un gran número de variables, se suelen agrupar en intervalos para facilitar la comprensión de los datos. Pero se grafica con lo que registra la marca de clase. Intervalo de clase Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados, llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por:
Li Ls Li límite inferior Ls límite superior
Marca de clase (xi) La marca de clase de un intervalo de clase Li Ls Se define como la semisuma de los límites inferior y superior de cada intervalo de clase. Donde: X I Es marca de clase. xi Li Ls
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Organización de datos en intervalos ¿Qué hacer para agrupar datos? A continuación, vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenadamente con los datos de una muestra con variable continua: Recorrido(R)
Dato mayor menos dato menor.
Nro de intervalos
Representado por un número entero conveniente.
Amplitud(A)
Es el ancho del intervalo. A=
Límite del intervalo
Ls =Li + A
Marca de clase(xi)
(xi)=
Li
R I
Ls 2
CASO: Organiza los datos en una tabla de frecuencia y determina el intervalo que contiene el
mayor porcentaje de alumnos. En una prueba de salto largo, las distancias en cm logradas por 40 alumnos fueron las siguientes: 257-248-220-318-240-360-328-317-285-341-260-293-190-253-224-335-216-225-324-326-229-190310-253-273-227-348-353-300-260-249-281-315-317-251-299-325-255-291-357. Recorrido:360-190 R=170 cm Elegimos 5 intervalos: I=5 Amplitud: A=
R I
A=
170 =34 cm 5
Hallamos el primer intervalo: Li =190; Ls =190+34=224 ORGANIZAMOS LOS DATOS EN LA TABLA Distancia cm
Marca de clase
f
F
h
%
190 224
207
4
4
0,10
10
224 258
241
12
16
0,30
30
258 292
275
6
22
0,15
15
292 326
309
10
32
0,25
25
326 360
343
8
40
0,20
20
1
100%
total
N=40
¿Cómo calcular la marca de clase? Xi=
Li
Ls 2
xi
190 224 2
xi
207
RESPUESTA: El intervalo 224 258 contiene el mayor porcentaje de alumnos (30%)
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Histogramas Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se utiliza para variables continuas o variables discretas, con un gran número de datos, y que se agrupan en clase. En el eje de las abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura la frecuencia absoluta de cada intervalo. La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. POLÍGONO DE FRECUENCIA Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo. EJM: El peso de 65 personas adultas registrado en la siguiente tabla. Y su gráfica.
intervalos
50 60
X1 55
f 8
F 8
60 70
65
10
18
70 80
75
16
34
80 90
85
14
48
90 100
95
10
58
100 110
110
5
63
110 120
115
2
65
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.
Una vez que has terminado de conocer más sobre los histogramas, marca de clase, estás en condiciones de resolver las actividades indicadas. Ten a tu alcance los instrumentos y materiales para la resolución de lo solicitado. Recuerda en caso de error, vuélvelo a desarrollar y detecta donde te equivocaste.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? A CONTINUACIÓN TE PRESENTAMOS DIVERSOS CASOS DONDE PONDRÁS EN PRACTICA TODO LO APRENDIDO. 1. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas. a) b) c) d) e) f)
La nacionalidad de una persona………………… Número de litros de agua contenidos en un depósito……………….. Número de libros en un estante de librería……………………… Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados…………… La profesión de una persona…………………………. El área de distintas baldosas de un edificio………………………..
2. Dado el siguiente cuadro estadístico con ancho de clase constante igual a 20. Determine la media de los datos.
Li
Ls
¡Tú puedes, ten confianza!
Xi
fi
X i fi
Fi 35
880 1950 1800
13 200) 4
70
3.
En el curso de Estadística ; se tiene las notas de los alumnos distribuidas según el siguiente histograma de frecuencias, entonces la nota promedio del curso es:
4.
Construir la tabla de frecuencia y dibujar un histograma y el polígono de frecuencias. Los 40 alumnos de una clases se han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de física: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo referente a Histogramas: Teoría. http://cran.r-project.org/doc/contrib/grafi3.pdf http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva /a_2.html Todo referente a Histogramas: Ejercicios http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a _a.html
Proyecto: “Concurso: Elaborar un albúm y crear crucigrama” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Reforzar el tema tratado. Tareas: Busca en periódicos y revistas información graficada en intervalos y realiza un crucigrama referido al tema tratado.
