Librito OMPR 2010-2011

Publicaciones AFAMaC

OMPR Olimpiadas de Matemáticas de Puerto Rico 2010-2011

Luis F. Cáceres Juan Ariel Ortiz Navarro Arturo Portnoy

Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Este Material Educativo es para ser distribuido de forma gratuita exclusivamente. Su venta esta estrictamente prohibida.

This educational material is to be distributed free of cost only. Its sale or resale is strictly prohibited.

Primera Edición, 2011 Derechos c AFAMaC Director: Dr. Luis F. Cáceres Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educación de Puerto Rico. Contrato #2010-AF-0226 Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez Impreso y hecho en Puerto Rico

ii

Prólogo En esta nueva publicación, tenemos el placer de presentarles los exámenes de cada una de las fases de la Olimpiada Matemática de Puerto Rico 2010-2011. Les presentamos este libro con el objetivo de que tanto estudiantes como maestros tengan una guía para prepararse para las competencias de esta olimpiada. La culminación satisfactoria de todas las fases conlleva el honor de representar al país en las olimpiadas internacionales. Este proceso requiere mucha dedicación y preparación.

Esperamos que el éxito que han tenido nuestros estudiantes en el pasado sirva de motivación para todos los estudiantes de Puerto Rico.

El libro está compuesto de dos partes. En la primera, se presentan los exámenes de cada una de las fases tal y como fueron presentados a los estudiantes. La primera fase no tuvo límite de tiempo y sus respuestas fueron evnviadas por correo. Para la segunda fase los estudiantes seleccionados fueron invitados al Recinto de Mayagüez de la UPR y tuvieron

3

horas para trabajar en los problemas. Para la tercera fase, los estu-

diantes seleccionados fueron nuevamente invitados al Recinto, en donde los estudiantes de escuela elemental tuvieron

2

horas para resolver los

problemas y con esta fase culminó su participación en esta olimpiada y los estudiantes de escuela intermedia y superior tuvieron

3

horas para

completar los exámenes. El examen de selección fue administrado al nal del Campamento OMPR 2011 para los estudiantes seleccionados de intermedia y superior. La segunda parte del libro presenta las soluciones a cada uno de estos exámenes.

Queremos agradecer a todas las personas que contribuyen a la realización de estas olimpiadas; en especial a los padres y maestros que ven en sus hijos y estudiantes un futuro prometedor para nuestra Isla. Esperamos que nos sigan apoyando en la motivación de estos estudiantes. Unidos, lograremos el objetivo de fomentar el estudio de las matemáticas y lograr cada vez más que los estudiantes de escuelas públicas y privadas se interesen en demostrar sus niveles intelectuales.

iii

AFAMaC

Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matemáticas.

Este proyecto está subvencionado por el Departamento de Educación de Puerto Rico y es realizado en el Departamento de Ciencias Matemáticas del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

iv

Índice 1. Exámenes

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

7

Primera fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1.

Elemental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2.

Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.3.

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Segunda Fase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1.

Elemental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.2.

Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.2.3.

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Tercera Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.3.1.

Elemental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.3.2.

Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.3.3.

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Examen de selección

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Soluciones

2.1.

2.2.

2.3.

28

50

51

Primera Fase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.1.1.

Elemental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.1.2.

Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.1.3.

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Segunda Fase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.2.1.

Elemental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.2.2.

Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.2.3.

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Tercera Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5

2.4.

2.3.1.

Elemental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.3.2.

Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3.3.

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Examen de selecci贸n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6

1.

Exámenes

1.1.

Primera fase

1.1.1.

Elemental

1. Dada la secuencia de guras

··· la gura en la posición

2010

es:

a) b) c) d) e)

ninguna de las anteriores

2. Abuela tiene 42 setas en su cesta, su nieta sólo tiene 16. ¾Cuántas setas debe darle la abuela a su nieta para que ambas tengan la misma cantidad?

a) b) c) d) e)

5 13 21 26 29

3. Un gusano trepa por un palo de piso. Durante el día sube

76cm de alto, comenzando desde el

5cm y cada noche resbala 3 cm. ¾Cuántos

días le tomará subir el palo completo?

a)

18

7

b)

36

c)

38

d)

42

e)

ninguna de las anteriores

4. El cuadriculado de la gura está hecho de cuadrados de

1cm

de

lado. ¾Cuál es el área de la región sombreada?

a ) 10cm2 b ) 14cm2 c ) 16cm2 d ) 20cm2 e ) 25cm2 5. El dibujo de la gura está hecho con tres triángulos equiláteros y un cuadrado. Hallar el área del cuadrado sabiendo que el perímetro de la gura es

14cm.

a ) 2cm2 b ) 4cm2 c ) 6cm2 d ) 9cm2 e)

ninguna de las anteriores

6. Carlos armó un cubo usando

12

palitos iguales de modo que en

ningún vértice se encuentren palitos de colores iguales. ¾Cuál es el menor número de colores que debió usar?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 8

e) 8 7. Si escribimos siete números enteros consecutivos y observamos que la suma de los tres números menores es

33,

¾cuál es la suma de

los tres mayores?

a ) 16 b ) 33 c ) 42 d ) 45 e ) 48 8. En una pizzería ofrecen la versión básica de pizza con queso. Se puede ordenar de queso o se le puede agregar uno o dos ingredientes entre peperoni, jamón, setas o aceitunas. Hay tres tamaños: pequeña, mediana o grande. ¾Cuántos estilos diferentes de pizza hay?

a ) 12 b ) 18 c ) 30 d ) 31 e ) 33 9. El juego de dominó tiene 28 piezas diferentes. Cada pieza es rectangular y está dividida en dos cuadrados y en cada cuadrado aparecen desde

0 hasta 6 puntos. ¾En cuántas piezas el número total de

puntos es impar?

a) 9 b ) 10 c ) 12 d ) 21 e ) 24 9

10. Con palillos de fósforos formamos guras de números como se muestra en el dibujo. Por ejemplo, para escribir el número se usan

16

188

palillos. César escribió el número más grande que es

posible escribir con exactamente

13

palillos. ¾Cuál es la suma de

los dígitos del número que César escribió?

a) 8 b) 9 c ) 11 d ) 13 e ) 15 11. Un grupo de amigos acampó durante

2

6

noches y todas las noches

de ellos vigilaban el campamento. Cada uno hizo guardia tres

noches y nunca con el mismo amigo. ¾Cuántos amigos eran?

a) b) c) d) e)

3 4 6 12 18

12. La gura de abajo está formada por hexágonos regulares y trián2 gulos equiláteros. El área total es 154cm . ¾Cuál es el área de la región sombreada?

a ) 16cm2 b ) 24cm2 c ) 28cm2 d ) 32cm2 e ) 36cm2 13. Enrique tiene un reloj digital que marca horas, minutos y segundos, siempre seis cifras. Por ejemplo se ve

10

00 : 00 : 00

a la media-

07 : 57 : 35 cuando hoy Enrique ha llegado 12 : 00 : 00 al mediodía; 20 : 09 : 07 ayer por la

noche;

a la escuela; noche cuan-

do Enrique acabó de cenar. ¾Cuántas veces, durante todo el día, cambian a la vez las seis cifras de la pantalla del reloj digital de Enrique?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 14. ¾Cuál es el último dígito del número que se obtiene cuando se realiza la multiplicación

2| × 2 × {z· · · × 2}?

2010 veces

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e)

ninguna de las anteriores

15. Jack arrancó varias hojas sucesivas de un libro (una hoja tiene 2 páginas). Se sabe que la primera página que arrancó es la 183 y que la última que arrancó tiene los mismos dígitos que la primera, pero en orden distinto. ¾Cuántas hojas arrancó Jack del libro?

a)

68

b)

99

c)

315

d)

324

e)

ninguna de las anteriores 11

−2−

−3−

16. Hay 24 libras de clavos en un saco. ¾Cuál es el número mínimo de mediciones que se necesitan para medir 9 libras de clavos usando una balanza de dos platos?

a)

1

b)

2

c)

3

d)

4

e)

no es posible

17. En un año particular hubo exactamente 4 lunes y 4 viernes en enero. ¾En que día de la semana cayó el 20 de enero ese año?

a) b) c) d) e)

lunes miércoles jueves domingo sábado

T y una manera de 1cm y 2cm. ¾De cuántas maneras

18. La gura muestra un polígono en forma de dividirlo en rectángulos de lados

distintas, incluyendo la de la gura, es posible hacer divisiones de este estilo?

a) 7 b) 9 c ) 11 d ) 13 e ) 15 19. Se escriben los números naturales sin espacio de la siguiente manera

1234567891011121314 . . . . ¾Cuál es el dígito 2010 de esta sucesión?

a) 0 12

b) c) d) e)

2 4 6 8

20. ¾Cuál es la medida del ángulo

ABC

en la siguiente gura?

a ) 110◦

C b

b ) 120◦

20

D

c ) 125◦

b

d ) 135◦

a

e ) 140◦

A

70

13

a

B

1.1.2.

Intermedia

1. Catorce estudiantes en una clase estudian español y ocho estudian francés. Sabemos que tres estudian ambos lenguajes. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase si cada uno de ellos estudia al menos un lenguaje?

a ) 16 b ) 18 c ) 19 d ) 20 e ) 22 2. Katya y sus amigos están parados formando un círculo. Resulta que los dos vecinos de cada integrante del círculo son siempre del mismo género. Si hay 5 hombres en el círculo, ¾cuántas mujeres habrá?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Si el perímetro de un triángulo es 100, ¾cuál es el valor mínimo que puede tener su área?

a)

0.1

b) 1 c ) 10 d ) 100 e)

ninguna de las anteriores

14

P es el centro del rectángulo ABCD. Si P a AB es el doble de la distancia de P a BC y de ABCD es 120cm, encontrar el área de ABCD .

4. En la gura de abajo, distancia de perímetro

la el

a ) 200cm2

A

b ) 400cm2

D P

c ) 600cm2 d ) 800cm2

C

B

e ) 1000cm2

5. En un tablero de ajedrez, una torre sale de una esquina y vuelve a esa esquina despues de

n

movidas (la torre se mueve horizontal o

verticalmente cualquier número de casillas). ¾Cuál de los siguientes valores de

a) b) c) d) e)

n

no es posible?

16 18 22 23 ninguna de las anteriores

6. ¾Cuántos números de cuatro dígitos satisfacen la condición de ser

3, 4 y 5 cuyo primer dígito es el doble del tercer dígito segundo dígito siempre es 6?

múltiplos de y el

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4

7. ¾A qué potencia se debe elevar el número 8 número 27 ?

15

96

para obtener el

a) b) c) d) e)

2 3 4 5 6

8. En cierto experimento de ciencias tengo algunos conejos y algunas cajas. Si coloco de a

5

conejos por caja al nal me sobran

conejos. Si los ubico de a

8

por caja me sobran

3

15

cajas. ¾Cuántas

cajas tengo?

a) b) c) d) e)

5 7 10 13 20

9. La gura muestra un cuadrado de lado

12cm,

dividido en tres

rectángulos del mismo perímetro. ¾Cuál es el área del rectángulo sombreado?

a ) 36cm2 b ) 40cm2 c ) 48cm2 d ) 54cm2 e ) 72cm2 10. Un número par tiene

10

dígitos y la suma de sus dígitos es

¾Cuál es el dígito de las unidades de ese número?

a) 0 b) 2 c) 4 16

89.

d) 6 e) 8 11. ¾Cuál es el número de cuadritos negros en la gura que deben ser pintados de blanco para que cada la y cada columna tenga exactamente un cuadrito negro?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)

no se puede

12. María dibujó

5

puntos en una hoja de papel y después dibujó

segmentos de línea entre los puntos. Ella tuvo que dibujar mentos. Pedro hará lo mismo, pero él dibujó

12

10

seg-

puntos. ¾Cuántos

segmentos deberá dibujar Pedro?

a ) 12 b ) 55 c ) 60 d ) 66 e ) 78 13. ¾Cuántas veces hay que escribir el dígito de un libro que tiene

2010

páginas?

a ) 612 b ) 610 c ) 591 d ) 572 e)

ninguna de las anteriores

17

2 para marcar las páginas

14. Decimos que un número es

impa

si todos sus dígitos son impares.

¾Cuántos números impas de cuatro dígitos hay?

a) b) c) d) e)

5+5+5+5 54 5×4×3×2 45 ninguna de las anteriores

15. En el cuadrado se deben ubicar los números del

1

al

16

de tal

forma que la suma de ellos en cada la y en cada columna sea siempre la misma. ¾ Cuánto vale esa suma?

a ) 16 b ) 28 c ) 34 d ) 36 e)

ninguna de las anteriores

16. Considere el siguiente diagrama, compuesto por 9 puntos:

··· ··· ··· Si queremos pasar por los 9 puntos con una curva continua (que no se rompe) compuesta por varios segmentos rectilíneos, ¾cuál es el número mínimo de segmentos rectilíneos necesarios para lograrlo?

a) 2 b) 3 c) 4 18

d) 5 e) 6 17. El lado

AC

de un triángulo

ABC

tiene longitud 3.8 y el lado

tiene longitud 0.6. Si la longitud de

BC

AB

es un entero, ¾cuál es su

longitud?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. ¾Cuál es el último dígito de

22010 + 32010 + 52010 + 72010 ?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2 19. ¾Cuántas soluciones (x, y) con 2 2 ecuación x − y = 303?

x

y

y

números enteros tiene la

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)

ninguna de las anteriores

20. Diez monedas se acomodan en forma de triángulo equilátero con cuatro en la base, tres encima de esas, dos encima de las tres y una arriba. ¾Cuál es el número mínimo de monedas que hay que

19

remover para que ningunas tres de las restantes tengan sus centros en los vĂŠrtices de un triĂĄngulo equilĂĄtero?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

20

1.1.3.

Superior

1. Si una jarra sirve un total de 1.5 vasos de jugo y cada china llena

1/5

de la jarra. ¾Cuántas chinas se necesitan para servir

12

vasos

de jugo exactamente?

a) b) c) d) e)

18 19 20 40 80

2. Tenemos un cubo como el de la gura, al que le sacamos las las y las columnas que se muestran. Si el cubo lo metemos en un pote de pintura verde y después lo dividimos en cubitos de

1 × 1 × 1.

