libro canguro 2010

Canguro Matemรกtico 2010

CANGURO MATEMร TICO 2010

PUERTO RICO 1

Canguro Matemático 2010

Primera Edición 2010 Derechos AFAMaC-Matemáticas Director: Dr. Luis Fernando Cáceres Ninguna parte de esta obra puede ser producida ni retransmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC-Matemáticas.

Esta producción ha sido subvencionada por el Proyecto AFAMaC-Matemáticas mediante proyectos del departamento de Educación de Puerto Rico.

Contrato #2009 − AF0185 Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez Impreso y hecho en Puerto Rico.

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Canguro Matemático 2010

Tabla de Contenido

Equipo de Trabajo ……………………………………………………...4 Introducción………………….……………………………....................5 Exámenes Nivel Elemental ….……………………….……………….……7 Nivel Intermedio ………………………………………..….…..11 Nivel Superior ……………………………………………….…16 Soluciones Nivel Elemental …………..……………………………………20 Nivel Intermedio …………..…………………………………..28 Nivel Superior …………….………………….………………..37

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EQUIPO DE TRABAJO SELECCIÓN Y REDACCIÓN DE PROBLEMAS Nivel Elemental Alberto Álvarez Frances Beauchamp Iván González Edwin Román Gustavo Santana Nivel Intermedio Lucía Guzmán Samuel Hernández Laura La Llave Rosa Padilla Lizbeth Silva Nivel Superior Wilson González Mark Huamán Alexander Quintana Alexis Rosario Erick Seda Jahzeel Silva APOYO TÉCNICO César Barreto Gabriel Uribe Humberto Nieves COORDINACIÓN ESCUELAS CATÓLICAS Edgardo Nieves EDICIÓN MATEMÁTICA Erwin Suazo COORDINACIÓN GENERAL Arturo Portnoy Yuri Rojas DIRECTOR OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO Luis Fernando Cáceres 4

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INTRODUCCIÓN

Canguro Matemático es la olimpiada académica más grande del mundo. En ella participan millones de estudiantes de cerca de 50 países alrededor del mundo, desde Australia hasta Canadá y desde Eslovenia hasta Venezuela; desde el círculo polar ártico hasta el cono meridional de América del Sur, desde las regiones nevadas de Siberia hasta el trópico caribeño; naciones culturalmente cercanas a nosotros como España, México y Brasil, y de culturas tan exóticas y distantes como Georgia y Kazakstán; países grandes como Rusia y Estados Unidos, y países pequeños como Chipre y Puerto Rico. Las edades de los estudiantes que compiten van desde 8 años hasta 18 años, desde la escuela elemental hasta el nivel superior.

Los ejercicios de los exámenes que se celebraron en 2010 fueron obtenidos de un enorme banco de problemas sugeridos por decenas de matemáticos y maestros de todos los países participantes. Las características principales de los ejercicios son su novedad, su belleza y encanto, y el hecho de que son inéditos. La reunión de “Canguro Sin Fronteras”, la entidad internacional que coordina estos esfuerzos, fue celebrada del 26 de octubre al 1ro de noviembre de 2009 en Minsk, la capital de Bielorrusia. Alrededor de cien personas trabajaron en las tareas de seleccionar, redactar, editar y traducir los ejercicios que finalmente conformarían los exámenes de 2010. Representando a Puerto Rico estuvieron Luis Fernando Cáceres y Yuri Rojas, ambos catedráticos del Departamento de Ciencias Matemáticas del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

Posteriormente, durante los meses de enero, febrero y marzo de 2010, el equipo de trabajo del programa Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico, se dio a la tarea de confeccionar los exámenes de los niveles Elemental (grados 4to al 6to), Intermedio (grados 7mo al 9no) y Superior (grados 10mo al 12mo). Cada examen consta de 20 ejercicios de selección múltiple: seis (6) de tres puntos, ocho (8) de cuatro puntos, y seis (6) de cinco puntos. Los ejercicios, novedosos, divertidos y ciertamente diferentes a los de los libros de texto, tienen el propósito de enamorar a los jóvenes a la resolución de problemas verbales y al estudio de las matemáticas en general.

Es la primera vez desde que nuestro país participa en que se ofrecen tres exámenes distintos. La meta es alcanzar una audiencia cada vez mayor, tanto en escuelas públicas como privadas, católicas y no sectarias, urbanas y rurales, y que tanto varones como muchachas participen. Agradecemos en particular la colaboración del Dr. Jorge Iván Vélez Arocho, Presidente de la Pontificia Universidad de Puerto Rico, por ayudarnos en este esfuerzo.

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EXร MENES

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NIVEL ELEMENTAL (Grados 4to – 6to) 3 puntos 1) El pequeño Kangu va directamente desde el Zoológico hasta la Escuela. Él cuenta cada flor en el camino. ¿Cuál de los siguientes números no puede ser la respuesta?

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

2) El número 4 se coloca frente a dos espejos de manera que se refleja dos veces, según se muestra. Cuando se hace lo mismo con el número 5, ¿qué conseguimos en lugar del signo de interrogación?

A)

B)

D)

C)

E)

3) Una mosca tiene 6 patas, mientras que una araña tiene 8 patas. Juntas, 2 moscas y 3 arañas tienen tantas patas como 10 pájaros y A) 3 gatos.

B) 4 gatos.

C) 5 gatos.

D) 6 gatos.

E) 7 gatos.

4) Un pedazo cuadrado de papel tiene la cara de arriba color gris y la cara de abajo color blanco. Pedrito la dividió en nueve pequeños cuadraditos (ver figura de arriba a la derecha). ¿A lo largo de cuáles líneas debe cortar para conseguir la figura de abajo?

A) 1, 3, 5 y 7

B) 1, 4, 5 y 8

D) 2, 4, 6 y 8

E) 3, 4, 6 y 7

C) 2, 3, 5 y 6

5) Junior y Ana viven en un condominio. Ana vive 12 pisos por encima de Junior.

Un día Junior subió las escaleras para visitar a Ana. A mitad de camino se encontraba en el piso 8. ¿En qué piso vive Ana? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 20 6) Paola escoge un número, lo divide por 7, al resultado le suma 7 y finalmente multiplica la suma por 7. De esa manera consigue el número 777. ¿Cuál número fue el que escogió?

A) 7 B) 111 C) 567 D) 722 E) 728 7

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4 puntos 7) ¿Cuál es el perímetro de la figura a la derecha, cuyos ángulos son todos rectos?

A) 3×5 + 4×2 B) 3×5 + 8×2

C) 6×5 + 8×2

D) 6×5 + 6×2 E) 6×5 + 4×2 8) Andrea envolvió soga alrededor de un pedazo de madera.

Ella ha rotado la madera según muestra la flecha en la figura. ¿Qué forma tiene la soga en el lado de atrás del pedazo de madera?

