ex1m3032s2009

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez VA Departamento de Ciencias Matemáticas Examen I Mate 3032 Cálculo II 10 de febrero de 2009 Nombre _______________________________ Número de estudiante ______________ Sección _______________ Profesor ________________________ Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas, escriba los pasos del procedimiento utilizado.

Puede usar calculadora científica, pero solo cuando sea indispensable.

Parte I: El examen tiene un valor de 100 puntos) 1. [9] Evalúe la integral utilizando el método de substitución trigonométrica: dx 2 cos(θ )dθ 1 1 1 = = dθ = csc2 (θ )dθ = 2 2 2 2 θ θ θ (4 sen ( ))(2 cos( ) 4 sen ( ) 4 x 4− x

∫

∫

∫

∫

1 1 4 − x2 +C (− cot(θ )) + C = − 4 4 x

x = 2 s e n (θ ) d x = 2 c o s (θ ) d θ 4 − x 2 = 2 c o s (θ ) x = s e n (θ ) 2

2. [9] π

π

2

∫ sec ( t 2 )dt = 4

0

π

4

4

2 2 ∫ sec (u )2du = 2 ∫ sec (u ) sec (u )du = 4

0

0

2

2

usar que sec (u ) = 1 + tan (u ) π

1

4

2 ∫ (1 + tan (u )) sec (u )du = 2∫ (1 + w2 )dw 2

2

0

0 3

2( w +

w 1 1 8 )| = 2(1 + ) − 0 = 2( 4 ) = 3 3 3 0 3

w = tan(u )

u= t

dw = sec 2 (u )du

2 2u = t

cambiar los limites:

2du = dt

u: 0 → π

t :0 →π u :0 →π

4

w : tan(0) → tan(π ) 4 por lo tanto,

2 4

w: 0 → 1 x 3

1 3

x 3

1 9

3. [9] ∫ x sen(3x)dx = − cos(3x) + ∫ cos(3x)dx = − cos(3x) + sen(3x) + C Usar Integracion por partes: u=x du = dx

dv = sen(3x) dx 1 v =- cos(3 x) 3

4a. [8] Hallar el valor promedio de la función f ( x) = 4 x(10 − x) en el intervalo [0,10] .

10

f ave =

10

1 1 4 x(10 − x)dx = ∫ (40 x − 4 x 2 )dx = ∫ 10 0 10 0

1  40 x 2 4 x 3  10 1  20 x 2 4 x 3  = − − 10  2 3  0 10  3   4  2  200 100  2 −  = 100   = 3  3 3

|

10

|

0

=

1  4  20(100) − 1000  =  10  3 

4b [5] Hallar el valor de c tal que, f(c)= valor promedio de f(x) en [0,10]. f (c ) =

200 3

200 3 12c (10 − c ) = 200 4c (10 − c ) =

3c (10 − c ) = 50 30c − 3c 2 = 50 3c 2 − 30c + 50 = 0 a = 3, b = -30, c = 50 c=

30 ± 10 3 6

c1 = 7.88 y c 2 = 2.113

5. [10] Evalúe la integral usando fracciones parciales:

2x2 − x − 4 ∫ x3 + x dx

2x2 − x − 4 1 6x −1 2x 1 ∫ x ( x + 1) dx = −4∫ x dx + ∫ x 2 + 1dx = −4 ln x + 3∫ x 2 + 1dx − ∫ x 2 + 1dx = −4 ln x + 3ln x 2 + 1 − tan −1 ( x) + C

descomponer en fracciones parciales: 2x 2 − x − 4 A Bx + C −4 6 x − 1 = + 2 = + x x +1 x x2 + 1 x ( x 2 + 1) multiplicar por x ( x 2 + 1) : 2x 2 − x − 4 = A ( x 2 + 1) + x ( Bx + C ) 2x 2 − x − 4 = Ax 2 + A + Bx 2 + Cx 2x 2 − x − 4 = ( A + B ) x 2 + Cx + A Obtenemos el siguiente sistema: A+B = 2, C = -1, A = -4 por lo tanto, B = 6 vea arriba como queda la fraccion

6. Integrales impropias: a. [8] Determine si la integral

∫

∞ e− x 1

x

dx converge o diverge.

