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Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE PUERTO RICO 2010-2011 PRIMERA FASE

HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL INTERMEDIO(7mo ,

8vo y 9no grado)

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7mo ,

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8vo ,

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9no

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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Escuela:

Instrucciones: Marque con una

c

d

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Privada

X sus respuestas.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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Pública

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Envíe sus respuestas electrónicamente a través de la página www.ompr.comoj.com en o antes del 6 de diciembre de 2010. Si le es imposible enviarlas electrónicamente puede enviarlas por correo postal a la dirección: Dr. Luis F. Cáceres Departamento de Ciencias Matemáticas Call Box 9000 Mayagüez, PR 00681-9000

Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas

Universidad de Puerto Rico

Olimpiada Matemática de Puerto Rico PRIMERA FASE 2010-2011

NIVEL INTERMEDIO (7mo ,

8vo

y

9no

grado)

1. Catorce estudiantes en una clase estudian español y ocho estudian francés. Sabemos que tres estudian ambos lenguajes. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase si cada uno de ellos estudia al menos un lenguaje? a ) 16 b ) 18 c ) 19 d ) 20 e ) 22 2. Katya y sus amigos están parados formando un círculo. Resulta que los dos vecinos de cada integrante del círculo son siempre del mismo género. Si hay 5 hombres en el círculo, ¾cuántas mujeres habrá? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Si el perímetro de un triángulo es 100, ¾cuál es el valor mínimo que puede tener su área? a ) 0.1 b) 1 c ) 10 d ) 100 e ) ninguna de las anteriores 4. En la gura de abajo, P es el centro del rectángulo ABCD. Si si la distancia de P a AB es el doble de la distancia de P a BC y el perímetro de ABCD es 120cm, encontrar el área de ABCD. a ) 200cm2 b ) 400cm

A

D

2

P

c ) 600cm2 d ) 800cm2 e ) 1000cm2

B

C

5. En un tablero de ajedrez, una torre sale de una esquina y vuelve a esa esquina despues de n movidas (la torre se mueve horizontal o verticalmente cualquier número de casillas). ¾Cuál de los siguientes valores de n no es posible? a ) 16 b ) 18 c ) 22 d ) 23 e ) ninguna de las anteriores 6. ¾Cuántos números de cuatro dígitos satisfacen la condición de ser múltiplos de 3, 4 y 5 cuyo primer dígito es el doble del tercer dígito y el segundo dígito siempre es 6? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7. ¾A qué potencia se debe elevar el número 96 para obtener el número 278 ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. En cierto experimento de ciencias tengo algunos conejos y algunas cajas. Si coloco de a 5 conejos por caja al nal me sobran 15 conejos. Si los ubico de a 8 por caja me sobran 3 cajas. ¾Cuántas cajas tengo? a) 5 b) 7 c ) 10 d ) 13 e ) 20 9. La gura muestra un cuadrado de lado 12cm, dividido en tres rectángulos del mismo perímetro. ¾Cuál es el área del rectángulo sombreado? a ) 36cm2 b ) 40cm2 c ) 48cm2 d ) 54cm2 e ) 72cm2

10. Un número par tiene 10 dígitos y la suma de sus dígitos es 89. ¾Cuál es el dígito de las unidades de ese número? a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 11. ¾Cuál es el número de cuadritos negros en la gura que deben ser pintados de blanco para que cada la y cada columna tenga exactamente un cuadrito negro? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e ) no se puede

12. María dibujó 5 puntos en una hoja de papel y después dibujó segmentos de línea entre los puntos. Ella tuvo que dibujar 10 segmentos. Pedro hará lo mismo, pero él dibujó 12 puntos. ¾Cuántos segmentos deberá dibujar Pedro? a ) 12 b ) 55 c ) 60 d ) 66 e ) 78

13. ¾Cuántas veces hay que escribir el dígito 2 para marcar las páginas de un libro que tiene 2010 páginas? a ) 612 b ) 610 c ) 591 d ) 572 e ) ninguna de las anteriores 14. Decimos que un número es impa si todos sus dígitos son impares. ¾Cuántos números impas de cuatro dígitos hay? a) 5 + 5 + 5 + 5 b ) 54 c) 5 × 4 × 3 × 2 d ) 45 e ) ninguna de las anteriores

15. En el cuadrado se deben ubicar los números del 1 al 16 de tal forma que la suma de ellos en cada la y en cada columna sea siempre la misma. ¾ Cuánto vale esa suma? a ) 16 b ) 28 c ) 34 d ) 36 e ) ninguna de las anteriores

16. Considere el siguiente diagrama, compuesto por 9 puntos:

··· ··· ···

Si queremos pasar por los 9 puntos con una curva continua (que no se rompe) compuesta por varios segmentos rectilíneos, ¾cuál es el número mínimo de segmentos rectilíneos necesarios para lograrlo? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 17. El lado AC de un triángulo ABC tiene longitud 3.8 y el lado AB tiene longitud 0.6. Si la longitud de BC es un entero, ¾cuál es su longitud? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. ¾Cuál es el último dígito de 22010 + 32010 + 52010 + 72010 ? a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2

19. ¾Cuántas soluciones (x, y) con x y y números enteros tiene la ecuación x2 − y 2 = 303? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e ) ninguna de las anteriores 20. Diez monedas se acomodan en forma de triángulo equilátero con cuatro en la base, tres encima de esas, dos encima de las tres y una arriba. ¾Cuál es el número mínimo de monedas que hay que remover para que ningunas tres de las restantes tengan sus centros en los vértices de un triángulo equilátero? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Envíe sus respuestas electrónicamente a través de la página www.ompr.comoj.com en o antes del 6 de diciembre de 2010. Si le es imposible enviarlas electrónicamente puede enviarlas por correo postal a la dirección: Dr. Luis F. Cáceres Departamento de Ciencias Matemáticas Call Box 9000 Mayagüez, PR 00681-9000