A)

B)

D)

E)

Lado del frente

C)

9) Ana compró el boleto 100. Beatriz se quiere sentar cerca de ella. Sólo están disponibles los boletos 76, 94, 99, 104 y 118. ¿Cuál es el mejor?

A) 64 B) 76 C) 99 D) 104 E) 118 10) Usando la figura de la derecha podemos observar que 1 + 3 + 5 + 7 = 4 × 4. ¿Cuál es el valor de 1 + 3 + 5 + 7 + … + 17 + 19 + 21?

A) 11 × 11 B) 12 × 12 C) 13 × 13 D) 14 × 14 E) 15 × 14 11) Cuatro amigos estaban comiendo helado: · Gustavo comió más que Edwin, · Alberto comió más que Iván, · Alberto comió menos que Edwin. ¿Cuál de las alternativas da el orden de los muchachos desde el que más comió hasta el que menos comió?

A) Gustavo, Alberto, Iván, Edwin B) Iván, Gustavo, Edwin, Alberto C) Gustavo, Edwin, Alberto, Iván D) Alberto, Iván, Gustavo, Edwin E) Alberto, Gustavo, Iván, Edwin 8

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12) Luis comienza una cadena de cartas entre amigos. Le envía una carta a su amiga Frances. Luego Frances envía la carta a dos amigos diferentes. Todo el que recibe la carta la tiene que enviar a dos otras personas. Después de 2 rondas un total de 1 + 2 + 4 = 7 personas han recibido la carta. ¿Cuántas personas en total han recibido la carta después de 4 rondas?

A) 15

B) 16

C) 31

D) 32

E) 63

13) Todos los triángulos deben ser llenados usando los números 1, 2, 3 y 4. Cada vez que una pieza con la forma indicada a la derecha es colocada sobre cuatro triángulos, esconde 4 números diferentes. (La pieza puede rotarse, así que puede ser colocada en cualquier posición). Algunos números ya han sido escritos. Indique el número que va en lugar del *.

A) sólo el 1

B) sólo el 2

C) sólo el 3

D) sólo el 4 E) cualquiera de 1, 2 ó 3

14) Si en la multiplicación PPQ ⋅ Q = RQ 5Q las letras P, Q y R representan números diferentes, entonces P + Q + R = A) 13

B) 15

C) 16

D) 17

E) 20

5 puntos 15) Para decidir de quién será el último pedazo del bizcocho de cumpleaños, Elena, Sarah, Juan, Luisa y Arturo forman un círculo a favor de las manecillas del reloj y en este mismo orden. Ellos cuentan a favor de las manecillas del reloj: EL-CANGÚ-FUE-RA-TÚ – cada sílaba cuenta uno de los niños y el que sea contado por el TÚ sale del juego. Ellos repiten hasta que solamente quede un niño. Por ser su cumpleaños, Elena puede escoger quién empieza. ¿A quién ella debe escoger para asegurarle el último pedazo de bizcocho a su mejor amigo Arturo?

A) Elena

B) Sarah

C) Juan

D) Luisa

E) Arturo

16) Un restaurante de pizzas ofrece una pizza básica con mozzarella y salsa de tomate. Uno o dos ingredientes deben ser añadidos de entre los siguientes: cebolla, pepperoni, pimientos y setas. Más aún, las pizzas vienen en tres tamaños diferentes: pequeña, mediana y grande. ¿Cuántos tipos diferentes de pizza hay disponibles?

A) 7

B) 12

C) 18

D) 30

9

E) 48

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17) Para hacer un periódico de 60 páginas, necesitamos 15 hojas de papel puestas unas encima de las otras, que luego se doblan juntas. Si falta la página 7, ¿cuáles otras páginas también faltan en el periódico?

A) 8, 9 y 10

B) 8, 42 y 43

C) 8, 48 y 49

D) 8, 52 y 53

E) 8, 53 y 54

18) ¿Qué fracción del cuadrado a la derecha está sombreada?

A)

1 3

B)

1 4

C)

1 5

D)

3 8

E)

2 9

19) El dibujo muestra un móvil balanceado. Si no se tienen en cuenta los pesos de las barras horizontales ni los cordones verticales, el peso total es 112 gramos. ¿Cuál es el peso de la estrella?

A) 6

B) 7

C) 12

D) 16

E) no se puede determinar

20) Los pulpos de seis, siete y ocho patas son sirvientes del Rey del Mar. Los que tienen 7 patas siempre mienten, pero los que tienen 6 ú 8 patas siempre dicen la verdad. Un día cuatro pulpos se encontraron. El pulpo azul dijo: “Entre todos nosotros, tenemos 28 patas”. El verde dijo “Entre todos nosotros, tenemos 27 patas”.

El amarillo dijo “Entre todos nosotros, tenemos 26 patas”. El rojo dijo “Entre todos nosotros, tenemos 25 patas”. ¿Cuál es el color del pulpo que dijo la verdad?

A) verde

B) azul

C) rojo

D) amarillo

10

E) no se puede determinar

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NIVEL INTERMEDIO (Grados 7mo – 9no) 3 puntos 1) Hay siete barras en una caja. El tamaño de cada barra es 3 cm × 1 cm. El tamaño de la caja es 5 cm × 5 cm. ¿Es posible deslizar las barras en la caja de tal manera que haya espacio para una barra adicional? Si es posible, ¿por lo menos cuántas barras tienen que ser movidas en ese caso?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) no es possible

2) Juan comienza una cadena de cartas. Le envía una carta a Pedro. Pedro envía la carta a otras dos personas. Todo el que recibe la carta tiene que enviarla a otras dos personas. Después de 2 rondas, un total de 1 + 2 + 4 = 7 personas han recibido la carta. ¿Cuántas personas en total han recibido la carta después de 4 rondas?

A) 15

B) 16

C) 31

D) 33

E) 63

3) Si ambas filas tienen la misma suma, ¿cuál es el valor de * ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

199

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

*

A) 99

B) 100

C) 209

D) 289

E) 299

4) El perímetro de la figura de la derecha es igual a: A) 3a + 4b B) 3a + 8b C) 6a + 4b D) 6a + 6b E) 6a + 8b 5) En un mercado de trueque, la mercancía tiene que ser intercambiada de acuerdo a la lista de “precios” que aparece en la tabla. ¿Por lo menos cuántas gallinas tiene que llevar el Sr. Vélez al mercado para conseguir un ganso, un pavo y un gallo?

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17 11

¡Cómo hacer el intercambio!