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LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las medidas de dispersión, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Construir la tabla a partir de los datos. Reconoce las medidas de dispersión. Calcula la desviación media y realiza interpretaciones. Calcula la varianza y desviación estándar de un conjunto de datos.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? TE PRESENTO EL SIGUIENTE CASO: Tres postulantes para a un trabajo son sometidos a pruebas de aptitud para probar sus habilidades en 5 situaciones diferentes. El puntaje obtenido en cada prueba se muestra a continuación: PRUEBA Documentación Psicotécnico Raz. Verbal y Mat. Cultura General Entrevista
CARLOS
PEDRO
JUAN
10 9 10 2 4
7 10 2 6 10
8 6 7 6 8
También se sabe que los 3 no pueden ingresar aunque los promedios son iguales pero son distintas en las pruebas. La medida de tendencia central en este caso la media aritmética no nos permite decidir con objetividad a un candidato. Por esta razón estudiaremos hoy un tema de estadística que se llama Medidas de dispersión, el cual nos permitirá decidir con fundamento al mejor candidato.
Responde: a) ¿Cómo se llaman los postulantes? ……………………………………………………………. b) ¿Quién obtuvo el puntaje más alto en la prueba de Psicotécnico? …………………………………………………………………… c) ¿Quién obtuvo el puntaje más bajo en la prueba de Raz. Verbal y Matemático?
……………………………………………………………… ……………………………………………… d) Escribe el puntaje promedio total de cada uno de ellos. …………………………………………………………………… e) ¿Quién obtuvo el primer lugar al finalizar todas las pruebas? ……………………………………………………………………. f) ¿Quién tiene los puntajes más parejos? ……………………………………………………………………. g) ¿Quién tiene puntajes muy distantes? ……………………………………………………………………..
MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media aritmética. Cuando mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad. Cuando menor sea ese valor más homogénea es la distribución. De esta manera se sabe que si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Estas medidas se encuentran el: Recorrido, Desviación media, Varianza, Desviación típica o estándar.
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente al triángulo, clasificación, propiedades y es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Medidas de dispersión: Desviación media, varianza desviación estándar. Frecuencia relativa y frecuencia absoluta. Ejercicios.
Desviación Media: Datos Discretos y Agrupados ¿QUÉ ES LA DESVIACIÓN MEDIA? La desviación media de n datos numéricos es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de las desviaciones de todos los datos con respecto a x . Desviación media para Datos Discretos
xi DM
El promedio de todos es 7:
X
DMCARLOS=
n
CARLOS PEDRO 10 7 9 10 10 2 2 6 4 10
JUAN 8 6 7 6 8
10 7
9 7
10 7
2 7
5
DMCARLOS=3,2 El mismo procedimiento y obtenemos: DMPEDRO=2,4 DMJUAN=0,8 El elegido es Juan por tener el promedio de 7 puntos por prueba, con una desviación muy baja (0,8).
f i xi
Desviación media para Datos Agrupados
DM Calif.
fi
xi
350 400
4
375
239
956
400 450
6
425
189
1134
450 500
9
475
139
1251
500 550
20
525
89
1780
xi
X
4 7
fi
xi
X
X
n
Como dato tenemos que la X 614 Con dicho dato podemos calcular la desviación media. Extraemos datos.
fi
xi
X
12639
Aplicamos la fórmula para datos agrupados:
f i xi
550 600
31
575
39
1209
DM
600 650
80
625
11
880
DM=53
650 700
89
675
61
5429
total
239
n
X
12639 239
52,88
12639
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2
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Varianza: Datos Discretos y Agrupados DEFINICIÓN DE VARIANZA: La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.la varianza se representa por: 2 VARIANZA PARA DATOS DISCRETOS: n 2
n
X )2
(Xi i 1
2
, más simplificado es:
n
2
xi i
X
n
2
Compara la varianza de las notas de Roberto y de Laura. Roberto Laura 2 2 2 2 2 6 13,8 11,7 13,8 15 13,8 17,7 13,8 18,6 13,8 06 12 2 20,99 ROBERTO 11,7 15 5 15 14 2 2 2 2 2 17,7 13 12 13,8 15 13,8 14 13,8 13 13,8 15 13,8 2 1,36 18,6 15 LAURA
5
Las notas de Laura tienen menor Varianza que las de Roberto.
Roberto=13,8
X X
Laura=13,8
VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS: n
n
X )2
fi ( X i 2
i 1
xi 2
, más simplificado es:
n
2
fi
i
X
n
2
Ejm: Se registran las estaturas de los integrantes de dos equipos de Básquet. Calcula la varianza y determina qué equipo está constituido por jugadores de estatura más homogénea. Estatura(cm)
xi
Equipo A fi
162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 Total
8 1 2 1 9 21
fi ( X i
Equipo B
XA)
882 30,25 0,5 20,25 812,25 1745,25
2
fi 2 8 3 5 3 21
fi ( X i
X B )2
180,5 162 0,75 151,25 330,75 825,25
Calculamos la estatura promedio y la varianza de cada equipo. A pesar de que el promedio de las n estaturas es mayor en el equipo A, fi ( X i X )2 1745, 25 observamos que los integrantes 2 i 1 X A 173cm 83 del equipo B tienen una estatura n 21 n más homogénea ya que el valor de fi ( X i X )2 su varianza es menor.
