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¿Podrías ser un poco mas claro en el segundo paso?

Prof. Erick Seda Domingo 19 de abril de 2009 Proyecto AFAMaC, UPRM SESO

La condicional • Forma general – Si (hipótesis) entonces (conclusión).

• Ejemplo – Si un ángulo mide 30°, entonces es un ángulo agudo.

• Símbolo – Si a entonces b se representa:

a→b

El converso • Se intercambian la hipótesis y la conclusión • Ejemplo: – Para la condicional: “Si un ángulo mide 30°, entonces es un ángulo agudo.” el converso será: “Si un ángulo es agudo entonces mide 30°”

• Símbolo

– Para la condicional: a → b – El converso será: b → a

• Error común – Una condicional cierta no garantiza un converso cierto.

La bicondicional • Es un “si y solo si”.

• Para que una bicondicional sea cierta, deben ser ciertas la condicional y su converso.

• Ejemplo – Condicional: Si un ángulo mide 90° entonces es un agulo recto.

– Converso: Si un ángulo es recto entonces mide 90°.

– Bicondicional: Un agudo será recto si y solo si mide 90°.

• Símbolo – “a” si y solo si “b” se escribe:

a↔b

La inversa • Es la negación de ambas: la hipótesis y la conclusión de una condicional.

• Ejemplo – Para la condicional: “ Si un ángulo mide 30° entonces es un angulo agudo” tenemos que la inversa será: “Si un angulo no mide 30° entonces no es un angulo agudo”.

– Nota: Nuevamente, una condicional cierta no garantiza una inversa cierta.

• Símbolo – Aunque existen varios el mas común es:

~ a →~ b

La contrapuesta • Podríamos definirla como la inversa del converso.

• Ejemplo – Para la condicional: “Si un ángulo mide 30° entonces es un angulo agudo” tenemos que la contrapuesta será: “Si un angulo no es agudo entonces no mide 30°”.

– Nota: Siempre que una condicional cierta la contrapuesta también será cierta.

• Símbolo – Aunque existen varios el mas común es:

~ b →~ a

Ejemplos • Determinar cual de los siguientes enunciados puede ser escrito como una bicondicional cierta.

– Si estoy en Mayagüez entonces estoy en Puerto Rico.

– Si ABCD es un rectángulo entonces ABCD es un cuadrado.

– Si x = 2 entonces x2 = 4.

Razonamiento • Deductivo: De lo general a lo particular • Ejemplo – La suma de los ángulos interiores de un triangulo es 180°. ABC es un triangulo.

– Conclusión :<A+<B+<C=180 °

Razonamiento • Inductivo: de lo particular a lo general • Ejemplo – – – – – –

111=11 es palíndromo 112=121 es palíndromo 113=1331 es palíndromo 114=14641 es palíndromo Conclusión 11n es palíndromo

• Error – 115=161051 que no es palíndromo

Ley del Silogismo ( a → b) ∧ (b → c ) → ( a → c ) Ejemplo: Si ABC es un triangulo rectángulo con <C recto entonces <A+<B=90°.

Si <A+<B=90° entonces <A y <B son angulos complementarios.

Conclusión: Si ABC es un triangulo rectángulo con <C recto entonces <A y <B son ángulos complementarios

Problema 1 La guitarra de Jimmy Hedrix a desaparecido y hay cuatro sospechosos. Solo uno de ellos dice la verdad.

Eddie dice que el no la rob贸.

Carlos dice que Eddie miente.

Steve dice que Carlos miente.

The Edge dice que Carlos se la rob贸. 驴Quien dice la verdad?

Problema 2 En la comedia de Shakespeare “A Midsummer Night’s Dream” los protagonistas Demetrius y Lisander, y las chicas Helena y Hernia son victimas del mal de los amores de forma tal que cada chico esta locamente enamorado de una de las chicas mientras recibe el amor incodicional de la otra.

Dadas estas condiciones, ninguna pareja, chico y chica, puede quedar sin chaperón en ningun momento. Los cuatro personajes tienen que cruzar un rio en el menor número de viajes utilizando una canoa para dos. Lysander esta herido y no puede remar. El honor de Demetrius, no le permite dejar a Hernia remar antes que el y la debil Helena apenas podrá cruzar el rio remardo dos veces. ¿En cuantos viajes y en que orden cruzaran el río?

Problema 3 ÂżCuantas veces se cruzarĂĄn las manecillas del reloj entre las 5am y las 5pm?

Problema 4 A media noche sincronizo mi reloj y el de mi esposa sin saber que ambos están defectuosos. Mi reloj adelanta un minuto por hora y el de mi esposa atrasa dos minutos por hora. Mas tarde durante ese día, descubrimos que existe una hora de diferencia en nuestros relojes. ¿Cuál es la hora correcta?

Problema 5 Si dibujáramos 5 segmentos desde el centro de un pentágono regular a cada uno de sus vértices se formarían cinco triángulos isósceles. Si pudiéramos pintar uno o mas de estos triángulos de gris, ¿cuantos patrones distintos podríamos formar? (Cada patrón debe ser único y no puede ser la rotación de otro patrón)

Problema 6 Un ama de llaves recibe 20 llaves para abrir 20 habitaciones. ¿Cuál será el numero máximo de intentos que ella tendrá que hacer para saber que llave corresponde a cada habitación?

