Campamento 18-20 de abril de 2009 Luis F Cáceres
1. ¿Existe un entero N tal que N 3 = 9k + 2 , donde k es un número entero? 1 1 1 2. Sea P = − 1 − 1 − 1 con a, b, c mayores que cero y a + b + c = 1 . a b c Probar que P ≥ 8 . 3. Hallar todos los enteros positivos n para los cuales n 4 + 4 es primo. 4. Sean P = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ n y S = 1 + 2 + ... + n donde n es un número natural. Muestre que S divide a P cuando n es impar y cuando n es par no necesariamente. 5. Hallar los últimos dos dígitos de N = 1110 − 1 . 6. Muestre que si a 2 + b 2 = c 2 con a, b, c números enteros, entonces P = abc es divisible por 60. 7. Hallar todos los valores de x que satisfacen el par de ecuaciones x 2 − px + 20 = 0 y x 2 − 20 x + p = 0 . 8. Sea P = ab constante con a, b > 0 . Sea S = a + b . Mostrar que el valor mínimo de S es 2 ab = 2 P . 9. Sea S = a + b constante con a, b > 0 . Sea P = ab . Mostrar que el valor máximo 2
a+b de P es . 2 10. Sea f = mx + ny con m, n enteros positivos fijos y x, y mayores que cero tales que xy es una constante fija. Hallar el valor mínimo de f . 11. Demuestre que para todo número natural n el último dígito de n5 y n es el mismo. 12. Solucionar la congruencia x 2 − 2 x + 2 ≡ 0 mod 5 . 13. Si a, b, c son tres impares consecutivos con a < b < c hallar el valor de a 2 − 2b 2 + c 2 . 14. Resolver la ecuación x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 = y 2 para valores x, y enteros. 15. Hallar todos los enteros N que comienzan con el dígito 6 y tienen la propiedad 1 que cuando el 6 se borra, el número resultante es del número original N . 16 16. Demostrar que si a1a2 ⋅⋅⋅ an = 1 , entonces a1 + a2 + ... + an ≥ n .