Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez
Universidad de Puerto Rico
´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2011-2012 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL INTERMEDIO (7mo , 8vo y 9no grado) Informaci´ on del Estudiante: Apellidos:
Nombre: 7mo ,
Marque el Grado: Tel. residencial: (
)
8vo ,
9no
-
Sexo:
F
M
Fecha de nacimiento (dd/mm/aaaa):
E-mail del estudiante:
E-mail del Maestro:
Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela:
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Escuela:
Privada
Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P´ ublica
e
Env´ıe sus respuestas electr´ onicamente a trav´es de la p´agina www.ompr.pr en o antes del 6 de diciembre del 2011. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´on: Dr. Luis F. C´ aceres-Duque Departamento de Ciencias Matem´ aticas Call Box 9000 Mayag¨ uez, PR 00681-9000 1
Recinto Universitario de Mayag¨ uez Departamento de Ciencias Matem´ aticas
Olimpiadas Matem´aticas de Puerto Rico PRIMERA FASE
Universidad de Puerto Rico
2011-2012
NIVEL INTERMEDIO (7mo , 8vo y 9no grado)
1. Si RP Q = 20◦ y RQU = 120◦ , ¿cu´al es la medida, en grados, de SRT ? a) 60◦
S
T
b) 140◦ c) 80◦
R
d ) 100◦
Q
P
e) 120◦
U
2. Carlos tiene 6 sellos: dos de 3 centavos, dos de 5 centavos y dos de 9 centavos. Utilizando a lo m´ as 4 sellos puede obtener todas las cantidades entre 8 y 26 centavos, excepto una. ¿Cu´al es la cantidad que no puede obtener? a) 26 centavos b) 25 centavos c) 18 centavos d ) 20 centavos e) 17 centavos 3. Sean ABCDE un pent´ agono regular y DF GE un cuadrado. ¿Cu´anto mide el ´angulo GAE? a) 9◦
B
b) 12◦
C
A
c) 6◦
D
E
d ) 10◦ e) 4◦
F
2
G
4. Andrea escribi´ o los n´ umeros del 1 al 9 dentro de los c´ırculos en la siguiente figura, de tal forma que la suma de los tres n´ umeros a lo largo de cada l´ınea es divisible entre 4. ¿Cu´al o cu´ales n´ umeros deben estar en el centro? ´ a) Unicamente el 1. ´ b) Unicamente el 5. ´ c) Unicamente el 9. d ) 1, 5 y 9 e) 1 al 9 5. Esta figura consiste de cuadrados. Se muestran las ´areas, en unidades cuadradas, de cuatro de los cuadrados. Dado que x y y son tambi´en cuadrados, sus respectivas ´areas son: a) 16 y 25 b) 16 y 36
x
c) 25 y 36
y 1
1
d ) 25 y 64 9
4
e) 25 y 100 6. ¿Cu´antos enteros en el conjunto {100, 101, 102, . . . , 999}, no contienen ninguno de los d´ıgitos 1, 2, 3 ´o 4? a) 150 b) 180 c) 240 d ) 300 e) Ninguna de las anteriores. 7. Sof´ıa tiene 7 palitos de 2, 4, 6, 7, 8, 9 y 10 cent´ımetros de longitud. De todos los rect´angulos que puede formar, utilizando los 7 palitos, ¿cu´al es el de mayor ´area? a) 140 cm2 b) 126 cm2 c) 118 cm2 d ) 102 cm2 e) 130 cm2
3
