c. 14 Universidad de Puerto Rico Recinto by Arturo Portnoy

c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2007-2008: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL I (4to, 5to y 6to grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marque el Grado:

_______4to, _______ 5to, _______6to

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________

Código Postal____________

Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 7 de diciembre de 2007, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2007-2008

EXAMEN NIVEL I 4to, 5to y 6to grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 4to a 6to grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 7 de diciembre de 2007 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 20 de diciembre de 2007, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. ¿Cuántos rectángulos puedes ver en la figura siguiente?

a. 4 b. 5 c. 7

d. 9 e. 10

2. ¿Cuáles dos números siguen en la sucesión 1,4,2,8,3,12,4,16,5, ….? a. 20,7 d. 20,6 b. 18,7 e. 18,7 c. 20,6 3. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden hacer usando solamente los dígitos 0 y 5? a. 2 d. 8 b. 4 e. ninguna de las anteriores c. 6 4. ¿Si 20 cajas de papayas pesan 1,600 libras y cada caja vacía pesa media libra, cuánto pesan las papayas juntas? a. 1,590 libras d. 1,540 libras b. 1,580 libras e. 1,520 libras c. 1,560 libras 1

5. Se dibujan en una misma hoja un círculo y un cuadrado. ¿Cuál es el máximo número de puntos comunes que pueden tener? a. 2 d. 8 b. 4 e. 16 c. 6 6. Se sembraron 10 árboles en línea recta con una separación entre cada uno de ellos de 50 pies. ¿Qué distancia hay entre el primero y el último árbol? a. 300 pies d. 450 pies b. 350 pies e. 500 pies c. 400 pies 7. En una fiesta María, Ana y Rosa van a repartirse regalos de tal manera que cada una da un regalo (no para ella misma) y recibe un regalo. ¿De cuántas maneras se puede realizar la repartición? a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 8. En una finca hay el mismo número de perros que de gallinas. ¿Si contamos las patas de estos animales, cuántas podría haber en total? a. 4 d. 24 b. 10 e. 32 c. 16 9. Cuando Mario tenía 27 años su hijo Pedro tenía 3 años. Ahora Mario tiene tres veces la edad de Pedro. ¿Cuántos años tiene Mario? a. 36 d. 60 b. 48 e. 72 c. 54 10. En la suma A H +

H E E las letras diferentes representan dígitos diferentes, AH representa un número de dos dígitos y HEE representa uno de tres dígitos. Hallar H + E . a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3

11. ¿Cuál es el mínimo número de colores que se necesitan para pintar un cubo de tal manera que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? a. 2 d. 5 b. 3 e. 6 c. 4

12. ABCD es un rectángulo con área igual a 36 unidades cuadradas. Los puntos E, F y G son los puntos medios de los lados en donde ellos están localizados. ¿Cuál es el área del triángulo EFG? B

a. 6 b. 9 c. 18

d. 36 e. 48

13. Si tienes un cubo de 5 centímetros de lado formado por cubitos de 1 centímetro de lado, ¿Cuántos cubitos quedan totalmente ocultos a la vista? a. 4 d. 27 b. 8 e. 64 c. 9 14. Luis escribió todos los números desde el 1 hasta el 100. ¿Cuántos dígitos en total tuvo que escribir Luis? a. 152 d. 202 b. 182 e. 222 c. 192 15. ¿Si la base de un triángulo aumenta en un 10% y su altura disminuye en un 10%, cuánto cambia su área? a. no cambia d. aumenta 10% b. aumenta 1% e. disminuye 10% c. disminuye 1% 16. Una bombilla se enciende cada dos minutos y otra bombilla se enciende cada tres minutos y medio. Las dos bombillas se encendieron simultáneamente a la media noche. ¿Cuándo será la primera vez después de la 1:00 am que las dos luces se volverán a encender al mismo tiempo? a. 1:10 am d. 2:10 am b. 1:20 am e. 3:10 am c. 2:10 am 17. Una hoja de papel cuadrada se dobla por la mitad como se muestra en la figura y se corta por el dobles en dos rectángulos. El perímetro de cada uno de los dos rectángulos es 18 centímetros. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado original?

