superior_fase1_2011-2012

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez

Universidad de Puerto Rico

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2011-2012 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL SUPERIOR (10mo , 11mo y 12mo grado) Informaci´ on del Estudiante: Apellidos:

Nombre:

Marque el Grado:

10mo ,

Tel. residencial: (

)

11mo ,

12mo

-

Sexo:

F

M

Fecha de nacimiento (dd/mm/aaaa):

E-mail del estudiante:

E-mail del Maestro:

Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela:

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Escuela:

Privada

Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

P´ ublica

e

Env´ıe sus respuestas electr´ onicamente a trav´es de la p´agina www.ompr.pr en o antes del 6 de diciembre del 2011. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´on: Dr. Luis F. C´ aceres-Duque Departamento de Ciencias Matem´ aticas Call Box 9000 Mayag¨ uez, PR 00681-9000 1

Recinto Universitario de Mayag¨ uez Departamento de Ciencias Matem´ aticas

Olimpiadas Matem´aticas de Puerto Rico PRIMERA FASE

Universidad de Puerto Rico

2011-2012

NIVEL SUPERIOR (10mo , 11mo y 12mo grado)

1. El se˜ nor y la se˜ nora L´ opez tienen dos ni˜ nos. Cuando ellos van en su autom´ovil familiar, dos personas se sientan adelante y las otras dos atr´as. Si o bien el se˜ nor L´opez o bien la se˜ nora L´opez debe sentarse en el asiento del conductor, ¿cu´ antas diferentes formas de sentarse son posibles? a) 4 b) 12 c) 16 d ) 24 e) 48 2. ¿Cu´antos n´ umeros de 2 d´ıgitos son el producto de dos primos distintos? a) 14 b) 27 c) 37 d ) 31 e) 29 3. Se escribieron en una pizarra los n´ umeros enteros del 1 hasta 10000. Luego se borraron todos los n´ umeros divisbles por 5 y 11. De la lista obtenida, ¿qu´e n´ umero se encuentra en la posici´on 2011? a) 2011 b) 2555 c) 6012 d ) 2764 e) Ninguna de las anteriores.

4. En el diagrama, x es igual a: a) 140 b) 122 xo

c) 80 d ) 90

o

140

e) 98

2

o

122

5. ¿Cu´anto vale la suma de los d´ıgitos del n´ umero 3216 · 12525 ? a) 5 b) 16 c) 25 d ) 32 e) 125 6. Luisa escribe tres n´ umeros de 3 d´ıgitos en la pizarra. Luego calcula la suma de los tres n´ umeros y obtiene 1575. Juan cambia el d´ıgito de las unidades por el de las decenas de los tres n´ umeros y calcula su suma. ¿ Cu´ antos resultados distintos puede obtener Juan? a) 3 b) 1 c) 6 d) 9 e) 11 7. Janet tiene dos hermanas m´ as chicas que ella. El producto de las tres edades es 396 y su suma es 23. ¿Cu´antos a˜ nos tiene Janet? a) 6 b) 7 c) 11 d ) 12 e) 18 8. Si x y y son n´ umeros reales positivos, ¿cu´al de los siguientes n´ umeros es mayor? a) xy b) x2 + y 2 c) (x + y)2 d ) x2 + y(x + y) e)

x3 + y 3 x+y

9. En un recipiente hay 200 dulces de los cuales 99 % son rojos. ¿Cu´antos dulces rojos tenemos que quitar para que el 98 % de los restantes sean rojos? a) 1 b) 2 c) 98 d ) 100 e) 101

3

10. En el diagrama, los tri´ angulos PQT, QTS, QRS son is´osceles y el PQR es un ´angulo recto. Los ´angulos PQT y RQS miden 2x◦ y el ´angulo QTS mide 5x◦ . El valor de x es: a) 10

Q

P 2x

b) 12

o

2x o

c) 14

5x o

T

d ) 15 S

e) 20

R

11. ¿Cu´al es el u ´ltimo d´ıgito de 6 × 82009 ? a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 12. PQRS es un rect´ angulo. X es el punto medio de PQ, YQ es la tercera parte de QR y RZ es un cuarto de RS. ¿Qu´e fracci´ on del ´ area de PQRS es el ´area del cuadril´atero XYZS? a) b) c) d) e)

1 2 7 12 2 3 3 4 3 5

S

Z

R

Y P

Q

X

13. Se muestra una botella con dimensiones en cent´ımetros parcialmente llena de agua (figura 1).

Se sella la botella y luego se pone de cabeza (figura 2). La altura h, en cent´ımetros, del aire en la botella volteada es: 1

a) 2 b) 2

1 3 7 25

2

c) 2 d) 2

1 5

4

3 h 2

5

3 e) 2 25

figura 1

4

figura 2

14. Para n´ umeros reales x y y, se define x♠y = (x + y)(x − y).¿Cu´al es el valor de 3♠(4♠5)? a) -72 b) -27 c) -24 d ) 24 e) 72 15. Mary est´a viajando hacia el este con una velocidad de 3 millas por hora, Nicole tambi´en est´a viajando al este, pero con una velocidad de 5 millas por hora. Si Nicole est´a ahora a una milla al oeste de Mary, ¿cu´ antos minutos le tomar´ a a Nicole alcanzar a Mary? a) 30 b) 50 c) 60 d ) 90 e) 120 16. ¿Cu´antos n´ umeros enteros pares de tres d´ıgitos tienen la propiedad de que sus d´ıgitos, al leerse de izquierda a derecha, est´en en orden estrictamente creciente? a) 21 b) 34 c) 51 d ) 72 e) 150 17. Un objeto en el plano se mueve de un punto con coordenadas enteras a otro con coordenadas enteras.

En cada paso, el objeto se puede mover una unidad hacia la derecha, una unidad hacia la izquierda, una unidad hacia arriba, o una unidad hacia abajo.

Si el objeto comienza en el origen y recorre un camino de diez pasos, ¿cu´antos puntos diferentes podr´ıan ser el punto final? a) 120 b) 121 c) 221 d ) 230 e) Ninguna de las anteriores.

18. En un tri´ angulo con lados de longitudes enteras, la longitud de un lado es igual a tres veces la longitud de un segundo lado y la longitud del tercer lado es 15. ¿Cu´al es el mayor per´ımetro que el tri´angulo puede tener? a) 43 b) 44 c) 45

d ) 46 e) 47 5

19. ¿Cu´al de las siguientes opciones no puede ser el u ´ltimo d´ıgito de la suma de los cuadrados de siete n´ umeros consecutivos? a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. Carlos tiene 8 fichas numeradas del 1 al 8. Las divide en dos montones de forma que cada mont´ on tenga al menos dos fichas y que ning´ un n´ umero sea igual al promedio de cualesquiera dos n´ umeros del mismo mont´ on. ¿Cu´ al de las siguientes ternas de n´ umeros no puede estar en el mismo mont´ on? a) 1, 8, 2 b) 1, 2, 6 c) 4, 3, 7 d ) 8, 4, 3 e) 1, 2, 5

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