MATEMATICA5 by Pilar Capcha Chavez

LÓGICA PROPOSICIONAL ¿Qué materiales utilizaremos?

¿Qué aprenderemos hoy? 

 

A diferenciar enunciados y proposiciones. A reconocer conectivos lógicos. A resolver problemas con cuantificadores.

Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de lógica proposicional.

Lee con atención la siguiente lectura: La Lógica - Antecedentes La lógica es la ciencia que estudia la estructura y validez de los argumentos. Existen dos tipos fundamentales de lógica: la lógica material, también llamada clásica o tradicional, y la lógica formal, llamada también simbólica, moderna o matemática. La lógica material se caracteriza por utilizar símbolos interpretados o palabras, es decir, el lenguaje cotidiano. Aristóteles (384 – 322 a.C.) en su obra Organon (instrumento) expuso la teoría del silogismo en la que establece sistemáticamente sus principios fundamentales así como los procedimientos lógicos más importantes (...). La lógica Fuente: http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ formal se caracteriza por la utilización de símbolos no interpretados que no se corresponden con las palabras del lenguaje ordinario. La lógica formal surgió en el siglo XIX con Goerge Boole, aunque la obra decisiva Principia mathematica fue escrita entre 1910 y 1913 por Bertrand Russell y Alfred Whitehead. En ella se sostiene que cualquiera que sea el contenido dado a los símbolos no interpretados, si se respetan las leyes o las reglas por las que se combinan las proposiciones, la argumentación es válida. Fuente:

Libro Símbolos 4 – Editorial Santillana – Año 2000

Responde las siguientes preguntas: a) Expresa con tus palabras el significado de “Lógica” ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Qué diferencias encuentras entre la lógica material y la formal? ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Con ayuda de un libro de consulta, repasa los siguientes temas:   

Proposición. Enunciado numérico. Cuantificadores.

Puedes consultar textos o documentos relacionados con el tema tratado.

Proposición 

Proposición: Es una expresión que puede calificarse como verdadera o falsa. Se representa con letras minúsculas. a) Proposiciones simples: son las que no tienen conectivos u operadores. b) Proposiciones compuestas: conformadas por más de una proposición simple unidas por operadores o conectores lógicos. Tenemos: Conjunción: La conjunción está formada por dos proposiciones simples unidas por el conector “y” representado “ ”.Ejemplo: José y Ricardo son médicos. p V V F F

q V F V F

q V V V F

Una conjunción es verdadera sólo cuando ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será siempre falsa.

Condicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo lógico “Si... entonces” cuyo símbolo es “ ”.Ejemplo: Si María está nublado entonces lloverá. p

V V F F

V F V F

q V F V V

La proposición condicional será falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; será verdadera en los demás casos.

Disyunción: Está formada por proposiciones simples relacionadas por el conectivo lógico “o” representado por “ ”. Ejemplo: Gabriel asiste a sus clases o al trabajo. p V V F F

q V F V F

Bicondicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo “si y sólo si” y se representa con “ ”. Por ejemplo: Juan llegará al teatro si y solo si trabaja temprano. p

V V F F

V F V F

q V F F V

Negación: Una proposición es negativa cuando una proposición simple es afectada por una negación. Se representa con “ ”. 

Una disyunción es verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera y falsas cuando ambas son falsas.

q V F F F

La proposición bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas.

V F

F V

Clasificación de los esquemas moleculares:  Tautología, cuando todos los valores de verdad son verdaderos.  Contradicción, cuando todos los valores de verdad son falsos.  Contingencia, cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros son falsos.

2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. Determina la validez de las siguientes fórmulas usando las tablas de valores: a)

p q

Enunciado numérico Es una expresión que se refiere a números. No siempre un enunciado es una proposición. Hay de dos clases: abiertos o cerrados  Enunciados abiertos: Es aquel que está formado por constantes y variables. Por ejemplo: z 18 

Enunciados cerrados: Es aquel que tiene un valor de verdad, por tanto es una proposición 2 x 3 9, para x 3

Todo enunciado abierto se puede convertir en proposición siempre que se sustituya las variables por constantes. Aquella nueva proposición suele representarse por p(x), según los valores que tome la variable “x”.

p: x

/y 8

El conjunto de valores “x” para lo cual la proposición es verdadera es 8;9;10;11...

Actividades 1. Menciona los valores “x” para que cumplan con las condiciones presentadas: a)

p( x) : x

/ 3x 6 x 8

a) A Bb)

p( x) : x

/ 3x 6 x 8

p( x) : x

/ 3x 6 x 8

(

)

3 Prof. Beatriz Toledo López

Cuantificadores Como observamos anteriormente, una función proposicional se puede convertir en una proposición si le asignamos a la variable un valor particular, sin embargo también podemos realizar esta operación utilizando los cuantificadores. 

Cuantificador universal: Se representa por Se lee: x Por ejemplo:

A, p( x) se lee “Para todo x que pertenece a A, se cumple que p(x)”

x B, x 1 12; B 8; 10; 12; 14 Si x = 8 entonces 8 1 12 es verdadero Si x = 8 entonces 10 1 12 es verdadero Si x = 8 entonces 12 1 12 es verdadero Si x = 8 entonces 14 1 12 es falso 

y se lee “para todo” o “para cualquier”.

Cuantificador existencial: Se representa por menos un”. Se lee:

Por lo tanto la proposición x B, x 1 12 es falsa pues no cumple para todos los valores de B.

y se lee “existe algún” o “existe por lo

x A, p( x) se lee “Existe por lo menos un elemento x que pertenece a A, se cumple que p(x)” Por ejemplo:

x C, x2 1 20; C

1; 3; 5

Si x = 1 entonces 12 1 20 es falso Si x = 5 entonces 42 1 20 es falso Si x = 4 entonces 52 1 20 es verdadero

Por lo tanto la proposición x C , x 2 1 20 es verdadera

porque cumple por lo menos con un elemento que verifica la igualdad.

Actividades 1.

Verifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

x A / x 3 10; A

/ x2

/ 3x 4 10;

/ x3 1

4 Prof. Beatriz Toledo López

01 ¿Qué aprendimos hoy? 1.

Utilizando tablas de verdad, halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

p q

b) c)

q p

p r q

p q

Verifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

x S / 2 x 6; S

x W / 2 x 6; W

/ 2x2 x 6; A

/x 0

1;3;5;7

/x 5 3

2;6;8

1;2;3

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado, desarrollando ejercicios referentes a: 

Proposición.



Enunciados numéricos.



Cuantificadores.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Lógica formal e informal http://recursos.cnice.mec.es/filosofia/swf/unidad03.swf Cuantificadores – Lenguaje simbólico http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_02_02-Cuantif_Lenguajesimbol/0_cuantif-lenguaje-simbol.html

5 Prof. Beatriz Toledo López

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA ¿Qué aprenderemos hoy? 

¿Qué materiales utilizaremos?

A reconocer y graficar funciones

exponenciales y logarítmicas. 

resolver

problemas

que

involucren funciones exponenciales

Libro Matemática 5to grado – Ediciones El Nocedal – 2008. Libro de consulta de Matemática - Nivel secundaria que contenga el tema de funciones exponenciales y logarítmicas.

y logarítmicas.

Lee con atención la siguiente lectura HISTORIA DE LOS LOGARITMOS M.O. Francisco Javier Tapia Moreno CAUSAS DEL DESCUBRIMIENTO A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos laboriosos que los utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la multiplicación, de la división, etc. El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos. Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía." Fuente: http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf

Investiga con tus compañeros y responde: a) Menciona 5 símbolos utilizados en Matemática e indica su significado. ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Repasa de tu libro de consulta Matemática 5 – Ediciones El Nocedal 2008 los siguientes temas:  

Si no cuentas con el libro de consulta, puedes revisar los temas de otros textos o documentos que traten los temas planteados.

Función exponencial. Función logarítmica.

Lee de tu libro de consulta Matemática 5 – Ediciones El Nocedal 2008, la lectura de la página 35. Responde: a) Explica con tus palabras lo que entiendes de la lectura. b) Menciona 2 ejemplos similares con situaciones cotidianas.

Función exponencial Es aquella relación f que está representada por y f ( x) a x donde a > 0 y a≠1, x La función exponencial tiene las siguientes características: 1. Dom f y Ran f 2. 3. 4. 5.

La gráfica de la función interseca siempre al eje y en el punto (0;1). Es una función continua para todo su dominio. Es una función inyectiva. La gráfica puede ser de dos formas:

ax , 0

a 1 http://www.kalipedia.com/kalip ediamedia/matematicas/media /200709/26/funciones/2007092 6klpmatfnc_97.Ges.SCO.png

a ,a 1

Para graficar funciones exponenciales, realizaremos los siguientes pasos:

f ( x ) 3x

Por ejemplo: Graficar la función y

1º Tabulamos la función (de ser necesario utilizaremos calculadora): x

…

-2

-1

…

y=3x

…

1 9

1 3

…

f ( x ) 3x

2º Finalmente graficamos la función con los puntos obtenidos.

2 Prof. Beatriz Toledo López

Función logarítmica El logaritmo es el exponente de una potencia. Veamos:

log 2 32

Recuerda que los números negativos no tienen logaritmo, ya que a y es positivo para todo y 

Función logarítmica: La función logarítmica es inversa a la exponencial. Se llama función logarítmica de variable real a toda función f, tal que: Es aquella relación f que está representada por y f ( x) log a ( x), donde a > 0 y a≠1. La función logarítmica tienen las siguientes características: 1. Dom f y Ran f 2. 3. 4. 5.

La gráfica de la función interseca siempre al eje y en el punto (1;0). Es una función continua para todo su dominio. Es una función inyectiva. La gráfica puede ser de dos formas:< y

log a x, para a 1

Para graficar funciones logarítmicas realizaremos los siguientes pasos: Por ejemplo: Graficar la función y

log 2 x

1º Convertimos el logaritmo en su forma exponencial. x 2 y 2º Tabulamos la función (de ser necesario utilizaremos calculadora): y

…

-2

-1

…

1/4

1/2

…

2º Finalmente graficamos la función con los puntos obtenidos.

Actividades 1.

Para graficar funciones exponenciales, realizaremos los siguientes pasos:

En tu cuaderno grafica las siguientes funciones: Por ejemplo: Graficar la función y f ( x ) 3x

utilizaremosf (calculadora a)1º Tabulamos x) 2 log):4 x f ( x) 2 x la función (de ser necesario d)

f ( x)

log 4 x

f ( x)

2x 3

1 f ( x) 3 f ( x) log 5 2 x

3 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1. Grafica las siguientes funciones y halla el dominio y rango respectivamente: a)

f ( x)

log 5 x

f ( x)

log1/4 x

f ( x)

2x 3

f ( x)

3log 2 x

f ( x) 3x

2. Halla el valor de “x” en cada caso: a)

32 x

123

43 x

22 x

66 53 x

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 5to grado - Ediciones El Nocedal - 2008: 

Actividad 4: Función exponencial (pág 38).



Actividad 5: Función logarítmica (pág 43).

Puedes reforzar los contenidos con textos o separatas con el tema tratado.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Función exponencial y logarítmica http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/2.1.html Función exponencial http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_03500.html

4 Prof. Beatriz Toledo López

LÓGICA PROPOSICIONAL ¿Qué materiales utilizaremos?

¿Qué aprenderemos hoy? 

 

A diferenciar enunciados y proposiciones. A reconocer conectivos lógicos. A resolver problemas con cuantificadores.

Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de lógica proposicional.

Libro Símbolos 4 – Editorial Santillana – Año 2000

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Con ayuda de un libro de consulta, repasa los siguientes temas:   

Proposición. Enunciado numérico. Cuantificadores.

Puedes consultar textos o documentos relacionados con el tema tratado.

Proposición 

q V F V F

q V V V F

Una conjunción es verdadera sólo cuando ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será siempre falsa.

Condicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo lógico “Si... entonces” cuyo símbolo es “ ”.Ejemplo: Si María está nublado entonces lloverá. p

V V F F

V F V F

q V F V V

La proposición condicional será falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; será verdadera en los demás casos.

Disyunción: Está formada por proposiciones simples relacionadas por el conectivo lógico “o” representado por “ ”. Ejemplo: Gabriel asiste a sus clases o al trabajo. p V V F F

q V F V F

Bicondicional: Cuando sus componentes están relacionados por el conectivo “si y sólo si” y se representa con “ ”. Por ejemplo: Juan llegará al teatro si y solo si trabaja temprano. p

V V F F

V F V F

q V F F V

Negación: Una proposición es negativa cuando una proposición simple es afectada por una negación. Se representa con “ ”. 

Una disyunción es verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera y falsas cuando ambas son falsas.

q V F F F

La proposición bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas.

V F

F V

2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. Determina la validez de las siguientes fórmulas usando las tablas de valores: a)

p q

Enunciados cerrados: Es aquel que tiene un valor de verdad, por tanto es una proposición 2 x 3 9, para x 3

p: x

/y 8

El conjunto de valores “x” para lo cual la proposición es verdadera es 8;9;10;11...

Actividades 1. Menciona los valores “x” para que cumplan con las condiciones presentadas: a)

p( x) : x

/ 3x 6 x 8

a) A Bb)

p( x) : x

/ 3x 6 x 8

p( x) : x

/ 3x 6 x 8

(

)

3 Prof. Beatriz Toledo López

Cuantificador universal: Se representa por lee: x

A, p( x) se lee “Para todo x que pertenece a A, se cumple que p(x)”

Por ejemplo: x B, x 1 12; B

8; 10; 12; 14 Si x = 8 entonces 8 1 12 es verdadero Si x = 8 entonces 10 1 12 es verdadero Si x = 8 entonces 12 1 12 es verdadero Si x = 8 entonces 14 1 12 es falso 

y se lee “para todo” o “para cualquier”. Se

Cuantificador existencial: Se representa por menos un”. Se lee:

Por lo tanto la proposición x B, x 1 12 es falsa pues no cumple para todos los valores de B.

y se lee “existe algún” o “existe por lo

x A, p( x) se lee “Existe por lo menos un elemento x que pertenece a A, se cumple que p(x)” Por ejemplo:

x C, x2 1 20; C

1; 3; 5

Si x = 1 entonces 12 1 20 es falso Si x = 5 entonces 42 1 20 es falso Si x = 4 entonces 52 1 20 es verdadero

Por lo tanto la proposición x C , x 2 1 20 es verdadera

porque cumple por lo menos con un elemento que verifica la igualdad.

Actividades 1.

Verifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

x A / x 3 10; A

/ x2

/ 3x 4 10;

/ x3 1

4 Prof. Beatriz Toledo López

01 ¿Qué aprendimos hoy? 1.

Utilizando tablas de verdad, halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

p q

b) c)

q p

p r q

p q

Verifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

x S / 2 x 6; S

x W / 2 x 6; W

/ 2x2 x 6; A

/x 0

1;3;5;7

/x 5 3

2;6;8 1;2;3

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado, desarrollando ejercicios referentes a: 

Proposición.



Enunciados numéricos.



Cuantificadores.

FUNCIONES ¿Qué aprenderemos hoy?  



¿Qué materiales utilizaremos?

A reconocer el dominio y rango de funciones. A diferenciar las funciones inyectiva, sobreyectiva, biyectiva e inversa. A resolver problemas que involucren tipos de funciones.

Libro de consulta nivel secundaria que contenga el tema de tipos de funciones inyectiva, sobreyectiva, biyectiva e inversa. Video “Las funciones y sus gráficas”

Lee con atención la siguiente lectura Función de x = f x Fue Johann Bernoulli quien a finales del siglo XVII empezó a utilizar símbolos especiales para representar funciones. En una carta a Leibniz le comentaría que prefería utilizar las letras mayúsculas correspondientes a los nombres de las variables para así liberar a la memoria de tener que recordar de qué variable es cada función. Más tarde, en 1718, simplificaría las cosas utilizando la letra griega φ (léase "fi"), precursora de nuestra "f", de modo que si φ era una función de x escribía φx.

Johann Bernoulli Fuente: http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEd ucativos/mem2001/ciencia/imagenes/johannb.jpg

Sería Euler, una vez más, quien en sus Commentari de San Petersburgo de 1734 dejaría las cosas tal y como están hoy al utilizar como nombre genérico para las funciones la letra "f" e indicar la variable entre paréntesis. Fuente: http://www.epsilones.com/paginas/t-signos.html#signos-funcion Investiga con tus compañeros y responde: a) Menciona 5 símbolos utilizados en Matemática e indica su significado. ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... 1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Repasa de tu libro de consulta Matemática 5 – Ediciones El Nocedal 2008 los siguientes temas:  

Si no cuentas con el libro de consulta, puedes revisar los temas de otros textos o documentos que traten los temas planteados.

Funciones: dominio y rango. Tipos de funciones

2. Observa con atención el video: “Las funciones y sus gráficas” y responde lo siguiente: a) ¿Qué entiendes por función? b) Menciona 2 ejemplos de funciones y grafícalos.

Funciones Es aquella relación f de A en B denotada por f : A B es una función si y sólo si a cada elemento de x A le corresponde un único elemento y B . Se denota: f :A

B , se lee función de A en B

Para que cumpla con el concepto, ninguna primera componente deberá repetirse en la relación. Por ejemplo: a) R1

1;2 , 1;6 , 2;3 , 3;8

b) R2

2;1 , 1;1 , 5;3 , 3;8

No es función pues el elemento 1 se repite en dos pares diferentes. Es función pues ninguno de los primeros elementos se repite.

En una función los valores del dominio no deberán repetirse en ningún par de la relación. 

Dominio y rango de una función: El dominio de la función es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función. f ( x) El rango al conjunto de las segundas componentes de los A B pares ordenados de la función. Por ejemplo: 2 Dada la función: f 2;4 , 3;5 , 4;6 , 5;7 5 3 Dom f 2;3;4;5 6 4 5 Ran f 4;5;6;7 7

2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Halla el dominio y rango de las siguientes funciones: a)

1;3;3, 4 , B

1;5;6,7;8 , f ( x)

x; y

AxB / y

x 2

2;0; 1 , B

0;1;2;3;4 , f ( x)

x; y

AxB / y

x 3

3; 2; 1,0 , B

1;0;1, 2 , f ( x)

x; y

AxB / y

x 1

Tipos de funciones 

Función inyectiva o univalente: Una función f es inyectiva si a cada elemento A (preimagen) le corresponde únicamente un elemento de B (imagen). Por ejemplo: Indica si las siguientes funciones son inyectivas: Sean los conjuntos:

1;2 , 2;3 , 3;1 , 4;4 f1 A B 1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4

Es inyectiva, pues a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango. 

