1 Hvad er et felt?

Et felt er en størrelse, der kan variere kontinuert i forhold til tid og rum.

En skalar er en størrelse der også kan have et fortegn. Elektrisk ladning kan have et fortegn, mens masse kun kan være positiv eller nul.

Figur 4.1. Et højdekort, her over København og Amager. Der findes mange slags felter, der forklarer hverdagsfænomener: Tyngdefeltet på Jorden forklarer, hvorfor bolden ruller ned ad bakken, magnetfelter forklarer, hvorfor legetøjstog kun kan sættes sammen i den ene retning. Vi er også omgivet af elektromagnetiske felter fra elektronik, telemaster og elektriske ledninger. Endelig er Universet ifølge de nyeste resultater fyldt med et særligt felt, Higgs-feltet, der giver masse til de kendte partikler.

En simpel definition af et felt lyder: Et felt er en størrelse, der kan variere kontinuert i forhold til tid og rum.

Det minder ret meget om det, vi i matematik kalder en kontinuert funktion.

Skalarfelter

En skalar kender du fra matematik. Skalar er blot et andet navn for et tal. I fysik vil der også være en enhed knyttet til en skalar eller skalar størrelse. Eksempler på skalarer er masse, fart, lufttryk, temperatur.

Et eksempel med en skalar størrelse er et højdekort, se figur 4.1. Højden over jordoverfladen er en skalar. Værdien svarer til højden, og fortegnet afgør, om det er under (–) eller over havets gennemsnitlige overflade (+). Et højdekort angiver værdien af højden i forhold til havoverfladen i alle punkter på kortet, hvor der er land. For et givent punkt kaldes denne højde punktets kote. Disse værdier er uafhængige af en eventuel placering af et koordinatsystem.

Figur 4.2. Et konturplot. Punkter med samme højde over havoverfladen forbindes med kurver. Jo tættere linjerne ligger, desto stejlere er bakken. Vi kan gengive samme kort med højder kun med konturlinjer. En konturlinje er en kurve, langs hvilken højden er den samme. Et kort med sådanne kurver kaldes et konturplot, se figur 4.2.

4.000 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500

3.5003.0002.5002.000 1.5001000500 0

Temperatur og lufttryk er også skalarer. Figur 4.3 viser et temperaturkort på et givent tidspunkt. Hvis vi afbilder temperaturen på et andet tidspunkt, vil kortet se anderledes ud. Et temperaturfelt er altså en værdi (temperaturen), der varierer kontinuert fra sted til sted og i tid. Figur 4.4 viser et konturplot over lufttryk. Kurverne, der kaldes isobarer, forbinder steder med samme lufttryk.

Figur 4.3. Temperaturkort over USA. Kortet viser temperaturfeltet, det vil sige temperaturen alle steder. Temperaturskalaen over kortet er angivet i fahrenheit. Figur 4.4. Isobarer på kort over USA. Isobarerne forbinder steder med samme lufttryk.

a) Hvor på kortet i figur 4.3 ændrer temperaturen sig mest, når man bevæger sig fra sted til sted på landjorden? b) Hvor på kortet i figur 4.4 er der højtryk og lavtryk? c) Kan du komme på andre skalarer, der kan indtegnes som et konturplot?

GRADIENTEN AF ET SKALARFELT ER ET VEKTORFELT

Ud fra eksemplerne på de foregående sider konkluderer vi, at det er interessant at vide, hvor et givent felt har den største eller mindste værdi, og hvor feltet ændrer sig hurtigst.

Ændringen i værdien af feltet svarer i figur 4.5 til det sted, hvor bakken er stejlest og højdekurverne ligger tættest. Det kender vi fra differentialregning som tangenthældningen eller den afledede funktion f’(x) for en funktion f(x) af én variabel, eller gradienten ∇f(x,y) for en funktion af to variable, f(x,y).

Symbolet ∇ betyder altså gradient. Bemærk, at det er en generalisering af differentialkvotienten, når vi går fra en funktion af én variabel til en funktion af flere variable.

Gradienten har både en størrelse og en retning, så gradienten er en vektor.

Gradienten af en funktion af to variable er en vektor:

∇f(x,y) = ( ∂f ∂f (x,y) ∂x (x,y) ∂y )

hvor komponenterne er de partielle afledede funktioner. Da gradienten er defineret i alle punkter, definerer gradienten derfor et felt, hvor der i alle punkter er defineret en vektor: ∇f(x,y).

Ovenstående leder os til at konkludere, at: Gradienten af et skalarfelt er et vektorfelt.

Figur 4.5. Højdekort og konturplot. Den røde bold befinder sig i punktet (x0,y0) og bevæger sig i retningen markeret med den grønne pil. Gradienten (den blå pil i punktet (x0,y0) peger i den retning, hvor højden vokser hurtigst, så den peger modsat den grønne pil. z

y y

x x

Figur 4.6. Vindkort fra dmi.dk. Kortet viser vindfeltet, det vil sige vindhastigheden alle steder. Pilene har samme længde og viser kun retningen. Vindhastigheden er i stedet markeret med forskellig farve.

