Intermedia_3aFase_2011-2012

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez

´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS PUERTO RICO

Universidad de Puerto Rico

Tercera Fase 31 de marzo de 2012

Nivel Intermedio 7mo - 9no grado Nombre: Escuela: Tel´ efono: Correo Electr´ onico:

Grado:

Instrucciones: Tienes tres horas para trabajar el examen. Resuelve el mayor n´ umero de problemas que puedas. Usa todo el tiempo disponible. ¡Buena Suerte!

Instructions: You have three hours to work on the exam. Solve as many problems as you can. Use all of the available time. Good luck!

1. Brenda compr´ o una bolsa de manzanas en un supermercado. Ella le dio la mitad de las manzanas a Ana. Luego le dio a Catalina 3 manzanas, qued´andose con 4 manzanas para ella. ¿Cu´antas manzanas compr´o Brenda?

Brenda bought a bag of apples in a supermarket. She gave half of the apples to Ana. Then she gave 3 apples to Catalina, keeping 4 for her. How many apples did Brenda buy?

Respuesta: 2. Un n´ umero entero impar entre 600 y 800 inclusive, es divisible por 7 y por 9. ¿Cu´al es la suma de sus d´ıgitos?

An odd integer between 600 and 800 (including 600 and 800) is divisible by 7 and 9. What is the sum of its digits?

Respuesta:

1

3. Si 29a031 × 342 = 100900b02, ¿cu´ al es el valor de a + b?

If 29a031 × 342 = 100900b02, what is the value of a + b?

Respuesta: 4. ¿Cu´antos n´ umeros enteros positivos de 3 d´ıgitos tienen d´ıgitos cuyo producto sea igual a 24?

How many positive 3-digit integers have digits whose product is equal to 24?

Respuesta: 5. El jard´ın de la figura tiene forma rectangular. Este jard´ın est´a dividido en tres regiones triangulares.

Las ´areas de dos de esas regiones est´an indicadas en la figura. ¿Cu´al es el ´area de la tercera regi´ on triangular?

The garden in the figure is rectangular. This garden is divided into three rectangular regions. The area of two of these regions is indicated in the figure, what is the area of the third triangular region?

2

32 m

48 m

2

Respuesta:

2

6. En un tri´angulo equil´ atero XY Z se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos a las divisiones A, B, C, D, E y F como se muestra en la figura. ¿Cu´al es el ´area de la figura sombreada, si el ´ area del tri´angulo XY Z es 18?

In an equilateral triangle XY Z the sides are divided into three equal parts each. Let us call the division points A, B, C, D, E, F as shown in the figure. What is the area of the shaded region, if the area of the trinagle XY Z is 18?

X

A

1 0 1F 0 11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000E B11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 1 0 1 0 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 0 1 0 1 00000000000000000 11111111111111111 0 1 0 1

Y

C

Z

D

Respuesta: 7. En un cubo de lado 2, M, N, P y Q son puntos medios de las aristas mostradas. ¿Cu´al es la distancia m´axima entre un punto de M N y otro P Q? In a cube of side 2, M, N, P and Q are midpoints in the sides shown. What is the maximum distance between a point in M N and a point in P Q? N

M

Q

P

Respuesta:

3

8. Una escalera tiene numerados los escalones como 0, 1, 2, 3, 4, . . . Una rana est´a en el escal´on 0, salta cinco escalones hacia arriba hasta el escal´on 5 y luego dos para abajo hasta el escal´on 3, despu´es sigue saltando alternando, cinco escalones para arriba y dos para abajo. La sucesi´on de escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6, . . . ¿Cu´al de los siguientes escalones NO pisa la rana: 1997, 1998, 1999, 2000?

A staircase has its steps numbered as 0, 1, 2, 3, 4, . . . A frog is in step 0, jumps 5 steps up to step 5, then two down to step 3. Then it continues alternating, 5 steps up and two steps down. The sequence of steps the frog lands on is 0, 5, 3, 8, 6, . . . Which of the following step does the frog NOT step on: 1997, 1998, 1999, 2000?

Respuesta: 9. Se tiene que llenar la siguiente cuadr´ıcula con los n´ umeros del 1 al 5, de tal forma que cada n´ umero aparezca u ´nicamente una vez en cada columna y en cada rengl´on. ¿Cu´al es el n´ umero que va en el centro de la cuadr´ıcula?

The following board has to be filled up with number from 1 to 5, in such a way that each appears only once in each column and each row. What is the number in the center of the board?

3 2

4

1

5

2 1

3 5 4

Respuesta: 10. ¿Cu´antos n´ umeros diferentes de cinco cifras se pueden formar con los d´ıgitos 1, 1, 2, 2, 3?

How many different 5-digit numbers can be constructed with the digits 1, 1, 2, 2, 3?

Respuesta:

4