1 pavo

⇔ 5 gallos

1 ganso + 2 gallinas 4 gallinas

⇔ 3 gallos

E) 18

⇔ 1 ganso

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6) El mínimo común múltiplo de 24 y el número x es menor que el de 24 y el número y. Entonces y / x no puede ser igual a

A)

7 8

B)

8 7

2 3 4 puntos C)

D)

6 7

E)

7 6

7) En la figura de abajo hay nueve regiones dentro de los círculos. Coloque todos los números del 1 al 9, exactamente uno en cada región, de tal manera que la suma de los números dentro de cada círculo sea 11.

¿Qué número debe ser colocado en la región con el signo de interrogación?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

8) Si a – 1 = b + 2 = c – 3 = d + 4 = e – 5, entonces ¿cuál de los números a, b, c, d, e es el más grande?

A) a

B) b

C) c

D) d

E) e

9) En el dibujo a la derecha ABCD es un rectángulo, y PQRS es un cuadrado. El área sombreada es la mitad del área del rectángulo ABCD. ¿Cuál es la longitud de PX?

A) 1

B) 1.5

C) 2

D) 2.5

E) 4

10) En el cuadrilátero ABCD tenemos que AD = BC, ∠DAC = 50º, ∠DCA = 65º, ∠ACB = 70º (ver la figura). Halle el valor de ∠ABC. A) 50º

B) 55º

C) 60º

D) 65º 12

E) imposible determinarlo

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11) El producto 60 · 60 · 24 · 7 es igual al A) número de minutos en siete semanas

B) número de horas en sesenta días

C) número de segundos en siete días

D) número de segundos en una semana

E) número de minutos en veinticuatro semanas 12) Hace dos años, la suma de las edades de los gatos Garfield y Silvestre era de 15 años. Ahora Garfield tiene 13 años. ¿En cuántos años Silvestre cumplirá 9 años?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

13) Camila escribió todos los enteros positivos del 1 al 100 en secuencia en una tabla de 5 columnas. Se muestra parte de la tabla en la figura de la derecha. Su hermano cortó una parte de la tabla y borró algunos de los números. ¿Cuál figura representa una parte incompleta de la tabla?

A)

B)

C)

D)

E)

14) Si escribimos siete números enteros consecutivos tal que la suma de los tres números más pequeños es 33, ¿cuál es la suma de los tres números más grandes?

A) 39

B) 37

C) 42

D) 48

E) 45

5 puntos 15) En cada una de 18 tarjetas hay exactamente un número escrito, 4 ó 5. La suma de todos los números de las tarjetas es divisible por 17. ¿En cuántas tarjetas está es escrito el número 4?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7 13

E) 9

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16) La Biblioteca Escolar que visitan Ana, Beatriz y Carlos posee una gran cantidad de libros. Su maestra dice: “Hay aproximadamente 2010 libros”, e invita a los tres estudiantes a adivinar el número exacto. Ana dijo 2010, Beatriz dijo 1998 y Carlos dijo 2015. La maestra dice que la diferencia entre los números que ellos dijeron y el valor exacto son 12, 7 y 5 pero no en ese mismo orden. ¿Cuántos libros hay en la Biblioteca?

A) 2003

B) 2005

C) 2008

D) 2020

E) 2022

17) Andrés, Esteban, Roberto y Marcos se conocieron en un concierto en San Juan.

Ellos proceden de pueblos distintos: Ponce, Dorado, Mayagüez y Barceloneta. Ésta es la información sobre estas personas: • Andrés y el muchacho de Barceloneta llegaron a San Juan temprano en la mañana el día del concierto. Ninguno de los dos ha estado en Ponce o Mayagüez.

• Roberto no es de Barceloneta, pero llegó a San Juan al mismo tiempo que el muchacho de Ponce.

• Marcos y el muchacho de Ponce disfrutaron mucho el concierto. ¿De qué pueblo es Marcos?

A) Ponce

B) Mayagüez

C) Dorado

D) Barceloneta E) San Juan

18) El logo que se muestra a la derecha está hecho completamente con arcos semicirculares de radios 2 cm, 4 cm ú 8 cm. ¿Qué fracción del logo está sombreada?

A)

1 3

B)

1 4

C)

1 5

D)

14

3 4

E)

2 3

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19) Andrea enrolló soga en un pedazo de madera. Ella rota la madera según muestra la flecha. ¿Qué ella ve luego de la rotación?

Frente

A)

B)

D)

E)

C)

20) Cada uno de los amigos de Humberto sumó el número del día y el número del mes de su cumpleaños y el resultado fue 35. Todos los cumpleaños son diferentes. ¿Cuál es el número máximo de amigos que tiene Humberto?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

15

E) 12

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NIVEL SUPERIOR (Grados 10mo – 12mo) 3 puntos 1) El sólido que se muestra en la figura está formado por cuatro cubos idénticos. El área de superficie de cada uno de los cubos es 24 cm2. ¿Cuál es el área de superficie del sólido?

A) 96 cm2

B) 64 cm2

C) 40 cm2

D) 32 cm2

E) 24 cm2

2) ¿Cuál es la medida del ángulo identificado con el signo de interrogación en la figura de la derecha?

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 40º

E) 50º

3) ¿Cuántos enteros hay tal que la suma de sus dígitos es 2010 y el producto de sus dígitos es 2?

A) 2010

B) 2009

C) 2008

D) 1005

E) 1004

4) Tres de los martes de un mes coincidieron con fechas pares. ¿Qué día de la semana era el número 21 de este mes?

A) martes

B) miércoles

C) viernes

D) sábado

E) domingo

5) ¿Cuántos números de cuatro dígitos, formados solamente de dígitos impares, son divisibles por cinco?

A) 900

B) 625

C) 250

D) 125

E) 100

6) El presidente de una compañía dijo: “Cada uno de nuestros empleados tiene por lo menos 25 años de edad.” Luego resultó que él no estaba en lo correcto. Eso quiere decir que: A) Todos los empleados de la compañía tienen exactamente 25 años de edad.

B) Todos los empleados de la compañía tienen más de 26 años de edad.

C) Ninguno de los empleados de la compañía tiene 25 años de edad todavía.

D) Algún empleado de la compañía tiene menos de 25 años de edad.

E) Algún empleado de la compañía tiene exactamente 26 años de edad.

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4 puntos 7) Iván obtuvo el 85% del total de puntos de un examen. Rodrigo obtuvo el 90% del total de puntos del mismo examen. Si Rodrigo solamente obtuvo un punto más que Iván, ¿cuál era el total de puntos en este examen?

A) 5 B) 17 C) 18 D) 20 E) 25 8) En cada uno de sus cumpleaños, Rosa recibe tantas flores como el número de años que cumple. Ella guarda las flores y ahora tiene 120 flores. ¿Cuántos años tiene Rosa?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 20 9) Violeta fue de vacaciones a la ciudad de Verona en Italia. Estando allí cruzó cada uno de los cinco puentes sobre el río Adige por lo menos una vez. Ella comenzó caminando desde la estación de trenes y, cuando finalmente regresó a la estación, había cruzado todos esos puentes y ninguno otro. En su recorrido, cruzó el río n veces. ¿Cuál es el valor mínimo de n?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

10) Un círculo de radio 4 cm se divide en cuatro partes congruentes usando arcos de radio 2 cm, según se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de una de las partes resultantes?