1;1 , 2;3 , 3;1 , 4;4 , 5;4 f2 A B 1 3 4

No es inyectiva, pues hay elementos (1 y 4) que tienen la misma imagen.

Función suryectiva o sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva cuando el rango de dicha función es igual al conjunto de llegada. Por ejemplo: Indica si la función es sobreyectiva:

A 1;2;3 y B a; b; c Si f : A Si A= conjunto de partida y B= conjunto de llegada Ran f

a; b; c

B; f

conjuntode llegada

1; b ; 2; c ; 3; a A 1 2 3

B a b c

f es sobreyectiva

3 Prof. Beatriz Toledo López



Función biyectiva: Una función f es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Por ejemplo:

Sean los conjuntos: P

1;3;5 , Q 2;4;8 y la función f1 1º La función es inyectiva pues f (5) 4; f (3) 2 y f (1) 8 2º La función es sobreyectiva pues Ran f 2;4;8 Q

5;4 , 3;2 , 1;8

f es biyectiva 

Función suryectiva o sobreyectiva: Dada una función biyectiva f : A B la función inversa f está denotada por f resulta de intercambiar entre sí las componentes de cada par ordenado de f .

Para que una función sea inversa, necesariamente deberá de ser biyectiva.

Por ejemplo: Si: A 3;5;7 , B

2;4;6 y la función f : A

B tal que f

3;6 , 5;4 , 7;2 .

Halla f .

1º Verificamos que la función sea biyectiva. 2º Por lo tanto: f

6;3 , 4;5 , 2;7

Actividades 1.

Sean las siguientes funciones: A 2;4;6,8 , B 2;3;5,8 .Si:

2;5 , 4;5 , 8;8 , 6;8 , g

4;5 , 2;8 , 6;5 , 8;2 . ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?

2;2 , 6;3 , 4;8 , 8;5

g es inyectiva

f y h son sobreyectivas

f y g son biyectivas

g es inversa de f

¿Qué aprendimos hoy? 1. Grafica las siguientes funciones y respectivamente:

halla el dominio y rango

1;2;3, 4 , B

3;4;5,6 , f ( x)

x; y

2;3; 4;5 , B

3;8;15; 24; 26 , f ( x)

3; 2; 1,0 , B

1;0;1, 2 , f ( x)

AxB / y

x; y

AxB / y

x; y

AxB / y

x2 1

x 1

Recuerda que puedes utilizar el diagrama sagital o el diagrama cartesiano para graficar las funciones.

4 Prof. Beatriz Toledo López

Expresa cada relación como un conjunto de pares ordenados y halla el dominio y rango de cada uno de los siguientes ejercicios: a)

2;3;5;6

3; 4;6

x; y

AxB / x

20; 24;30; 48

3; 4;5;7;12

R2 3.

x; y

y d)

PxS / x es un múltiplo de y

3;5;7;9

1; 2;3; 4

x; y

3;5;7;9

1; 2;3; 4

x; y

CxD / x

Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

Toda función inyectiva es sobreyectiva.

(

)

La función inversa deberá ser solamente inyectiva.

(

)

El rango es el conjunto de las primeras componentes de la función.

(

)

Toda función biyectiva es inversa.

(

)

Las funciones sobreyectivas son aquellas cuyo rango es igual al conjunto de llegada.

(

)

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta que contenga los siguientes temas: 

Funciones: dominio y rango.



Tipos de funciones.

Puedes reforzar los contenidos con textos o separatas con el tema tratado.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Teoría de funciones http://perso.wanadoo.es/timonmate/funciones3eso.swf Relaciones y funciones http://www.escolar.com/matem/02relac.htm

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FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA ¿Qué aprenderemos hoy? 

¿Qué materiales utilizaremos?

A reconocer y graficar funciones

exponenciales y logarítmicas. 

resolver

problemas

que

involucren funciones exponenciales

Libro Matemática 5to grado – Ediciones El Nocedal – 2008. Libro de consulta de Matemática - Nivel secundaria que contenga el tema de funciones exponenciales y logarítmicas.

y logarítmicas.

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Repasa de tu libro de consulta Matemática 5 – Ediciones El Nocedal 2008 los siguientes temas:  

Si no cuentas con el libro de consulta, puedes revisar los temas de otros textos o documentos que traten los temas planteados.

Función exponencial. Función logarítmica.

Función exponencial Es aquella relación f que está representada por y f ( x) a x donde a > 0 y a≠1, x La función exponencial tiene las siguientes características: 1. Dom f y Ran f 2. 3. 4. 5.

La gráfica de la función interseca siempre al eje y en el punto (0;1). Es una función continua para todo su dominio. Es una función inyectiva. La gráfica puede ser de dos formas:

ax , 0

a 1 http://www.kalipedia.com/kalip ediamedia/matematicas/media /200709/26/funciones/2007092 6klpmatfnc_97.Ges.SCO.png

a ,a 1

Para graficar funciones exponenciales, realizaremos los siguientes pasos:

f ( x ) 3x

Por ejemplo: Graficar la función y

1º Tabulamos la función (de ser necesario utilizaremos calculadora): x

…

-2

-1

…

y=3x

…

1 9

1 3

…

f ( x ) 3x

2º Finalmente graficamos la función con los puntos obtenidos.

2 Prof. Beatriz Toledo López

Función logarítmica El logaritmo es el exponente de una potencia. Veamos:

log 2 32

Recuerda que los números negativos no tienen logaritmo, ya que a y es positivo para todo y 

La gráfica de la función interseca siempre al eje y en el punto (1;0). Es una función continua para todo su dominio. Es una función inyectiva. La gráfica puede ser de dos formas:< y

log a x, para a 1

Para graficar funciones logarítmicas realizaremos los siguientes pasos: Por ejemplo: Graficar la función y

log 2 x

1º Convertimos el logaritmo en su forma exponencial. x 2 y 2º Tabulamos la función (de ser necesario utilizaremos calculadora): y

…

-2

-1

…

1/4

1/2

…

2º Finalmente graficamos la función con los puntos obtenidos.

Actividades 1.

Para graficar funciones exponenciales, realizaremos los siguientes pasos:

En tu cuaderno grafica las siguientes funciones: Por ejemplo: Graficar la función y f ( x ) 3x

utilizaremosf (calculadora a)1º Tabulamos x) 2 log):4 x f ( x) 2 x la función (de ser necesario d)

f ( x)

log 4 x

f ( x)

2x 3

1 f ( x) 3 f ( x) log 5 2 x

3 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1. Grafica las siguientes funciones y halla el dominio y rango respectivamente: a)

f ( x)

log 5 x

f ( x)

log1/4 x

f ( x)

2x 3

f ( x)

3log 2 x

f ( x) 3x

2. Halla el valor de “x” en cada caso: a)

32 x

123

43 x

22 x

66 53 x

Reforzando lo aprendido Refuerza el tema tratado desarrollando ejercicios de un libro de consulta Matemática 5to grado - Ediciones El Nocedal - 2008: 

Actividad 4: Función exponencial (pág 38).



Actividad 5: Función logarítmica (pág 43).

Puedes reforzar los contenidos con textos o separatas con el tema tratado.

4 Prof. Beatriz Toledo López

TRIGONOMETRÍA: RAZONES TRIGOMÉTRICAS Sumilla Mediante el desarrollo de ejercicios y problemas, se refuerzan los aprendizajes logrados de los temas relacionados con “Razones trigonométricas de ángulos agudos, notables y complementarios”.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Relacionar los lados y ángulos de triángulos rectángulos.  Determinar las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos.  Resolver problemas aplicativos de razones trigonométricas. 

Libro de Matemática – 5to Grado de Secundaria – Ediciones El Mocedal S.A.C. Lima – Perú 2008.  Autor: Rubén Hildebrando Gálvez Paredes 

¿Cómo empezamos? Iniciamos con una remembranza breve sobre la historia de la Trigonometría El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego “trigones” (triangulo) y “metros” (metería).

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3 000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas. A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a

Hiparco de Nicea

finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones.

1 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

04 Actividades 1. Leer los contenidos de la Fichas de Matemática y desarrollar siguientes actividades:  Revisar los conceptos de razones, que fueron estudiados en el 2º y 3º grado.  Elaborar gráficos de triángulos rectángulos y señalar los elementos correspondientes.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática del 5º que se encuentre a su disposiciones, en la biblioteca del CPED, la Municipalidad u otras instituciones de la localidad

Razones trigonométricas de ángulos agudos 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AGUDO. Se denomina razones trigonométricas a las diferentes relaciones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Todo triángulo rectángulo, tiene dos catetos y una hipotenusa. Los catetos son los lados que se oponen a los ángulos agudos y la hipotenusa al ángulo recto, tal como se observa en la figura de la izquierda. Las seis razones trigonométricas se definen de la siguiente forma: ▪ Seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. ▪ Coseno de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. ▪ Tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el contiguo. ▪ Cosecante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. ▪ Secante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo. ▪ Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto. Observando la figura de la derecha, las referidas razones quedan expresadas en la siguiente forma:

2 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

04 De las definiciones anteriores y según el triángulo rectángulo ΔABC, se establecen las siguientes razones, respecto al ángulo agudo :

3 5  Co sec   5 3 4 5 Cos    Sec   5 4 3 4 Tg    Cotg   4 3 Sen  

Son razones inversas Sen  con Cosec ; también, las de Cos  con Sec , y Tg  con Cotg . Una tarea importantes consiste en verificación que: (Sen )x (Cosec ) = 1; (Cos )x(Sec ) = 1; y (Tg )x(Cotg ) = 1 Al triangulo rectángulo ΔABC, Se le llama triangulo Pitagórico, en honor al gran matemático griego Pitágoras. Los catetos de este triángulo miden 3 y 4; mientras que la hipotenusa mide 5. Pitágoras establece la relación que se observa en la figura de la izquierda, entre los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo ΔABC. Esta relación se conoce como el “Teorema de Pitágoras”; cuyo enunciado es: “En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” o “En todo triángulo rectángulo, el cuadro de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus respectivos catetos”

Ejemplos aplicativos

1. Hallar las razones trigonométricas del ángulo más agudo de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5 m y uno de los catetos 3m. Solución Para determinar las seis razones trigonométricas se necesita hallar, la medida del otro cateto; aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallada el valor del cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones trigonométricas del ángulo agudo. Datos del Problema Hipotenusa: a = 5, si ΔBAC, sea recto en el ángulo A. Catetos: b=3 C = X, cateto que se debe calcular Según el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

Despejando y reemplazando los datos: 3 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

04 c2 = a2 – b2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16  c  16  4 Con el resultado del valor del cateto c = 4, se construye el Triángulo Δ BAC Otra información adicional: “En todo triángulo, a menor ángulo se oponen menor lado”; por esta razón, el menor ángulo agudo es  B; porque b = 3, es el cateto de menor valor; por lo tanto, se calculará las razones

3  0.6 5 3 Tg B   0.75 4 5 Sec B   1.25 4 Sen B 

trigonométricas del ángulo agudo  B:

4  0.8 5 4 Cotg B   1.33 3 5 Csc B   1.67 3

Cos B 

2. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 metros; hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor. Solución El primer paso es hallar el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, se determina las razones trigonométricas, teniendo en cuenta las definiciones establecidas para cada una de las seis razones, con los catetos dados. Datos del Problema Catetos: b=8 C = 15 Hipotenusa: a = X Por el teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2 = 82 + 152 = 64 + 225 a2 = 289

a  289  17 ; luego, los lados del

Triángulo ΔBAC, se presenta en el gráfico de la derecha Dato adicional: “A mayor lado se opone mayor ángulo”, por esta razón se debe de calcular, las razones trigonométricas del ángulo agudo  C: 15 8  0.88235 Cos C   0.47059 17 17 15 8 Tg C   1.875 Cotg C   0.53 8 15 17 17 Sec C   2.125 Csc C   1.13 8 15 3. El siguiente problema, ayuda a fortalecer los aprendizajes logrados hasta ahora; es importante hacer esfuerzos con la ayuda del profesor y compartiendo con los compañeros de clase. Teniendo como Sen C 

referencia la figura de la izquierda, calcule las razones trigonométricas de los ángulos agudos  y , respectivamente.

4 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

Sen C  Cos C  Tg C  Ctg C  Sec C  Csc C 

RAZONES TRIGONEMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS NOTABLES Los ángulos agudos notables, son aquellos ángulos interiores de los triángulos rectángulos, que facilitan el cálculo inmediato de sus respectivas razones trigonométricas. Los tres triángulos rectángulos que contienen a los ángulos agudos notables, están representados en las figuras de 1 al 3. En la Figura 1, se ubican los ángulos agudos notables de 30º y 60º respectivamente; mientras que en la Figura 2, están los ángulos agudos de 45º; y en la Figura 3, los ángulos agudos notables de 37º y 53º respectivamente. Las razones de cada uno de dichos ángulos, se presentan en forma analítica.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

En la figura 1, está representada el triángulo rectángulo cuyos ángulos interiores miden 30º y 60º respectivamente. Como se observa, se conocen el valor de los dos catetos y la hipotenusa, de dicho triángulo rectángulo. El cálculo de las razones trigonométricas de los ángulos agudos de 30º y 60º, es más fácil. a) Razones trigonométricas del ángulo de 30º

1 3 1 3 2 2 Sen 300  ; Cos 300  ; Tg 300  ; Cotg 300  ; Sec 300  ; Csc 300  2 2 1 1 3 3 Propiedades fundamentales En la solución de los problemas es necesario utilizar las propiedades fundamentales entre las razones de los ángulos agudos de los triángulos notables. Para el ángulo de 30º, es como sigue:

1) Sen 30º xCsc 30º 

1 2 3 2 x  1; 2) Cos 30º xSec 30º  x 1 2 1 2 3 5 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

04 3) Tg 30º xCotg 30º 

1 3 x 1 3 1

b) Razones trigonométricas del ángulo de 60º

Sen 60º 

3 1 3 1 2 2 ; Cos 60º  ; Tg 60º  ; Cotg 60º  , Sec 60º  ; Csc 60º  2 2 1 1 3 3

Propiedades fundamentales Al Igual que en el caso anterior, se sigue el mismo procedimiento:

3 2 1 2 x  1; 2) Cos 60º xSec 60º  x  1 2 2 1 3 3 1 3) Tg 60º xCotg 60º  x 1 1 3 1) Sen 60º xCsc 60º 

En la figura 2, está representada el triángulo rectángulo cuyos ángulos interiores miden 45º cada uno. Además, se conocen los valores de los dos catetos y la hipotenusa. Con los datos de la figura se calculan las razones de los ángulos agudos. 1 1 1 1 2 2 Sen 45º  ; Cos 45º  ; Tg 45º   1; Cotg 45º   1; Sec 45º   2; Csc 45º   2 1 1 1 1 2 2

Propiedades fundamentales Las propiedades son similares a las de los ángulos de 30º y 60º

1) Sen 45º xCsc 45º 

1 2

2 1 2  1; 2) Cos 45º x Sec 45º  x 1 1 2 1

1 1 1 1

3) Tg 45º x Cotg 45º  x  1 En la figura3, está representada el triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37º y 53º respectivamente. Los catetos miden 3 y 4; mientras que la hipotenusa 5. Con los referidos datos se calculan las razones de los ángulos agudos. a) Razones trigonométricas del ángulo de 37º 3 4 3 4 5 5 Sen 37º  ; Cos 37º  ; Tg 37º  ; Cotg 37º  ; Sec 37º  ; Csc 37º  5 5 4 3 4 3 Propiedades fundamentales Las propiedades son similares a las de los ángulos de 30º, 45º y 60º

3 5 4 5 x  1; 2) Cos 37º x Sec 37º  x  1 5 3 5 4 3 4 3) Tg 37º x Cotg 37º  x  1 4 3 1) Sen 37º x Csc 37º 

6 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

04 b) Razones trigonométricas del ángulo de 53º 4 3 4 3 5 5 Sen 53º  ; Cos 53º  ; Tg 53º  ; Cotg 53º  ; Sec 53º  ; Csc 53º  5 5 3 4 3 4 Propiedades fundamentales Las propiedades son similares a las de los ángulos de 30º, 37, 45º y 60º

4 5 3 5 x  1; 2) Cos 53º x Sec 53º  x  1 5 4 5 3 4 3 3) Tg 53º x Cotg 53º  x  1 3 4 1) Sen 53º x Csc 53º 

Problemas de de aplicaciones 1. Desde dos puntos separados 42 metros, se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación 27º y 45º. Determine la altura del farol. Solución Se bosqueja un gráfico apropiado. Dibujamos el ΔABC, cuya bese es

AB  42 metros y la altura CD  h  ? . El problema consiste en determinar el valor de h. Observando el ΔABC, comprobamos que AB  AD  BD  AB  h Cotg 45º  h Cotg 37º  42

Reemplazando los valores de las razones trigonométricas de Cotg 45º

 

y Cotg 27º en la ecuación y factorizando h  1 

4   42  h = 18 m. 3

Luego el farol es colocado a una altura de 18 metros. 2. Las proyecciones de sombras. Cierta hora del día primaveral, un asta de bandera de 3 m de altura da una sombra de 80 cm; en el mismo instante un pino cercano, también da una sombra de 1.20 m; tal como se observa en la figura de la derecha. Solución En la solución de los problemas de este tipo la estrategia es, esbozar un una figura apropiada que relacione las proporciones trigonométricas de ángulos agudos, con los acontecimientos descritos. Mediante líneas de color azul, se denotan las proyecciones de los rayos del sol. 3 … (1) 0.8 Designemos por h, la altura del árbol y según el gráfico: h = 1.20 Tg  … (2) Reemplazando el valor de Tg  en (2), se tiene: h  1.20 x 3  4.5 metros 0.8

Del gráfico de la bandera se obtiene la siguiente relación: Tg  

7 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE POSICIÓN NORMAL Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados en el estudio de “Razones Trigonométricas de ángulos agudos en posición normal: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º; complementando con ejercicios aplicativos. ¿Qué aprenderé hoy?

Recursos  Libro de Matemática

Identificar a los ángulos en posición normal y calcular las razones correspondientes.  Graficar la rosa náutica y localizar los ángulos en diferentes posiciones, en un sistema de coordenadas.  Desarrollar problemas aplicativos. 

