Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez
OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO 2010
6 de marzo de 2010
EXAMEN NIVEL SUPERIOR 10mo-12no Grado
Universidad de Puerto Rico
Nombre: ________________________________________________________________ Escuela: ___________________________________
Grado ___________
Fecha de nacimiento: _____________________________________ Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo disponible. 1. El número de triángulos con sus tres vértices en los puntos de la figura es:
2. Dos triángulos equiláteros iguales con perímetro de 18 cm se sobreponen de manera que sus lados quedan paralelos como indica la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono que queda formado dentro de la figura?
3. Hugo miente siempre en martes, jueves y sábados y el resto de días de la semana dice siempre la verdad. Si un día en particular mantenemos la siguiente conversación : Pregunta: ¿Qué día es hoy? Hugo responde: sábado Pregunta: ¿Qué día será mañana? Hugo responde: miércoles ¿De qué día de la semana se trata?
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4. ¿Cuál es el mayor divisor primo de 216 − 1 ?
5. ¿De cuántas maneras se puede escoger en un tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra, de tal manera que no estén las dos en una misma fila ni en una misma columna?
6. ¿Cuántas sucesiones a1 , a2 ,..., a2010 existen tales que los números 1,2,…,2010 aparecen una sola vez en la sucesión y además i pertenece al conjunto {a1 , a2 ,..., ai } para cada i tal que 2 ≤ i ≤ 2010 ?
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7. Las raíces de la ecuación cuadrática x 2 + px + q = 0 son números enteros. Encontrar p, q y las raíces de la ecuación sabiendo que p + q = 198.
8. Sea I cualquier punto interior del triángulo ABC. Los segmentos A1 B2 , B1C2 y C1 A2 pasan por I y son paralelos a AB, BC y CA respectivamente (ver figura).
Encontrar el valor de
A1 B2 B1C2 C1 A2 + + . AB BC CA
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9. Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: x( y + z ) = 35
y ( z + x) = 32 z ( x + y ) = 27
10. Determinar todos los enteros x para los cuales x( x + 1)( x + 7)( x + 8) es un cuadrado perfecto.
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