Academia Sabatina 26 feb 2011 by Arturo Portnoy

ARITMETICA MODULAR: Una Aritmética Divertida Luis F. Cáceres

La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿Cuántos somos?, ¿Cuánto falta para la próxima inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de número vino mucho después que el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas. Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar (números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones 1 3 10 negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, , , − . La geometría Griega y la 2 8 3 necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números reales (números que no se pueden representar como fracciones) tales como

2, π , 3 . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones

algebraicas, surgen los misterioso números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: i . En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma, en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su vez en el comportamiento del mundo real. Existen otros sistemas, no necesariamente números, en donde también se puede realizar una aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Mas aún, estas aritméticas “extrañas” y divertidas pueden ayudar a entender aún mas la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tiene aplicaciones inmediatas en la aritmética usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo clásico de este tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita. Esta aritmética fue descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó en tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando se tiene un sistema de contar que se comporta periódicamente. Auanque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades.

5+4=2: Una aritmética divertida. Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando con el domingo. 1

domingo 0 sábado 6

lunes 1

viernes 5

martes 2

jueves 4

miércoles 3

Si continuamos numerando, el día 7 es domingo nuevamente, el día 8 es lunes, el día 9 es martes, etc. En cierto sentido podemos pensar que 7 = 08 = 1,9 = 2, etc., donde “=” obviamente, no tiene el mismo sentido usual. También podemos trabajar hacia atrás: el día -1 es el sábado, el día -2 es el viernes, etc. Por lo tanto −1 = 6, −2 = 5, etc. La siguiente tabla muestra los números correspondientes a cada día de la semana. domingo …,-14,-7,0,7,14,… lunes …,-13,-6,1,8,15,… martes …,-12,-5,2,9,16,… miércoles …,-11,-4,3,10,17,… jueves …,-10,-3,4,11,18,… viernes …,-9,-2,5,12,19,… sábado …,-8,-1,6,13,20,… No es difícil encontrar un patrón para los números correspondientes a cada día, dicho patrón se ilustra en la siguiente tabla. domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado

números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma

7n 7n + 1 7n + 2 7n + 3 7n + 4 7n + 5 7n + 6

Note que los números de la forma 7 n + 7 , son de la forma 7(n + 1) y por lo tanto son de la forma 7 n . Por lo tanto el día que le corresponde a un número entero cualquiera está determinado por el residuo al dividir el número entre 7. Por ejemplo el día que le corresponde al número 38 es el miércoles (ya que 38 = 7 ⋅ 5 + 3 ). Estos residuos son siempre 0,1,2,3,4,5,6 y podemos definir una aritmética de residuos. Podemos acordar que 4 + 5 = 2 , esto significa que el día 4 mas el día 5 es el día 2, lo cual es bastante natural. De esta forma podemos construir la tabla para la suma de los números del 0 al 6 de la siguiente forma: + 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 2

Esta tabla modela la estructura cíclica de los siete días de la semana. En este contexto la pregunta ¿Que día es 323 días después del jueves? Puede ser escrita como 4 + 323 = ? . El 323 no esta en nuestra tabla, pero note que 323 = 7 ⋅ 46 + 1 el cual es de la forma 7 n + 1 , luego 323 = 1 , por lo tanto 4 + 323 = 4 + 1 y buscando en la tabla tenemos que 4 + 1 = 5 , que es viernes. Esta suma tiene cosas extrañas como el hecho de que 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 , pero cuando pensamos en términos de días, esto tiene perfecto sentido. Ahora podemos tratar de definir multiplicación para este sistema. No tiene mucho sentido pensar en multiplicar sábado por jueves, pero si podemos pensar en cuál es el mejor sentido que le podemos dar a 6 × 4 . Es claro que lo ideal es que 6 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y mirando en la tabla se obtiene 6 × 4 = 3 . También sería razonable pensar que 6 × 4 = 6 + 6 + 6 + 6 y mirando en la tabla obtenemos (afortunadamente) la misma respuesta: 6 × 4 = 3 .De hecho si hacemos la tabla de multiplicación (que no es otra cosa que sumas repetidas) para los residuos del 0 al 6 obtenemos: × 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 5 1 4

4 0 4 1 5 2 6 3

5 0 5 3 1 6 4 2

6 0 6 5 4 3 2 1

El sistema que hemos desarrollado se conoce como el sistema de los enteros módulo 7. No hay nada especial acerca del 7, con cualquier otro número natural podemos desarrollar este tipo de aritmética. Si hubiésemos empezado con las horas en un reloj, hubiésemos terminado con los enteros módulo 12, si hubiésemos empezado con los días del año, hubiésemos terminado con los enteros módulo 365, etc. Si por ejemplo desarrollamos la aritmética módulo 4, entonces los residuos que usaríamos serían el 0,1,2,3 y aquí 4 = 0 , 5 = 1 , 6 = 2 , etc.