a. 12 b. 18 c. 24

d. 36 e. 48 3

18. El precio de la entrada de cine es $7. En el cine Balboa dan cuatro funciones diarias. En la primera y en la segunda función, las entradas están a mitad de precio. El jueves fueron a la cuarta función el doble de espectadores que a la tercera función y a la tercera función el doble de los que fueron a la primera y la segunda funciones juntas. El jueves se recaudaron $1183 en total. ¿Cuántos espectadores hubo ese día en la cuarta función? a. 26 d. 169 b. 52 e. 208 c. 104 19. En un triángulo equilátero de 75 cms de perímetro se le sacan 3 triangulitos, también equiláteros, de 5 cms de lado, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?

a. 25 centímetros b. 40 centímetros c. 60 centímetros

d. 75 centímetros e. 120 centímetros

20. Susana trabaja en un piso que tiene 5 oficinas. En el piso hay 3 plantas: un cactus, una azalea y un Ficus. Todos los días Susana cambia las plantas de oficina. ¿De cuántas maneras puede ubicarlas si nunca quiere poner las tres plantas en la misma oficina? a. 15 d. 120 b. 30 e. 240 c. 60

FIN

Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página del IFEM (http://ifem.math.uprm.edu) a partir del 20 de diciembre de 2007 para ver los seleccionados a la segunda fase.

c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

_______4to, _______ 5to, _______6to

Edad: _________________

Código Postal____________

Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

3 4

x x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 7 de diciembre de 2007, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

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SEGUNDA FASE 26 de enero de 2008

EXAMEN NIVEL I 4to, 5to y 6to grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 12 problemas son de opción múltiple, los últimos 3 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! 1. Rosita tiene una caja grande con 4 cajas medianas dentro; en cada una de las cajas medianas hay 2 cajas chicas, que a su vez cada una contiene 3 más pequeñas. ¿Cuántas cajas tiene Rosita? a. 10 b. 12 c. 15 d. 36 e. 37 2. ¿Cuál número falta en la siguiente sucesión? 1,3, 7,15,?, 63,127

a. b. c. d. e.

16 17 30 31 62

3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a. b. c. d. e.

5 6 8 10 12

4. Antonio, Beatriz, Carlos y Diana están sentados en una fila de 4 sillas numeradas del 1 al 4. Emilio los ve y dice: • Beatriz está al lado de Carlos • Antonio está entre Beatriz y Carlos ¿Si las dos afirmaciones son falsas y Beatriz está en la silla 3, quién ocupa la silla 2? a. Beatriz b. Carlos c. Diana d. Antonio e. Emilio 5. Un domador de fieras tiene tres tigres y dos leones. Desea acomodarlos en una fila de modo que no queden dos tigres o dos leones juntos. ¿Considerando que cada fiera es distinta a las otras, de cuántas formas distintas puede acomodar sus fieras? a. 3 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24 6. ¿Qué número multiplicado por tres corresponde a las tres cuartas partes de 120? a. 20 b. 30 c. 40 d. 60 e. 80 7. Cada cuadrado tiene 6cms de lado y el perímetro de cada rectángulo sombreado es el doble del perímetro de cada cuadrado blanco. ¿Cuál es el perímetro de la figura?

a. b. c. d. e.

24 cms 36 cms 48 cms 72 cms 84 cms

8. En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. ¿Si un año tiene 1,000 días, cuántos días tiene cada semana? a. 10 b. 100 c. 333 d. 1000 e. No se sabe 9. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que que hay en el momento de hacer el corte. ¿Qué fracción del pastel original queda después de cortar tres veces? a. 2/3 b. 4/3 c. 4/9 d. 8/9 e. 8/27 10.A una cantidad le sumo el 10%, y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? a. 98 b. 99 c. 100 d. 101 e. 102 11.¿Si efectuamos el producto de todos los impares entre el 1 y el 2008, cuál es el dígito de las unidades del resultado obtenido? a. 1 b. 3 c. 5 d. 7 e. 9 12.Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás. ¿En qué número de fila esta el asiento numero 375? a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16 3

13.María tenía el número 4921508 y le pidió a Juan que borrara unos dígitos de tal forma que obtuviera el número de tres dígitos mas pequeño posible. ¿Qué número obtuvo Juan al final?

