http://www.ompr.comoj.com/web_documents/alexis_ompr_2010

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO OMPR 2009 ACADEMIA SABATINA Por: Alexis Rosario Sánchez 1) Si el lado de un cuadrado aumenta el doble, ¿en qué porcentaje aumentó su área?

2) Si la diferencia entre el 72% y el 57% de un número es 45. ¿Cuál es el número?

3) En la figura que se muestra a continuación, el triángulo es equilátero. ¿Cuál es el valor de x de manera que el perímetro del triángulo sea el mismo que el perímetro del rectángulo? ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

4) OD ⊥ OA y OC es bisectriz del ∠AOD. ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1, ∠BOD =?

D C

A) B) C) D) E)

55º 60º 65º 75º 80º

B

O

A

5) L, T y M son rectas. Si la recta M es perpendicular a la recta L y α = entonces: β + γ =?

A) B) C) D) E)

140º 135º 130º 100º 80º

4 γ, 9

6) L // L’. ¿Cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?

A) B) C) D) E)

x + z − y = 180º x + z + y = 180º x − ( z + y ) = 90º x + z − y = 90º x−z =y

7) En la circunferencia de centro O, se han dibujado dos diámetros. Si α + β = 70º, entonces γ =?

A) B) C) D) E)

70º 110º 135º 140º 145º

8) En la figura, se conoce la medida del ángulo AOD si se sabe que: (1) A y B son colineales, ∠AOD = ∠COB (2) OC ⊥ OB A) B) C) D) E)

(1) por sí sola.

(2) por sí sola.

Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

Se requiere información adicional.

9) En una escuela han organizado una campaña de invierno de confección de frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm por 20 cm. Si desean hacer frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm de ancho: ¿Cuántos cuadrados de lana se necesitan para una frazada?

Si logran reunir 1.000 cuadrados de lana ¿cuántas frazadas se pueden confeccionar? ¿Sobran cuadrados?

10) Las circunferencias de la figura son tangentes, de radio 5 cm. Calcula el perímetro del rectángulo ABCD y el área de la región sombreada.

D

C

A

B

11) Calcular el área de la figura formada por un cuadrado de 2,4 cm por lado y cuatro semicírculos que tiene como diámetro los lados del cuadrado.

12) Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras, formadas por semicírculos.

AO = OB = 20 cm

13) Encuentra el área de un sector circular de 45º correspondiente a un círculo de 4 cm de radio.

14) ABDE es un cuadrado. BCD es un triángulo equilátero. Sin medir, ¿podrías encontrar el valor del ángulo CAB y explicar por qué llegas a ese resultado?

15) Si mido una cuerda de dos en dos metros me sobra un metro. Si la mido de tres en tres, me sobran dos metros. Si la mido de cuatro en cuatro, me sobran tres metros. Si lo hago de cinco en cinco, me sobran cuatro metros. Si la mido de seis en seis, me sobran cinco metros. Sabiendo que la cuerda tiene menos de 100 metros, ¿Cuál es longitud de la cuerda?

16) En el mundo de los animales extintos se encuentran el Pegaso y el Dinosaurio. El Pegaso miente los lunes, martes y miércoles, y el Dinosaurio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones ambos animales dicen la verdad. Un día ambos animales extintos mantuvieron la siguiente conversación: - Ayer me tocó mentir - dijo el Pegaso - También a mí me toco mentir - contestó el Dinosaurio ¿En qué día de la semana estaban?

17) Disponemos de jaulas y pájaros. Al poner cada pájaro en una jaula, sobra uno. Al poner dos pájaros en cada jaula, sobra una. ¿Cuántos pájaros y jaulas tenemos?

18) Tenemos un cubo 4x4x4 formado por 64 cubos de 1x1x1 . Hacemos seis agujeros de tamaño 4x1x1, atravesando el cubo grande como se indica en la figura. ¿Cuántos cubos 1x1x1 quedan del cubo inicial?

19) El señor Asamantecas tiene un asador pequeño, donde apenas caben dos chuletas. Su mujer y su hija Clara se mueren de hambre y están ansiosas por comer cuanto antes.

El problema es asar las tres chuletas en el mínimo tiempo posible.

• Sr. Asamantecas: Vamos a ver, hacen falta 20 minutos para asar una chuleta por los dos lados, pues cada uno tarda 10. Como puedo preparar dos chuletas a la vez, en 20 minutos puedo tener listas dos. La tercera tardará otros 20 minutos. Así que la comida estará a punto dentro de 40 minutos.

• Clara: ¡Pero papá! ¡Si puedes hacerlo en mucho menos! Acaba de ocurrírseme cómo ahorrar 10 minutos. ¿Cuál fue la feliz idea que se le ocurrió a Clara?

20) En un juego se lanzan tres dados cúbicos y se calcula la suma del resultado. ¿A qué número apostarías?

21) Un ladrón, un cesto de naranjas del mercado robó, y por entre los huertos escapó; al saltar una valla, la mitad más media perdió. Perseguido por un perro, la mitad menos media abandonó. Tropezó en una cuerda, la mitad más media desparramó. En su guarida, dos docenas guardó. Vosotros, los que buscáis sabiduría, decidnos, ¿cuántas naranjas robó el ladrón?

Alberto, Berta y Carlos comen juntos cada día. Al finalizar la comida cada uno de ellos pide beber té o café. * Si Alberto pide café, entonces Berta pide lo mismo que Carlos. * Si Berta pide café, entonces Alberto pide la bebida que no pide Carlos. * Si Carlos pide té, entonces Alberto pide la misma bebida que Berta. ¿Cuál de ellos pide siempre la misma bebida después de comer?

22) Pintamos un cubo de color azul y después lo cortamos en 3x3x 3 =27 cubitos. ¿Cuántos cubitos tendremos: * Con una cara pintada. * Con dos caras pintadas. * Con tres caras pintadas. * Sin caras pintadas?

Haz lo mismo con un cubo de 4 x 4 x 4 = 64cubos. ¿Cuántos cubos tienen ahora 1, 2, 3 ó ninguna caras pintadas?

Busca una fórmula para hallar el número de caras pintadas en un cubo de n x n x n .