MATEMATICA4 by Pilar Capcha Chavez

RELACIONES LÓGICAS Y CONJUNTOS ¿Qué materiales utilizaremos?

¿Qué aprenderemos hoy? 



A establecer la relación entre la lógica y los conjuntos. A resolver operaciones con conjuntos.

Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de lógica proposicional.

Lee con atención la siguiente lectura Biografía George Boole George Boole nació en el año 1815 en Reino Unido. Desde niño inteligente, y su primer interés fue hacia los idiomas, siendo capaz de dominar el latín completamente con 12 años. Aunque no había estudiado para ello, empezó dedicándose a la enseñanza siendo a los 16 años profesor auxiliar en un colegio. También pensó realizar la carrera eclesiástica, pero en 1835 decidió abrir su propio colegio y fue cuando empezó a estudiar matemáticas por su cuenta, estudiando los trabajos de Laplace y Lagrange. Fuente: Se encaminó hacia el Álgebra publicando una aplicación de métodos http://www.dma.eui.upm.es/historia_inform atica/Doc/Personajes/GeorgeBoole.htm algebraicos para la resolución de ecuaciones diferenciales por el que recibió la medalla de la Real Sociedad Matemática de Londres. En 1849 fue nombrado catedrático de matemáticas en el Queens College, donde ejerció la enseñanza el resto de su vida. En 1854 publicó sus estudios sobre las teorías matemáticas de lógica y probabilidad. Boole redujo la lógica a una álgebra sencilla, naciendo así lo que se conoce como álgebra booleana, la cual influyó en el desarrollo de la informática. Boole murió a los 49 años por causa de una pulmonía. Aunque Boole tiene otros muchos estudios en el universo de las matemáticas sin duda alguna se le recordará por su Álgebra, que fue un paso fundamental en el desarrollo de las computadoras.

Fuente: http://www.dma.eui.upm.es/historia_informatica/Doc/Persona jes/GeorgeBoole.htm

Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿En qué ramas de la Matemática brindó aportes George Boole? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) Realiza un cuadro comparativo con los aportes de diversos matemáticos en la Lógica y la teoría de conjuntos ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López

01 Actividades 1.

Con ayuda de un libro de consulta, repasa los siguientes temas:   

Puedes consultar textos o documentos relacionados con el tema tratado.

Proposiciones y conjuntos Operaciones básicas con conjuntos Propiedades

Proposiciones y conjuntos La estrecha relación existente entre las leyes lógicas y los conjuntos nos permite en forma simple utilizar proposiciones y expresiones o enunciados con numéricos en la teoría de conjuntos. 

Lenguaje conjuntista y lenguaje proposicional: El lenguaje de la teoría de conjuntos puede representarse por medio del lenguaje lógico y viceversa. Veamos algunas operaciones entre conjuntos que expresan dicha igualdad.



Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A está incluido en B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Se denota:

x/ x

x B

Por ejemplo: Sean los conjuntos: A

B C 

2,3, 4,5,6 , B 2, 4,6 y C 2,8,9 A porque 2 B 2 A , 4 B 4 A y 2 B 2 A A porque no todos los elementos de C pertenecen al conjunto A

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y sólo si B conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto Por ejemplo: Si: R 1, a, 2, b, t y S a, t , 2, b,1 R S porque R S y S R

AyB

A . El

Actividades 1. Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: Se tienen los siguientes conjuntos: A 2;4;5 B 2;3;4;5 C 3 a) Aa) b) c) d) e)

BA A C A C

D está incluido en B es un conjunto unitario ByB A está incluido en B

D (

( ( ( ( (

4;2;5 )

) ) ) ) ) 2

Prof. Beatriz Toledo López

Operaciones con conjuntos 

Unión de conjuntos:. Se denota: A B x/ x Por ejemplo: Sean los conjuntos A

A 

A 2

1 3

a c

b d

A x B 1;2;3;4 y B

4;5;6;7

Por ejemplo: Sean los conjuntos A a; b; c; d y B a; e; i; o; u

3 5

7 8

Intersección de conjuntos: Se denota: B A B x/ x A x B Por ejemplo: Sean los conjuntos A



AUB

1; a;2; c;3 y B

A B

A c

Por ejemplo: Sean los conjuntos A

b d

A-B

b; c; d

Diferencia simétrica: Se denota: B A B ( A B) ( B A) y A B ( A

A∆ B

a; b; c; d

a; c

Diferencia de conjuntos: Se denota: A B x/ x A x B

1;2;3;4;5;6;7

A∩B



B) ( A

1;3;5;6 y

3;5;7;8 Hallar A B

A B

1;6

7;8

Actividades 1.

En tu cuaderno representa las expresiones del lenguaje conjuntista al proposicional: Ejemplo:

x A x B

x B

x B x A

c) x B

x B

x A

x A x B

x B

x A

x B x A 3 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Sean los conjuntos:

/ xes par menor que 8

/ x2

/x 5

/5 x 8

/ x es impar menor que 8

Escribe

/x 2 8

según convenga: C

En tu cuaderno representa las expresiones del lenguaje proposicional al conjuntista: a)

b) B

A C

A B

B A

En tu cuaderno representa las expresiones del lenguaje conjuntista al proposicional: a)

x A x B

x B

d) x

x B

e x

x B x A

4 Prof. Beatriz Toledo López

En tu cuaderno representa las expresiones del lenguaje conjuntista al proposicional: a) De una encuesta realizada a un grupo de niños se obtuvo siguientes datos: 27 prefieren películas de acción y 42 prefieren ver películas de ciencia ficción. SI a 12 niños les gusta ver ambas películas ¿cuántos niños fueron encuestados?

b) En un salón de clases se preguntó a los alumnos sus preferencias por Matemática y Lenguaje: 25 alumnos les gusta la Matemática, 30 Lenguaje y 15 solamente uno de los dos cursos. Si 5 alumnos no mostraron interés por ninguno de los dos cursos ¿A cuántos alumnos se encuestó?

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado, desarrollando ejercicios referentes a: 

Proposiciones y conjuntos



Operaciones con conjuntos.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Lógica formal e informal http://recursos.cnice.mec.es/filosofia/swf/unidad03.swf Aula virtual - Conjuntos http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

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NÚMEROS REALES ¿Qué materiales utilizaremos?

¿Qué aprenderemos hoy? 



A reconocer los axiomas principales en números reales. A resolver operaciones con números reales.

Libro de consulta nivel secundaria que contenga el tema de axiomas en R y operaciones con números reales.

Lee con atención la siguiente lectura Los axiomas de Guiseppe Peano Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la teoría de números. Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica. Los cinco axiomas de Peano son los siguientes: A1: El 1 es un número natural. A2: Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. A3: El 1 no es el sucesor de ningún número natural. A4: Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. A5: Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Fuente: http://es.bestpedia.info/article/16342_Axiomas-de-peano.html

Investiga con tus compañeros y responde: a) Explica con tus palabras el significado de la palabra axioma ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Axiomas en R Los números reales son un conjunto con dos operaciones (R,*,+) que cumplen los siguientes axiomas para cualquier a, b y c . Recuerda que: 

Axiomas para la adición: A1: Si a

A2: a b

b a;

A3: a b



Existe

a b

Clausura Conmutatividad

a, b

c a

b c ;

A4: 0

/ a 0 a;

A5: a

a, b, c

Asociatividad Existencia del elemento neutro aditivo

Existencia del elemento inverso aditivo

Axiomas para la multiplicación: M1: Si a

yb a .b M2: a . b b . a; a, b M3: a .b . c a. b . c ; a, b, c M4: 1 / a.1 a; a M5: a 



Para todo

0 ,

1 a

/ a.

1 a

Clausura Conmutatividad Asociatividad Existencia del elemento neutro multiplicativo Existencia del elemento inverso multiplicativo

Axiomas distributivos: Si a, b, c D1: Si a. b c a .b a . c

: Distributividad

Axiomas de igualdad: Si a, b, c

I1: Dicotomía: Si a b a b I3: Simetría: Si a b b a I2: Reflexividad: a a I4: Transitividad: a b b c I5: Unicidad en la adición: Si a b a c b c, c I5: Unicidad en la multiplicación: Si a b a . c b . c, c

a c

Los axiomas en R nos permitirán verificar y comprobar operaciones con números reales

Veamos un ejemplo: Demostrar que a b

a b b c

b c

a b a

a b

b b

b c b

a 0 c 0 a c

b b

Unicidad de la adición (I5)

Asociatividad (A3) E. del elemento inverso aditivo(A5) E. del elemento neutro aditivo(A4)

2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. En tu cuaderno, comprueba las siguientes propiedades utilizando los axiomas en R: a) b)

a) A B c)

a b 0 a a b b a

a b

c a

Recuerda comprobar las operaciones utilizando los axiomas en Números Reales

(

)

b c

Propiedades de Números Reales Las propiedades principales que verifican el conjunto de números reales, son:  



El conjunto de los números reales es infinito; es decir no tiene un primer ni último elemento. El conjunto de los números reales es denso; entre dos números reales siempre existe otro número real. Al conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, pues los números reales están representados y ordenados de izquierda a derecha.

-∞

...

-5

-4

-3

-2

-1

...

+∞

“Entre dos números enteros ubicados en la recta numérica, es mayor el que está a la derecha del otro”

Orden en Números Reales Dados dos números reales a y b, veamos dos casos: Se dice que a b si la diferencia de a – b es un número positivo Se dice que a b si la diferencia de a – b es un número negativo Por ejemplo a) 3 5 porque ( 3) ( 5) 2

b) - 1 3 porque

También se puede establecer un orden en R, si expresamos ambos números en forma decimal y luego comparamos cada una de las cifras. Por ejemplo: Comparar: Desarrollando

10 y 6,17 10 6,17... entonces 10

4,98

3 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Coloca el signo > , < o = según corresponda: a)

- 10, 65

b) c)

8, 75

- 2, 5

3,5

2 2

3 4

-19,3

-18,3

2,73

2,734

Operaciones en R - Propiedades En las operaciones con números reales, encontramos las siguientes propiedades: Adición a b c, c

Multiplicación a . b c, c

Asociativa

a b b a a b c a

a.b b.a a.b .c a. b.c

Elemento Neutro

Clausura Conmutativa

Elemento Inverso

,a 0

b c

Si a

0 a. b c

Distributiva

Sustracción , si a y b a b a b

, a .1 a

0, a

/ a.a

a.b a.c Para realizar operaciones con números reales, es conveniente convertir las fracciones, mixtos, decimales y raíces a decimales.

División ,b 0 si a y b a b a b1

Actividades 1.

En tu cuaderno realiza las siguientes operaciones: a)

6 5 4 9

Aproximar operaciones centésimo.

3 2,8 4 6 16 e) 7 3

d) 5 3

c) 5 2 2,8

9 2

f) 2

las al

4 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Responde V(verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

El axioma de clausura señala el orden de los números en la recta numérica.

(

)

El axioma de la existencia del elemento neutro es a

(

)

Es el axioma distributivo de los reales

(

)

Es el axioma de la conmutatividad en la multiplicación a . b

(

)

Se dice que R es un conjunto denso pues entre dos números reales

(

)

(

)

(

)

a. b c

a .b a . c b.a

siempre existe otro número real.

Es la propiedad del inverso de la multiplicación a . a

Es el axioma asociativo de la multiplicación a .b . c

1; a

a. b . c

Coloca el signo > , < o = según corresponda: a)

7,8

3 4

9 4

-6,4

9,28

6,3

9 4

1, 6

1,65

4,8

En tu cuaderno grafica una recta numérica y ubica los valores numéricos de la pregunta 2.

Realiza las demostraciones de los siguientes ejercicios, haciendo uso de los axiomas de la adición y multiplicación en números reales: a) a a

d) a b c b

b) a. b c

a.b

c) Si c y b 0 :

ab cb

c) a b 0

a.c a c

e) Si a y b

a (b a) b

Si b 0:

a 1 b

a b a b . b a

a b

5 Prof. Beatriz Toledo López

En tu cuaderno resuelve las siguientes operaciones con números reales: a) 2.

5 6 . 2 4 5

6 0,32 2,6 11

17 2,9 18

6, 2

b) 28 4, 6 c) 16

3 4 2 17

Marca con un aspa (x) los conjuntos que pertenecen cada uno de los valores presentados:: Números a)

3 4

c) 20 d)

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado, desarrollando ejercicios referentes a: 

Axiomas en R



Propiedades en números Reales.



Orden en números Reales



Operaciones en R - Propiedades

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Números Irracionales http://www.mendomatica.mendoza.edu.ar/nro19/Diapositiva%201.swf Recta números Reales http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica/intervalo.swf Números Reales http://members.fortunecity.com/omacetin/flash/Tema1.1.swf

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RELACIONES Y FUNCIONES ¿Qué aprenderemos hoy?   

¿Qué materiales utilizaremos?

A reconocer el dominio y rango de relaciones. A reconocer y graficar funciones. A realizar ejercicios con gráfica de funciones utilizando el diagrama sagital y cartesiano.