Ejercicios: 1. ¿Qué día de la semana será 93 días después del miércoles?. 2. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 4. 3. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 5. 4. En la aritmética usual −a es el número tal que cuando se le suma a a da 0. A −a se le llama el inverso aditivo de a . Hallar los inversos aditivos de los números del 0 al 6 en la aritmética módulo 7. 5. Repetir el ejercicio anterior para los números del 0 al 11 en la aritmética módulo 11. El siguiente paso, obviamente es pensar en división. Para hacer esto nos conviene formalizar un poco lo que hemos hecho hasta el momento. El primer paso es introducir un símbolo nuevo a nuestro lenguaje (≡) que nos sirva para representar la igualdad en la aritmética modular. Recordemos que 9 = 2 cuando hablamos de los enteros módulo 7. Pero cuando hablamos de los enteros módulo 4, 9 = 1 . Para evitar ambigüedades, escribiremos en el primer caso 9 ≡ 2 mod 7 y en el segundo caso 9 ≡ 1mod 4 . En general escribiremos a ≡ b mod m y esto quiere decir que al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre m . En la aritmética mod m se pueden sumar y multiplicar números básicamente de la misma forma que en la aritmética usual. También es posible restar. El problema de la división es mucho más interesante porque la “división usual” solamente se puede hacer en algunos módulos. 3

5 5 mod 7 . Es importante notar que el símbolo no tiene 2 2 sentido con lo que hemos hecho hasta el momento y por o tanto estamos listos para darle un sentido. 5 Obviamente el sentido que le demos a debe estar de acuerdo, en lo posible, con el sentido que se le da 2 en la aritmética usual. De lo contrario terminaríamos construyendo una aritmética divertida, pero que quizás tendría propiedades totalmente diferentes a las de la aritmética usual y por lo tanto no tendría aplicaciones inmediatas. 5 La definición mas natural para sería el número x que satisface la ecuación 2 2 x ≡ 5 mod 7 . p En general, si p y q son números entre 0 y 6, queremos definir igual a y donde q qy ≡ p mod 7 . Note que qy es el número que aparece en la fila q y en la columna y de la tabla de multiplicación. Por lo tanto si queremos que la congruencia tenga una sola solución y , el número p debe aparecer una sola vez en la fila q . Si apareciera dos o mas veces o si n apareciera, no sabríamos cual escoger. La tabla de multiplicación módulo 7 tiene la propiedad de que en cada fila aparecen los números del 0 al 6 y además aparecen una sola vez. Por lo tanto podemos encontrar una solución única para la congruencia anterior p cuando q ≠ 0 . Esto no para cualquier q diferente de cero. Esto significa que siempre podemos definir q es una restricción grande pues en la aritmética usual tampoco dividimos por 0. 5 Por lo tanto, = 6 mod 7 ya que 2 ⋅ 6 ≡ 5 mod 7 . 2

Supongamos que queremos darle sentido a

Ejercicios: 1. En la aritmética usual, 1/ a es el número que cuando se multiplica por a da como resultado 1. A 1/ a se le llama el inverso multiplicativo de a . Hallar 1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 mod 7. 2. Hallar 3 / 4,5 / 3,10 / 8. módulo 7. Las cosas no funcionan igual de bien con otros módulos. Por ejemplo si trabajamos módulo 6 la tabla de multiplicación que se obtiene es la siguiente. × 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Lo primero que notamos en esta tabla de multiplicación es que aparecen muchos ceros. En particular, 3 ⋅ 2 = 0 . Este fenómeno no ocurre en la aritmética tradicional, ya que en la aritmética usual si a ⋅ b = 0 , entonces obligatoriamente se tiene que a = 0 o b = 0. El hecho de que trabajando módulo 6, la multiplicación de dos números diferentes de cero pueda dar como resultado 0, nos trae problemas pero a la vez crea una aritmética interesante y diferente. Note que por ejemplo no podemos definir 1/3 (por lo menos de la manera usual) ya que no existe un número y en la tabla tal que 3 ⋅ y = 1. 4