Vektorfelter

En vektor adskiller sig fra en skalar ved både at have en størrelse og en retning. Det har vi allerede stiftet bekendtskab med i kapitel 1 (og behandles også i appendiks A).

Eksempler på størrelser, der er repræsenteret ved vektorer, er: kraft, hastighed og acceleration. Omkring år 1900 blev vektorer almindelig anvendt i fysik, og begrebet vektorfelt blev indført. Et vektorfelt er en angivelse af en vektorstørrelse i alle punkter i rummet.

Lad os fx se på et vindkort. Vind har både en hastighed og en retning, så vind er en vektorstørrelse, og vindkortet viser vindens retning og størrelse alle steder på et landkort.

TÆNK EFTER 2

Gå ind på DMI’s vejrkort: www.dmi.dk/vejrkort/ Se på kort over forskellige meteorologiske størrelser. Hvilke størrelser er skalarer? Hvilke størrelser er vektorer?

Fjernvirkning: En kraft der virker mellem to legemer uden nogen mekanisk kontakt.

Figur 4.7. Hvirvler i rummet, illustration fra Descartes’ bog Principia Philosophiae (1644).

Hvorfor har vi brug for felter?

Ovenstående er eksempler på anvendelser af skalarfelter og vektorfelter til illustration af værdierne af en størrelse. Det er et nyttigt værktøj, hvis man skal lave en vejrudsigt eller skal deltage i et orienteringsløb, men i fysik har vi også brug for felter af andre årsager.

Newton forklarede, at tyngdekraften mellem to objekter med masser m og M placeret i afstanden r mellem dem er givet ved den universelle tyngdelov:

F = G ·

M · m

r2

G = 6,67 · 1011 N · m2/kg2, og kraften er i retningen langs forbindelseslinjen mellem de to objekter.

På Newtons tid var der modstand mod hans formel. For hvordan kan to masser påvirke hinanden, uden at de rører hinanden? Hvordan kan Solen trække i Jorden på en afstand af 150 millioner km?

Kontaktkræfter giver mening, idet en bold, der rammer jorden, mærker kraften fra Jorden på sig. Men denne ’fjernvirkning’ (engelsk: action at a distance) var mystisk. På hvilken måde ’mærker’ bolden tyngdekraften fra Jorden, idet den falder nedad?

Som kommentar til dette bemærkede Newton lidt kryptisk i andenudgaven af Principia Mathematica (1713): Hypotheses non fingo (»Jeg udtænker ikke hypoteser«). Eller med andre ord: Det må I selv finde ud af.

Den franske matematiker René Descartes forsøgte at forklare tyngdekraften ved at postulere, at rummet var fyldt med hvirvler, der transmitterede den nødvendige kraft fra ét objekt til et andet, se figur 4.7.

Newton afviste i Principia Mathematica Descartes’ teori med henvisning til kometers baner, som han mente var for komplicerede til at kunne forklares med hvirvler i rummet.

Hvis man i videnskab har to konkurrerende hypoteser, der forklarer det samme fænomen, bør man vælge den simpleste, den med færrest antagelser. Dette princip kaldes Ockhams ragekniv. Her er det klart, at Newtons model er bedre end Descartes’, der introducerer en unødvendig hjælpehypotese (hvirvlerne) og ikke forklarer mere end Newtons teori.

Magnetfelter

I naturen observeres andre eksempler på fjernvirkning. I antikken var grækerne klar over, at en bestemt type sten tiltrækker jern, uden at stenen og jernet er i berøring.

Figur 4.8. Jernspåner omkring en stangmagnet.

Figur 4.9. Magnetfeltlinjer for en stangmagnet. Nålen i det lille kompas indstiller sig, så den er langs med feltlinjerne.

Et kraftfelt er et vektorfelt, der beskriver fjernvirkningen på en partikel i rummet. Hvis man tager en stangmagnet og lægger den på en overflade med jernspåner, fordeler jernspånerne sig efter et sindrigt mønster, der ser ud til at udspringe fra magnetens ender, se figur 4.8.

Fysikeren Michael Faraday (17911867) var den første, der (skriftligt) benyttede ordet »felt«, hvilket skete i hans dagbog i 1845. Men allerede i 1830’erne studerede han magnetfelter og brugte ord som »magnetiske kurver« og »magnetiske kraftlinjer« om eksperimenter som det, der er gengivet i figur 4.8. Han definerede en feltlinje som en linje, langs hvilken en lille magnet vil indstille sig, hvis man bringer den tæt på stangmagneten (som i figur 4.9).

N S

Den elektriske kraft er også en fjernvirkning, og alle naturkræfter kan beskrives med felter. I de følgende kapitler skal vi se nærmere på elektriske felter og magnetfelter.