¾Cuántos de estos cubitos tienen cuatro caras pintadas?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 3. Juan se inventó una operación matemática con números enteros

∗. Funciona de la siguiente manera: a ∗ b = (a + 1) × (b − 1). Por ejemplo 3 ∗ 5 = (3 + 1) × (5 − 1) = 16. ¾Si a y b son enteros positivos tales que a ∗ b = 24 y b ∗ a = 30, cuánto vale a + b? para la cual usó el símbolo

a) b) c) d) e)

11 12 13 17 31 21

4. La gura muestra cinco triángulos equiláteros. ¾A qué fracción del área de la gura corresponde el área sombreada?

a ) 1/3 b ) 2/5 c ) 1/2 d ) 3/5 e ) 5/8 5. Con exactamente dos segmentos de recta podemos hacer guras diferentes uniendo los vértices de un pentágono. A continuación mostramos cinco de esas guras:

Incluyendo estas cinco, ¾cuántas guras diferentes se pueden hacer de este modo?

a) b) c) d) e) 6. Hace

20 30 35 40 45 18

años se casaron Juan y María. Para ese entonces la edad

de Juan era el triple de la de María. Ahora la edad de Juan es el doble de la de María. ¾A qué edad se casó María?

a ) 17 b ) 18 c ) 20 22

d ) 21 e ) 25 7. Un saco tiene canicas de tres colores diferentes. ¾Cuál es el número mínimo de canicas que hay que sacar para estar seguros que tendremos al menos 3 canicas del mismo color?

a) b) c) d) e)

3 6 7 9 ninguna de las anteriores

8. Igor pide que le cambien un billete de 25 rublos. Le entregan cambio exacto usando 10 billetes de 1, 3 y 5 rublos. ¾Cuántos billetes de 1 rublo le entregaron?

a) b) c) d) e)

4 5 6 7 ninguna de las anteriores

9. Tiramos un dado tres veces. ¾De cuántas formas distintas puede uno tirarlo de tal forma que la suma de las tres tiradas sea 10?

a) b) c) d) e)

15 20 25 27 30

10. ¾Cuántos números entre

1

y

100,

sin incluir el

1

y ni el

100,

satis-

facen que la suma de los cuadrados de sus dígitos divide al número?

23

a) b) c) d) e)

1 3 5 7 10

11. Si el radio de un círculo inscrito en un triángulo equilátero es

2.

¾Cuánto mide el radio del círculo circunscrito?

a) b) c) d) e)

2 3 4 6 8

12. La carretera que conecta dos pueblos va sólo de subida o de bajada. Un autobús viaja siempre a 15km/h de subida y a 30km/h de bajada. Encuentre la distancia entre los pueblos si toma exactamente 4 horas hacer un viaje de ida y vuelta.

a) b) c) d) e)

40km 50km 60km 70km 80km

13. Dos equipos compiten en un decatlón. En cada evento, el equipo ganador recibe 4 puntos y el perdedor 1 punto, y cada equipo recibe 2 puntos si empatan. Después de 10 eventos ambos equipos tienen 46 puntos en total. ¾Cuántos empates hubo?

a) 1 b) 2 c) 3 24

d) 4 e ) ninguna de las anteriores 14. Calculamos la suma de los dígitos del número

19100 . Luego encon-

tramos la suma de los dígitos del resultado y así sucesivamente hasta encontrar un solo dígito. ¾Qué dígito es ese?

a) b) c) d) e)

1 4 5 7 9

15. En una clase cada niño es amigo de exactamente 3 niñas, y cada niña es amiga de exactamente 2 niños. Se sabe que hay exactamente 19 mesas. Cada una acomoda a lo más dos estudiantes.

Sabemos también que 31 estudiantes estudian francés. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase?

a) b) c) d) e)

31 33 35 38 ninguna de las anteriores

mu n y todas las sandwich, gastarán un centavo menos que si compran un sandwich y todas las niñas compran

16. Si todos los niños en una clase compran un niñas compran un todos los niños un

mu n. Sabemos que en la clase hay mas niños que niñas. ¾Cuál

es la diferencia entre el número de niños y el número de niñas en la clase?

a) 1 b) 2 25

c) 3 d) 4 e ) ninguna de las anteriores 17. ¾Cuál es la suma de los ángulos internos de las puntas de una estrella de 5 puntas?

a) b) c) d) e)

150◦ 180◦ 210◦ 240◦ ninguna de las anteriores

18. Listas de problemas para las olimpiadas se redactan por un comité para los grados 6-11, de tal forma que cada lista tiene 8 problemas y hay exactamente 3 preguntas en cada cuestionario que no se usan en los cuestionarios de otros grados. ¾Cuál es el máximo número posible de preguntas redactadas por el comité?

a) b) c) d) e)

23 28 33 48 ninguna de las anteriores

19. ¾Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación

0?

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 ninguna de las anteriores

26

x4 +x3 +x2 +x−4 =

ABCD está dado. Un círculo con radio AB y centro A se dibuja. El círculo intersecta el bisector perpendicular de BC en dos puntos, de los cuales O es el más cercano a C . Encuentre el valor de ángulo AOC .

20. El cuadrado en

a) b) c) d) e)

◦ 120 ◦ 135 ◦ 145 ◦ 150 ninguna de las anteriores

27

1.2.

Segunda Fase

1.2.1.

Elemental

1. Juan dibujó unos muñecos siguiendo un patrón:

¾Cuál muñeco va en la posición 2010?

a.

d.

b.

e.

c.

2. Susana estaba sentada en el teatro. Su la era la quinta desde el frente y la séptima desde atrás. Cada la tenía 9 sillas. ¾Cuántas sillas tenía el teatro?

a. 81

d. 108

b. 90

e. Niguna de las anteriores

c. 99

3. María construyó una caja

1 × 1 × 1.

4×3×3

usando cubitos de tamaño

Ella se fue a jugar y cuando regresó encontró que su

hermano menor Luis tomó algunos cubitos y le dejó la siguiente estructura que se ve en la gura. ¾Cuántos cubitos tomó Luis?

a. 6

d. 12

b. 8

e. 18

c. 10

28

4. El número más pequeño de dígitos que debe ser borrado del número 12323314 para obtener un número que se lee idénticamente igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda es:

a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

5. Juan iba a calcular la suma de los números 67 y 47. Sin embargo por accidente calculó la resta. ¾Cuál es la diferencia entre el cálculo de Juan y la respuesta correcta?

a. 20

d. 94

b. 44

e. 114

c. 74

6. Para escribir los números del 1 al 100 el dígito 9 debe usarse:

a. 2 veces

d. 20 veces

b. 8 veces

e. 21 veces

c. 19 veces

7. El ancho de un rectángulo mide 12 cm mientras que el largo es tres veces el ancho. ¾Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo 1 perímetro es del perímetro del rectángulo?

3

a. 12 cm

c. 8 cm

b. 10 cm

d. 6 cm

29

e. 4 cm

8. En una esta tres amigos se van a repartir regalos de tal manera que cada uno da un regalo (no a sí mismo) y recibe un regalo. ¾De cuántas maneras es posible hacer esto?

a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

9. Andrés compró 9 bolígrafos y 8 lápices. Un bolígrafo es el doble de caro que un lápiz. ¾Cuántos lápices hubiera podido comprar Andrés con todo el dinero?

a. 17

d. 26

b. 18

e. 27

c. 25

10. En la gura se muestra una cuadrícula

3 × 3. Se quieren sombrear

cuatro de los cuadraditos de tal manera que dos de los cuadraditos sombreados no tengan un lado en común. Se muestra en la gura un ejemplo. ¾De cuántas formas posibles, incluyendo la que se da en el ejemplo, se puede hacer esto?

a. 3

d. 6

b. 4

e. Ninguna de las anteriores

c. 5

30

11. El producto de tres números es 140. El producto del primero y el segundo es 28 y la suma del primero y el tercero es 7. ¾Cuánto es la suma de los tres números?

12. Ana representó el número 11 como la suma de números naturales diferentes (ejemplo:

11 = 1 + 3 + 7)

de todas las formas posibles

y escogió una suma con el mayor número de términos. ¾Cuál es el mayor término (número) en esa suma que escogió Ana?

4ABC de la gura es isóceles 160◦ . ¾Cuánto mide ∠BAC ?

13. El

con

AB = AC

y

∠DCA

mide

A 160 B

14. Se quiere cubrir el tablero

C

3×3

D

de la gura con chas

y/o

. ¾De cuántas formas se puede hacer sin sobreponerlas y sin que salgan del tablero? (No es requisito usar de los dos tipos de chas).

15. Alex, Benjamín, Carlos, Daniel y Ernesto trataban de adivinar una fecha:

31

Alex decía que la fecha era: sábado 4 de marzo.

Benjamín decía que la fecha era: domingo 4 de marzo.

Carlos decía que la fecha era: domingo 5 de abril.

Daniel decía que la fecha era: sábado 5 de abril.

Ernesto decía que la fecha era: sábado 5 de marzo.

Cada uno de ellos estaba correcto en por lo menos un dato (día de la semana, mes o número), pero sólo uno de ellos sabía la fecha exacta ¾Quién era?

32

1.2.2.

Intermedia

1. La suma de tres enteros positivos es 6. ¾Cuál es el valor mínimo que puede tomar la suma de los cuadrados de estos tres enteros?

a. 6

d. 12

b. 10

e. 14

c. 11

2. Dos vértices de un triángulo

ABC

son los puntos medios de los

lados de un rectángulo, como se muestra en la gura. Si el área 2 del rectángulo es 1 cm , ¾cuál es el área del triángulo?

A

C

B

1 2 cm 3 1 2 b. cm 4 1 2 c. cm 8

d.

a.

3 2 cm 8

e. No se puede determinar

3. Las manzanas cuestan $1, las peras $2 y los mangós $3. Si tenemos $7, ¾de cuántas formas distintas podemos gastarlos sin comprar necesariamente de todas las frutas?

a. 6

d. 16

b. 8

e. Ninguna de las anteriores

c. 12

4. El ancho de un rectángulo mide 12 cm , mientras que el largo es 3 veces el ancho ¾Cuál es el área de un cuadrado cuyo perímetro

33

es

1 del perímetro del rectángulo?

3

a.

49

cm

2

d.

100

cm

2

b.

64

cm

2

e.

121

cm

2

c.

81

cm

2

5. El reloj de la gura tiene un solo palito y funciona de manera diferente: cada minuto salta 5 números. Comienza a las 12, un minuto después salta a las 5 y después de 2 minutos salta al 10 y así sucesivamente. ¾Cuánto tiempo le tomará al palito llegar nuevamente al número 12?

12

12 11

9

3

8

4 7

11

1 2

10

2

10

12

11

1

9

3

8 7

5

5 6

0 minutos

3

8

4 7

5 6

1 minuto

a. Nunca

2

9

4

6

1

10

2 minutos

e. 12 min

b. 4 min c. 6 min d. 8 min

6. En un tablero

4 × 4 hay que colocar cuatro chas de acuerdo a las

siguientes reglas:

→

Una cha en cada la.

→

Una cha en cada columna.

→

Si un cuadrito tiene una cha, entonces no se puede colocar una cha en el cuadrito que es vecino diagonalmente.

¾De cuántas formas distintas se puede hacer esto?

34

a. 0

d. 4

b. 1

e. 24

c. 2

7. Los cuadrados perfectos son

1, 4, 9, 16, 25, . . .

Considere la lista de

números consecutivos

1, 2, 3, 4, . . . , 9998, 9999, 10000. ¾Qué porcentaje de estos números son cuadrados perfectos?

a.

1%

d.

15 %

b.

1.5 %

e.

20 %

c.

10 %

8. Con la información que se muestra en el dibujo hallar el valor de

α.

α

3α

a. b. c.

25◦ 30◦ 36◦

d.

e. No

a

hay

su ciente

informa-

ción

O es el centro del círculo y el área sombreada equivale 3. ¾Cuál es el área del triángulo ABC ?

9. En la gura,

√

60◦

35

a.

√ 2 3

b. 2 c. 5

A

d. 4 e.

√ 4 3

10. ¾Cuántos dígitos tiene el número

a. Menos de 100

B O

C

21000 ? d. Entre 301 y 400

b. Entre 101 y 200

e. Más de 400

c. Entre 201 y 300

11. Se muestra una cuadrícula

3 × 3.

Se quieren colorear tres cuadri-

tos de tal manera que los cuadritos coloreados no compartan un lado. En el dibujo se muestra una posible forma. ¾Cuántas formas posibles hay de hacer esto, incluyendo la del ejemplo que se da?

12. Un palíndromo es un número que queda igual cuando los dígitos se escriben en orden contrario. Por ejemplo, 1331 y 21312 son palíndromos. Un carro marcaba 15951 millas en su odómetro. ¾Cuál es el número de millas que debe recorrer el carro para que aparezca el siguiente palíndromo?

13. ¾Cuántos pares ordenados

(x, y),

siendo

x

la siguiente ecuación:

xy − x − 15 = 0?

36

y

y

enteros, satisfacen

14. Si el radio del círculo más grande es 4 y cada círculo tangente 1 interior tiene radio del anterior, ¾cuánto vale el área sombreada?

4

15. ¾Cuántos triángulos hay en la estrella de la gura?

37

1.2.3.

Superior

1. Pedro nació cuando su hermana Doris tenía 5 años de edad. Ahora Doris tiene el doble de la edad de Pedro. ¾Qué edad tiene Pedro?

a. 2 años

d. 5 años

b. 3 años

e. 6 años

c. 4 años

2. Las manzanas cuestan $1, las peras $2 y los mangós $3. Si tenemos $15, ¾de cuántas formas distintas podemos gastarlos todos sin comprar necesariamente de todas las frutas?

a. 21

d. 27

b. 24

e. 28

c. 26

3. La longitud de gulo

ABD

AB + BC + CD

es 22 cm. El perímetro del trián-

es 23.75 cm ¾Cuánto más largo es el segmento

el segmento

CD? D

a. 1.25 cm

y

b. 1.5 cm c. 1.75 cm

A

x

y x

d. 2 cm e. 2.25 cm

B

38

C

AD

que

4. Cuatro niños se dividieron un bizcocho de manera equitativa. Justamente antes de comenzar a comer, un quinto niño se les unió. ¾Qué porcentaje de su pedazo le tiene que dar cada niño al quinto niño para que todos terminen comiendo lo mismo?

a. 5 %

d. 20 %

b. 10 %

e. 25 %

c. 12.5 %

5. Con la información del dibujo, ¾cuál es el área del paralelogramo?

5cm 2

a. b. c.