8. Luis ha ganado una rifa y el premio es darle cada d´ıa el doble de lo que recibi´o el d´ıa anterior durante 8 d´ıas. Si el primer dia recibi´o 4 pesos, ¿cu´anto dinero recibir´a al final? a) 4 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 b) 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 c) 28 d ) 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 e) Ninguna de las anteriores. 1 y la tecla B, 9. En una calculadora, la tecla A, transforma el n´ umero x que est´a en la pantalla en x multiplica por 2 el n´ umero que est´ a en la pantalla. Si el n´ umero 2 est´a en la pantalla y tecleamos 499 veces la secuencia AB, ¿qu´e n´ umero aparecer´a en la pantalla? a) 1 b) 2−498 c) 2−500 d ) 2499 e) 2500 10. PQRS es un rect´ angulo con: PQ = 4 m, PS = 3 m y QS = 5 m. PT es la perpendicular de P a QS. ¿Cu´al es la longitud, en metros, de PT? a) 2.1
P
Q
4m
b) 2.2 c) 2.3
5m
3m T
d ) 2.4 e) 2.5
S
R
11. Ver´onica, Ana y Carmen fueron a pescar y capturaron menos de 100 peces. El n´ umero de peces que Ver´onica captur´ o fue, exactamente, tres veces el n´ umero de peces que hab´ıa capturado Ana y cuatro veces el n´ umero de peces que hab´ıa capturado Carmen. El mayor n´ umero de peces que Ver´ onica pudo haber capturado fue: a) 48 b) 50 c) 60 d ) 66 e) 72
4
12. ¿Cu´antos d´ıgitos 9 tiene la expansi´ on de 10100 − 2011? a) 96 b) 97 c) 98 d ) 99 e) 100 13. Sea ABCD un rect´ angulo cuyo largo es el doble del ancho. Si el ancho es 4 unidades y M y N son los puntos medios de los segmentos AD y BC, respectivamente, ¿cu´al es el ´area del pol´ıgono MOPD?
M
A
a) 4
D
b) 6
O
c) 8
P
d ) 16 e) 32
B
N
C
14. Fu´ı a una librer´ıa y me d´ı cuenta que cada uno de los libros con carpeta blanda, costaba $5 y cada uno de los libros con carpeta dura, costaba $7. Yo gast´e, exactamente, $86 en libros de los dos tipos. ¿Cu´al es el m´ aximo n´ umero de libros que pude haber comprado? a) 10 b) 14 c) 16 d ) 18 e) 20 15. Tenemos un cuadrado de lado 1 m y queremos dividirlo con dos segmentos de la misma longitud x, como se muestra en la figura. Si las tres partes que se obtienen deben tener la misma ´area, ¿cu´ anto debe valer x? √
a)
13 3
b)
2 3 m √ 5 3 m
c) d) e)
m x
x
13 9 m √ 10 3 m
5
16. La suma de 20 n´ umeros enteros es 200. De ´estos, ¿cu´al es la mayor cantidad de n´ umeros que pueden ser mayores que 20? a) 20 b) 19 c) 10 d) 9 e) 8 17. ¿Cu´antos n´ umeros del 1 hasta el 50 tienen, exactamente, 4 divisores? a) 11 b) 12 c) 13 d ) 15 e) Ninguna de las anteriores. 18. El punto (k, 17) yace sobre la l´ınea que une a los puntos (1, 5) y (4, 11). El valor de k es: a) 37 b) 14 c) 8 d) 6 e) 7 19. Considera todos los n´ umeros de tres d´ıgitos distintos que se pueden formar con los d´ıgitos 0, 1, 2, 3 y 5. ¿Cu´ antos de estos n´ umeros son m´ ultiplos de 6? a) 4 b) 7 c) 10 d ) 15 e) 20 20. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: - ¿Cantidad de hijos? - dijo el encuestador. - Tres hijas - contest´ o ella. - ¿Edades? - pregunt´ o el encuestador. - El producto de las edades es 36 y la suma es igual al n´ umero de la casa que usted conoce respondi´o ella. El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la mujer que hacen falta datos. La mujer se queda pensando y le responde: - Tiene raz´on. A la mayor le gusta el chocolate. ¿Qu´e edades tienen las hijas? a) 2, 2 y 9 b) 3, 3 y 4
c) 1, 3 y 12 d ) 2, 3 y 6
6
e) 1, 3 y 9