Luis F. Cáceres Divisibilidad y representación en base 10 En esta sección estudiaremos la divisibilidad y sus propiedades fundamentales. El concepto de divisibilidad es uno fundamental para el estudio de los números. Definición: Si a y b son números enteros con a ≠ 0 , decimos que a es un divisor de b (o que a es un factor de b ) si existe un entero c tal que b = ac . También se dice que b es un múltiplo de a . Ejemplos: • -5 es un divisor de 30 pues existe el 6 tal que −5 ∗ 6 = 30 • Los divisores de 10 son ±1, ±2, ±5, ±10 A continuación vamos a probar una propiedad que será fundamental para entender las pruebas de divisibilidad que veremos más adelante. Propiedad: Si a, b, c son enteros y se cumple que a es un divisor de b + c y a es un divisor de b , entonces a es un divisor de c . Si a es un divisor de b + c , entonces existe un entero m tal que a⋅m = b + c . (1) Si a es un divisor de b , entonces existe un entero n tal que an = b . Substituyendo esto en (1) obtenemos am = an + c . Por lo tanto a (m − n) = c . Note que m − n es un entero y por lo tanto a es un divisor de c . La propiedad anterior se puede generalizar a cualquier número finito de sumandos, es decir que, por ejemplo, si a es un divisor de b + c + d y a su vez a divide a b y c , entonces obligatoriamente a tiene que dividir a d . Propiedad: Si a, b, c son enteros y se cumple que a es un divisor de b y a es un divisor de c , entonces a es un divisor de b + c . Si a es un divisor de b y a es un divisor de c , entonces existen enteros m, n tales que a ⋅ m = b y a ⋅ n = c . Sumando estas ecuaciones a ambos lados, obtenemos a ⋅ m + a ⋅ n = b + c . Luego a (m + n) = b + c . Por lo tanto a es un divisor de b + c . Esta propiedad, al igual que la anterior, se puede generalizar para un número finito de sumandos.
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