Problema 7 ¿Cuan profundo será un agujero de 5cm de diámetro hecho en una esfera de 13cm de diámetro?

Problema 8 Mortimer y tres amigos fueron a una exhibici贸n de afiches en la cual cada uno pudo encontrar un afiche de su ciudad natal . En cada afiche se presentaba un edificio, un festival, una parada o un rascacielos distintivo de cada ciudad. Determine en que orden pagaron los afiches y que afiche compro cada quien si: 1) El que compro el afiche de San Francisco pago justo antes que el que compro el afiche de la parada quien a su vez pago justo antes que Bonnie.

2) El que compro el afiche de Nashville pago justo antes que el que compro el afiche del edificio y justo despu茅s que Lulu.

3) Los compradores fueron Rafael, alguien de New York, otro que compro el afiche de un festival y otro que pago segundo.

4) El comprador de Chicago es una chica.

Problema 8 (cont.)

Respuestas Problemas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Carlos Rema Helena y viaja con Hernia. Vuelve Helena sola.

Rema Demetrius y viaja con Lysander. Vuelve Hernia sola. Rema Hernia y viaja con Helena.

11 8pm 8 190 12cm 1ro Rafael-SF-rascacielos, 2do Lulu-Chicago-parada, 3ro Bonnie-Nashville-festival y 4to Mortimer-NYedificio

Disecciones 1) Si a un triangulo equilátero le cortamos una cuarta parte como se muestra, ¿como podemos disecar el trapecio que nos queda en cuatro partes de igual forma y área?

Disecciones 2) Si a un cuadrado le cortamos una cuarta parte como se muestra, Âżcomo podemos disecar la figura en cuatro partes de igual forma y ĂĄrea?

Disecciones 3) ¿Será posible cortar esta figura es dos parte de forma que tal que al reubicarlas se forme un rectángulo?

Respuestas Disecciones

Investigación Un rectángulo n x m se divide en nm cuadrados iguales (de manera natural). ¿A través de cuántos cuadrados pasa una diagonal del rectángulo?

Generalizar a cajas rectangulares de tamaño n x m x pp.

Definiciones Ejemplo:

• Sean a y b la altura y la base respectivamente de un rectángulo • Sea f(a,b) igual al número de cuadritos a través de los cuales cruza una diagonal • Sean a, b y c la altura, la base y la profundidad respectivamente de una caja rectangular • Sea g(a,b,c) igual al número de cubos a través de los cuales cruza una diagonal • Sea m(a,b) el máximo factor común entre a y b.

a=1 b=3 Ejemplo:

a=2 c=2 b=3

Rectรกngulos con a=1 f(1,1) = 1

f(1,2) = 2

f(1,3) = 3

Observamos que: f(1,n) = n

Rectángulos con a=2 f(2,1) = 2 = f(1,2) Observamos que: f(a,b) = f(b,a) para toda a y b ya que solo estamos rotando la figura Caso 1

f(2,2) = ???

Si “a través” implica que toca puntos interiores, entonces f(2,2) = 2

Caso 2

Pero si “ a través” implica que toca al menos en un punto, entonces f(2,2) = 4

Como grupo, decidimos estudiar el Caso 1, y dejar el Caso 2 como una posible variante al problema original, que posteriormente también resolveremos.

Rectángulos con a=2 (continuación) f(2,3) = 4

Concluimos que:

; b → par   b f (2, b) =   b + 1 ; b → impar 

f(2,4) = 4

f(2,5) = 6

f(2,6) = 6

f(2,7) = 8

Rectángulos con a=3 f(3,1) = f(1,3) = 3 f(3,2) = f(2,3) = 4

f(3,6) = 6

f(3,3) = 3 f(3,7) = 9

f(3,4) = 6

Concluimos que:

f(3,5) = 7

; b mod 3 = 0  b f (3, b) =   b + 2 ; b mod 3 ≠ 0

Conjetura inicial ; b mod a = 0  b ∀a ≤ b → f (a, b) =   a + b −1 ; b mod a ≠ 0 Para toda a menor o igual que b, el número de cuadrados a través de los cuales atraviesa una diagonal será igual a b , si b es un múltiplo de a o sino será igual a (a + b – 1) 1). Nota: aquellos a>b, pueden ser reescritos como casos donde a>b f(b,a) ya que el orden de las dimensiones no afecta el resultado.

ERROR!!!

