c. 14 Universidad de Puerto Rico Recinto by Arturo Portnoy

c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2006-2007: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL I (4to, 5to y 6to grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marque el Grado:

_______4to, _______ 5to, _______6to

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________

Código Postal____________

Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2006, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2006-2007

EXAMEN NIVEL I 4to, 5to y 6to grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 4to a 6to grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Se seleccionan los mejores estudiantes de cada grado. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2006 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 22 de diciembre de 2006, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. María se come un dulce los lunes y cada día siguiente se como el doble del día anterior. ¿Cuántos dulces se come María en la semana de lunes a domingo? a. 63 c. 120 e. 164 b. 64 d. 127

2. ¿Cuál es al máximo número de triángulos que se puede identificar en la siguiente figura?

a. 8 b. 10

c. 12 d. 14

e. 16

3. ¿En la sucesión de figuras ⇑, ⇒, ⇓, ⇐, ⇑, ⇒, ⇓, ⇐, ⇑,... , cuál figura debe ir en la posición 2007? a. ⇒ c. ⇐ e. ninguna de las anteriores b. ⇑ d. ⇓

4. En la siguiente multiplicación AA es un número de dos dígitos iguales. ¿Qué número es? A A × 7 6 1 6 a. 11 b. 55

c. 66 d. 77

e. 88

5. Juan llega a un restaurante y encuentra que para tomar puede seleccionar entre jugo de parcha o china. Para comer puede seleccionar una carne entre pollo, cerdo o pescado. Para postre tiene que seleccionar uno entre helado, flan de queso o calabaza. ¿Si Juan solo puede seleccionar un jugo, un tipo de carne y un postre, de cuántas formas diferentes puede seleccionar su almuerzo? c. 18 e. 30 a. 8 b. 12 d. 27

6. La medida del ángulo x es

60 °

a. 40o b. 60o

c. 80o d. 100o

20 °

e. 120o

7. El diagrama representa un hexágono con un perímetro de 42 cms y se ha dibujado una de sus diagonales. Encontrar la longitud de esta diagonal.

a. Más de 14 cms b. 14 cms

c. 12 cms d. 10 cms

e. menos de 10 cms

8. La medida de los lados de un rectángulo son números enteros. ¿Si el área del rectángulo es 7, entonces el perímetro es? a. 1 c. 14 e. 49 b. 7 d. 16

9. Las combinaciones para abrir una caja fuerte consisten de un número de tres dígitos diferentes. ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer con los dígitos 1, 3, 5 y 7? a. 6 b. 12

c. 24 d. 36

e. 48

10. Juan tiene 33 años y tiene dos hijos. Los hijos tienen 10 y 11 años cada uno. Dentro de cuántos años será la suma de las edades de los hijos igual a la edad de Juan?. a. 4 c. 8 e. 12 b. 6 d. 10

11. Una caja con 30 bolitas pesa 650 gramos. Con 10 bolitas adicionales la caja pesa 800 gramos. ¿Cuánto pesa la caja vacía? a. 50 c. 150 e. 250 b. 100 d. 200 12. Del conjunto {−5, 4,3, −6, 2} seleccionamos tres números y los multiplicamos. ¿Cuál es el resultado más pequeño que podemos obtener? a. 72 c. -60 e. -50 b. -72 d. -120

13. Hay 20 lápices en la caja: azules, rojos y verdes. Hay 6 veces mas azules que verdes. Hay menos lápices rojos que azules. ¿Cuántos lápices rojos hay en la caja? a. 3 c. 6 e. 8 b. 5 d. 7

14. ¿Qué porción del cuadrado está sombreada? 1

1 4 2 b. 9 a.

1 3 4 d. 9 c.

e. 8

15. ¿Cuántos números enteros de 3 dígitos, cumplen que la suma de sus dígitos es igual a 4? a. 11 c. 9 e. 6 b. 10 d. 8

16. En la clase de matemáticas todos los niños saludan dando la mano a todas las niñas. En total hubo 77 ocasiones en que se dieron la mano. ¿Cuántos estudiantes podría haber en la clase? a. 14 b. 18

c. 21 d. 22

e. 37

17. ¿De cuántas maneras diferentes se puede llenar la cuadrícula de la figura con números enteros del 1 al 4 (uno en cada cuadrito) de tal forma que en cada fila, en cada columna y en cada uno de los cuatro cuadros 2x2 de las esquinas los números 1, 2, 3 y 4 aparezcan solamente una vez.