14.¿Cuál es el dígito de las unidades de 22008 − 2 ?

15. ¿Si las rectas horizontales son paralelas, cuánto mide el ángulo x?

40 ° x 100 °

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2007-2008: SEGUNDA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL I (4to, 5to y 6to grado) Información del Estudiante: Apellidos: _____________________ ____________________ Nombre: _____________________ _______4to

Marca el Grado:

_______ 5to

_______6to

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Género: __ Femenino __ Masculino Dirección Postal del Estudiante: ________________________________________________________ __________________________________Pueblo: ________________

Código Postal____________

Nombre de la Escuela: ________________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Marca con una X tus respuestas.

a 1 2 3 4 5 6

7 8 x 9 10 11 12

x x x x x

Escribe la respuesta correspondiente

108

120

e x x

x x x

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2007-2008: PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL II (7mo al 12mo grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: __________________________ _ mo

Marque el Grado: _____7 , _____ 8 , Edad: _____

_____9 , _____10mo, _____ 11mo, ____12mo

Sexo: ____ F ____ M

Tel. Residencial (_______) ________- __________

Dirección Postal del Estudiante: ________________________________________________________ ______________________Pueblo: ___________

Código Postal____________________________

Nombre de la Escuela: _______________________________________________________________ Pueblo de la Escuela:_________________________________ a

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. d e a b

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 7 de diciembre de 2007, a la siguiente dirección: Dr. Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018 Mayagüez, PR 00681-9018

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2007-2008

EXAMEN NIVEL II 7mo-12mo grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 30 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 7mo a 12mo grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 7 de diciembre de 2007 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 20 de diciembre de 2007, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. Supongamos que un piano normal tiene 87 teclas de las cuales 1/3 son negras y el resto son blancas. ¿Cuántas teclas son blancas? a. 29 c. 58 e. ninguna de las anteriores b. 32 d. 67 2. Conchita logra duplicar sus ahorros. Con ese dinero paga $600 que debía y se queda con $200. ¿Cuánto dinero tenía Conchita al principio? a. $1600 c. $800 e. $200 b. $1200 d. $400 3. Antonio es tío de Rosa; Ana es abuela de Pedro; Fabiola es hermana de Antonio; Antonio es papá de Pedro. ¿Qué son Rosa y Pedro? a. hermanos c. Rosa es hermana de Pedo e. Pedro es nieto de Rosa b. primos d. Pedro es padre de Rosa 4. Considera 5 números enteros. ¿Cuántos deben ser impares para que el producto de los cinco sea impar? a. 1 c. 3 e. 5 b. 2 d. 4 5. En el siguiente arreglo, cada letra representa un número (no necesariamente distinto). 3 B C D E 8 G H I ¿Si la suma de cualesquiera tres números consecutivos es 18, cuánto vale H? a. 3 c. 9 e. 15 b. 7 d. 11 1

6. ¿Cuántos divisores positivos tiene 5 × 4 × 3 × 2 ? (Los divisores incluyen al número mismo y al 1). a. 4 c. 10 e. 16 b. 8 d. 12 7. ¿Si las rectas horizontales son paralelas, cuánto mide el ángulo x? 40o x

