Opgaver

Relativ bevægelse 3.1 Beregn Jordens middelafstand til Solen i lysminutter, hvor 1 lysminut er den afstand, lyset tilbagelægger på 1 minut.

3.2 I 1965 opdagede man, at Universet er fyldt med mikrobølgestråling, den såkaldte mikrobølgebaggrund. Strålingens bølgelængde er på 1,063 mm. a) Benyt Wiens lov (se BasisFysik B, side 421) til at eftervise, at strålingen har en sortlegemetemperatur på 2,725 K. b) Forklar, at hvis man på Jorden måler denne temperatur, så varierer den med årstiden.

Solen bevæger sig i forhold til baggrunden imod et punkt i stjernebilledet Løven med en hastighed på 370 km/s. c) Beregn dopplerforskydningen (det vil sige ændringen i bølgelængde) af lys med en bølgelængde på 1,063 mm.

Speciel relativitetsteori 3.3 a) Beregn gammafaktoren for følgende værdier af v: 1) v = 0, 2) et rumskib der bevæger sig med hastigheden v = 10 km/s, 3) en elektron med v = 0,5 c, 4) lyshastigheden c, 5) en myon med v = 0,99 c. b) Hvad sker der med gammafaktoren, når v → c? c) Bestem den fart, der svarer til en gammafaktor på 100. 3.4 Udfyld detaljerne i udledningen af gammafaktoren på side 101.

3.5 a) Beregn levetiden for en myon med hastighed v = 0,99 · c set fra jordsystemet. Benyt oplysningerne på side 103. b) Hvor langt når myonen på den tid? (Tip: Benyt formlen for tidsforlængelse.)

3.6 Kontrollér i figur 3.29, at den elektriske ladning og leptontallet er bevarede størrelser i henfaldet.

3.7 En elektrons hastighed omkring kernen er givet ved formlen:

v =

Z · e2 2 · ε0 · n · h Z n

c 137 hvor Z er atomnummeret, e er elementarladningen, h er Plancks konstant, ε0 er vakuumpermittiviteten (ε0 = 8,85 · 10–12 F/m) og n er skalnummeret (n = 1, 2, 3, …). a) Beregn hastigheden af en elektron i guld, der befinder sig i 1s- henholdsvis 6s-orbitalen (n = 1 og n = 6). Kommentér på resultatet. b) Kontrollér ved indsættelse af naturkonstanterne, at der gælder: e2

2 · ε0 · h · c

1 137 c) Hvad ville hastigheden af 1s-elektronen blive i det hypotetiske grundstof nr. 137 – kaldet ’feynmanium’? Hvorfor ville det ikke være stabilt?

3.8 En GPS-satellit bevæger sig med hastigheden v = 10000 km/t i forhold til jordoverfladen. a) Beregn gammafaktoren. (Tip: Du skal regne med mange betydende cifre.) b) Beregn, hvor meget tid et ur på GPSsatellitten i forhold til Jorden taber pr. dag. c) Hvor langt bevæger lyset sig i det tidsrum, du fandt i b)?

3.9 I et medium afhænger lysets hastighed af brydningsindekset, n, og er givet ved:

vlys =

c n For vand er brydningsindekset n = 1,33. Meget få ting bevæger sig hurtigere end dette, men elektroner, der udsendes fra

Figur 3.38. Fotografi taget ned gennem kølevandet på en kørende reaktor. Det blålige skær stammer fra hurtige elektroner, der bevæger sig fra reaktorkernen op gennem vandet og udsender

ˇ Cerenkovstråling. kerneprocesser, kan have så stor kinetisk energi, at velektron > vlys. a) Bestem lysets fart i vand. b) Bestem den kinetiske energi, en elektron må have for at opnå den fart, du beregnede i a).

Når elektrisk ladede partikler bevæger sig gennem et materiale med en fart, der overskrider lysets i materialet, udsendes en særlig elektromagnetisk stråling, en såkaldt Čerenkov-stråling. Strålingen skyldes, at elektronerne forstyrrer vandmolekylerne. Efter elektronens passage vender vandmolekylerne tilbage til deres grundtilstand og udsender elektromagnetisk stråling. Man kan vise, at vinklen, θC , mellem elektronens bevægelsesretning og fronten for de bølger af stråling, der udsendes, er givet ved: cos(θC) = c n · v hvor c er lysets fart i vakuum, v er elektronens fart, og n er brydningsindekset.

θC

Figur 3.39. En elektron bevæger sig mod højre og udsender kuglebølger (illustreret ved cirkler) af C ˇ erenkovstråling. Bølgerne danner en bølgefront, der bevæger sig mod højre fra elektronens bane med en vinkel på θC. (Om bølgefronter: se kapitel 19.4 i BasisFysik B).

En elektron bevæger sig gennem vand med farten v = 0,90 · c. c) Bestem vinklen θC. d) Prøv om du kan udlede formlen cos(θC) = c n · v (Tip: Hvis vi ser på elektronen i figur 3.39 og lader tidsrummet t forløbe, hvor langt når elektronen så? Hvor langt når strålingen?)

Relativistisk dynamik 3.10 Beregn bevægelsesmængden af en foton med bølgelængden 532 nm.

3.11 Den japanske rumsonde Ikaros benytter et solsejl. I 2010 rapporterede projektet, at man havde målt en kraft på 1,12 mN på sejlet.

Figur 3.40. Modeltegning af Ikaros’ solsejl.

a) Ikaros har en masse på 315 kg. Hvilken acceleration får den? b) Sejlets størrelse er 14 m × 14 m. Hvor stort er trykket på sejlet? c) Hvis vi antager, at sejlet reflekterer 100 %, hvor mange af fotonerne i opgave 3.10 rammer så sejlet pr. sekund? (Tip: Hvor stor er Solens effekt?) 3.12 a) Vis, at formlen nederst side 107 kan omskrives til: u =

u’ + v

1 +

v · u’ c2

Benyt fx dit CAS-værktøj. b) Vi ser på et rumskib, der bevæger sig med hastigheden v = 0,4 · c i forhold til S. Rumskibet udsender lys, så u’ = c.

Vis, at u = c, altså at lyshastigheden er den samme i både det koordinatsytem, der følger med rumskibet, og det, der står stille i forhold til rumskibet. c) Vis, at det gælder generelt – uanset hastigheden af rumskibet – at hvis u’ = c, så fås u = c.

4

TYNGDEFELTER

Felter spiller en stor rolle i fysik og den teoretiske beskrivelse af fysiske fænomener. I dagligdagen er man måske ikke opmærksom på deres eksistens, men de optræder i medierne, når man fx taler om elektromagnetiske felter fra højspændingsledninger. I dette kapitel skal vi introducere feltbegrebet, forklare hvorfor det er vigtigt samt se nærmere på bevægelser i tyngdefeltet.

Geoiden er en matematisk model af jordoverfladen, hvor der er taget hensyn til tyngdefeltets variation. På kortet ses, at der er et ’hul’ lige syd for Indien. Det betyder, at tyngdefeltet er svagere på dette sted, der ’mangler’ noget masse nedenunder. Hullets dybde er 106 m svarende til, at hvis der var vand på hele jordoverfladen, ville vandstanden syd for Indien være 106 m lavere end gennemsnittet.