5 Almen relativitetsteori

Fra kapitel 2 husker vi Einsteins postulat: Intet kan bevæge sig hurtigere end lysets hastighed i vakuum, c.

Med fjernvirkning mellem himmellegemer opstår der imidlertid et problem, idet der intet er til hinder for, at fjernvirkningen kan bevæge sig hurtigere end lyset. I Newtons tyngdelov er tyngdens »fart« uendelig, det vil sige, tyngdekraften udbreder sig med uendelig fart, og alle ændringer i tyngdefeltet udbredes øjeblikkeligt. Hvis vi forestiller os, at Solen pludselig forsvinder, ville planeterne i Solsystemet med det samme begynde at bevæge sig tangentielt ud af deres banekurver, mens lyset fra Solen (der jo bevæger sig med lysets fart) ville fortsætte med at kunne ses på Jorden de næste 8 minutter (se figur 4.41 på næste side). Det er et paradoks.

I 1800tallet var man klar over problemerne:

▶ I Newtons tyngdelov indgår afstanden r mellem fx Solen og Jorden. Men r er ikke en relativistisk invariant størrelse, så afstanden afhænger af observatørens bevægelsestilstand. ▶ Banerne for himmellegemer bliver ikke ellipser, medmindre tyngdekraftens hastighed er uendelig. Det skyldes, at hvis man skal regne med endelig vtyngde, så bliver tyngdekraften ikke rettet direkte mellem masserne, fordi planeten når at flytte sig på den tid, det tager tyngdekraften at nå frem til positionen. ▶ Laplace beregnede i 1805, at vtyngde måtte være mindst 7 millioner gange større end vlys = c.

Man kan derfor ikke kombinere Newtons tyngdelov med relativitetsteorien. En ny teori måtte konstrueres.

Konklusionen på ovenstående er, at tyngdens fart må være den samme som lysets fart. Det vil sige:

vtyngde = c Tyngdekraftens hastighed er lig lysets hastighed

Indførelse af tyngdefeltet ophæver paradokset. Hvis Solen pludselig ændrer bane, skaber dens bevægelse »krusninger« (excitationer) i feltet. Krusningerne bevæger sig med en karakteristisk hastighed fra Solen til Jorden. Når krusningerne når ned til Jorden, »mærkes« ændringen, se figur 4.41. Den karakteristiske hastighed er netop lysets hastighed, og ændringer i tyngdekraften bevæger sig altså med lysets hastighed. I den almene relativitetsteori er dette indbygget i ligningerne.

Figur 4.41. Solen ændrer sin bane eller eksploderer. Lyssignalet fra eksplosionen A når frem til Jordens verdenslinje ved B.

Figur 4.42. I en togvogn, der falder frit i Jordens tyngdefelt, vil observatører i hver sin ende opleve forskellig acceleration. Solens verdenslinje

A

Solen lyssignal

Solen eksploderer

1 AE Jordens verdenslinje

B Solen observeres fra Jorden at eksplodere

Jorden

Afstand

Inertialsystemer og tyngdekraft

Den specielle relativitetsteori handler om inertialsystemer. I tyngdefelter er mange bevægelser accelererede, og Einstein var klar over, at accelererede koordinatsystemer krævede en ny teori.

I tyngdefelter kan inertialsystemer kun være lokale. Hvis vi fx ser på Einsteins eksempel med et tog i frit fald i Jordens tyngdefelt og sætter et koordinatsystem fast på togvognen, vil koordinatsystemet hurtigt blive deformeret i forhold til togvognen, som antydet af forskellene på de to piles retning og længde i figur 4.42. Passagererne i hver sin ende af en frit faldende togvogn vil opleve, at de bevæger sig mod hinanden i modstrid med, at togvognen er et inertialsystem. I en lodret faldende togvogn vil passagererne i bunden opleve en større acceleration end dem i toppen, igen i modstrid med at togvognen er et inertialsystem. I et inertialsystem vil observatørerne jo netop være i hvile i forhold til hinanden.