a. 120 b. 100

c. 90 d. 65

1000

e. ninguna de las anteriores

8. ¿Cuánto vale la suma de todos los dígitos del número 10 2007 − 2007 ? c. 12,435 e. ninguna de las anteriores a. 18,055 b. 19,032 d. 2007 9. En la televisión de María se reciben los canales del 2 al 42. ¿Si María enciende la televisión en el canal 15 y aprieta 518 veces el botón para subir canales, en qué canal quedará la televisión cuando se detenga? c. 41 e. ninguna de las anteriores a. 39 b. 40 d. 42 10. Pablo compró un artículo con el 15% de descuento por $106.25. ¿Cuál es el precio original? c. $125 e. más de $127 a. Menos de $123 b. $124 d. $127 11. Simón escribe el número 3 en la pizarra, luego lo borra y lo reemplaza por su cuadrado, el 9, luego lo borra y lo reemplaza por su cuadrado, el 81. El repite esto 2007 veces: cada vez reemplaza el número escrito por su cuadrado. ¿Cuál es el dígito de la unidad de su última respuesta? c. 5 e. 9 a. 1 b. 3 d. 7 12. ¿De cuantas formas distintas se puede ordenar las letras L, A, P, I, Z, de tal forma que la primera y última letras son vocales? a. 6 c. 10 e. 24 b. 8 d. 12 13. Hay algunas canicas en una bolsa. Maria dice: “Hay solo 3 canicas en la bolsa y todas son negras”. Luís dice: “Solo hay dos canicas negras y dos canicas rojas en la bolsa”. Jorge dice: “Solo hay canicas negras en la bolsa”. ¿Sabiendo que solo uno ha mentido, cuántas canicas hay en la bolsa? a. 1 c. 3 e. no se puede saber b. 2 d. 4

14. En el siguiente dibujo, el segmento DE es paralelo al segmento AB . Sabiendo que el área de DEC es ¾ del área de ABC y que AC es 1 metro, ¿cuál es la longitud de DC ? C

2− 3 metros 2

b. (2 − 3) metros

3 metros 3 3 d. metros 4

3 metros 2

15. Un vándalo pincha las gomas de todos los carros y motoras en una calle. La policía lo arresta y cuenta que 44 vehículos (motoras o carros) fueron dañados. ¿Considerando que 144 gomas fueron pinchadas, cuántas motoras había en esa calle? a. menos de 10 c. mas de 14 y menos de 20 e. mas de 24 d. mas de 19 y menos de 25 b. mas de 9 y menos de 15

16. Las diagonales de un rombo están en proporción 3:4 y su suma es de 56 cm. ¿Cuál es el perímetro del rombo? a. 60 cm c. 96 cm e. 108 cm d. 10 cm b. 80 cm 17. Las columnas y las filas de un tablero 8x8 de ajedrez están numeradas del 1 al 8. Mauricio pone en cada cuadrado del tablero tantas pesetas como la suma de su número de fila y su número de columna. ¿Cuántas pesetas pone Mauricio en el tablero? 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

a. 482 b. 576

c. 768 d. 1024

e. 1152

18. Considera todos los números de 4 dígitos formados usando los dígitos 3, 4, 6, 7, de tal forma que ningún dígito se repite. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 44? a. 0 b. 1

c. 2 d. 3

e. 4

19. En el siguiente dibujo, el triángulo ABC es equilátero y DEFG es un cuadrado. ¿Sabiendo que AB mide 1 metro, cuál es la longitud de DE ? C

1 metros 3

b. (2 3 − 3) metros

20. Si x es solución de la ecuación a. x = −2 b. −1 ≤ x ≤ 1

1 metro 2 1+ 3 d. metros 4

e. ( 3 − 1) metros

x +1 x + 2 x + 100 + + ... + = 100 , entonces 1 2 100 c. x = 3 / 2 e. x ≥ 3 d. x = 2

21. En la figura tenemos un cuadrado pequeño inscrito en un círculo a su vez inscrito en un cuadrado grande. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado grande y el área del cuadrado chico?

a. b.

