4 Bestemmelse af Jordens masse

Newton havde vist, at kraften mellem himmellegemer afhang af deres respektive masser. På den tid kendte man ingen af disse masser, og behovet for en metode til bestemmelse af Jordens masse meldte sig derfor hurtigt. I formlen for Keplers 3. lov,

r3

T2 G · (M + m) 4π2

er der to ukendte masser, idet hverken Solens masse M eller planetens masse m er kendte størrelser. Hvis vi kunne bestemme m for Jorden, kan man benytte Keplers 3. lov til at finde Solens masse, M, og derfra bestemme de øvrige planetmasser ud fra observationer af T og r.

Newton skriver i bogen Principia, Vol. II: The System of the World:

Figur 4.36. Newton skrev på latin. Her forsiden af andenudgaven af den engelske oversættelse. Hence a sphere of one foot in diameter, and of a like nature to the earth, would attract a small body placed near its surface with a force 20000000 times less than the earth would do if placed near its surface; but so small a force could produce no sensible effect. If two such spheres were distant but by ¼ of an inch, they would not, even in spaces void of resistance, come together by the force of their mutual attraction in less than a month’s time; and lesser spheres will come together at a rate yet slower, namely in the proportion of their diameters. Nay, whole mountains will not be sufficient to produce any sensible effect. A mountain of a hemispherical figure, three miles high, and six broad, will not, by its attraction, draw the pendulum two minutes out of the true perpendicular; and it is only in the great bodies of the planets that these forces are to be perceived …

Newton angiver altså to metoder til at bestemme massetiltrækningen mellem objekter.

Den første metode beskriver to sfærer, der anbringes tæt på hinanden og ved tyngdekraften alene bevæger sig mod hinanden.

Den anden går ud på at finde et konisk bjerg og anbringe en lodline. Loddet vil, på grund af bjergets masse, trækkes væk fra normalen. Newton anslår effektens størrelse til mindre end 2 bueminutter, svarende til 1/30 grad, for et bjerg, der er 3 miles højt og 6 miles bredt.

Han forholder sig skeptisk til chancerne for at opnå målbare resultater i nogen af eksperimenterne.

Andre var mere optimistiske.

Figur 4.37. Cavendishs tegning af eksperimentet. På figuren ses de to små og de to store blykugler. Udsvinget aflæses igennem to kikkerter, der er indbygget i væggene.

Figur 4.38. En moderne torsionsvægt til bestemmelse af G.

Newtons første metode: Cavendishs forsøg

I 17971798 udførte den engelske fysiker Henry Cavendish (17311810) en række forsøg til bestemmelse af Jordens densitet. Eksperimentet foregik med en såkaldt torsionsvægt (figur 4.37), som mange fysiksamlinger har et mere moderne eksemplar af (figur 4.38). To blykugler, hver med en masse på 730 g og diameter på 51 mm, blev anbragt et stykke fra hinanden. På en afstand af 230 mm fra hver af de små kugler anbragte Cavendish to meget tungere blykugler, hver med en masse på 158 kg. Eksperimentet målte tyngdekraften mellem de små og de store kugler.

Man kan nogle steder læse, at Cavendish målte gravitationskonstanten (G), men denne betegnelse brugte man slet ikke før mange år senere. Cavendish fandt derimod frem til, at forholdet mellem Jordens densitet og vands densitet var 5,448 – hvilket ligger en smule under den moderne værdi på 5,51. Cavendish refererede selv til sit eksperiment som »vejning af Jorden«.

Newtons anden metode: Maskelynes forsøg

Det andet eksperiment blev første gang forsøgt i 1749 på bjerget Chimborazo i Peru, hvor den forudsagte effekt blev observeret, uden at man dog kom frem til nogen talværdi for Jordens masse. I 1774 besluttede den skotske astronom Nevil Maskelyne (17321811) sig for at gentage eksperimentet på bjerget Schiehallion i Skotland.

Figur 4.39. Principtegning af Maskelynes forsøg. «

N

Schiehallion

S

A

T 1,31 km B

Jordoverflade

T Bjergets tyngdepunkt A Lodline ophængt på bjergets nordside, trækkes mod syd på grund af bjergets masse O Jordens centrum

O’

O B Lodline ophængt på bjergets sydside, trækkes mod nord på grund af bjergets masse O’ Skæringspunkt mellem lodlinerne

Maskelyne observerede positionen af 37 stjerner, på både nord og sydsiden af bjerget (se figur 4.39). En stjernes position burde afvige med forskellen i breddegraden af de to observationssteder, som var 42,94", svarende til 1,31 km.

Den observerede forskel var imidlertid 54,6". Maskelyne konkluderede, at forskellen på 11,6" skyldtes bjergets massetiltrækning. Bjergets densitet ved overfladen var 2,5 g/cm3, og man antog, at densiteten var den samme ind til midten af bjerget.

Jordens størrelse var allerede kendt, så for at bestemme massen af Jorden skulle man bestemme densiteten af Jorden. Hvis man regnede med, at Jorden havde samme densitet som bjerget, kunne man vise, at lodlinen blev påvirket med 20,9" mere end forskellen i breddegrad. Da den påvirkning, som Maskelyne målte, var mindre end beregnet, måtte det betyde, at bjergets masse i forhold til Jorden er mindre end forventet. Jordens densitet var derfor større end forventet.

Maskelyne fandt, at densititeten af Jorden var:

ρjord = 20,9 11,6 · 2,5 g/cm3 = 4,5 g/cm3

Figur 4.40. Nevil Maskelyne valgte det skotske bjerg Schiehallion til sine undersøgelser på grund af dets regelmæssige form.

Ud fra Maskelynes bestemmelse af Jordens densitet og dermed dens masse kunne man efterfølgende beregne gennemsnitsdensiteten af Solen, Månen og de andre planeter i Solsystemet.

Kender man værdien af g og G, kan man også bestemme Jordens masse. Dette var en udregning, Newton ikke var i stand til at udføre med den viden, der var tilgængelig på hans tid. Newtons 2. lov, F = m · a, anvendes med a = g, så tyngdekraften på en genstand med massen m er: F = m · g.

Ifølge gravitationsloven er kraften:

F = G ·

M · m

r2

Sætter vi de to udtryk lig hinanden, idet tyngdeacceleration g svarer til, at vi indsætter r = Rjord, og M = Mjord, får vi:

m · g = G ·

Mjord · m

Rjord 2 ⇔ Mjord = g ·

Rjord G

2

TÆNK EFTER 8

a) Find værdierne for Rjord og G i bogens tabeller (Appendiks F) og indsæt dem i ovenstående formel for Mjord. b) Hvordan stemmer dit resultat overens med tabelværdien?