En caso de convergencia determine el valor de la integral. primero, hacemos un cambio de variable: u=- x -1 −21 x dx 2 1 −2du = dx x du =

∫

∞ e− x

t

∫

u

dx = lim e (−2)du

t →∞ x La integral es convergente 1

t

]

= lim − 2e

− x

t →∞

1

]

= −2 lim  e− t →∞  1

t

− e1  = ( -2 )  e−∞ − e  = −2 [ −e] = 2e 

b. [6] Determine si la integral converge o diverge (Teorema de Comparación): ∞ 2 + e− x ∫1 x dx 2 2 + e− x ≤ x x vamos a integrar la menor: ∞

t

2 1 2∫ dx = lim 2 ln x ∫1 x dx = lim t →∞ t →∞ x 1

t

] = 2 lim [ln(t ) − ln(1)] = 2[∞ − 0] = ∞ 1

t →∞

Por el teorema de Comparacion, como la integral menor diverge, la integral mayor tambien es divergente ∞

2 + e− x ∫1 x dx

7. [8] La integral que vamos a evaluar es la siguiente: Escoger de entre las siguientes fórmulas, la más indicada para su evaluación:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫u

u 2 − a2 a du = u 2 − a 2 − a cos −1 + C u u 2

2

2

2

u −a u −a du = − + ln u + u 2 − a 2 + C 2 u u du = ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 u −a u 2 du u 2 a2 2 = u − a + ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 2 2 u −a u 2 − a2 = +C a 2u u2 − a2 du

2

Primero hacemos un cambio de variable: 2y 2 = u 2 2y = u 1 1 u, y 2 = u 2 2 2 1 dy = du 2 vea arriba como se simplifica la integral y=

Parte II 2

1a. [8] Aproxime la integral ∫ (1 + 8 x3 )dx utilizando la Regla de Simpson 0

con n = 4, es decir, evalúe S4 .

n = 4, a = 0, b = 2, ∆x = 1 f ( x) = 1+8x 2

∫1+8x dx = 3

0

2

3

∆x [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 )] 3

1 1 3  f (0) + 4 f ( ) + 2 f (1) + 4 f ( ) + f (2)  =  6 2 4  1 1 [1 + 4(2) + 2(9) + 4(28) + 65] = [ 204] = 34 6 6

1b. [4] Halle la cota superior del error cuando la aproximación se efectúa usando la Regla del Punto Medio con n = 8: M8. f ( x) = 1+8x 3 f ' ( x) = 24x 2 f 2 ( x) = 48x el valor maximo de la segunda derivada en [0,2] ocurre en 2: 48*2 = 96 por lo tanto, k = 96 La cota superior del error es: EM ≤ EM ≤

k (b − a )

3

24n 2 96 ( 2 − 0 )

3

24(82 ) 96(8) EM ≤ 24(82 ) 12 1 EM ≤ = = 0.5 24 2

1c. [4] Hallar cuantos intervalos n, hay que usar, en la Regla del Punto Medio: Mn de modo que el error de la aproximación sea menor que 0.001.

EM ≤ 0.001 EM ≤

(96)(2-0)3 ≤ 0.001 24n 2

32 ≤ 0.001 n2 n2 1 >= 32 0.001 2 n >= (32)(1000) n >= 80 5 = 178.88 = 179

Parte III 1. [12] Un tanque tiene la forma de un hemisferio (mitad de una esfera) y su radio es R = 8 pies. El tanque está lleno de agua y se desea vaciar toda el agua por un orificio que se encuentra en la parte superior. (vea el dibujo) Halle el trabajo necesario para vaciar el tanque. ( el peso del agua es 62.5 libras/pie3)

y Se hace una particion del fluido en rebanadas horizontales , el eje de y esta hacia abajo: y va de 0 hasta 8 La relacion entre x y y esta dada or la ecuacion de un circulo de centro (0,0) y radio 8: x 2 + y 2 = 64 El trabajo de mover la rebanada i es Wi = Fi d i Fi = (Volumen de un disco)(62.5) Wi = (π x 2∆y )(62.5)( yi ) sustituye que x 2 = 64 - y 2 Wi = (π (64 - y 2 )(∆y))(62.5)( yi ) 8

Wtotal = 62.5π ∫ ( 64 y − y 3 )dy = 0

 64 y y4  8 62.5π  − | = 4 0  2  84  62.5π  (32)(82 ) −  = 62.5π ( (2)(83 ) = 4  201061.9298 = 2.01 * 105 libras − pies 2

Bono: [6] Determine el área de la región acotada por las curvas: f(x) = ln(x), el eje de x, y las líneas verticales x =1 y x =e.

e

Area = ∫ ln( x)dx = x ln( x) − x 1

e

]= 1

( e ln(e) − e ) − ( ln(1) − 1) = ( e − e ) + 1 = 1 Area = 1 se usa Integracion por partes: u = ln(x), du =

1 dx, x

dv = dx v=x

1 uv - ∫ vdu = xln(x)-∫ xdx = x ln( x) − ∫ dx = x x ln( x) − x

GDC