10cm2 15cm2 20cm2

d.

25cm2

e. No

hay

su ciente

informa-

ción

6. Dos círculos de radio 5 cm se cortan en los puntos

P

y

Q,

los

cuales están 6 cm aparte. ¾Qué distancia hay entre los centros de los círculos?

P

Q

a. 4

d. 8

b. 5

e. Ninguna de las anteriores

c. 6 39

7. Hay tres dormitorios en una casa: uno sencillo, otro doble y un tercero triple. ¾De cuántas formas distintas puede uno asignar habitaciones a 6 invitados?

a.

6!

d.

66

b. 60 c. 300

e. Ninguna de las anteriores

8. ¾Cuál es el número máximo de enteros que se pueden elegir, tales que con certeza, la suma o diferencia entre dos de ellos no es divisible entre 11?

a. 3

d. 6

b. 4

e. 7

c. 5

9. En la gura, la cuadrícula representa posibles caminos entre y

B.

La conexión más corta desde

A

hasta

B

mide 8 unidades.

¾Cuántas conexiones diferentes de 8 unidades existen desde ta

A has-

B?

A

B

a. 80

d. 8

b. 70 c. 36

e. Ninguna de las anteriores

40

A

10. ¾Cuál es el número máximo de cuadros en un tablero de ajedrez (es decir, un tablero

8 × 8)

que se puede colorear de verde, de tal

forma que en cualquier triominó, como el que se muestra en la gura, al menos un cuadrado no es verde?

a. 12

d. 36 e. Ninguna

b. 24

de

las

anteriores

c. 32

11. En el siguiente número

1234567891011121314 . . . 979899100, ¾cuántas veces ocurre que dígitos consecutivos corresponden a un cuadrado perfecto de dos dígitos?

12. Una lata de refresco está apoyada sobre un muro como lo muestra

2cm

el siguiente dibujo:

10

cm

8cm

¾A qué distancia está el punto más alto de la lata desde el piso?

2 13. El área del triángulo sombreado mide 1cm . entre medio

A

B

es el punto medio

F . C es el punto medio entre B y F . D es entre C y F . E es el punto medio entre D y F . y

41

el punto Hallar el

área del triángulo

AGF .

F 1/16 1/8

E D C

1/4

B

1/2

A

G

14. ¾Cuál es el valor mínimo que puede tener la expresión

2)(x − 3)

si

x

x(x−1)(x−

es cualquier número real?

15. Un triángulo de área 1 tiene lados el valor mínimo que puede tomar

42

a, b y c b?

con

a ≥ b ≥ c.

¾Cuál es

1.3.

Tercera Fase

1.3.1.

Elemental

1. ¾Cuál es la suma de todos los números de 3 dígitos que se pueden formar con los dígitos del número 2011?

2. Cinco niños tienen

4

cartas cada uno. Los niños pueden mover

sus cartas en cualquier orden para formar números de

4

dígitos.

¾Quién de ellos puede formar el número más grande?

Juan

Mariana

3

5

8

1

3

Pedro

4

7

3

7

8

4

Oscar

4

8

7

1

2

8

6

7

Luis 3

3. La gura esta hecha de un rectángulo, dos cuadrados y un triángulo equilátero. Asumiendo que los lados de los cuadrados miden

2 cm

y

4 cm

respectivamente, halla el perímetro de la gura.

4. Considera las siguientes echas y números.

1

5 2

3

6

4

...

7 8

43

9

10

Si se continua con el mismo patrón, ¾cómo sería el arreglo de echas desde el

2011

al

2014?

5. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquier longitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadro A y salta de cuadro en cuadro recorriendo todos los espacios en el tablero una sola vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacerlo?

A 6. Cada letra es equivalente a un dígito, a cada letra distinta se le asigna un número distinto y la palabra no puede empezar con

0.

Encuentra la equivalencia de la palabra ODIO en números.

AMOR + AMOR AMOR ODIO 7. ¾Cuántos triángulos se pueden formar que tengan como vértices los vértices de un hexágono regular?

8. Para escribir todos los enteros del

1

a

1000,

¾cuántos ceros se

necesitan?

9. El triángulo

∠

ADC

=

ABD de la gura es isósceles con AB 150◦ , ¾cuánto mide el ∠ BAD?

A

150 B

D 44

O

C

=

AD. Si el

10. De cuántas formas se pueden colorear

3 cuadritos de la cuadrícula

de modo que en cada la y en cada columna haya un único cuadrito coloreado.

45

1.3.2.

Intermedia

1. ¾Cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices en los puntos del dibujo?

1, 2, 3, ó 4 número 2011?

2. ¾Cuál es la suma de todos los números de podemos construir con los dígitos del

dígitos que

3. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquier longitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadro A y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando en cada cuadro sólo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacerlo?

A 4. ¾Qué número es mayor,

100100

5050 · 15050 ?

ó

5. ¾Cuántos dígitos tiene el número

Explica.

12345678910111213 . . . 200920102011?

6. ¾Cuántos enteros positivos tienen exactamente

5 divisores enteros

positivos?

7. Tenemos dos grupos de

7

piedras cada uno. Dos jugadores toman

turnos sacando un máximo de

4

piedras de sólo uno de los gru-

pos en cada turno. El jugador que se lleva la última piedra gana. ¾Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Explica.

8. Si 2

y

x, y

son enteros, halla las soluciones de la ecuación

.

46

x2 = 2011 +

9. Dados los tres triángulos equiláteros como los que se muestran en la gura (las longitudes de sus lados se muestra en la gura), ¾cuál es la medida de la altura de la torre formada por los tres triángulos?

1

3/2

9/4

10. Demuestra que

√ 1+x≥2 x

si

47

x ≥ 0.

1.3.3.

Superior

x2 − 7y = 10.

1. Encuentra todas las soluciones enteras de

2. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquier longitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadro A y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando en cada cuadro sólo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacerlo?

A 3. En la siguiente gura, encuentra el área de la región sombreada

r=1

cm

con las medidas dadas.

4. ¾Cuántos años desde el

4 cm

2011 hasta el 2100 cumplen con la propiedad

que la suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto?

5. Para escribir todos los enteros del

1

a

1, 000, 000,

¾cuántos ceros

se necesitan?

6. Un cuadrado es cortado en cuales

24

25

cuadrados más pequeños, de los

son cuadrados de lado

1 cm.

Determina los posibles

valores para el área del cuadrado original.

48

7. El último dígito (unidades) del cuadrado de un número es

6.

De-

muestra que el penúltimo dígito (decenas) es impar.

8. Tres pirámides con base cuadrada y todas sus aristas iguales se sobreponen como muestra la gura. ¾Cuál es la medida de la altura de la torre formada por las tres pirámides (las longitudes de las aristas se muestran en la gura)?

1 cm

2 cm

4 cm

9. Dos jugadores toman turnos poniendo pesetas en una mesa redonda, sin apilar monedas una encima de otra. El jugador que no pueda poner una peseta más pierde. ¾Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Explica.

10. Demuestra que

x2 +

2 x

≥3

si

x > 0.

49

1.4.

Examen de selección

1. El producto de 22 enteros es 1. Demuestre que su suma no puede ser 0.

2. ¾Cuántos números de 6 dígitos tienen al menos un dígito par?

p2 − 1

es divisible entre 24 si p es un primo 2 2 mayor que 3. (b) Demuestre que p − q es divisible entre 24 si p

3. (a) Demuestre que y

q

son primos mayores que 3.

4. Dados 11 números naturales menores que 21, demuestre que se pueden elegir dos tal que uno divide al otro.

5. El punto

A,

que está dentro de un ángulo agudo, se re eja con

C. puntos D y

respecto a ambos lados del ángulo para obtener los puntos El segmento

E

BC

intersecta los lados del ángulo en los

respectivamente. Demuestre que

B

y

BC/2 > DE .

6. Dos niños se turnan en romper una barra de chocolate que es de

5 × 10

cuadraditos. Sólo pueden romper la barra usando las

divisiones entre los cuadraditos. El jugador que primero rompa un cuadrito individual gana. ¾Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador?

7. Demuestre que para cualquier número natural (n + 2)3 es divisible por 9.

50

n, n3 + (n + 1)3 +

2.

Soluciones

2.1.

Primera Fase

2.1.1.

Elemental

1. Las caras se repiten de cada un cociente de residuo es respuesta

670

3.

Al dividir

2010

entre

3

obtenemos

y lo más importante en este ejercicio es que el

0. Así que obtenemos b es la correcta.

la tercera cara en la lista

. La

10 setas, ella tendrá 32 y la nieta 26. Si le da 11 31 y la nieta 27. Si le da 12 setas, ella tendrá 30 y al nieta 28. Si le da 13 setas, ella tendrá 29 y la nieta 29. Por lo tanto la respuesta es 13 setas. Alternamente, sea x el número de

2. Si la abuela le da setas, ella tendrá

setas que la abuela le dará a la nieta. Entonces para que tengan la misma cantidad las que le restemos a las de la abuela le serán añadidas a la nieta:

42 − x = 16 + x 26 = 2x 13 = x La respuesta

b

es la correcta.

3. Como de día sube

5

y de noche resbala

cada noche el gusano ha subido

altura alcanzada

1

2cm 4cm . . .

70cm 72cm

35 36

78cm)

37

entonces al nalizar

2cm.

día 2 . . .

Por lo tanto, el día

3,

durante el día alcanzó el tope del palo (los

antes de resbalar esa noche. La respuesta

51

e

es la correcta.

4. Si contamos los cuadrados que están completamente rellenos ob-

12. En las cuatro esquinas obtenemos medios cuadrados y tenemos 2 de estos en cada esquina. Por lo tanto, si los juntamos 2 tenemos 4 cuadrados adicionales obteniendo un área de 16cm . La respuesta c es la correcta. tenemos

5. Como los triángulos tienen los tres lados iguales, el lado del cuadrado es igual al lado del triángulo. El perímetro es

7 segmentos que miden lo 2cm. Por lo tanto, el área del de

Alternamente, sea

a

14cm y está hecho

mismo. Luego cada segmento mide 2 cuadrado es 2 = 4cm.

el largo del lado del triángulo, que es igual

al largo del lado del cuadrado. Entonces cada triángulo posee dos lados que están en el perímetro de la gura y el cuadrado posee uno. Por lo tanto

3 · 2a + a = 14cm 7a = 14cm a = 2cm El área del cuadrado es

A = a2 = 22 = 4cm2 .

La respuesta

b

es la

correcta.

3 a, b y c

6. Como en cada vértice tenemos colores. Supongamos que

aristas, necesitamos al menos

3

son los tres colores que usamos,

la siguiente gura muestra como colorearlo.

c b

b

c a

a a

a c b

b c

Por lo tanto,

3 colores son su cientes. La repuesta b es la correcta.

52

7, 8, 9 entonces sumarían 24.

8, 9, 10, sumarían 27. Si fueran 9, 10, 11 sumarían 30. Si fueran 10, 11, 12 entonces sumarían 33. Por lo tanto los números son 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Luego los tres más grandes suman

7. Si los números fueran por ejemplo Si fueran

14 + 15 + 16 = 45 Alternamente, sean

a, a + 1

y

a+2

los menores tres números

consecutivos. Luego

(a) + (a + 1) + (a + 2) = 33 3a + 3 = 33 3a = 30 a = 10 Entonces los números son

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

y así, la suma

de los tres mayores es

14 + 15 + 16 = 45 La respuesta

d

es la correcta.

8. Primero consideremos la cantidad de pizzas de solamente queso que podemos tener. Sólo cambiaría el tamaño: pequeña, mediana o grande:

3.

Ahora consideremos tener un solo ingrediente. Por

cada ingrediente obtenemos son

4

3

más, de acuerdo al tamaño. Como

ingredientes distintos, de un solo ingrediente obtenemos

12

pizzas distintas. Si tenemos 2 ingredientes obtenemos nuevamente

3

de acuerdo al tamaño y como tenemos que escoger de

dientes

4

ingre-

2, obtenemos peperoni y jamón, peperoni y setas, peperoni

y aceitunas, jamón y setas, jamón y aceitunas y seta y aceitunas.

Por lo tanto de

2

ingredientes obtenemos

18

pizzas distintas. Por

lo tanto la cantidad total de pizzas distintas es

3 + 12 + 18 = 33 La respuesta

e

es la correcta.

53

9. Para que la suma de dos números sea impar necesitamos que su paridad sea distinta, es decir, si uno de los cuadrados tiene un número par entonces necesitamos que el otro sea impar. Por ejemplo, si uno de los cuadrados no contiene puntos, es decir

0 puntos,

entonces para obtener una suma impar necesitamos que el otro

1, 3 o 5 puntos, así que para cada número par, 0, 2, 4 o 6, obtenemos 3 piezas que al sumar la cantidad de puntos de sus cuadros es impar. Por lo tanto, el total es 4 · 3 = 12. Note que las impares ya las hemos contado. La respuesta c es la correcta. cuadrado posea

10. El número más grande será uno de los que más dígitos contenga y entre todos estos el más grande será el que tenga dígitos más grandes. Como el uno sólo requiere dos palillos entonces necesitamos un número con muchos unos. Seis unos no es posible por que sólo nos quedaría un palillo y no podemos hacer ningún dígito con un palillo. De igual forma, cinco unos no es posible pues no hay ningún dígito que se pueda hacer con posible y sobrarían

5

3

palillos. Cuatro unos sí es

palillos. Como con

5

palillos no se pueden

construir dos dígitos, entonces hacemos un dígito que sea el más

5. Por lo tanto, los dígitos del número pudo haber escrito son 1, 1, 1, 1 y 5. La

grande posible, el cual es el más grande que César

suma de estos dígitos es

1+1+1+1+5=9 La respuesta

b

es la correcta.

11. Utilizemos letras para nombrar cada uno de los amigos noche

guardias

1

A & B

2

A & C

3

A & D

4

B & C

5

B & D

6

C & D

Notemos que sólo necesitamos las letras de la eran

4

amigos. La respuesta

b

es la correcta.

54

A

a la

D,

así que

12. Dividamos cada uno de los hexágonos regulares en triángulos equiláteros

Obtenemos

22 triángulos equiláteros. Como el área total es 154cm2

y hay 22 triángulos de igual área, entonces el área de cada triángulo 154 es cm2 . Lo que queremos es encontrar el área de 4 de estos 22 triánguos, es decir

4· La respuesta

c

154 = 28cm2 22

es la correcta.