Ækvivalensprincippet: En observatør kan ikke skelne mellem, om vedkommende er i et accelereret koordinatsystem med acceleration a = g eller i et tyngdefelt med feltstyrke g.

Figur 4.43. Det samme eksperiment udføres i en kasse på jordoverfladen og i en elevator i rummet, der accelererer. Dette tankeeksperiment kaldes en Einstein-elevator.

Ækvivalensprincippet

Newton indførte ækvivalensprincippet: Masse og inerti er det samme. Den masse, der indgår i Newtons tyngdelov, og den masse, der indgår i Newtons 2. lov, er den samme. Vi har også set, at en genstands vægt ikke kun afhænger af dens masse, men også af tyngdeacceleration, det vil sige vægt afhænger af tyngdefeltets størrelse.

Vi laver et tankeeksperiment. Vi anbringer en observatør (A) i en lukket kasse på jordoverfladen, hvor tyngdefeltet er g. En anden observatør (B) anbringes i en elevator, der bevæger sig i det tomme rum langt fra Jorden med en acceleration på a = g.

A B B

Begge observatører udfører nu det samme eksperiment og lader en bold falde til jorden. A observerer, at bolden falder til gulvet med en acceleration på g. B observerer det samme, bolden accelereres mod Raketmotor under B (begge)gulvet med accelerationen g. Einsteins forklaring på ovenstående var revolutionerende: Der er ingen tyngdekraft. Tyngdekraft og acceleration er ifølge ækvivalensprincippet det samme, og objekter falder mod jorden, fordi de accelereres. Objekter accelereres, fordi rummet krummer omkring Jorden, og objektet blot følger rummets krumning. Rummet krummer på grund af Jordens masse.

Indholdet af den almene relativitetsteori kan opsummeres således:

Masse fortæller rummet, hvordan det skal krumme, rummet fortæller masse, hvordan det skal bevæge sig.

Et mere jordnært eksempel er Jordens overflade, der også er krum. Den korteste vej for et fly, der bevæger sig mellem to byer, fx Madrid og New York er ikke »ligeud« langs breddegraden. Den er derimod langs en storcirkel i forhold til Jordens overflade, som vist i figur 4.44.

Figur 4.44. »Ligeud«, der på kortet til højre svarer til kurven langs breddegraden, er ikke den korteste rute mellem New York City og Madrid. Fordi Jordens overflade er krum, er kurven langs en storcirkel kortere, hvilket ses på det nederste kort.

Figur 4.45. Google Earthskærmbillede af den korteste vej mellem New York City og Madrid.

a) Benyt Google Earth til at finde den korteste afstand mellem

New York City og Madrid. b) Bestem, hvor mange km en længdegrad er på den breddegrad, New York City og Madrid befinder sig. (Tip: En breddegrad er en cirkel med omkreds 2π · r, bestem først r.) c) Bestem, hvor mange længdegrader der er mellem Madrid og

New York City. d) Bestem afstanden mellem Madrid og New York City langs breddegraden og sammenlign med dit resultat i a).

De klassiske tests

Albert Einstein foreslog i 1916 tre fænomener, der kunne benyttes til test af hans almene relativitetsteori:

1) Merkurs periheldrejning 2) Lysets afbøjning i tyngdefelter 3) Lys rødforskydes i et tyngdefelt

Den første blev hurtigt bekræftet. Det var kendt, at Merkurs bane omkring Solen var noget elliptisk, og periheliet (det punkt i banen, hvor Merkur er tættest på Solen) flytter sig med tiden. Newtons teori for tyngdekraften forudsiger en sådan periheldrejning, men præcise beregninger kan kun forklare halvdelen af den observerede effekt. Einsteins ligninger gav derimod præcis det dobbelte af Newtons resultat og var dermed i overensstemmelse med eksperimentelle data.