A) 2π

B) 4π

C) 6π

D) 8π

E) 12π.

11) ¿Para cuántos enteros n (1 ≤ n ≤ 100) el número nn es un cuadrado perfecto?

A) 5 B) 50 C) 51 D) 54 E) 55 12) ¿Cuántos enteros de 3 dígitos tienen la propiedad de que su dígito central es el promedio de los otros dos?

A) 50 B) 45 C) 36 D) 25 E) 16 13) El triángulo ABC es rectángulo, M es el punto medio de su hipotenusa AB, y ∠A = 60°. Entonces, ∠BMC = A) 105°

B) 108°

C) 110°

D) 120°

E) 125°

14) ¿Cuál de los siguientes puede ser igual al número de aristas de algún prisma?

A) 100

B) 200

C) 2008

D) 2009 17

E) 2010

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5 puntos 15) ABCE es un cuadrado, BCF y CDE son triángulos equiláteros.

Si AB mide 1, ¿cuál es la medida de FD?

A)

2

B)

3 2

C)

3

5 −1

D)

E)

6 −1

16) En una sucesión los primeros tres elementos son 1, 2 y 3. Desde el 4to elemento en adelante, el próximo elemento se calcula usando los 3 elementos anteriores, el tercero de los cuales es restado de la suma del primero y el segundo: 1, 2, 3, 0, 5, –2, 7, … ¿Cuál es el 2010mo elemento de la sucesión?

A) –2002

B) –2004

C) –2006

D) 2008

E) 2010

17) Un triángulo se dobla a lo largo de la línea entrecortada para obtener la figura que se muestra a la derecha. El área del triángulo es 1.5 veces el área de la figura que resulta. Si sabemos que el área total de las tres regiones sombreadas es 1, determine el área del triángulo original.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) imposible determinarlo

18) En un supermercado hay dos filas de carritos de compra bien apretados entre sí. La primera fila tiene diez carritos y mide 2.9 metros de largo. La segunda fila tiene veinte carritos y mide 4.9 metros de largo. ¿Cuánto mide de largo un carrito?

A) 0.8 m

B) 1 m

C) 1.1 m

D) 1.2 m

E) 1.4 m

19) El triángulo equilátero más grande consiste de 36 triángulos equiláteros con área 1 cm2 cada uno. Halle el área de ∆ABC. A) 11 cm2

B) 12 cm2

C) 13 cm2

D) 14 cm2 E) 15 cm2

20) En la figura que se muestra a la derecha, ∠α = 7°, y los segmentos OA1, A1A2, A2A3, ... son todos iguales. ¿Cuál es el número mayor de segmentos que se puede dibujar de esta manera?

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) tantos como querramos 18

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SOLUCIONES

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NIVEL ELEMENTAL (Grados 4to – 6to) 1) Existen 4 posibles recorridos para llegar del zoológico a la escuela. El primero es por arriba con 12 flores. El segundo es por abajo con 10 flores. El tercero es de arriba hacia abajo con 9 flores. El cuarto es de abajo hacia arriba y tiene 13 flores. Respuesta: C. 2) Al observar las reflexiones hechas al número 4, se realizan las mismas reflexiones al número 5. Primero, se realiza la reflexión con respecto al espejo vertical y luego con respecto al espejo horizontal hacia abajo.

Respuesta: A. 3) Como la mosca tiene 6 patas, dos moscas tienen 12 patas. El que cada araña tenga 8 patas implica que las 3 arañas tengan 24 patas. Juntas, las 2 moscas y las 3 arañas tienen un total de 12 + 24 = 36 patas. Al tener 10 pájaros hay 20 patas de pájaros. Entonces, por diferencia necesitamos 16 patas más, por lo tanto hay que tener 4 gatos. Respuesta: B. 4) La figura superior dada en el enunciado del problema contiene nueve cuadrados y los números del 1 al 8. Los lados interiores de cada cuadrado contienen un número, excepto los lados del cuadrado del medio. Según la otra figura, los cortes se deben realizar en los lados 2, 4, 6 y 8. Respuesta: D. 5) Tenemos que entre Junior y Ana hay 12 pisos. Si Junior subió hasta la mitad del camino, entonces subió 6 pisos. Nos dicen que la mitad de camino es el piso 8. Entonces, si subió 6 pisos más, Ana se encuentra en el piso 14.

Respuesta: D. 6) Como no sabemos el número que escogió Sara, utilizamos la variable x para representarlo. Ahora establecemos una ecuación; donde dividimos x sobre 7, le sumamos 7, y esa suma se multiplica por 7, para obtener como resultado 777: x   + 7  7 = 777 7  Para resolver esta ecuación, primero se utiliza la propiedad distributiva para multiplicar la fracción por 7 y le sumaremos la multiplicación de 7 por 7: 20

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49 777 Por último, sustraemos 49 a ambos lados de la ecuación, dando así 728 como el valor de x .

728 Respuesta: E. 7) Al saber que los ángulos son rectos podemos observar que se pueden formar pequeños rectángulos con dimensiones más pequeñas. Se forman 6 rectángulos con largo de 5 unidades y tenemos 8 rectángulos con dimensión de 2 unidades. Por lo tanto, podemos decir que 6 × 5 corresponde a los lados horizontales de la figura y 8 × 2 corresponde a los lados verticales de la figura original. Así el perímetro de la figura es 6 × 5 + 8 × 2 . Respuesta: C. 8) En la figura se muestra el pedazo de madera con su lado del frente.

Entonces, debemos empezar la vista de izquierda a derecha. En el primer hueco se puede observar que el hilo está en forma vertical y luego baja al tercer hueco (brincando el segundo), pues se puede decir que de atrás debe comenzar en el primer hueco de arriba y se cruza el hilo hacia el segundo hueco (porque equivale al tercero si lo estuviera viendo de frente). Las únicas dos alternativas que poseen esta característica son la B y la C. Luego, observamos que la figura del lado del frente sale el hilo justo arriba del tercer hueco de abajo por lo tanto el hilo por la parte de atrás sube en forma vertical y sólo la alternativa B sube de forma vertical en este tercer hueco y por último vuelve a subir en el cuarto hueco. Respuesta: B. 9) Al observar las filas de asientos, los números pares están a la derecha y los impares a la izquierda. Si Ana compró el boleto número 100, entonces está sentada en el lado derecho. Como Beatriz debe sentarse lo más cerca posible, podemos inferir que Beatriz también debe sentarse en el lado derecho, el de los números pares. Si representamos las filas que están al final del teatro podemos ver que: 21

Canguro Matemático 2010

102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, …

82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, …

62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, …

El asiento 118 está más cerca del 100. Respuesta: E. 10) Utilizando el dibujo podemos ver que están representado los primeros cuatro números de la secuencia y se formó un cuadrado con lado de 4 puntos.

