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Universidad de Puerto Rico c. 14 Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2009-2010: PRIMERA FASE mo Vo no HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL INTERMEDIO (7 , 8 y 9 grado) Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marque el Grado:

_______7mo, _______ 8vo, _______9no

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________

Código Postal____________

Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela : ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

a

b

c

d

e

a

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

b

c

d

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2009, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Call Box 9000

Mayagüez, PR 00681-9000

e

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2009-2010

INTERMEDIO 7mo, 8vo y 9no grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 7mo a 9no grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente.

Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2009 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas.

Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página de las olimpiadas a partir del 18 de diciembre de 2009, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. ¿Cuántos cuadrados tienen como vértices a los puntos de la siguiente figura?

a. 6

d. 9

b. 7

e. 10

c. 8

2. María construye una torre con tres cubos: uno rojo, uno verde y uno azul. ¿Cuántas torres diferentes puede construir María? a. 3

d. 6

b. 4

e. 7

c. 5

1

3. Lucía escribe los números 2, 3, 4 y otro número en la tabla de la figura. Los números de la primera columna suman 9 y la suma de los números de la segunda columna es 6. ¿Cuál es el número desconocido?

a. 4

d. 7

b. 5

e. 8

c. 6

4. Los 7 enanitos de Blanca Nieves nacieron el mismo día pero en 7 años consecutivos, es decir que cada año nació uno durante 7 años. La suma de las edades de los tres más jóvenes es 42. ¿Cuál es la suma de las edades de los tres más viejos? a. 48

d. 57

b. 51

e. 60

c. 54

5. En una clase hay 9 niños y 13 niñas. Si la mitad de los estudiantes de la clase están resfriados, ¿al menos cuántas niñas están resfriadas? a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2

6. Si el peso total de todas las figuras de la balanza es 168. Hallar el peso del cuadrado si la balanza está equilibrada y no se cuenta el peso de las cuerdas. a. 21 b. 42 c. 63 d. 84 e. 168

2

7. Mauro está ordenando sus CD en un armario, pero la tercera parte de ellos no cupo. Entonces tomó los CD que no cupieron y los puso en tres cajas. Puso 7 en cada caja y todavía le sobraron 2 que los puso sobre la mesa. ¿Cuántos CD tiene Mauro? a. 21

d. 46

b. 23

e. 69

c. 33

8. ¿Cuál es menor valor de a que hace que a × 2009 sea un cuadrado perfecto? a. 7

d. 2009

b. 11

e. ninguna de las anteriores

c. 41

9. Sean a, b, c, d números enteros tales que a < 2b , b < 3c , c < 4d y d < 40 . El mayor valor posible de a es: a. 927

d. 959

b. 934

e.

960

c. 951

10. En el triángulo ABC el segmento AD es un bisector. Además ∢ADC = 100 y ∢ABC = 2∢BCA .

Hallar ∢BCA .

a. 10

d. 45

b.

20

e. 50

c.

30

3

11. Nueve números son escritos en orden creciente. El número del medio es la media aritmética de los 9 números. La media aritmética de los cinco mayores es 68 y la media aritmética de los cinco menores es 44. ¿Cuál es la suma de todos los números? a. 56

d. 504

b. 70

e. 560

c. 112

12. ¿Cuántos números enteros positivos menores que 500 tienen exactamente 15 divisores enteros positivos? a. 0

d. 3

b. 1

e.

4

c. 2

13. Sea P (n) la suma de los dígitos pares de n . Por ejemplo P(2134)=2+4=6. ¿Cuánto vale P (1) + P (2) + ... + P (100) ? a. 200

d. 900

b. 360

e.

2250

c. 400

14. Edmundo, Carlos y Fernando ganaron $150 lavando carros. Ellos ganaron cantidades diferentes de dinero. Como son muy amigos, decidieron dividir las ganancias en partes iguales. Para esto, Edmundo dio la mitad de lo que gano para dividir en partes iguales entre Carlos y Fernando pero Carlos resultó con demasiado dinero y por tanto dio $10 a cada uno de los otros dos. Finalmente, para que cada uno tuviese la misma cantidad de dinero, Fernando dio a Edmundo $2. ¿Cuánto ganó Fernando antes de la división? a. $23

d. $76

b. $50

e. $100

c. $51 15. ¿De cuantas formas podemos dividir $10 en monedas de 25 centavos y de 10 centavos de tal forma que al menos una moneda de cada valor tenga que ser utilizada? a. 15

d. 18

b. 16

e.

19

c. 17 4

16. Una partícula se mueve a través del primer cuadrante como se indica en la figura. Durante el primer minuto se mueve desde el origen hasta (1,0). A continuación continúa moviéndose siguiendo las direcciones indicadas en el diagrama, moviéndose una unidad de distancia cada minuto. ¿A qué punto llegará la partícula después de exactamente 2 horas?

a. (0, 10)

d. (10,0)

b. (0, 11)

e. (11,0)

c. (10,1)

17. En el dibujo se tiene un hexágono con sus diagonales. El área del hexágono es S . ¿Cuál es el área del hexágono sombreado?

a.

1 S 2

d.

b.

1 S 3

e.

c.

1 S 4

3 S 8

1

S

6

18. Luis escribe una lista de números. El primero es 39, y luego cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del anterior. Por ejemplo, el segundo en la lista es 32 + 92 = 9 + 81 = 90, y el tercero es 92+ 02 = 81 + 0 = 81. ¿Qué número aparece en la posición 2009? a. 61

d. 89

b. 37

e. 145

c. 58 5

19. Un número primo se llama Loco si es un primo de un solo dígito o un primo que tiene dos o más dígitos, pero que cumple que tanto el número que se obtiene cuando se borra el primer dígito, como cuando se borra el último dígito son también Locos. ¿Cuántos primos Locos hay? a. infinitos

d. 10

b. 8

e. 15

c. 9 20. En la figura, los puntos A, B, C son colineales, así como los puntos D, E , F . Las rectas ABC y DEF son paralelas.

Siendo A1, A2, A3 las áreas de las regiones destacadas en la figura, podemos afirmar que: a.

A2 = 2( A1) = 2( A3)

d. A2 < A1 + A3

b.

A2 = A1 + A3

e.

c.

A2 > A1 + A3

( A2) 2 = ( A1)( A3)

FIN

Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página de las olimpiadas http://www.ompr.comoj.com/ a partir del 18 de diciembre de 2009 para ver los seleccionados a la Segunda Fase.

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