c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez
Estado Libre Asociado de Puerto Rico Departamento de Educación
COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2005-2006: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL I (4to, 5to y 6to grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marque el Grado:
_______4to, _______ 5to, _______6to
Edad: _________________
Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________
Código Postal____________
Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________
Escuela es: ___ Privada ___ Pública
Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.
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Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 29 de noviembre de 2005, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018
Mayagüez, PR 00681-9018
e
Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas
COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS
Estado Libre Asociado de Puerto Rico Departamento de Educación
PRIMERA FASE 2005-2006
EXAMEN NIVEL I 4to, 5to y 6to grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 4to a 6to grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 29 de noviembre de 2005 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 15 de diciembre de 2005, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. Observa la pirámide. ¿Cuál número debe ocupar el cuadro superior?
6
8 5
a. 21 b. 22 c. 23
2
3
4
d. 24 e. ninguna de las anteriores
2. Juan debe tomarse una medicina cada dos horas y veinte minutos. ¿Si la primera dosis se la tomó a la 1:00 p.m., a qué hora debe tomarse la cuarta dosis? a. 2:20 p.m. d. 10:20 p.m. b. 6:40 p.m. e. ninguna de las anteriores c. 8:00 p.m. 3. Los números en las caras del cubo son números naturales consecutivos. La suma de todos los números en las caras del cubo es 8 5 3
a. 16 b. 33 c. 36
d. 38 e. ninguna de las anteriores
1
4. ¿Qué fracción de pared falta por pintar?
a. 1/2 b. 1/4 c. 1/5
d. 4/5 e. ninguna de las anteriores
5. ¿Qué número representa las tres cuartas partes de 32? a. 8 d. 32 b. 12 e. ninguna de las anteriores c. 24 6. La mayor cantidad de días sábado que puede darse en un periodo de 44 días consecutivos es a. 6 d. 9 b. 7 e. ninguna de las anteriores c. 8 7. En el diagrama x es igual a 155 ° x 65 °
105 °
a. 55o b. 65o c. 75o
d. 85o e. ninguna de las anteriores
8. María se come un dulce el domingo y cada día que sigue se come el doble de dulces del día anterior. ¿Cuántos dulces se come María el siguiente domingo? a. 32 d. 256 b. 64 e. ninguna de las anteriores c. 128 9. Ana le dio a Luis $45, que son las ¾ partes del total de dinero que tenía. ¿Cuánto le quedó a Ana? a. 15 d. 90 b. 45 e. ninguna de las anteriores c. 60 10. Rita tiene tres faldas, una roja, una verde y una negra y tiene tres pares de zapatos. ¿De cuántas formas diferentes puede Rita combinar sus faldas con sus zapatos? a. 3 d. 12 b. 6 e. ninguna de las anteriores c. 9
2
11. La siguiente figura muestra los primeros 8 términos de una sucesión de figuras. ¿Qué figura debe ir en la posición 2006? < ∧ ∨ < ∧ ∨ < ∧ L a. < d. > e. ninguna de las anteriores b. ∧ c. ∨ 12. Carlos tomó dos exámenes que tienen una puntuación máxima de 100. El promedio de los dos exámenes fue 45. ¿Cuál es la mayor nota posible que Carlos pudo sacar en uno de los dos exámenes? a. 25 d. 100 b. 45 e. ninguna de las anteriores c. 90 13. A un cuadrado de lado 6 se le cortan las esquinas para formar la cruz que se nuestra en el dibujo. ¿Si todos los lados de la cruz miden lo mismo, cuál es el perímetro de la cruz?
a. 6 b. 12 c. 18
d. 24 e. ninguna de las anteriores
14. En el diagrama el valor de x es x 120 °
a. 45o b. 60o c. 75o 15. Si a. b. c.
