5.3 Binomialfordelt stokastisk variabel

23 Introduktion

Når et basiseksperiment som at flippe en mønt gentages et bestemt antal gange, og vi lader en stokastisk variabel X tælle antal plat, så er dens sandsynligheder fordelt på en helt særlig måde. I resten af kapitlet skal vi se nærmere på sandsynlighederne i forbindelse med gentagelser af et basiseksperiment, der kun har to udfald.

24 Definition

Et binomialeksperiment er et sammensat eksperiment, der består af: • n uafhængige gentagelser af et basiseksperiment med • to udfald, som vi kalder succes og fiasko, hvor • der er samme sandsynlighed p for succes ved hver gentagelse.

0 1 2 3 4 5

25 Eksempel

En mønt kastes 5 gange, og vi lader X betegne antal plat. Dette er et binomialeksperiment, fordi vi har • 5 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”flip en mønt”, med • to udfald, hvor succes er plat, og fiasko er ”ikke plat”, og hvor; • der er samme sandsynlighed p = 1 2 for succes ved hver gentagelse.

Sandsynlighedsfordelingen for X kan ses i tabellen og søjlediagrammet i margenen.

r

0 1 2 3 4 5

P(X = r) 0,03 0,16 0,31 0,31 0,16 0,03

De enkelte sandsynligheder kaldes punktsandsynligheder, og de kan beregnes i CAS eller et regneark med kommandoer som: =binomdist(r;n;p; ) i Google Sheets og binompdf(n,p,r) i Texas Nspire.

26 Binomialfordelt stokastisk variabel

Når den stokastiske variabel X betegner antal succeser i et binomialeksperiment, siger vi, at den stokastiske variabel er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Vi skriver X ∼ b(n,p)

27 Eksempel

Lad X betegne antal 3’ere ud af 10 kast med en terning. Derved er X binomialfordelt, fordi vi har

• 10 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning”, med • to udfald, hvor succes er 3’er, og fiasko er ”ikke 3’er”, og hvor • der er samme sandsynlighed p = 1 6 for succes ved hver gentagelse.

Vi kan nu beregne P(X = 2) til 0,29071 med kommandoen binompdf(10, 1 6 , 2). Der er altså 29,071% chance for at få to 3’ere ved 10 kast med en terning. I søjlediagrammet er sandsynlighedsfordelingen for X illustreret. Det ses, at X = 2 er det næstmest sandsynlige udfald, mens sandsynlighederne for at få 8, 9 eller 10 styk 3’ere ved 10 kast er så lille, at søjlerne ikke kan ses på illustrationen. Det mest sandsynlige udfald er X = 1. Altså at vi får netop én 3’er ud af de 10 kast.

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 Eksempel

De tre første sandsynligheder i sandsynlighedsfordelingen af X i ovennævnte eksempel kan beregnes således.

P(X = 0) binompdf(10, 1 6 , 0) = 0,16151

P(X = 1) binompdf(10, 1 6 , 1) = 0,32301

P(X = 2) binompdf(10, 1 6 , 2) = 0,29071 Vi kan beregne sandsynligheden for at få 2 eller færre 3’ere ved 10 kast ved at lægge de tre ovennævnte sandsynligheder sammen.

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) Vi finder, at P(X ≤ 2) = 0,16151 + 0,32301 + 0,29071 = 0,77523 .

Der er altså 77,523% chance for at få to eller færre 3’ere. Dermed kan vi også indse, at der er 1 – 0,77523 = 0,22477 = 22,477% chance for at få ”samtlige andre værdier” – altså sandsynligheden for at få tre eller flere 3’ere ved 10 kast.

29 Øvelse

I et eksperiment kastes en firesidet terning 10 gange, og X betegner antallet af 2’ere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Bestem de mulige værdier X kan antage. c. Bestem P(X = 1) og P(X = 2).

30 Øvelse

Når en bestemt skæv mønt flippes, er sandsynligheden for at få plat lig med 0,3. Mønten flippes 5 gange, og den stokastiske variabel X betegner antal plat. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Bestem de mulige værdier X kan antage. c. Bestem P(X = 3).