Den tredje test måtte vente med at blive bekræftet til 1959, hvor man målte, at lys, der bevæger sig opad i Jordens tyngdefelt, blev rødfor

Præcession

Solen

Merkurs bane Merkur ved perihel

Figur 4.46. Merkurs periheldrejning.

Figur 4.47. Tyngdefeltet omkring Solen. Solens masse krummer rummet, og planeterne bevæger sig i det krumme rum.

Jorden

Solen

komet

Figur 4.48. I en elevator, der accelererer opad, vil lys fra en lommelygte ramme længere nede på væggen, end da elevatoren stod stille. Tilsyneladende er lyset blevet afbøjet nedad. skudt. Det vil sige, at lyset mistede energi, når det bevægede sig opad imod tyngdefeltets retning.

Det var den anden test, der gjorde Einstein verdenskendt. Planeter i elliptiske baner om Solen bevæger sig på den bane, der følger rummets krumning, det vil sige de bevæger sig ligeud. Vi erstatter altså modellen med en kraft, der bøjer planeten af i dens bane, med et krumt rum, hvor planeten bevæger sig »ligeud« og dermed følger den korteste bane.

Rummet kan krumme selv lys. Vi vender tilbage til observatør B i elevatoren og giver ham en lommelygte, som han lyser på væggen med. Inden elevatoren letter fra Jorden, retter han lyset vandret mod væggen og sætter et mærke der, hvor det rammer. Mens elevatoren accelererer, gentager han forsøget. I den tid, der går fra lygten tændes, til lyset rammer væggen, har elevatoren bevæget sig et stykke, og lyset rammer derfor væggen lidt under prikken, han satte på væggen (se figur 4.48). Observatør B konkluderer, at elevatorens acceleration har afbøjet lyset.

På grund af ækvivalensprincippet konkluderer vi derfor, at også tyngdekraft vil afbøje lys. Newtons teori forudsagde også, at tyngdekraft kunne afbøje lyset, men kun med halvt så meget som Einsteins teori.

Einsteins forudsigelse af lysets afbøjning i et tyngdefelt er svær at afprøve på Jorden, fordi tyngdefeltet skal være stort, hvis effekten skal være observerbar. Man behøvede heldigvis ikke vente længe, for 29. maj 1919 var der en total solformørkelse, der gjorde det muligt at observere stjerner tæt på Solens placering. Ved at observere en stjernes position på himlen under solformørkelsen og sammenligne med den »normale« position kunne man afgøre, om teorien var korrekt. Astronomen Arthur Eddington anførte en ekspedition til øen Principe ved Afrikas vestkyst, mens en anden ekspedition rejste til Brasilien. Der er nogen tvivl om, hvor overbevisende resultaterne egentlig var, men i november 1919 konkluderede Eddington, at man havde observeret den forudsagte effekt, og publicerede resultaterne. Dagen efter var Einstein på forsiden af aviser fra hele kloden med overskrifter som ’Revolution i videnskab’ og ’Ny teori om Universet’.

Figur 4.49. Samtidig tegning af eksperimentet, bragt i The Illustrated London News, 22. november 1919, viser totalitetens bane over jordoverfladen og de to observationssteder. Solen bøjer lyset fra en bagvedliggende stjerne, så dens position på himlen tilsyneladende ændres.

Teleskop

Figur 4.50. Gravitationslinse. Lysets afbøjes og giver anledning til, at vi ser flere kopier af den samme galakse. I dette tilfælde en supernova i en fjern galakse. Lyset opfanges af fx Hubblerumteleskopet.

Figur 4.51. Lys, der passerer tæt forbi et tungt legeme, afbøjes. Supernova i en ern galakse

Galakse i forgrunden KIGGER TILBAGE I FORTIDEN

Gravitationslinsen forstærker lyset og danner re kopier af billedet af supernovaen

Siden 1979 har man taget billeder af fjerne galakser, hvis lys afbøjes af mellemliggende galakser, såkaldte gravitationslinser. I 2002 lykkedes det endda at måle lysets afbøjning fra en fjern kvasar (det vil sige en aktiv galaksekerne med et stort sort hul), da det passerede Jupiter på vejen til Jorden.