135 °
d. 105o e. ninguna de las anteriores
W× > = 72 y W− > = 71 , entonces un posible valor para W+ > es 17 d. 73 18 e. ninguna de las anteriores 27
16. ¿Cuántos números enteros del 1 al 100 contienen el dígito 2 exactamente una vez? a. 9 d. 20 b. 18 e. ninguna de las anteriores c. 19
3
17. El lado del cuadrado grande mide 8 cm y dentro de él hay cuatro cuadrados iguales. Hallar el área de la región sombreada.
a. 12 cm 2 b. 24 cm 2 c. 36 cm 2
d. 48 cm 2 e. ninguna de las anteriores
18. Considerar la siguiente suma
+
A
A
B
B
C C B A C Sabiendo que A, B, C son dígitos diferentes, el valor de A + B + C es a. 17 d. 20 b. 18 e. ninguna de las anteriores c. 19 19. En el cuadrado 5 × 5 se han colocado los números 1,2,3,4 y 5 de tal forma que cada número aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna. El número que debe ir en la posición marcada con a es 2 1 1 . 4 a 5 2 4 5 a. 1 b. 2 c. 3
d. 4 e. 5
20. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay que contengan solamente los dígitos 8 y 9 y que cada uno de estos dígitos aparezca al menos una vez? a. 10 d. 16 b. 12 e. ninguna de las anteriores c. 14
4
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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2005-2006: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL II (7mo al 12mo grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: ____________________________________ _
Marque el Grado: _____7mo, Edad: _____
_____ 8vo,
Sexo: ____ F ____ M
_____9no,
_____10mo, _____ 11mo,
____12mo
Tel. Residencial (_______) ________- __________
Dirección Postal del Estudiante: _________________________________________________________________ _________________________________Pueblo: ___________
Código Postal____________________________
Nombre de la Escuela: _________________________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: __________________________________________
a
Escuela es: ___ Privada ___ Pública
Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. b c d e a b c
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Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 29 de noviembre de 2005, a la siguiente dirección: Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018 Mayagüez, PR 00681-9018
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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS PRIMERA FASE 2005-2006
EXAMEN NIVEL II 7mo-12mo grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 30 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 7mo a 12mo grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 29 de noviembre de 2005 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 15 de diciembre de 2005, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.
ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1.
La abuela María cortó un bizcocho circular en partes iguales para ella, sus seis nietos y sus cuatro hijos. ¿Cuántos cortes desde el centro del bizcocho tuvo que hacer? a. 6 c. 11 e. ninguna de las anteriores b. 10 d. 12
2.
La cebra Rita tiene 12 rayas negras más que la cebra Tita. En total las dos cebras tienen 46 rayas negras. ¿Cuántas rayas negras tiene la cebra Tita? a. 17 c. 34 e. ninguna de las anteriores b. 32 d. 46
3.
El borde de un cubo tiene 12cms de largo. Una hormiga se mueve sobre la superficie del cubo desde el punto A hasta el punto B a lo largo del camino que se muestra en la figura. Encontrar la longitud del camino recorrido por la hormiga.
A
B
a. b. 4.
40cms 48cms
c. 50cms d. 60cms
e. no se puede determinar
¿Cuántas horas hay en la mitad de la tercera parte de un cuarto de día? a. b.
1 3 1 2
c. 1
e. 3
d. 2
1
5.
¿Cuántos caminos hay desde A hasta B?
B
A a. b.
3 5
c. 6 d. 8
e. 10
6.
En nuestra escuela el 50% de los estudiantes tienen bicicleta. De los estudiantes que tienen bicicleta, el 30% tienen patines. ¿Qué porciento de los estudiantes de nuestra escuela tienen patines y bicicleta? a. 15 c. 25 e. 80 b. 20 d. 40
7.
En el diagrama. Los cinco círculos tienen el mismo radio. Los vértices del cuadrado pequeño están en los centros de los cuatro círculos exteriores. La razón del área cuadriculada de los círculos al área que no esta cuadriculada de los círculos es:
8.
9.
a. 2:3 c. 2:5 e. 1:4 b. 1:3 d. 5:4 ¿Cuántos números de tres dígitos que tienen todos sus dígitos pares existen? a. 25 c. 75 e. 125 b. 64 d. 100 Juan trabaja de acuerdo al siguiente horario: él trabaja cuatro días consecutivos y tiene el quinto día libre. El domingo pasado tuvo el día libre y el lunes comenzó a trabajar de acuerdo a su horario. ¿Después de cuántos días, incluyendo ese lunes, Juan volverá a tener libre el día domingo? a. 7 c. 30 e. 36 b. 12 d. 34
10. ¿Cuántos más triángulos que cuadrados hay en la siguiente figura?
a. b.
1 2
c. 3 d. 4
e. 5
11. Ana, María, Luís y Paco fueron a un baile. Bailaron en parejas. Ana bailó con Luís y Paco. María bailó con Luís, pero no con Paco. Decide cual proposición es falsa: a. Cada nena bailó con por lo menos un nene. b. Una de las dos nenas no bailó con uno de los dos nenes. c. Uno de los nenes bailó con ambas nenas. d. Cada uno de los nenes bailó con por lo menos una de las dos nenas. e. Uno de los nenes no bailó con ninguna nena.
