Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez
OLIMPIADAS DE MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO
Universidad de Puerto Rico
EXAMEN DE SELECCIÓN
2009 1. Al terminar una fiesta un total de 28 dadas de mano se dieron. Si todos le dieron la mano a todos una sola vez, ¿cuántas personas había en la fiesta? By the time a party is over, 28 handshakes have occurred. If everyone shook everyone else’s hand once, how many people attended the party? 2. Los últimos tres dígitos de N son x 25 . ¿Para cuántos valores de x puede ser N el cuadrado de un entero? The last three digits of N are x 25 . For how many values of x can N be the square of an integer? 3. En cualquier triángulo ABC sea E un punto sobre la altura desde A . Probar que 2
( AC ) − ( CE )
2
2
2
= ( AB ) − ( EB ) .
On an arbitrary triangle ABC let E be a point on the height from A . Prove that 2
( AC ) − ( CE )
2
2
2
= ( AB ) − ( EB ) .
4. Encuentra todos los enteros b y c tales que la ecuación x 2 − bx + c = 0 tenga dos soluciones reales x1 , x2 con x12 + x22 = 5 .
Find all integers b and c such that the equation x 2 − bx + c = 0 has two real roots x1 , x2 satisfying x12 + x22 = 5 . 5. Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en un círculo. La diagonal BD biseca a AC . Si AB = 10 , AD = 12 y DC = 11 , hallar BC . Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle. The diagonal BD bisects AC . If AB = 10 , AD = 12 and DC = 11 , find BC . 6. Las casillas de un tablero n × n se están coloreadas blanco y negro como en el tablero usual de ajedrez, donde la casilla de la esquina superior izquierda es negra. Coloreamos de negro las casillas blancas de la siguiente manera: en cada paso escogemos un rectángulo arbitrario de tamaño 2 × 3 o 3 × 2 que todavía contenga tres casillas blancas y coloreamos de negro estas tres casillas blancas. ¿Para qué valores de n se puede colorear todo el tablero de negro después de un número finito de pasos? The entries on an n × n board are colored black and white like it is usually done in a chessboard, and the upper left hand corner is black. We color the entries on the chess board black according to the following rule: in each step we choose an arbitrary 2 × 3 or 3 × 2 rectangle that still contains 3 white entries, and we color these three entries black. For which values of n can the whole board be colored black in a finite number of steps? Tiempo para el examen: 4 horas Time for the exam: 4 hours Cada pregunta vale 7 puntos Each problem is worth 7 points