13. El reloj cambiará su primer dígito cuando llegue a

10, 20

y

00:

09 : 59 : 59 → 10 : 00 : 00 19 : 59 : 59 → 20 : 00 : 00 23 : 59 : 59 → 00 : 00 : 00 Y estas son las únicas horas a las que cambian todos los dígitos.

La respuesta

b

es la correcta.

14. En la siguiente tabla observamos las potencias de

2

distribuidas

en cuatro columnas 2

4

8

16

32

64

128

256

···

···

···

···

Estas repiten su último dígito cada

4

números.

2010 = 502 · 4 + 2 2010 al ser dividido por 4 es 2, el número 2| × 2 × · · · × 2 cae en la segunda columna y por lo tanto su último {z }

Como el residuo de

2010 veces dígito es 4. La respuesta

b

es la correcta.

55

15. La última página arrancada debe ser par y como tiene los mismos dígitos que la primera pero en orden distinto, la última página es la

318. La página que se encuentra en la parte frontal de esa hoja 317. Por lo tanto removiendo hoja por hoja vamos quitando

es la

las siguientes páginas

páginas removidas 183-184 185-186 187-188 . . .

315-316 317-318

Necesitamos contar cuantas las hay en la tabla anterior. Para hacer esto podemos por ejemplo contar cuantos términos tiene la lista

184, 186, 188, · · · , 318.

Dividiendo por

2

cada número

obtenemos una lista que tiene la misma cantidad de términos:

92,

93, · · · , 159. Si le restamos a cada número 91 obtenemos una lista que tiene la misma cantiad de términos: 1, 2, · · · , 68. Por lo tanto la tabla anterior tiene 68 las. La respuesta a es la correcta.

12 libras de clavos en cada plato. Descartamos 12 libras y con las 12 restantes, medimos 6 libras de clavos en cada plato. Guardamos 6 libras. Ahora, con las 6 restantes medimos 3 en cada plato. Juntamos 3 de estas con las 6 que guardamos en la medición anterior y tenemos las 9 libras de clavos que queremos.

16. Primero medimos

En total, necesitamos sólo tres mediciones. Con sólo una medición o dos mediciones no es posible. La respuesta 17. El mes de enero tiene martes tendría dría

5

5

31

es la correcta.

días. Si el mes comenzara antes del

lunes y si comenzara después del martes ten-

viernes. Por lo tanto, el mes comenzó en martes. El primer

martes del mes fue el día

8,

c

1,

el segundo martes del mes fue el día

el tercer martes del mes fue el día

fue el día

22.

Así que el día

20

correcta.

56

15,

el cuarto martes del mes

fue domingo. La respuesta

d

es la

18. Primero consideremos el polígono subdividido en 3 regiones

1

2

3

Cada región es de

2×2

Podemos cubrir cada una de ellas con

bloques verticales u horizontales. Por ejemplo, el que se ilustra en el enunciado es el horizontal (h), vertical (v), vertical (v). A continuación mostramos el cubrir las tres regiones de forma vertical (v), vertical (v), vertical (v):

1

2

3

Ahora podemos pensar en todas las formas de llenar cada una de las regiones con bloques todos verticales o todos horizontales.

vvv

hhh

vvh

hhv

vhv

hvh

hvv

vhh

Ahora consideramos las formas de dividirlo en rectángulos intercalando regiones.

57

Estas son todas las posibles divisiones. En total tenemos La respuesta

c

8+3 = 11.

es la correcta.

19. Utilizemos la siguiente tabla para hacer nuestro conteo.

números

cantidad

1-9

9

10-99

90

100-199

100

200-699

500

cantidad total de dígitos

9×1=9 90 × 2 = 180 100 × 3 = 300 500 × 3 = 1500

Así que hasta ahora tenemos un total de

9 + 180 + 300 + 1500 = 1989

dígitos

2010 − 1989 = 21 dígitos más. Cada número tiene 3 dígitos en el rango de 700 − 799. Al dividir 21 entre 3 obtenemos 7 y residuo 0. Luego el dígito 2010 de la sucesión es el último dígito del 7-mo número después del 699. Ese es el número 706 cuyo último dígito es el 6. La respuesta d es la correcta.

Así que necesitamos

BD, obtenemos 2 triángulos. El triánBCD. Sean los ángulos 1, 2, 3 y 4 como

20. Si dibujamos el segmento gulo

ABD

y el triángulo

indica la gura.

58

C b

20

D 1 2

b

a 3

70 A

4

a

B

Como la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es

360◦ ,

entonces

]1 + ]2 + ]3 + ]4 + 70◦ + 20◦ = 360◦ luego

]1 + ]2 + ]3 + ]4 + 90◦ = 360◦ ]1 + ]2 + ]3 + ]4 = 270◦

Como el lado

DC

y el lado

BC

miden lo mismo,

]1 = ]3 De igual manera como el lado

AB

y el lado

BC

miden lo mismo,

]2 = ]4 Combinando esta información obtenemos

]1 + ]2 + ]3 + ]4 = 270◦ ]3 + ]4 + ]3 + ]4 = 270◦ 2 · (]3 + ]4) = 270◦ ]3 + ]4 = 135◦ ABC es precisamente la suma de 3 y 4. La respuesta d es la correcta.

La medida del ángulo das de los ángulos

59

las medi-

2.1.2.

Intermedia

1. Como

3

alumnos estudian ambos lengüajes,

11

estudian sólo es-

pañol y 5 estudian sólo francés. Utilizemos el siguiente diagrama de Venn para organizar nuestros hallazgos.

Español

Francés

11

Sumando estos números obtenemos

c

5

3

11 + 3 + 5 = 19.

La respuesta

es la correcta.

2. Organizamos a Katya y a sus amigos en forma circular. senta a Katya,

h

representa a un hombre y

m

K

repre-

a una mujer. Como

Katya es mujer a ambos lados tendrá hombres. Cada uno de estos, a su vez tendrá una mujer de vecina en el lado opuesto. Así sucesivamente hasta ubicar los

5

hombres. Entonces obtenemos una

situación como la siguiente.

h

m h

m h m

K h Contando a Katya tenemos

m

h

5 mujeres. La respuesta e es la correc-

ta.

3. Considere el siguiente triángulo:

60

49.999

49.999

h

.002 Utilizando Pitágoras podemos encontrar

h,

su altura

(.001)2 + h2 = (49.999)2 h2 = (49.999)2 − (.001)2 h2 = 2499.9 h ≈ 49.99899999 Por lo tanto su área

A≈ es menor que

.1,

1 · .002 · 49.99899999 ≈ 0.049999 2

que es la contestación más pequeña de las posi-

bles. Este ejemplo ilustra que con un perímetro jo siempre se puede hacer un triángulo con área tan pequeña como uno quiera.

Por lo tanto no hay área mínima. La respuesta 4. Sea

2x.

x la distancia de P

a

e

es la correcta.

BC , entonces, la distancia de P

a

AB

es

Con esta información podemos encontrar el largo de los lados

del rectángulo

ABCD

en términos de

x,

como se muestra en la

gura:

A

4x

D

P

2x

2x x

C

B 61

Como el perímetro del rectángulo

ABCD

es

120cm,

entonces

2(2x) + 2(4x) = 120cm 4x + 8x = 120cm 12x = 120cm 120 x= cm 12 x = 10cm Ahora, podemos calcular el área del rectángulo

ABCD,

A = (2x)(4x) = 8x2 = 8(10cm)2 = 800cm2 La respuesta 5. Si

n

d

es la correcta.

fuera par, nos podemos mover a cualquier celda adyacente y

luego regresar a la esquina. Si repetimos este proceso el número de veces que sea necesario, siempre esteremos de vuelta en la esquina inicial en un número par de movidas. Por lo tanto cualquier valor par para Si

n

n

es posible.

fuera impar, nos movemos

2

celdas en alguna dirección en la

primera movida. Luego regresamos a la celda que dejamos entre medio. Luego a la celda dónde estabámos al terminar la primera movida. Al igual que el caso anterior continuamos moviendonos entre estas dos celdas. Cuando estemos en la celda continua a la de la esquina siempre habremos hecho un número par de movidas.

Para alcanzar

n,

cuando hayamos hecho

n−1

movidas estaremos

en la celda continua a la de la esquina, una movida a la celda de la esquina y así regresamos a ésta en un número Por lo tanto cualquier valor impar para

e

n

de movidas.

n es posible. La respuesta

es la correcta.

abcd uno de estos números de cuatro dígitos, dónde cada letra b = 6. Como el número es divisible por 5, entonces, d solamente puede ser 0 ó 5, pero como también es divisible por 4, el número que estamos buscando debe ser par. Así que d = 0. Siendo divisible por 4, entonces las posibilidades para los últimos dos dígitos son: 00, 20, 40, 60 y

6. Sea

representa un dígito. Además, sabemos que

62

80.

Sin embargo como el primer dígito es el doble del tercero,

descartamos que

c

sea

6

u

8

porque su doble sería un número de

más de un dígito. Así que llegamos a las siguientes posibilidades:

0600 4620 8640

El primero de estos números no tiene cuatro dígitos, así que queda descartado. La respuesta 7. Sea

x

c

es la correcta.

el número que estamos buscando. Entonces x

96 = 278 6x

8

32 = 33 312x = 324 Como las bases son iguales, los exponentes son iguales,

12x = 24 24 x= 12 x=2 La respuesta

a

es la correcta.

c el número de cajas y n el número de conejos. El enunciado si colocamos 5 conejos por caja al nal sobran 15 conejos lo podemos

8. Sea

expresar mediante la siguiente ecuación

5 · c + 15 = n Y el enunciado:

si colocamos 8 conejos por caja me sobran 3 cajas

lo podemos expresar con la siguiente ecuación

8 · (c − 3) = n 63

Igualando estas dos ecuaciones obtenemos

8(c − 3) = 5c + 15 8c − 24 = 5c + 15 8c − 5c = 15 + 24 3c = 39 39 c= 3 c = 13 La respuesta

d

es la correcta.

9. Identi quemos los lados de cada uno de los rectángulos como indica la gura.

12cm l3

l3 l2

l4

12cm l1

l1

l1

l4

l2

El área del rectángulo sombreado con las identi caciones que hemos hecho es

A = l1 · l2 Como el cuadrado tiene lado

12cm,

l1 + l3 = 12cm En particular

l3 = 12 − l1 .

obtenemos

l2 + l4 = 12cm

Como los tres rectángulos tienen el

mismo perímetro

2l1 + 2l2 = 2l1 + 2l4 = 2l3 + 24cm 64

De aquí obtenemos que l2

= l4 y combinado esto con las ecuaciones = 6cm. También obtenemos

anteriores obtenemos que l2

2l1 + 2 · 6 = 2l3 + 24 2l1 = 2(12 − l1 ) + 24 − 12 2l1 = 36 − 2l1 4l1 = 36 36 l1 = 4 l1 = 9cm Por lo tanto el área del rectángulo sombreado es

A = l1 · l2 = 9cm · 6cm = 54cm2 La respuesta

d

es la correcta.

10. Si los dígitos del número fueran

10 · 9 = 90.

9,

la suma de sus dígitos sería

Así que uno y solamente uno puede ser

8

y nada

menor. Como el número es par, este debe ser el último dígito. La contestación

e

es la correcta.

11. Si podemos tener únicamente un cuadrito negro en cada la y

5 cuadritos negros. Así que 6. En la siguiente gura obtenemos lo requerido.

columna, solamente podemos tener debemos eliminar

La respuesta

c

es la correcta.

65

12. Notemos que María dibujó segmentos de línea entre los puntos,

4 líneas para poder llegar a cada el segundo necesitó 3 por que ya

así para el primer punto necesitó uno de los demás puntos. Para

no necesitaba para el primer punto y así sucesivamente. Para los

10

puntos que dibujó podemos encontrar el número de segmentos

de la siguiente forma:

4 + 3 + 2 + 1 = 10 12 puntos, siguiendo de la misma forma, entonces

Si Pedro dibujó

el necesitará dibujar

11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 La respuesta

d

segmentos

es la correcta.

13. Hagamos un conteo de cuantas veces necesitamos el dígito

2

co-

mo unidad, decena, centena y unidad de mil. Para ello veamos cuantas veces necesitamos el

2 como unidad en cada decena; como

decena en cada centena; como centena en cada unidad de mil; y como unidad de mil del dígito

2

1

al

2010.

En cada decena necesitamos el

(tenemos

100

10 · 10 · 2 + 1 decenas).

2, 10 veces como decena

una vez como unidad (tenemos

En cada centena, necesitamos el dígito

10 · 2

centenas). Por cada unidad de mil, lo necesitamos

veces como centena (tenemos

2

lo necesitamos como unidad de mil

unidades de mil). En los

2000

11 veces. En la siguiente tabla

organizamos nuestros hallazgos. número

dígito unidad decena centena unidad de mil En total tenemos

612.

1 · (10 · 10 · 2 + 1) 10 · (10 · 2) 100 · (2) 11

La respuesta

a

es la correcta.

14. Tenemos

4

digítos y para cada uno de ellos tenemos

1, 3, 5, 7

y

9.

5

opciones:

Cada una de estas opciones es independiente de las 4 otras. Así que tenemos 5 números de 4 dígitos. La respuesta

b

impas

es la correcta.

66

15. Imaginemos que hemos colocado los números de la forma que indi-

S la suma de cada la. Si luego sumamos el resultado de la suma de cada la obtenemos 4S . Pero esto es lo mismo que sumar los números del 1 al 16. Si utilizamos la fórmula ca el problema. Ahora sea

de Gauss:

1 + 2 + 3 + · · · + 16 = Pero esto es igual a

16(16 + 1) = 8 · 17 2

4S : 4S = 8 · 17 8 · 17 S= 4 S = 2 · 17 S = 34

La respuesta

c

es la correcta.

16. Note que el problema no requiere que los extremos de los segmentos de línea sean los puntos indicados.

3

4 1

2 Es fácil ver que con menos segmentos rectilíneos no se puede. La respuesta

c

es la correcta.