2 2 2

c. 2

e. 4

d. 2 2

22. En una isla hay solo dos tipos de gente: los que siempre dicen la verdad y los que siempre mienten. Tres habitantes de la isla están hablando. Andrea dice: “Bárbara siempre dice la verdad”, Bárbara dice “Andrea y Carlos siempre dicen la verdad” y Carlos dice “Andrea miente”. Sabemos entonces que: a. Los tres dicen la verdad b. Andrea y Bárbara dicen la verdad, Carlos miente c. Andrea dice la verdad, Bárbara y Carlos mienten d. Andrea y Bárbara mienten, Carlos dice la verdad e. los tres mienten 23. ¿Considerando 50 números distintos, elegido al azar del conjunto {1,2,…,100}, cuya suma total es 3000, cuál es la cantidad mínima de números pares posibles entre los 50? a. 2 c. 4 e. 6 b. 3 d. 5 4

24. Considere cualquier conjunto de 20 enteros consecutivos mayores que 50. ¿Cuál es el mayor número de primos en el conjunto? a. 4 c. 6 e. 8 b. 5 d. 7 25. Un estudiante pasó un cierto número de exámenes manteniendo un promedio de 23. Después de pasar un examen más, su promedio bajó a 22.25. ¿Cuál fue la última nota del estudiante, sabiendo que todas sus notas están entre 18 y 30? (incluyendo 18 y 30) a. 18 c. 20 e. 22 b. 19 d. 21 26. Un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que un rectángulo cuyos lados son b y h (b > h) . ¿Considerando que el área del triángulo es

3 veces el área del rectángulo, cuál es el valor de b / h ?

3+ 3 7+3 5 e. 2 2 3+ 5 b. 2 d. 2 27. Sea Q un cubo y S una esfera centrada en uno de los vértices de Q , con radio igual al lado de Q . El volumen de la intersección entre Q y S es a. 1/8 del volumen de la esfera c. 1/6 del volumen del cubo e. 1/2 del volumen del cubo b. 1/4 del volumen de la esfera d. 1/4 del volumen del cubo a.

28. Sea P ( x) = x3 + ax 2 + bx + c , y suponga que la suma de dos raíces del polinomio es cero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre los coeficientes de P ( x) siempre es cierta? a. abc = 0 c. c = a + b e. ninguna de las anteriores 2 b. c = ab d. b = ac 29. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC ≠ AC . Sea P un punto en AB . ¿Cuántas posibles posiciones en el plano hay para un punto Q tal que el triángulo APQ sea similar al triángulo ABC ? a. 0 c. 3 e. 6 b. 2 d. 4 30. Alberto, Bárbara, Clara y David mezclan una baraja con 40 cartas y reparten 10 a cada uno de ellos. Alberto exclama sorprendido: “¡Qué raro, yo no tengo espadas!”. ¿Cuál es la probabilidad de que Bárbara tampoco tenga espadas, si hay 10 cartas con espadas en la baraja? 30! 30!30! 30!10! a. c. e. 20!40! 20!40! 40! 20! 20!20! b. d. 10!30! 10!30!

FIN Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página del IFEM (http://ifem.math.uprm.edu) a partir del 20 de diciembre de 2007 para ver los seleccionados a la segunda fase. 5

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Universidad de Puerto Rico

Marque el Grado: _____7 , _____ 8 , Edad: _____

_____9 , _____10mo, _____ 11mo, ____12mo

Sexo: ____ F ____ M

Tel. Residencial (_______) ________- __________

Dirección Postal del Estudiante: ________________________________________________________ ______________________Pueblo: ___________

Código Postal____________________________

Nombre de la Escuela: _______________________________________________________________ Pueblo de la Escuela:_________________________________ a

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. d e a b

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

x x

12 13

x x

14 15

27 28 x

x x x

29 30

x x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 7 de diciembre de 2007, a la siguiente dirección: Dr. Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018 Mayagüez, PR 00681-9018