Si se extiende la figura hasta llegar a la suma de los 21 tenemos un cuadrado con lado de 11 puntos. Respuesta: A. 11) Partiendo de las premisas de las personas que comieron helado se pueden establecer las siguientes desigualdades: a. Gustavo comió más que Edwin G > E, es decir E < G b. Alberto comió más que Iván A > I, es decir I < A c. Alberto comió menos que Edwin A<E Se concluye que I < A < E < G. Si colocamos en orden descendente la solución es: Gustavo, Edwin, Alberto e Iván. Respuesta: C. 12) Luis comienza la cadena, pero él no cuenta como los amigos que recibieron cartas. Frances es la primera persona que recibe una carta. Ella comienza la primera ronda enviando una carta a dos amigos diferentes.

Entonces, cada amigo que recibió la carta por parte de Frances la envía a dos amigos distintos. Esto provoca que en la segunda ronda tenga 4 cartas de amigos distintos. Estos a su vez la envían a dos amigos distintos para ser 8 cartas en la tercera ronda. Y para la cuarta ronda serán 16 cartas de amigos distintos. En conclusión podemos ver el patrón: 20 + 21 +22 + 23 + 24 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 Respuesta: C. 13) Comenzamos llenando los espacios junto al número 1 de la parte superior de la figura. Siguiendo las indicaciones del problema observamos que el 1 debe estar al principio y al final de la segunda fila: 22

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De la misma forma si llenamos los espacios junto al 2 y al 3 y para no contradecir las condiciones del problema tenemos que al final de la tercera fila debe estar el 3 y al final de la quinta fila debe estar el 2:

Así observamos que podemos descartar repuestas C) y E) pues 3 no es una opción para la posición * como la parte sombreada lo muestra:

También descartamos respuesta A) pues el 1 no puede estar en la posición * como la sombra muestra:

23

Canguro Matemático 2010

Ahora veamos que el 4 no puede ser. Asumamos que 4 está en la posición *.

Siguiendo la misma línea de las observaciones del principio, 2 debe estar en la parte sombreada:

Pero en la parte sombreada de la figura de abajo no pueden estar ni el 2 ni el 3, ni el 4 pues se violarían las condiciones del problema:

Por lo tanto descartamos el 4, o sea la alternativa D. Finalmente el 2 es la única opción válida:

Respuesta: B 24

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14) Para que Q · Q = SQ (donde S representa el primer dígito y Q el segundo), entonces los posibles valores de Q son: 1, 5 ó 6. Veamos cada caso: Si Q = 1, PP1 × 1 PP1 Por lo tanto, lo descartamos pues no es un número de cuatro cifras. Si Q =5 también lo descartamos porque no se puede producir el 5 en RQ5Q para cualquier valor de P. Así que sólo nos queda Q = 6. Para este caso, P puede ser 2 ó 7 para producir RQ5Q. Sin embargo, P tiene que ser 7 para producir R656.

Por tanto los números son: 776 × 6 4656 Es decir, P = 7, Q = 6, R = 4, y por consiguiente P + Q + R = 17.

Respuesta: D. 15) Son 5 personas y la frase consta de 6 sílabas. La persona que Elena escoja primero será la primera que se eliminará. Debe escoger a Sarah por lo siguiente: • Al empezar Sarah se elimina Sarah, • Continúa Juan se elimina Luisa, • Continúa Arturo se elimina José, • Continúa Arturo se elimina Elena.

Respuesta: B. 16) Todas las pizzas vienen con mozzarella y salsa de tomate. Esto no necesita ser considerado. Como para escoger un ingrediente se tienen 4 opciones y para seleccionar el tamaño se tienen 3 opciones, entonces una pizza con un solo ingrediente se puede hacer de 4 × 3 = 12 formas diferentes.

Ahora, para formar la pizza de dos ingredientes, tenemos 6 opciones para la combinación de ingredientes y para el tamaño 3 opciones, así que se pueden hacer 6 × 3 =18 pizzas diferentes con 2 ingredientes. Por lo tanto se tendrá un total de 30 diferentes pizzas. Respuesta: D.

25

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17) La primera hoja consta de las páginas 1 y 60 en un lado y en el reverso la 2 y la 59. Observamos que la suma siempre es 61. Al sacar la página 7 eliminamos la hoja de papel 4. El 7 corresponde con el 54 y el 8 corresponde con el 53. Las páginas eliminadas son: 8, 53, 54. Respuesta: E. 18) Primero, comenzamos determinando el área del cuadrado A = s2 = 62 = 36 cm2 Segundo, se determina el área de la región no sombreada. Son dos triángulos de base 6cm y altura de 4 cm cada uno.

A = ½ bh = ½ (6)(4) = 12 cm2 La suma de la región no sombreada es 2(12) = 24cm2. El área de la región sombreada es 36 – 24 = 12cm2. La fracción de área sombreada es: 12cm2 / 36cm2 = 1/3. Respuesta: A. 19) Si el móvil está balanceado implica que debe haber la misma cantidad de peso en cada extremo. Para cada extremo en el principio hay 56 gramos.

Después hay 28 gramos, 14 gramos y por último 7 gramos para cada extremo consecutivamente. La estrella tiene un peso de 7 gramos. Respuesta: B. 20) Analicemos lo que dijo cada pulpo. El pulpo azul dice que tienen 28 patas. Las combinaciones para obtener 28 son: 7 + 7 + 7 + 7 = 28 6 + 7 + 7 + 8 = 28 6 + 6 + 8 + 8 = 28 El pulpo verde dice que tienen 27 patas. Las combinaciones para obtener 27 son: 6 + 6 + 7 + 8 = 27 6 + 7 + 7 + 7 = 27 El pulpo amarillo dice que tienen 26 patas. Las combinaciones para obtener 26 son: 6 + 6 + 6 + 8 = 26 6 + 6 + 7 + 7 = 26 Por último, el pulpo rojo dice que tienen 25 patas. La única combinación para obtener 25 es: 6 + 6 + 6 + 7 = 25 26

Canguro MatemĂĄtico 2010

Se observa que no todos pueden estar diciendo la verdad. Por lo tanto un pulpo dice la verdad y los otros 3 mienten. La Ăşnica combinaciĂłn que tiene tres sietes es 6 + 7 + 7 + 7 = 27. Por lo tanto el pulpo verde dice la verdad.

Respuesta: A.