Xb
172cm
2
i 1
n
825, 25 21
39
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Desviación típica o estándar: Datos discretos y agrupados DEFINICIÓN DE DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR: La desviación típica o estándar es la medida de dispersión de uso más generalizado. Es la raíz cuadrada de la varianza y expresa el grado de dispersión de los datos, con respecto a la media aritmética. La desviación típica se representa por . Del caso anterior. Calcula e interpreta la desviación estándar de las notas de Roberto y de Laura.
Varianza para datos discretos: n
2
xi n
i 1
20,99
Roberto
4,58
1,36 1,17
Laura
Se observa que las notas de Roberto tienen mayor desviación que las notas de Laura. Esto se debe a que las notas de Roberto están muy dispersas. (Su mayor nota es 18,6 y su menor nota 06)
X2
Calcular la desviación típica de la distribución:
9 3 8 8 9 8 9 18
9 9
2
3 9
2
X
8 9
2
9 3 8 8 9 8 9 18 8 2
8 9
9 9
2
8 9
2
9
9 9
2
9 18
8
2
3,85
Varianza para datos Agrupados: n i 1
xi
2
n
fi
n
X
fi ( X i
2
X )2
i 1
n
Calcular la desviación típica de la tabla:
[10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80)
xi 15 25 35 45 55 65 75
fi 1 8 10 9 8 4 2 42
xi.fi 15 200 350 405 440 260 150 1 820
Xi2.fi 225 5000 12 250 18 225 24 200 16 900 11 250 88 050
X
1820 43,33 42 88050 43,33 42
2
14, 797
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? I. COLOCA V (VERDADERO) o F (FALSO) SEGÚN CONVENGA La simbología de varianza es 2 . En la desviación media se trabaja con el valor absoluto. La dispersión mide la distribución de los datos. La desviación estándar se trabaja sólo con valores agrupados. La moda es una medida de dispersión.
a) b) c) d) e)
( ( ( ( (
¡Tú puedes, ten confianza!
) ) ) ) )
II. RESUELVE LOS SIGUIENTES CASOS: A) Calcula e interpreta las medidas de dispersión de los siguientes datos que expresan los días de ausencia por enfermedad de 19 trabajadores de una fábrica. 0-2-3-4-2-1-1-0-0-3 B) ¿Cuál de las tablas tendrá mayor dispersión? xi fi
5 2
15 3
25 3
35 2
xi fi
5 1
15 4
25 4
35 1
C) Las edades de 15 integrantes de un equipo de vóley son: 11-12-13-13-11-11-12-12-13-14-12-1312-12 y 12. Calcula la media y la desviación típica. D) Calcula todas las medidas de dispersión para los datos de la siguiente distribución: xi
0 100
100 200
200 300
300 400
fi
90
140
150
120
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Proyecto: “Investigando la dispersión.”
Todo referente a Medidas de Dispersión: Teoría. http://www.vitutor.net/1/estadistica.html
Responsables: tutor y estudiantes.
Todo referente a Medidas de Dispersión: Ejercicios. http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node2 7.htm
Objetivo: Reforzar el tema de medidas de dispersión. Tareas: Busca una libreta de notas del año anterior el tuyo o de un amigo y analiza todas las medidas de dispersión en los 2 primeros bimestres yo trimestres y sacar las conclusiones respectivas.
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LA GRAN COMBINATORIA Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la combinatoria y permutación, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.
¿Qué aprenderé hoy?
¿Qué materiales utilizaré?
Representa permutaciones y combinaciones Discrimina los casos de permutación y combinación. Resuelve situaciones concretas que requieren aplicar permutación y/o combinación.
Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.
¿Cómo empezamos? Te presento una serie de situaciones que se requiere de tu ayuda. CASO A: Juan estaba jugando con su hermanito Carlos en la playa y le propuso el siguiente reto: Se tiene 3 dígitos 4, 5 y 6. ¿Cuántos números diferentes se pueden formar con estos 3 dígitos? CASO B Si estás preparando un sandwich, ¿cuántas posibles combinaciones de dos ingredientes puedes lograr con queso, mayonesa y pavo? CASO C: Quieres visitar las casas de tres amigos: Alex ("a"), Betty ("b") y Carla ("c"), pero no has decidido en qué orden. ¿Qué opciones tienes? COMBINACIONES Y PERMUTACIONES ¿Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso: Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación. Con otras palabras: Una permutación es una combinación ordenada. Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"
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Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos todo lo referente a la combinatoria es importante recordar: Revisarás el resumen de los contenidos a tratar. Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas: Combinación Permutación Ejercicios sobre combinación y permutación.