Ejercicio: 3. 1. Tratar de hallar los inversos multiplicativos de los números del 1 al 11 en la aritmética módulo 12. Descubrirá que algunos de ellos no poseen inverso multiplicativo. 4. Repetir el ejercicio anterior para la aritmética módulo 6 y módulo 8. Encontrar una conjetura para describir a los números que poseen inverso multiplicativo. 5. Construir las tablas de multiplicación módulo del 2 al 10 y tratar de encontrar una conjetura sobre los números que producen módulos donde todos los números (excepto el 0) poseen inversos. 6. Para varios valores de a < 7 calcular a 7 mod 7 . Para varios valores de a < 5 calcular a 5 mod 5 . Intentar otros cómputos similares. Hacer una conjetura para el resultado que se obtiene. Propiedad: Si a, b, c y m son enteros, con m > 0 , tales que a ≡ b ( mod m ) , entonces

1. a + c ≡ b + c ( mod m ) 2. a − c ≡ b − c ( mod m ) 3. ac ≡ bc ( mod m )

Propiedad: Si a, b, c, d y m son enteros, con m > 0 , tales que a ≡ b ( mod m ) y c ≡ d ( mod m ) , entonces 1. a + c ≡ b + d ( mod m ) 2. a − c ≡ b − d ( mod m )

3. ac ≡ bd ( mod m )

Propiedad: Si a, b, k y m son enteros, con k > 0, m > 0 y a ≡ b ( mod m ) , entonces a k ≡ b k ( mod m ) EJERCICIOS: 1. Muestre que las siguientes congruencias son ciertas. a. 13 ≡ 1( mod 2 ) b. 13 ≡ 1( mod 2 )

c. 22 ≡ 7 ( mod 5)

d. 111 ≡ −9 ( mod 40 )

e. 666 ≡ 0 ( mod 37 ) f.

−3 ≡ 30 ( mod11)

2. Para que valores de m es cierta cada una de las siguientes congruencias: a. 27 ≡ 5 ( mod m ) b. 1000 ≡ 1( mod m )

c. 1331 ≡ 0 ( mod m )

3. Probar que si a es un entero par, entonces a 2 ≡ 0 ( mod 4 ) y si a es un entero impar, entonces

a 2 ≡ 1( mod 4 ) .

4. Probar que si a es un entero impar, entonces a 2 ≡ 1( mod 8 ) .

5. Dar un ejemplo para probar que a 2 ≡ b2 ( mod n ) no necesariamente implica que a ≡ b ( mod n ) . 6. Reducir los siguientes números a módulo 13. a. 22 b. 100 c. 1001 d. -1 e. -100 f. -1000 7. Usando la reducción módulo 6, para construir una tabla para la adición módulo 6, la resta módulo 6 y la multiplicación modulo 6. El residuo que se obtiene en la reducción módulo 6 es el representante de la correspondiente clase de congruencia. 8. Encontrar el residuo cuando 250 y 4165 se dividen entre 7. 9. Hallar el residuo al dividir la suma 15 + 25 + ... + 995 + 1005 entre 7. 10. Dado un entero a , probar que a 3 ≡ 0,1 o 6 ( mod 7 ) . 11. Dado un entero a , probar que a 4 ≡ 0 o 1( mod 5 ) .

12. ¿Para qué enteros positivos n se cumple que 12 + 22 + ... + ( n − 1) ≡ 0 ( mod n ) ? 2

13. Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces 4n ≡ 1 + 3n ( mod 9 ) ..

Primera Academia Sabatina 2011 Arturo Portnoy, 26 de febrero de 2011 1.

Dibujos y diagramas

1. Considere un triángulo rectángulo con catetos de longitud a y b e hipotenusa de longitud c. Considere también un cuadrado con lado de longitud c. Demuestre que la diagonal del cuadrado tiene longitud mayor o igual que a + b. 2. Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 números reales positivos tales que ai + Ai = k, donde k es una constante dada. Si ai ≥ Ai demuestre que a1 A2 + a2 A3 + a3 A1 < k2 . 3. Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 , a4 , A4 números reales positivos tales que ai + Ai = k, donde k es una constante dada. Si ai ≥ Ai demuestre que a1 A2 + a2 A3 + a3 A4 + a4 A1 ≤ k 2 y determine cuando se da la igualdad. 4. Sea n un entero positivo par. Halle todas las ternas de números reales (x, y, z) tales que xn y + y n z + z n x = xy n + yz n + zxn . 2.