¿Cómo empezamos? Empecemos aclarando el ¿por qué se denomina ángulo en la posición normal? La identificación se determina mediante un gráfico. Luego señalaremos las funciones trigonométricas correspondientes. Se denomina ángulo en posición normal (o canónica), al ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier cuadrante del plano cartesiano. En el gráfico de la derecha, se observa que el lado inicial del

, coincide

con el eje OX y el lado final con OP ; además según el Teorema de

a2 b2 0 . Por lo tanto en el ΔPAO, los lados a y b son los catetos y r la hipotenusa. Pitágoras: r

P(a, b) r

Continuamos presentando las razones trigonométricas del Sen

b r

Cos

a r

b a

Cot

a b

r a

Sec

Csc

r b

Ejemplo: Las razones trigonométricas del ángulo

Sen

12 20

3 5

Cos

Csc

20 12

5 3

Sec

16 20 20 16

4 5 5 4

, son: Tg

Cotg

16 12

P(16,12) r = 20

4 3 O

a = 16

b = 12

ÁNGULOS DE POSICIÓN NORMAL Y

Ahora que ya se conoce el ángulo en su posición normal y sus respectivas razones trigonométricas, se continua analizando, en las situaciones donde su lado final, se encuentran en el segundo, tercer y cuarto cuadrante del plano cartesiano. El lado final del ángulo agudo se encuentra en el segundo cuadrante, tal como se observa en la figura de la. Las razones trigonométricas del , son

P (-a, b) b

-a

X´

X Y´

b a b Cos Tg r r a a r r Cot Sec Csc b a b En esta posición, las razones de Coseno y su inversa la secante es negativa. Sen

Tercer caso, cuando su lado final se encuentra ubicado en el tercer cuadrante. La figura de la derecha, grafica la posición del ángulo. Las razones del ángulo gama ( ) Y

Sen a

X´

Cos

a r

b a

a r r Sec Csc b a b Las dos razones que son positivas son la tangente y su inversa la cotangente del Cot

Q(a, 0)

b r

-b

El cuarto caso, ocurre cuando el lado final del ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante. En la figura de la derecha P(a, -b) se observa que el ángulo fi ( ) se encuentra en cuarto Y´ cuadrante, lo que implica que el ángulo alfa se encuentra entre 270º y 360º (270º < < 360º). Las razones trigonométricas del , son las siguientes:,

b a b Cos Tg r r a a r r Cot Sec Csc b a b Las dos razones trigonométricas positivas son coseno y secante; mientras que demás son negativas. Sen

Razones Trigonométricas de ángulos 0º, 90º, 180º, 270º Y 360º Las razones de los ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º son determinados en los ejes coordenados del plano cartesiano, delimitado por el círculo trigonométrico. Observando la figura de la parte inferior, establecemos los valores de cada una de las razones trigonométricas. Al eje horizontal

XX ´ se le denominada eje del Coseno, positivo a la derecha ( OX ) y negativo a la

izquierda ( X ´O ), del origen de coordenadas. La razón trigonométrica varía entre 1 (porque Cos 0º =1 y Cos 360º = 1) y -1 (Cos 180º = -1); mientras que en el eje vertical YY ´ , las razones trigonométricas son: Cos 90º = 0 y Cos 270º = 0. El eje vertical YY ´ , es el eje del Seno. La razón trigonométrica del Seno 90º =1, está en el semieje positivo

OY , mientras que el Sen 270º = -1, en el semieje negativo OY ´ . En los semiejes la razón trigonométrica de Sen 0º = 0, Sen 180º = 0 y Sen 360º = 0. Las razones trigonométricas de la tangente en los ejes de 0º, 180º y 360º son: Tg 0º = 0; Tg 180º = 0 y Tg 360º = 0; mientras que en los ejes de 90º y 270º son: Tg 90 = ∞ y Tg 270º = ∞). El símbolo ∞, no es un valor, es un símbolo que representa una división entre cero (k/0 = ∞) que no existe. Sucede lo contrario con las razones trigonométricas de la Cotangente, porque la Cotg 90º = 0 y Cotg 270 = 0; mientras que la Cotg 0º = ∞, Cotg 180º = ∞ y Cotg 360º = ∞, no existen. Las razones trigonométricas de la Secante es uno, en el semieje horizontal positivo ( OX ): Sec 0º = 1 Sec 360º = 1 y en el semieje horizontal negativo X ´O : Sec 180º = -1. Las razones en el eje vertical correspondientes a los ángulos de 90º y 270º, son: Sec 90º = ∞, y Sec 270º = ∞; no existen. Las razones trigonométricas de la Cosecante en los ejes verticales son: Csc 90º =1 y Csc 270º = -1; mientras que en los ejes horizontales no existen, porque Csc 0º =∞; Csc 180º = ∞, y Csc 360º = ∞. En el cuadro de la parte inferior se representa, el esquema para deducir las razones trigonométricas de cualquier ángulo en el círculo trigonométrico.

Sen 0º

Cos 0º

Tg 0º

PR OP

0 OP

PR OR

0 OR

Csc 0º

Sec 0º

Cotg 0º

OP PR

OP 0

OR PR

OR 0

Y Eje del Seno 90º

(no existe)

180º X'

0º, 360º X Eje del Coseno

(no existe) 270º y'

05 Razones trigonemétricas estudiadas , se resumen en el siguiente cuadro: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

ANGULO SENO

COSENO

TANGENTE

30º

1 2

3 2

1 3

60º

3 2 1 2

1 2

37º

3 5

4 5

53º

4 5

0º 90º 180º 270º 360º

0 1 0 -1 0

45º

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

2 3

1 3

2 3

4 3 3 4

5 4

5 3

3 5

3 4 4 3

5 3

5 4

1 0 -1 0 1

0 ∞ 0 ∞ 0

∞ 0 ∞ 0 ∞

1 ∞ -1 ∞ 1

∞ 1 ∞ ∞

Los datos del cuadro anterior, facilita la solución de los ejercicios de razones trigonométricas de todos los ángulos notables estudiados hasta ahora.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIONES 1. Si se conoce

1 4

Cos

y el ángulo

se encuentra 270º <

< 360º. Determine las demás razones

trigonométricas del ángulo . Solución: Como el ángulo se encuentra 270º < < 360º, entonces las únicas razones trigonométricas con signo positivo son la cosecante y su recíproca secante

Sen

1 4

2. Sabiendo que la Tg ángulo .

15 4

Csc

4 15

= 2, y que 180º <

1 4

Cos

Sec

15 Ctg

1 15

< 270º; calcule las demás razones trigonométricas del

Solución En este caso, el lado final del ángulo , se encuentra en tercer cuadrante del círculo trigonométrico; con esta aclaraciones las razones trigonométricas solicitadas son las siguientes:

Sen

2 5

2 ; Csc 5

5 ; Cos 2

1 5

1 ; Sec 5

5 ; Tg

2 ; Ctg

1 2

Trigonometría. Ejercicios resueltos

Sabiendo que sec α = 2, 0< α < sen

1 2

3 ; csc 2

Si Sec = 2; además 0º

/2, calcular las restantes razones trigonométricas: 2 3 3

1 ; sec 2

cos

3 2 1 2

3 ; ctg

3 3

, calcule el resto de razones trigonométricas

Solución El lado final del ángulo , se encuentra en el primer cuadrante, por lo tanto las razones trigonométricas de las diferentes relaciones son: Sen

3 2

Csc

2 3

Cos

1 2

Ctg

1 3

Determine las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a. 225º

Sen 225 º Sen 180 º 45 º

Sen 45 º

Cos 225 º Cos 180 º 45 º

Cos 45 º

Tg 225 º Tg 180 º 45 º

3 2 2 2

Tg 45 º 1

b. 2655º En este caso el primer paso consiste en dividir los 2655º entre 360º, que es una revolución completa del círculo trigonométrico. 2655º 360º = 7 revoluciones + 135º Un detalle especial en este caso: el lado final del ángulo de 135º, está ubicado en el segundo cuadrante; por lo tanto el procedimiento de solución es la siguiente:

Sen 2655 º Sen135 º Sen (180 º 45 º )

Sen 45 º

Cos 2655 º Cos 135 º Cos 180 º 45 º

Cos 45 º

Tg 2655 º Tg 135 º Tg 180 º 45 º

Tg 45 º

4 2 2 2

c. -840º Este problema sucede cuando la rotación del lado final del ángulo, es en el mismo sentido que las manecillas de un reloj. De esta forma -840º 360º = -2; que significa 2 revoluciones en el sentido similar a las manecillas de un reloj, con un residuo de -120º. En estas condiciones, las razones trigonométricas solicitados son:

Sen

840 º

Sen( 120 º )

Cos

840º

Cos

840

120º

120 º

Sen 180 º 60 º Cos 180º 60º tg 180 º 60 º

3 2

Sen 60 º 1 2

Cos 60º Tg 60 º

En la solución de los problemas del numeral 5, se tendrán en cuenta los ángulos de posición normal y sus razones trigonométricas. Recordando que los ángulos de posición normal son aquellos ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier lugar del plano cartesiano, tal como se observan en las siguientes figuras.

05 2. Calcule las seis razones trigonomĂŠtricas del ĂĄngulo

a) b) c) d)

P(-3, -4) P(-5, 4) P(6, -5) P(6,7)

e) f) g) h)

P(0, -5) Q(4, 0) R(0, 5) P(-3, 0)

; si su lado terminal contiene el punto:

i) j) k) l)

Q(4, 5) P(5, -6) P(-4, 5) Q(4, -5)

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados en relación a razones trigonométricas en posición normal e incorporar procedimientos para reducir los ángulos al primer cuadrante, mediante problemas aplicativos.    

¿Qué aprenderé hoy? Reconocer los cuadrantes de la circunferencia trigonométrica. Localizar los ángulos en los diferentes cuadrantes. Trasladar los ángulos de diferentes cuadrantes, al primer cuadrante. Localizar la posición de los ángulos negativos.

Recursos  Libro de Matemática

¿Cómo empezamos? Iniciamos reflexionando sobre las ubicaciones de los ángulos en la circunferencia trigonométrica1 que facilita el cálculo de las razones trigonométricas del cualquier ángulo, ubicados en uno de los cuatro cuadrantes. Los siguientes precisan la posición de los ángulos (, ,  y ) para iniciar la reducción de los ángulos al primer cuadrante.

En cada uno de los cuatro gráficos, la circunferencia está dividida en cuatro cuadrantes; comenzando por el primero que es el superior izquierdo y continuando en el sentido contrario al de las ajugas del reloj hasta el cuarto cuadrante.

http://www.monlau.es/btecnologico/mates/realytrigo/tri_ba.htm

1 Prof. Leopoldo Ochoa Poma

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

1. Reducción de ángulos al primer cuadrante. Un ángulo puede estar situado en una de los 4 cuadrantes de la circunferencia trigonométrica y los valores de sus correspondientes razones dependen de su posición en dichos cuadrantes. Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante, siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante, cuyas razones trigonométricas tengan los mismos valores absolutos (pero diferentes valores relativos). La reducción de un ángulo al primer cuadrante, consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (ángulo agudo). Para reducir un ángulo al primer cuadrante se presentan dos casos: 1.1. Primer caso: Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta Sabemos que todo ángulo positivos menor de una vuelta (360º) se puede descomponer como un ángulo cuadrantal, más o menos un ángulo agudo, dependiendo del cuadrante al que pertenece (los gráficos de la parte inferior, representan lo expresado gramaticalmente) Se recomienda, seguir el siguiente procedimiento: a) El ángulo en el Segundo Cuadrante, lo descompondremos como: (180º - ) o ( - ). b) El ángulo en el Tercer Cuadrante, lo descompondremos como: (180º + ) o ( + ). c) El ángulo en el Cuarto Cuadrante, lo descompondremos como: (360º - ) o (2 - ). El ángulo 0 <  < 90º , es un ángulo agudo, tal como se observan en los siguientes gráficos Y

 = 180o - 

 = 180o +

 = 360o - 

 

 X'





Cuando el ángulo pertenece al Segundo Cuadrante, las razones trigonométricas son: Sen  = Sen (180º -) = Sen ; Cos  = Cos (180º - ) = -Cos ; Tg  = Tg (180º - ) = -Tg ;

Csc  = Csc (180º - ) = Csc  Sec  = Sec (180º - ) = -Sec  Ctg  = Ctg (180º - ) = -Ctg 

Ejemplos

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06 1) Dado el ángulo 127º reducirlo al primer cuadrante. Solución El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante;  las razones trigonométricas al reducir al primer cuadrante son las siguientes: Sen ( 127º) = Sen (180º - 53º) = Sen (53º) = 4/5 Csc ( 127º) = Csc (180o – 53o) = Csc (53o) = 5/4 Cos (127º) = Cos (180º - 53º) = -Cos (53º) = -3/5 Sec (127º) = Sec (180º - 53º) = -Sec (53º) = -5/3 Tg (127o) = Tg (180º - 53º) = -Tg(53º) = - 4/3 Ctg (127º) = Ctg (180º - 53º) = -Ctg (53º) = -3/4 2) Sabiendo que el Sen  = 0,5 obtener los valores posibles para  Solución Al ser el seno de  positivo, puede estar en el primer o del segundo cuadrante. Sen  = 0,5 entonces  = ArcSen 0,5 = 30º  Las soluciones son  = 30º. b)

Cuando el ángulo pertenece al Tercer Cuadrante, las razones trigonométricas son: Sen = Sen (180º +) = -Sen ; Cos  = Cos (180º + ) = -Cos ; Tg  = Tg (180º + ) = Tg ;

Csc  = Csc (180º + ) = -Csc  Sec  = Sec (180º + ) = -Sec  Ctg  = Ctg (180º + ) = Ctg 

Ejemplos 1) Dado el ángulo 215º reducirlo al primer cuadrante. Solución El ángulo 217º se encuentra en el tercer cuadrante. Este ángulo resulta de la sumas de 180º +  Sen (217º) = Sen (180º + 37º) = -Sen (37º) = - 3/5 Csc (217º) = Csc (180o + 37o) = -Csc (37º) = - 5/3 Cos (217º ) = Cos( 180º + 37º) = - Cos (37º) = - 4/5 Sec (217º) = Sec (180º + 37º) = -Sec (37o) = - 5/4 Tg (217o) = Tg (180o + 37o) = Tg (37o) = 4/3 Ctg(217º) = Ctg (180º + 37º) = Ctg (37º) = ¾ 2) Sabiendo que el tg  = 1 obtener los valores posibles para  Solución: Al ser la tg positiva,  puede ser del primer o del tercer cuadrante. Si Tg  = 1, entonces  = ArcTg 1 = 45º   = 45º y  = 225º c)

Cuando el ángulo pertenece al Cuarto Cuadrante, las razones trigonométricas son: Sen  = Sen (360º -) = -Sen ; Cos  = Cos (360º - ) = Cos ; Tg  = Tg (360º - ) = -Tg ;

Csc  = Csc (360º - ) =- Csc  Sec  = Sec (360º - ) = Sec  Ctg  = Ctg (360º - ) = -Ctg 

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EJEMPLOS Y EJERCICIOS APLICATIVOS 1)

Dado el ángulo 330º reducirlo al primer cuadrante Solución El ángulo 330º se encuentra en el cuarto cuadrante. Para obtener el valor de este ángulo la fórmula 360º -  = 330º. Sen (330º) = Sen (360º - 30º) = -Sen (30º) = - ½ Csc (330o) = Csc (360o – 30o) = -Csc (30o) = - 2

3 2 2 Sec (330º) = Sec (360º - 30º) = Sec (30º) = 3 1 Tg (330º) = Tg (360º - 30º) = -Tg (30º) = 3 Cos (330º) = Cos (360º - 30º) = Cos (30º) =

Ctg (330º) = Ctg (360º - 30º) = -Ctg (30º) = - 3 2)

1.2.