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NIVEL INTERMEDIO (Grados 7mo – 9no)

1) Enumeramos las barras dentro de la caja.

Deslizamos la barra número 1 hacia abajo.

Luego, deslizamos las barras enumeradas 2 y 3 hacia la izquierda.

De este modo, tendremos espacio para añadir una barra adicional a la izquierda de la barra número 4.

En conclusión se movieron 3 barras. Claramente moviendo una barra o dos barras no es posible. Respuesta: B. 2) Notemos que en cada ronda a partir de Pedro se duplica el número de personas que recibieron la carta en la ronda anterior. Entonces 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. En conclusión, 31 personas recibieron la carta después de 5 rondas.

El diagrama siguiente ilustra cada una de las rondas. Respuesta: C.

28

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29

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3) Sumamos la primera fila: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+199=254 Cuando sumamos ambas, estas suman la misma cantidad: 11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+*=254 Podemos desarrollar la siguiente ecuación: 155 + * = 254.

Al despejar por *, obtenemos: * = 254 – 155. Entontes * = 99. Respuesta: A.

4) Si sumamos la parte superior de la figura a + a + a = 3a. La parte inferior de la figura también mide 3a ya que si unimos cada uno de los segmentos a obtenemos la misma medida y esto nos da a un total de 6a. Si sumamos el lado derecho de la figura obtenemos b + 2b + b = 4b. Por lo tanto el lado izquierdo también es de 4b y obtenemos que la suma de ambos lados es de 8b. Al sumar todos los lados de la figura, obtenemos un perímetro de 6a + 8b. Respuesta: E.

5) De la tercera fila de la tabla se lee que 1 ganso equivale a 4 gallinas. Por lo tanto, de la segunda fila se deduce que 3 gallos equivalen a 6 gallinas, o sea que 1 gallo equivale a 2 gallinas. Finalmente de la primera fila deducimos que 1 pavo equivale a 10 gallinas. En conclusión: Para obtener un pavo, un ganso y un gallo necesitamos 10 + 4 + 2 = 16 gallinas. Respuesta: C.

6) Para llegar a la respuesta, primero descartamos la (A) pues mcm(24,8) = 24 < 168 = mcm(24, 7) .

También descartamos la (E) pues mcm (24, 6) = 24 < 168 = mcm (24, 7) .

Ahora, como 8/7 = 64/56 y mcm(24,56) = 168 < 192 = mcm(24, 64) descartamos la (B). Finalmente descartamos la (C) pues 2/3 = 16/24 y mcm(24, 24) = 24 < 48 = mcm(24,16) .

Respuesta: D.

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7) Comenzamos colocando el número 9 en uno de los círculos de los extremos, ya que, por ser el número más grande, sólo podemos combinarlo con el número 2 para que la suma dentro del círculo sea 11. El segundo número más grande es el 8, que debe colocarse en el otro extremo de la figura, ya que su única posible combinación es el número 3.

Para completar el círculo que ya tiene un 2, necesitamos dos números que sumen 9. De entre los números disponibles: 1, 4, 5, 6, y 7, sólo se pueden utilizar el 5 y el 4. Los acomodamos de la siguiente manera:

Para completar el círculo que contiene el 3, sólo quedan los números 1, 6 y 7.

De éstos, sólo podemos utilizar el 1 y el 7, ya que 1 + 7 + 3 = 11. Obtenemos:

Por último, el número 6 debe colocarse en la región con el signo de interrogación. Verificamos el círculo: 4 + 6 + 1 = 11.

Respuesta: B. 31

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8) Se tiene que b+2=d+4, de donde b=d+2, luego d<b. Por otro lado como b<b+2=a-1<a, entonces b<a. Como también se tiene que a-1=c-3, entonces a+2=c y como a<a+2, entonces se obtiene que a<c. Por último, como c3=e-5, entonces c=e-2, pero como e-2<e, tenemos que c<e. Así, d<b<a<c<e, con lo que concluimos que e es el número más grande.

Respuesta: E. 9) Utilizando la formula de área, Área = base × altura, el rectángulo ABCD tiene un área de 60 unidades cuadradas. El área sombreada XYRS mide 30 unidades cuadradas, ya que es la mitad del área de ABCD. Como PQRS es un cuadrado cuyos lados miden 6 unidades, por lo tanto ( XS )(6)=30, de donde XS =5 y PX = PS - XS =1. En conclusión, PX mide 1 unidad.

Respuesta: A. 10) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Por lo tanto, en el triángulo ACD determinamos que la medida de ∡ACD = 65° . Como ∡ACD = ∡ADC tenemos AC = AD. Por consiguiente BC = AC. Por lo tanto ∡BAC = ∡CBA . Restamos 180° − 70° = 110° , y entonces ∡ABC = 55° .

Respuesta: B. 11) Si observamos los números: 60 segundos que tiene un minuto 60 minutos que tiene una hora 24 horas que tiene un día 7 días en una semana 60 ⋅ 60 = 3,600 son los segundos en una hora 3,600 ⋅ 24 = 86,400 los segundos en un día 86,400 ⋅ 7 = 604,800 son los segundos en una semana Respuesta: D. 12) Restamos 2 a la edad de Garfield (13 – 2 = 11). Es decir, 11 es la edad de Garfield hace dos años. La suma de las edades de Garfield y Silvestre era 15: G + S = 15. Sustituimos la edad de Garfield en la ecuación: 11 + S = 15. Al resolver esa ecuación obtenemos que la edad de Silvestre hace dos años era: S = 15 – 11. Entonces, S = 4. Continuamos sumándole los dos años pasados 32

Canguro Matemático 2010

a su edad S = 4 + 2, entonces S = 6 y calculamos cuánto falta para cumplir los 9 años.

S + x= 9; 6 + x = 9; x = 9 – 6; x=3 Faltan 3 años para que Silvestre cumpla 9 años. Respuesta: C. 13) La primera opción que eliminamos es la (B) pues 52 debería estar en la fila anterior a la fila de 58. Observamos que el primer número de cada fila termina en 1 ó 6. También observamos que el último número de cada fila termina en 0 ó 5. Por lo tanto descartamos la (A) pues en vez del 43 deberíamos tener 42 en esa casilla. De igual manera descartamos la (D) y la (E) pues el 81 debería estar en la primera casilla y el 90 debería estar en la última. Respuesta: C. 14) Establecemos una ecuación para determinar el número menor de tres números consecutivos que suman 33. x + (x+1) + (x+2) = 33 3x + 3 = 33 3x = 30 x = 10 Si el número menor es 10, los tres números más pequeños son: 10, 11 y 12, cuya suma es 33. Por lo tanto, los números más grandes de entre los siete números consecutivos son 14, 15 y 16. La suma de éstos es igual a 45.