RectĂĄngulos con a=4 f(4,1) = f(1,4) = 4 f(4,2) = f(2,4) = 4 f(4,3) = f(3,4) = 6 f(4,6) = 8 â&#x2030; 9 f(4,4) = 4 Contraejemplo de conjetura inicial

f(4,5) = 8

f(4,7) = 10

Rectángulos con a=4 (continuación)

f(4,8) = 8

f(4,10) = 12 ≠ 13 Otro contraejemplo de nuestra conjetura inicial

f(4,9) = 12

Estudio de los contraejemplos

f(4,6) = 8 ≠ 9

f(4,10) = 12 ≠ 13

A pesar de que a no es factor de b, en ambos casos observamos un patrón o proyección porque a y b tienen un factor común mayor que 1. Si lo factorizamos: f(4,6) = 2 f(2,3) = 2(4) = 8;

de igual forma: f(4,10) = 2 f(2,5) = 2(6) = 12

Conclusión

f (a, b) = k [ f ( p, q )] = k [ p + q − 1] en donde:

k = m( a , b) a=k⋅p b = k ⋅q

que se puede rescribir como:

f (a,b) =a+b−k

Demostración Visual a=5

f(5,11) = 5 + 11 – 1 = 15

b=11 Q Para llegar desde el punto P hasta el punto Q atravesamos 11cuadritos naranja (b) y subimos 4 cuadritos amarillos (a – 1).

P Es por esto que f(a,b) = a + b – 1; cuando el máximo factor común entre a y b es 1.

Estudio del Caso 2 Caso 1

Caso 2

Regresando al caso 2 en el cual incluimos en la cuenta los cuadrados que son tocados por la diagonal concluimos los siguientes: •El Caso 2 es distinto al Caso 1 solo en aquellas ocasiones en las cuales la diagonal atraviesa por un vértice •El número de cuadrados añadidos serán siempre dos por vértice intersecado •El número de vértices intersecados por la diagonal es igual al máximo factor común entre a y b menos 1.

Conclusión para el Caso 2

f (a, b) = a + b − k + 2(k − 1) *

en donde:

k = m( a, b)

cuadrados añadidos

que se puede rescribir como:

f ( a, b) = a + b + k − 2 *

* representa caso 2

La Tercera Dimensión

a=5 c=3 b=11

Conjetura inicial:

g ( a , b, c ) = a + b + c − 2

Ejemplo: g(5,11,3) = 17 Observación: Solo funciona cuando el máximo factor a, b, o c) es 1. común entre cualesquiera dos dimensiones (a,

Observaciones 3-D I.

g(2,2,2) = 2;

g(3,3,3) = 3;

g(2,4,6) = 8 = 2·g(1,2,3) = 2(4)

Conjetura g(ka,kb,kc) = k[g(a,b,c)] Justificación: Es una repetición de k cajitas en la diagonal de la caja original II. g(2,3,4) = g(2,4,3) = g(3,4,2) = g(3,2,4) = g(4,2,3) = g(4,3,2) Conjetura: el orden de las dimensiones no importa Justificación: Es solo una rotación de la caja original III. Otros casos observados g(2,3,4) = 6 (contradice el: a + b + c – 2) por el 2 y 4 g(4,6,9) = 12 (exige una revisión por tener varios factores comunes)

Conjetura en 3-D

g (a, b, c) = f ( f (a, b ), c ) ∀a ≥ b ≥ c Cotejo con ejemplos observados: g(2,3,4) = g(4,3,2) = f(f(4,3),2) = f(6,2) = 2f(3,1) = 2(3) = 6 g(2,4,6) = g(6,4,2) = f(f(6,4),2) = f(2f(3,2),2) = f(2(4),2) =2f(4,1) = 2(4) = 8 g(4,6,9) = g(9,6,4) = f( f(9,6),4) = f(3f(3,2),4) = f(3(4),4) = 4f(3,1) = 4(3) = 12 Contraejemplo: g(8,5,3) = f(f(8,5),3) = f(12,3) = 3f(4,1) = 3(4) = 12 Cuando en realidad g(8,5,3) = 8 + 5 + 3 – 2 = 14

ERROR!!!

De vuelta a 2-D Observación: Siempre que la diagonal suba un nivel y avance una columna, intersecará un cuadrado adicional, si pasa por los segmentos en lugar de pasar por un vértice. En otras palabras, cuando la diagonal pasa por un vértice, reduce la cuenta de los cuadrados por 1.

3 cuadrados Podemos entonces rescribir :

3 cuadrados

2 cuadrados

f (a, b) = a + b − 1 − (k − 1) = a + b − k

Donde k es el máximo factor común entre a y b; y (k – 1) es el número de vertices intersecados por la diagonal. Esta nueva visión de lo que ocurre cuando k ≠ 1, 1 nos 1 entonces (k – 1) = 0 . sirve para una nueva conjetura en 3-D. Nota: cuando k = 1;

Conclusiones en 3-D Sea, k el máximo factor común entre a, b, y c, tal que a = kx, kx b = ky , c = kz. kz Para k ≠1 ≠1.

Tenemos que:

g (a, b, c) = k [g ( x, y, z )]

Para k=1 k=1, entonces: Cubos que se restan al pasar por vértices

g ( a, b, c) = a + b + c − 2 − (m( a, b) − 1) − (m(a, c) − 1) − ( m(b, c) − 1)

que se puede simplificar a:

g (a, b, c) = a + b + c + 1 − m(a, b) − m(a, c) − m(b, c)

Gracias por su atenci贸n.