Sabiendo que el Cos  = 0,5 obtener los valores posibles para  Solución : Al ser el coseno  positivo,   puede ser del primer o cuarto cuadrante. Entonces, Cos  = 0,5,   = ArcCos 0,5 = 30º   = 30º o  = 330º Segundo caso: Reducción para ángulos mayores de una vuelta, cuando el ángulo es mayor de 360º. Como se observa en el gráfico de la derecha, el ángulo  mide más de 2 o 2 (360º). En este caso, se siguen los siguientes pasos: a) b)

Dividir el ángulo entre 360º (o 2) dependiendo del sistema en que se trabaje Las razones trigonométricas del ángulo dado son iguales a las respectivas trigonométricas o residuo (de la división efectuada) Si dicho residuo es menor de 90º o /2, el problema habrá concluido, pero si fuera mayor, entonces aplicamos cualquier de los métodos aplicados en el primer caso. Sen  = Sen (2k + ) = Sen ;

Csc  = Csc (2k + ) = Csc 

Cos  = Cos (2k + ) = Cos ;

Sec  = Sec (2k + ) = Sec 

Tg  = Tg (2k + ) = Tg ;

Ctg  = Ctg (2k + ) = Ctg 

Ejemplos

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06 1. Dado el ángulo 2675º reducirlo al primer cuadrante Solución La primera acción es dividir los 2675º

entre 360º, que es una rotación completa en la

circunferencia trigonométrica. 2655o

360o

135o



Sen(2655º) =Sen(360º . 7 +135º) = Sen(135º) = Sen(180º - 45º) = Sen (45º) =



Cos(2655o) = Cos(360o.7 +135o) = Cos(135o) = Cos(180o – 45o) = -Cos (45o) =



Tg(2655o) = Tg(360o.7 + 135o) = Tg(135o) = Tg(180º - 45º) =

1 2 1 2

-tg(45º) = -1 

Ctg(2655º) = Ctg(360º.7 + 135º) = Ctg(135º) = Ctg(180º 45º) = -Ctg (45º) = -1



Sec(2655o) = Sec(360o.7 + 135o) = Sec(135o) = Sec(180o – 45o) = -Sec (45o) = - 2



Csc(2655º) = Csc(360º.7 + 135º) = Csc(135º) = Csc(180º -

45º) = Csc(45º) =

2. Reducción de ángulos negativos al primer cuadrante Matemáticamente, el ángulo negativo mide menos de 0o; pero, de acuerdo a los conceptos de trigonometría, los ángulos negativos giran siguiendo el sentido en que se mueven las ajugas del reloj (en el sentido horario). La tarea fundamental es transforma en un ángulo positivo (tal como presenta en la figura de la derecha). En este proceso se tendrá en cuenta, las razones trigonométricas de ángulos negativos son: Sen (-) = -Sen()

Csc (-) = -Csc ()

Cos (-) = Cos()

Sec (-) = Sec ()

Tg (-) = -Tg ()

Ctg (-) = -Ctg ()

Ejemplos 1) Calcular las razones trigonométricas del ángulo negativo (- = -30º), mediante la reducción al primer cuadrante. Solución Sen (-30º) = -Sen (30º) = -

1 2

Csc (-30º) = -Csc(30º) = -2

Cos (-30o) = Cos (30o) =

3 2

Sec (-30o) = Sec (30o) =

Tg (-30º) = -Tg(30º) = -

1 3

2 3

Ctg (-30º) = -Ctg (30º) = - 3

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2) Calcular las razones trigonométricas del ángulo negativo (-840º), mediante el procedimiento de reducción al primer cuadrante. Solución La primera acción es dividir el ángulo negativo (-840º) entre 360º, que es una rotación completa en la circunferencia trigonométrica. -840o

360o

-120o

-2

Aplicando el segundo caso de reducción de ángulos mayores de una vuelta (o ángulo es mayor de 360º); procedemos de la siguiente manera: Sen (-840º) = Sen [360º .(-2) – 120º) = -Sen(120º) = -Sen (180º - 60º) = -Sen (60o) = Cos (-840º) = Cos [360º .(-2) – 120º) = Cos(120º) = Cos (180º - 60º) = Cos (60o) =

3 2

1 2

Tg (-840º) = Tg [360º .(-2) – 120º) = -Tg(120º) = -Tg(180º - 60º) = -Tg (60o) = - 3 Ctg (-840º) = Ctg [360º .(-2) – 120º) = -Ctg(120º) = -Ctg (180º - 60º) = -Ctg (60o) = -

1 3

Sec (-840º) = Sec [360º .(-2) – 120º) = Sec(120º) = Sec (180º - 60º) = Sec (60o) = 2 Csc (-840º) = Csc [360º .(-2) – 120º) = -Csc(120º) = -Csc (180º - 60º) = -Csc (60o) = -

2 3

EJERCICIOS DE APLICACION 1. Reducción del ángulo al primer cuadrante 1.1. Primer caso: Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta a) Cuando el ángulo pertenece al Segundo Cuadrante 1) Dados los ángulos 135º, 133.45º, 109,5º reducirlos al primer cuadrante. Seguir el procedimiento del ejemple correspondiente, cuando los ángulos se encuentran en el segundo cuadrante de la circunferencia trigonométrica. 2) Si el valor de los ángulos son: 120º, 150º, 105º, y 98º ; reducir al primer cuadrante 3) Sabiendo que el Sen  = 0,85; obtener los valores posibles para  4) Sabiendo que el Sen  = 0,12; obtener los valores posibles para  b) Cuando el ángulo pertenece al Tercer Cuadrante 1) Dados los ángulos 235º, 233.45º, 199,5º reducirlos al primer cuadrante. El procedimiento es similar al ejercicio del ejemplo.

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06 2) Sabiendo que el Tg  = - 0,75 obtener los valores posibles para  3) Sabiendo que el Tg  = 0,50 obtener los valores posibles para  c) Cuando el ángulo pertenece al Cuarto Cuadrante 1) Dados los ángulos 335º, 325.45º, 315’.5º reducirlos al primer cuadrante. El procedimiento es similar al del ejemplo 2) Sabiendo que el Cos  = - 0,75 obtener los valores posibles para  3) Sabiendo que el Cos  = 0,35 obtener los valores posibles para 

1.2. Segundo caso: Reducción para ángulos mayores de una vuelta 1) Dado el ángulo 750º, 1830º, 2933º, y 2235º, reducirlo al primer cuadrante. En la solución de los ejercicios, utilice el procedimiento del ejemplo correspondiente. 2) Si los ángulos mayores de una vuelta son: 800º 45’; 780.5º; y 1565.5º ; reducir al primer cuadrante 2. Reducción de ángulos negativos al primer cuadrante 1) Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos negativos (-840º), (-960º), (-1560), y (-1837º), mediante el procedimiento de reducción al primer cuadrante. 2) Dado los siguientes ángulos negativos, determine sus razones trigonométricas: (-53º), (-60º); (-45º 30’); (-120.5º) y (-300.5º)

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados mediante operaciones de suma y diferencia de ángulos, razones de ángulos dobles y mitades; complementando con desarrollo de ejercicios y problemas aplicativos.

¿Qué aprenderé hoy?

Recursos  Libro de Matemática

Realizar operaciones de suma y diferencia de ángulos.  Calcular las razones de los ángulos dobles.  Determinar las razones del ángulo mitad  Desarrollar ejercicios y problemas aplicativos. 

¿Cómo empezamos? Las operaciones aritméticas de adición y sustracción, son procesos que vienen acompañándonos desde la primaria; cuya relevancia e importancia está vigente en el desarrollo de las operaciones matemáticas aplicadas a la vida real. Los términos doble y mitad, están relacionados en el planteamiento de problemas. Según el contenido del programa del área de matemática, desarrollaremos suma y diferencia de proporciones trigonométricas; así como las razones trigonométricas de ángulos dobles y mitades. Se complementarán con la solución de problemas. En el siguiente gráfico se esquematiza, el contenido de las razones trigonométricas de ángulos, relacionado con la suma, diferencia, doble y mitad, correspondiente.

Razones Trigonométricas

Suma y diferencia

a±b

Doble

Mitad

½a

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Las operaciones elementales de la suma y diferencia de las razones trigonométricas, aplicaremos a continuación: Suma

Diferencia

a) Sen (a + b) = Sen a . Cos b + Cos a . Sen b

a) Sen (a - b) = Sen a . Cos b - Cos a . Sen b

b) Cos (a + b) = Cos a . Cos b - Sen a . Sen b

b) Cos (a - b) = Cos a . Cos b + Sen a . Sen b

c) Tg (a  b ) 

Tg a  Tg b 1  Tg a .Tg b

c) Tg (a  b )  Tg a  Tg b

d ) Cotg (a  b ) 

Cotg a .Cotg b  1 Cotg a  Cotg b

1  Tg a .Tg b

Cotg (a  b ) 

Cotg a .Cotg b  1 Cotg a  Cotg b

Ejemplos ilustrativos En cada una de las operaciones determine el respectivo valor numérico de las razones trigonométricas: a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º . Cos 30º + Cos 45ºa . Sen 30ºb = 1 . 3  1 . 1  3  1 2

2 2

b) Sen 15º = Sen (45º-30º) = Sen 45º. Cos 30º - Cos 45ºa . Sen 30ºb = 1 . 3  1 . 1  3  1 2 2

c) Cos 105º = Cos (45º + 60º) = Cos 45º . Cos 60º - Sen 45º . Sen 60º =

2 2

1 1 1 3 1 3 .  .  2 2 2 2 2 2

d) Cos 9º = Cos (53º - 45º) = Cos 53º . Cos 45º + Sen 53º . Sen 45º = 4 . 1  3 . 1  7 5

5 2

4 3 Tg 60º Tg 53 3  3 34 e) Tg 113º  Tg (60º 53º )   4 1  Tg 60º.Tg 53º  1   3.  3  4 3 3 

En cada uno de los ejemplos se muestra el desarrollo de la suma y diferencia de las razones trigonométricas de los ángulos agudos.

Problemas desarrollados 1)

Calcular los valores numéricos de las razones trigonométricas de Sen 98º y Tg 98º, y de las razones trigonométricas de Cos 7º y Ctg 7º Solución En el primer caso aplicaremos la suma de ángulos: 98º = 53º + 45º

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4 2 3 2 7 2 Sen 98 º  Sen 53 º 45 º   Sen 53 º. Cos 45 º Cos 53 . Sen 45  .  .  5 2 5 2 10 4   1 Tg 53 º Tg 45 º 7 3 Tg 98 º  Tg (53 º 45 º )      7 4 1  Tg 53 º .Tg 45 º 1 1 3

Para el segundo caso aplicamos la diferencia de ángulos: 7º = 60º - 53º Cos7º  Cos(60 º 53 º )  Cos60 º.Cos53 º  Sen60 º.Sen53 º 

1 3 3 4 3 4 3 .  .   0.9928 2 5 2 5 10

1 3 . 1 Ctg 60º.Ctg 53º 1 3 4 3 3 4 Ctg 7º  Ctg (60º 53º )    1 3 Ctg 60º Ctg 53º 43 3  3 4

2). Calcular Sen (a + b) dados: Sen a = 1/3 y Cos b = -3/5, si a > π /2 y b < π. Solución El seno de la suma de dos ángulos es: Sen (a + b) = Sen a.Cos b+ Cos a.Sen b Pero faltan Cos a y Sen b; por Teorema de Pitágoras: Sen2a + Cos2a = 1  Cosa  1  Sen 2a 2

1 1 Cos a  1     1   3 9  

2 2 8 2 2  . En forma similar para Sen b Cos a   3 9 3 2

4 9 16 4  3  Sen b  Sen b  1  Cos 2 b  1      1    5 25 25 5  5 Según el dato del problema Sen a es positivo, cuando a > π /2 y Cos b es negativo si b < ; luego ambos ángulos están en el segundo cuadrante. Remplazando los valores de Cos a y Sen b, en Sen (a + b) = Sen a.Cos b+ Cos a.Sen b; se tiene:

1 8 2 8 2 3  1   3   2 2   4  ;  Sena  b   8 2  3 Sena  b    .     .       15 5 15 15  3 5  3  5 

Problemas propuestos Desarrolle los siguientes problemas, para reforzar sus aprendizajes, sobre la suma y diferencia de las proporciones trigonométricas de ángulos 1) Calcular los valores numéricos de las razones trigonométricas de: a) Sen 97º; b) Tg 23º; Cos 98º; y Ctg 83º. 2) Los ángulos agudos a y b son complementarios; además a = 2b (sabemos por los conocimientos anteriores que, dos ángulos son complementarios, cuando la suma de los dos es igual a 90 grados o /2) Calcular: a) Sen (a + b) y Sen (a - b) b) Tg (a + b) y Tg (a - b)

  3) Dada las siguientes razones trigonométricas: Sena  0.3 y Cos b  0.83 (recuerde por las matemáticas del 2º al 3º Grado, que las fracciones también se presentan como decimales de periódicas), siempre que a > π /2 y b < π. Determine los valores numéricos de las siguientes razones trigonométricas: a) Cos (a +b); b) Ctg (a -b); c) Q  1  Sen(a  b ) 3  Tg (a  b )

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE

Las razones trigonométricas del ángulo doble es importante para resolver una serie problemas de trigonometría. Posteriormente su necesidad será mayor cuando se avance en los estudios de matemáticas superiores y temas relacionados con ella como la física. Es de nuestro conocimiento la suma de los ángulos; este concepto nos ayudará para deducir la fórmula del ángulo doble: Sen (a + b) = Sen a . Cos b + Cos a . Sen b  Sen (a + a) = Sen a . Cos a + Cos a . Sen a a=b Por lo tanto: Sen 2a = 2 Sen a. Cos a Asimismo Cos (a + a) = Cos a . Cos a - Sen a . Sen a = Cos2a - Sen2a  Cos 2a = Cos2a - Sen2a

Tg (a  a ) 

2 Tg a Tg a  Tg a  1  Tg a .Tg a 1  Tg 2a

Ctg (a  a ) 

 Tg 2a 

2Tg a 1  Tg 2a

Ctga . Ctga  1 Ctg 2a  1 Ctg 2a  1   Ctg 2a  Ctga  Ctga 2Ctga 2Ctga

Ejemplos ilustrativos 1. Calculemos el valor de las siguientes razones trigonométricas: Sen 120º, Cos 120º y Tg 120º Solución Consideremos al ángulo a = 60º  2a = 120º.

 3 1 3 Sen2a  Sen 2(60º )  2 Sen 60º.Cos a  2 . .    2 2 2 2

1  1   3  Cos 2a  Cos 2(60 º )  Cos 60 º  Sen 60 º        2  2   2  2 3 2 3 Tg 2a  Tg 2(60º )    3 2 1 3 1 3 2

 

Problemas desarrollados 1) Si Sen a 

4 ; calcular : a) Sen 2a ; b) Cos 2a ; c) Tg 2a 5

Solución Como se observan, el problema está relacionados con ángulos dobles; y para solucionar se aplican las fórmulas correspondientes: a) Sen 2a = 2 Sen a. Cos a

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b) Cos 2a = Cos2a - Sen2a c) Tg 2a 

2 Tg a ; pero, es más conveniente aplicar la razón: Tg 2a  Sen 2a 1  Tg 2a Cos 2a

Otro dato importante para solución del problema, es hallar el valor del Cos a. Aplicando el Teorema de Pitágoras: Sen2a  Cos 2a  1  Cosa  1  Cos 2a 2

16 9 3 3 4 Cos a  1     1     Cos a  ; remplazando en: Sen 2a = 2 Sen a. Cos a 5 25 25 5 5  

 4   3  24 Sen 2a  2 .    5   5  25 2

7  3  4 Cos 2a         5 5 25     24 Sen 2a 24 Tg 2a   25   7 Cos 2a 7  25 2) Calcular Sen 2a y Cos 2a; si Sen a = 2/3 y 0 < a < π /2 Solución Por definición de razones trigonométricas de ángulo doble: Sen 2a = 2 Sen a. Cos a Como se desconoce Cos a,  por Teorema de Pitágoras: Cos a  1  Sen 2a . 2

4 5 5 2 Cos a  1     1    9 9 3 3

 Cos a 

5 . 3

Remplazando el valor del Cos a, en Sen 2a = 2 Sen a. Cos a, se tiene

 2   5  4 5 Sen 2a  2 .  9  3   3 

 Sen 2a 

4 5 9

Asimismo por definición: Cos 2a = Cos2a - Sen2a; remplazando los valores de las razones trigonométricas, se halla el valor de Cos 2a, de forma inmediata. 2

 5  2 1 1     Cos 2a    Cos 2a   9 9  3  3 2

Problemas propuestos 1. Determine el valor de las siguientes razones trigonométricas: a) Sen 2a ; b) Cos 2a; c) Tg 2a; 1 3(Cos 2a  Sen2a 2 d) R  ; si el Sen a  3 5 Tg 2a 7 2. Dado el Cosb  ; calcular Sen 2b; Cos 2b, y Tg 2b 3

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO MITAD

Hasta aquí hemos aprendido a utilizar las razones trigonométricas de los ángulos dobles. En forma particular, utilizaremos la ecuación: Cos 2b = Cos 2b - Sen2b = 2 Cos2b - 1 = 1 – 2 Sen2b 1  Cos 2b 2 Cos2b - 1 = Cos 2b  2 Cos2b = 1 + Cos 2b  Cos 2 b   Cosb  1  Cos 2b 2 2 Como a  2b  b 

a 2

; remplazando se tiene Cos a  1  Cosa ; que es coseno del ángulo mitad 2

En forma similar, hallamos el seno del ángulo mitad, partiendo de la ecuación: 1  Cos 2b 1 – 2 Sen2b = Cos 2b  2 Sen2b = 1 – Cos 2b  Sen 2 b   Senb  1  Cos 2b 2 2 Remplazando a  2b  b  a ; se tiene Sen a  1  Cos a , que es el seno del ángulo mitad. 2 2 2 La tangente del ángulo mitad se halla por la fórmula:

a 2



Sen Cos

a 2 

1  Cosa 1  Cosa 2  1  Cosa 1  Cosa 2

En resumen las fórmulas de ángulos mitades son: a) Sen a   1  cos a 2

b) Cos a   1  Cosa

c) Tg a   1  Cos a 2 1  Cos a

Ejemplo ilustrativo Calcule la Tg 15º Solución Aplicando la fórmula de la tangente del ángulo mitad, el problema se resuelve en forma inmediata: 1  Cos30º Tg 15º   1  Cos30º

3 2  3 1 2 1

2 3  2  3  Tg 15 º  2  3 2 3

Problemas desarrollados 1. Calcule las razones trigonométricas de 22º30` El cálculo se realiza en forma inmediata, aplicando la fórmula de los ángulos mitades: 1  Cos 45º  45º  Sen(22º 30´)  Sen    2  2 

1

2 2  2 2 2 2

6 Leopoldo Ochoa Poma

1  Cos 45º  45º  Cos(22º 30´)  Cos    2 2  

1 b ; calcular : Sen 4 2 Solución b

1  Cosb Sen   2 2

1 2

3 4 

y Tg

2 2 

2 2 2

2 2  2  2  1  2 2 2 2 1 2 1

1  Cos 45º  45º  Tg (22º 30´)  Tg    1  Cos 45º  2 

2. Si Senb 

1

b 2

b 4 3  Sen  8 2

4 3 8

Problemas propuestos 1. Si el Sec a = 1.25; determine el valor de las siguientes razones trigonométricas: Sen Tg Sen T Cos

a 2

; Tg

a ,y 2

a 2

 Cos  Sen

a 2

2. Calcule el valor de las siguientes razones trigonométricas: a) Sen (18.5º); b) Cos 7.5º; c) Tg (26º30´) d) Ctg 22º30´ e) Sec 25º

PROBLEMAS DE APLICACIONES 1. Calcula las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente del ángulo (a + b), si se conocen los siguientes datos: a) Sena 

c) Sena 

4 5

5 5

y Senb 

2 5

y Cosa 

b) Cosa 

2 2

d ) Tga 

2 3

y Cosb 

2 2 5

1 4

y Ctgb 

1 6

2. Efectuar el problema 1) para hallar las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente del ángulo (a - b), 3. Dado los valores de las siguientes razones trigonométricas: a) Sena 

b) Cosb 

1 calcular Sen 2a; Cos 2a, y Tg 2a 4

7 calcular Sen 2b; Cos 2b, y Tg 2b 3

7 Leopoldo Ochoa Poma

4. Con los datos del problema anterior efectuar las siguientes operaciones:

a) A 

Sen2a  Cos2a . Sen2a  Cos2a 

b) B  1 

c) C 

2  Tg 2a 1  Tg 2b  2   2   Sec2b  Csc 2b  

Tg 2b 2  Sen2a  Cos 2a  Tg 2a 3  Cos 2b  Sen2b

   

  Tg 15º  5 . Calcular K  Sen 26º30`  Cos 18.5º Sen 22.5º   

8 Leopoldo Ochoa Poma

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y LEYES DE SENOS Y COSENOS Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados en el cálculo de la ley de los senos y cosenos; complementando con el desarrollo de los ejercicios y problemas aplicativos. ¿Qué aprenderé hoy? Graficar y presentar los triángulos oblicuángulos.  Reconocer la ley de los senos y cosenos.  Aplicar a situaciones reales la ley de los senos y cosenos. 