2 3 4

a. Ninguna b. 1

c. 2 d. 4

e. 8

18. Un número se llama palíndrome si cuando se lee de derecha a izquierda es lo mismo que cuando se lee de izquierda a derecha. Por ejemplo 181, 25752, 3333 son ejemplos de palíndromes. ¿Cuántos palíndromes hay entre 100 y 1000? a. 75 c. 86 e. 96 b. 80 d. 90

19. En una isla remota los habitantes siempre dicen la verdad o siempre mienten. Juan, Luis y Manuel son habitantes de esa isla y un día se encontraron y justamente Juan y Luis dijeron la misma oración: “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres”. Entonces a. Los tres son mentirosos b. Los tres dicen la verdad c. Juan y Manuel son mentirosos y Luis dice la verdad d. Juan y Luis dicen la verdad y Manuel es mentiroso e. Ninguna de las anteriores

20. Hay 3 bolitas rojas, 3 blancas y 3 azules dentro de una bolsa. ¿Cuál es el mínimo número de bolitas que hay que sacar al azar para estar completamente seguro que por lo menos tres de las bolitas sacadas son de diferente color? a. 3 c. 6 e. 9 b. 4 d. 7

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Edad: _________________

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Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

1 2

d X

4 X X X

9 10

X X X

13 X

12 X

a 11

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2006-2007: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL II (7mo al 12mo grado) Información del Estudiante: Apellidos: ________________________

_____________________ Nombre: ________________________ _

Marque el Grado: _____7mo, Edad: _____

_____ 8vo,

Sexo: ____ F ____ M

_____9no,

_____10mo, _____ 11mo,

____12mo

Tel. Residencial (_______) ________- __________

Dirección Postal del Estudiante: _________________________________________________________________ _________________________________Pueblo: ___________

Código Postal____________________________

Nombre de la Escuela: _________________________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: __________________________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. b c d e a b c

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2006, a la siguiente dirección: Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018 Mayagüez, PR 00681-9018

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

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PRIMERA FASE 2006-2007

EXAMEN NIVEL II 7mo-12mo grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 30 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 7mo a 12mo grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Se seleccionan los mejores estudiantes por cada grado. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2006 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 22 de diciembre de 2006, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1.

En la tabla inferior las celdas deben llenarse con los números 1, 2 y 3. En cada columna y en cada renglón deben aparecer cada uno de los números 1, 2 y 3. ¿De cuántas formas se puede completar la tarea? 1 _ _ 2 1 _ _ _ _ a. 1 c. 3 e. 5 b. 2 d. 4

María recogió 17 flores de 3 o 4 pétalos. ¿Si en total hay 57 pétalos, cuántas flores de 4 pétalos recogió María? a. 1 c. 6 e. 14 b. 3 d. 11

El área del paralelogramo ABCD es igual a 10. Los puntos Hallar el área del cuadrilátero MBND .

M y N son los puntos medios de los lados AD y BC .

D C M N

A B

a. b. 4.

2.5 4

c. 5 d. 7.5

e. 10

Alejandro, Bernardo, Victor, Pedro y Miguel están sentados en una mesa circular. Alejandro y Bernardo no están al lado uno del otro, lo mismo Bernardo y Victor. Además, Victor y Pedro tampoco están uno al lado del otro. ¿Quiénes están al lado de Miguel? a. Alejandro y Bernardo c. Alejandro y Victor e. Alejandro y Pedro b. Bernardo y Victor d. Victor y Pedro

En la siguiente figura,

x=?

30o

40o

50o

a. b.

20˚ 25˚

c. 30˚ d. 35˚

e. 40˚

¿Al tirar un dado, cuál es la probabilidad de que el producto de las 5 caras visibles sea divisible por 6? a. 1/3 c. 2/3 e. 1 b. 1/2 d. 5/6

Usando triángulos pequeños hacemos la siguiente sucesión de figuras. Las primeras tres figuras se muestran abajo. ¿Cuántos triángulos pequeños se necesitan para hacer la siguiente figura?

a. b. 8.

c. 36 d. 40

e. 44

1  1  1  1  1  1   1  1  1  1  1 +  1 − 1 + 1 −  1 + 1 − 1 + 1 − 1 +  1 −  = ?  2  3  4  5   6  7  8  9  10  11  a. b.