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

SEGUNDA FASE 26 de enero de 2008

EXAMEN NIVEL II 7mo a 12mo grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! 1. En la televisión de Claudia se reciben los canales del 2 al 42. ¿Si Claudia enciende el televisor en el canal 15 y aprieta 518 veces el botón para subir canales, en qué canal quedará el televisor cuando se detenga? a. 39 b. 40 c. 41 d. 42 e. 2 2. El domingo pasado Marta tuvo varios invitados. Cuando Pedro llegó ya estaba Raúl. Jesús y Rita llegaron juntos. Luisa le abrió la puerta a Arturo y Arturo a Jesús. Raúl llegó después de Rita. ¿Quién fue el último en llegar? a. Pedro b. Raúl c. Jesús d. Rita e. Arturo 3. En una jaula hay cerditos y palomas con un total de 14 ojos y 22 patas. ¿Cuántos cerditos y palomas hay en la jaula? a. 2 cerdos y 2 palomas b. 2 cerdos y 1 paloma c. 3 cerdos y 3 palomas d. 3 cerdos y 4 palomas e. 4 cerdos y 3 palomas 4. En la pizarra está escrito un número de tres cifras que termina en 2; si borramos ese 2 y lo escribimos al principio del número, el número disminuye en 36. ¿Cuál es la suma de los dígitos del número original? a. 4 b. 5 c. 7 d. 9 e. 10

5. En la siguiente figura AD=DC, AB=AC, el ángulo ABC mide 75º y el ángulo ADC mide 50 º. ¿Cuánto mide el ángulo BAD? A

50º

75º C

a. b. c. d. e.

30º 85º 95º 125º 140º

6. A Julio le dieron el número secreto de su ATH, y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es el tercer dígito (de derecha a izquierda) de su número secreto? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 7. En el rectángulo de la figura, M y N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente, P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. ¿Suponiendo que AD mide 5 cm y que AB mide 3 cm, cuántos centímetros cuadrados tiene la superficie del cuadrilátero MPQD? A

B a. b. c. d. e.

2.75 3 3.25 3.75 4

8. Un costal esta lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando canicas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 canicas del mismo color? a. 1960 b. 1977 c. 1981 d. 1995 e. 2001 9. Juan eliminó un número de una lista de 10 números consecutivos. La suma de los que quedaron es 2008. ¿Cuál es el número que eliminó? a. 225 b. 226 c. 227 d. 228 e. Ninguna de las anteriores 10. ¿Si escribí todos los números del 1 al 1000, cuantas veces apareció el dígito 5? a. 110 b. 1331 c. 555 d. 100 e. 300 11. Se forma un cubo de 4 pulgadas de lado uniendo cubos de 1 pulgada de lado. Se dice que dos cubos están en contacto si tienen una cara en común. ¿Cuántos de estos cubos de 1 pulgada están en contacto con exactamente 4 otros cubos de 1 pulgada?

12. Un entero es tartamudo si todos sus dígitos son iguales a 1. ¿Cuántos enteros positivos menores que 100,000 cumplen que al multiplicarlos por 33 se obtiene un entero tartamudo?

13. ¿De cuántas maneras se pueden escoger en un tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra, de tal forma que no estén las dos en una misma fila ni en una misma columna?

14. Dada la ecuación 1 + (n 2 + n)(n 2 + 5n + 6) = 1812 , donde n es un número entero, el valor de n(n + 3) es: 25π cm² , la longitud en cm de una 2 cuerda de la circunferencia mayor, tangente a la menor, es:

15. Si el área comprendida entre dos círculos concéntricos es

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes. 3

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2007-2008: SEGUNDA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL II (7mo-12mo grados) Información del Estudiante: Apellidos: _________________________ ____________________ Nombre: ____________________ Marca el Grado:

______7mo ______ 8vo

______9no

_____10mo

_____ 11mo

_____12mo

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Género: __ Femenino __ Masculino Dirección Postal del Estudiante: _________________________________________________________ ____________________________________Pueblo: ________________

Código Postal____________

Nombre de la Escuela: _________________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

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a 1 2

c x

a x

x x

8 9 10

Escribe la respuesta correspondiente

11 12 13 14 15

24 1 768 180 5√2

3 5

x x x