17. En cualquier triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados tiene que ser mayor que la longitud del tercero. Si la longitud

BC fuera 5, entonces la longitud de AC más la longitud de AB 3.8+.6 = 4.4 y esto no es posible. Si fuera 3 o menos, entonces la longitud de AB más la longitud de BC , será menor que 3.6. Así que la longitud de BC es 4. La respuesta d es la correcta.

de

sería

67

18. Utilicemos la siguiente tabla para estudiar las potencias de y

2, 3, 5

7. potencia

2

3

1

2

3

5

7

2

4

9

25

49

3

8

27

125

343

4

16

81

625

2401

5

7

Las siguientes potencias comenzarán a repetir sus últimos dígitos; 5 por ejemplo, 2 = 32. Note que en todas las potencias de 5 su último dígito es

5

y las potencias de

3

y

7

tienen como último

1 para la potencia 4. Así que cada 4 potencias se repiten los últimos dígitos. Al dividir 2010 por 4 obtenemos 2 como residuo. dígito

Así que sumamos los últimos dígitos de las potencias que tenemos en la segunda la de la tabla. Esto es:

4 + 9 + 5 + 9 = 27 La respuesta

b

es la correcta.

19. Queremos encontrar las soluciones enteras para esta ecuación. Observemos que factorizando la diferencia de cuadrados y utilizando factorización prima obtenemos lo siguiente:

x2 − y 2 = 303 (x + y) · (x − y) = 1 · 303 = −1 · −303 = 3 · 101 = −3 · −101 = 101 · 3 = −101 · −3 Como los números

x

y

y

son enteros también lo serán su suma y

su resta.

Por lo tanto, estudiemos cada uno de los casos.

68

a) x−y =1 x + y = 303 Si sumamos las ecuaciones obtenemos tanto,

x = 152

2x = 304

y por lo

2x = −304

y por lo

2x = 104

y por lo

2x = −104

y por lo

2x = 104

y por lo

y = 151.

y

b) x − y = −1 x + y = −303 Si sumamos las ecuaciones obtenemos tanto,

x = −152

y

y = −151.

c) x−y =3 x + y = 101 Si sumamos las ecuaciones obtenemos tanto,

x = 52

y

y = 49.

d) x − y = −3 x + y = −101 Si sumamos las ecuaciones obtenemos tanto,

x = −52

y

y = −49.

e) x − y = 101 x+y =3 Si sumamos las ecuaciones obtenemos tanto,

x = 52

y

y = −49.

f) x − y = −101 x + y = −3 69

Si sumamos las ecuaciones obtenemos

x = −52

y

respuesta

e

y = 49.

Por lo tanto hay

2x = −104 y 6 soluciones

por lo tanto, distintas. La

es la correcta.

20. Considere la situación en la que hemos numerado las monedas de la siguiente manera

1

2

4

7

3

5

8

6

9

10

1, 2, 3 forman un triángulo. Así que debemos remover una de ellas. De igual forma las monedas 4, 7, 8 forman

Las monedas al menos

otro triángulo. Así que también debemos remover una de ellas. Las monedas

6, 9, 10

de nuevo forman otro triángulo y por lo tanto,

una de ellas debe ser removida. De esta manera, entonces debemos

1, 8, 9 5 como uno

remover al menos tres monedas. Removiendo las monedas todavía tendríamos triángulos que tendrían la moneda de sus vértices. Si removemos esta, obtenemos.

Con esta con guración encontramos que al remover podemos obtener lo que queremos. La respuesta

70

c

4

monedas

es la correcta.

2.1.3.

Superior

1. Sea

j

el número de jarras,

de chinas. El enunciado

v

el número de vasos y

c

el número

una jarra sirve un total de 1.5 vasos de

jugo , lo podemos expresar con la ecuación 3 j=v 2 El enunciado

cada china llena 1/5 de la jarra ,

presar con la ecuación

lo podemos ex-

1 c=j 5

Combinando estas ecuaciones obtenemos

3 1 v= c 2 5 3 = c 10 Por lo tanto,

10 v 3

= c.

Si queremos

necesitamos

c= La respuesta

d

12

vasos de china, entonces

10 · 12 = 40 3

es la correcta.

2. Identi quemos las y columnas como indica la gura.

C2 C1

F4

F1

F3

F2

71

Ahora observe los cubitos que han sido pintadas y

2

puesto que se removieron

1, 2

y

3.

Estos tienen

2

caras exteriores

caras interiores que han sido pintadas,

C1

y

F 1, F 2

y

F 3, C2

y

F 4.

C2 C1

3 F4 1 F1

F3

2

F2

De igual forma pero ocultos a la vista tenemos 3 cubitos con caras pintadas. Así, existen respuesta 3. Como

d

6

cubitos con

caras pintadas. La

es la correcta.

a ∗ b = 24

entonces

a ∗ b = 24 (a + 1)(b − 1) = 24 ab − a + b − 1 = 24 ab − a + b = 25 y como

4

4

b ∗ a = 30

(1)

(2)

entonces

b ∗ a = 30 (b + 1)(a − 1) = 30 ab + a − b − 1 = 30 ab + a − b = 31 72

(3)

Si restamos (2) de (3), obtenemos

(ab + a − b) − (ab − a + b) = 31 − 25 2a − 2b = 6 a−b=3 a=b+3 Utilizando (1) entonces

(a + 1)(b − 1) = 24 (b + 3 + 1)(b − 1) = 24 (b + 4)(b − 1) = 24 b2 + 3b − 28 = 0 (b + 7)(b − 4) = 0 Por lo tanto 4. Sea y

h

a

b=4

y

a = 7.

La respuesta

a

es la correcta.

la longitud del lado de alguno de los triángulos equiláteros

su altura.

h

a El área total

At ,

a

a

equivale a cinco triángulos, luego

AT = 5 ·

1 ah 2

5 = ah 2 Note que el área sombreada

As

es

1 · base · altura 2 1 5 = a h 2 2

As =

73

Por lo tanto, el área sombreada es la mitad del área total. La respuesta

c

es la correcta.

5. De un vértice podemos crear siguiente podemos crear

3,

4

segmentos de línea distintos. Del

porque ya contamos uno con el vértice

anterior y así sucesivamente. De tal manera, la cantidad total de segmentos que tenemos es

4 + 3 + 2 + 1 = 10 Las guras que queremos son las guras en las cuales escogemos

2

de estos

10

segmentos, por lo tanto,

10 · 9 · 8!

10 10! = = 45 = 2!8!

2 · 8!

2 d

La respuesta

es la correcta.

x la edad actual de María. Hace 18 años ella tenía x−18 y como la edad de Juan era el triple de esto, la edad de Juan era 3(x−18).

6. Sea

Utilizemos la siguiente tabla para organizar la información año

18

años atrás ahora

Edad de Juan

Edad de María

3(x − 18) 2x

x − 18 x

De igual forma la edad de Juan hoy es hace

18

18

años más de lo que era

años.

3(x − 18) + 18 = 2x 3x − 3(18) + 18 = 2x x = 18(2) x = 36 Así que la edad de María hace

18

años era

18.

La respuesta

b

es

la correcta.

7. En el peor de los casos sacamos

3

3

colores distintos las primeras

veces que sacamos canicas. De igual forma, sacamos

distintos en los intentos

4, 5

y

6.

canicas del mismo color y de seguro en el intento canicas del mismo color. La respuesta

74

3

colores

Pero ya tendremos al menos

c

7

tendremos

es la correcta.

2 3

8. Sean

x, y

y

z

1, 3 y 5 rublos, respectiva-

la cantidad de billetes de

mente. Utilicemos la siguiente tabla para organizar la información dada

1

tipo de billete

rublo

3

x x

número de billetes valor Sabemos que el valor total son

25

5

rublos

y 3y

rublos

z 5z

rublos. Por lo tanto,

x + 3y + 5z = 25 La cantidad de billetes son

10.

Por lo tanto,

x + y + z = 10 Entonces,

x + 3y + 5z = 25 (x + y + z) + 2y + 4z = 25 10 + 2y + 4z = 25 2y + 4z = 15 2 · (y + 2z) = 3 · 5 La cantidad de cada billete es un número entero y de igual manera cualquier suma envolviendo estas. Esta última ecuación no tiene soluciones enteras. La respuesta

e

es la correcta.

9. Tenemos que encontrar todas las formas de sumar

1

y

6

que el resultado sea

10.

3 números entre

Observemos los siguientes casos

6,3,1

5,4,1

5,3,2

6,2,2

4,4,2

4,3,3

Los casos que tenemos en la primera la tienen cada uno mutaciones distintas. Así que éstas nos dan

3 · 6 = 18

6

per-

formas

10. Los 2 números repetidos y

distintas de obtener que la suma de las tres tiradas sea casos que tenemos en la segunda la tienen

3 permutaciones distintas 3 · 3 = 9 formas distintas de obtener que la suma de las tres tiradas sea 10. En total tenemos 27 formas de lograr esto. La respuesta d es la correcta. por lo tanto, cada una tiene solamente y éstas nos dan

75

10. El menor de estos números es el

10,

dígitos de cualquier número menor que

ya que el cuadrado de los

10, es mayor que el número

y no puede ser su divisor, luego los números que estamos buscando son de dos dígitos. Suponga que que

a

n

es el dígito de las decenas y

es uno de estos números en el

b

es el dígito de las unidades.

Entonces,

n = 10 · a + b Como la suma de los cuadrados de sus dígitos divide el número, existe un entero positivo

c

tal que,

c · (a2 + b2 ) = n Combinando estas ecuaciones obtenemos lo siguiente:

c · (a2 + b2 ) = 10 · a + b ca2 + cb2 = 10a + b ca2 − 10a = b − cb2 a(ac − 10) = b(1 − cb) b = 0, entonces, ac − 10 = 0 y, por lo tanto, a divide a 10. Así que a = 1, (10, ya lo habíamos encontrado), a = 2 (20) ó a = 5 (50). Si b 6= 0, entonces, Si

a (ac − 10) = 1 − cb b a es un entero y que b posibles números serían los múltiplos de 11:

Lo que implicaría que

77, 88, 99

b es divisor de a. Los 11, 22, 33, 44, 55, 66,

y 21

31

41

42

51

61

62

63

71

81

82

84

91

93

Ninguno de estos números es divisible por la suma de los cuadrados de sus dígitos. La respuesta 11. Sea

r

b

es la correcta.

el radio del círculo circunscrito. Veamos la situación en la

siguiente gura:

76

A

2 2 r B

AB

es una mediana del triángulo, por lo tanto,

caso la mediana

AB

mide

2 + r.

r = 23 AB .

En este

Por lo tanto,

2 (2 + r) 3 3r = 4 + 2r r=4 r=

La respuesta 12. Sea

t

toma

c

es la correcta.

el tiempo que toma ir de subida, entonces, si el viaje total

4

horas, el viaje de bajada tomará

4−t

horas. La distancia

entre los dos pueblos es la misma no importa en que dirección se está viajando y como distancia es velocidad por tiempo, tenemos:

distanciasubida = distanciabajada 15 · t = 30 · (4 − t) 15t = 120 − 30t 45t = 120 120 t= 45 8 t= 3 Así que la distancia entre los pueblos es

a

15· 83 = 40km. La respuesta

es la correcta.

13. Por cada juego que no hubo empate, hubo un ganador y un perdedor, luego, se acumularon

4 puntos por el ganador y 1 punto por el 77

perdedor para un total de

5

puntos por juego. Si el juego terminó

empate, cada equipo obtuvo

2

puntos para un total de

4

puntos

por juego. Veamos las posibilidades en la siguiente tabla: juegos con ganador

juegos empatados

puntos acumulados

10 9 8 7 6

0 1 2 3 4

5 · 10 + 4 · 0 = 50 5 · 9 + 4 · 1 = 49 5 · 8 + 4 · 2 = 48 5 · 7 + 4 · 3 = 47 5 · 6 + 4 · 4 = 46

Por lo tanto hubo

4

empates. La respuesta

d

es la correcta.

14. Para hacer este ejercicio, podemos usar el hecho de que para cualquier múltiplo de

9,

9,

la suma de sus dígitos es múltiplo de

entonces,

19100 = (1 + 18)100 = 1 + 9k k entero. La suma de los dígitos de 9k es un múltiplo 9, luego, la suma de los dígitos de 1+9k es un número que tiene la forma 1 + 9s pero menor que 1 + 9k . Si seguimos este proceso llegaremos a 1 + 9 · 1 = 10. Al sumar los dígitos de 10 se obtiene 1. La respuesta a es la correcta. para algún de

15. Llamemos a los niños

a1 , a2

y

a3 .

oi

y las niñas

ai .

El niño

o1

tiene

3

amigas:

Ahora, cada una de estas niñas ya tiene un niño ami-

go, así que cada una sólo tiene un (niño) amigo más. Si fuera el mismo niño

o2

que fuera amigo de las tres, entonces crearíamos un

2 niños y 3 niñas que no interactuán con nadie más en la 31 alumnos, y, de acuerdo a la restricción de las mesas, sabemos que no hay más de 39 alumnos en la clase, por lo tanto, si tenemos 7 grupos como el descrito arrigrupo de

clase. Pero debemos tener al menos

ba, en los que cada grupo interactúa sólo entre ellos, tendríamos

7 · 5 = 35 16. Sea

alumnos en la clase. La respuesta

c

es la correcta.

o el número de niños en la clase y sea a el número de niñas en m el costo de un mu n y s el costo de un sandwich. El

la clase. Sea

si todos los niños compran un mu n y todas las niñas compran un sandwich gastarán un centavo menos que si todos los enunciado,

78

niños compran un sandwich y todas las niñas compran un mu n, podemos describirlo con la ecuación

o·m+a·s=o·s+a·m−1 Entonces,

o · m − a · m − o · s + a · s = −1 (o − a) · (m − s) = −1 (o − a) > 0 y divide respuesta a es correcta.

Así que

a

−1.

Por ser entero,

o − a = 1.

La

17. Considere la estrella con el pentágono interior y con los ángulos indicados como en la gura:

η

α c d

β

b e

a

δ

γ

Note que tenemos

5

triángulos distintos y como la suma de la 180◦ , obtenemos lo

medida de los ángulos de cada triángulo es siguiente:

a+β+η b+α+γ c+β+δ d+η+γ e+α+δ

79

= 180◦ = 180◦ = 180◦ = 180◦ = 180◦

Sumando estas ecuaciones y utilizando que la suma de la medida ◦ de los ángulos internos de un pentágono es 540 obtenemos:

2(α + β + γ + δ + η) + (a + b + c + d + e) = 900◦ 2(α + β + γ + δ + η) + 540◦ = 900◦ 2(α + β + γ + δ + η) = 900◦ − 540◦ 2(α + β + γ + δ + η) = 360◦ 360 ◦ α+β+γ+δ+η = 2 α + β + γ + δ + η = 180◦ La respuesta

b

es la correcta.