Respuesta: E. 15) Para determinar en cuántas tarjetas aparece escrito el número 4 ó 5, y que a su vez la suma de todos sea divisible por 17 hacemos las siguientes combinaciones: (4 ×1) + (5×17) = 89; 89 no es divisible por 17 (4 ×2) + (5×16) = 88; 88 no es divisible por 17 (4 ×3) + (5×15) = 87; 87 no es divisible por 17 (4 ×4) + (5×14) = 86; 86 no es divisible por 17 (4 ×5) + (5×13) = 85; 85 sí es divisible por 17 Si verificamos las combinaciones restantes notaremos que ninguna otra satisface la ecuación. Entonces, hay 5 tarjetas con el número 4 escrito y 13 tarjetas escritas con el 5. Respuesta: B.

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16) Para determinar cuál es el número cuya diferencia produce los números 12, 7 y 5, se debe buscar a partir de la cantidad de libros que dijo cada estudiante y ver en cuál número coinciden los tres.

Ana

Beatriz

Carlos

Sumando 2010 + 12 = 2022 2010 + 7 = 2017 2010 + 5 = 2015 1998 + 12 = 2010 1998 + 7 = 2005 1998 + 5 = 2003 2015 + 12 = 2027 2015 + 7 = 2022 2015 + 5 = 2020

Restando 2010 - 12 = 1998 2010 - 7 = 2003 2010 - 5 = 2005 1998 - 12 = 1986 1998 - 7 = 1991 1998 - 5 = 1993 2015 - 12 = 2003 2015 - 7 = 2008 2015 - 5 = 2010

Notemos que todos coinciden en el número 2003 por lo tanto, ésta es la cantidad de libros en la Biblioteca. Respuesta: A. 17) Comencemos construyendo una tabla de personas y pueblos. Con la información que nos da el problema vamos completando la tabla indicando sí o no en el pueblo de procedencia de cada muchacho. Andrés llegó con el de Barceloneta y no conoce Ponce ni Mayagüez, por lo tanto Andrés es de Dorado. Roberto no es de Dorado porque ellos son de pueblos diferentes, tampoco es de Barceloneta ni de Ponce. Entonces Roberto es de Mayagüez.

Marcos no es de Dorado ni de Mayagüez, y si está con el de Ponce, significa que Esteban es de Ponce y Marcos es de Barceloneta.

Ponce

Dorado

Mayagüez

Barceloneta

Andrés

NO

SI

NO

NO

Esteban

SI

NO

NO

NO

Roberto

NO

NO

SI

NO

Marcos

NO

NO

NO

SI

Respuesta: D.

34

Canguro MatemĂĄtico 2010

18) La fĂłrmula de ĂĄrea de un cĂ­rculo de radio r es

y de medio Ď&#x20AC; r2 cĂ­rculo es .

2

Comenzamos con el ĂĄrea de medio cĂ­rculo con radio igual a 8cm,

refiriĂŠndonos a F1 . Dicha ĂĄrea es 64 32 . Notemos que el ĂĄrea

sombreada del logo es justamente la mitad del cĂ­rculo de radio igual a 4cm.

Esta ĂĄrea corresponde a 8 . Ya tenemos el ĂĄrea del logo, 32 , y el ĂĄrea

sombreada del logo, 8 . Se establece la siguiente razĂłn y se simplifica: Ă 8

8 1

32 32 4 Ă Respuesta: B. 19) En la figura se muestra el pedazo de madera con su lado del frente.

Entonces, debemos empezar la vista de izquierda a derecha. En el primer hueco se puede observar que el hilo estĂĄ en forma vertical y luego baja al tercer hueco (brincando el segundo), pues se puede decir que de atrĂĄs debe comenzar en el primer hueco de arriba y se cruza el hilo hacia el segundo hueco (porque equivale al tercero si lo estuviera viendo de frente). Las Ăşnicas dos alternativas que poseen esta caracterĂ­stica son la B y la C. Luego, observamos que la figura del lado del frente sale el hilo justo arriba del tercer hueco de abajo. Por lo tanto, el hilo por la parte de atrĂĄs sube en forma vertical y sĂłlo la alternativa B sube de forma vertical en este tercer hueco y por Ăşltimo vuelve a subir en cuarto. Respuesta: B. 20) Los meses van del 1 al 12. El nĂşmero mĂĄximo de dĂ­as en un mes es 31.

Se buscan las posibles combinaciones entre mes y dĂ­a que sumen a 35. Estas combinaciones son: 31+4, 30 + 5, 29 + 6, 28 + 7, 27 + 8, 26 + 9, 25 + 10, 24 35

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+ 11, y 23 + 12. Se excluye la combinación 31+4 ya que abril, el mes 4, solo tiene 30 días. En total tenemos 8 posibles combinaciones de fechas que suman 35. En conclusión, el máximo número de amigos con fechas que la suma sea 35 es 8. Respuesta: B.

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Canguro Matemático 2010

NIVEL SUPERIOR (Grados 10mo – 12mo) 1) Dado que el área superficial de cada cubo es de 24 cm2, entonces el área de 24 cm 2 cada una de sus caras es = 4 cm 2 . La nueva figura tiene un área 6 superficial equivalente a 16 de las caras del cubo original. Por lo tanto el área superficial es 16 × 4 cm 2 = 64 cm 2 . Respuesta: B.

2)

Tenemos

que

∡ABD = 30°

ya

que

360° − 330° = 30° . Por otro lado notemos que ∡ECD es un ángulo exterior al ∆ABC , por lo tanto medida es 30° + 20° = 50° .

su

Dado que ∆CED es

triángulo rectángulo, ∡EDC es el complemento de

∡ECD . Así ∡CDE = 90° − 50° = 40° . Respuesta: D.

3) Para que el producto sea 2, sólo se pueden utilizar los dígitos 1 y 2 (el 2 una sola vez). Un ejemplo de esto es

1111111........

2 2008 dígitos igual a uno

donde 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 2 = 2010 .

2008

Pero la posición del dígito 2 tiene 2009 posiciones distintas, generando 2009 enteros que cumplen con la premisa. Respuesta: B. 4) La distancia entre los martes con número de día par es de 14 días. Por lo tanto tenemos que fijar el primer martes en el día 2 (debido a que es la única 37

Canguro Matemático 2010

forma de tener 3 martes pares en un mes). Los próximos martes con día par, serán el día 16 y el día 30. Como el 16 es martes, el día 21 será domingo.

Respuesta: E. 5) Para que el número sea impar y divisible por 5, su último dígito debe ser 5.

Para cada una de las otras tres posiciones, tenemos 5 posibilidades (1, 3, 5, 7, 9). Por lo tanto hay 5 × 5 × 5 ×1 = 125 posibilidades. Respuesta: D. 6) Como el presidente dice que todos sus empleados tienen 25 ó más años de edad, para que esto sea falso se debe cumplir que por lo menos un empleado no cumpla la condición de tener 25 ó más años de edad. Respuesta: D.

