3a fase intermedia 2011

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS PUERTO RICO

Universidad de Puerto Rico

Tercera Fase

26 de marzo de 2011

Nivel Intermedio 7mo - 9no grado

Nombre: Escuela:

Grado:

Fecha de nacimiento: Correo Electrónico: Instrucciones: Tienes tres horas para trabajar el examen. Resuelve el mayor número de problemas que puedas. Usa todo el tiempo disponible. ½Buena Suerte! Instructions: You have

three hours to work on the exam. Solve as many problems as you can. Use all of the available time. Good luck!

1. ¾Cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices en los puntos del dibujo? How many triangles can be formed with their vertices being points in the gure?

2. ¾Cuál es la suma de todos los números de 1, 2, 3, ó 4 dígitos que podemos construir con los dígitos del número 2011? What is the sum of all of the numbers of 1, 2, 3 or 4 digits that can be constructed with the digits of number 2011?

1

3. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquier longitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadro A y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando en cada cuadro sólo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? A cricket jumps on a borad and can take jumps of any length and in any direction. If the cricket starts in square A and jumps from square to square covering all the board and landing on each square only once, in how many ways can the cricket do this?

A

4. ¾Qué número es mayor, 100100 ó 5050 · 15050 ? Explica. Which number is larger, 100100 or 5050 · 15050 ?

Explain.

2

5. ¾Cuántos dígitos tiene el número 12345678910111213 . . . 200920102011? How many digits does the number 12345678910111213 . . . 200920102011 have?

6. ¾Cuántos enteros positivos tienen exactamente 5 divisores enteros positivos? How many positive integers have exactly 5 positive integer divisors?

3

7. Tenemos dos grupos de 7 piedras cada uno. Dos jugadores toman turnos sacando un máximo de 4 piedras de sólo uno de los grupos en cada turno. El jugador que se lleva la última piedra gana. ¾Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Explica. We have two groups of 7 stones each. Two players take turns removing at most 4 stones from one of the groups in each turn. The player who takes the last stone wins. Do any of the players have a winning strategy? Explain.

8. Si x, y son enteros, halla las soluciones de la ecuación x2 = 2011 + y 2 . If x, y are integers, nd the solutions of the equation x2 = 2011 + y 2 .

4

9. Dados los tres triángulos equiláteros como los que se muestran en la gura (las longitudes de sus lados se muestra en la gura), ¾cuál es la medida de la altura de la torre formada por los tres triángulos?

Given three equilateral triangles as those shown in the gure (the lengths of their sides is shown in the gure), what is the measure of the height of the tower formed by the three triangles?

1

3/2

9/4

5

√

√

10. Demuestra que 1 + x ≥ 2 x si x ≥ 0. Show that 1 + x ≥ 2 x if x ≥ 0.

6