6 cuestionarios. El primer cuestionario tiene 3 preguntas únicas y 5 que no son únicas. Como queremos el número máximo de preguntas, estas 5 solamente las utilizamos en otro único cuestionario, digamos en el segundo. Si sumamos las 3 preguntas únicas del segundo cuestionario tenemos un total de 11 preguntas para dos cuestionarios. Como son 6 cuestionarios, se requieren 11 × 3 = 33 preguntas. La respuesta c es la correcta.

18. En total tenemos

19. Es fácil ver que

1

es solución, sustituyendo. Al dividir el poli3 2 nomio cuártico por (x − 1) obtenemos x + 2x + 3x + 4. Al

evaluar cualquier entero positivo en este polinomio el resultado será positivo porque estamos sumando todos los términos y éstos son positivos. Las posibles raíces racionales negativas de este

−1, obtenemos 2, así que no es raíz. Al evaluar −2 obtenemos −2, así que tampoco es raíz. Al evaluar −4, obtenemos −40. La única raíz entera es 1. La respuesta b es correcta.

polinomio son los divisores de

4.

Al evaluar

20. Ilustremos la situación en la siguiente gura:

80

C

D

O

B

A

Observemos lo que está ocurriendo dentro del cuadrado.

C

D

O

B

A

AO es un radio del círculo y como la mediatriz de BC pasa por O , entonces, DO tiene longitud igual al radio del círculo.

AD es también un radio del círculo, así que, el triángulo ADO es ◦ equilátero y además, el ángulo AOD mide 60 . El ángulo ODC ◦ mide 30 , porque es el complemento del ángulo ADO , que es también uno de los ángulos del triángulo equilátero ADO . El lado DC tiene la longitud de un radio del círculo, así que el triángulo DOC es iscóceles, luego los ángulos DCO y DOC miden lo mismo y Note que

utilizando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180◦ obtenemos que el ángulo DOC mide 75◦ .

La medida del ángulo

DOC ,

AOC

es la suma de los ángulos

por lo tanto,

]AOC = ]AOD + ]DOC = 60◦ + 75◦ = 135◦ 81

AOD

y

La respuesta

2.2.

b

es la correcta.

Segunda Fase

2.2.1.

Elemental

1. Los muñecos se repiten cada

6.

Por ejemplo, el muñeco

la 6ta posición y volverá a estar en la posición

2010

es múltiplo de

respuesta

a

6,

en la posición

2010

12, 18,

está en

etc. Como

estará el muñeco

. La

es la correcta.

2. Frente a Susana tenemos

4

6 las. Contando 4+6+1 = 11 las. Si cada 11 · 9 = 99 sillas. La respuesta

las y detrás de ella

la la donde ella se encuentra tenemos: una tiene

c

9

sillas, en total tenemos

es la correcta.

3. La caja que María construyó tenía

4 · 3 · 3 = 36 cubitos. La estruc-

tura que dejó Luis la podemos romper en dos pedazos:

Cada una contiene tomó

36 − 18 = 18

4. Eliminamos el

4

9

cubitos para un total de

cubitos. La respuesta

e

18.

Así que Luis

es la correcta.

por que no tenemos uno al frente:

1232331.

Si

eliminamos ahora solamente uno de ellos no logramos lo que que-

2's, sí lo logramos. En total respuesta c es la correcta.

remos. Sin embargo, si eliminamos los hemos eliminado

3

dígitos. La

82

5. La suma es

67 + 47 = 114 y la resta es 67 − 47 = 20. La diferencia 114 − 20 = 94. La respuesta d es la correcta.

entre éstas es

1 al 99, se utiliza el 9 como unidad, una vez cada decena: 9, 19, 29, · · · , 89, 99. Así que lo necesitamos 10 veces como unidad.

Del 90 al 99, lo usamos 10 veces como decena, luego en total lo utilizamos 10 + 10 = 20 veces. La respuesta d es la correcta.

6. Del

3 veces el ancho, entonces mide rectángulo es 2(12) + 2(36) = 96cm.

7. Como el largo del rectángulo mide

36cm.

El perímetro de este

El cuadrado que nos interesa entonces tiene perímetro una tercera parte de éste:

96/3 = 32cm.

Éste perímetro es

4

veces la longitud

del lado del cuadrado, por lo tanto el lado del cuadrado mide

32/4 = 8cm.

La respuesta

c

es la correcta.

8. Como ninguno puede regalarse a sí mismo, la persona que recibe un regalo de uno de sus amigos, debe regalarle al otro amigo porque si no, este último se regalaría a sí mismo. Sean Juan, María y Pedro los tres amigos, las posibles situaciones son las siguientes: Juan le regala a María, María a Pedro y Pedro a Juan.

María le regala a Juan, Juan a Pedro y Pedro a María.

No existen más posibilidades. La respuesta 9. Si el precio de un lápiz es es

2x.

x,

b

es la correcta.

entonces el precio de un bolígrafo

Así que veamos la información que sabemos en la siguiente

tabla. cantidad

precio por cada uno

8 9

x 2x

lápices bolígrafos total

El dinero total es prar

26.

26x. Si fueran únicamente d es la correcta.

total

8x 18x 26x lápices, podría com-

La respuesta

10. Considere la cuadrícula numerada de la siguiente manera

83

Caso A: Cuadrícula

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

sombreada:

2

1

4

3

6

7

8

9

Entonces, las cuadrículas pares no pueden ser sombreadas. De las

3 y quedará una sola sin sombrear. Como hay 4 de ellas, tenemos 4 formas distintas de dejar una sin sombrear. Así que tenemos 4 formas distintas de sombrear 4 cuadritos. impares sombrearemos,

Caso B: Cuadrícula

5

sin sombrear:

2

1

3

4

NO

6

7

8

9

84

Si sombreamos la

4,

NO

2

NO

6

8

9

NO

y entonces sombreamos la

NO

3

3,

NO

NO

NO

8

9

NO

no tendr铆amos con guraci贸n posible. Similarmente si sombreamos la

9.

4

es:

Por lo tanto, la 煤nica con guraci贸n posible si sombreamos la

85

Si sombreamos la

1,

NO

3

NO

NO

6

7

8

9

NO

NO

y entonces sombreamos la

6,

NO

NO

7

8

NO

no tendr铆amos con guraci贸n posible. Similarmente si sombreamos la

8

en lugar de la

si sombreamos la

1

6.

Por lo tanto, la 煤nica con guraci贸n posible

es:

86

En total tenemos

4 + 1 + 1 = 6 formas distintas d es la correcta.

de lograr nuestro

objetivo. La respuesta

11. Como el producto de los tres números es 140 y el de los primeros 140 dos es 28, el tercer número es = 5. Los factores positivos de 28 28 son

28 · 1 14 · 2 7·4

Para que la suma del primero con

2 y el segundo 14.

2 + 14 + 5 = 21.

5

sea

7,

el primero debe ser

Por lo tanto, la suma de los tres números es

12. Ya sabemos que existe una suma con

3

términos, así que la suma

con la mayor cantidad posible de términos no puede incluir ó

9.

11, 10

Sí sería posible

8+2+1 7+3+1 6+4+1 6+3+2 5+3+2+1 contiene más términos que las anteriores.

Si tuvieramos una suma que contenga al 4, tendríamos entonces, 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Así que la suma con la mayor cantidad de Sin embargo,

términos es,

5+3+2+1 y el mayor número es el

5.

13. El ángulo BCA es suplementario del ángulo DCA y su medida ◦ ◦ ◦ es 180 − 160 = 20 . Como la longitud de AC es la misma que

AB , la medida del ángulo ACB es igual a la medida del ángulo ABC , así que ambos miden 20◦ . Como la suma de las medidas de ◦ los ángulos internos de un triángulo es 180 , la medida del ángulo BAC es 180◦ − 2(20◦ ) = 180◦ − 140◦ = 140◦ .

14. No es posible cubrir el tablero únicamente con

porque las

dimensiones del tablero som ambas impares. Sí es posible utilizar

87

únicamente

y tenemos dos formas para esto. Con tri-

ominós verticales:

O con triominós horizontales:

No es posible utilizar únicamente

2

triominós porque lo que nos

quedaría tendría dimensiones impares. Utilizando únicamente un triominó, obtenemos los siguientes:

Si rotamos éstos

90◦

a favor de las manecillas del reloj obtenemos:

88

Otra rotación como la anterior nos muestra:

Una última rotación como la anterior nos da las con guraciones restantes:

En total tenemos

4 · 3 + 2 = 14 formas distinta de cubrir el tablero

con dóminos y triominós.

15. Si Alex estuviera correcto, entonces Carlos no tendría nada correcto y viceversa. Si Benjamín estuviera correcto, entonces Daniel no tendría nada correcto y viceversa. Ernesto sabía la fecha exacta.

(Note que de esta forma todos tienen al menos un dato correcto.)

89

2.2.2.

Intermedia

1. Como los tres enteros son positivos, ninguno puede ser

6,

ni

5,

porque esto haría al menos uno de los otros negativos. Entonces,

6 = 4 + 1 + 1 42 + 12 + 12 = 18 6 = 3 + 2 + 1 32 + 22 + 12 = 14 6 = 2 + 2 + 2 22 + 22 + 22 = 12 Éstas son todas las formas de escribir la suma de tres enteros positivos que sea

6.

De éstas,

cuadrados. La respuesta 2. Sea

O

d

12

es el mínimo de la suma de los

es la correcta.

el centro del rectángulo, como en la siguiente gura.

A

C

O

B

1 del área del rectángulo grande.

El área del rectángulo AOBC es 4 1 1 2 Su área es · 1 = cm . El área del triángulo ABC es la mitad 4 4 del área del rectángulo AOBC ,

1 1 1 · = cm2 2 4 8 La respuesta

c

es la correcta.

3. Queremos encontrar todas las formas distintas de sumar lizando únicamente

1, 2,

y

3.

uti-

Éstas son:

1+1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1+1 2+2+1+1+1 2+2+2+1 En total tenemos

7

3+1+1+1+1 3+3+1 3+2+1+1 3+2+2

8 formas de hacerlo. La respuesta b es la correcta.

90

3 veces el ancho, su longitud es 36cm. Por lo tanto 2(24) + 2(36) = 96cm. El perímetro del cuadrado 96 = 32. Este perímetro es 4 veces el lado del que nos interesa es 3 cuadrado, por lo tanto, si s es el lado del cuadrado,

4. Como el largo es el perímetro es

4s = 32 s=8 Entonces, el área del cuadrado es

b

s2 = 82 = 64cm2 .

La respuesta

es la correcta.

5. Como cada minuto salta

5

números necesitamos saber el mínimo

12

y

5.

común múltiplo entre marcará

12

a los

12

Es

60

y como

minutos. La respuesta

e

60 = 12 · 5,

la aguja

es la correcta.

6. Consideremos las posibilidades de acuerdo a dónde colocamos la cha en la primera la. Si la colocamos en la primera columna,

entonces, en la segunda la no podemos colocar la cha en la primera ni en la segunda columna. Si la colocamos en la tercera,

entonces, en la tercera la no podemos colocar la cha. Si la de la segunda la la colocamos en la cuarta columna,

91

entonces, en la tercera la estamos obligados a colocarla en la segunda columna,

pero no podrĂ­amos colocar cha en la cuarta la.

Por lo tanto, no podemos colocar la cha de la primera la en la primera columna. De manera similar, tampoco podemos colocar esta cha en la cuarta columna de la primera la. ColoquĂŠmosla en la segunda columna,

entonces en la segunda la estamos obligados a ponerla en la cuarta columna y de forma similar las demĂĄs las y obtenemos,

92

De forma similar, si colocamos la cha de la primera la en la tercera columna obtenemos,

Así que tenemos solamente

2 formas de colocar las chas de acuerc es la correcta.

do a las reglas. La respuesta

7. La cantidad de cuadrados perfectos del

1

al

10000

está dada por

el entero cuyo cuadrado es el número más grande que es menor o 2 igual a 10000. Como 100 = 10000, tenemos 100 cuadrados per100 fectos del 1 al 10000. Por lo tanto, · 100 = 1 porciento son 10000 cuadrados perfectos. La respuesta a es la correcta.

8. Si la medida del ángulo identi cado con una sola marca es

a,

la

b y como la suma de la medida ◦ triángulo es 180 , obtenemos las

medida del que tiene dos marcas es de los ángulos internos de un ecuaciones,

a + b + 3α = 180◦

2a + 2b + α = 180◦

Si dividimos la segunda ecuación por

93

2

y se la restamos a la

primera obtenemos,

α = 90◦ 2 6α − α = 180◦ 5α = 180◦ α = 36◦

3α −

La respuesta

c

es la correcta.

9. El área sombreada es el área del triángulo radio del círculo. Su altura es

√ El triángulo

ABC

tiene base

h

a

cuya base es

y por lo tanto,

1 3 = rh 2 2r

y altura

1 A = · 2r · h = 2 2 La respuesta

ABO

1 rh 2

h.

Su área es

=2·

√

3

es la correcta.

10. Note que,

1000 < 1024 103 < 210 (103 )100 < 21000 10300 < 21000 Ahora,

10300

tiene

301

dígitos. Alternamente,

23 < 101 (23 )333 < 10333 2 × 2999 < 2 × 10333 21000 < 2 × 10333 y

2 × 10333

tiene

334

dígitos. La respuesta

d

es la correcta.

11. Considere la cuadrícula enumerada de la siguiente manera:

94

r, el

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Escogeremos ternas de números que representarán que esos cuadritos han sido coloreados. Por ejemplo, a la con guración que se

1, 5, 9. Para colorecolocar cualesquiera 3

muestra en el ejercicio le corresponde la terna ar siguiendo las reglas, note que podemos

de los cuadritos con número impar que tenemos. Así que, de ahí obtenemos,

5 5 · 4 · 3! = 10 = 3! · 2!

3 De igual forma podemos escoger cualesquiera

3

de los

4

números

pares que tenemos,

4 4 · 3! = =4 3 3! · 1!

Ahora observemos las formas que podemos colorear utilizando números pares e impares: 1,3,8

1,6,7

1,6,8

2,4,9

2,6,7

2,7,9

3,4,8

3,4,9

Así que en total tenemos

10 + 4 + 8 = 22

formas distintas de

colorear el tablero de acuerdo a las reglas establecidas.