Juegos y patrones

1. Considere un tablero 6 × 6, cubierto con chas 2 × 1. Demuestre que existe al menos una linea horizontal o una vertical que parte el tablero en dos, sin cruzar ninguna cha. ¾Será cierto esto para tableros n × n, con n > 6 natural? 2. En un montón hay 100 piedras. Dos jugadores A y B juegan alternadamente, comenzando por A. En cada jugada, se deben retirar entre 1 y 5 piedras. Gana el que retire la última piedra. ¾Tiene alguno de ellos una estrategia ganadora? ¾Cuál es esa estrategia? 3. En un montón hay 100 piedras. Dos jugadores, A y B , juegan alternadamente, comenzando por A. En cada jugada, se deben retirar entre 1 y 5 piedras. Pierde el que retire la última piedra. ¾Tiene alguno de ellos una estrategia ganadora? ¾Cuál es esa estrategia? 4. Simón escribe una lista de números. El primero es 25, y de ahí en adelante, cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del anterior. ¾Qué número aparece en la posición 2011? 3.

Principio del palomar

1. Probar que si se escogen 5 puntos en el interior de un triángulo equilátero de lado 2, tiene que haber dos de ellos a una distancia menor o igual que 1. 2. Probar que si se escogen 26 números naturales diferentes, impares y menores que 100, siempre hay dos de ellos que suman 100. 3. Probar que si se escogen 8 números naturales diferentes, siempre habra dos de ellos cuya suma o diferencia es divisible entre 13. 4. Probar que cualquier conjunto de 10 números enteros entre 1 y 100 tiene dos subconjuntos disjuntos y no vacíos A y B tales que la suma de los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B . 5. Un disco cerrado de radio 1 contiene 7 puntos tales que todas las distancias entre dos de ellos son mayores o iguales que 1. Pruebe que uno de los puntos es el centro del disco. 6. Pruebe que dados 5 puntos en el plano cartesiano con ambas coordenadas enteras, siempre hay dos de ellos cuyo punto medio tiene ambas coordenadas enteras. 7. Pruebe que en cualquier reunión de n > 1 personas, siempre hay dos de ellas que tienen exactamente el mismo número de conocidos en la reunión.

Una breve introducci´on a las desigualdades Anthony Erb Lugo -

Traducido por Gabriel Reilly

26 de febrero de 2011 En esta clase, daremos una introducción a como resolver desigualdades a nivel de olimpiadas. Comenzaremos con lo básico. Discutiremos la Desigualdad Trivial, la desigualdad Media Aritmética - Media Geométrica, y, si el tiempo lo permite, discutiremos la Desigualdad “Cauchy-Schwarz”.

1 1.1

Conceptos B´ asicos La Desigualdad Trivial

Concepto: Tomamos cualquier n´ umero real, x, y elevémoslo a la dos. Sin importar el valor de x que hayamos escogido, el resultado, x2 , siempre será mayor o igual a cero. Esto es conocido como la Desigualdad Trivial, y es la base para resolver muchos problemas de desigualdad. Uso: El uso de esta técnica se basa en tratar de reacomodar el problema de tal forma del que el lado derecho de la desigualdad tenga un cero, y el otro lado este compuesto de cuadrados. Ejemplo 1.1: Demuestre que para a y b n´ umeros reales, a2 + b2 ≥ 2ab Prueba. Al restar 2ab en ambos lados, obtenemos que a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ´ Esto factoriza en (a − b)2 ≥ 0 Que es cierto por la desigualdad trivial. Ejemplo 1.2: Demuestre que para a, b y c n´ umeros reales, a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac Prueba. Empezamos moviendo todos los términos al mismo lado, a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac ≥ 0

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Una breve introducci´on a las desigualdades

Nivel intermedio

Multiplicando por dos, podemos ver que 2(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac) = (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2 ≥ 0 Por lo tanto, la desigualdad original es cierta. Tambien podemos notar, usando lo que aprendimos en el ejemplo 1.1, que las siguientes desigualdades son ciertas. a2 + b2 ≥ 2ab b2 + c2 ≥ 2bc a2 + c2 ≥ 2ac Por eso, su suma, 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2(ab + bc + ac) tambien es cierta. Ahora, dividimos entre 2 y terminamos. 1.1.1