Figur 4.51 viser lys, der passerer tæt forbi Solen. Afbøjningsvinklen kaldes θ, og den mindste afstand, lyset passerer Solen, kaldes d.

Jorden θ

afbøjet lysvej fra stjerne 1,75“

d

Solen

tilsyneladende retning til stjerne lys fra stjerne sædvanlig retning til stjerner

TÆNK EFTER 10

a) Vis ved at benytte dimensionsanalyse – se side 27 – at afbøjningsvinklen kan skrives som: θ = k ·

G · M c2 · d

hvor k er en dimensionsløs konstant b) Hvis lyset passerer tæt forbi Solen, kan vi benytte d ≈ R, hvor

R er Solens radius. Beregn afbøjningen af lys, der passerer tæt forbi Solen med k = 1 og sammenlign med 1,75'' (Tip: 1'' = 1/3600°).

sol

hvid dværgstjerne

neutronstjerne

sort hul

begivenhedshorisont

Figur 4.52. Rummets krumning omkring singularitet Solen sammenlignet med en hvid dværg, en neutronstjerne og et sort hul.

Schwarzschildradius: Den afstand, der for en given masse giver en undslippelseshastighed lig lysets hastighed.

RSch =

2 · G · M

c2

Sorte huller

I afsnit 4.3 beregnede vi undslippelseshastigheden for forskellige himmellegemer og kom frem til formlen:

vesc = √ 2 · G · M r

Den engelske præst og filosof John Michell (17241793) indså i 1783, at hastigheden var et forhold mellem masse og størrelsen af objektet: jo større densitet, desto større undslippelsesfart. I Newtons teori for lys er lyset en partikel og kan derfor afbøjes af tyngdekraft. Michell overvejede, om undslippelsesfarten for en passende stjerne kunne være lig lysets fart:

√2 · G · M r = c

En stjerne, der opfylder denne ligning, kaldte Michell en mørk stjerne, idet den vil være usynlig for omverdenen.

Presser vi Solen sammen, så den bliver mindre, indtil r er lille nok, kan Solen opfylde ligningen. Isoleres r i ovenstående ligning, fås:

r =

2 · G · M

c2

= RSch

Den radius, r, der svarer til, at undslippelseshastigheden for en given masse, M, bliver lig c, kaldes Schwarzschildradius, RSch.

Når en tung stjerne kollapser, bliver dens radius mindre. I det øjeblik den bliver mindre end dens egen Schwarzschildradius, er der dannet et sort hul. Intet, der kommer inden for afstanden af Schwarzschildradius fra massen, kan undslippe igen, men må fortsætte ind mod centrum af det sorte hul. Overfladen ved det sorte huls Schwarzschildradius kaldes derfor begivenhedshorisonten.

Når det sorte hul er dannet, er der ingen vej tilbage, og stjernen fortsætter kollapset, i princippet indtil radius er 0. Denne tilstand kaldes singulariteten. Da vi ikke kan se ind i et sort hul, ved vi ikke, hvad der faktisk sker ved singulariteten.

Begivenhedshorisonten for et sort hul svarer til Schwarzschildradius og er den afstand fra en masse M, hvor lys ikke kan undslippe.

Figur 4.53. Et ormehul i rumtiden. Ved at rejse gennem ormehullet kan man skyde genvej i universet. Schwarzschildradius Beregn Solens Schwarzschildradius.

Løsning

RSch = 2 · G · M

c2

2 · 6,6743 · 10–11 N · m2/kg2 · 1,989 · 1030 kg (2,998 · 108 m/s)2 = 2,95 km

Svar: Solens Schwarzschildradius er 2,95 km.