12.

15951

tiene

5

dígitos. El próximo palíndromo lo obtendríamos al

cambiar el dígito central. Pero si a

9

le sumamos

1

obtendríamos

un número que contiene más de un dígito, luego el próximo palíndromo no estará en los

6,

obtenemos

16061

15

mil. Si cambiamos el

9

por

0

y el

5

por

que es el próximo palíndromo. La diferencia

es:

16061 − 15951 = 110 95

13. Esta ecuación es equivalente a,

xy − x = 15 x(y − 1) = 15 Los factores de

15

son:

15 = 1 · 15 = 15 · 1 =3·5 =5·3 y sus opuestos. Por lo tanto, obtenemos las siguientes soluciones:

x

y

1

16

15

2

3

6

5

4

-1 -15

En total tenemos

0

-3

-4

-5

-2

pares ordenados distintos de soluciones.

C1 , r2 el radio del círculo 1 1 y r4 = . tangente a este C2 , etc. Entonces, r1 = 4, r2 = 1, r3 = 4 16

14. Sea

r1

8

-14

el radio del círculo más grande

Entonces,

Asombreada = AC1 − AC2 + AC3 − AC4 = πr12 − πr22 + πr32 − πr42 2 2 !

1 1 = π 42 − 12 + − 4 16 =

3855 π 256 96

15. Si enumeramos las puntas de la estrella de la siguiente forma,

2

1 3

5

4

entonces podemos identi car los triángulos de acuerdo a las puntas de la estrella que cada triángulo incluye. Observemos primero los

1, 2, 3, 4 y 5.

2: 1, 3; 1, 4; 3, 5; 2, 4; y 2, 5.

triángulos que únicamente incluyen una sola punta: Ahora observemos los que incluyen En total tenemos

2.2.3.

1. Si

5 + 5 = 10

triángulos.

Superior

x es la edad de Pedro, entonces la edad de Doris es x+5. Ahora,

Doris tiene el doble, por lo tanto,

x + 5 = 2x 5 = 2x − x 5=x Así que Pedro tiene 2. Sea

5

años. La respuesta

d

es la correcta.

a el número de manzanas, p el número de peras y m el número

de mangós. Entonces queremos saber cuantas soluciones enteras tiene la ecuación:

a + 2p + 3m = 15 97

Esta ecuación es equivalente a,

a + 2p = 3(5 − m) Veamos cada caso de acuerdo al valor de

a)

Caso

m:

m = 0: 2p = 15 − a. Esta ecuación tendrá soluciones enpara a impar. Como tenemos 8 números impares del 0

Entonces, teras al

b)

15,

tendremos 8 soluciones distintas.

m = 1: Entonces, 2p = 12 − a. Esta ecuación tendrá soluciones enteras para a par. Como tenemos 7 números pares del 0 al 12, Caso

tendremos 7 soluciones distintas.

c)

m = 2: Entonces, 2p = 9−a. Esta ecuación tendrá soluciones enteras para a impar. Como tenemos 5 números impares del 0 al 9, Caso

tendremos 5 soluciones distintas.

d)

Caso

m = 3: 2p = 6 − a. Esta ecuación tendrá soluciones enpara a par. Como tenemos 4 números pares del 0 al 6,

Entonces, teras

tendremos 4 soluciones distintas.

e)

m = 4: Entonces, 2p = 3−a. Esta ecuación tendrá soluciones enteras para a impar. Como tenemos 2 números impares del 0 al 3, Caso

tendremos 2 soluciones distintas.

f)

m = 5: Entonces, p = 0, a = 0.

Caso

En total tenemos La respuesta

d

Esta ecuación tendrá 1 solución.

8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 27

soluciones distintas.

es la correcta.

ABD es la suma de las longitudes: AB+ BD + AD = 23.75. Como el ángulo ADB y el ángulo BAD miden lo mismo, la longitud de BD es la misma que AB , similarmente las longitudes BD y BC son las mismas, por lo tanto, AB = BD = BC . Así que, AB + BD + AD = AB + AB + AD = 23.75. Si

3. El perímetro del triángulo

98

AB + BC + CD = AB + AB + CD = AD − CD = 1.75, así que, AD = CD + 1.75. La

restamos de esta ecuación a

22,

obtenemos,

respuesta

c

es la correcta.

4. Cuando dividieron el bizcocho en 4 partes iguales a cada niño le 1 parte del bizcocho. Es decir, si a1 corresponde al correspondió 4 pedazo que le tocó a cada uno, entonces, 4a1 = 1, las cuatro partes

5 partes, 5a2 = 1. Por lo

juntas conforman el bizcocho completo. Al dividirlo en si

a2

es el pedazo que le corresponde a cada uno,

tanto,

4a1 = 5a2 4 a1 = a2 5 Así que cada pedazo ahora, es cuatro quintos de lo que era originalmente. Como había

4 niños, si cada uno le da una quinta parte

de lo que tenía al niño que se les unió, entonces todos tendrían la 1 misma cantidad de bizcocho y a1 = 20 %a1 . La respuesta d es la 5 correcta.

5. Como los triángulos que conforman la parte superior del paralelogramo tienen un lado que mide lo mismo y tienen la misma altura, ambos tienen la misma área. Así que, el área de la 2 parte superior del paralalelogramo es 10cm . Lo que implica que la parte inferior también lo es. Así que, el área del paralelogramo 2 es 10 + 10 = 20cm . La respuesta c es la correcta.

6. Si observamos la siguiente gura,

99

P

3

5

a

Q

obtenemos un rombo con una diagonal de

P

a

Q y la otra entre los

centros de los círculos. Éstas se encuentran perpendicularmente en sus puntos medios, por lo tanto podemos utilizar Pitágoras:

32 + a2 = 52 a2 = 25 − 9 a2 = 16 a=4 La distancia entre los centros es

2a = 8cm.

La respuesta

d

es la

correcta.

7. Para el cuarto sencillo, tenemos que ver de cuántas formas podemos escoger

1

persona de

6.

Como ya tendríamos a alguien en el

cuarto sencillo, para el cuarto doble, tenemos que ver de cuántas

2 personas de 5. Para el tercero, vemos 3 personas de 3, porque ya tendríamos 1 en el cuarto

formas podemos escoger como escoger sencillo y

2 en el doble. Cada uno de estos eventos es independiente

de los otros, así que,

6 5 3 6 · 5! 5 · 4 · 3! · · 1 = 60 · · = 5! · 1! 3! · 2!

1 2 3 La respuesta

b

es la correcta.

6 números tal que cada uno de ellos 0, 1, 2, 3, 4, ó 5 mod 11, entonces, la suma o

8. Si escojemos cualesquiera es equivalente a

100

resta de cualesquiera dos de ellos no es equivalente a

0 mod 11.

Si a esta lista le añadimos cualquier número que sea equivalente

5 + 6 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadi7 mod 11, entonces 7 + 4 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadimos cualquier número que sea equivalente a 8 mod 11, entonces, 8 + 3 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadimos cualquier número que sea equivalente a 9 mod 11, entonces, 9 + 2 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadimos cualquier número que sea equivalente a 10 mod 11, entonces, 10 + 1 mod 11 = 0 mod 11. Así que, el número máximo de ena

6 mod 11,

entonces,

mos cualquier número que sea equivalente a

teros que podemos elegir, tales que, con certeza, la suma o diferencia entre dos de ellos no es divisible entre 11 es

d

6. La respuesta

es la correcta.

9. El camino más corto de movernos

4

A a B mide 8 unidades porque tenemos que 4 veces a la derecha. En cada una

veces hacia abajo y

de nuestras movidas debemos decidir si nos movemos hacia abajo o hacia la derecha. Si decidimos en cuales movidas nos moveremos hacia abajo, entonces, en las restantes nos moveremos hacia la derecha. Por lo tanto, de las

8 movidas, necesitamos 4 hacia abajo.

8 8 · 7 · 6 · 5 · 4! = 70 = 4 4! · 4 · 3 · 2 · 1

La respuesta

b

es la correcta.

10. Si coloreamos el tablero de esta forma,

101

hemos coloreado la mitad de los cuadros y cumplimos con nuestras reglas. Nos gustaría saber si podríamos tener más de

32

cuadra-

dos bajo nuestras reglas. Si enumeramos el tablero de la siguiente manera,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

26

entonces, la condición de que en cada triominó angular haya al menos un cuadrado que no sea verde es equivalente a que en cada triominó haya al menos un número par. Del

1

al

64

tenemos

números pares, así que, ése es el máximo. La respuesta correcta.

102

c

32

es la

11. El número posee los dígitos del

1

al

100.

Los cuadrados perfectos

de dos dígitos son:

16 25 36 49 64 81 Como ninguno posee dígitos que sean consecutivos, entonces, éstos sólo pueden ocurrir cuando están ellos mismos como parte del número o cuando provienen de números distintos al ser pegados. Éstos serían:

6162 5253 6364 9495 4647 1819 En total tenemos

6+6 = 12 veces que veremos cuadrados perfectos

de dos dígitos.

12. Como el borde de la lata tiene un ángulo de

90◦ ,

los ángulos que

ésta crea al descansar sobre la pared, por encima y por debajo, tienen la misma medida,

α.

Por Pitágoras, podemos encontrar la 102 −82 = 100−64 = 36 = 62 .

altura a la que la lata toca la pared:

La distancia del punto más alto de la lata hasta el piso es entonces

6 + h,

donde

h

es la altura del triángulo pequeño como se indica

en la gura:

103

h

α α

10

6

8 Entonces, obtenemos los triángulos similares,

α

10

6

4

α

h

8 Por lo tanto,

4 h = 10 8 h=8· h=

4 10

16 5

Así que la distancia que buscamos es

6+

16 cm.

5

AGF son similares. Si la EF es c2 , donde, 16c2 = c1

13. El tríangulo sombreado y el triángulo

es c1 y la longitud de c1 = 16. Ésta es la razón de similaridad, y la razón c2 entre las áreas, es el cuadrado de ésta. Si A1 es el área del triángulo longitud de

AF

y, por lo tanto,

AGF

y

A2

es el área sombreada, entonces,

A1 = 162 = 256 A2 104

y como

y =x−

14. Sea

Si

A2 = 1cm2 ,

3 y+ 2

entonces,

A1 = 256cm2 .

3 . Entonces, podemos re-escribir la expresión, 2

1 1 3 9 1 2 2 y+ y− y− = y − y − 2 2 2 4 4

u = y2,

entonces, podemos re-escribir la expresión nuevamente

como,

9 u− 4

2 1 5 9 5 2 −1 u− =u − u+ = u− 4 2 16 4

Así que, el valor mínimo de la expresión es 15. Como buscamos el valor mínimo, considere

−1. b = c.

Usando la fór-

mula de Herón:

p

s(s − a)(s − b)(s − c) =

p

(b + a/2)(b − a/2)(a/2)2 = 1

Así que,

(b + a/2)(b − a/2)(a/2)2 = 1 4 a2 b2 − = 2 4 a a2 4 b2 = + 2 = 4 a Luego, por la desigualdad

2

b = Por lo tanto,

a ≥ b,

por lo

b≥

a2 2

+ 2

a2 2

+ 2

8 a2

M A − M G,

8 a2

r ≥

√ a2 8 · 2 = 4=2 2 a

√

2, con igualdad tanto, b = 2.

105

si,

a2 2

=

8 , es decir, a2

a = 2.

Y

2.3.

Tercera Fase

2.3.1.

Elemental

1. Los números de tres dígitos que podemos formar con los dígitos

2011 son: 110 210 de

211

Por lo tanto, su suma

121 101 es 1288.

201

112

120

102

2. Cada niño puede colocar los dígitos de forma descendente para poder obtener así el número más grande, luego:

Juan

8531

Mariana

7433

Pedro

8741

Oscar

8774

Luis

8632

Por lo tanto, Oscar formará el número más grande.

3. Si identi camos la longitud de los lados como lo indica el problema obtenemos:

4

2

2 2

2

2 4

2

2

4

4

4 106

de donde el perímetro de la gura es:

P = 4(4) + 2(5) = 16 + 10 =

26cm 4. Note que cada terna a continuación

2,3, 4 5,6, 7 8,9, 10 11,12, 13 comienza con un número, que al ser dividido entre

2.

3,

da residuo

Si el número es impar estará en la la superior y si es par en

la la inferior. Como dividirlo entre

3

es

2,

2012 = 670(3) + 2,

se tiene que el residuo al

luego:

2011 2012

2013

2014

5. Primero, enumeremos el tablero de la siguiente forma:

1

2

A

3

Indiquemos cada uno de los caminos utilizando ternas de números del

1

al

3

que indicarán la ruta a seguir. Así tenemos: 1,2,3

2,1,3

3,1,2

1,3,2

2,3,1

3,2,1

De donde tenemos un total de

6

107

caminos.

6.

3, de lo contrario 3 × A tendría más de A = 3, entonces O tendría que ser 9 y como 3R = 9, R también sería 3, lo cual no puede suceder. Si A = 2, O es mayor que 6. Si O = 9, entonces, R = 3, I = 7 y obtendríamos: A

no puede ser mayor que

un dígito. Si

3

2

2M93 + 2M93 2M93 9 D79 Entonces, Si

O = 8,

3 × M + 2 ≥ 30, tendríamos

lo que no sería posible.

R = 6, I = 5 2

y obtendríamos:

2 1

2M86 + 2M86 2M86 8 D58 Si

M = 9,

entonces,

3 × M + 2 = 29 y, entonces, D sería 9, y M = 7, 3 × M + 2 = 23 y D = 3. Así que

repetiríamos dígitos. Si ODIO=

8358.

7. Observemos el hexágono regular con los vértices ordenados de la siguiente manera:

2

3

4

1

6

108

5

Ahora podemos indicar los triángulos que formamos con ternas de números del

1

al

6

indicando los vértices de cada triángulo.

Triángulos con vértice

1

serán:

123 124 125 126 134 135 136 145 146 156 Triángulos con el vértice

2

y subsiguientes:

234 235 236 245 246 256 Triángulos con el vértice

3

y subsiguientes:

345 346 356 Triángulos con el vértice

4

y subsiguientes:

456 Ya tenemos todos los triángulos con los vértices tenemos,

10 + 6 + 3 + 1 = 20

8. Primero contemos del

1

al

5

y

6.

En total

triángulos.