Problemas de Pr´ actica

1. Sea x un n´ umero real distinto a cero. Demuestre que: I. x2 + 1 ≥ 2x II. 4x2 + 1 ≥ 4x 1 III. x2 + 2 ≥ 2 x 2. Sean a y b n´ umeros reales. Demuestre que: I. a2 + 4b2 ≥ 4ab. II. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b III. (a + b)2 + 2a2 + (a − b)2 ≥ 2b2 IV. a2 − ab + b2 ≥ 0 V. 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 ≥ 4ab 3. Sean a y b n´ umeros reales positivos. Demuestre que: I. (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab √ II. a + b + 1 ≥ 2 a + b III. (a + 1)(b + 1)(1 + ab) ≥ 8ab IV. (a2 − b2 )(a − b) ≥ 0 (a3 − b3 )(a − b) V. ≥ ab(a − b)2 3 1.1.2

´ Identidades Utiles

Al trabajar con desigualdades, es importante dominar ´estas identidades: • a2 − b2 = (a + b)(a − b) • a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ) • a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc) • abc = (a + b + c)(ab + bc + ac) − (a + b)(b + c)(a + c) 2

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1.2

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Nivel intermedio

Desigualdad entre las medias aritm´ eticas y medias geom´ etricas

La proxima desigualdad importante es la Media Aritmética - Media Geométrica, cual abreviaremos a MA-MG. En el Ejemplo 1.1, probamos la desigualdad MA-MG para el caso en donde n = 2. Ahora, presentamos su generalización. Teorema 1.3 (Desigualdad MA-MG): Sean a1 , a2 , a3 , · · · , an n´ umeros reales mayores o iguales a cero. Entonces, √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n Con igualdad si y sólo si a1 = a2 = · · · = an . Ejemplo 1.4: Sean a, b y c n´ umeros reales mayores o iguales a cero de tal forma que abc = 1. Demuestre que: a+b+c≥3 Prueba. El teorema MA-MG nos dice que, a+b+c √ 3 ≥ abc 3 Al sustituir abc = 1 y multiplicando por 3 en la ecuación, obtenemos, a+b+c≥3 Que es lo que quer´ıamos probar, y as´ı conclu´ımos. En el próximo ejemplo, es importante notar que si, a, b, c y d son n´ umeros reales mayores que cero de tal forma que a ≥ b, y c ≥ d, entonces ac ≥ bd. Ejemplo 1.5: Sean a, b y c n´ umeros reales positivos. Pruebe que: (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc Prueba. El teorema MA-MG nos dice que, √ a + b ≥ 2 ab √ b + c ≥ 2 bc √ a + c ≥ 2 ac Multiplicando estas desigualdades, obtenemos (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc Y de esa forma conclu´ımos la prueba. Nuestro u ´ltimo ejemplo mostrará cuan versátil el teorema MA-MG es, al usarlo para resolver un problema al nivel ol´ımpico. Ejemplo 1.6: (Olimpiada Matemática de la Ciudad de San Petersburgo, 1999) Sean x0 > x1 > · · · > xn n´ umeros reales. Pruebe que x0 +

1 1 1 + + ··· + ≥ xn + 2n. x 0 − x1 x1 − x2 xn−1 − xn 3

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Nivel intermedio

Prueba. Sea ak = xk − xk+1 > 0 de tal forma que nuestra desigualdad sea equivalente a x0 − xn +

1 1 1 + + ··· + ≥ 2n a0 a1 an−1

Ahora, notamos que a0 + a1 + · · · + an−1 = x0 − xn , y por tal razón, la desigualdad es tambien equivalente a 1 1 + ··· + + ≥ 2n a0 an−1 o 1 1 1 a0 + + a1 + + · · · + an−1 + ≥ 2n a0 a1 an−1 1 ≥ 2. Aplicando este teorema Finalmente, por el Teorema MA-MG, tenemos que ak + ak a cada término en la desigualdad anterior nos da el resultado inmediatamente, y de ésta forma concluimos. (a0 + a1 + · · · + an−1 ) +

1.2.1

Problemas de Pr´ actica

1. Sean a y b n´ umeros reales positivos. Demuestre que: I. 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 II.

a b + ≥2 b a 1 1 (a + b) + ≥4 a b

III.

IV. (a + 2b)(b + 2a) > 8ab ¿Por qu´e la igualdad no se puede lograr? V. a3 + b3 ≥ ab(a + b) 2. Sean a, b y c n´ umeros reales positivos. Demuestre que: I. a3 + 8b3 + 27c3 ≥ 18abc II.

