Inversion

Inversión Campamento para las delegaciones, 2011 Arturo Portnoy

De nición Decimos que P 0 es el punto inverso de P con respecto a una circunferencia C de centro O y radio r si (a) P 0 se encuentra en el rayo que sale de O hacia P y (b) OP · OP 0 = r2 .

Observaciones: Si P está dentro del círculo entonces P 0 está fuera, y viceversa. Si P está en el círculo entonces P 0 = P .

O es el único punto sin inverso; decimos que que el inverso de O es el punto en el in nito.

(P 0 )0 = P .

Construcciones Observemos en la siguiente gura que los puntos P y P 0 satisfacen la relación de inversión, por la semejanza de los triángulos rectos.

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Esto nos lleva al método de construcción con regla y compás del punto de inversión: Si P está dado (dentro del círculo), y queremos P 0 , basta con trazar la perpendicular a OP en P , para encontrar A, y luego tirar la perpendicular a OA en A. La intersección de esta con OP es precisamente P 0 .

Si P 0 está dado (fuera del círculo), y queremos P , basta con trazar el círculo de diámetro OP 0 e intersectarlo con C . De ahí obtenemos A y B , y la intersección de AB con OP 0 es precisamente P .

Otras observaciones Toda circunferencia C 0 que pasa por dos puntos inversos P y P 0 es ortogonal a la circunferencia de inversión C (esta es una aplicación de potencia con respecto a C 0 y O).

Esto nos permite construir familias de círculos ortogonales.

Además, podemos concluir que toda circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión se invierte en sí misma.

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Observemos la siguiente gura:

Podemos concluir que 4OP Q ∼ 4OQ0 P 0 , y que P P 0 Q0 Q es un cuadrilátero cíclico.

Observemos la siguiente gura:

Primero, por la observación anterior, ∠OQP = ∠OP 0 Q0 , ∠OQR = ∠OR0 Q0 , ∠OP Q = ∠OQ0 P 0 , ∠ORQ = ∠OQ0 R0 . De manera que contabilizando la suma de los ángulos internos del triángulo 4P QR, obtenemos que ∠P QR = ∠R0 Q0 P 0 .

La inversión preserva ángulos entre curvas, líneas y círculos por ejemplo, inviertiendo su orientación. En particular, la inversión preserva tangencias entre curvas. Decimos que la inversión es un mapeo (función) conforme.

La inversión mapea círculos en círculos; en esta proposición consideramos a una recta como un círculo de radio in nito.

Más especi camente: la inversión mapea círculos que pasan por el centro de inversión en rectas, y rectas que no pasan por el centro de inversión en círculos que si lo hacen. Rectas que pasan por el centro de inversión se mapean en sí mismas y

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círculos que no pasan por el centro de inversión se mapean en otros círculos que tampoco pasan por el centro de inversión.

Consideremos la siguiente ilustración:

Sabemos que 4OP Q ∼ 4OQ0 P 0 , por lo que r2 OP ·OQ . Esto implica P 0 Q0 =

P 0 Q0 PQ

=

OP 0 OQ

=

r2 P Q. OP · OQ

Aunque la inversión no preserva distancias (no es una isometría), esta observación relaciona distancias entre puntos antes y despues de la inversión.

Ejemplos En los siguientes ejemplos, usaremos la inversión para resolver problemas de tipo de olimpiada. La idea es elegir un punto clave (a veces es un punto por donde pasan muchos círculos o intersectan muchas rectas) y hacer una inversión con respecto a este punto.

Dadas la propiedades de la inversión, esto puede resultar en una con guración más simple donde resolver el problema.

Ejemplo 1 (Teorema de Ptolomeo) Para punto coplanares A, B , C y D, si son concíclicos, entonces AB · CD + AD · BC = AC · BD.

Nota: De hecho, este teorema es un si y sólo si, una doble implicación.

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Solución Considere la inversión con centro en D, y con cualquier radio r.

Entonces, sabemos que el círculo que contiene a los cuatro puntos se mapeará a una recta que contiene a A0 , B 0 y C 0 . Para estos tres puntos colineales, es evidente que A0 B 0 + B 0 C 0 = A0 C 0 . Usando la última propiedad que relaciona distancias entre puntos antes y después de la inversión, tenemos que: r2 r2 r2 AB + BC = AC. DA · DB DB · DC DA · DC

Multiplicando por AD·BD·CD obtenemos el resultado. Observe que r2 los pasos son reversibles, demostrandose así el si y sólo si.

Ejemplo 2 (Desigualdad de Ptolomeo) Para puntos coplanares A, B , C y D, tenemos que AB · CD + AD · BC ≥ AC · BD y la igualdad se da si y sólo si A, B , C y D están en un círculo o en una línea en ese orden.

Solución Aplicando una inversión con centro en A y radio r, tenemos r2 r2 0 0 que AB = AB 0 , CD = AC 0 ·AD 0 C D , etc. La desigualdad buscada se reduce entonces a la desigualdad C 0 D0 + B 0 C 0 ≥ B 0 D0 , que es la desigualdad triangular y cuya igualdad se da en caso de colinealidad.

Ejemplo 3 Los círculos C1 , C2 , C3 y C4 son tales que C2 y C4 tocan cada uno a C1 y C3 . Muestre que los puntos de tangencia son colineales o concíclicos.

