ARITMETICA MODULAR: Una Aritmética Divertida Luis F. Cáceres
La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿Cuántos somos?, ¿Cuánto falta para la próxima inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de número vino mucho después que el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas. Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar (números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones 1 3 10 negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, , , − . La geometría Griega y la 2 8 3 necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números reales (números que no se pueden representar como fracciones) tales como
2, π , 3 . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones
algebraicas, surgen los misterioso números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: i . En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma, en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su vez en el comportamiento del mundo real. Existen otros sistemas, no necesariamente números, en donde también se puede realizar una aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Mas aún, estas aritméticas “extrañas” y divertidas pueden ayudar a entender aún mas la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tiene aplicaciones inmediatas en la aritmética usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo clásico de este tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita. Esta aritmética fue descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó en tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando se tiene un sistema de contar que se comporta periódicamente. Auanque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades.
5+4=2: Una aritmética divertida. Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando con el domingo. 1