3 Harmonisk bevægelse

Harmonisk bevægelse: Kraften er proportional med og modsatrettet udsvinget.

Harmonisk bevægelse

Jævn cirkelbevægelse er et eksempel på en harmonisk bevægelse. En harmonisk bevægelse er defineret ved, at kraften, der giver anledning til bevægelsen, er proportional med og modsatrettet udsvinget.

Andre eksempler på harmonisk bevægelse er et almindeligt pendul eller et fjederpendul, hvor en fjeder med et lod i enden sættes i svingninger.

Matematisk pendul

Nu skal vi se på en almindelig pendulbevægelse. Vi ser bort fra alle former for gnidning og antager, at en masse m er anbragt for enden af en masseløs stang med længde L. Den vinkel, pendulet er svunget væk fra lodret (ligevægtsstillingen), kaldes θ, se figur 1.13.

Det vandrette udsving kan beskrives ved en sinuskurve, idet vi sætter θ til at være 0 til tiden t = 0.

θ

Figur 1.13. Matematisk pendul. x(t) = A · sin(ω · t) Stedfunktion for harmonisk svingning

hvor A er amplituden, det vil sige det maksimale vandrette udsving.

Figur 1.14. Sinuskurve med amplitude indtegnet. Udsving

Amplitude

Tid

Den vandrette hastighed og acceleration findes ved at differentiere henholdsvis én og to gange:

v(t) = ω · A · cos(ω · t) Hastighed i harmonisk svingning

a(t) = –ω2 · A · sin(ω · t) Acceleration i harmonisk svingning

Vi observerer, at accelerationsfunktionen er lig stedfunktionen gange faktoren –ω2. Kraften findes ved hjælp af Newtons 2. lov (F = m · a):

Fres = –m · ω2 · x(t) Kraft i harmonisk svingning

Kraften er proportional med udsvinget og (på grund af minusset) modsatrettet udsvinget. Der er derfor tale om en harmonisk bevægelse. Svingningstiden T er for små vinkler givet ved:

T = 2π · √L g ––Svingningstid i et pendul (små vinkler)

For større udsving er ovenstående kun en tilnærmet formel.

DIMENSIONSANALYSE

I fysik er enheder vigtige, og man kan ofte tjekke, om man har regnet rigtigt, ved at kontrollere, at facit har den rigtige enhed. Men man kan mere end det. Dimensionsanalyse er en teknik, hvor man alene ved at se på dimensionerne – svarende til enhederne for de indgående fysiske størrelser – kan sige noget om, hvilken sammenhæng der må gælde.

For det matematiske pendul ønsker vi en formel for pendulets svingningstid T. Enheden for tid er sekunder, s. De fysiske størrelser, der indgår i pendulet, er længden L, massen m og tyngdeaccelerationen g. Enhederne for disse er henholdsvis m, kg og m/s2 .

Vi antager, at tiden er proportional med disse tre størrelser i en bestemt potens (hvor k er en dimensionsløs konstant):

T = k · La · mb · gc

Ser vi på enhederne, giver det:

s1 = ma · kgb · (m/s2)c = ma+c · kgb · s–2c

Kilogram og meter indgår ikke på venstresiden, så vi konkluderer, at b = 0 og a = –c.

Ved at matche eksponenter på sekund får vi, at c = –½. Derfor må a = ½.

Ved indsættelse af værdierne af a, b og c i formlen for T fås: –

T = k · L½ · m0 · g–½ = k · √L · 1 · 1 √g = k · √L g

hvilket – for små vinkler – er den korrekte sammenhæng, det vil sige længden og tyngdeaccelerationen indgår med den rigtige eksponent. Værdien af konstanten (k = 2π) i formlen kan ikke findes ved dimensionsanalyse, der må stærkere værktøjer til, som ligger uden for gymnasiets pensum.

Hookes lov for en harmonisk bevægelse: Kraften er proportional med og modsatrettet udsvinget F → = –k · x→ .

Figur 1.15. Den engelske naturfilosof Robert Hooke (16351703) er mindre berømt end andre store videnskabsfolk. Ud over opdagelsen af loven, der bærer hans navn, udførte Hooke vigtigt arbejde i mange grene af videnskaberne. Han var fx en af de første, der benyttede det nyligt opfundne mikroskop videnskabeligt, og han fandt på ordet ’celle’ om den mindste strukturelle og funktionelle enhed i levende organismer.

Hookes lov

Ud fra antagelsen om en harmonisk sinusbevægelse kunne vi ovenfor udlede den sammenhæng, at kraften (F) er proportional med udsvinget, x.

Denne sammenhæng mellem kraft og udsving kaldes Hookes lov. Med vektorer er den:

→ F = –k · x→ Hookes lov for fjedersvingning

Størrelsen af kraften er F = |F →| = k · x og modsatrettet udsvinget. I det ovenstående har vi antaget, at bevægelsen var harmonisk, og udledt Hookes lov.

Man kan også antage Hookes lov og derudfra udlede bevægelsesligningerne for den harmoniske bevægelse. Det overlades til læseren i opgave 1.13.

TÆNK EFTER 6

a) Et pendul bestående af en stang og en svingende vægt bruges i gamle mekaniske ure. Hvis uret skal tikke ét sekund, hver gang det passerer bunden af svingningen, hvor lang skal stangen da være? b) Udled ved hjælp af dimensionsanalyse formlen for en bølges fart på lavt vand, v = √g ∙ d, hvor g er tyngdeaccelerationen, og d er vanddybden. c) Hvilken værdi for k i Hookes lov finder vi for den jævne cirkelbevægelse? d) Hvilken værdi for k skal man benytte for det matematiske pendul?

Figur 1.16. Forlængelse af fjeder med ophængt lod. Kraften kan enten måles med et almindeligt dynamometer eller med en elektronisk kraftmåler. For en fjeder kaldes kraften i Hookes lov for en elastisk kraft. Konstanten k kaldes fjederkonstanten og har enheden N/m.

Når et lod hænges op i en fjeder, vil fjederen strækkes med længden x, indtil loddets tyngdekraft er lige så stor som fjederkraften, og loddet hænger stille.

Forlængelse

Kraft Til computer

Trækkes der derefter i loddet, vil fjederkraften vokse tilsvarende. Hvor stor en kraft det kræver at strække fjederen, afhænger af fjederkonstanten k. Størrelsen af fjederkonstanten kan bestemmes eksperimentelt.

EKSEMPEL 1.5

Fjederkraft En fjeder med fjederkonstant k = 100 N/m skal strækkes 10,0 cm. Hvor stor en kraft skal man trække med?

Løsning Man skal trække med en kraft svarende til fjederkraften, men modsatrettet:

F = k · x = 100

N m · 0,100 m = 10,0 N

Svar: Man skal trække med en kraft på 10,0 N.