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¿Cómo empezamos?

Iniciamos admirando la creación genial de los griegos, entre ellos el más destaco Euclides, autor de Los Elementos (del siglo III a. C.), que se mantuvo por más de dos milenios incólume. En esta obra trata el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Euclides se le conoce como “El Padre de la Geometría”. En Los Elementos, recopiló todo el saber humano de la época, realizó una demostración del Teorema de Pitágoras. Particularmente en el caso de los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.». Trataremos de simplificar los procesos operativos, para realizar los cálculos aplicando el teorema de los senos y cosenos; también llamados en la mayoría de los textos como la ley de los senos y de los cosenos.

LEY DE SENOS Y COSENOS 1. LEY DE SENOS La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera; dichos lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, cuya expresión matemática es a b c Sen A Sen B Sen C

Leopoldo Ochoa Poma

EJERCICIOS Ley de Senos 1.

Determine la medida del lado b del ΔABC, en la figura adjunta

http://sites.google.com/site /timesolar/leysenos04.jpg

Encuentra la medida del ángulo c y del lado c para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

http://sites.google.com/site /timesolar/leysenos04.jpg

Observando el Δ ABC (figura de la derecha) comprobamos que varios de sus elementos se desconocen. Los valores de los lados a, y c; así como también el C, hay que calcular, aplicando la ley de senos. El ángulo B = 20º; B = 20º y A = 130º.

Hallar valor de X, en el ΔABC Bastará con aplicar la "ley de senos" para poder calcular el valor de x x Sen45 º

40 Sen60 º

Sen45 º Sen60 º

40 6 3

Leopoldo Ochoa Poma

Ley de Cosenos 1.

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y al ángulo que forman es de 48º 15´. Calcular el resto de lasos y ángulos interiores del paralelogramo.

La siguiente figura es un triángulo, donde su lado A= 20 m, B = 8 m el ángulo = 105º Por ley de cosenos, se determina el lado c. C2 = A2 + B2 -2AB Cos C2 = (20)2 + (8)2 – 2(20) (8) c = 19.53 m

En el triángulo ΔABC se conocen el lado c = 200 m; lado b = 120 m y ángulo

A 0 30º. Se solicita

calcular el lado a = x.

Previa a la solución, se elabora el triángulo ΔABC (adjunta a la derecha). En dicho gráfico están representados los datos del problema. Como se conocen los dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados, el problema es de aplicación inmediata de la ley de cosenos. El lado desconocido ha sido señalado con B 2 2 2 “x”; entonces X = 200 + 120 -2(200)(120)Cos30º. Primero calculamos Coseno de 30º = 0.866; luego se remplaza este valor, en la fórmula correspondiente, X2 = 2002 + 1202 -2(200)(120)(0.866...) = 113.28m X = 113.28 m

200

120

C X

En el tercer problema, se conocen los tres lados de un triángulo oblicuángulo, la tarea es encontrar el valor de los ángulos interiores, de dicho triángulo. Como veremos a continuación, el cálculo se simplifica, aplicando la ley de cosenos; mediante la aplicación de la siguiente fórmula específica: c2

a2 b2 = Arco Cos . 2ab En el triángulo oblicuángulo ΔABC, se conocen los lados a = 44 m; b = 26 m, y c = 38 m. Se desconocen los ángulos interiores de dicho triángulo; por esta razón la tarea es encontrar dicho valor, aplicando la ley de cosenos, para lo cual se aplica la fórmula Cos

Cos

a2 b2 c2 2bc

= 84.66º;

44 2

26 2 38 2 2(26)(38)

0.09312; luego

262

pero

c = 38

b = 26

C a = 44

= Arc

= 84.66º

De la misma forma, se calcula el valor del ángulo Cos

442 38 2(44)(38)

676 1936 1444 3344

2704 3344

. Cos 0.8086

a2 b2 2ab

Cos

0.8086;

36, 04 ;

+ = 180º (según el teorema: en todo Δ, la suma de los ángulos interiores es igual a 180º);

Leopoldo Ochoa Poma

el valor del tercer ángulo es: = 180º - - , remplazando los valores de 36.04º ; por lo tanto = 59.3º 4.

= 180º -84.66º -

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

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09 DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados en la deducción de fórmulas trigonométricas y sus respectivas identidades trigonométricas; complementando con el desarrollo de ejercicios y problemas aplicativos. ¿Qué aprenderé hoy?  Deducir las formulas trigonométricas.  Reconocer las principales identidades trigonométricas.  Desarrollar ejercicios y problemas con las fórmulas e identidades trigonométricas.

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¿Cómo empezamos? Iniciamos señalando a las identidades trigonométricas como parte de la trigonometría elemental, que facilita a simplificar problemas que aparentemente son complicados. Un concepto que aproxima la idea de identidades trigonométricas (IT) es: “Las IT, son igualdades entre las funciones trigonométricas donde la variable es un ángulo trigonométrico”. Para ilustrar la idea expresada, se presentan las principales identidades trigonométricas: 1. Identidades Pitagóricas a) Sen2 + Cos2 = 1 b) Tg2 + 1 = Sec2 c) Cotg2 + 1 = Csc2 2. Identidades reciprocas a) Sen. Csc  = 1 b) Cos .Sec  = 1

c) Tg  . Ctg  = 1

3. Identidades por cociente: Sen  Cos  a ) Tg   b) Cotg   Cos  Sen  4. Identidades auxiliares a) Sen (+). Sen (-) = Sen2 - Sen2

b) Cos (+). Cos(-) = Cos2 - Cos2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Empezamos reconociendo las principales identidades trigonométricas, cuya aplicación es importante para resolver un conjunto de problemas que se presentan en diferentes contextos: tales como en los exámenes de admisión, selección de personal para un puesto de trabajo y como componente de la cultura matemática de todo estudiante que culmina la Educación Secundaria. Ahora que ya se conocen las identidades trigonométricas fundamentales, iniciaremos comprobando la veracidad de dichas identidades. Posteriormente se desarrollarán un conjunto de problemas, para reforzar los aprendizajes logrados. Comprobación práctica de las identidades trigonométricas.

Leopoldo Ochoa Poma

a) Comprobación de las identidades Pitagóricas 2

1) Sen245º + Cos245º=1   1    1   1      2  2 2

  2) 2) Sen260º + Cos260º =1   3    1   1    2 

3) Tg2 45º +1 = Sec2 45º  1  1  2

2

 2

22

4) Ctg2 60 + 1 = Csc2 60   1   1   2   4  4     3 3  3  3 b) Comprobación de las Identidades recíprocas 1) Sen 60º. Csc 60º b=1   3  . 2   1  2   3 2) Tg 60º.Cotg 60º  1 

   1  3   1  3



 

c) Comprobación de las Identidades por cociente 1)

Sen 60º Tg 60º   Cos 60º

3 2 3  3 1 2

1 Cos 60º 1 1 Cotg 60º    2  Sen 60º 3 3 3 2

PROBLEMAS DE APLICACIONES

1. En los siguientes problemas, comprobar la consistencia de las identidades de las razones trigonométricas a) Tg  + Ctg  = Sec  . Csc  Comprobación

Cos Sabemos por identidades por cociente: Tg   Sen y Ctg  Sen Cos razones en Tg  + Ctg  = Sec  . Csc  ; se tiene:

(1). Remplazando estas

Sen Cos Sen 2  Cos 2   Sec . Csc   Sec .Csc ; pero Sen 2  Cos 2  1. Según este resultado, la Cos Sen Sen .Cos 1 identidad consistente es:  Sec .Csc . Sen .Cos

La solución a las demás razones son similares 2 1 b) Ctg 2  Cos 2  Ctg . Cos  c)  Sen 2 .Cos 2  Cos 4 Sec 2 d ) Sec 2  Csc 2 

1 Sen 2 . Cos 2

Leopoldo Ochoa Poma

09 2. Según los datos del problema Sen  3 ; y 90º <  < 180º; calcule las demás razones trigonométricas del 5

ángulo .

Solución El ángulo  está ubicada en el segundo cuadrante; por esta razón el valor del Coseno de , es 2 negativo: Cos    1   3   4 . Las demás razones trigonométricas son: 5

3 5 a) Sen    Csc   5 3

4 5 b) Cos     Sec    5 4

3 Sen 5 3 4 c) Tg      Ctg   Cos 4 4 3 5

3. Los siguientes problemas, están orientados a fortalecer los aprendizajes logrados. Es necesario dedicarle un poco de esfuerzo y razonamiento; desde luego es importante trabajar en grupo y también solicitar la cooperación del docente tutor de la especialidad. a) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen: a = 6 m y b = 4 m. Calcular las rezones trigonométricas del triángulo. b) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen: b = 3 m y c = 5 m. Calcular las rezones trigonométricas del triángulo. c) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m; y forma entre ellos un ángulo de 70º. d) Calcule la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60º. e) La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita. 4. Ángulos de depresión y elevación. Trigonometría es una herramienta poderosa que ayuda al observador. Si el observador mira hacia arriba, podrá medir el ángulo de elevación; en forma similar, si mira hacia abajo, medirá el ángulo de depresión (ver la figura de la derecha). Está claro que para resolver problemas de este tipo, se tendrá que medir el ángulo desde la horizontal hasta la recta de visión, de la parte superior o inferior del objeto. Es necesario y conveniente, leer los ejemplos con la debida atención y luego resolver los ejercicios propuestos. Los problemas de este tipo son frecuentes en los exámenes de admisión a las instituciones de educación superior. Ejemplos a) Pedro y Ana son estudiantes del CPED; ellos están mirando uno al otro. Pedro está en la cima de un muro de ladrillo, y Ana está en el piso a una distancia de 20 metros del muro. Si el ángulo de elevación del ojo de Ana es de 17º. ¿Cuál es la distancia vertical de las horizontales respectivas que pasan por los ojos de ambos. Solución El primer paso importante es diseñar un gráfico apropiado que nos aproxime en la solución del problema. El gráfico, nos indica que la razón apropiada es la tangente del ángulo de elevación de Ana; dicho razón es Tg17º  x  x = 20. Tg 17º  x = 20 (0.3057) = 6.11 m 20

Luego, la distancia vertical de las horizontales que pasan por los ojos de Pedro y Ana es 6.11 metros.

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09 b) Una avioneta que viene de la selva con destino al aeropuerto de San Ramón, está volando a una altura de 1400 metros, y empieza a descender cuando la distancia del punto de aterrizaje está a 920 metros (en dicho punto está pardo el guía del aeropuerto). Calcule el ángulo de depresión para lo que le resta de distancia de vuelo. Solución Igual que en el problema anterior, esbozamos un gráfico apropiado; designando por Xo el ángulo de depresión. El valor del ángulo se calcula mediante la Tg X o 

1400  1.521739 . Mediante la razón inversa de la 920

tangente de Xo se obtiene: Tg-1 (1.521739)  Xo = 56º 41´ 22´´ Por lo tanto el ángulo de depresión para lo que resta la distancia de vuelo es:

56º 41´ 22´´.

c) Una carretera en ceja de selva, se eleva verticalmente 1370 metros de altura, sobre una distancia horizontal de 13,260 metros. Calcule el ángulo de elevación de la carretera d) La pendiente del riel de una montaña rusa tiene 600 metros de longitud; con una caída vertical de 210 metros. ¿Cuál es el ángulo de depresión de la pendiente? e) Juan José está volando un papalote, y ha soltado 5.5 metros de cordón. El ángulo de elevación para el cordón y la horizontal pasando por la mano de Juan José es de 24º. ¿Cuál es la altura del papalote desde la horizontal a la mano de Juan José? f)

La profesora Rocío, está en lo alto de edificio de la DRE. Desde esa altura, ella es capaz de ver a dos alumnas que caminan en dirección opuesta y alejándose del edificio mientras caminan en la acera. Ella está en el punto medio del techo y los ángulos de depresión de las estudiantes desde ese punto del techo son 56º y 46º respectivamente. El edificio tiene 30 metros de alto. ¿Cuál es la distancia entre los las dos alumnas cuando ellas están a esos ángulos de depresión?

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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados en la circunferencia trigonométrica y las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; complementando con ejemplos y problemas aplicativos. ¿Qué aprenderé hoy?  Graficar y presentar la circunferencia trigonométrica.  Presentar los diferentes puntos, líneas y arcos de la circunferencia trigonométrica.  Graficar las funciones trigonométricas.

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¿Cómo empezamos? El punto de partida para el estudio de los contenido de esta ficha, están relacionado con la circunferencia inscrita en el sistema bidimensional de coordenadas rectangulares (más conocida como el plano cartesiano). Según los conceptos de geometría plano, la circunferencia es el lugar geométrico formado por puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (ver la figura de le derecha). El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro y se denota por “r” Otro aspecto importante es tener presente los elementos de la circunferencia; especialmente cuando nos disponemos a resolver problemas. Las necesidades son mayores tanto en el estudio de la circunferencia trigonométrica como en el entendimiento de las funciones trigonométricas

Está presente los procedimientos empleados para calcular el radio de una circunferencia. Para continuar recordando supóngase una circunferencia en el plano cartesiano, cuyo centro C tiene coordenadas (h, k) y que el radio es “r”. Sea P (x, y) un punto de la circunferencia. También, recordamos la fórmula de distancia entre dos puntos, donde el “cuadro de la distancia entre el punto P y el centro C, se define por: d2(P; C) = r2 = (x – h)2 + (y – k)2. De esta ecuación extraemos la raíz cuadrada y obtenemos el valor del radio:

x h

y k

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10 Ejemplo 1: La circunferencia está inscrita en un plano cartesiano, cuyo centro es C (2; 6) y su radio r = 4 metros. Con los mencionados datos determinemos la ecuación de la circunferencia. Solución: La fórmula es: (x – 2)2 + (y – 6)2 = 42 Cuando las coordenadas del centro de la circunferencia es C (0; 0) y el radio “r”, la ecuación tiene la forma x2 + y2 = r2. Ejemplo 2: Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo centro C (0; 0) y radio r = 3. Solución: x2 + y2 = 32.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (CT) 1. CONCEPTO DE CT La CT, es aquella circunferencia inscrita en el plano cartesiano con centro en el origen y radio igual a la unidad, cuya ecuación es: X2 + Y2 = 1 En la CT, todas las longitudes se miden con la misma unidad de medida: 1u La longitud de la circunferencia es: LC = 2 r; pero como r = 1 LC = 2 2 2 Todo punto que pertenece a la CT, satisface la ecuación: X + Y = 1 si 2 2 P (a; b) CT, se puede expresar como a + b = 1. Ejemplo En la figura mostrada calcular la longitud de PQ Solución Observando la figura, tenemos: P (m; n) y Q (0; -1) y aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos:

m 0

n 1

2n 1

2 Leopoldo Ochoa Poma

10 Como P(m; n)

m2 + n2 = 1, remplazando este valor PQ

Luego la longitud solicitada es PQ

1 2n 1

21 n

2. RADIO VECTOR ORTOGONAL EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 2.1.

Concepto de vector ortogonal Dos vectores (u y v) son ortogonales sí y solo si: El producto escalar es cero: u . v = 0 Dado: u (u1; u2) y v (v1; v2) u1.v1 + u2.v2 = 0

2.2.

Radio Vector Ortogonal en la CT A cada punto de la circunferencia trigonométrica se asocia con un radio vector y a éste con su respectivo vector ortogonal, tal como se presentan en las dos figuras adjuntas.

A manera de ejemplo se presenta el siguiente caso En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada Solución Colocamos algunos puntos adicionales, de tal forma que los puntos P y P´ son simétricos respecto al aje X, en consecuencia: P´H = PH = b , entonces el área de la región sombreada

será: Area sombreada

1. b 2

; pero b > 0

Asemb

b 2

3 Leopoldo Ochoa Poma

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. CONCEPTOS DE FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad; mientras que la discontinua, si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad. Según la matemática, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, está constituida por un trazo continuo1, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha. Una representación gráfica es la evidencia que diferencia entre continuidad y discontinuidad de las funciones en el campo de los números reales. Podemos citar que las funciones polinomiales, seno y coseno (en trigonometría), las exponenciales y los logaritmos son continuos. Las dos primeras figuras representan funciones continuas, mientras que las dos últimas, a funciones discontinuas

La continuidad de funciones es uno de los conceptos importante en estudio de las ciencias, particularmente de la matemática y física. Con las aclaraciones anteriores, se presentan el gráfico de las funciones trigonométricas, tema que se desarrollo en el 4º Grado de Secundaria. 2. PRINCIPALES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A través de los gráficos, se comprende objetivamente las funciones trigonométricas de las funciones de Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. Para graficar cada una de las funciones, primero se elabora la tabla que se presenta en lado izquierdo del gráfico. Los 1

D:\FICHAS DE MATEMATICA_CPED\QUINTO GRADO4\Función continua - Wikipedia, la enciclopedia libre.mht

4 Leopoldo Ochoa Poma

10 valores angulares de alfa ( ) varían de 0º a 360ª, que es una revolución completa del circulo trigonométrico. Para facilitar el gráfico, se tomaron ángulos a intervalos de 45º, en todo el tramo del círculo. 2.1. Función Seno: Sen 0

0.00

0,71

1.00

135

0,71

180

0.00

225

- 0,71

270

-1.00

315

- 0,71

360

0.00

2.2. Función Coseno: Cos 0

1.00

0,71

0.00

135

-0,71

180

-1.00

225

0,71

270

0.00

315

0,71

360

1.00

Como se aprecia, son las dos funciones trigonométricas (seno y coseno) continuas, en una revolución completa (de 360º), y en el rango de 1 y -1 2.3. Función Tangente: Tg 0

////

135

-1

180

225

270

////

315

-1

360

//// Significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (posteriormente se comprobará que a esta situación se denomina: asíntota).

