Luis F. Cáceres Divisibilidad y representación en base 10 En esta sección estudiaremos la divisibilidad y sus propiedades fundamentales. El concepto de divisibilidad es uno fundamental para el estudio de los números. Definición: Si a y b son números enteros con a ≠ 0 , decimos que a es un divisor de b (o que a es un factor de b ) si existe un entero c tal que b = ac . También se dice que b es un múltiplo de a . Ejemplos: • -5 es un divisor de 30 pues existe el 6 tal que −5 ∗ 6 = 30 • Los divisores de 10 son ±1, ±2, ±5, ±10 A continuación vamos a probar una propiedad que será fundamental para entender las pruebas de divisibilidad que veremos más adelante. Propiedad: Si a, b, c son enteros y se cumple que a es un divisor de b + c y a es un divisor de b , entonces a es un divisor de c . Si a es un divisor de b + c , entonces existe un entero m tal que a⋅m = b + c . (1) Si a es un divisor de b , entonces existe un entero n tal que an = b . Substituyendo esto en (1) obtenemos am = an + c . Por lo tanto a (m − n) = c . Note que m − n es un entero y por lo tanto a es un divisor de c . La propiedad anterior se puede generalizar a cualquier número finito de sumandos, es decir que, por ejemplo, si a es un divisor de b + c + d y a su vez a divide a b y c , entonces obligatoriamente a tiene que dividir a d . Propiedad: Si a, b, c son enteros y se cumple que a es un divisor de b y a es un divisor de c , entonces a es un divisor de b + c . Si a es un divisor de b y a es un divisor de c , entonces existen enteros m, n tales que a ⋅ m = b y a ⋅ n = c . Sumando estas ecuaciones a ambos lados, obtenemos a ⋅ m + a ⋅ n = b + c . Luego a (m + n) = b + c . Por lo tanto a es un divisor de b + c . Esta propiedad, al igual que la anterior, se puede generalizar para un número finito de sumandos.
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Ejercicios: 1. Si a, b, c son enteros y a es un divisor de b y b es un divisor de c , entonces a es un divisor de c . 2. Si a, b, m, n son enteros y si además c es un divisor de a y c es un divisor de b , entonces c es un divisor de am + bn . 3. ¿Existen enteros a, b, c tales que a sea un divisor de bc , pero que a no sea divisor de b y a tampoco sea un divisor de c ? 4. Probar que si a, b son enteros tales que si a es un divisor de b , entonces a k es un divisor de b k para todo entero positivo k . 5. Si a, b son pares, probar que ab es divisible por 4.
PRUEBAS DE DIVISIBILIDAD Base 10 Desde pequeños trabajamos con los números enteros en la conocida expansión decimal o escritura en base 10, así en la escuela nos enseñan a hablar de unidades, decenas, centenas, etc. Pocas veces reflexionamos la importancia de este sistema con relación a otros como el sistema de números romanos. El número 843 representa 8 unidades, 4 decenas y 3 centenas, en otras palabras 843 = 8 ⋅10 2 + 4 ⋅10 + 3 Los números naturales pueden ser escritos con esta notación, así el número ___________
a3 a2 a1a0 = a3 ⋅103 + a2 ⋅102 + a1 ⋅10 + a0 En esta sección veremos criterios que nos permitirán saber si un número es o no divisible por ciertos números. Lo único que necesitamos para entender estos criterios es las propiedades de divisibilidad que probamos anteriormente y la representación de los enteros como sumas de potencias de 10. Es decir, dado un número entero positivo n siempre lo podemos escribir de la forma ak 10 k + ak −110 k −1 + ... + a110 + a0 , donde a0 , a1 ,..., ak son enteros entre 0 y 9. Por ejemplo el 34,564 se puede escribir como 3 ⋅10 4 + 4 ⋅103 + 5 ⋅102 + 6 ⋅10 + 4 .