Permutación: Tipos COMBINATORIA La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos: Permutación y Combinación. CONCEPTO DE PERMUTACIÓN: Es un arreglo u ordenación que se puede formar con todos los elementos disponibles de un conjunto. Interesa el orden. TIPOS DE PERMUTACIÓN:
Permutación lineal: P n
n!
Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse 4 alumnos en una fila de 4 asientos? Solución: Es una permutación y si importa el orden. P(4)=4!=4x3x2x1=24 Respuesta: Se pueden sentar de 24 maneras diferentes.
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Permutación: Tipos Permutación con lugar fijo: Pn,k
n k !
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar alrededor de una mesa circular 6 personas? Solución: Es una permutación circular. PCircular(6)=(6-1)!=5!=5x4x3x2x1=120 Respuesta: Se pueden sentar de 120 maneras.
Permutación circular Permutación con repetición: PR
, ... n
n! ! !.. !
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se puede ordenar las letras de la palabra RAZONAR? Solución: Se observa lo siguiente: La palabra consta de 7 letras pero se repiten algunas como son: R=2 veces A=2 veces
PR
, ... n
n! ! !.. !
PR72;2
7! 2! x 2!
7 x 6 x5 x 4 x 3 x 2 ! ¨ ´7 x6 x5 x 2 2x2!
420
Respuesta: Se puede ordenar de 420 maneras.
Ejercicios
1. Resuelve los siguientes ejercicios: a) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 alumnos en 5 sillas colocadas en línea recta? b) ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar, 5 diccionarios iguales, 6 almanaques mundiales iguales y 4 recetarios de cocina en un estante de una librería?
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Combinación: Tipos
CONCEPTO DE COMBINACIÓN: Es una selección o grupo que se puede tomar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos. En general, dados n elementos, se llama combinaciones de orden k al conjunto de todas las muestras no ordenadas de k elementos distintos que se pueden formar con n elementos dados. Se representa así:
C kn
ó
C n ;k
TIPOS DE COMBINACIÓN:
COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN
Ckn
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
n! k! n k !
CRkn
Ejm: Entre Adela, Beatriz, Carlos y Diego se debe elegir una comisión formada por tres personas. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir dicha comisión?
Ckn
n! = k! n k !
C34
4! 3! 4 3 !
24 6 x1
Respuesta.: Se puede formar de 4 maneras.
k! n 1 !
Ejm: Encontrar todas las combinaciones binarias con repetición que se puede formar con los elementos de conjunto A a; b; c; d
CRkn CR24
4
n k 1!
n k 1! k! n 1 ! 4 2 1! 2! 4 1 !
120 12
10
Respuesta: Las combinaciones con repetición que se puede obtener son 10.
¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.
Una vez que has terminado de conocer más sobre combinación, permutación, estás en condiciones de resolver las actividades indicadas. Ten a tu alcance los instrumentos y materiales para la resolución de lo solicitado. Recuerda en caso de error, vuélvelo a desarrollar y detecta donde te equivocaste. Puedes trabajar con un compañero para que puedan ayudarse.
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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. COMPLETA LOS ESPACIOS EN BLANCO a) La simbología
C kn pertenece a la………………………………………..
b) Existen…… tipos de……………………………: …………………. con lugar fijo,…………….. circular,…………………………., con repetición. c) La combinatoria estudia las …………formas de hacer…………………………………………………………………………………….. d) La………………………..y permutación se basa en la aplicación del……………………………………………………………………… e) En la permutación…………….. se trabaja con un……………………… menos. 2. RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: A) ¿De cuántas maneras pueden ser colocadas en una fila 5 bolas de diferentes colores?
¡Tú puedes, ten confianza!
B) ¿De cuántas formas pueden estar sentadas 10 personas en un sillón, con capacidad para 4 personas? C) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los 10 dígitos (del 0 al 9 )si: a) Los dígitos pueden repetirse. b) Los números no pueden repetirse. D) De cuántas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa, si: a) Pueden sentarse de cualquier forma. b) Dos personas determinadas no deben estar una al lado de la otra.
Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo referente a combinatoria: Teoría. http://www.tecnun.es/asignaturas/Estad_ii/Arch ivos/Recursos/Analisis%20combinatorio.pdf http://www.supercable.es/~josegarrido/Teoria% 20de%20combinatoria.pdf Todo referente a combinatoria: Ejercicios. http://ppbosch.tripod.com/ejercicios.htm http://www.problemasresueltos.com/index.php? option=com_content&view=article&id=85&Itemi d=5
Proyecto: “Concurso: Creación de un monopolio matemático” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Recordar todo referente al tema de combinatoria Tareas: En grupo de 4 integrantes elaborar un monopolio matemático con el tema de combinatoria y en una hoja bond su solucionario.
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