999. Como unidad, lo tenemos una 1 y 999 hay 102 − 1 = 99 decenas.

vez por cada decena y entre

Como decena, lo necesitamos diez veces por cada centena y hay 101 − 1 = 9 centenas. Por lo tanto, uno por unidad diez por decena

1 × (102 − 1) = 99 10 × (10 − 1) = 90

3 veces que lo necesitamos 99 + 90 + 3 = 192 ceros. más las

1000,

en total tenemos:

ADC , así que, su medida es 30 . Como AB = AD , el triángulo ABD es isósceles, luego ◦ el ángulo ABD tiene la misma medida que el ángulo ADB , 30 . ◦ Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 , el ángulo BAD mide,

9. El ángulo

ADB

en

es suplementario al ángulo

◦

180◦ − (30◦ + 30◦ ) = 180◦ − 60◦ = 120◦ 109

10. Podemos colorear los cuadritos de las siguientes maneras:

En total tenemos

6

formas distintas.

110

2.3.2.

Intermedia

1. Para formar triángulos con estos vértices debemos escoger tices de la la superior y

1

primera forma podemos hacerlo de,

4 3 4 · 3 · 2! 3 · 2! · = · = 18 2! · 2 2!

2 1 formas distintas. De la segunda forma podemos hacerlo de,

4 3 4 · 3! 3 · 2! · = 12 · = 3!

2!

1 2 formas distintas. En total tenemos

30

triángulos.

2. Organicemos los números en la siguiente tabla:

cantidad de dígitos

Números 1

1 2

2

10

11

12

20

suma 3 74

21

3

110

210

211

121

101

201

112

120

1288

102

4

1012

2011

1021

2101

1102

2110

1120

1201

12888

1210

La suma nos da

2

vér-

de la la inferior o viceversa. De la

14253.

3. Primero, enumeremos el tablero de la siguiente forma:

111

1

A

2

3

4

Si indicamos cada una de las posiciones utilizando los números del

1 al 4, necesitamos el número de formas en que podemos re-ordenar estos números. Para el primer paso, podemos escoger cualquiera

4, para el segundo paso, tendremos 3 opciones, para el tercer paso, tendremos 2 opciones y nalmente, una sola opción para el último paso. En total tenemos, 4 · 3 · 2 · 1 = 24 caminos. de los

4. Note que,

100100 = (1002 )50 = 1000050 y

5050 · 15050 = (50 · 150)50 = 750050 Como

10000 > 7500,

entonces,

100100 > 5050 · 15050 .

5. Los dígitos de este número son los números del números 1-9 10-99 100-999

1

al

2011.

cantidad de números

dígitos por cada uno

total

9

1

9

90

2

180

900

3

2700

1000-1999

1000

4

4000

2000-2011

12

4

48

Total

6937

p es un número primo, entonces, los múltiplos de p4 son: p0 = 1, p, p2 , p3 , p4 . Así que p4 tiene exactamente 5 divisores enteros

6. Si

positivos. Como existe una cantidad in nita de números primos, existe una cantidad in nita de enteros positivos con exactamente

5

divisores.

7. El segundo jugador tiene estrategia ganadora. Lo que debe hacer es siempre sacar la misma cantidad que se llevó el primer jugador pero del grupo alterno. De esta manera el otro jugador siempre se

112

encontrará con el mismo número de piedras en ambos grupos. Si este jugador retirase todas las piedras de un grupo, como el otro tiene la misma cantidad, el segundo jugador ganará al retirar la misma cantidad de piedras del otro grupo.

8. Esta ecuación es equivalente a:

x2 − y 2 = 2011 (x + y) · (x − y) = 1 · 2011 = 2011 · 1 = (−1) · (−2011) = (−2011) · (−1) Éstas son las únicas posibilidades porque el

a)

Caso

2011

es primo.

1: x + y = 1,

x − y = 2011

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos,

2x = 2012.

Así que,

x = 1006, y = −1005.

b)

Caso

2: x + y = 2011,

x−y =1

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos,

2x = 2012.

Así que,

x = 1006, y = 1005.

c)

Caso

3: x + y = −1,

x − y = −2011

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos,

2x = −2012. Así que,

x = −1006, y = 1005.

d)

Caso

4: x + y = −2011,

x − y = −1

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos,

2x = −2012. Así que,

x = −1006, y = −1005.

9. Si tenemos un triángulo equilátero con lado

113

a,

entonces,

a h

a 2

2 2 a 2 2 2 por Pitágoras h = a − = a2 − a4 = 3a4 , por lo tanto, 2 √ h = a 23 . La altura de la torre es la suma de las alturas de los 9 3 y , la altura de la torre es, triángulos, luego, para a = 1, 2 4 √

√ √ √ √ √ 3 3 3 9 3 3 3 3 9 3 + + = + + 2 2 2 4 2 2√ 4√ 8 √ 4 3+6 3+9 3 = 8 19 √ = 3 8

10. Todo número al cuadrado es no negativo, en particular,

√ √ 0 ≤ ( x − 1)2 = x − 2 x + 1 Así que,

2.3.3.

√ 2 x ≤ x + 1.

Superior

1. Esta ecuación es equivalente a:

x2 = 10 + 7y = 3 + 7 + 7y = 3 + 7(y + 1) Es decir, queremos encontrar do, del

0

al

6

x tal que x2 = 3 mod 7. Sustituyen-

en esta ecuación, vemos que nunca se satisface, por

lo tanto, esta ecuación no tiene solución.

114

2. Primero, enumeremos el tablero de la siguiente forma:

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

A

1

2

3

Si indicamos cada una de las posiciones utilizando los números del

1

al

15,

necesitamos el número de formas en que podemos re-

1 al 15. Para el primer paso, podemos escoger cualquiera de los 15, para el segundo paso, tendremos 14 opciones, luego 13, etc. En total tenemos 15 · 14 · 13 · · · · 1 = 15! ordenar los números del

caminos.

3. Considere la gura con los puntos identi cados de la siguiente forma:

A

M

B O

1

4

C

115

Note que

BC = BM = 4. Además, el triángulo AM O es semejante ACB por tener dos ángulos iguales, entonces,

al triángulo

AM AO MO = = AC AB CB Luego,

AO 1 AM = = A0 + 1 AM + 4 4 por lo tanto,

4AM = AO + 1 1 AM = (AO + 1) 4 y

4AO = AM + 4 AM + 4 AO = 4 por lo tanto,

1 AM + 4 AM = +1 4 4 16AM = AM + 4 + 4 8 AM = 15 Así que, el área del triángulo

AM O

es,

8 1· 15 2

=

4 .

15

2011 y 2100, es el 2099 y su suma es 20. El de suma mínima es el 2011, cuya suma es 3. Los cuadrados perfectos entre 3 y 20 son 4, 9 y 16. Note que el primer dígito debe ser 2, el segundo 0, y,

4. El número con mayor suma de sus dígitos, entre

4 = 2 + 2,

9 = 2 + 7,

Entonces,

116

16 = 2 + 14

suma de los dígitos 4

9

números 2011

2020

2016

2025

2034

2043

2052

2061

2070 16

2059

2068

2077

2086

2095

Luego, en total tenemos 5. Primero contemos del

1

14 al

años.

999999. Como unidad, lo tenemos una 105 − 1 decenas entre 1 y 1000000.

vez por cada decena y hay

Como decena, lo necesitamos diez veces por cada centena y hay 104 −1 centenas. Como centena, lo necesitamos cien veces por cada 3 unidad de mil y hay 10 − 1 unidades de mil. Como unidad de mil, 2 lo necesitamos mil veces por cada decena de mil y hay 10 − 1 decenas de mil. Como unidad de decena de mil, lo necesitamos diez mil veces por cada centena de mil y hay

10 − 1

centenas de

mil.

Así que,

uno por unidad diez por decena cien por centena mil por unidad de mil diez mil por decena de mil

1 × (105 − 1) = 99999 10 × (104 − 1) = 99990 100 × (103 − 1) = 99900 1000 × (102 − 1) = 99000 10000 × (101 − 1) = 90000

6 ceros en 1000000, en total, tenemos 99999 + 99990 + 99900 + 99000 + 90000 + 6 = 488895 ceros.

más los

6. Suponga que el lado del cuadrado original mide l , entonces, su 2 área es A = l . Si el lado del cuadrado, que resulta al eliminar los

24

cuadrados de lado

1cm,

es l1 , entonces,

A = l2 = 24 + l12 117

ó

24 = l − l12 = (l − l1 )(l + l1 ) Como

l > l1 ,

debemos considerar,

24 = 1 · 24 = 2 · 12 =3·8 =4·6 Soluciones enteras las obtenemos únicamente cuando:

l − l1 = 7,

l + l1 = 12 l=7

En el primer caso,

ó

l − l1 = 4,

l + l1 = 6

l = 5. Las posibilidades 49cm2 y 25cm2 .

y en el segundo,

para el área del cuadrado original son:

7. Para que el último dígito de un cuadrado sea del número original debió ser

4

ó

6, el dígito de unidad

6:

42 = 16 62 = 36 Si el dígito de las unidades es

4,

se puede escribir como

10k + 4

y

(10k + 4)2 = 100k 2 + 80k + 16 = 100k 2 + (8k + 1)10 + 6 y note que

8k + 1

es impar.

Si el dígito de las unidades es

6,

se puede escribir como

10k + 6

y

(10k + 6)2 = 100k 2 + 120k + 36 = 100k 2 + (12k + 3)10 + 6 y note que

12k + 3

es impar.

8. Las caras de cada una de esas pirámides es un triángulo equilátero y si su lado es

a,

entonces,

a h

a 2

118

2 a 2 2 2 por Pitágoras, h = a − = a2 − a4 2 √ h = a 23 . Sea h0 la altura de la pirámide,

=

3a2 , por lo tanto, 4

h’

entonces,

√

a

3 2

h’

a 2

119

por Pitágoras,

√ !2 a 3 a 2 − = (h0 )2 2 2 3a2 a2 − = (h0 )2 4 4 2a2 = (h0 )2 4 h0 =

√a . La altura de la torre es la suma de las alturas 2 de las pirámides, luego, para a = 1, 2 y 4, la altura de la torres es, Así que,

2 4 7 1 √ + √ + √ = √ cm.

2 2 2 2 9. El primer jugador tiene una estrategia ganadora. Éste debe colocar el centro de la primera moneda en el centro de la mesa. Luego de esto, no importa donde el segundo jugador la ponga, el primero podrá colocarla simétricamente con respecto al centro de la mesa.

10. Si

x > 0,

entonces,

x + 2 > 0,

así que,

0 ≤ (x − 1)2 (x + 2) = x3 − 3x + 2 y como

x > 0,

podemos dividir por

x

los extremos de la desigual-

dad y la preservamos:

0 ≤ x2 − 3 + Por lo tanto,

x2 +

2 x

2 ≥3 x

Otra forma de resolver el problema es por la desigualdad MA-MG,

1 x

x2 +

+

1 x

3 Por lo tanto,

x2 +

2 x

≥ 3.

120

r ≥

3

x2 ·

1 1 · x x

2.4.

Examen de selección

1, los 22 enteros tienen que −1. Sin embarhaber el mismo número de 1

1. Para que la multiplicación de ellos sea ser

1

ó

−1

y tiene que haber un número par de

go, para que la suma sea que de

−1,

es decir

11.

0,

debe

Ambas condiciones no se pueden cumplir

simultáneamente, así que la suma no puede ser cero.

2. Es mejor contar el complemento en este caso, es decir, ¾cuántos números de 6 dígitos no tienen ni un dígito par? Para cada dígito 6 tenemos 5 opciones, luego hay 5 posibles. Esto lo restamos del 5 6 total de números de 6 dígitos para obtener el resultado: 9·10 −5 =

884, 375.

3.

a ) p2 −1 = (p−1)(p+1), donde ambos factores son pares conse2 y otro entre 4, porque p es primo mayor que 3. Por otro lado, p − 1, p, p + 1 son tres cutivos, así que, uno es divisible entre

números consecutivos, así que, uno de ellos es divisible entre

3,

y no lo es

p,

luego lo es uno de los otros dos. Por lo tanto,

tenemos divisibilidad entre

b)

2 · 3 · 4 = 24.

(a), sabemos que p2 − 1 y q 2 − 1 son ambos 2 divisibles entre 24, así que, también lo será su resta: (p − 1) − (q 2 − 1) = p2 − q 2 .

Por la parte

4. Se pueden dividir los naturales menores que 21 en 10 clases disjuntas de números, tales que, en una pareja de cada clase, siempre uno divide al otro: {1,2,4,8,16}, {3,6,12}, {5,10,20}, {9,18}, {7,14}, {11}, {13}, {15}, {17}, {19}. Por el principio del palomar, si elegimos 11 números (palomas) y hay

10

clases disjuntas (palo-

mares), debe haber dos números en una misma clase. Por tanto, uno divide al otro.

5. Sean

B0

y

C0

las intersecciones de los segmentos

AB

y

AC

con

los respectivos lados del ángulo. La situación se muestra en la siguiente gura:

121

C C’ E A

D B’

B AB 0 C 0 es semejante al triángulo ABC , y sus lados 0 0 están en razón 1 : 2, por lo tanto, B C = BC/2. Basta observar 0 0 que B C > DE . (Esto se desprende de Tales, o alternativamente 0 0 es consecuencia de que la ruta A → B → C no es el circuito mínimo, mientras que A → D → E sí lo es, al mismo tiempo que AB 0 y AC 0 son las rutas mínimas de A a los lados del ángulo.)

El triángulo

6. El primer jugador tiene la oportunidad de partir la barra en dos barras iguales,

5 × 5, y de ahí en adelante hacer jugadas simétricas 1, sea

al contrincante, hasta que una barra, con base o altura desprendida y ahí romper el cuadrito ganador.

7. Utilizamos inducción matemática para resolver este problema: Caso básico: Para

n=1

es cierto, ya que 1+8+27=36.

Hipótesis inductiva: Suponga que el enunciado es cierto para

n,

es decir,

n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible entre

9.

Entonces,

(n+1)3 +(n+2)3 +(n+3)3 = n3 +(n+1)3 +(n+2)3 +9n2 +27n+27.

122

Los primeros tres términos son divisibles entre inductiva, y los últimos

3,

9

por la hipótesis

evidentemente, tienen un factor de

luego por Por el principio de inducción matemática,

n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible entre

9.

123

9,