28 32

1 2

¿Si la operación a. b.

c. 4 d. 5.5

e. 10

▲ significa x▲ y = xy − 2 x , cuál es el valor de 2▲( 4▲6 ) ?

4 16

c. 28 d. 32

e. 36

2007

10. ¿Cuál es el último dígito de la siguiente suma 11 a. 1 c. 4 b. 3 d. 6

+ 142008 + 16 2009 ? e. 9

11. Encontrar la medida del ángulo a:

120o

140o

a. b.

60˚ 70˚

c. 80˚ d. 90˚

e. 100˚

12. El número 2007 a. x = 6 b. x = 9

( x −8)( x −16)

es el menor posible para el entero c. x = 12 d. x = 15

x = 18

13. Usando 5 cuadrados se forma un rectángulo, excepto por un agujero de 1 por 2. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado más grande de la figura?

a. b.

8 9

c. 10 d. 11

e. 12

14. Una isla esta habitada por mentirosos y nobles (los mentirosos siempre mienten, mientras que los nobles siempre dicen la verdad). Un día, 12 isleños (mentirosos y nobles) se reunieron y emitieron varios anuncios. Dos dijeron: “Solo dos de entre nosotros son mentirosos”. Otros cuatro dijeron: “Solo cuatro de entre nosotros son mentirosos”. Los últimos seis dijeron: “Solo seis de entre nosotros son mentirosos”. ¿Cuántos mentirosos podría haber en la isla? a. 2 c. 6 e. 10 b. 4 d. 8 15. Un rectángulo tiene dos lados de longitud 2x unidades y un perímetro de 20x unidades. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado que ocupa la misma área que este rectángulo? a. 4x c. 6x e. 8x b. 5x d. 7x 16. Al dividir 336 entre el número natural residuo: a. 0 b. 1

n , el residuo es 2. Entonces el número 2007, cuando es dividido por n , da como c. 2 d. 3

17. ¿Incluyendo al 1 y a si mismo, cuántos factores distintos tiene a. b.

n2 + n n2 + n + 1

n 2 − 2n + 1 2 d. n + 2n + 1 c.

e. 100

10n ? e.

n 2 + 2n

18. Si sumamos 36 al 37, obtenemos 73. ¿Cuántos números de dos dígitos tienen la propiedad de que si les sumamos 36, el orden de sus dígitos se invierte? a. 1 c. 3 e. 5 d. 4 b. 2

19. Los ángulos en las esquinas de la estrella están marcados. ¿Cuál es el valor de

45o

60o

15o

a. b.

15˚ 25˚

25o

c. 30˚ d. 35˚

e. depende de la estrella

20. ¿Cuántos triángulos con lados de longitud entera y perímetro 27 se pueden construir? a. 10 c. 14 e. 19 b. 12 d. 18 21. En el diagrama

ABCD es un cuadrado y el triángulo CDF es equilátero. El valor del ángulo S BAF es C

a. b.

60o 75o

22. En el triángulo ∠B es a. 40˚ b. 60˚ 23. Dados

85o o d. 105 c.

e. no se puede determinar

ABC el ángulo ∠B es 50 % mayor que el ángulo ∠A y 25% menor que el ángulo ∠C . El ángulo c. 80˚ d. 90˚

e. 100˚

2n puntos {a1 , a2 ,..., a2 n } en un círculo, trazamos todos los segmentos que conectan puntos con índices pares

y todos los segmentos que conectan puntos con índices impares. ¿Cuántos segmentos trazamos? a. n( n − 1) c. n( n − 1) / 2 e. 2n( n − 1) b.

n(2n − 3)

n(2n − 1)

24. Un número entero positivo de 5 dígitos se llama duro si no se puede escribir como el producto de dos enteros de 3 dígitos. ¿Cuántos números duros hay? a. 99 c. 101 e. ninguno de los anteriores b. 100 d. 102 25. Si

a + b = 24 y a 2 + b 2 = 204 , entonces a 3 + b3 es igual a a. 372 c. 408 51 b.

2007

e. 13824

d. 432

26. ¿Cuántos números N satisfacen simultáneamente las siguientes 5 condiciones? • N es par, • N deja residuo 1 al ser dividido por 5, • N es un múltiplo de 7, • N es menor que 1000, • La suma de los dígitos de N es 23. a. 0 c. 2 e. 4 b. 1 d. 3 27.

