Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez VA Departamento de Ciencias Matemáticas Examen I Mate 3032 Cálculo II 10 de febrero de 2009 Nombre _______________________________ Número de estudiante ______________ Sección _______________ Profesor ________________________ Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas, escriba los pasos del procedimiento utilizado. Puede usar calculadora científica, pero solo cuando sea indispensable. Parte I: El examen tiene un valor de 100 puntos) 1. [9] Evalúe la integral utilizando el método de substitución trigonométrica: dx 2 cos(θ )dθ 1 1 1 = = dθ = csc2 (θ )dθ = 2 2 2 2 θ θ θ (4 sen ( ))(2 cos( ) 4 sen ( ) 4 x 4− x
∫
∫
∫
∫
1 1 4 − x2 +C (− cot(θ )) + C = − 4 4 x
x = 2 s e n (θ ) d x = 2 c o s (θ ) d θ 4 − x 2 = 2 c o s (θ ) x = s e n (θ ) 2
2. [9] π
π
2
∫ sec ( t 2 )dt = 4
0
π
4
4
2 2 ∫ sec (u )2du = 2 ∫ sec (u ) sec (u )du = 4
0
0
2
2
usar que sec (u ) = 1 + tan (u ) π
1
4
2 ∫ (1 + tan (u )) sec (u )du = 2∫ (1 + w2 )dw 2
2
0
0 3
2( w +
w 1 1 8 )| = 2(1 + ) − 0 = 2( 4 ) = 3 3 3 0 3
w = tan(u )
u= t
dw = sec 2 (u )du
2 2u = t
cambiar los limites:
2du = dt
u: 0 → π
t :0 →π u :0 →π
4
w : tan(0) → tan(π ) 4 por lo tanto,
2 4
w: 0 → 1 x 3
1 3
x 3
1 9
3. [9] ∫ x sen(3x)dx = − cos(3x) + ∫ cos(3x)dx = − cos(3x) + sen(3x) + C Usar Integracion por partes: u=x du = dx
dv = sen(3x) dx 1 v =- cos(3 x) 3