2
12. Carla cortó una hoja de papel en 10 pedazos. Luego tomó uno de los pedazos y lo cortó de nuevo en 10 pedazos. Luego repitió esto mismo otras tres veces. ¿Cuántos pedazos de papel obtuvo después del último corte? a. 36 c. 46 e. 56 b. 40 d. 50 13. Dos rectángulos ABCD y DBEF se muestran el la siguiente figura. ¿Cuál es el área del rectángulo DBEF? F
C
D
E 3 cm
A
a. b.
10 cm² 12 cm²
4 cm
c. 13 cm² d. 14 cm²
B
e. 16 cm²
14. El siguiente diagrama muestra un triángulo equilátero y un pentágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?
x
a. b.
124º 128º
c. 132º d. 136º
e. 140º
15. Había 64 litros de jugo en un barril. 16 litros fueron vaciados y reemplazados con agua. Después de ser mezclados, de nuevo 16 litros de la mezcla fueron vaciados y reemplazados por agua. Después de ser mezclados, esto se repitió, 16 litros de la mezcla se vaciaron y fueron reemplazados por agua. ¿Cuántos litros de jugo quedan en la mezcla ahora? a. 16 c. 27 e. 48 b. 24 d. 30 16. Si el promedio de 10 enteros positivos diferentes es 10, lo máximo que uno de ellos puede ser es a. 10 c. 50 e. 91 b. 45 d. 55 17. 1+2-3-4+5+6-7-8+…+2001+2002-2003-2004+2005+2006= a. -4 c. 1 d. 2006 b. 0
e. 2007
18. La suma de cuatro enteros consecutivos no puede ser igual a a. 22 c. 220 b. 202 d. 222
e. 2002
19. En cada uno de los cuatro cuadrados que se muestran en la ilustración, un número natural, impar, diferente, y menor que 20 ha sido escrito. Solo una de las siguientes proposiciones puede ser cierta. ¿Cuál es?
a. b. c. d. e.
La suma de los números inscritos en cada cuadro es 66. La suma de los números inscritos en cada cuadro es 12. El producto de los números inscritos en cada cuadro es 2005. El producto de los números en cada diagonal es 21. La suma de los números en cada diagonal es 20.
3
20. Ramón escribió todos los números de tres dígitos con las siguientes propiedades: cada número consiste de tres dígitos distintos, y el primer dígito es el cuadrado del cociente del segundo y tercer dígitos. ¿Cuántos números escribió Ramón? a. 1 c. 3 e. 8 b. 2 d. 4 21. Cinco líneas l1, l 2, l 3, l 4, l 5 intersecan en un punto O y son intersecadas por otras cinco líneas muestra la ilustración. ¿Cuál es la suma de los 10 ángulos señalados en la ilustración? l3
l4
k1, k 2, k 3, k 4, k 5 como
l2
k2
l1 l5
k3 k1
k4 k5
a. b.
300º 360º
c. 450º d. 600º
e. 720º
22. Hay 17 pelotas en un bolso. Cada pelota esta numerada del 1 al 17. Al azar, vamos sacando pelotas del bolso. ¿Cuál es el número mínimo de pelotas que hay que sacar para asegurarnos de tener al menos una pareja de ellas cuyos números sumen 18? a. 7 c. 10 e. 17 b. 8 d. 11 23. Hay días en que Mario dice solo la verdad y el resto siempre miente. Hoy Mario dijo 4 de las siguientes oraciones: a. El número de amigos que yo tengo es un número primo. b. Tengo tantas amigas féminas como amigos varones. c. Mi nombre es Mario. d. Yo siempre digo la verdad. e. Tres de mis amigos son mayores que yo. ¿Cuál de las anteriores oraciones no dijo Mario? 24. Sean a y b las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo. Si d es el diámetro del círculo inscrito en dicho triángulo y D es el diámetro del círculo que inscribe a dicho triángulo, entonces d+D es igual a
a b
a.
a+b
b.
