6.2 Binomialtest

7.2 Beregning af tangenthældninger (og væksthastigheder)

11 Introduktion

En bjergklatrer taber sine nøgler fra et meget højt udhæng. Nøglernes fald kan med god tilnærmelse beskrives med modellen g(x) = 5x 2, hvor x er tiden målt i sekunder, og g(x) er afstanden, som nøglerne er faldet, målt i meter. Kan vi mon beregne, hvor hurtigt nøglerne falder? Det svarer til at spørge: Kan vi beregne tangentens hældning for en bestemt værdi af x?

12* Sætning

Tangenthældningen for funktioner af typen f(x) = ax 2 i punktet (x0,f(x0)) kan beregnes

med formlen f′(x0) = 2ax0.

Vi vil bevise sætningen i et senere afsnit. Først vil vi bruge den på nogle konkrete tilfælde.

y

4

2 f

–1 1 x

13 Eksempel

Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = 3x

2. Vi vil beregne hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = –1. Dvs. tangenten i punktet (–1,f(–1)) = (–1,3). Funktionen er af typen ax 2, hvor a = 3. Dvs. at tangenthældningen kan beregnes med formlen f′(x0) = 2 · 3x0 = 6x0. Med x0 = –1 indsat bliver det til f′(–1) = 6 · (–1) = –6. Se grafen og tangenten i margenen.

14 Eksempel

Funktionen g(x) = 5x y

2 fra introduktionen er også en funktion af typen ax

2. Hvis vi benytter sætningen, kan vi se, at tangenthældningerne kan beregnes med formlen g′(x0) = 2 · 5x0 = 10x0. Vi vil beregne nøglernes hastighed efter 2 sekunder. Det svarer til, at x0 = 2. Tangentens hældning er g′(2) = 10 · 2 = 20. Enheden for hældningen (dvs. væksthastigheden) er som bekendt enhed på -aksen

enhed på x-aksen . Nøglernes hastighed efter 2 sekunder er 20 meter sekund .

15 Eksempel

Betragt funktionen givet ved forskriften h(x) = 0,1x 2. Hvad skal x være for at

tangenthældningen er 10? h er en funktion af typen ax

2, hvor a = 0,1, og derved kan tangenthældningen beregnes med formlen 2 · 0,1x0. Det giver os ligningen 2 · 0,1x0 = 10.

Den kan løses med omskrivningerne: 0,2x0 = 10 Mellemregningen 2 · 0,1 = 0,2 2x0 = 100 Der er ganget med 10 på begge sider x0 = 50 Begge sider er divideret med 2. Tangenthældningen er 10, når x er 50. Eller skrevet kort: h′(50) = 10.

16 Eksempel

Betragt igen de faldende nøgler fra introduktionen. Hvornår falder de med hastigheden 30 meter sekund ? Vi fandt tidligere ud af, at hastigheden (tangenthældningen) kunne beregnes som g′(x0) = 10x0. Vi får altså ligningen 10x0 = 30, som har løsningen x0 = 3. Altså er g′(3) = 30, og vi kan konkludere, at nøglerne falder med en hastighed på 30 meter sekund efter 3 sekunder. I de 3 øvelser herunder skal du bruge sætning 12 til at beregne tangenthældninger (differentialkvotienter).

17 Øvelse

En funktion f er givet ved forskriften f(x) = 3x

2 . a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2, og når x0 = –2. b. Beregn følgende differentialkvotienter: f′(1), f′(15) og f′(–2). c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 36?

18 Øvelse

En funktion h er givet ved forskriften h(x) = –2x

2 . a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for h, når x0 = 2, og når x0 = –2. b. Beregn følgende differentialkvotienter: h′(1), h′(15) og h′(–2). c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 20?

19 Øvelse

En funktion g er givet ved forskriften g(x) = 2x

2 .

a. Udfyld tabellen. b. Lav med et værktøjsprogram et punktplot over punkterne fra tabellen. Plot værdierne for x0 på den vandrette akse, og værdierne for g′(x0) på den lodrette akse.

Det første punkt skal altså være (–3,–12). c. Udfør en lineær regression på punkterne. d. Sammenlign forskriften fra den lineære regression med formlen fra sætning 12. Hvad er sammenhængen? x0 –3 –2 –1 0 1 2 3 g′(x0) –12