(a + b + c)

III.

1 1 1 + + a b c

≥9

√ a+b+c≥2 a+b+c−1

IV. *Reto: Demuestre que es cierto para todos los reales. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ac) V. (Desigualdad de Nesbitt) a b c 3 + + ≥ b+c a+c a+b 2 4

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El Teorema de Cauchy-Schwarz

En esta sección, presentaremos un teorema muy u ´til. Daremos varios ejemplos, y al final algunos problemas de práctica. Teorema 2.1 (Desigualdad Cauchy-Schwarz): Sean a1 , a2 , · · · an , b1 , b2 , · · · , bn n´ umeros reales, entonces tenemos (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 a2 an a1 = = ··· = . b1 b2 bn Ejemplo 2.2: Sean a, b, c n´ umeros reales. Demuestre que: con igualdad sólo cuando

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac Prueba. Por el teorema de Cauchy-Schwarz, tenemos (a2 + b2 + c2 )(b2 + c2 + a2 ) ≥ (ab + bc + ac)2 Note que esto es equivalente a (a2 + b2 + c2 )2 ≥ (ab + bc + ac)2 Y podemos ver que el resultado es evidente. (Note que resolvimos este problema usando cuadrados perfectos en la secci´on anterior. Esto nos demuestra que las desigualdades pueden tener varias soluciones, y en realidad, muchas s´ı tienen varias soluciones). Ejemplo 2.3: Sean a, b y c n´ umeros reales positivos. Demuestre que: 1 1 1 (a + b + c) + + ≥9 a b c Prueba. Como a, b y c son n´ umeros reales positivos, podemos dejar que a, b y c sean x2 , y2 , y z2 , respectivamente. Esto hace que nuestra desigualdad sea equivalente a 1 1 1 2 2 2 (x + y + z ) + + ≥9 x2 y 2 z 2 Ahora, notemos que por el teorema de Cauchy-Schwarz tenemos que 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 (x + y + z ) + + ≥ x· +y· +z· =9 x2 y 2 z 2 x y z Y as´ı conclu´ımos. Ejemplo 2.4: (Irlanda, 1998) Demuestre que si a, b y c son n´ umeros reales positivos, entonces 9 1 1 1 ≤2 + + a+b+c a+b b+c c+a y 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + a+b b+c c+a 2 a b c 5

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Una breve introducci´on a las desigualdades

Nivel intermedio

Prueba. Demostraremos la segunda desigualdad. Por El Teorema de Cauchy-Schwarz tenemos que 4 1 1 + ≥ a b a+b 1 1 4 + ≥ b c b+c 1 1 4 + ≥ a c a+c Sumando ´estas desigualdades obtenemos 1 1 1 1 1 1 2 + + ≥4 + + a b c a+b b+c a+c Entonces, dividimos por 4, y as´ı terminamos. La prueba de la primera desigualdad se deja como ejercicio para el lector. Ejemplo 2.5: Sean a, b, c, x, y y z n´ umeros reales positivos de tal forma que a + b + c = x + y + z. Demuestre que: b2 c2 a+b+c a2 + + ≥ y+z x+z x+y 2 Prueba. Empezamos notando que las u ´nicas variables usadas en el lado derecho de la desigualdad son a, b y c, y por lo tanto, vamos a querer aplicar el teorema de CauchySchwarz de tal forma que las variables x, y y z sean eliminadas. Esto nos lleva a aplicar el teorema de Cauchy-Schwarz de tal forma 2 b2 c2 a + + ((y + z) + (x + z) + (x + y)) ≥ (a + b + c)2 x+y x+z x+y Ahora, notamos que (y + z) + (x + z) + (x + y) = 2(a + b + c), y que por lo tanto, a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ x+y x+z x+y 2

Ejemplo 2.6: Sean x, y y z n´ umeros reales positivos. Demuestre que: r r r p y+z x+z x+y (x + y)(y + z)(x + z) + xyz ≥ x +y +z 2 2 2 Prueba. Usaremos la identidad presentada en la primera secci´on, xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz) − (x + y)(y + z)(x + z) para inferir que (x + y)(y + z)(x + z) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz) de donde podemos deducir que nuestra desigualdad es igual a demonstrar que r r r p y+z x+z x+y (x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ x +y +z 2 2 2 6