Libro de consulta nivel secundaria que contenga el tema de dominio y rango de relaciones en R Matemática 4to grado – Editorial Bruño 2008

Lee con atención la siguiente lectura Rene Descartes René Descartes, gran filósofo y matemático francés, nació en 1596. Entre sus principales aportes a la filosofía está su famoso "Discurso del Método", obra en la cual busca exponer reglas para "descubrir verdades". Descartes afirmó que los orígenes de esta obra filosófica estaban en la Lógica, la Geometría y el Algebra. Por otra parte hizo una importante contribución a las Matemáticas. Al "Discurso del Método" le añadió un "anexo" titulado "Geometría", en el cual propuso un sistema nuevo para estudiar esta disciplina.

Fuente: http://www.philosophy.umd.edu/people/f aculty/manekin_charles/phl320units%20an d%20lectures.htm

Gracias al "sistema de coordenadas cartesianas" creado por Descartes y denominado así en su honor, diversas áreas de las Matemáticas tuvieron un rápido desarrollo en los años posteriores. Este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica inequívocamente. Así, cualquier figura geométrica puede ser identificada con un conjunto de parejas de números reales, como se verá más adelante y eso permite, entre otras cosas, estudiar la geometría a través del álgebra. Además, Descartes introdujo parte de los símbolos que actualmente se usan en las ecuaciones algebraicas, facilitando enormemente el estudio de las ecuaciones y sus soluciones. En su juventud, después de haber recibido una educación del más alto nivel, decidió viajar por el mundo para descubrirlo por sí mismo. Después de varios años de viajes, se estableció en Holanda, lejos de amigos y familiares, con la intención de concentrarse exclusivamente en la escritura de los libros que más tarde le darían fama. Murió en Suecia, en 1650.

Fuente: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA22/PlanoCartesiano.html

Investiga con tus compañeros y responde: a)

¿Qué es el plano cartesiano? ¿Cómo lo representamos? ................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................

¿En qué aplicaciones de la Matemática aplicamos el plano cartesiano? Menciona 2 ejemplos. ................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Repasa de tu libro de consulta Matemática 4 – Editorial Bruño 2008, los siguientes temas:    

Si no cuentas con el libro de consulta, puedes revisar los temas de otros textos o documentos que traten los temas planteados.

Relaciones binarias. Relaciones: dominio y rango. Funciones: dominio y rango. Gráfica de funciones.

2. Observa con atención el video: “Coordenadas Cartesianas” y responde lo siguiente: a) ¿Cómo representamos números reales en el plano cartesiano? b) ¿Qué característica tienen cada uno de sus cuadrantes?

Relaciones binarias 

Par ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos. Se representa por (x;y) Donde: x = primera componente y = segunda componente



Producto cartesiano: Dado dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (x; y) donde x A y B



Relaciones binarias: Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B

Se denota: R : A 

AxB

Dominio y rango de una relación: Se llama dominio al conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se llama rango al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Por ejemplo: Sea A 5;8;11 y B 4;7;11 Hallar el dominio y rango de R1 x; y AxB / x y Solución: 1ero: Graficamos el conjunto de partida (A) y el de llegada por medio del diagrama sagital 2do: Establecemos con flechas la relación que deberá cumplir la función. 3ero: Organizamos los elementos en pares ordenados. R1

5;7 , 5;11 , 8;11 , 11;11 ,

4to: Finalmente el dominio y rango serán: Dom R1

5;8;11 y Ran R1

7;11

2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. Investiga con tus compañeros y responde ¿Qué otras gráficas podemos realizar para representar una función? a)2. AHalla B el dominio y rango de las siguientes relaciones:( a)

1;2;5

3;4;6:8

x; y

3;5;7;9

10;12;21;25

x; y

AxB / x2

R x S / xes divisor de y

)

2;0;2;4

2;3;4

x; y

PxQ / x y es par

/x 2 8

/ 6 y 6

x; y

AxB / 2x

Funciones Es aquella relación f de A en B denotada por f : A B es una función si y sólo si a cada elemento de x A le corresponde un único elemento y B . Se denota: f :A

B , se lee función de A en B

Para que cumpla con el concepto, ninguna de las primeras componentes deberán repetirse en la relación. Por ejemplo: a) R1

1;2 , 1;6 , 2;3 , 3;8

b) R2

2;1 , 1;1 , 5;3 , 3;8

No es función pues el elemento 1 se repite en dos pares diferentes. Es función pues ninguno de los primeros elementos se repite.

En una función los valores del dominio no deberán repetirse en ningún par de la relación. 

Dominio y rango de una función: Como toda función es relación, los conceptos de domino y rango de las relaciones tiene la misma aplicación. Veamos: El dominio de la función es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función. El rango al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función. 3 Prof. Beatriz Toledo López

Gráfica de funciones Veamos la gráfica de funciones en un ejemplo: Dados los siguientes conjuntos: A

1;2;3;4

Representar la función f

AxB / y

x 3

x; y

5;6;7

Solución: 1. Hallamos el producto cartesiano de los conjuntos A x B: AxB

1;5 , 1;6 , 1;7 , 2;5 , 2;6 , 2;7 , 3;5 , 3;6 , 3;7 , 4;5 , 4;6 , 4;7

De todos los pares ordenados, elegimos los que cumplen con la condición de la función: y x 3 AxB

1;5 , 1;6 , 1;7 , 2;5 , 2;6 , 2;7 , 3;5 , 3;6 , 3;7 , 4;5 , 4;6 , 4;7

Entonces la función sería: f ( x)

2;5 , 3;6 , 4;7

Graficando la función por medio del diagrama sagital y el plano cartesiano, B tenemos: f ( x) 7 A B 1 2 3 4

7 1

Donde: A = Conjunto de partida B= Conjunto de llegada

Dom f ( x)

Ran f ( x)

2;3;4

5;6;7

Actividades 1.

Halla el dominio y rango y grafica cada una de las siguientes funciones: a)

1;2;3, 4 , B

3;4;5,6 , f ( x)

2;3; 4;5 , B

3;8;15; 24; 26 , f ( x)

3; 2; 1,0 , B

x; y

1;0;1, 2 , f ( x)

AxB / y

x; y

AxB / y

x; y

AxB / y

x2 1 x 1

Recuerda que puedes utilizar el diagrama sagital o el diagrama cartesiano para graficar las funciones.

4 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Expresa cada relación como un conjunto de pares ordenados y halla el dominio y rango de cada uno de los siguientes ejercicios: a)

2;3;5;6

3; 4;6

x; y

AxB / x

20; 24;30; 48

3; 4;5;7;12

R2 2.

x; y

y d)

PxS / x es un múltiplo de y

3;5;7;9

1; 2;3; 4

x; y

3;5;7;9

1; 2;3; 4

x; y

CxD / x

En cada uno de los siguientes funciones halla lo siguiente:   

Representa cada función como un conjunto de pares ordenados. Grafica por medio del diagrama sagital o cartesiano. Halla el dominio y rango.

/ 2

/ 5

x 1 ,D

5 ,B

2;4;7;10;13 , f ( x) 3;4;5;8;15 , f ( x)

x; y x; y

AxB / y 3x 1 CxD / y

x2 1

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios del libro Matemática 4 – Editorial Bruño: 

Funciones: dominio y rango – Representaciones gráficas: Actividad individual: página 13 – Unidad 1 Actividad grupal: página 15 – Unidad 1

Puedes reforzar los contenidos con textos o separatas con el tema tratado.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Teoría de funciones http://perso.wanadoo.es/timonmate/funciones3eso.swf Relaciones y funciones http://www.escolar.com/matem/02relac.htm

5 Prof. Beatriz Toledo López

RELACIONES Y FUNCIONES ¿Qué aprenderemos hoy?   

¿Qué materiales utilizaremos?

A reconocer el dominio y rango de relaciones. A reconocer y graficar funciones. A realizar ejercicios con gráfica de funciones utilizando el diagrama sagital y cartesiano.

Libro de consulta nivel secundaria que contenga el tema de dominio y rango de relaciones en R Matemática 4to grado – Editorial Bruño 2008

Fuente: http://www.philosophy.umd.edu/people/f aculty/manekin_charles/phl320units%20an d%20lectures.htm

Fuente: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA22/PlanoCartesiano.html

Investiga con tus compañeros y responde: a)

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Repasa de tu libro de consulta Matemática 4 – Editorial Bruño 2008, los siguientes temas:    

Si no cuentas con el libro de consulta, puedes revisar los temas de otros textos o documentos que traten los temas planteados.

Relaciones binarias. Relaciones: dominio y rango. Funciones: dominio y rango. Gráfica de funciones.

Relaciones binarias 

Par ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos. Se representa por (x;y) Donde: x = primera componente y = segunda componente



Producto cartesiano: Dado dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (x; y) donde x A y B



Relaciones binarias: Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B

Se denota: R : A 

AxB

5;7 , 5;11 , 8;11 , 11;11 ,

4to: Finalmente el dominio y rango serán: Dom R1

5;8;11 y Ran R1

7;11

2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. Investiga con tus compañeros y responde ¿Qué otras gráficas podemos realizar para representar una función? a)2. AHalla B el dominio y rango de las siguientes relaciones:( a)

1;2;5

3;4;6:8

x; y

3;5;7;9

10;12;21;25

x; y

AxB / x2

R x S / xes divisor de y

)

2;0;2;4

2;3;4

x; y

PxQ / x y es par

/x 2 8

/ 6 y 6

x; y

AxB / 2x

Funciones Es aquella relación f de A en B denotada por f : A B es una función si y sólo si a cada elemento de x A le corresponde un único elemento y B . Se denota: f :A

B , se lee función de A en B

Para que cumpla con el concepto, ninguna de las primeras componentes deberán repetirse en la relación. Por ejemplo: a) R1

1;2 , 1;6 , 2;3 , 3;8

b) R2

2;1 , 1;1 , 5;3 , 3;8

No es función pues el elemento 1 se repite en dos pares diferentes. Es función pues ninguno de los primeros elementos se repite.

En una función los valores del dominio no deberán repetirse en ningún par de la relación. 

Gráfica de funciones Veamos la gráfica de funciones en un ejemplo: Dados los siguientes conjuntos: A

1;2;3;4

Representar la función f

AxB / y

x 3

x; y

5;6;7

Solución: 1. Hallamos el producto cartesiano de los conjuntos A x B: AxB

1;5 , 1;6 , 1;7 , 2;5 , 2;6 , 2;7 , 3;5 , 3;6 , 3;7 , 4;5 , 4;6 , 4;7

De todos los pares ordenados, elegimos los que cumplen con la condición de la función: y x 3 AxB

1;5 , 1;6 , 1;7 , 2;5 , 2;6 , 2;7 , 3;5 , 3;6 , 3;7 , 4;5 , 4;6 , 4;7

Entonces la función sería: f ( x)

2;5 , 3;6 , 4;7

Graficando la función por medio del diagrama sagital y el plano cartesiano, B tenemos: f ( x) 7 A B 1 2 3 4

7 1

Donde: A = Conjunto de partida B= Conjunto de llegada

Dom f ( x)

Ran f ( x)

2;3;4

5;6;7

Actividades 1.

Halla el dominio y rango y grafica cada una de las siguientes funciones: a)

1;2;3, 4 , B

3;4;5,6 , f ( x)

2;3; 4;5 , B

3;8;15; 24; 26 , f ( x)

3; 2; 1,0 , B

x; y

1;0;1, 2 , f ( x)

AxB / y

x; y

AxB / y

x; y

AxB / y

x2 1 x 1

Recuerda que puedes utilizar el diagrama sagital o el diagrama cartesiano para graficar las funciones.

4 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Expresa cada relación como un conjunto de pares ordenados y halla el dominio y rango de cada uno de los siguientes ejercicios: a)

2;3;5;6

3; 4;6

x; y

AxB / x

20; 24;30; 48

3; 4;5;7;12

R2 2.

x; y

y d)

PxS / x es un múltiplo de y

3;5;7;9

1; 2;3; 4

x; y

3;5;7;9

1; 2;3; 4

x; y

CxD / x

En cada uno de los siguientes funciones halla lo siguiente:   

Representa cada función como un conjunto de pares ordenados. Grafica por medio del diagrama sagital o cartesiano. Halla el dominio y rango.

/ 2

/ 5

x 1 ,D

5 ,B

2;4;7;10;13 , f ( x) 3;4;5;8;15 , f ( x)

x; y x; y

AxB / y 3x 1 CxD / y

x2 1

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios del libro Matemática 4 – Editorial Bruño: 

Funciones: dominio y rango – Representaciones gráficas: Actividad individual: página 13 – Unidad 1 Actividad grupal: página 15 – Unidad 1

Puedes reforzar los contenidos con textos o separatas con el tema tratado.

5 Prof. Beatriz Toledo López

05 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sumilla Con el desarrollo de la ficha diferenciaremos las relaciones y funciones, así como recordaremos el dominio, rango y gráfica de las funciones. Finalmente reconoceremos los tipos y composición de funciones que nos ayudarán a realizar operaciones en forma sencilla y práctica.

¿Qué aprenderé hoy?

Recursos

A reconocer relaciones y funciones.  A hallar el dominio, rango y gráfica de funciones.  A reconocer los tipos de funciones y resolver ejercicios relacionados con la composición de funciones. 



Libro de consulta Matemática 3er grado Ediciones El Nocedal - 2008.