ST y PT son tangentes a un círculo desde T . ¿Si PT tiene longitud de 1cm y ∠STP = 60o , cuál es el radio del círculo?

60o

a. b.

1 cm 2 1 cm 3

28. ¿Cuántos números primos a. 0 b. 1

1 cm 2 1 d. cm 5

1 cm 3

p existen tales que p 2 + 2 es también primo? c. 3 d. 5

e. infinitos

29. Cada niño en una clase hizo amistad con 4 niñas y cada niña hizo amistad con 5 niños. ¿Cuántos alumnos hay en la clase, si hay 3 niñas menos que niños? c. 27 e. 33 a. 21 b. 23 d. 30 30. ¿De cuantas formas se puede llenar la siguiente tabla 4x4 con los enteros del 1 al 4, de tal forma que cada fila, cada columna, y cada sub-tabla 2x2 de las esquinas contenga al 1, al 2, al 3 y al 4 exactamente una vez?

a. b.

Menos de 96 296

c. 288 d. 384

e. Mas que 384

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2006-2007: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL II (7mo al 12mo grado) Información del Estudiante: Apellidos: ________________________

_____________________ Nombre: ________________________ _

Marque el Grado: _____7mo, Edad: _____

_____ 8vo,

_____9no,

Sexo: ____ F ____ M

_____10mo, _____ 11mo,

____12mo

Tel. Residencial (_______) ________- __________

Dirección Postal del Estudiante: _________________________________________________________________ _________________________________Pueblo: ___________

Código Postal____________________________

Nombre de la Escuela: _________________________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: __________________________________________

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. b c d e a b c

a 1

X X

7 8

X X X

9 10

14 15

X X

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2006, a la siguiente dirección: Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018 Mayagüez, PR 00681-9018

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SEGUNDA FASE 3 de febrero de 2007

EXAMEN NIVEL I 4to, 5to y 6to grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 12 problemas son de opción múltiple, los últimos 3 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! 1. Hoy es sábado y supongamos que hoy es el día 1. ¿Qué día de la semana será el día 100? a. lunes c. jueves e. domingo b. martes d. sábado 2. Se suponía que Daniel multiplicara un número por 5. Por error, él dividió el número entre 5. La respuesta fue 5. La respuesta correcta era: a. 1 c. 25 e. 125 b. 5 d. 75 3. En Mayagüez un niño camina 4 kilómetros al norte, 5 kilómetros al sur, 2 kilómetros al norte y 3 kilómetros al sur. ¿Qué tan lejos está el niño del punto de partida? a. 14 kilómetros al norte c. 2 kilómetros al sur e. 2 kilómetros al norte b. 14 kilómetros al sur d. en el mismo punto de partida 4. María gasta

1 1 de su dinero, pierde de lo que le queda y así termina con $10. 3 2

¿Cuánto tenía María al comienzo? a. $30 c. $50 b. $45 d. $55

e. $60

5. ¿Cuál es el mínimo número de flechas que se deben voltear de cualquier manera de tal forma que todas las flechas queden apuntando en la misma dirección?          

a. 4 c. 6 e. 8 b. 5 d. 7 6. La suma de las medidas de los ángulos internos más pequeños en un triángulo rectángulo es: c. 90 e. 360 a. 45 b. 60 d. 180 7. El promedio de 3 números es 20. Supongamos que el primero aumenta 1, el segundo aumenta 2 y el tercero aumenta 3. El promedio de los tres números ha aumentado por: a. 1 c. 3 e. 6 b. 2 d. 4

8. En un campeonato de baloncesto participan 6 equipos y cada uno tiene su propia cancha. Cada uno debe enfrentar una vez a todos los demás como local (es decir en su propia cancha). ¿Cuántos partidos se deben jugar en este torneo? a. 6 c. 25 e. 36 b. 12 d. 30 1

9. Hallar la medida del ángulo A .

40 °

53 °

A 50 °

a. 37 b. 43

c. 47 d. 53

e. 87

10.¿Cuál es el último dígito (el de las unidades) del número 4100  4  4  4  ... 4 ? 100 veces

a. 2 b. 4

c. 6 d. 8

e. 0

11.Los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12 se colocan en 3 columnas de 4 números cada una de tal manera que las suma de los números en cada columna es la misma. La suma de los números de cada columna es: a. 18 c. 26 e. 36 b. 21 d. 32 12.Tres tazas de agua llenan dos quintos de una jarra. ¿Cuántas tazas llenan la jarra? a. 7 c. 8 e. 9 b. 7.5 d. 8.5 13. Se ha dibujado un rectángulo con centro O . Se sabe que el área del triángulo rectángulo OPQ es 7cms 2 . Calcular el área de la figura rayada. 0