Einsteins almene relativitetsteori er formuleret matematisk som 10 differentialligninger. Den radius, hvor Solen forsvinder bag sin egen begivenhedshorisont, er opkaldt efter Karl Schwarzschild, der i 1916 som den første fandt en løsning til ligningerne. Løsningen beskrev netop et sort hul med en begivenhedshorisont ved:

RSch =

2 · G · M

c2

Det er meget vanskeligt at løse ligningerne, men der er senere fundet andre løsninger. En af de mest interessante er ormehullet, der beskriver

Tyngdekraften bevæger sig ligesom den elektromagnetiske kraft med lysets hastighed og har uendelig rækkevidde. Et elektrisk felt, der ændres, udsender elektromagnetiske bølger (se kapitel 6), og det samme gælder for tyngdekraften. Einstein forudsagde, at ændringer i tyngdefeltet kunne udsende tyngdebølger. Tyngdebølger er imidlertid så svage, at de er meget svære at detektere. Da de fleste begivenheder, der er kraftige nok til at udsende tyngdebølger af en vis størrelse, er meget langt væk, er den teknologiske udfordring enorm.

LIGOprojektet (LIGO er en forkortelse for Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) omfatter to anlæg, et i Hanford, Washington, og et i Livingston, Louisiana. Hvert anlæg består af to lange rør med samme længde, der er placeret vinkelret på hinanden. Der sendes laserlys igennem rørene, hvor det reflekteres af et spejl for enden. Lyset samles igen, når det kommer tilbage til begyndelsen af rørene, og et interferensmønster dannes. Tyngdekraften kan påvirke lys, og hvis en tyngdebølge er kraftig nok, vil den forstyrre lyset, og ændringerne i interferensmønstret kan måles.

Hvis signalet opfanges af begge anlæg, kan man ud fra tidsforskellen og signalets sammensætning bestemme retningen, hvorfra tyngdebølgen er kommet.

I september 2015 lykkedes det for første gang at registrere en tyngdebølge fra to kolliderende sorte huller. Ud fra data har forskerne beregnet de to sorte hullers masser til 29 og 36 solmasser.

Nobelprisen i fysik gik i 2017 til tre af fysikerne bag projektet, Rainer Weiss, Kip Thorne og Barry Barish.

Hanford, Washington

•

3030 km(±10 ms)

Livingston, Louisiana

Figur 4.54. LIGOeksperimentets to detektorer befinder sig henholdsvis i Hanford (i staten Washington) og i Livingston (i staten Louisiana).

en rumtid, der ligner det sorte hul, blot uden begivenhedshorisonten. Ormehullet er desuden åbent i begge ender, så man i princippet kan rejse igennem det og komme ud et helt andet sted i Universet. Beregninger viser, at det er svært at holde et ormehul åbent, og et ormehul kan i teorien anvendes som tidsmaskine.

Tidsmaskiner giver anledning til nogle ubehagelige paradokser, hvor man kan rejse tilbage i fortiden og ændre den, så nutiden påvirkes på en måde, der umuliggør tidsrejsen.

TÆNK EFTER 11

a) John Michell beregnede, at en stjerne med samme densitet som Solen og 500 gange større diameter ville opfylde betingelsen for at være en mørk stjerne. Kontrollér hans resultat. b) Et ormehul kan i teorien bruges til at rejse fra A til B, hurtigere end lyset, der tager den lange vej udenom. Kan du forklare, hvorfor man kan bruge et ormehul som tidsmaskine? c) I 2017 observerede LIGOforskerne tyngdebølger fra to kolliderende neutronstjerner 100 millioner lysår væk. Tyngdebølgesignalet ankom 1,7 sekunder før man observerede gammastråling fra begivenheden. Hvad fortæller det os om hastigheden af tyngdebølger? d) Afstanden mellem LIGOdetektorerne i Hanford og Livingston er 3030 km. Hvad er den maksimale tidsforskel for et tyngdebølgesignal, der opfanges af begge detektorer? (Tip:

Fra hvilken retning kommer tyngdebølgen?)