OMPR 2011 o

Una breve introducci´on a las desigualdades

Nivel intermedio

p √ √ √ 2(x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ x y + z + y x + z + z x + y

Cual es cierto, por el teorema de Cauchy-Schwarz, ya que 2(xy + yz + xz) = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y)

2.1

Problemas

1. (Irlanda, 1999) Sean a, b, c y d n´ umeros reales positivos de tal forma que a+b+c+d = 1. Demuestre que, a2 b2 c2 d2 1 + + + ≥ a+b b+c c+d d+a 2 2. Sean a, b y c n´ umeros reales. Demuestre que, 2a2 + 3b2 + 6c2 ≥ (a + b + c)2 3. Sean a, b y c n´ umeros reales positivos. Demuestre que a2 b 2 c 2 + + ≥a+b+c c a b 4. (Olimpiada Matem´atica Centro Americana, 2009) Sean tal forma que xyz = 1. Demuestre que, x 2 2 2 (x + 1)(y + 1)(z + 1) ≥ 1 + 1+ y

x, y y z n´ umeros reales de y z 1+ z x

¿Cuándo hay igualdad? 5. Sean a, b y c n´ umeros reales positivos de tal forma que abc = 1. Demuestre que, a2 + b 2 + c 2 ≥ a + b + c 6. (Olimpiada Matemática Iberoamericana - Examen de Selección 2009, Puerto Rico) Sean ha , hb y hc las alturas de un triángulo ABC, y r el radio del circ´ ulo interno. Demuestre que, ha + hb + hc ≥ 9r 7. (Rep´ ublicas Checa y Eslovaca, 1999) Sean a, b y c n´ umeros reales arbitrarios. Demuestre que: a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b Nota: Este es también un problema de la Olimpiada Internacional de Zhautykov en 2005. 8. (Irán, 1998) Sean x, y, z > 1 y √

1 x

x+y+z ≥

1 y

√

1 z

= 2. Demuestre que,

x−1+ 7

p √ y−1+ z−1

OMPR 2011

Una breve introducci´on a las desigualdades

Nivel intermedio

9. (IMO - Examen de Selección 1999, Belar´ us) Sean a, b y c n´ umeros reales positivos de tal forma que a2 + b2 + c2 = 3. Demuestre que, 1 1 3 1 + + ≥ 1 + ab 1 + bc 1 + ac 2 10. (IMO - Examen de Selección 2006, Francia) Sean a, b y c n´ umeros reales positivos de tal forma que abc = 1. Demuestre que, a b c 3 + + ≥ . (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) 4 ¿Cuándo hay igualdad?

Selected Prime Year Problems from International Math Olympiads Academias Sabatinas OMPR 2011 Isamar Rosa Plata The year 2011 is a special year. 2011 is a prime number, and a sexy one at that1. It is also the sum of 11 consecutive primes (2011=157+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211). The following problems are also from prime years, some sexy and other not.

2003: A Sophie Germain Prime, since 2p + 1 = 4007 is also a prime number.

(Centro 2003, Problem #1) There are 2003 stones in a pile. Two players alternately select a positive divisor of the number of stones currently in the pile and remove that number of stones. The player who removes the last stone loses. Find a winning strategy for one of the players

(Centro 2003, Problem #6) Call a positive integer a tico if the sum of its digits (in base 10) is a multiple of 2003. Show that there is an integer N such that N, 2N, 3N, ... , 2003N are all ticos. Does there exist a positive integer such that all its multiples are ticos?

(Ibero 2003, Problem #1) Let A, B be two sets of N consecutive integers. If N = 2003, can we form N pairs (a, b) with a â&#x2C6;&#x2C6; A, b â&#x2C6;&#x2C6; B such that the sums of the pairs are N consecutive integers? What about N = 2004?

(Ibero 2003, Problem #6) The sequences a0, a1, a2, ... and b0, b1, b2, ... are defined by a0 = 1, b0 = 4, an+1 = an2001 + bn, bn+1 = bn2001 + an. Show that no member of either sequence is divisible by 2003.

(USAMO 2003, Problem #5) A positive integer is written at each vertex of a hexagon. A move is to replace a number by the (non-negative) difference between the two numbers at the adjacent vertices. If the starting numbers sum to 20032003, show that it is always possible to make a sequence of moves ending with zeros at every vertex.

The term sexy prime comes from the fact that they differ from a consecutive prime by six. It has no direct correlation to the numberâ&#x20AC;&#x2122;s sexual appeal. 2017 is the pair to 2011.