2(a + b)
1 (a + b) 2 d. ab
c.
e.
a2 + b2
25. ¿De cuántas formas podemos elegir un cuadrito blanco y uno negro de un tablero de ajedrez (8x8) de tal forma que no estén ni en la misma columna ni en la misma fila? a. 56 c. 672 e. 768 b. 504 d. 720
4
26. En la pirámide SABC (vea la ilustración), todos los ángulos con vértice común S son rectos. Las áreas de las caras SAB, SAC y SBC son 3, 4 y 6 respectivamente. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? S
C
A B
a. b.
4 5
c. 6 d. 8
e. 12
27. En el cuadrilátero ABCD, la diagonal BD es la bisectriz del ángulo ABC. Además, |AC|=|BC|, S BDC = 80o , S ACB = 20o . Entonces, el ángulo BAD es igual a D A
80 °
B
20 °
a. b.
90º 100º
c. 110º d. 120º
C
e. 135º
u1 = a con a > 0 y un +1 = −1/(un + 1) para n = 1, 2,3,... ¿Para cuál de los siguientes valores de n debe cumplirse que un = a ?
28. Consideremos la sucesión definida por a. b.
15 16
29. Determine el número de ternas
c. 17 d. 18
e. ninguno de los anteriores
x, y, z de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: x( x + y + z ) = 26
y ( x + y + z ) = 27 z ( x + y + z ) = 28 a. b.
0 1
c. 2 d. 3
e. 4
30. Se tienen 2005 fichas hexagonales con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escritos uno en cada lado en sentido de las manecillas del reloj. Se va a formar una cadena con las todas fichas siguiendo las reglas del dominó; es decir, dos fichas se unen por uno o más lados si los números escritos en los lados que comparten son iguales en ambas fichas. Después de hacer la cadena se suman los números que quedan alrededor de la cadena (los que no son compartidos para unir dos fichas). ¿Cuál es el mayor valor que puede tener esa suma? a. 34,068 c. 34,091 e. ninguna de las anteriores b. 34,074 d. 40,080
5
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Universidad de Puerto Rico
SEGUNDA FASE 4 de febrero de 2006
EXAMEN NIVEL I 4to, 5to y 6to grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 12 problemas son de opción múltiple, los últimos 3 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! 1. En Pepinolandia el clima se comporta de la siguiente manera: un día es soleado, el siguiente es nublado, el siguiente es lluvioso, el siguiente vuelve a ser soleado y así se sigue repitiendo este patrón. ¿Si el 1 de noviembre es lluvioso, qué clima habrá el 20 de noviembre? a. soleado c. lluvioso e. no se sabe b. nublado d. ninguna de las anteriores
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el más pequeño? a. 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 c. ( 2 + 3) ⋅ ( 4 + 5 ) b. 2 ⋅ ( 3 + 4 ) ⋅ 5 d. 2 + 3 + 4 + 5
e. 2 ⋅ ( 3 + 4 + 5 )
3. Seleccionar el dibujo donde el ángulo entre las manecillas del reloj es 150 . a.
c.
b.
d.
e.
4. Cuatro imágenes se encuentran en la pared una pegada a la otra (ver dibujo). La imagen de la paloma es un cuadrado con un perímetro de 32 cms. Las otras tres imágenes son rectangulares. La imagen de la vaca tiene perímetro de 60 cms. La imagen del gato tiene un perímetro de 84 cms. ¿Cuál es el perímetro de la imagen del conejo?
a. 52 cm b. 54 cm
c. 56 cm d. 58 cm
e. 60 cm
5. ¿Cuántos triángulos debe haber en la tercera balanza? ?