¿Cómo empezamos? Lee con atención la siguiente lectura: LAS MATEMÁTICAS OCULTAS EN LA VIDA COTIDIANA Dos caminos paralelos. En uno está el mundo físico, la naturaleza, la vida cotidiana del hombre. En el de al lado, ese lenguaje de pensamiento abstracto llamado matemáticas. Pero en el trayecto ambos caminos se conectan, mejorando de tal manera y tan a menudo la vida del hombre que los ejemplos se convierten en infinitos, tan cotidianos, que no hace falta más que ir al baño, encender la calefacción o el ordenador para encontrar matemáticas. El ejemplo de los caminos paralelos lo ponía Gutam Mukharjee (45 años), del Instituto Indio de Estadística, durante un descanso de las sesiones del Congreso Internacional de Fuente: http://www.lrs.cl Matemáticos que se acaba de celebrar en Madrid. Allí, unos 3 500 expertos discutieron sobre el presente y el futuro de esta ciencia y, además, mostraron cómo las matemáticas envuelven la vida cotidiana. Del termostato al buscador de Internet. Cuando alguien pone el termostato de la calefacción a una temperatura de 20º grados, la máquina encenderá los radiadores hasta que la casa esté un poco por encima de esa. Después se apagará hasta que el ambiente esté un poquito por debajo de lo deseado. Luego volverá a encenderlos... "La estrategia -cuándo se enciende, cuándo se apaga- no es trivial. Para calcularlo se utilizan ecuaciones matemáticas", explica Enrique Zuazua, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid. Esas mismas ecuaciones se usan para mantener una velocidad constante en los lectores de CD, o para saber hasta dónde hay que llenar de agua la cisterna, añade. "La gente está acostumbrada a que las cosas funcionen solas, pero detrás hay algo que las hace funcionar”. Al introducir una palabra en el buscador de Internet, por ejemplo, en Google, los resultados tampoco son casuales. "Los matemáticos imaginamos la Red como un montón de canicas colocadas sobre una superficie. Hay que identificar quiénes son los que miran y quiénes los que son mirados, buscar la palabra que se pide y jerarquizar los resultados. Todo eso se hace a través de algoritmos que contemplan todas esas variables. - El casco de los ciclistas y el coche que menos consume. En los últimos años, la forma de los cascos de los ciclistas, ha cambiado: redondeados por delante, acabados en pico por detrás..., y no se trata de una cuestión estética, sino de aerodinámica, que intenta mejorar el rendimiento de los deportistas. Mediante ecuaciones, se simula el comportamiento de un objeto sólido (el casco, la bicicleta...) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente (en este caso, el que ponga menos resistencia al aire). En los aviones, los coches o los barcos se utiliza el mismo procedimiento, y el diseño variará en función del objetivo: que sea más rápido, más estable o que gaste menos combustible. - De la célula al espacio. Predecir el comportamiento de una célula (por ejemplo, una bacteria) y después programarla para que realice una función distinta, la que se necesite en cada momento. La segunda parte sería imposible sin la primera, predicción que se hace con matemáticas. Y de lo más pequeño y cercano, a lo más lejano, el espacio. De nuevo con simulaciones matemáticas se calcula en qué

1 Beatriz Toledo López

05 momento exacto una sonda espacial ha de apagar los motores al entrar en contacto con la gravedad, y en qué momento, ya cerca del suelo, debe abrir los paracaídas y volver a encender los motores para aterrizar en su destino sin hacerse papilla. - Una escultura como una ecuación. Música, pintura, escultura..., las artes se han apoyado siempre, de una u otra manera, en las matemáticas. Un ejemplo es la obra del escultor japonés Keizo Ushio, que trabaja con formas geométricas y topológicas como el toro (una superficie cerrada producto de la unión de dos circunferencias).. A partir de cálculos matemáticos, Ushio fragmenta las formas para convertirlas en sus esculturas. "Las matemáticas son un lenguaje universal, y no hace falta papel para plasmarlas", explica. De hecho, asegura que hace sus cálculos "mentalmente Extracto de Diario EL País http://www.elpais.com/articulo/futuro/matematicas/ocultas/vida/cotidiana/elpepusocfut/20060906elpepifut_2/Tes

Investiga con tus compañeros y responde:

1. Escribe dos ejemplos de aplicación de la Matemática en la vida. a) ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ b) ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2. Investiga sobre las funciones en Matemática y plantea un ejemplo de su aplicación: ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

Actividades 1.

En este espacio de la ficha desarrollaremos las actividades en dos formas:  Presentando un resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Si deseas profundizar el tema te recomiendo utilices diferentes diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Funciones: Dominio y rango.  Tipos de funciones.  Composición de funciones.

Funciones En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado x (llamado dominio) y otro conjunto de elementos y (llamado codominio o rango) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del rango. En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico

2 Beatriz Toledo López

05 común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. Por lo tanto: Una función es una relación donde a cada elemento del conjunto de partida se le asocia un único elemento del conjunto de llegada. Fuente: http://www.ejerciciosmatematicas.com/ejerciciosmate maticas/matematicas/page/14/

¿Cómo reconocer que una relación es una función? Veamos: Si tenemos las siguientes relaciones: R1 1;2 , 1;4 , 3;2 , 5;4

R2 1;2 , 3;2 , 5;2 R3 Realizamos el diagrama sagital para identificar qué relaciones son funciones: R1

1 3

0;2 , 1;2 , 3;4

1 2

R3 0

Si es función Porque ningún elemento cada elemento del conjunto de partida se le asocia un único elemento del conjunto de llegada.

1 3

No es función Porque al elemento 1 le corresponde más de un elemento del conjunto de llegada.

Si es función Porque ningún elemento cada elemento del conjunto de partida se le asocia un único elemento del conjunto de llegada.

Actividades 1.

Observa los gráficos, indica cuáles son funciones y explica el porqué de tu respuesta: a)

……..……..……..……..…….. ……..……..……..……..…….. ……..……..……..……..…….. ……..……..……..……..…….. ……..……..……..……..……..

3 Beatriz Toledo López

Dominio y rango de funciones Recordemos: El dominio de una función está definido por el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función. El rango de una función está definido por el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función. Ejemplo 1: Dado el conjunto A

2;3;4;5 y B

3;8;15;24;28

Hallar : B / y x2 1 a) f : A b) Dominio y Rango de f c) Diagrama sagital Solución 1: Para encontrar la función deseada debemos tabular los datos: x

Pares ordenados de la función

x2 1

22 1 3; 3 B

(2;3)

32 1 8; 8 B

(3;8)

42 1 15; 15 B

(4;15)

52 1 24; 24

(3;8)

a) Por lo tanto, la función f ( x)

3;8 , 4;15 , 5; 24

F(x)

b) Dom f(x) ={3; 4; 5} y Ran f(x) ={8; 15; 24}

3 8

c) Graficamos la función mediante un diagrama sagital:

15 4

24 28

Ejemplo 2: Hallar el Dominio y Rango de las siguiente función:

2;3 , 1;3a 2 , 1;7 , 2; b 3 , a;

b 2

Solución 2: Según la definición de función para que U sea función, no deberá haber dos pares ordenados que tengan la misma primera componente. Entonces deberá cumplirse que:

2;3

2; b 3

3 b 3

1;3a 2

1;7

b 6 Entonces: U

2;3 , 1;7 , 3;3

3a 2 7 a 3

Domk

1;2;3

Ran k

3;7

4 Beatriz Toledo López

05 Actividades 1. En tu cuaderno , halla el dominio, rango y grafica sagital de las siguientes funciones: a)

1;3;5 , B

2;4;6;8 , f : A

2;4;6 , B

3;4;10;12 , f : A

2; 1;0 , B

B/ y

x 1

B / y 2x

0;1;2;3;4 , f : A

B/ y

x 3

2. Hallar el valor de a y b en cada una de las siguientes: a)

12;3a 1 , 8;2b 1 , 8;9 , 12;22

3;6 , 3; a 5 , 3; b 1

Tipos de funciones



Función inyectiva: Sea f : A

B una función de A en B. se dice que f es una función si cada

elemento B es imagen de, a lo más, un elemento de A. 

Función suryectiva: Sea f : A

B una función de A en B. es suryectiva cuando el rango de la

función es igual al conjunto de llegada. 

Función biyectiva: Sea f : A

B una función de A en B. es biyectiva cuando es inyectiva y

suryectiva a la vez.

Función inyectiva

Función suryectiva

Función biyectiva

Fuente: http://matematica-educativa.blogspot.com/2007/05/tipo-de-funciones.html

Ejemplo 3: Dados los conjuntos

1;2;3;4

a; b; c y la función

2; b , 3; a , 1; a , 4; c .Hallar si la función es biyectiva.

f(x)

1 a 2 b

Solución 3: Graficamos la función, mediante el diagrama sagital: Luego analizamos la gráfica:

3 c 4

5 Beatriz Toledo López

05 a) f no es inyectiva pues a cada elemento de A no le corresponde un único elemento de B, esto es

1;a y 3; a . b) f es suryectiva, pues Ran f

c) f no es biyectiva pues no es inyectiva y suryectiva a la vez.

Actividades 1. Verifica si las siguientes funciones son inyectivas, suryectivas y biyectivas respectivamente: a)

1;3;5;6;7 , B

2;4;6 y la función f

x; y

AxB / y

1;2;3;4 , B

2;4;6;7 y la función f

x; y

AxB / y 2x

1;3;5;6 , B

5;9;11;15 y la función f

3;4;6;8 , B

0;1;2 y la función f

x; y x; y

x 1

AxB / y 2x 3

AxB / y 3x 1

Inversa de una función Para verificar la inversa de una función, es necesario verificar la inversa de la relación. Por ejemplo si tenemos la siguiente relación: R =”. . . leyó un libro . . . “,

la inversa de la relación seria

R-1 =”. . . fue leído por . . . “.

Veamos la gráfica por medio de un diagrama sagital: A 1 2

3 4 5

-1

B a

3 c d

Función R Observaciones: - La inversa de una relación siempre es una relación. - La inversa de una función no siempre resulta otra función. - La inversa de una función inyectiva siempre será una función.

4 5

Función R-1

Composición de funciones Componer dos funciones f y g significa aplicar a la segunda el resultado de la primera. Por ejemplo: En el gráfico adjunto, observamos:

6 Beatriz Toledo López

C 7

El gráfico representa la composición de la función f y g, en la que se consideran sólo los elementos asociados a líneas que hacen el recorrido completo de A hacia C, pasando por B. Se lee: “ f compuesta en g” y se representa Se representa: fog

f g

2;7 , 3;7 , 0;8

Actividades 1.

Dadas las siguientes funciones, hallar en cada caso fog y gof respectivamente: a)

2;0 , 3;1 ,

1; 4 , 3;1 , 5;2 y g 1; 4 ,

2;6 , 7;0 y g

2; 1 , 0;3 , 1;4 , 2;0 , 4;5 3;1 , 4; 3 , 5;2 , 6;7

Completa la siguiente tabla:

f ( x)

g ( x)

2x 3

5x 4

4 3x

1 x

g f (1/ 2)

f g ( x)

g f ( x)

x 3

x2 1 2

f g ( 2)

1 /2

x 1 /4

2 x2 5

2 x 2 12 x 13

3x 2

30x 17

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Dados los conjuntos : A

2;3;4

y B

3;5;6

¿Cuáles de las siguientes relaciones no es una función de A en B?

2;3 , 3;5 , 4;6

2;5 , 3;3 , 4;6

2;5 , 2;6 , 3;3

7 Beatriz Toledo López

05 2.

Halla el dominio, rango y diagrama sagital de las siguientes funciones: a)

0;3;8 , B

2;4;6;8 , B

8 0;1; ;3 , f : A 3

x 3

B/ y

1;3;4;5;6;7 , f : A

B/ y

x 1

3. Hallar el valor de a y b en cada una de las siguientes funciones:

6; a 1 , 4; b 2 , 6; 5 , 4;8 7;5 , 4; a , 7; b , 4;12

¿A DÓNDE NOS LLEVA NUESTRO APRENDIZAJE?

Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 4to grado - Editorial Bruño: 

Actividad Nº 1: Funciones - Dominio y rango (Pág. 13)



Actividad Nº 2: Composición de funciones (Pág. 15)



Actividad Nº 3: Tipos de funciones (Pág. 18)

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Ejercicios sobre Composición de funciones http://www.bunam.unam.mx/mat_apoyo/MaestrosAlumnos/mApoyo/02/Unidad_1/ img/a28u1t04p14e01.swf Composición de funciones http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/funciones1.htm Tutorial Composición de funciones http://tutormatematicas.com/ALG/Composicion_inversa_funciones_relaciones.html

8 Beatriz Toledo López

FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las funciones de segundo grado y su aplicación en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Representar una función de segundo grado, mediante tablas, gráficas y expresión algebraica.  Identificar las coordenadas del vértice de la función cuadrática.  Resolver problemas que puedan ser modelizados a través de la función cuadrática. 



Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? En la época de media año llegan las vacaciones y los alumnos son los más alegres porque lo disfrutarán a través de viajes, paseos y juegos. Observa la imagen de este juego. ¿Conoces este juego, cómo se llama? Realiza el esquema de este juego ¿Relacionas este esquema con alguna función matemática? ¿Cómo se llama la función?