Pruebas de divisibilidad por 2n y 5n Dado un número n escrito de la forma ak 10 k + ak −110 k −1 + ... + a110 + a0 , vemos que 2 es un divisor de ak 10 k + ak −110k −1 + ... + a110 (ya que 2 divide a cada uno de los sumandos). Por lo tanto, (usando las dos propiedades anteriores) tenemos que 2 es un divisor de ak 10 k + ak −110 k −1 + ... + a110 + a0 si y solamente si 2 es un divisor de a0 . Por lo tanto para determinar si un entero n es o no divisible por 2, es suficiente examinar si el último dígito es divisible por 2. Notemos ahora que ak 10 k + ak −110 k −1 + ... + a210 2 es divisible por 4. Por lo tanto, 4 es un divisor de ak 10 k + ak −110 k −1 + ... + a110 + a0 si y solamente si 4 es un divisor de a1 ⋅10 + a0 . Pero a1 ⋅10 + a0 corresponde a los dos últimos dígitos del número n . Por lo tanto, para
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determinar si un entero n es divisible por 4 , es suficiente verificar la divisibilidad por 4 de los últimos dos dígitos de n . Continuando este mismo análisis, vemos que en general para verificar si el entero n es divisible por 2 j es suficiente verificar que los últimos j dígitos de n sean divisibles por 2j . Un procedimiento similar se puede realizar para verificar divisibilidad por 5 j .
Pruebas de divisibilidad por 3 y 9 Para verificar si un entero n es divisible por 3 o por 9 es suficiente verificar si la suma de los dígitos de n es divisible por 3 o por 9 respectivamente.
Prueba de divisibilidad por 11 El entero ak 10 k + ak −110 k −1 + ... + a110 + a0 es divisible por 11 si y solamente si a0 − a1 + ... + (−1) k ak es divisible por 11.
Prueba de divisibilidad por 6 El número debe ser divisible por 2 y por 3 Prueba de divisibilidad por 7 Un número natural es divisible por 7 si y solo si al multiplicar por 2 el dígito de las unidades del número dado y restar este producto del número formado por las cifras o dígitos que quedan después Ejercicios 1. Hallar la potencia mas grande de 2 que divide a 32,688,048 2. Hallar la potencia mas grande de 5 que divide a 4,860,625 3. Determinar si el entero 8,924,310,064,537 es divisible por 11. 4. Un “repunit” es un entero cuya expansión decimal contiene solo unos. Determinar los repunits que son divisibles por 3. 5. Determinar los repunits que son divisibles por 9 6. Determinar cuales repunits son divisibles por 11
Algoritmo de la División: Si a, b son enteros con b > 0 , entonces existen enteros q, r únicos tales que a = bq + r y 0≤r <b Ejercicios 1. Probar que si a es un entero, entonces a 3 − a es divisible por 3. 2. Probar que el cuadrado de todo número impar es de la forma 8k + 1 . 3. Probar que el producto de tres enteros consecutivos cualesquiera es divisible por 3.
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4. Sea f n el n-ésimo número de Fibonnacci. Probar que f n es par si y solo si n es divisible por 3. 5. Sea x un número real positivo. Hallar una fórmula para el número de enteros positivos menores o iguales que x que son divisibles por el entero positivo d .
Ejercicios 1. ¿Cuántos enteros positivos dividen a 20!? 2. Sean x, y, z números enteros tales que x3 + y 3 − z 3 es múltiplo de 7. Probar que uno de ellos es múltiplo de 7. Representación de enteros en otras bases: Usando el Algoritmo de la división es fácil probar el siguiente teorema: Teorema: Sea b un entero positivo con b > 1 . Todo entero positivo n se puede escribir de la forma n = ak b k + ak −1b k −1 + ... + a1b + a0 donde k ≥ 0 es un entero, a j es un entero con 0 ≤ a j ≤ b − 1 para j = 0,1,..., k y el coeficiente inicial ak ≠ 0 .
Ejercicios: 1. 2. 3. 4.
Convertir el número 2,002 de base 10 a base 2 Convertir el número 3,245 de base 10 a base 3 Convertir el número 10100110 de base 2 a base 10 Convertir el número 1212012 de base 3 a base 2
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