a. 1 b. 2
c. 3 d. 4
6. ¿Cuánto es 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 ? c. 67 a. 366 b. 66 d. 636
e. 5
e. 126
7. La mama de Ana, Paco y Luis, les reparte 5 dulces. ¿De cuántas formas se los puede repartir, asumiendo que todos reciben al menos un dulce? a. 4 c. 6 e. 8 b. 5 d. 7 8. ¿Si se escriben todos los números desde el 1 hasta el 99, cuántas veces hay que escribir el dígito “5”? a. 10 c. 25 e. 45 b. 20 d. 32 9. En el triángulo ABC se tiene que AB = AC . ¿Si se sabe que el ∢A = 40 , entonces ∢B = ? c. 60 e. 80 a. 40 d. 70 b. 50 10.María tiene un cupón del 20% de descuento sobre el total a pagar de su compra en la tienda de juguetes. Ella decidió ir a comprar una muñeca. Al llegar a la tienda se encontró con que la muñeca tenía un 30% de descuento. ¿Cuál es el descuento total que obtendrá María si decide usar el cupón? a. 44% c. 60% e. 70% b. 50% d. 66%
11.Sea ABCD un cuadrado. Sean E y F puntos sobre el lado AB tales que AE = EF = FB . ¿Si el lado AB mide 6 cms, cuál es el área del trapecio FEDC ? a. 6 cm 2 c. 10 cm 2 e. 14 cm 2 b. 8 cm 2 d. 12 cm 2 12.¿Cuál es la suma de los primeros 30 números en la sucesión 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…? a. 134 c. 148 b. 140 d. 156
e. 164
13.Un alambre mide 200 metros y cada día se corta un pedazo de 20 metros. ¿Qué día se hará el último corte, si el primer corte se hace un lunes? 14.Juan ha decidido repartir 38 galletas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de galletas, ¿cuál es la máxima cantidad de primos a los que les puede repartir sus galletas? 15.La suma de todos los enteros entre 10 y 350, los cuales terminan en 1 es:
TE FELICITAMOS POR HABER LLEGADO A LA SEGUNDA FASE!!!
Universidad de Puerto Rico Competencia Preolímpica Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de de Matemáticas Mayagüez SEGUNDA FASE 4 de febrero de 2006 EXAMEN NIVEL II 7mo-12mo grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás esta hoja al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Problema 1. Cuatro imágenes se encuentran en la pared una pegada a la otra (ver dibujo). La imagen I es un cuadrado con un perímetro de 32 cm. Las otras tres imágenes son rectangulares. La imagen II tiene perímetro de 60 cm. La imagen IV tiene un perímetro de 84 cm. ¿Cuál es el perímetro de la imagen III?
a) 38 cm
b) 44 cm
c) 56 cm
d) 62 cm
e) 68 cm
Problema 2. Considere la siguiente sucesión de letras: A, C, F, D, E, Z, A, C, F, D, E, Z, A, C, F, D, E, Z, A, ... ¿Qué letra aparecerá en la posición 2006? a) A b) C c) F d) D e)E Problema 3. Tres cuadrados con lados de longitudes 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente, se colocan uno al lado del otro como se muestra en la siguiente figura:
¿Cuál es el área de la parte sombreada? a) 80cm2 b) 90cm2 c) 100cm2
d) 110cm2
e) 120cm2
Problema 4. Si sabemos que 7a + 3b = 12 y 3a + 7b = 8, ¿cuánto es a + b? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Problema 5. Se tienen cuadrados de 1x1, 2x2 y 3x3. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados que se deben usar para completar un cuadrado, usando al menos uno de cada uno? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Problema 6. ¿De cuántas formas de puede escribir enteros? a) Más de 3 b) 0 c) 1 1
1 14
en la forma d) 2
a 7
+
b 2
e) 3
con a y b
Problema 7. Un estudiante intentó calcular el promedio de x, y y z. Primero calculó el promedio de x y y, después calculó el promedio de este resultado y z. Si x < y < z, el resultado final del estudiante es a) correcto b) menor que el correcto c) mayor que el correcto d) a veces menor, a veces mayor d) ninguna de las anteriores Problema 8. Un triángulo rectángulo de catetos 12 y 16 está inscrito en una circunferencia, es decir, sus vértices se encuentran sobre la circunferencia. ¿Cuál es el radio de dicha circunferencia? a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Problema 9. ¿Cuántas personas hubo en una fiesta en la que se sabe se saludaron de mano todos los asistentes, y que hubo 190 apretones de mano? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 Problema 10. Cuando a un barril le falta el 30% para llenarse contiene 30 litros más que cuando está lleno hasta el 30%. ¿Cuántos litros le caben al barril? a) 50 b) 60 c) 75 d) 90 e) 10 Problema 11. La mamá de Félix, Pedro y Juan les reparte 6 paletas. ¿De cuántas formas se las puede repartir, asumiendo que cada uno recibe al menos una paleta? Problema 12. ¿Cuántos divisores enteros y positivos tiene el número 2006? Problema 13. ¿Cuál es el último dígito de 32006? Problema 14. ¿Cuál es la suma de los primeros 2006 números en la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...? Problema 15. El arco AB es un cuarto de una circunferencia de centro O y radio de 10 cm. Los arcos O A y O B son semicircunferencias. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
¡TE FELICITAMOS POR HABER LLEGADO A LA SEGUNDA FASE!
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