Analiza el siguiente caso: Pedro va a usar 20 m de malla metálica para hacer un corral para sus conejos. Si aún no ha decidido las dimensiones pero quiere aprovechar toda la malla, ¿podrías expresar el área que tendrá el corral? FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Bhaskara: Matemático y astrónomo (1114 Bijapur, India, 1185 Ujjain, India) Bhaskara es también conocido como Bhaskara II que significa "Bhaskara el maestro". Bhaskaracharya es probablemente el matemático indú de la antiguedad mejor conocido. Nació en 1114 en Bijjada Bida cerca de las montañas de Sahyadri, Bijjada Bida es hoy conocido como Bijapur en el estado de Mysore, India. Bhaskaracharya murió en el año 1185, en Ujjain, India. Quizás la más famosa de sus fórmulas sea la solución de la ecuación de segundo grado, de la que obtiene siempre dos soluciones, aunque sólo sean de interés las enteras positivas. Un ejemplo de problema: Dentro de un bosque, un número de monos es igual al cuadrado de un octavo del total de un conjunto de ellos que están jugando ruidosamente. Hay doce monos más, que están en una colina cercana y no juegan. ¿Cuántos monos están jugando? Fuente: http://www.ugr.es/~eaznar/bhaskara.htm

¿De dónde es el personaje famoso? y ¿Cuál fue su aporte matemático?

Prof:Juana Tueros Huamaní

Nociones elementales: Qué es /Denotación Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y rango real. f(x) = ax²+bx+c; Con a diferente de 0. Ejm: f(x) = 3x²+5x-8 f(x) = -2x²-7x+1 f(x) = x²-1 f(x) = -x²

Gráfica

Dominio Dominio (f): Es el conjunto de todos los números Reales.

Rango Rango (f): Son los resultados obtenidos al realizar la gráfica y lo ubicamos en el eje y.

Para graficar podemos hacer uso de la tabulación x -1 0 1 (y)

OBSERVA

ECUACIONES INCOMPLETAS 1er CASO: ax2=0 donde a

Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más angosta (cerrada) será la parábola. Cuanto menor sea a (en valor absoluto), más ancha. Las ramas van hacia arriba si a > 0. Hacia abajo si a < 0. CARACTERÍSTICAS: Podemos concluir que la CONCAVIDAD de la parábola y = ax2 es: POSITIVA, Si a es positiva. NEGATIVA, Si a es negativa.

2 Prof:Juana Tueros Huamaní

2do CASO: Parábolas del tipo y = ax2 + bx, (c = 0) Ejm: y = 2x2 - 4x donde a=2 b=-4 c=0 La gráfica de la parábola pasa y = 2x2 - 4x, pasa por el punto (0; 0)

b D ; 2a 4a

Aplicamos: COORDENADAS DEL VÉRTICE: V -(-2)/2(2)=1 D=b2-4ac ; D=(-4)2-4(2)(0); D=16 -16/4(2)=-2

Luego las coordenadas del vértice son: V(1,-2). Aplicando la fórmula cuadrática podemos hallar los cortes en el eje x.

b 2 4ac 2a

Utilizando la simetría de la parábola; podemos obtener el punto (2,0). CONCLUSIÓN: Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx; entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0) EJERCICIOS: Graficar las siguientes funciones: a) - x2 + 2x b) x2-4x c)-2x2-0,5x

d) x2-3x

3er CASO: Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0) Observemos el siguiente ejemplo: g(x) = 2x2 -4 La gráfica de g(x) = 2x2 - 4, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2, desplazándola 4 unidades hacia abajo. El vértice se halla en V(0,-4). CONCLUSION: EL vértice de la parábola está en eje Y teniendo el punto (0; c) por coordenadas se obtiene trasladando gráfico y=ax2, c unidades en dirección del eje Y. Por tanto: La gráfica SUBE si c es positivo. LA gráfica BAJA si c es negativo.

EJERCICIOS: Indicar las coordenadas del vértice de las funciones: a)y=- x2 + 2

b)y=x2-5

c) y=-3x2-3

3 2 x 1 2

3 Prof:Juana Tueros Huamaní

ECUACIONES COMPLETAS: f(x) = ax2 + bx + c

Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. y = - x2 + 2x + 3

DISCRIMINANTE: D= b2-4ac ¿Cómo se usa? ¿Para qué sirve?

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0, c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones COORDENADAS DEL VÉRTICE: V cuadráticas: Factorización Simple Completando el Cuadrado Fórmula Cuadrática

b D ; 2a 4a

Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene

que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 Quedando así: x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Prof. Juana Tueros Huamaní

Ejercicios 1. Grafica las siguientes funciones cuadráticas. Indica: vértice, raíces, intersección con el eje y, eje de simetría, máximo o mínimo: a) x2 + 3x +2

b) -x2 + 3x +4

c) x2 – 9

d) - x2 + 2x

2. Halla las siguientes raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) 6x2 - 2 = 0

e) - 3 x2 = 0

b) 4 x2 - 12x + 5 = 0

f ) x2 -1x - 5 = 0

c) x2 - 2x +10 = 0

g) 2 x2 + 2x + 5 = 0

h) x2 - 6x + 7 = 0

i ) x2 - 9 = 0

3. Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: a) y = x² − 5x + 3 b) y = 2x² − 5x + 4 c)

y = −x² − x +

4. Da ejemplos de situaciones de tu entorno que se asemejen a la gráfica de una función cuadrática.

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades indicadas, trata de hacer un repaso. Luego intercambien los ejercicios para confrontar sus resultados obtenidos, en caso de error no borres realiza la corrección al costado y realiza una tabla de valoración: aciertos, no aciertos, no realicé.

Prof:Juana Tueros Huamaní

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Resuelve las siguientes situaciones aplicando funciones cuadráticas. a) Las edades de Adela y Dora suman 42años, el producto de ambas edades es de 414 años. Encuentra las edades de cada una de ellas.

b) Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

2. Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: a) y = x² − 5x + 3 b) y = 2x² − 5x + 4 c) y = x² − 2x + 4

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo referente a funciones cuadráticas. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/i esarroyo/matematicas/materiales/4eso/fun ciones/teoriafuncioncuadratica/teoriafuncio nes.htm http://www.sectormatematica.cl/informatica /funcion.htm Funciones cuadráticas: simulador http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Mate matica/TEMA27/funcionCuadratica.html

Proyecto: “Elaborando una plantilla cuadrática” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Construir una plantilla, para graficar. Tareas: Busca una mica puede ser de placas radiográficas, diseña de distintos anchos, para poder realizar los bosquejos de la función cuadrática en una pizarra móvil (papelógrafo cuadriculado forrado con papel celofán) y un plumón indeleble.

Prof:Juana Tueros Huamaní

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y RAÍZ CUADRADA Sumilla A través del reforzamiento de los temas de funciones: valor absoluto y raíz cuadrada y el desarrollo de los ejercicios se relacionen su aplicación en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Identifica la representación gráfica de la función valor absoluto.  Interpreta notación matemática y la relaciona con el concepto de valor absoluto.  Reconoce la función raíz cuadrada.  Determina Dominio y Rango en la función valor absoluto y raíz cuadrada. 



Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Alrededor de nuestro entorno podemos encontrar situaciones que reflejen la gráfica de algunas funciones, ¿podrías identificar a cual función pertenece?

(

1)Función lineal

(1)Función lineal (1)Función lineal …………

(2)Función: valor absoluto

…………

(3)Función raíz cuadrada

(4)Función cuadrática

…………

………….

AHORA TÚ INVESTIGA A QUE FUNCIÓN REPRESENTA LAS SIGUIENTES GRÁFICAS:

…..…………………….

…………………………………..

Bien en esta oportunidad vamos a tratar el tema de unas funciones especiales que son función: Valor absoluto y Raíz cuadrada.

1 Prof:Juana Tueros Huamaní

Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos los productos y cocientes notables y es importante recordar:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Función raíz cuadrada  Función valor absoluto

Función valor absoluto

QUÉ ES/DENOTACIÓN

GRÁFICA

CASOS Es una función real y=

x x, si x≥o

- x, si x<o Dominio (f)= Rango (f)=

Caso real: Miguel tiene una dificultad desea saber la distancia de sus dos camiones con respecto a Ica. Se sabe que un camión A se encuentra en el Km 103 y el otro en el Km 879 y la ciudad de Ica esta en el km 290. ¿Cómo podría saber? Ayúdalo.

Ejm: Graficar

x 1 y dar su D(f) y R(f)

Solución: x+1;si x+1≥0 ó x≥-1 y= -(x+1); si x+1<0 ó x<-1 RECUERDA: Dominio(f)= Rango(f)=

Los puntos obtenidos se obtienen a partir de la tabulación, tomando en cuenta las restricciones para el valor de x.

La función valor absoluto se desdobla en dos funcione lineales, gráficamente se obtienen dos rectas con un punto común.

Prof:Juana Tueros Huamaní

Ejercicios 1. Graficar las siguientes funciones de valor absoluto : a) y

x 2

d) y

2 x 4; x

e) y

1;4

x 3

x 1

c) y

x 5

f) y

2. Grafica, determina el vértice y halla el dominio y rango. a)

b) y

x 1 2

x 5

c) y

x 2 1

Función raíz cuadrada QUE ES / DENOTACION La función raíz cuadrada es toda función de la forma: f(x)= x , donde x≥0 PROPIEDADES: El Dominio = x; x

GRÁFICA

Todos los valores de la función son mayores o iguales a 0. El menor valor de la función es 0. El gráfico tiene la forma de media parábola. Ejm: f(x)=

x x

Los valores de x se seleccionaron de modo que la raíz cuadrada de estos valores son números enteros que hacen que sea fácil de trazar los puntos indicados en la tabla.

3 Prof:Juana Tueros Huamaní

07 Ejercicios

1. Determina el conjunto de definición de cada función y luego grafícala: a) y

x 4

c) y

b) y

x 1

d) y

x 1 2

e) y

2 x

2. Analiza lo solicitado.

3. Halla el rango de la función m(x)= y

x 5

4. Determina la expresión matemática de las siguiente función: y

x , se desplaza 3 unidades hacia arriba.

4 Prof:Juana Tueros Huamaní

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Grafica la función f(x)=:

x 2

¡Tú puedes, ten confianza!

Halla el dominio, rango y el punto mínimo.

2. Construye tablas de valores y grafica las funciones: ¿Qué observas?

a) b) c)

x 1 2

x 5 5

x 2 1

3. Halla los puntos de corte con los ejes. a) y

b) y

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Proyecto: “Elaborar un collage mategráfico”

Todo sobre función valor absoluto: http://ima.ucv.cl/lianggi/pendiente/valor%20 absoluto/valor%20absoluto.htm

Responsables: tutor y estudiantes.

Todo sobre función raíz cuadrada: Gráfica http://www.analyzemath.com/spanish/Graphi ng/graphing_square_root_func.html

Objetivo: Realizar un collage mategráfico. Tareas: Organízate con tus compañeros, para poder tomar fotos y/o dibujar situaciones de tu entorno que se asemejen alas gráficas hoy estudiadas.

5 Prof:Juana Tueros Huamaní

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante y, lo relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Relacionar ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante.  Resolver y graficar problemas sobre ángulos.  Conocer los nombres y características de los ángulos formados por las rectas. 



Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1) En esta oportunidad te invito a que realices actividades que implican graficar: Recuerda tener lo necesario para ejecutar lo solicitado (regla, trasportador cinta métrica, cuaderno de apuntes) Nombran calles de tu entorno que sean secantes y perpendiculares. Dibujan un pequeño plano con las calles que rodean la escuela e identifican rectas paralelas y perpendiculares. Dibujan rectas secantes e identifican los 4 ángulos que se forman. Observa tu salón y registra la zona que forma un ángulo recto, obtuso y llano. 2) Lee la siguiente lectura LA MADERA La madera, luego de ser preparada, admite distintas transformaciones dando lugar a viviendas, como a muebles y calzado. El hombre ha ido desarrollando y depurando técnicas y creando y mejorando herramientas, así como también pasando de construir objetos estrictamente funcionales a construir objetos con un marcado componente estético-decorativo. Esto es posible gracias a la creatividad y el empeño que ponen los carpinteros en cada uno de sus trabajos. Cabe destacar que ellos aplican sus conocimientos de geometría y utilizan las mismas herramientas que usamos dentro del aula: regla, escuadra y transportadores. RESPONDE: ¿Qué contenidos matemáticos específicos utilizará el carpintero? ¿Qué tipo de madera conoces? ¿Cuál es la de mayor costo y duración?

1 Prof: TuerosHuamaní Huamaní Prof:Juana Juana Tueros

Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos sobre ángulos formadas por rectas paralelas cortadas por una secante. Es importante recordar :  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante.  Ejercicios sobre ángulos.

Rectas paralelas, perpendiculares y secantes

PARALELAS PERPENDICULARES SECANTES Son aquellas rectas que nunca Son aquellas que se cortan en Son aquellas rectas que se se cortan. un punto y forman un ángulo cortan en un punto sin formar de 900. un ángulo de 900.