Solución Sean A, B , C y D los puntos de tangencia de C1 y C2 , C2 y C3 , C3 y C4 , C4 y C1 respectivamente. Una inversión con centro en A mapea C1 y C2 a lineas paralelas C10 y C20 y a C3 y C4 en círculos C30 y C40 tangentes el uno al otro en C 0 y tangente a C20 en B 0 y tangente a C40 en D0 . Es fácil ver que B 0 , C 0 y D0 son colineales (piense en dos círculos tangentes el uno al otro y tangentes cada

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uno de ellos a una de dos rectas paralelas). Por lo tanto A, B , C y D yacen en un círculo que pasa por A.

Ejemplo 4 (IMO 2003, shortlist) Los círculos C1 , C2 , C3 y C4 son tales que C2 y C4 son externamente tangentes a un punto P y C1 y C3 tambien son externamente tangentes al mismo punto P . Sean A, B , C y D las intersecciones distintas de P de C1 y C2 , C2 y C3 , C3 y C4 , C4 y C1 respectivamente. Demuestre que AB · BC P B2 = .

AD · DC P D2

Solución Apliquemos una inversión con centro en P y radio r. Los círculos C1 , C2 , C3 y C4 se transforman en líneas C10 , C20 , C30 y C40 , donde C10 y C30 son paralelas y C20 y C40 también lo son. Por lo tanto A0 B 0 C 0 D0 2 es un paralelogramo. Recordemos que AB = P Ar0 ·P B 0 A0 B 0 , P B = r2 P B 0 , etc. Esto implica que la igualdad deseada es equivalente a P D02 A0 B 0 · B 0 C 0 P D02 · = , P B 02 A0 D0 · D0 C 0 P B 02

lo cual es cierto, ya que A0 B 0 C 0 D0 es un paralelogramo.

Ejemplo 5 (1993 USAMO) Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que sus diagonales AC y BD son perpendiculares y sea O su intersección. Demuestre que las re exiones de O con respecto a AB , BC , CD y DA son concíclicos.

Solución Sean P , Q, R y S los pies de las alturas desde O hacia AB , BC , CD y DA repectivamente. El problema es equivalente a demostrar que P , Q, R y S son concíclicos, pues estos son los puntos medios entre O y sus re exiones. Observe que OSAP , OP BQ, OQCR y ORDS son cuadriláteros cíclicos. Sean CA , CB , CC y CD sus circuncírculos.

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Considere la inversión con centro en O y cualquier radio r. Las líneas AC y BD se mapean en sí mismas, puesto que pasan por el centro de inversión. Los círculos CA , CB , CC y CD se mapean 0 paralelas a BD , AC , BD , AC en las rectas CA0 , CB0 , CC0 y CD respectivamente.

Luego, CA intersecta a CB en O y en P , lo que implica que las rectas CA0 y CB0 intersectan en P 0 . Similarmente, CB0 y CC0 inter0 intersectan en R0 y C 0 y C 0 intersectan sectan en Q0 , CC0 y CD D A 0 en S .

Como AC⊥BD, P 0 Q0 R0 S 0 es un rectángulo y por tanto cíclico.

Por lo tanto P QRS también lo es, ya que las inversiones mapean círculos en círculos.

Ejemplo 6 Sea p el semiperímetro del triángulo ABC . Sean E y F los puntos en la linea AB tales que CE = CF = p. Demuestre que el circuncírculo de 4EF C es tangente al excírculo de 4ABC correspondiente a AB .

Solución La inversión con centro en C y radio p mapea a los puntos E y F y al excírculo en si mismos, y al circuncírculo de 4CEF a la línea AB que es tangente al excírculo. La proposición sigue del hecho de que la inversión preserva tangencias.

Ejemplo 7 (1996 IMO) Sea P un punto dentro del triángulo ABC tal que ∠AP B − ∠ACB = ∠AP C − ∠ABC.

Sean D y E los incentros de los triángulos AP B y AP C respectivamente. Muestre que AP , BD y CE intersectan en un punto.

Solución Sea X la intersección de AP y BD y Y la intersección de AP y CE . Queremos mostrar que X = Y . Por el teorema del bisector del ángulo, BA/BP = XA/XP . Similarmente, CA/CP = Y A/Y P .

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Como X y Y están sobre AP , tenemos que X = Y si y sólo si BA/BP = CA/CP .

Consideremos la inversión con respecto al círculo de centro en

A y radio r. Por lo tanto, 4ABC ∼ 4AC 0 B 0 , 4AP B ∼ 4AB 0 P 0 y 4AP C ∼ 4AC 0 P 0 . Tenemos que ∠B 0 C 0 P 0 = ∠AC 0 P 0 − ∠AC 0 B 0 = ∠AP C − ∠ABC = ∠AP B − ∠ACB = ∠AB 0 P 0 − ∠AB 0 C 0 = ∠C 0 B 0 P 0 .

De manera que 4B 0 C 0 P 0 es isósceles y P 0 B 0 = P 0 C 0 . De 4AP B ∼ 4AB 0 P 0 y 4AP C ∼ 4AC 0 P 0 tenemos que BA/BP = P 0 A/P 0 B 0 = P 0 A/P 0 C 0 = CA/CP.

Por tanto, X = Y .

Referencias Inversion, Kin Y. Li, Mathematical Excalibur, Volume 9, Number 2 (May 2004-July 2004) (www.math.ust.hk/excalibur/) Inversion, Dusan Djukic, The IMO Compendium Group, 2007 (www.imomath.com)

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