7) Sea x la cantidad de puntos obtenidos por Iván y sea t el total de puntos del examen. Obtenemos que: i) x = 0.85t ii) x + 1 = 0.9t.

Sustituyendo i) en ii), obtenemos que x = 20. Respuesta: D. 8) El número total de flores es la suma de los enteros consecutivos de 0 a n. n(n + 1) = 120 .

Entonces podemos utilizar la fórmula 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 Luego n(n + 1) = 240 y así n2 + n − 240 = 0 .

Despejando para n tenemos n = -16 y n = 15. Descartamos n = -16, por lo tanto, Rosa tiene 15 años. Respuesta: C. 9) Como Violeta cruzó cada puente una vez, para regresar a la estación del tren, Violeta cruza una vez más uno de los 5 puentes. Por lo tanto, 6 es el número mínimo de cruzar los cinco puentes. Respuesta: B. 10) Los arcos utilizados para dividir el círculo, tendrán una longitud de 2π .

Como la circunferencia del círculo es C = 2π r = 2π (4) = 8π , entonces cada 38

Canguro Matemático 2010

uno de los arcos del círculo es de

8π = 2π . Dado que una parte resultante 4

está compuesta de 3 arcos, el perímetro es 6π . Respuesta: C.

11) Observamos que la condición se cumple para todos los valores pares de n. Por ejemplo, 66 es un cuadrado perfecto. Entre uno y cien, hay 50 números pares. A estos números tenemos que añadirle los números

{1 ,9 , 25 1

9

25

}

, 4949 ,8181 que también son cuadrados perfectos. Por ejemplo 99

es cuadrado perfecto debido a que 99 = ( 32 ) = 318 = ( 39 ) . Por lo tanto hay 9

2

en total 55 números enteros que satisfacen la condición. Respuesta: E.

12) Para que el promedio de dos enteros sea entero, la suma de los dos debe ser par. Las posibilidades son: i)

Cuando los dos extremos son números pares. (la primera posición no debe ser cero) 4

×

Cantidad de pares en el primer dígito

ii)

5

= 20 posibilidades

Cantidad de pares en el tercer dígito

Cuando los dos extremos son números impares.

5

Cantidad de impares en el primer dígito

×

5

= 25 posibilidades

Cantidad de impares en el tercer dígito

Para concluir, 20 +25 = 45 enteros de tres dígitos que cumplen la condición.

Respuesta: B.

13) CM es una mediana del triángulo rectángulo ∆ABC . Dado que M es el circuncentro del ∆ABC , entonces MA = MC. Por lo tanto, el ∡MCA = 60° y

∡BMC es un ángulo exterior del ∆AMC y la medida de ∡BMC = 120° .

Respuesta: D. 39

Canguro Matemático 2010

14) El total de aristas de un prisma es la suma de las aristas de cada una de sus dos bases y las aristas que conectan los vértices de cada base. Por lo tanto el número de aristas es un múltiplo de 3. Observando las opciones, 2010 es el único que es múltiplo de 3. Respuesta: E. 15) Como ∆BCF es un triángulo equilátero, el ∡BCF = 60° . Como el

∆CDE es equilátero, el ∡ECD = 60° . Por lo tanto, el ∡ECF = 30° debido a que es complemento de ∡FCB . FD es la hipotenusa del triángulo rectángulo ∆FCD . Aplicando el Teorema de Pitágoras, tenemos que FD = 12 + 12 = 2 . Respuesta: A.

16) Continuando el patrón obtenemos: 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, 9, -6, 11, -8,…

Como 2010 es un número par, todos los números en la posición par son pares. Notemos que se tiene el siguiente patrón: Posición (n) 2 4 6 8 10 . . . n 2010

Número 2 0 -2 -4 -6 . . .

4-n 4-2010

Por lo tanto el número en la posición 2010 es -2006. Respuesta: C. 17) Sea x el área no sombreada de la figura resultante. El área de esta figura es 1+x. El área del triángulo original es 1 + 2x.

40

Canguro Matemรกtico 2010

Como el รกrea del triรกngulo es 1.5 veces el รกrea de la figura resultante, tenemos: 1 + 2 x = 1.5(1 + x)

1 + 2 x = 1.5 + 1.5 x 0.5 x = 0.5 x =1 Por lo tanto el รกrea del triรกngulo original es 1 + 2x = 1+ 2(1) = 3.

Respuesta: B. 18) Sea: x, la medida de un carrito, y, la medida del espacio excedente al introducir un carrito dentro de otro.

Construimos las siguientes ecuaciones para cada fila: Fila 1: x + 9y = 2.9, Fila 2: x + 19y = 4.9.

Resolviendo el sistema: 10y=2, y=0.2.

Reemplazando en la ecuaciรณn de la Fila 1 se obtiene: x +9 (0.2) = 2.9, x = 2.9 โ 1.8, x = 1.1 metros.

Por lo tanto la medida del carrito es 1.1 metros. Respuesta: C. 19) Calculemos el รกrea de los tres triรกngulos fuera del triรกngulo equilรกtero ABC.

41

Canguro Matemático 2010

Para ello usaremos los triángulos pequeños de una unidad de área. Primero, expresamos la base de este triángulo pequeño en términos de su altura.

1 2 bh = 1 ⇒ b = 2 h Ahora observando la figura podemos concluir que: 1 2  i ) Area (∆ABE ) =  4   (h)  = 4 2 h   1 2 ii ) Area (∆CBF ) =  2   (3h)  = 6 2 h  1 2  iii ) Area (∆DAC ) =  3   (5h)  = 15 2 h  Por lo tanto el área de los tres triángulos es 25. Concluimos que el área del triángulo ABC es 36 – 25 = 11cm 2 . Respuesta: A.

20) Podemos observar que los triángulos formados son isósceles y comparten un lado a partir del segundo triángulo. El ∡A1 A2 A3 es 14° porque es ángulo exterior al ∆OA1 A2 . Como el ∡A1 A2 A3 = 180° − 28° = 152° , por lo tanto el ∡A3 A2 A4 = 180° − 152° − 7° = 21° . Continuando el proceso se obtiene el siguiente patrón:

42

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Numero de segmentos congruentes Medida de los ángulos iguales en el triángulo isósceles

2

3

4

5

6

…

12

13

14

7

14

21

28

35

…

77

84

91

Para poder formar un triángulo, dos veces la medida de los ángulos iguales del triángulo isósceles tiene que ser menor que 180°. De la tabla se desprende que 13 es el número mayor posible de segmentos que se pueden dibujar ya que para el caso de 14 segmentos se tiene que 2(91) >180°. Respuesta: D.

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