7.2 Beregning af tangenthældninger (og væksthastigheder) 11 Introduktion En bjergklatrer taber sine nøgler fra et meget højt udhæng. Nøglernes fald kan med 2 god tilnærmelse beskrives med modellen g(x) = 5x , hvor x er tiden målt i sekunder,
og g(x) er afstanden, som nøglerne er faldet, målt i meter. Kan vi mon beregne, hvor hurtigt nøglerne falder? Det svarer til at spørge: Kan vi beregne tangentens hældning for en bestemt værdi af x?
12* Sætning Tangenthældningen for funktioner af typen f(x) = ax2 i punktet ( x0 ,f(x0)) kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2ax0. Vi vil bevise sætningen i et senere afsnit. Først vil vi bruge den på nogle konkrete tilfælde.
13 Eksempel
y 4
Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = 3x2. Vi vil beregne hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = –1. Dvs. tangenten i punktet ( –1, f(–1)) = (–1, 3).
f
2 Funktionen er af typen ax , hvor a = 3. Dvs. at tangenthældningen kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2 · 3x0 = 6x0. Med x0 = –1 indsat bliver det til f ′(–1) = 6 · (–1) = –6.
2
–1
1
x
Se grafen og tangenten i margenen.
14 Eksempel Funktionen g(x) = 5x2 fra introduktionen er også en funktion af typen ax2. Hvis vi benytter sætningen, kan vi se, at tangenthældningerne kan beregnes med formlen g ′(x0) = 2 · 5x0 = 10x0. Vi vil beregne nøglernes hastighed efter 2 sekunder. Det svarer til, at x0 = 2. Tangentens hældning er g ′(2) = 10 · 2 = 20. Enheden for hældningen (dvs. væksthastigheden) er som bekendt
enhed på y -aksen enhed på x -aksen .
meter . Nøglernes hastighed efter 2 sekunder er 20 sekund
15 Eksempel Betragt funktionen givet ved forskriften h(x) = 0,1x2. Hvad skal x være for at tangenthældningen er 10? 2 h er en funktion af typen ax , hvor a = 0,1, og derved kan tangenthældningen
beregnes med formlen 2 · 0,1x0. Det giver os ligningen 2 · 0,1x0 = 10.
94
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 94
31/03/2020 09.21