Observa el gráfico general y lee las características Ángulos correspondientes: están ubicados al mismo lado de la transversal, uno se encuentra en el interior de la cinta y el otro en el exterior. Son congruentes. Ángulos alternos internos: están a distinto lado de la transversal y los dos se encuentran en el interior de la cinta. Son congruentes. Ángulos alternos externos: están a distinto lado de la transversal y los dos se encuentran en el exterior de la cinta. Son congruentes. Ángulos contrarios o conjugados: están a distinto lados de la transversal, uno en el interior de la cinta y el otro en el exterior. Son suplementarios. Ángulos contrarios o conjugados: están a distinto lados de la transversal, uno en el interior de la cinta y el otro en el exterior. Son suplementarios. Ángulos del mismo lado: están en el mismo lado transversal, los dos se encuentran el interior o exterior de la cinta. Son suplementarios.

2 Prof: Juana Tueros Huamaní

Gráfica de los tipos de ángulos formados Ángulos correspondientes entre paralelas.

Ángulos alternos entre paralelas.

1=5 2=6 3=7 4=8 Son suplementarios

1=7 2=8 3=5 4=6

Ángulos contrarios o conjugados.

Ángulos colaterales.

(suman 180°)

1 2 3 4

6 5 8 7

1 2 3 4

8 7 6 5

Ejercicios COMPLETA : a) Las calles Colonia y Convención se cruzan formando cuatro ángulos……………. b) Menciona dos calles perpendiculares. c) Menciona dos calles secantes.

3 Juana Tueros Huamaní Prof:Prof: Juana Tueros Huamaní

Ejercicios Aquí te presentamos algunas actividades desarrolladas y otras por desarrollar: 1. Escribe en cada recuadro

según corresponda.

a) b) c) d)

L1….L2 L3….L1 L2…..L5 L6…L4

2.Si

2. Si AB // CD , calcula el valor de x.

Observamos que E O B y O P D son ángulos correspondientes, entonces sus medidas son iguales. Hallamos x:

E 0

2x+40

O 3x-11

m E O B =m O P D : 2x+400=3x-110 x=510

Hallamos m E O B : 2x+400=2(510)+400=1420

Hallamos la medida de los otros ángulos:

TTT

m AO E =1800-1420=380

3.3. Sabiendo que l // l , calcula el valor de x e y. 1 2 3.. 0

Observamos que los ángulos x, 520 y 750 forman un ángulo llano, entonces suman 1800: x+520+750=1800 x=530 Observamos que x e y son alternos internos, entonces tienen la misma medida: x=y y=530

4. Con respecto al ejercicio anterior, ¿cuánto mide el ángulo adyacente al ángulo y?

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.

4 Prof: Juana Tueros Huamaní

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Desarrolla los ejercicios aplicando los criterios correctamente: A) ¿Es cierto que m<1=m<3? si L1//L2 y L3//L4 . ¿Por qué? L1

L2 1

B) ¿Se puede calcular el valor de x?

127

L3 X

2. Calcula las medidas de los ángulos que faltan y justifica tu respuesta, de la figura anterior: ¡Tú puedes ,ten (TEORÍA) confianza! m<1=56º m<2= ______ porque _________________________________________________ m<3= ______ porque _________________________________________________ m<4= ______ porque _________________________________________________ m<5= ______ porque_______________________________________ m<6= ______ porque _________________________________________________ m<7= ______ porque _________________________________________________ 3. En la figura se tiene que PQ // RS ¿Cuánto mide el ángulo t? P

4. Si L M, OP: Bisectriz y N: Secante ¿Cuánto mide x?

Q t

123º 26º R

120

S P

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo referente a ángulos formados por rectas paralelas. Teoría. http://www.pps.k12.or.us/district/depts/ed media/videoteca/curso2/htmlb/SEC_55.HT M Todo referente a ángulos. Ejercicios. http://www.scribd.com/doc/393666/ANGUL OS-AB

Proyecto: “Entrevista a un carpintero” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Conocer los instrumentos y diseños que realizan los carpinteros Tareas: Únete con un compañero y realiza una visita a un carpintero de tu zona o persona que sabe de carpintería y averigua que conocimientos e instrumentos matemáticos utiliza, grafícalos y los diseños que ha realizado y se observe elementos matemáticos.

5 Prof: Juana Tueros Huamaní

AREA DE FIGURAS PLANAS Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las áreas y perímetro de figuras planas, relacionaremos su aplicación en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Diferenciar área y perímetro de figuras planas.  Conocer las igualdades matemáticas (áreas) de las figuras planas.  Resolver situaciones propuestas aplicando las igualdades matemáticas. 



Libro de Matemática – 3ro Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Observa los gráficos y responde:

A B ¿Qué figuras geométricas observas en los gráficos A-B-C? Dibuja

Reproduce el tangram en un cuadrado de 8 cm de largo y halla el perímetro de todas. ¿Puedes calcular el área de los triángulos grandes? AREA PERÍMETRO El área de un polígono es la medida de la El perímetro de un polígono es igual a la suma región o superficie encerrada por un polígono. de las longitudes de sus lados. P=a+b+c a

b c

1 Prof: Juana Tueros Huamaní

09 Actividades 1. En esta oportunidad estudiaremos sobre área de regiones poligonales y es importante recordar:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. 2. Utiliza diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Áreas y perímetro de figuras planas  Ejercicios de áreas y perímetros.

Áreas de Regiones poligonales: Te presentamos un cuadro resumen sobre las áreas de las regiones poligonales. El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. El triángulo equilátero tiene sus lados iguales.

A’ ;

B’ ;

Bxh 2

equilátero

l2 3 4

Es un polígono de cuatro lados iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. Tiene diagonales iguales y perpendiculares.

A a2

Es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. CLas = diagonales C’ son iguales.

A b h

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.

A b h

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

Es un polígono de cuatro lados. Sus ángulos son distintos de 90º. Tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman BASE MAYOR y base menor.

Dxd 2

B b a 2

2 Prof: Juana Juana Tueros Huamaní Prof: Tueros Huamaní

Área de otros polígonos: Hexágono y círculo El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales. Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.

Apotema

Perímetro Apotema 2

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.

Ejercicios

1. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

110 l 20m h

40 30 2l 202

19.36m

40 30 19,36 2

677, 77m 2

2. Una cancha de básquetbol mide 26 m por 14 m debe ser re pavimentada. ¿Qué área debe considerarse para presupuestar el trabajo? La cancha tiene forma rectangular entonces:

26mx14m

A b h

364m2

3. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

62 32

5, 20cm

Atrapecio

htrapecio 6 3 2,60 2

h 5,20 2,60 cm 2 2

11,70 cm2

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4. Necesito cerrar un sitio de forma cuadrangular cuya área mide 324 m2. ¿Cuántos metros de alambre debo comprar para rodear el sitio con tres vueltas? Solución: En este caso se trata de un cuadrado, tenemos que saber el lado del cuadrado.

A l2 324m2

Sacamos la raíz cuadrada y el l 18m Ahora 18 m x 4=72 m, es el perímetro del cuadrado Se necesita alambre para 3 vueltas por tanto: 72 m x 3=216 m es lo que se necesita. 5. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:

52 52

7, 07cm

4 5 20cm

A 52

25cm2

6. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular:

a 2 32

4cm

6 5 30cm 30 4 A 60cm2 2

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades indicadas, trata de hacer un repaso. Luego intercambien los ejercicios para confrontar sus resultados obtenidos, en caso de error realiza la corrección al costado y dibuja una tabla de valoración en el que indique los siguientes parámetros: aciertos, no aciertos y no se realizó.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Calcula el perímetro de: a) un cuadrado de lado 5 cm b) un rectángulo de lados 8 m y 6 m

¡Tú puedes, ten confianza!

2. Calcular el área de: a) Un rectángulo de la dos 15 m y 8 m b) Un rombo de diagonales 14 cm y 18 cm c) Un trapecio de bases 5 cm y 12 cm con altura de 4 cm 3. Resuelve las siguientes situaciones propuestas. a) ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 12 m de diámetro y otra de 8 m de radio? b) ¿Cuál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm y el otro lado mide 3, 6 cm? c) El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. ¿Cuál es la medida de la base si los lados congruentes miden 9 m cada uno? d) El área de un triángulo es 108 cm2 y su base mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de la altura? e) Hay que ponerle baldosas a un patio de forma triangular cuya base mide 8 m y su altura es de 3 m. ¿Cuántas cajas de baldosas se necesita si cada caja alcanza para cubrir 3 m2? f)

Hallar la cantidad de galones de pintura que se necesita para pintar el frente de un edificio cuyas medidas son de 20 m de largo y 10 m de ancho. Cada galón de pintura cubre 10 m2.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Todo sobre área de regiones poligonales: http://www.geoka.net/geometria/area.html http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geo metri/areas.htm Todo referente a regiones poligonales. Ejercicios http://www.vitutor.com/geo/eso/s_e.html# diez

Proyecto: “Áreas de nuestro entorno” Autores: Tutor y alumno. Objetivo: Aplicar el concepto de área y perímetro. Tareas: Elige una vivienda o tu colegio y realiza un plano de 3 ambientes en que están divididas y calcula el área y el perímetro de la vivienda y/o colegio. Diseña un bosquejo de lo elegido, con figuras geométricas

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NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con distancia entre dos puntos y pendiente de una recta encontraremos su aplicación en actividades cotidianas. diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Calcular la longitud de de segmentos. Ubicar puntos en el plano cartesiano.  Resolver situaciones aplicando los conocimientos adquiridos sobre distancia.  Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento.  



Libro de Matemática – 4to Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Estimado alumno(a) en esta oportunidad te vas a recrear dando solución a estos laberintos 1. ¿Cuántas rutas tiene el perro Pluto para llegar a su alimento? 2. ¿Qué elemento geométrico (punto, recta, plano) has empleado para señalar la ruta? 3. Mide con tu regla cuantos cm hay desde el perro hasta el alimento a través del laberinto. 4. ¿Cuántos cms hay desde: el alimento al perro y viceversa sin considerar el laberinto?

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Geometria_analitica.html RESPONDE: a) ¿Cuál es la obra de René Descartes? b) ¿Por qué se dice Geometría Analítica?

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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollaras dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 4to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Plano cartesiano  Distancia entre dos puntos. Punto medio.  Pendiente de una recta.

Nociones elementales de Geometría Analítica PLANO CARTESIANO

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO Está formado por dos rectas perpendiculares, A) La abscisa o valor de x, se cuentan las que se cortan en un punto. La recta horizontal unidades correspondientes hacia la derecha es llamada eje de las abscisas o de las (x), y la si son + o hacia la izquierda si son -, a partir vertical, eje de las ordenadas o de las (y); el del punto de origen. punto donde se cortan recibe el nombre de B) Ubicada el valor de x, se cuentan las origen. unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son + o hacia abajo, si son - . En el gráfico observamos la ubicación del punto A(-4,5).

PAR ORDENADO: Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde la primera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje y). Su representación general es: (a ;b) Ejm: (-3;5), (2;4), (-2;-7), (3;-6)

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10 Ejercicios 1. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen al II cuadrante: a) A 3;2

b) B 1;3

c) C

7;3

2. De los siguientes puntos, ¿cuántos no pertenecen a ningún cuadrante?

A 2;6 , B 0;3 , C 5;0 , D

1; 4 , E 0;0 , F 5;2 , G 0; 6

Distancia de dos puntos y punto medio

Distancia

Punto medio

Dados dos puntos cualesquiera del plano, A(x1, y1) y B (x2, y2), su distancia AB, está dada por la fórmula:

Sean A(x1, y1) y B(x2, y2), puntos cualesquiera del plano y M punto medio del trazo, entonces las coordenadas de M son:

M Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

P1 P2

4 7

P1 P2

PP 1 2 PP 1 2

1 4 4

9 16 ; PP 1 2

;

x2 y1 ;

2 2 7 4 5 1 ; =(5,5;3) 2 2

5 unidades

Ejercicios 1. Calcular la longitud del segmento PQ : a) b) c) d)

Hallar la distancia entre los puntos P(2;-8) Q(3;5) Hallar la distancia entre los puntos P(2;1) Q(6;4) Hallar la distancia entre los puntos P(-13;5) Q(-5;11) Hallar la distancia entre los puntos P(0;0) Q(-10;0)

2. Halla los puntos medios(M) de la longitud PQ del ejercicio anterior: 3. Calcular: La distancia entre los puntos medios de los segmentos de los segmentos AB y CD si: A(2;-6), B(4;0),C(1;1),D(5;3)

4. ¿Cuál es la ordenada del punto medio de los puntos A(2;-6),B(4;0)?

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Pendiente de una recta

Ecuación de la recta

Pendiente de la recta

Dada una recta L cualquiera del plano, su Sean P(x1;y1) y Q(x2 ;y2), donde x2 x1 puntos ecuación principal es de la forma: y = m x+ n. de la recta L, entonces su pendiente m está Donde m recibe el nombre de pendiente de la dada por: recta y es igual a la tangente del ángulo que forman la recta y el eje X. y2 y1 Donde n se denomina ordenada en el origen y es m x x , x2 x1 2 1 la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y.

pendiente de la recta y es igual a la tangente del ángulo Ejercicios que forman la recta y el eje X. 1. En tu cuaderno resuelve: Dibuja y halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos y calcula su pendiente: a) (2, 3) y (-1, 0); b) (3, 1) y (4, -5)

¿Qué aprendimos hoy? 1.

2. 3.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la resolución de problemas con distancia entre dos puntos. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten los temas abordados en la ficha. Luego resuelve los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Recuerda registrar tus aciertos, no aciertos, no realizadas, para que seas consciente de tu trabajo.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1.

Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) La pendiente puede ser negativa b) El punto medio sólo se obtiene midiendo c) El par ordenado (3;5) es igual a (5;3) d) El plano cartesiano se origina con 2 rectas secantes e) En el plano cartesiano ubicamos 4 cuadrantes

( ( ( ( (

) ) ) ) )

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1. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son: a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b. (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2) 2. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a. 0(0; 0), A(9; 2) y B(1; 4) es rectángulo. b. A(8; -1), B(-6;1) y C(2;-7) es rectángulo. 3. Resuelve la siguiente situación: a) Luana se encuentra en (3;-2), Álvaro en (-2;5) y Andrea en (-3;-3). ¿Cuál de los tres está más cerca del punto (-1;0)? b) Calcular el área de un parque triangular cuyos vértices son: A(-7;1),B(3;5),C(3;-2) 4. Con ayuda de un plano cartesiano resuelve: A un policía que se encuentra en el punto (12;5) se le informa que en el origen de coordenadas se encuentra un ladrón, al cual debe perseguir; al momento exacto de llegar al centro, le indican que el ladrón se encuentra en (0;-5) y continúa la persecución, pero cuando llega a (0;-5) le indican por radio que está en (12;-5), por lo que va a dicho punto y al no ubicarlo decide regresar al punto donde estaba originalmente. Sin embargo luego recibe el informe que el ladrón se encuentra dentro de la región del plano que él bordeó. a) Realiza el esquema b) ¿Cuál es el área que donde puede ubicarse al ladrón?

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Proyecto: “Creando situaciones matemáticas”

Todo sobre distancia entre puntos: Ejercicios

Responsables: tutor y estudiantes.

http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtualData/Libr os/Matematicas/geometria/pdf/geo_1.pdf http://www.geoan.com/recta/ecuacion_recta.h tml Todo referente a distancia entre dos puntos. Ejercicios http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.12. html

Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática relacionado con el tema “Distancia entre dos puntos”. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un boletín con las creaciones de situaciones matemáticas similares a la pregunta 5 (policía)

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ECUACIONES DE LA RECTA Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con ecuación de la recta encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Conocer una recta como una ecuación lineal.  Expresar la ecuación de la recta en diversas formas.  Resolver ejercicios sobre ecuación de la recta. 



Libro de Matemática – 4to Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Cómo te podrás dar cuenta, existen situaciones del entorno que tiene expresan una recta. Veamos: En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vacía. y=2x+3 En la economía

En un día cotidiano

La velocidad de un ciclista

2. Responde a las siguientes preguntas: ¿Qué elemento geométrico pasa por dos puntos? Expresa a lenguaje algebraico, la siguiente expresión. Por alquilar una moto, una empresa cobra S/.7 la hora más 20 por seguro. ¿Qué entiendes por pendiente? Grafica. Realiza el siguiente experimento con un compañero y con ayuda de tu profesor: Toma una vela pequeña. Haz marcas cada 5mm, enciéndela y registra el tiempo que transcurre en consumirá la vela entre cada una de las marcas. Elabora una tabla de datos registrados y realiza una gráfica. “Ahora para que te sientas cómodo y a gusto con tu aprendizaje vamos a dar conceptos muy importantes”

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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollaras dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 4to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Ecuación de la recta  Casos con ecuación de la recta  Resolución de ejercicios

Ecuación de la recta:

A) ECUACIÓN DE LA RECTA AL CONOCER m Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN: Se llama ecuación principal de una recta a una expresión de forma: y= mx +n En que m representa la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al eje de las coordenadas. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene: Pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tienes que hallar la ecuación de la recta: y = mx + b. Usa la información que te dan: m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación y = 3x + 10. B) ECUACIÓN DE LA RECTA DADOS PUNTO–PENDIENTE (SE CONOCE UN PUNTO Y SE CONOCE LA PENDIENTE) Se sabe que la pendiente (m) se obtiene

y y1 , por tanto: y – y1 = m(x – x1) x x1

Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3): y – y1 = m(x – x1) y – (–3) = –4(x – 5) y + 4 = –4x + 20 Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0.

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11 Ejercicios 1. Hallar la ecuación de la recta conociendo: a) m= 3, b=5

b) m=-6, b= -2

c)c m=4/5, b=0,5

d)m-3/4, b=-1/5

2. Hallar la ecuación d la recta conociendo: a) P(4,2); m=2

b) P(-4,1/2) m=3

c) P(0;3/2) m=-1

d) P(3/4;4/5)m=-1/3

Ecuación de la recta:

Al conocer las coordenadas de dos puntos

En forma simétrica La recta l que no pasa por el origen (0; 0). Sean A(a; 0) y B(0; b) los puntos de intersección de L con los ejes X e Y respectivamente.

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de la recta L. Su ecuación es: (x-x1)

y2 x2

y1 (y-y1) x1

Ejemplo: Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2;5) y 1

5 2 ( x 1) ; y 1 2 1

y 1 1( x 1) ; y 1 La ecuación es : y=-x+2

3 ( x 1) 3

x 1

x a

y 1 b

Ejemplo: Una recta pasa por los puntos (-2,0) y (0,5). Encuentra su ecuación. x y La ecuación es: 5x-2y=-10 1 2 5

Ejercicios 1. Calcular la ecuación de la recta que pasa: a) P (1; 2) Q (5; 4) b) P (-2; 3) Q (3; -2) c) P (-13; 5) Q (-5; 11) d) P (-4; -3) Q (1; 3) 2. Dado los siguiente puntos escribe la ecuación simétrica de la recta: a) P(1; 0) Q (0; 4) b) P(-2; 0) Q (0; -2) c) P(-13; 0) Q (0; 11) d) P(-4; 0) Q (0; 3)

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Ecuación general de la recta Todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación. Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como: ax + by + c = 0 Se conoce como la ecuación general de la línea recta: AX+By+C=0 donde A, B, C donde A y B no son ambos nulos, representa una recta. La pendiente es m= A y cuyo intercepto con el eje Y viene dado B

por: b

C B

Ejm: Expresa en la forma general, la ecuación y-2=1/3(x+5). Se lleva a la forma Ax+By+C= 0 Multiplicamos por 3 3y-6=x+5 0=x-3y+6+5 x-3y+11=0 la forma general donde: A = 1, B=-3 y C=11.

Ejercicios 1.

En tu cuaderno expresa la ecuación general de la recta conociendo: a) P(-4;-3) Q(1;3) b) y 3x 4 c) y 3

5 x 7 4

d) y 4

3 4 (x ) 5 3

¿Qué aprendimos hoy? 1. Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás más ejercicios con ecuación de la recta. 2. Luego resuelve los ejercicios en grupo, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. 3. Recuerda registrar tus aciertos, no aciertos, no realizadas, para que seas consciente de tu trabajo.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? I. Completa los espacios en blanco según convenga: a) La ecuación de la recta se puede expresar de varias formas: Una se llama ecuación punto…………….. b) Todas las ecuaciones pueden expresarse como una………….. general de la…………………….. c) Conociendo las coordenadas de 2 puntos se puede………….. la……………………….. de una recta.

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II. Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3. (Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1)) a) m = –1; punto (–2, 3) b) m = 2; punto (–3/2, –1) c) m= –4; punto (2/3, –2) d) m = –2/5; punto (1,4) III. Graficar las rectas sabiendo: a) Tiene pendiente -2 y ordenada en el origen 3. b) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto 3; 2 . c) Pasa por los puntos

1; 0 y

1 ;4 2

IV. Expresa en todas formas estudiadas, como ecuación de la recta. a) Dados los puntos A(3;-5), B(2,-5) b) Dados los puntos A(-3;6), B(-1,-5) V. Completa con el concepto correcto de geometría analítica en cada línea. a) b) c) d)

Dos rectas son paralelas cuando…………………………………………………………………………… Dos rectas son perpendiculares cuando………………………………………………………………… La ecuación y-yo =m(x-xo) se llama…………………………………………………………………….… Para usar esta ecuación (c) se deben tener dos datos; estos son: ……………………………………………..…………………………………… y…………………………………………. e) La ecuación de la forma y=mx+ n se denomina…………………………………………………….

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Proyecto: “Construyendo organizadores”

Todo sobre ecuación de la recta: Teoría

Responsables: tutor y estudiantes.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didac ticos/ecuaciones_recta_mbfddr/ecuaciones_rec ta.htm Todo referente a distancia entre dos puntos. Ejercicios http://www.vitutor.com/geo/rec/dActividades. html

Objetivo: Realizar organizadores visuales sobre el tema tratado. Tareas: Averigua la biografía de Descartes y lo referente al tema tratado y sistematiza la información en organizadores visuales. Elabora un crucigrama con los términos nuevos en este tema, con solucionario y una en blanco para poder ser intercambiado con tus compañeros.

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MEDIDAS DE POSICIÓN Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con medidas de posición encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Conocer los estadígrafos importantes.  Identificar un decil, cuartil, percentil.  Calcular deciles, cuartiles, percentiles en situaciones propuestas. 



Libro de Matemática – 4to Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1) Te cuento una escena muy bonita que observé en el día de la Madre: Unos niños hacían cola para dar un ramo de flores a sus mamis, como eran muchos se ordenaron por tamaños de menor a mayor. En base al esquema propuesto ten invito a resolver las interrogantes. Responde: ¿Cuántos niños hay? ¿En cuántos grupos se ha dividido el total? ¿Qué % representa el grupo “chico”? ¿Los 2 primeros subgrupos que representa?

2) Da ejemplos similares a lo indicado, comparte con tus compañeros. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN Chico de localización dividen la distribución en partes iguales, sirvenGrande Las medidas para clasificar a un individuo o elemento dentro de una determinada población o muestra. Ejm: Así en psicología los resultados de los test o pruebas que realizan a un determinado individuo.

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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollaras dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 4to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Medidas de posición.  Ejercicios de medidas de posición.

Estadígrafos: Medidas de resumen

Después de haber ordenado y descrito un conjunto de datos, aún el análisis resulta todavía un tanto incompleto; es necesario entonces resumir la información y facilitar así su análisis e interpretación utilizando ciertos indicadores. A estos indicadores se les denomina también ESTADÍGRAFOS o MEDIDAS DE RESUMEN, permiten hallar un valor numérico, el mismo que representa a toda la población o muestra en estudio.

En esta oportunidad estudiaremos a las medidas de posición. Si a la información los dividimos en 4 partes iguales entonces a estas divisiones la llamaremos: 0%

25%

50%

75%

100%

http://www.angelfire.com/sc/matasc/EyD/bioesta/medidas.htm Prof:Juana Tueros Huamaní

Deciles en datos agrupados Datos agrupados

Los deciles son 9 que dividen a la serie de datos en 10 partes iguales, dan los valores correspondientes al 10%, al 20% y al 90% de los datos. Cálculo del decil: Buscamos la clase donde se encuentra.

kn , k 1, 2,3...9 , en la tabla de frecuencias acumuladas. 10

kn Fi 1 Li 10 c f1

Dk=decil solicitado n=muestra LI=Límite inferior Fi 1 =Frecuencia anterior a la DK. f1=Frecuencia de la clase DK. C=Ancho de clase.

Ejm: Los ahorros semanales de 65 personas Intervalos

50, 60

60;70

70;80

80;90

90;100

100;110

110;120

SOLUCIÓN: Cálculo del 1er decil:

65 x1 = 6,5 10

D1= 50 6,5 0 10 = 5 8 , 1 2 8

Cálculo del 3er decil:

65 x3 = 19,5 10

D3= 70 19,5 18 10 = 70,99 16

n=65

DECILES PARA DATOS NO AGRUPADOS Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

DK n Cuando n es par: 10 DK n 1 Cuando n es impar: 10 Siendo Dk el número del decil.

EJERCICIOS: Ubicar el 2do decil en: 2-6-5-4-8-3-7-2-5-8

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Cuartiles en datos agrupados

Los cuartiles son 3 que dividen a la serie de datos en 4 partes iguales, dan los valores correspondientes al 25%, al 50%... y al 75% de los datos. Cálculo del Cuartil - Buscamos la clase donde se encuentra.

kn 4 , k=1,2,3…9 en la tabla de frecuencias

kn 4

Ck=Cuartil l solicitado n=muestra LI=Límite inferior. Fi 1 = Frecuencia anterior a la CK f1=Frecuencia de la clase CK C=Ancho de clase.

acumuladas. Ejm: Los ahorros semanales de 65 personas. Intervalos

SOLUCIÓN:

60;70

8 10

8 18

Cálculo del 1er Cuartil:

70;80

C 1 = 60

80;90

90;100

100;110

110;120

50, 60

65 x1 = 16,255 4

16, 25 8 10 = 6 8 ,2 5 10 65 x 2 Cálculo del 2do Cuartil: =32,25 10 32,5 18 C 3 = 70 10 = 70,0625 16

n=65

LOS CUARTILES EN DATOS NO AGRUPADOS A) Número impar: 2;5;3;6;7;4;9 2;3;4;5;6;7;9

Q2 Q 3

B) Número impar: 2;5;3;4;6;7;1;9 1;2;3;4;5;6;7;9

2,5 4,5

6,5

ACTIVIDAD: Calcular el Q1, Q2, Q3 en: a) 3;5;7;5;9,17,8;10;11;16;12

b) 3;5;7;5;9,17,8;10;11;16;12;19

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Percentiles en datos agrupados

…. P1

Pk=Percentil l solicitado n=muestra LI=Límite inferior Fi 1 = Frecuencia anterior a la CK f1=Frecuencia de la clase CK C=Ancho de clase

… P99

P35

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes, los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al %... y al 99% de los datos. Cálculo del Cuartil Buscamos la clase donde se encuentra.

kn , k 1, 2,3...9 100

tabla

frecuencias

acumuladas. Ejemplo: Los ahorros semanales de 65 personas. Intervalos

F 8 18

SOLUCIÓN:

60;70

f 8 10

70;80

P35= 70

80;90

90;100

100;110

110;120

50, 60

Cálculo del percentil 35:

65 x35 = 22,75 100

22, 75 18 10 = 7 2 ,9 7 10 65 x 60 Cálculo del percentil 60: = 39 100 39 34 P60= 80 10 = 83,57 14

n=65

LOS PERCENTILES EN DATOS NO AGRUPADOS: Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

DK n Cuando n es par: 100 DK n 1 Cuando n es impar: 100 Siendo Pk el número del percentil.