5 Leopoldo Ochoa Poma

10 2.4. Función Secante Sec 0

1.00

1,41

////

135 -1,41 180 -1.00 225

1,41

270

////

315

1,41

360

1.00

2.5.Función Cosecante: Csc 0

////

1,41

1.00

135

1,41

180

////

225

- 1,41

270

-1.00

315

- 1,41

360

////

2.6. Función Cotangente: Cotg 0

////

- 1.00

0.00

135

1.00

180

////

225

- 1.00

270

0.00

315

////

360

- 1.00

Después de graficar las cuatro funciones trigonométricas (tangente, cotangente, secante y cosecante), comprobamos que dichas funciones son discontinuas en el tramo de una revolución de 360º

6 Leopoldo Ochoa Poma

GEOMETRÍA DEL ESPACIO: RECTAS, PLANOS, Y SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO Sumilla Respecto a la Geometría del Espacio, se abordarán las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional; entre los que destacan, el prisma, cono, cubo, cilindro, la pirámide y esfera. Particularmente en esta Fichas, se expondrán conceptos relacionados con la recta en el plano, los planos en el espacio, y los sólidos geométricos en el espacio. ¿Qué aprenderé hoy? La ruta de nuestro aprendizaje comprende Precisar el concepto de Geometría del espacio La recta en el plano y el plano en el espacio Los sólidos geométricos en el espacio

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¿Cómo empezamos? Para iniciar el desarrollo de los contenidos de Geometría, es necesario mencionar la figura genial Euclides (que en el siglo III antes de Cristo, recopiló, ordenó y sistematizó todos los conocimientos de geometría en su famosa obra titulada "Los Elementos"), que mediante el razonamiento deductivo, partiendo de los conceptos primarios de punto, recta, plano y especio, logró formular definiciones, axiomas y postulados. Es histórico el 5º postulado de Euclides: “por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella”, aceptada hasta la aparición de la "geometrías no euclidianas", presentada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky. Este hecho confirma que las ideas de Euclides se mantuvieron incólume, por más de 2 mil años. Los avances logrados en el desarrollo de la geometría, nos señala el camino recorrido desde la geometría euclidiana hasta instaurar la geometría no euclidiana, entre las que destacan, la geometría de Descartes, la de Riemann; por su puesto la geometría de Lovachevski, la geometría algorítmica, analítica, proyectiva, etc.

GEOMETRIA DEL ESPACIO 1.

GEOMETRÍA La geometría es una rama de la matemática que se orienta al estudio de las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio; especialmente de los problemas métricos como el cálculo del área, la superficie y el volumen de cuerpos sólidos. Actualmente, el campo de la geometría es amplio, entre los que destacan la geometría analítica, topología, geometría del espacios, geometría fractal, y geometría no euclidiana.

1 Leopoldo Ochoa Poma

La geometría del espacio es una de las vertientes de la geometría, que tiene como propósito el estudio de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional; tales como el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base

fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otros componentes de la matemática. Se usa ampliamente en ingeniería y en ciencias naturales. 1.1. Posición de dos rectas en el espacio A. Paralelas Son coplanares y no se intersectan: a // b B.

Secantes Son coplanares y se intersectan: a

Alabeadas No son coplanes ni se intersectan

1.2. Posición de dos planos en el espacio Dos planos en el espacio pueden ser: A. Paralelos Si los planos no se intersectan: P // Q B. Secantes Si de intersectan determinando

una recta:

1.3. Posición entre una recta y el plano A. Paralelos Si no intersectan, a//P B. Secantes Se intersectan determinando un punto, a∩P = {N} C. Recta contenida en el plano Si dos puntos de la recta pertenecen al plano, a P

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1.4. Recta paralela a un plano Una recta es paralela a un plano cuando la recta y el plano no tienen ningún punto común. Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta, siendo exterior al plano, sea paralela a una recta contenida en el plano. Si a//b

a//P

1.5. Teorema Si una recta es paralela a un plano, todo plano que pasa por la recta y que corte al plano, le intersectará según una recta paralela a la dada Sea a//P a Q P∩Q = {b ; luego a//b 1.6. Corolarios 1. Dos planos paralelos determinan sobre dos rectas paralelas, segmentos congruentes. Observando la figura (de la derecha) podemos

2. Toda recta paralela a dos planos que se cortan, es paralela a su intersección a//P a//Q

a//AB

concluir: AB CD

1.7. Teorema de Tales Tres o más paralelos determinan sobre dos o más rectas secantes o alabeadas segmentos proporcionales. Según la figura de la derecha, sean los planos AB BC

P//Q//R

DE EF

1.8. Rectas perpendiculares a un plano Para que una recta perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano Observando la figura(de la izquierda) comprobamos que, a y b son secantes contenidos en el plano P; luego: L

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1.9. Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano, entonces al unir el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera de la primera, el segmento resultante será perpendicular a la recta contenida en dicho plano. Resumiendo del texto del teorema y con la ayuda de la figura, se concluye que: La recta L, es la primera perpendicular HM, la segunda perpendicular FM, la tercera perpendicular De las tres afirmaciones se concluye: L P HM a FM

1.10. Angulo formado por una recta y un plano El ángulo que forma una recta y un plano se define como el ángulo formado por dicha recta y su proyección sobre el plano Como se observa en el gráfico AH es la proyección de L sobre el plano P Sea BAH el ángulo formado por la recta L y el plano P.

2. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO: Es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Las figuras de la derecha nos dan una idea objetiva de los sólidos geométricos; que se estudiarán más adelante.

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2.1. Prismas: Sólido con dos bases, las cuales son regiones poligonales y congruentes. Sus caras son figuras planas. 2.2. Pirámides: Sólido con una sola base poligonal, cuyas caras son todas triangulares y se encuentran en un solo punto.

2.3. Cilindros: Sólido cuyas bases son dos círculos paralelos y congruentes. 2.4. Conos: Sólido con una sola base circular y un vértice. 2.5. Esferas: Sólido cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de su centro

PROBLEMA DE APLICACION 1. Dada la ecuación del plan p: 3x -2y + z -5 = 0; y la posición del punto P(0, 1, 1), ubicado en el plano . Hallar la ecuación del plano , sabiendo que es paralelo an plano π

Solución En la figura y π, son dos planos paralelos, separados por una distancia D. El plano contienen al punto P(0, 1, 1). L ecuación del plano : 3x -2y + z + D = 0; El plano contiene a P(0, 1, 1) Þ 3(0)-2(1) + 1 + D = 0 D = 1 y la ecuación del plano : 3x -2y + z + 1 = 0; paralelo al plano π.

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AREA LATERAL, TOTAL Y VOLUMEN DEL CONO DE REVOLUCIÓN Sumilla Mediante el desarrollo de contenidos relacionados con el área lateral, total y el volumen del cono de revolución, se reforzará los conocimientos sobre sólidos geométricos. Se pondrá a disposición de los estudiantes problemas desarrollados y propuestos, para fortalecer sus aprendizajes. ¿Qué aprenderé hoy? La ruta de nuestro aprendizaje comprende precisar los conceptos relacionados: Área lateral y total de un cono de revolución Volumen de un cono de revolución Problemas de aplicación

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¿Cómo empezamos? Iniciamos meditando y luego observado, los diversos objetos, adornos en las construcciones o las figuras de nuestro medio. Obviamente, los niños dirán con mucha alegría, los conos de helados!... Efectivamente los conos que contienen los helados, constituyen la mejor representación de los conos que hoy comenzamos a estudiar. Otra forma de ilustrar nuestro aprendizaje es elaborar en cartón o madera delgada un triángulo rectángulo y hacerlo rotar, tomado como eje uno de los catetos; de esta forma lograremos generar un cono de revolución. Extraordinario, verdad!...

CONO DE REVOLUCIÓN 1. SUPERFICIE DE CONO DE REVOLUCION La superficie de un cono de revolución es el sólido geométrico generado, por la rotación de 360º de una región del triángulo rectangular, alrededor de uno de los catetos considerado como eje fijo. La figura de la derecha nos muestra que, la superficie lateral es generada por la hipotenusa del triángulo rectángulo (llamado generatriz g); un cateto es la altura del cono ( que es la recta eje representado por h) y el otro cateto genera el círculo de la base cuyo radio es el mismo cateto(radio de la base del cono, que representa por R) 2. ÁREAS DEL CONO Para calcular tanto el área lateral como el área total, las fórmulas correspondientes son inmediatas y sencillas, tal como se presentan en los siguientes numerales 2.1.

Área lateral El área lateral se determina mediante la siguiente fórmula: AL = . r. g

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: este factor es aproximadamente 3.1416 r : radio de la base del cono g : la generatriz del cono Ejemplo: a) Hallar el área lateral de un cono recto de 8 cm de altura y 10 cm de generatriz Datos Proceso operativo = 3.1416 Por Pitágoras: r2 = (10 cm)2 – (8 cm)2 = 36 cm2 r =? Entonces: r = 6 cm g = 10 cm Aplicando la fórmula: AL = . r. g h = 8 cm Se tiene: AL = (3.1416). (6cm). (10 cm) = 188.50 cm2 Luego el área lateral del cono es: AL = 188.50 cm2 2.2.

Área total El área total es la suma de los valores del área lateral con el área de la base del cono (que es equivalente al área del círculo), cuya fórmula es la siguiente: AT = AL + AB Ejemplos a) Halla el área total de un cono recto de generatriz de 6 cm y radio de la base igual a 3 cm. Datos Proceso Operativo = 3.1416 Área lateral: AL = . r. g = (3.1416).(3cm).(6 cm) = 56.55 cm2 r = 3 cm Área de la base: AB = . r2 = (3.1416).(3 cm)2 = 28.27 cm2 g = 6 cm Luego el área total: AT = AL + AB = 56.55 cm2 + 28.27 cm2 = 84.82 cm2 Otra forma de calcular directamente AT = . r(r + g) = 84.82 cm2 b)

Hallar el área total de un cono recto de 8 cm de altura y 10 cm de generatriz Datos Proceso Operativo = 3.1416 Por Pitágoras: r2 = (10 cm)2 – (8 cm)2 = 36 cm2 r =? Entonces: r = 6 cm g = 10 cm Aplicando la fórmula: AT = . r(r + g) h = 8 cm Se tiene: AT = (3.1416). (6cm). (6 cm + 10 cm) = 301.50 cm2

3. Volumen del cono El volumen es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura del cono, cuya fórmula es: V

1 AB .h o directamente V 3

1 2 r h 3

Ejemplos a) Calcular el volumen de un cono recto de 5 cm de generatriz y de 4 cm de radio de la base Datos Proceso operativo 1 2 r h 3

g = 5 cm

Aplicando la fórmula: V

r = 4 cm h = 3 cm

V = 1/3. (3.1416).(4 cm)2.(3 cm) = 50.27 cm3 Luego el volumen solicita es V = 50.27 cm3

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b) ¿Cuál es el volumen de un cono de helado cuya bisectriz es de 10 cm y radio de su base es de 4 cm? Datos Proceso operativo g = 5 cm Aplicando la fórmula: V 1 r 2 h 3

V = 1/3. (3.1416).(4 cm)2.(3 cm) = 50.27 cm3 Luego el volumen solicita es V = 50.27 cm3

r = 4 cm h = 3 cm

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm. Datos Proceso Operativo Área lateral: AL = . r. g = (3.1416).(5cm).(13 cm) = 204.42 cm2

= 3.1416 r = 5 cm

Área total: AT = . r (r + g) = (3.1416).(5 cm).(5 + 13) = 282.74 cm2 g = 13 cm Aplicando la fórmula: V 1 r 2 h 3 2 V = 1/3 (3.1416).(5 cm) (10.54 cm) = 275.94 cm3 2. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm. Datos Proceso Operativo = 3.1416

AL = . r. g = (3.1416).(3 cm).(5 cm) = 47.12 cm2

r = 3 cm

AT= .r (r + g) = (3.1416).(5 cm).(3+ 5) = 126.66 cm2

g = 5 cm

1 2 r h 3

V = 1/3 (3.1416).(3 cm)2(4 cm) = 37.7 cm3

PROBLEMAS PROPUESTOS a)

Calcular el área lateral, total y volumen de un cono recto, cuyo lado o generatriz mide 6.4 cm y el radio de su base 5 cm. Respuesta: AL = 100.53 cm2 AT = 179.07 cm2 V = 104.72 cm3

Un cono tiene de generatriz de doble longitud que el diámetro de la base, cuyo radio mide 25 cm. ¿Cuánto miden el área lateral, el área total y el volumen? Respuesta: AL = 7854 cm2 AT = 11781 cm2 V = 56679.7 cm3

El radio de la base de un cono es 12 cm y su altura es 15 cm. Halla el volumen en cm3 Respuesta: V = 2261.95 cm3

La circunferencia de la base de un cono es 37,68 cm y la altura 5,25 cm. Halla el volumen en cm3 Respuesta: V = 197.92 cm3

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La altura de un cono mide 14 m y el radio de la base 7 m. Halla el volumen en m3. Respuesta: V = 104.72 cm3

El radio de la base de un cono es 2 m y su altura 2,6 m ¿cuál es su volumen en m3? Respuesta: V = 10.89 cm3

Un recipiente en forma de cono recto de 15 cm. de altura y radio “r” tiene sus 8/27 partes llenas de helado, determine la altura “a” del helado Respuesta: a = 10

En un cono circular recto donde el diámetro de la base y su altura miden 3 m, se inscribe otro cono cuya altura mide 2 m; de manera que el vértice del cono inscrito coincide con el centro de la base del cono circunscrito. Determine el volumen del inscrito. Respuesta: V

Un reloj de arena está formado por dos conos rectos unidos por su cúspide. La altura del reloj es de 10 cm y su diámetro 5 cm. Calcular el volumen de arena que hay en el interior de cae uno de los conos, sabiendo que cae 0.1 cm3 de arena por segundo. ¿cuánto tiempo tarda en pasar la arena de un cono al otro?

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ESTADÍSTICA Y NÚMEROS ÍNDICES Sumilla El propósito es reforzar los aprendizajes logrados en la Estadística y los Números Índices; complementando con ejercicios aplicativos a situaciones de actividades cotidianas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Estadística su importancia y aplicación en la toma de decisiones.  Los números índices simples y compuestos.  El índice de precios al consumidor, como una aplicación de los números índices. 



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¿Cómo empezamos? 1. Observemos las diversas situaciones de nuestro medio, especialmente en el mercado o los mercados de la localidad. Los precios de los artículos de primera necesidad varían en forma casi permanente; las amas de casa manifiestan su preocupación por las alzas en el precio de los panes, las frutas o de los tubérculos. Existen organizaciones y personas especializadas, encargadas de registrar y medir dichas variaciones. Una de dichas instituciones, es el “Instituto Nacional de Estadística e InformáticaINEI”, que mensualmente publica los índices de precios de los bienes y servicios, ofertados en el mercado nacional y local. Iniciaremos nuestros autoaprendizaje, registrando algunos datos importantes, respecto a los cambios en los precios de los artículos durante los últimos años, en nuestro medio.

http://1.bp.blogspot.com/_NYL2ksaHXgk/TGlKxmXLg1I/AAAAAAAAAiI/E4OzP0T1A3c/s1600/papa_1.jpg&imgrefurl=http://ho meopatiaconde.blogspot.com/2010/08/alimentos-del-futuro.html&usg4

2. Valoremos la dimensión cuantitativa de los acontecimientos; las Estadísticas relacionados con la población, producción, comercialización, los precios de oferta y demanda de los bienes y servicios de nuestro medio. Los datos ayudan a tomar decisiones acertadas. 3. Continuaremos nuestra actividad, reflexionando sobre la importancia de la Estadística, de los números Índices, los índices de precios al consumidor y sus aplicaciones en la economía y la vida cotidiana.

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Estadística: importancia y uso 1. ESTADÍSTICA Estadística es el vehículo que permite llevar a cabo la investigación científica. Es una ciencia con metodología para la recolección, análisis e interpretación de datos, tanto para ayudar en la toma de decisiones como para explicar condiciones regulares o irregulares de acontecimientos u ocurrencia aleatorias o condicionales. También, es una herramienta fundamental en la administración, educación, sociología, psicología, medicina, genética, informática, ingeniería, contabilidad, economía, agricultura, etc.

2. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA Se clasifica en dos ramas: Estadística descriptiva y Estadística inferencial 2.1. Estadística descriptiva Estadística descriptiva se dedica a la recolección, descripción, visualización y resumen de datos de hechos o acontecimientos ocurridos. Los datos son presentados numérica o gráficamente. Los más representativos son: la media y la desviación estándar; gráficos como histograma, pirámide poblacional, clúster, entre otros. 2.2. Estadística Inferencial Estadística inferencial, tiene como propósito generar inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos aleatorios observados; posibilitando la estimación de características y propiedades de la población en estudio.

Números Índices 3. NÚMEROS ÍNDICES Los números índices son indicadores que permiten comparar las variaciones relativas expresadas como porcentaje de una situación inicial llamada periodo base y la situación actual que queremos comparar. Los números índices se utilizan como una medida estadística, que expresa los cambios experimentados por variables o magnitudes en dos situaciones; una de las cuales se toma como referencia (o periodo base) y la situación que se quiere comparar (que por lo general corresponde a la situación actual).

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4. Clasificación de los números índices Existen dos formas de clasificación de los números índices. La primera forma de clasificación está relacionado con los negocios y actividades económicas, que los agrupa en tres tipos: 1) Índices de precios; 2) Índices de cantidad; y 3) Índices de valor; mientras que la segunda forma de clasificación es según el número de artículos; si se trata de un solo artículo, se denominan 1) números índices simples, y cuando se refiere a un conjunto de artículos, se llama 2) números índices compuestos. El Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI), utiliza la segunda forma de clasificación en la elaboración y presentación de los números índices de la economía del país, por esta razón se desarrolla esta clasificación. 4.1. Números Índices Simples Un número índice simple, se construye a partir de una serie de tiempo concerniente de un solo artículo, que se expresa en forma de porcentaje entre el primer término (que es el número mencionado primero en el enunciado) y el segundo término (que es el número de comparación o base). Los dos términos se pueden ser escritos en una fracción como sigue: Porcentaje del primer término entre el segundo término: Is

Pr imer tér min o x 100 Segundo tér min o

Variación (%) de precio y cantidad del Maíz Amarillo Años

P = Precio por Q = Cantidad Indice de precios Kg en S/. en TM 2005 = 100%

2005

1.55

2006

1.45

2007

1.58

2008

1.60

2009

1.65

2010

1.80

100.00 93.55 101.94 103.23 106.45 116.13

Indice de cantidades 2007 = 100%

87.50 97.50 100.00 87.50 81.25 68.75

Ejemplos: Las variaciones de los precios (P = Precio por Kg. en S/.) y las cantidades (Q = cantidad en Kg), del maíz amarillo, están contenidos en el cuadro de la derecha. Con dichos datos se determinará los índices de los precios y cantidades respectivamente. Calculo de índices de precios y cantidades de maíz amarillo El índice de precio del año 2006 respecto al precio de 2005 es IP 2006/2005

1.45 x100 1.55

93.55% .