1999: Member of a sexy prime triplet (1987, 1993 & 1999) and a prime pair (1997, 1999).

(Mexico 1999, Problem #2) Show that there is no arithmetic progression of 1999 distinct positive primes all less than 12345.

1997: Member of a prime pair (1997, 1999) and a Pythagorean triple (315, 1972, 1997)

(Ibero 1997, Problem #6) Given are 1997 points inside a circle of radius 1, one of them the center of the circle. For each point take the distance to the closest (distinct) point. Show that the sum of the squares of the resulting distances is at most 9.

(USAMO 1997, Problem #6) Suppose the sequence of nonnegative integers

for all

with

Show that there exists a real number

such that all

satisfies:

(the greatest integer

) for

1993: Member of a sexy prime triplet (1987, 1993 & 1999) and also a Pythagorean triple (1032, 1705, 1993)

(Ibero 1993, Problem #1) A palindrome is a positive integers which is unchanged if you reverse the order of its digits. For example, 23432. If all palindromes are written in increasing order, what possible prime values can the difference between successive palindromes take? 1987: A lucky2 prime and a member of a sexy prime triplet (1987, 1993 & 1999)

(IMO 1987, Problem #4) Prove that there is no function itself such that 2

from the set of non-negative integers into

for every .

A lucky numbers are the â&#x20AC;&#x153;survivorsâ&#x20AC;? after removing every 2nd number, then every 3rd number, continuing on the removal pattern towards infinity.

Luis F. C´aceres, Ph.D. UPR-Mayag¨uez

The Eyeball Theorem 1. α 2α

El a´ ngulo central que abre el mismo arco de un a´ ngulo inscrito mide el doble del inscrito.

´ Angulos inscritos que abren el mismo arco miden lo mismo.

α α

Si AB y BC son cuerdas congruentes, entonces ADB = BDC.

Si AB es un di´ametro de una circunferencia y C es otro punto que est´a sobre la circunferencia, entonces ACB = 90◦ .

C Si ∆ABC es rectángulo con a´ ngulo recto en C, entonces C está en la circunferencia con diámetro AB.

6. Definici´on: La recta tangente a un c´ırculo en un punto es la perpendicular al radio en dicho punto.

A B

El cuadril´atero ABCD es c´ıclico si y s´olo si la suma de sus a´ ngulos opuestos es 180◦

Si AT biseca el BAC en el ∆ABC is´osceles, entonces AT es perpendicular a BC. T B

9. N

Si NA y LA son tangentes al circulo, entonces BA biseca el LAN.

B A

Teorema: Sean dos c´ırculos Ω y Ψ con centros en A y B respectivamente. Las tangentes desde A hasta Ψ cortan a Ω en P y Q, y las tangentes desde B hasta Ω cortan a Ψ en R y S. Entonces PQ = RS. Demostraci´on: N M R

P A

B Q

K L Ψ

Ω

Sean M, N, K, L los puntos de tangencia como en la figura. Note que ∆AMB, ∆ANB, ∆ALB, ∆AKB son rectángulos con AB como hipotenusa, luego los puntos M, N, K, L están en un c´ırculo de diámetro AB. Extendemos PR a TU con T en Ω y U en Ψ. Sea V el punto de corte de TM y UN. V N M R

B Q

K L Ψ

Ω

Note que MAN = MBN.

Luego,

MAN MBN RBN = = = TUV. 2 2 2 Por lo tanto ∆VTU es is´osceles con VT = VU. VTU =

Adem´as Luego,

MBN = 2 TUV = TUV + VTU = 180 − UVT. MBN + UVT = 180◦ .

Entonces V est´a en el c´ırculo con di´ametro AB. Note que

TVA = KVA,

ya que MA y AK son cuerdas congruentes. De igual forma

UVB = LVB.

Por reflexi´on a trav´es de AV y BV respectivamente vemos que VT = VK y VL = VU. Pero como VT = VU, entonces VT = VK = VL = VU. V N M R

B Q

K L Ω

Sea W la reflexión de V a través de AB. El ∆WMN es isósceles como el ∆VKL. Entonces WVN = WMN = WNM = WVM,

luego VW biseca TVU, entonces VW es perpendicular a PR. Luego PR es paralela a AB. Similarmente se demuestra que QS es paralela a AB. Como PQ es perpendicular a AB y RS tambi´en. Entonces PQ es paralela a RS. Luego PRSQ es un rect´angulo. 4