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Ejercicios 1. Completa la tabla y calcula el 2 cuartil:

FI FI

10,15

15;20

20;25

25,30

30,35

2. Calcula el 1er decil y el 2 cuartil: 7, 5, 3, 7, 5, 4, 4, 6, 4 3. Calcular el cuartil 3 y el percentil 2 en el siguiente caso: CASO: El número de errores ortográficos cometidos en un ejercicio de dictado por los 72 alumnos de 3º de educación primaria de un centro. calificaciones

16 21

f 8

F 8

21 26

26 31

31 36

36 41

¿Qué aprendimos hoy? 1.

2. 3.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la resolución de problemas con medidas de posición. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten los temas abordados en la ficha. Luego resuelve los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Recuerda registrar tus aciertos, no aciertos, no realizadas, para que seas consciente de tu trabajo.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1.

Marca V (verdadero) o F (falso)según corresponda a) P50 se ubica en el mismo lugar de la mediana b) Existen 9 deciles c) “n” representa en números de datos d) El percentil dividen a los datos en 100 partes e) Un cuartil es un estadígrafo

( ( ( ( (

) ) ) ) )

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Completa la tabla y calcula el 2do y 4to decil.

10,15

15;20

20;25

25,30

30,35

FI FI

Calcular el decil 5, cuartil 3 en el siguiente caso:

En una prueba de madurez lectora los alumnos de primero de Primaria han obtenido las siguientes puntuaciones: a) 18;1;7;12;15;6;10;9;4;2;7;20;9;10;13;11;2;16;8;3;9;4;2;19;14;15;9;8;11;10;13;10;4;10;3. 4.

Determinación del primer cuartil, el séptimo decil, de la siguiente tabla:

10,15 fI FI

15;20

20;25

25,30

30,35

Resolver:

Las puntuaciones obtenidas en un test de inteligencia por 2 alumnos de 6to a del centro educativo “Los genios”. fI FI

91 95

95 99

99 103

103 107

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre medidas de posición: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Unidades Didacticas/53-1-u-punt153.html Todo sobre medidas de posición: Ejercicios. http://www.vitutor.net/2/11/cuartiles_percentil es.html http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/ d_8.html

Proyecto: “Elaborando un mural” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Realizar un mural sobre el tema de medidas de posición. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un mural con los conceptos más resaltantes. - Extrae todos los números pares naturales menores que 100 e indica en él algunos 1er decil y tercer cuartil. Graficando.

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MUESTREO ALEATORIO Y NO ALEATORIO Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con muestreo aleatorio y no aleatorio encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy? Identificar los tipos de muestreo. Conocer y aplicar los muestreos en situaciones propuestas.  Resolver ejercicios sobre muestreo aleatorio simple con y sin reposición.  

¿Qué materiales utilizaré? 

Libro de Matemática – 4to Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Como verás éstas imágenes reflejan un acontecimiento electoral. ¿Cuándo se dará en el Perú?................ RESPONDE: Puedes pedir ayuda. a)

¿Qué entiendes por proceso electoral? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

¿Qué candidatos existen en tu zona para la elección de alcaldes? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

¿Qué institución se encarga de organizar este proceso electoral? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

¿Quiénes pueden sufragar? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Generalmente en el mismo día al culminar la votación se conoce al posible ganador. ¿Quiere decir se ha contabilizado todos los votos del Perú? ¿Qué sucedió? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

¿Qué contenido matemático permite obtener los resultados? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollaras dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 4to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Muestreo aleatorio simple  Muestreo no aleatorio  Ejercicios

Concepto de términos elementales

ESTADISTICA INFERENCIAL: Se ocupa de extender o extrapolar a toda una población, informaciones obtenidas de una muestra, así como de la toma de decisiones. Uno de los aspectos principales de la inferencia es la estimación de parámetros estadísticos. POBLACIÓN: Es el conjunto total de individuos susceptibles de poseer la información buscada. jjjjjjjjjjjjj MUESTRA: Es la parte de la población en la que se miden las características estudiadas. El número de individuos de la muestra se llama tamaño de la muestra. El proceso que se sigue para seleccionar una muestra se denomina Muestreo. ENCUESTA: Es el proceso de obtener la información buscada entre los elementos de la muestra. MUESTREO: Es el proceso seguido para la extracción de una muestra. Las ventajas que nos brinde el muestreo son: - Los operativos son menores. - Posibilita analizar un mayor número de variables. - Permite controlar las variables en estudio.

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MUESTREO ALEATORIO

MUESTREO ALEATORIO: Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de aparecer en la muestra. MUESTRA ALEATORIA Ejemplo: PERSONA

EDAD

N=3

1 2  3 2 3 2 12  22  3 2   22  0, 67 3



MUESTRA ALEATORIA SIN REPOSICIÓN Muestra

s n2

Prob

1,5

0,25

1/6

2,0

1/6

1,5

0,25

1/6

2,5

0,25

1/6

Elementos= 1;2;3

2,0

1/6

n=2

2,5

0,25

1/6

V3,2 

VN , n 

N!  N  n !

Población N=3

2  2  0, 67

3! 3!  6  3  2 ! 1!

MUESTRA ALEATORIA CON REPOSICIÓN Muestra

s n2

Prob

1/9

1,5

0,25

1/9

VN ,n  N n

1/9

Población N=3

1,5

0,25

1/9

2,0

1/9

Elementos= 1;2;3

2,5

0,25

1/9

2,5

0,25

1/9

2  2  0, 67

n=2

N n  32  9

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DISTRIBUCION MUESTRAL Distribución de un estadístico en todas las posibles muestras de tamaño n que es posible extraer de una población. MUESTREO SIN REPOSICIÓN Muestra

s n2

Prob

1 2 3 4 5 6

1 1 2 2 3 3

2 3 1 3 1 2

1,5 2,0 1,5 2,5 2,0 2,5

0,25 1 0,25 0,25 1 0,25

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X 1,5 2 2,5

2 2 2 E  X   1,5  2  2,5  2 6 6 6 s n2 f s n2 0,25 4/6 1 2/6 2 E ( sn )  0,5

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA

Var ( sn2 )  0,125

Se asume muestreo aleatorio simple. Sea X una variable con E(X)=  y  X2   2 Se cumple: E(X)= 

 X2 

fX 2/6 2/6 2/6

2 n

Además: Si x es normal o si n es grande (aún no siendo x normal).

X     X es normal   , X es normal (0;1)  Por tanto: z   n  n DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA CON  2 DESCONOCIDO

X  Sn n 1 X  T S n 1 n T

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Ejemplo: La variable ‘edad de la clase’ tiene μ=20 y σ2=2. Asumiendo que X es normal: a) Tomamos todas las posibles muestras de n=4 y calculamos X. Obtener E(X) y  X2 b) Obtener la probabilidad de encontrar un sujeto con X > 22 c) Obtener la probabilidad de encontrar una muestra con X > 22 SOLUCIÓN: a) E( X )=  =20

 X2 

2 n



X 

2  0,5 4

22  20  1, 41  2 X  22  20   2,83 c) Z   2 n 4 b) Z 



P( X >22)=P(Z=>1,41)=0,0793 P( X >22)=P(Z=>2,83)=0,0023

¿Qué aprendimos hoy? 1.

2. 3.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades, iniciarás con la resolución de situaciones referidas al tema. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten los temas abordados en la ficha. Luego resuelve los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Recuerda registrar tus aciertos, no aciertos, no realizadas, para que seas consciente de tu trabajo.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1.

Marca V (verdadero) o F (falso)según corresponda a) La muestra tiene más datos que la población. ( ) b) El muestreo estratificado es no aleatorio ( ) c) Un muestreo con reposición los elementos vuelven a la población y pueden aparecer más de una vez. ( ) d) La estadística inferencial permite estimar datos . ( ) e) Existen 2 tipos de muestreo: aleatorio y no aleatorio. ( )

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1. Explicar que procedimiento de selección sería más adecuado utilizar: Muestreo con o sin reposición. ¿Por qué? En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar.

2. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2 5000 niños, 7 000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada estrato.

3. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se ha encontrado los siguientes precios: 95-108-97112-99-106-105-100-99-98-104-110-107-111-103-110. Suponiendo de que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?

4 . De una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la sección C y 100 en la sección D. ¿Cómo será la distribución?

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Proyecto: “ENCUESTANDO”

Todo referente a Muestreo: Teoría http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88 .htm

Responsables: Tutor y estudiantes.

http://www.uiah.fi/projekti/metodi/252.htm Todo referente a Muestreo: Ejercicios http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/ PDF/XT04.pdf

Objetivo: Realizar una encuesta relacionado con el tema “ELECCIONES 2010”. Tareas: Organízate con tus compañeros para elaborar una encuesta y poder aplicar a las personas de tu zona sobre sus opciones municipales.

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OPERACIONES CON EVENTOS Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con operaciones con eventos encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy?   

¿Qué materiales utilizaré?

Calcular la probabilidad de un suceso. Aplicar la regla de Laplace en los sucesos. Identificar un experimento aleatorio y calcular la probabilidad como evento dependiente y/o independiente.



Libro de Matemática – 4to Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Observa las imágenes y responde a las preguntas 1. ¿Cuántas juegos diferentes observas y como se llaman? 2. ¿Has jugado alguna vez? De ser así ¿cuál? 3. Si eliges jugar con el dado, ¿Qué posibilidad tienes que salga par? Indícalo. 4. De una rifa de 200 tickets que se vendían yo compré el 25%, ¿A cuántos tickets corresponde el porcentaje? HISTORIA DE LA PROBABILIDAD La probabilidad nació con los juegos de azar. A los algebristas del renacimiento, en el siglo XVI, como Pacioli, Cardano o Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas sobre los juegos de azar y de las apuestas. En 1654, Blas Pascal, hacía un viaje en compañía de un jugador más o menos profesional: el caballero de Méré. Éste le propuso entonces un problema que a Pascal le interesó bastante, y sin que ninguno de los dos lo supiera, era esencialmente el mismo problema que había interesado tanto a Pacioli, Cardano y Tartaglia un siglo antes. Ésta es una versión del problema: "Dos jugadores, Antonio y Bernardo, ponen sobre la mesa 10.000 monedas cada uno. Un árbitro va a tirar un dado varias veces seguidas. Cada uno de los jugadores va a elegir un número entre el 1 y el 6. Antonio elige el 5 y Bernardo el 3. Se llevará las 20.000 monedas aquél cuyo número salga primero tres veces. Resulta que después de unas cuantas tiradas el 5 ha salido dos veces y el 3 sólo ha salido una vez. En este momento Bernardo recibe un mensaje por el que debe abandonar necesariamente la partida. ¿Cómo repartir de modo justo y equitativo las 20000 monedas? "Pascal después de pensárselo mucho y escribir a su amigo Fermat, ambos y por diferentes caminos llegaron a la misma solución del problema y a un montón de ideas: la teoría de la probabilidad había comenzado en serio. RESPONDE: a) ¿Cómo nació la probabilidad? b) ¿Qué es la probabilidad? c) ¿Quiénes son los primeros estudiadores de la probabilidad?

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14 Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollaras dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 4to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Probabilidad  Operaciones con eventos, probabilidad compuesta.  Probabilidad condicional, probabilidad con eventos independientes.

Probabilidad: Nociones elementales

Probabilidad: Posibilidad de que suceda un evento dentro de todos los resultados posibles. Evento: Cualquier hecho o acontecimiento. Experimento aleatorio: Proceso que consiste en ejecutar al azar un acto una o varias veces. Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento:( ) Ejm: Experimento Una moneda Un dado

Espacio muestral = cara; sello = c; s

Evento: obtener cara

= 1;2;3;4;5;6

Probabilidad 1 de 2 1 de 6

1 2 1 6

Propiedades de la probabilidad: 1) La probabilidad de un evento es mayor o igual que 0 pero menor o igual que 1.

0 P A

2) La suma de todas las probabilidades del espacio muestral es 1.

3) Para dos eventos A y B se cumple la propiedad de la adición.