Por esta razón el

precio de 2006, es inferior en 6.45% al precio del año 2005.

Números Índices  El índice de precio del año 2007 respecto al precio de 2005 es IP 2007/2005

1.58 x100 1.55

101.94% . Por lo

tanto, el precio de 2007, es superior en 1.94% al precio del año 2005.  El índice de precio del año 2010 respecto al precio de 2005 es IP 2010/2005

1.80 x100 1.55

116.13% . En

consecuencia, el precio del año 2010, es superior en 16.13% al precio del año 2005 Para el cálculo de índice de cantidades, se ha considerado como año base, el año 2007 (2007 = 100%). El procedimiento es similar al cálculo de los índices de precios (IP).

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78  El índice de cantidad del año 2006 respecto a la cantidad del año 2007, es IQ x100 97.50% . 2006/2007 80

Según el índice del año 2006, la cantidad de este año, es inferior en 2.5%, al del año 2007. 70  El índice de cantidad del año 2008 respecto a la cantidad del año 2007, es IQ x 100 87.50% . 2008/ 2007 80

Según el índice del año 2008, la cantidad de esta año, es inferior en 12.50%, al del año 2007. 55  El índice de cantidad del año 2010 respecto a la cantidad del año 2007, es IQ . x100 68.75% 2010/2007 80

Según el índice del año 2010, la cantidad de este año, es inferior en 31.25%, al del año 2007. Los resultados de los índices de precio y cantidad, se puede concluir que se trata de la demanda del maíz amarillo; porque, cuando aumentan los precios, las cantidades disminuyen.

4.2. Números Índices Compuestos Son determinados a partir de series de tiempo de varios artículos, para mostrar los cambios relativos en los precios, cantidades o valores de los artículos incluidos en el estudio. Los estudios más frecuente están relacionados con los cambios relativos en el costo de vida, a partir de los precios de un grupo de artículos que conforman la canasta familiar, como los alimentos, transporte, vestuario y vivienda, entre los principales bienes y servicios. Los estudios se apoyan en las fórmulas del índice de Paasche y de Laspeyres; mediado por el de Fisher. a) Índice de Laspeyres Étienne Laspeyres, economista y estadístico alemán (1834 - 1913); fundó el Seminario de Estadística y Ciencia Política y fue miembro activo del Instituto Internacional de Estadística; demostrando la evolución de magnitudes en el tiempo, a partir de un año base de un conjunto de artículos, ponderando a cada una por su importancia dentro del conjunto. Actualmente, los índices de precios al consumidor en muchos países, son elaborados utilizando el índice de Laspeyres.

El índice de Laspeyres, se calcula mediante la siguiente fórmula:

IPl

PQ t o PoQo

x100

Donde: IP = índice de precios Po y Qo: los precios y cantidades de los artículos en el período inicial o periodo base Pt y Qt: los precios y cantidades de los artículos en el período posterior que se analiza Para ilustrar con un ejemplo que se aproxime a la realidad regional del país, se realizó una encuesta por muestreo aleatorio fortuito a 50 amas de casa que realizando sus compras de artículos de primeras necesidades, el mercado de abastos, de la región central del país.

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Números índices Los resultados de la encuesta fueron consolidados en el siguiente cuadro VARIACIÓN MENSUAL DE PRECIOS Y CANTIDADES DE ARTÍCULOS DE PRIMERA NECESIDAD (JUNIO DE 2005 A JUNIO DE 2010) ARTÍCULOS

UNIDAD AÑO BASE (2005) AÑO CORRIENTE (2010) DE MEDIDA

ACEITE ARROZ AZUCAR FIDEOS LECHE MENESTRAS CARNE DE RES POLLO PESCADO PAPA CAMOTE CEBOLLA LEGUMBRES PAN SUMA

VALORES DE LOS ARTÍCULOS

Po x Q o

Pt x Qo

Po x Qt

Pt x Qt

Litro

4.80

6.00

14.40

18.00

19.20

24.00

Kilo

1.75

2.50

35.00

50.00

36.75

52.50

Kilo

1.40

2.80

14.00

28.00

11.20

22.40

Kilo

2.20

2.50

22.00

25.00

22.00

25.00

Lata

1.80

2.50

36.00

50.00

32.40

45.00

Kilo

3.30

4.60

26.40

36.80

33.00

46.00

Kilo

8.50

14.50

59.50

101.50

51.00

87.00

Kilo

3.50

6.00

70.00

120.00

87.50

150.00

Kilo

3.80

6.00

38.00

60.00

34.20

54.00

Kilo

0.50

1.10

12.50

27.50

11.00

24.20

Kilo

0.70

1.40

12.60

25.20

11.20

22.40

Kilo

0.80

1.80

6.40

14.40

4.80

10.80

kilo

1.20

1.80

19.20

28.80

21.60

32.40

Unidad

0.10

360

0.15

320

36.00

54.00

32.00

48.00

402.00

639.20

407.85

643.70

Fuenta: Encuesta a 50 familias de la región central del país (Junio de 2010)

Según la fórmula del índice de Laspeyres: IP l

PQ t o PoQo

x100

IPl

639.20 x100 159.00% 402.00

En consecuencia, durante el transcurso de los años 2005 y 2010 el costo de vida aumentó en 59%, así lo confirma el índice de precios de Laspeyres. Los precios de los artículos de primera necesidad, subieron aproximadamente en un 60%, en la segunda mitas de la presente década. b) Índice de Paasche Hermann Paasche, economista alemán (1851-1925), formuló un modelo para calcular el número índice compuesto ponderado; utilizando cantidades del período de tiempo; a diferencia de Laspeyres, que utiliza para la ponderación las cantidades del período de tiempo del periodo base.

El índice de Paasche, se calcula mediante la siguiente fórmula: IPp

PQ t t P0Qt

x100

Con los datos del cuadro que contiene las “Variación mensual de precios y cantidades de artículos de primera necesidad (junio de 2005 a junio de 2010)”, se calcula el índice de precios de Paaschee, utilizando la siguiente fórmula: IPp

PQ t t P0Qt

x100

IPP

643.70 x100 157.83% 407.85

Los resultados, indican que los precios experimentaron un aumento de 57.83% durante el quinquenio 2005/2010; lo que implica que el costo de vida en término promedio, también, advirtieron un aumento similar a este índice.

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Números índices Los índices de precios de Laspeyres (159.00%) y Paaschee (157.83%), presentan diferencia; surge como alternativa de el Índice de precios de Fisher.

c) Índice de Fisher Irving Fisher (1867-1947), professor of political economy, realizó aportaciones originales a la ciencia económica; propuso las curvas de indiferencia como método de análisis; mientras que, en el campo de la estadística presentó su aporte (1922), sobre números índices (1922), lo que actualmente se conoce como "el índice de Fischer" que es una media de los índices de Laspeyres y de Paasche

El índice de Fisher (Irving Fisher economista estadounidense), es resultante del promedio geométrico de los Índices de Paasche y Laspeyres; cuya fórmula es la siguiente: IPf

IPp xIPl .

Según los cálculos anteriores los índices de precios de Laspeyres y Paasche son los siguientes: IPl

639.20 x100 159.00% 402.00

y IPP

643.70 x100 157.83% ; lo que indican que, los aumentos en los 407.85

precios son 59% y 57.83% respectivamente. Pero aplicando IPf IPf

IPp xIPl ,

promedio

geométrico

la fórmula de Fisher: correspondiente

es:

(159.00%)(157.83%) 158.42% . El nuevo índice, señala que los precios de los principales

artículos de la canasta familiar, experimentaron un aumento de 58.42% en término promedio, en el transcurso de los años 2005 y 2010. En el siguiente cuadro, se presentan los valores de la producción de los pequeños agricultores del valle de Guadalupe, correspondientes a los años 2007 y 2009. VARIACIÓN DE LOS VALORES DE PRODUCCIÓN DE LA ASOCIACIÓN DE PEQUEÑOS AGRICULTORES DEL VALLE DE GUADALUPE DE LOS AÑOS 2007 - 2009 Porductos Algodón Arros Café Caña de azucar Espárrago Maíz Amarillo Papa Plátano

P oQo 10200 12325 19600 23100 11520 33440 22080 28710

P t Qo

P tQt

11220 15950 25200 25850 13005 36300 24150 29232

P t Qo

12672 17820 44100 28905 15895 39930 29400 32704

11220 15950 25200 25850 13005 36300 24150 29232

P oQt 11520 13770 34300 25830 14080 36784 26880 32120

Fuente: Asociación de Productores Agrepecuarios de Guadalupe

Con los datos del cuadro anterior, ahora, estamos en condiciones de calcular los índices de precios de Laspeyres, Paasche y Fisher. Según la fórmula del índice de Laspeyres:

IPl

PQ t o PoQo

x100

IPl

180907 x100 160975

112.38%

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Aplicaciones de los números Índice en economía 3.1. Números Índices en Economía

PERÚ: INDICE DE VARIACION DE LOS PRINCIPALES SECTORES DE LA ECONOMÍA DEL AÑO 2000 (100%) A 2009 Agropec Manufac Construc ComerAños Minería PBI uaria tura ción cio 2000 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 2001 100.62 109.90 100.65 93.45 100.88 100.21 2002 106.72 123.07 106.36 100.61 104.18 105.24 2003 109.93 129.82 110.16 105.14 106.72 109.49 2004 108.39 136.67 118.33 110.05 113.38 114.94 2005 114.26 148.15 127.14 119.29 120.42 122.79 2006 123.83 150.21 136.70 136.90 134.45 132.29 2007 127.86 154.28 151.81 159.65 147.45 144.07 2008 137.12 166.07 165.57 185.93 166.61 158.19 2009 140.27 167.06 153.73 197.35 165.94 159.56

Determinar los índices variación de las actividades económicas, es una de las aplicaciones más comunes. El Cuadro de la derecha contiene los índices de variación del Producto Bruto Interno (PBI) y de sus principales sectores de la economía del Perú, en el periodo 2000 – 2009. En dicho periodo los sectores de mayor crecimiento, fueron: construcción y minería, seguido de cerca por el sector comercio.

INDICE DE CRECIMIENTO DE LOS SECTORES DE AGROPECUARIA, MINERÍA Y PBI DE 2000 - 2009 Agropecuaria

Mineria

PBI

200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

El Producto Bruto Interno (PBI) es el valor monetario de los bienes y servicios finales producidos por la economía de un país; en un período determinado. En el gráfico de la izquierda, se presenta el índice de variación del PBI, del sector minería y agropecuario. Como se observa, el sector minero logró un crecimiento superior al agropecuario; pero, a partir de mediados del año 2008, la economía en su conjunto, comenzó a disminuir en su crecimiento, tal como se ve la tendencia del PBI. Según los índices económicos, la economía del Perú, es dependiente de recursos naturales; con limitada participación del sector de manufactura.

3.2. Índice de Precio al Consumidor (IPC) Es uno de los índices más importantes, en el estudio de la variación de precios de un conjunto de bienes y servicios que constituyen la canasta familiar de una región. El valor del índice de precios es determinado por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI), mediante una encuesta por muestreo, a una cantidad de consumidores que compran en forma regular. La medición del índice de precios al consumidor, es una de las aplicaciones de los números índices. El INEI, en su Boletín Mensual de Indicadores de Precios de la Economía, presenta la tendencia de los precios al consumidor, cuya variación al mes de agosto del 2010 llega a 2,06%, este resultado es superior al de la variación acumulada en similar periodo del 2009 (0,01%), y es inferior al del año 2008 que alcanzó el 4,70% y 2007 llegó a 2,39% (tal como se observa en el gráfico de la derecha).

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Ejercicios 1. Selecciones uno de los artículos de mayor demanda de la localidad; luego elabore una

serie estadística de los precios de venta durante los últimos dos años. Con los datos elaborados: Elabore el índice de precios simples y grafique los resultados. Después de haber realizado comparte con el profesor y tus compañeros de clase. 2. Converse con la familia; especialmente con la mamá, porque ella lleva las cuentas del

presupuesto familiar (salvo situaciones particulares, que dicha función lo realice otro miembro de la familia). Con las informaciones proporcionadas elabore una cuadro que tenga la siguiente estructura: VARIACIÓN MENSUAL DE PRECIOS Y CANTIDADES DE ARTÍCULOS DE PRIMERA NECESIDAD ADQUERIDOS POR LA FAMILIA: ARTÍCULOS

UNIDAD AÑO BASE (2005) AÑO CORRIENTE (2010) DE MEDIDA Po Qo Pt Qt

VALORES DE LOS ARTÍCULOS

Po x Q o

Pt x Qo

Po x Qt

Pt x Qt

SUMA

Con los elaborados en cuadro, calcule los índices de Laspeyres, Paasche y Fisher. Recta conclusiones con los resultados obtenidos, comparte con tus compañeros de clase y con el profesor del curso.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: http://www.vitutor.com/geo/rec/dActividades.ht ml

Proyecto: “Construyendo organizadores” Responsables: tutor y estudiantes Objetivo: Realizar organizadores visuales sobre el tema tratado.

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MUESTREO Sumilla Mediante la técnica de MUESTREO, se reforzará los conceptos de estadística, seleccionará muestras a partir de una población; generalizar sus resultados para comprender y explicar las características de la población, complementado con ejercicios propios de la realidad.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Conceptos de Estadística, Población y Muestra.  Utilizar parámetros y estadígrafos para determinar indicadores de la técnica de muestreo.  Aplicar las técnicas de muestreo. 



Libro de Matemática – 5to Grado de Secundaria – Ediciones El Nocedal S.A.C. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Iniciamos recordando a la Estadística, como una ciencia de recolección, análisis e interpretación de datos, para ayudar en la toma de decisiones y explorar las condiciones regulares o irregulares de los fenómenos. En esta sección estudiaremos dos conceptos mutuamente interdependientes: la población y muestra. Muestra ; es transversal a una variedad de disciplinas, desde la conocer las de necesidades y los problemas de los física hasta las ciencias sociales, pasandoPara por las ciencias la habitantes de una región o del país, tenemos dos vías, el salud y el control de calidad. censo o el muestreo. El primero requiere de tiempo y mucho dinero; mientras que el segundo se realiza en poco tiempo y a un costo reducido. El muestreo consiste en seleccionar al azar a un número pequeño de habitantes y mediante una encuesta, se obtendrá las informaciones requeridas; luego se generalizará a toda la población. Este proceso se denomina técnica de muestreo. De las afirmaciones anteriores se concluye que el muestreo, es una técnica que facilita seleccionar una muestra de la población objetivo, con el propósito de obtener resultados confiables y generalizarlos a toda la población. Está claro que, a partir de una muestra se espera conseguir que sus resultados sean extrapolables a la población. Mediante este proceso se obtendría resultados muy próximos a los que se alcanzaría mediante el censo.

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15 `

Actividades 1. Revisar publicaciones (por Internet) del Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI), libros, revistas, diarios e informaciones virtuales, relacionados con las estadísticas y muestras. 2. Averiguar el número de familias de la localidad donde que se encuentra el CPED y seleccionar al azar una muestra del 10% de jefes de dichas familias y aplicar una encuesta, para conocer su opinión sobre educación a distancia. 3. En el mercado de la localidad seleccionar una muestra de 50 vendedores, luego aplicar una encuesta, para conseguir informaciones sobre productos de mayor y menor demanda.

Muestreo 1. PROCESO DE MUESTEO De una población se extrae una muestra aleatoria, a partir de ella se generan datos numéricos, que son utilizados para determinar los estadígrafos; siendo las principales medidas de tendencia central y dispersión. Los estadígrafos permiten determinar los parámetros de la población, cuyos valores o medidas son utilizados para describir las características y propiedades de la población de donde se obtuvo la muestra. En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una muestra a partir de una población; tal como se presenta en la figura de la parte superior derecha. 2. POBLACION, PARAMETRO Y ESTIGRAFO 2.1. Población: formada por la totalidad de las observaciones registradas mediante el censo. 2.2. Parámetro: es una medida obtenida a partir de los datos de la población, se usa para describir las característica de la población; siendo las más conocidas la media aritmética (que se representa con el símbolo: ) o la desviación estándar de los datos de población (que se representa con el símbolo:). El parámetro es determinado directamente con los datos del censo e indirectamente, se estima de los datos de la muestra. 2.3. Estadígrafo: es una medida usada para describir la característica de una muestra, tal como la media aritmética y la desviación estándar de una muestra. A partir de la media aritmética de la muestra (estadígrafo = x ), se estima la media aritmética de la población (parámetro =  ); en consecuencia, el estadígrafo se utiliza para estimar el parámetro, que es un paso previo para describir las características de la población.

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15 3. USO Y APLICACIÓN DEL MUESTREO El muestreo es una técnica transversal a todos los aspectos del saber, cuyo uso y aplicación es notoria en los siguientes campos:  Política: las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones.  Educación: las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza.  Industria: muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad.  Medicina: muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo.  Agricultura: las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo.  Gobierno: una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. 4. ERRORES EN EL MUESTREO Cuando se selecciona una muestra de una población y se determinan los estadígrafos y utilizan para estimar los valores parámetros de la poblacionales, ocurre una diferencia natural denominada error muestral. El error muestral es una medida de variabilidad de estimaciones en torno al valor de la población, nos proporciona una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo; consecuentemente es un soporte importante que ayuda a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial. 5. TIPOS DE MUESTRAS ALEATORIAS Las muestras aleatorias o probalísticos se agrupan en simples, sistemáticos y estratificados Muestra Aleatoria Simple, es la probabilidad de ser elegido cada uno de los miembros de una población. Es uno de los tipos más utilizados y recomendado en las investigaciones, porque le da igual oportunidad de ser elegido en la muestra, a cada uno de los miembros de la población; lo que permite inferir lo que pudiera ocurrir en la población, a partir de la muestra. Muestra Aleatoria Sistemática: se hace una lista de la población a intervalos fijos, según el coeficiente de elevación (ce) como punto de partida. El coeficiente de elevación se determina mediante la siguiente relación: ce  Número de elementos de la población Número de elementos de la muestra

Ejemplo: Si la población P = 100 elementos y la muestra n = 20, entonces

ce 

100  5; 20

lo que indica que

se selecciona un elemento cada vez que se produzcan múltiplos de 5. Este método se emplea mucho en los controles de calidad; pero también puede ser empleado en las investigaciones en general.

Prof. Leopoldo Ochoa 3 Prof. Leopoldo Ochoa Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático.