14.En el dibujo se muestran 5 ciudades y los caminos que las unen. ¿De cuántas maneras se puede viajar de la ciudad A hasta la ciudad B sin pasar dos veces por la misma ciudad? A

15.Usando cifras elegidas entre el 1, el 2, el 3 y el 6, sin repetir, ¿cuántos números pueden construirse que sean divisibles por 3? (los números pueden tener un dígito, dos dígitos, tres dígitos o cuatro dígitos)

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes 2

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2006-2007: SEGUNDA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL I (4to, 5to y 6to grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marca el Grado:

_______4to

_______ 5to

_______6to

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Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Marca con una X tus respuestas.

3 4

12 Escribe la respuesta correspondiente

X X

21cm 2

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS SEGUNDA FASE 3 de febrero de 2007

EXAMEN NIVEL II 7mo-12mo grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! 1. Si multiplicas el número formado con 2007 dígitos “6” (es decir 666...6  ) por el número 2007 veces

3, ¿cuánto vale la suma de los dígitos del resultado? (a) 18,036 (d) 19,012

(b) 18,063 (c) 18,126 (e) ninguna de las anteriores

2. Los puntos A, B y C están sobre una línea recta y A no está entre B y C. La distancia de A a B es 15 cm. La distancia de C a A es 8 cm. La distancia de B a C es: (a) 23 (d) 7

(b) 20 (c) 10 (e) ninguna de las anteriores

3. ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener sumando dos números diferentes del conjunto {1,2,3,...,9,10} ? (a) 11 (d) 18

(b) 15 (c) 17 (e) ninguna de las anteriores

4. Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de canicas, ¿cuál es la máxima cantidad de primos a los que se puede repartir canicas? (a) 6 (d) 9

(b) 7 (c) 8 (e) ninguna de las anteriores

5. En un triángulo rectángulo con hipotenusa de 8 cm y área de 9 cm², ¿cuál es su perímetro? (a) 18 (d) 12

(b) 16 (c) 17 (e) ninguna de las anteriores

6. ¿Cuál es la suma de los dígitos del número 52007 22003 ? (a) 13 (d) 2007

(b) 14 (c) 15 (e) ninguna de las anteriores

7. El trapecio isósceles ABCD es tal que AB=BC=AD=1 y DC=2, donde AB es paralelo a DC. ¿Cuánto mide el ángulo CAD?

C (a) 45º (d) 120º

D (b) 60º (c) 90º (e) ninguna de las anteriores 1

8. ¿Para cuántos enteros n con 1  n  2007 , el dígito de las unidades de n 20 es 1? (a) 805 (d) 804

9. Si

(b) 802 (c) 800 (e) ninguna de las anteriores

x  3 2007 , x , y son números racionales, ¿cuánto vale xy ? 3  y 2007

(a) 4 (d) 18

(b) 6 (c) 9 (e) ninguna de las anteriores

10. ¿Cuál es la suma de los cuatro divisores primos de 216  1 ? (a) 279 (d) 282

(b) 280 (c) 281 (e) ninguna de las anteriores

11. Escribir el número 10 como una suma de números naturales, de tal modo que el producto de estos sumandos sea lo mayor posible.

12. ¿Cuál es el valor máximo que se puede obtener al dividir un número natural de 3 dígitos por la suma de sus dígitos?

13. En la figura siguiente ABC es un triángulo cualquiera, y ACD y AEB son triángulos equiláteros. Si F y G son los puntos medios de EA y AC respectivamente, ¿cuál es BD la razón ? FG

E F A

D G

14. Pablo eligió 3 dígitos diferentes y escribió todos los números de 3 dígitos que se pueden formar con ellos. En ningún número de los que escribió Pablo se repiten dígitos. Después sumo todos los números que obtuvo. Encuentra la suma de Pablo sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14.

15. ¿Cuántas veces, en 24 horas, ocurre que el ángulo entre las manecillas del reloj es de 90º?

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2006-2007: SEGUNDA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL II (7mo-12mo grados) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marca el Grado:

_______4to

_______ 5to

_______6to

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Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

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