P A

P B

P A

LEY DE LAPLACE: Es la razón entre el número de casos favorables n(A) y el número total de casos posibles n (

P A

n A n

Ejm: Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga par? SOL:

= 1;2;3;4;5;6

P(A)=

3 6

1 2

0,5

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Operaciones con eventos

Los eventos o sucesos son conjuntos, en consecuencia se pueden combinar eventos para formar nuevos eventos, para el efecto se realizan diferentes operaciones con conjuntos. a) A∪B

(A unión B), es el evento que ocurre si y sólo si A o B o ambos ocurren.

b) A∩B (A intersección B), es el evento que ocurre si y sólo si A y B suceden simultáneamente. c) A´

(Complemento de A), es el evento que ocurre si y sólo si A no ocurre. Ejemplo: En el experimento de lanzar dos monedas y un dado Ω= {CC1, CC2, CC3, CC4, CC5, CC6, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6} Se define los siguientes eventos: F={que aparezca dos caras y un número par} G={que aparezca un dos} Es decir: F={CC2, CC4, CC6} G={CC2, CS2, SC2, SS2}

A∪B

A∩B

A´

Ahora podemos definir: a) F y G sucedan, es decir F∩G ={CC2} b) Sucede F ó G, es decir F∪G ={CC2, CS2, SC2, SS2, CC4, CC6} c) Que no ocurra F, es decir F´ (elementos que no pertenecen a F) F´={CC1, CC3, CC5, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}

Ejercicios 1. Dado las siguientes situaciones que puedes concluir, exprésalo como : a) Intersección de eventos. Evento A: mujer de 30 años que llega a los 70 Evento B: esposo de 30 años que llega a los 70 b) Unión de eventos. Evento A: mujer de 30 años que llega a los 70 Evento B: esposo de 30 años que llega a los 70

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Eventos independientes y dependientes

EVENTOS INDEPENDIENTES

EVENTOS DEPENDIENTES

Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero NO influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad conjunta de dos sucesos independientes es:

Dos sucesos son dependientes si el resultado del primero influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad conjunta de dos sucesos dependientes es:

P A

P B

P A

B A

dónde:

Ejm: Se extraen 2 cartas de una baraja de 52, en P B , es probabilidad condicional a. A forma sucesiva y con reposición. Calcula la probabilidad de que ambas sean cartas de Ejm: Se extraen 2 cartas de una baraja de 52, corazones. en forma sucesiva y sin reposición. Calcula la SOLUCIÓN: Calculamos la probabilidad de cada suceso A: salir corazón en la 1ra extracción. P(A) = 13/52

probabilidad de que ambas cartas sean de corazones. A: salir corazón en la 1ra extracción. P(A) = 13/52

B: salir corazón en la segunda extracción. P(B)=13/52

B: salir corazón en la segunda extracción habiendo salido corazón en la 1ra extracción. Calculamos la probabilidad de que las 2 sean P(B/A)=12/51. corazones. P A B P A P B Calculamos la probabilidad del experimento.

P A

13 13 52 52

1/16

La probabilidad es de 1/16.

B A

P A

13 12 =1/17 52 51

La probabilidad es de 1/17

Ejercicios 1. En tu cuaderno resuelve: Un grupo de 34 estudiantes de una escuela de administración, reveló la siguiente selección de carreras profesionales: Contaduría 10; Finanzas 5; Sistemas de información 3; Administración 6; Mercadotecnia 10. Suponga que se selecciona un estudiante y se considera su elección profesional. a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie la carrera de administración? b) ¿Qué concepto de probabilidad utilizó para hacer tal estimación?

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Probabilidad Condicional

Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestral S, tales que P(A) > 0 con P(A)¹ 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por: P

B A

P A B P A

a) Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B: ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? b) Si la flecha seleccionada es del tipo C: ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II? c) Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos? e) ¿Cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos? Solución: a. Definiremos los eventos; E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = 200 elementos o flechas A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = 909 flechas o elementos A E = 165 elementos del tipo B y que no tienen defectos p(A E) = A E / E = 165/200 = 0.825 b. E = evento de que la flecha sea del tipo C = 300 flechas A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II = 59 flechas A E = 14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II p(A E) = A E / E = 14/300 = 0.04667 c. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = 132 flechas A = evento de que la flecha sea del tipo A = 200 flechas A E = 54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A p(A E) = A E / E = 54 / 132 = 0,40901 d. En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento que esté condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad. D = evento de que una flecha no tenga defectos = 909 flechas = 1100 flechas p(D) = 909/1100 = 0,82636 e. F = evento de que una flecha tenga defectos = 132 + 59 = 191 flechas = 1100 flechas p(F) = 191 / 1100 = 0,17364

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¿Qué aprendimos hoy? 1.

2. 3.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la resolución de problemas referidos a operaciones con eventos. En parejas inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten los temas abordados en la ficha. Luego resuelve los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Recuerda registrar tus aciertos, no aciertos, no realizadas, para que seas consciente de tu trabajo.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Define el espacio muestral en cada caso: a) Lanzamiento de dos dados. b) Se tiran dos dados, que sus suma de siete. 2. Un alumno al rendir un examen, aprueba en un 80%: ¿Cuál es la probabilidad de desaprobar el examen? Exprésala en decimales y porcentaje. Resuelve las siguientes situaciones: a. Supongamos que se extrae una muestra aleatoria de una bolsa de frutas. La bolsa contiene 4 manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Si se selecciona 2 frutas, una a la vez, con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una naranja y una manzana en ese orden? b. Suponga que se extrae dos cartas, una a la vez sin reemplazo, de una baraja ordinaria. ¿Cuál la probabilidad de que ambas cartas sean par de ases? c. Supongamos que lanzamos un par de dados legales una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 en el primer dado y un 4 en el segundo? d. Supongamos que se extrae al azar dos frutas, de una bolsa que contiene 4 manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Se obtiene una muestra sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una naranja y una manzana, en ese orden?

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre probabilidad: Teoría http://www.scribd.com/doc/6314895/probabili dad Todo referente a probabilidad: Ejercicios. http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sa baticorita/_private/05Probabilidad%20condicion al.htm

Proyecto: “Investigando y creando situaciones” Responsables: tutor y estudiantes. Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática relacionado con el tema “Probabilidad”. Tareas: Realiza una encuesta sobre los juegos de azar que más practican los jóvenes en tu zona, (hombres, mujeres). Y crea situaciones de eventos dependientes e independientes con sus respuestas.

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COMBINATORIA - LA RECURSIVIDAD Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con combinatoria encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy? Reconocer y aplicar el principio multiplicativo.  Identificar, permutación, variación y combinación y establecer la diferencia.  Resolver situaciones propuestas sobre la teoría combinatoria. 

¿Qué materiales utilizaré? 

Libro de Matemática – 4to Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.



¿Cómo empezamos? Te invito a realizar este juego .lee atentamente las instrucciones y acción. Instrucciones:

El objetivo de este conocido juego es mover todos los discos desde el palo de la izquierda hasta el de la derecha teniendo en cuenta las siguientes restricciones. Solo podemos mover un disco cada vez y este solo puede ser colocado encima de un disco de mayor diámetro o en un palo vacío. a) ¿Cuáles son los pasos que realizarás para llegar a la meta? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. b) Y si fuera el juego con 4 piezas ¿cuántos pasos tienes que realizar? …………………………………………………………………………………………………………………………………………….

La importancia de los juegos en la matemática La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,... Fuente: http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm Investiga que aportes dieron los matemáticos mencionados.

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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 4to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Combinatoria  Principio de la adición y multiplicación  Inducción matemática.

Concepto de Recursividad-aplicaciones La recursividad es una técnica de programación muy potente que puede ser utilizada en lugar de la iteración. •Permite diseñar algoritmos recursivos que dan soluciones elegantes y simples, y generalmente bien estructuradas y modulares, a problemas de gran complejidad. ¿En qué consiste realmente la recursividad? Es una técnica que nos permite que un algoritmo se invoque a sí mismo para resolver una "versión más pequeña" del problema original que le fue encomendado.

Ejm: 1. Factorial Definición: factorial (n) = n! si n > 0 factorial (n) = n*n-1*n-2* ... * 1 si n > 0 el valor de 0! se define como factorial (0) = 1 Su definición recursiva es: factorial (n) = 1 si n = 0 factorial (n) = n* factorial (n-1) si n > 0 así para calcular el factorial de 4: factorial (4) = 4 x factorial (3) = 4 x6 = 24 factorial (3) = 3 x factorial (2) = 3 x2 = 6 factorial (2) = 2 x factorial (1) = 2 x 1 = 2 factorial (1) = 1 x factorial (0) = 1 x 1 = 1 Ejm: 5!=5x4x3x2x1=120

En el campo de la matemática la recursividad se aplica en varios contenidos matemáticos como son: Principio multiplicativo Factorial, Variaciones, Permutación, Combinaciones

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Principio fundamental del conteo-Permutaciones Principio Multiplicativo: SI un evento “A” se puede efectuar de m maneras y otro evento de n maneras entonces los eventos Ay B se pueden efectuar simultáneamente (o uno seguido del otro) de m x n maneras. Ejm: Carmen dispone de 2 blusas y 3 faldas de temporada ¿De cuántas maneras distintas podrá vestirse nuestra amiga? Solución: BLUSAS FALDAS Evento A=2 EVENTO B=3 Por el principio 2x3=6 maneras diferentes 1 1 2 2

3 Permutaciones: Es un arreglo u ordenación que se puede formar con todos los elementos disponibles de un conjunto. Interesa el orden. Tipos: Permutación lineal: P n n! Permutación con lugar fijo: Pn,k Permutación circular: Pc n

n k !

n 1!

Permutación con repetición: PR

, ... n

n! ! !.. !

Ejercicios

Resuelve los siguientes casos: a) ¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7? b) ¿Cuántos pares de letras vocales distintas existen? c) Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay 4 caminos, par ir de la ciudad B a la ciudad C hay 5 caminos y de la ciudad C a la D hay 3 caminos ¿Cuántos caminos diferentes hay para ir de la ciudad A a la ciudad D, pasando por B y C d) ¿De cuántas maneras pueden formar parejas de baile de marinera Ana y Bertha con Sergio, Luis y Beto? e) ¿Puedes calcular con facilidad el número de parejas que e podrían formar en un concurso de marinera en el que hay 40 participantes mujeres y 38 varones? f) En una reunión se sientan 5 personas alrededor de un mesa ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse? g) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 alumnos en 5 sillas colocadas en línea recta? h) ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar, 5 diccionarios iguales, 6 almanaques mundiales iguales, 4 recetarios de cocina en un estante de una librería?

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Variación-Combinación

Variación

Combinación

Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte de los elementos disponibles de un conjunto. En una variación si interesa el orden.

Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos. El número de combinaciones de “N” elementos diferentes tomados de k en k se calcula como:

n! ; 0<k n n k !

Vk n

Variación con repetición: VRn;k Ejm:

En un aula hay 3 candidatos: a, b y c para ser elegido Presidente y Secretario. ¿De cuántas maneras pueden ocupar estos puestos? SOL: n=3 personas k=2 cargos a

V23

3 2

6 formas

Ckn

n! 0<k n k! n k !

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 5 personas se pueden formar con 8 personas? Sol: n=8(total de elementos) k=5(elementos de cada grupo)

C58

8! 8 7 6 5! 8 7 6 5! 8 5 ! 6 5! 3!

Ejercicios 1. Lee atentamente e identifica si es variación combinación, y encuentra el resultado de: a) Un alumno tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen ¿de cuántas maneras puede el alumno escoger las 8 preguntas? b) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1; 3; 5; 7; 8 y 9? c) Se tiene los números: 1; 2; 3; 4; 5; 6 y se desea saber cuántos números de 3 cifras podemos formar con ellos.

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciarás con la resolución de problemas sobre combinatoria. Luego resuelve los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Recuerda registrar tus aciertos, no aciertos, no realizadas, para que seas consciente de tu trabajo.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1.

Marca V (verdadero) o F (falso)según corresponda a) El factorial de (-5)! es 120 b) La variación puede ser con repetición de elementos. c) En la combinación no interesa el orden. d) El principio multiplicativo se aplica con un solo evento e) e)En la permutación lineal se aplica factorial

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Identifica si es permutación ,variación ,combinatoria en los siguientes casos: a) Meche tiene 5 pares de zapatillas y 7 pares de zapatos, de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes puede Meche vestirse con estos calzados? b) ¿De cuántas maneras distintas 6 personas pueden ubicarse alrededor de una fogata? c) Vanesa puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje? d) ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila 3 personas para tomarse una foto? e) Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar? f) Con todas las letras de la palabra “ALIBABA” ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar, sin importar lo que diga?

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Proyecto: “Mi producción creativa”

Todo sobre Combinatoria Recursividad: http://www.lcc.uma.es/~lopez/modular/recursion /transp_recursion.pdf http://www.vitutor.com/pro/1/a_r.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed990516-02/practica/index.html Todo sobre Combinatoria: Ejercicios

Responsables: tutor y estudiantes

http://www.acienciasgalilei.com/mat/proble mas/ejerc1mat-combinatoria-1.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_did acticos/Combinatoria/hojasdetrabajo/hoja2_ principios.pdf

Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática relacionado con el tema “Combinatoria”. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de preguntas creativa Sobre el tema desarrollado. Registra Situaciones de tu entorno (personas, cargos, calles, etc.)

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