Muestra Aleatoria Estratificada: es otra variación del aleatorio simple y consiste en subdividir a la población en subgrupos o estratos más homogéneos, de los que se toman muestras aleatorias simples de cada uno de dichos estratos. Hay que evitar que los estratos no se traslapen (superpongan o que existan elementos de un estrato en otro). 6. SELECCIÓN DE UNIDADES DE ANÁLISIS DE UNA MUESTRA Una vez determinado el tamaño de la muestra, se selecciona las unidades de análisis por medios probabilísticos, dando a cada uno de los elementos de la población con la misma posibilidad de ser elegido; lo que permite reducir el error estándar o la diferencia entre el valor de una variable medido en la población respecto al calculado en la muestra. Se inicia elaborando un listado de todos los elementos de la población, no necesariamente en orden (pero completo, exacto y veraz). Las unidades de análisis se eligen por medio del azar, a través de cualquiera de dos procedimientos: tómbola o números aleatorios Tómbola: una vez enlistados a todos los elementos de la población, se coloca en una caja, y después de mezclar, se extrae una ficha por cada uno de ellos, saca el número de fichas que se estableció en el tamaño de la muestra se Números aleatorios – Se utiliza una tabla de números elaborada mediante un mecanismo de probabilidad. Este tipo de tablas fue diseñado por la Corporación Rand y está disponible en la mayoría de los libros de estadísticas o en programas electrónicos como EXCEL de MICROSOFT ® (Tabla 3). El punto de partida de la tabla se marca señalando cualquier lugar de la misma con los ojos cerrados; dicho punto de partida es el primer número de paciente elegido. Desde aquí podemos avanzar en cualquier dirección hasta completar el número de elementos necesarios. En el caso que seguimos, aceptaremos solo números de 2 dígitos y menores de 51, ya que nuestra población está constituida por 50 personas. En las tablas 4 y 5 podemos apreciar el procedimiento para seleccionar 13 pacientes de entre una población de 50, utilizando una tabla de números aleatorios.

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PROBABILIDAD Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la probabilidad condicional, encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy? Probabilidad condicional Teorema de Bayes  Esperanza Matemática  

¿Qué materiales utilizaré? 

Libro de Matemática – 5to Grado de Secundaria – Ediciones El Nocedal S.A.C. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Entablemos conversaciones con los agricultores de nuestro distrito, sobre la probabilidad de lograr mayor productividad en la presente campaña. La respuesta fluye de inmediato: “la mayor producción de la campaña, dependerá de las condiciones favorables del medio ambiente, como la oportuna llegada de las lluvias que proporcionarán suficiente la cantidad de agua para el riego y la ausencia de las heladas. Nuestros interlocutores afirmarán que, la probabilidad de los resultados exitosos, están condicionados por factores externos”. 2. Las conversiones con los agricultores están cargados de emociones y expectativas; predomina una carga subjetiva, respecto a los resultados de la campaña. Es evidente que, las probabilidades que plantean los agricultores respecto a la productividad de la campaña agrícola, está cargada de emociones y expectativas, que precisamente se denomina probabilidades subjetivas a priori. Este tipo de probabilidad que es parte del conocimiento subjetivo, fue estudiado por Bayes, revisando los sentimientos y estableciendo una regla de probabilidades a priori en función a las evidencias empíricas. 3. También aprenderemos calcular el promedio o la media aritmética, desde el punto de vista de probabilidades. La nueva forma de calcular la media aritmética, se denomina Esperanza Matemática o valor esperado de un conjunto de datos de variables aleatorios con sus respectivas probabilidades. También, en las conversaciones con los agricultores, son frecuentes las manifestaciones con relación a las esperanzas de lograr un promedio superior a los resultados de las campañas anteriores. Está claro, que el nuevo promedio es una probabilidad, llamado Esperanza Matemática o simplemente valor esperado, de los resultados de la producción y productividad de la campaña agrícola. Cada de los conceptos señalados desarrollaremos con enfoque probabilístico

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16 Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollaras dos tipos de actividades:  Revisarás y elaborar el resumen de los contenidos a desarrollar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. 2. Revisa tu libro Matemática de 5to - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Probabilidad condicional  Teorema de Bayes  Esperanza Matemática

Probabilidad condicional: A) LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO RELACIONADO CON LA OCURRENCIA DE OTRO Fortaleceremos nuestro aprendizaje, calculando la probabilidad de un evento sabiendo que otro evento relacionado ya ocurrió. Apreciaremos las oportunidades que tiene un evento E cuando se sabe que un evento relacionado F ha ocurrido; a este proceso se llama probabilidad condicional de E respecto a F. B) PROBABILIDAD CONDICIONAL Repasando el Texto, la probabilidad de un evento E cuando es dado que un evento relacionado F ha ocurrido se llama probabilidad condicional y se representa por P(E/F) y se lee como la probabilidad de E dado F o la probabilidad de E respecto a F. La probabilidad condicional de E, dado por F, se determina por P E / F

PE F PF

Ejemplos: 1) Según el informe técnico, la probabilidad lograr mayor productividad siempre que se disponga de recursos financieros es P(E ∩ F) = 0.3. Este resultado depende de la probabilidad de que la Caja Agraria, proporcione oportunamente el crédito solicitado; dicha probabilidad es P(F) = 0.6. Con los datos señalados determine la probabilidad de lograr mayor productividad, si ya se cuenta con el crédito solicitado: P(E/F) Solución Según el concepto de probabilidad condicional se asume que P(E/F) indica la probabilidad de lograr mayor productividad, siempre que se disponga oportunamente los recursos financieros. Aplicando la fórmula, se tiene: P E / F P E F 0.3 0.5 P( F )

0.6

Luego, la probabilidad de P(E/F) = 0.5, significa que existe el 50% de probabilidad de lograr mayor productividad.

2 Prof. Leopoldo Ochoa Huamaní

2) Dado P(E) = 0.6, P(F) = 0.7, y P(E F) = 0.8, calcule P(E | F). Este ejemplo nos lleva recordar y revisar nuestros aprendizajes significativos, sobre la teoría intuitiva de conjuntos Solución Para calcular P(E/F), es necesario determinar la probabilidad P(E ∩F) Entonces partimos de: P(E

F) = P(E) + P(F) - P(E ∩F)

Remplazando los datos: P(E ∩F) = P(E) + P(F)- P(E

P(E ∩F) = P(E) + P(F)- P(E

F) = 0.6 +0.7 – 0.8 = 0.5

Aplicando la fórmula de la probabilidad condicional: P E / F

P( E F ) P( F )

0.5 0.7

5 7

3) En una empresa de agroindustria, laboran 700 trabajadores entre hombres y mujeres. Según los salarios que perciben están agrupados entre los ganan menos de S/. 1,000 y los que ganan de S/. 1,000 y más; cuyos datos están registrados en la siguiente tabla.

TRABAJADORES DE UNA EMPRESA AGROINDUSTRIAL Salario que ganan Trabajadores

Mujeres (M) Hombres (H) Total

Total

Menos de De S/. 1,000 S/.1,000 (A) y más (B)

210 105 315

80 305 385

290 410 700

Si se selecciona al azar a un trabajador, determine la probabilidad de que: a) Gana más o igual a S/. 1,000, dado que es hombre. b) Gana menos de S/. 1,000, dado que es mujer a) Es hombre, dado que gana más o igual de S/. 1,000.

Solución

TRABAJADORES DE UNA EMPRESA AGROINDUSTRIAL Salario que ganan Trabajadores

Mujeres (M) Hombres (H) Total

Menos de De S/. 1,000 S/.1,000 (A) y más (B)

P(A∩M) P(A∩H) P(A)

P(B∩M) P(B∩H) P(B)

Total

P(M) P(H) 1.0000

b) Gana más o igual a S/. 1,000, dado que es hombre. P( B H ) 305 P B/H 0.7439 P( H ) 410 c) Gana menos de S/. 1,000, dado que es mujer. P A/ M

d) Es hombre, dado que gana más o igual de S/. 1,000. P H / B

P A M P( M )

P( B H ) P( B)

210 290

305 385

0.7241

0.7922

Nota: Seguir el mismo procedimiento para resolver los problemas de la página 192 del libro de matemática de 5º grado; de Ediciones EL Nocedal S.A.C.

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Ejercicios 1. Una urna contiene 4 bolillas rojas y 5 blancas. De las 4 bolillas rojas, 2 son lisas y 2 rayadas; mientras que de las 5 bolillas blancas, 4 son lisas y una es rayada. Se extrae una bolilla y es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea rayada? Sugerencia: Sean los eventos A: “la bolilla es rayada” y B: “la bolilla es roja” Respuesta: P(A/B) = ½ 2. Actualmente uno de los problemas de la humanidad es HIV. Los médicos de un Centro de Salud, realizaron una evaluado a las personas que concurrieron a dicho Centro. Los resultados de la evaluación clasificaron en portadores (A) y no portadores (Ᾱ) de HIV; además si pertenecen a cierto grupo de riesgo (B) o no ( B ). Con los datos recopilados han construido la siguiente tabla de probabilidades. Situación del individuo

Portador A

No portados

Total

Pertenece: B

0.003

0.017

0.020

No Pertenece: B

0.003

0.977

0.980

Total

0.006

0.994

1.000

Dado que una persona seleccionada al azar pertenece al grupo de riesgo, ¿cuál es la probabilidad de que sea portador? Solución Sugerencia: sea la probabilidad de que una persona evaluada sea portador como: P(A)=0.006 y la probabilidad de que sea portador y pertenezca al grupo de riesgo como: P(A ∩B)=0.003 Respuesta: P(A/B) = 0.150 3. El fútbol es el rey de los deportes. El portero titular de un equipo de fútbol ataja 8 de cada 10 penales; mientras que el suplente solo ataja 5. El portero suplente juega, en promedio, 15 minutos en cada partido (de 90 minutos). a) Si en un partido se lanzan tres penales contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad de que se paren los tres? b) Si se lanza un penal y no se ataja ¿cuál es la probabilidad de que estuviera jugando el portero titular? Sugerencias Sean los eventos: P= el portero ataja un penal; T= juega el portero titular; S= juega el portero suplente (S=T ᷆); P(S) =15/90 =1/6. P(T) = 1 – P(S) = 1 – 1/6 = 1/5 Respuesta: a) 0.75 b) 0.4219

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Teorema de Bayes: C) TEOREMA DE BAYES El teorema planteado por Thomas Bayes (1702 – 1761), establece el fundamento metodológico para estimar las probabilidades condicionales, apoyadas en informaciones a priori de experimentos, en función de las evidencias empíricas a posteriori. Esta teoría está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Para aplicar el Teorema de Bayes, partimos analizando el siguiente caso: Suponga que el 5% de la población del distrito Tambo, padece de una enfermedad. Sea A1 el evento “tiene la enfermedad” y A2 el evento “no tiene la enfermedad”. Si selecciona al azar una persona, la probabilidad de que tenga la enfermedad es P(A1) = P(tiene enfermedad) = 0.05, que se denomina probabilidad condicional a priori, porque se asigna antes de haber obtenido datos de la población de Tambo; entonces, la probabilidad condicional a priori de que una persona no padezca la enfermedad es P(A2) = 0.95. Mediante un diagnóstico se detecta la enfermedad; asignándole por B al evento: “la prueba indica que la enfermedad está presente” y la probabilidad de que la persona padece por P(B/A1) = 0.90. La evidencia empírica de que persona no padece la enfermedad; pero la probabilidad condicional de que se encuentra presente es P(B/A2) = 0.15. La pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en realidad padezca la enfermedad? La respuesta en forma simbólica es P(A1/B) = P(tiene la enfermedad/los resultados de la prueba son positivos). La probabilidad de P(A1/B), se denomina probabilidad condicional a posteriori. Después de seleccionar al azar a una persona de Tambo y respondiendo la pregunta, la probabilidad condicional a posteriori de que una persona padezca la enfermedad, se determina mediante el teorema de Bayes: P ( A1 / B )

P ( A1 ). P ( B / A1 ) P ( A1 ). P ( B / A1 ) P ( A2 ). P ( B / A2 )

(0.05 )( 0.90 ) (0.05 )( 0.90 ) (0.95 )( 0.15 )

0.0450 0.1875

0.24

Luego, la probabilidad de que una persona del distrito de Tambo, seleccionada al azar padezca la enfermedad es P(A1/B) = 0.24, siendo aproximadamente mayor en cinco a la probabilidad supuesta a priori P(A1) = 0.05. En el anterior sólo se consideró por dos eventos, A1 y A2, como probabilidad a priori; si son más de dos eventos mutuamente excluyentes, se aplica el teorema de Bayes, cuya fórmula es: P ( Ai / B )

P ( A1 ). P ( B / A1 )

P ( Ai ). P ( B / A i ) P ( A2 ). P ( B / A2 ) ...

P ( An ). P ( B / An )

En donde Ai se refiere a cualesquiera de los n posibles resultados

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Ejercicios 1. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. Sugerencia Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". Para calcular la probabilidad de que sea defectuosa, utilice la fórmula: P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) La probabilidad de haber sido producido por la máquina B, utilice el Teorema de Bayes P( B / D)

P( B). P( D / B) P( A) . P( D / A) P( B) . P( D / B) P(C ) . P( D / C )

Respuestas: a) P(D) = 0.038 b) P(B/D) = 0.316 2. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? Sugerencia Denomine: R = sacar bola roja y N = sacar bola negra. Para la probabilidad solicita utilice el Teorema de Bayes, cuya fórmula es: P( A / R)

P( A) . P( R / A) P( A) . P( R / A) P( B) . P( B) . P( R / B) . P(C ) . P( R / C )

Respuesta: P(A/R) = 0.260 3. Dos máquinas A y B han producido 100 y 200 piezas respectivamente. Según el informe técnico del jefe de control de calidad, la máquina A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se desea saber: a) b)

Probabilidad de que sea defectuosa. Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la máquina A.

Sugerencia: Supongamos que las piezas son producidas por las: MA = {la pieza procede de la maquina A} MB = {la pieza procede de la maquina B}. Producción Total: P = {300 piezas} = MA + MB D = {la pieza defectuosa} Respuesta: a) P(D) = 0.0567 b) P(MA/D) =0.2491

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Esperanza Matemática: D) ESPERANZA MATEMÁTICA La esperanza matemática o valor esperado de la media poblacional de una variable aleatoria X, es el número E(X) que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Tuvo s u origen en los juegos de azar y está referido a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas. Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para un jugador u otro. El valor de la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible evento aleatorio multiplicado por el valor de dicho evento. Para una variable aleatoria con valores posibles x1, x2,…, xn, y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p(xi); la esperanza se calcula como: E( X ) x1 p ( x1 ) x2 p ( x2 ) ... xn p ( xn ) xi p ( xi ) . Ejemplos 1. Si una persona compra un ticket en una rifa, en la que puede ganar de S/. 5.000 ó un segundo premio de S/. 2000 con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por ticket? Solución Los datos son: x1 = 5000 y x2 = 2000; p(x1) = 0.001, p(x2) = 0.003 Aplicando el concepto de Esperanza Matemática: E(x) = x1 . p(x1) + x2 . P(x2) Remplazando los datos en la fórmula: E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = S/. 11.00 Respuesta: el precio justo a pagar por ticket es S/. 11.00 Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 nuevos soles, si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 nuevos soles, si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. Solución Consideremos el evento como: E = {(c,c);(c,s);(s,c);(s,s)} Aparece dos caras: x1 = 1, p(x1) = 2/4; aparece una cara x2 = 2, p(x2) = 1/4; no aparece ninguna cara x3 = -5, p(x3) = ¼ Remplazando en la fórmula es E(x) = x1 . p(x1) + x2 . p(x2) + x3 . p(x3) = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4, por tanto es desfavorable. 2. En la tabla adjunta, sea x una Variable Aleatoria Discreta con su función p(x): x 1 3 5 p(x) 0.25 0.50 0.25 x . p(x) 0.25 1.50 1.25 Hallar la esperanza matemática

Solución: Utilizando: E(x) = x1 . p(x1) + x2 . p(x2) + x3 . p(x3) Remplazando: E(x) = 0.25 + 1.50 + 1.25 = 2.00 Luego: E(x) = 2.00

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Ejercicios 1. Con los datos de tabla, calcular la esperanza matemática de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. Sugerencia, utilizar la fórmula: x 1 2 3 4 5 6 E(x) = x1 . p(x1) + x2 . p(x2) +…+ x6 . p(x6) P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Respuesta: E(x) = 21/6 = 3.5 2. Determine la función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica de las variables aleatorias definidas por las siguientes funciones de densidad: x 1 p(x) 0.1 a)

2 3 4 0.25 0.05 0.3

5 0.3

Respuesta; 3.45

x P(x) b)

-2 0 2 0.05 0.15 0.2

4 6 0.12 0.1

8 0.08

Respuesta: 2.02

3. En un juego al azar una persona podrá ganar US$ 5, si cuando lanza tres monedas ocurren tres caras o tres sellos; o perderá US$ 3 si ocurren uno o dos caras. ¿Cuánto espera ganar esta persona? Sugerencia: Considerar el espacio muestral S = {ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss} La probabilidad de que ocurra cualquiera de las combinación es p(x) = 1/8 Respuesta: E(x) = US$ -1; por lo tanto en este juego la persona perderá US$ 1 4. Suponga que el número de fundos x, que son evaluados, cuyos resultados tiene la distribución de probabilidades que se presenta en la siguiente tabla: La f(x) = 2x -1 representa la cantidad de dinero, que x 4 5 6 7 8 9 el gerente paga al encargado. p(x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6 Determine las ganancias esperadas del encargado en el periodo de tiempo Respuestas: La cantidad de dinero ganado se: US$ -12.67 5. Un juego consiste en tirar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se ganan S/.300, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan S/.100; para cualquier otro resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada del juego sea de S/. 50? Sugerencia: el espacio muestral para el problema es S = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} con 36 puntos Todos los eventos elementales tiene la misma probabilidad 1/36. Se define la variable aleatorio x: suma de las dos caras. Esta variable puede tomar los valores 2, 3, 4, ....,12. Por lo tanto el valor esperado del premio es: E(x) = 100 . 6/36 + 5 . 5/36 + 100 . 4/36 + 300 . 3/36 + 300 . 2/36 + 300 . 1/36 = 91.7 Luego, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la banca sea 50 ptas. Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Temas referidos a la probabilidad condicional: http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/cap311.htm Temas referidos al teorema de Bayes http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes Temas referidos a Esperanza Matemática http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1tica

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