Det bestemte integral af f(x) i intervallet [a ;b] er tallet F(b) – F(a), hvor F(x) er en stamfunktion til f(x)
∫
b
a
f ( x )dx =
[F ( x )]ba
= F (b ) − F ( a )
Indskudssætningen Hvis tallet c ligger mellem a og b (a ≤ c ≤ b), så kan
∫
b
a
a
f ( x )dx opdeles = [ F ( x )]i asummen = F (b ) −afF (to a) integraler b
f ( x )dx =
∫
c
a
f ( x )dx +
∫
b
c
f ( x )dx
KERNESTOF MAT B
Areal a. Arealet af den punktmængde, der i intervallet [a; b] er begrænset af på den ene side grafen for f(x) og på den anden side x–aksen, er bestemt ved A =
Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard
∫
b
∫
b
a
f ( x )dx =
[F ( x )]ba
Indhold i opslag Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler og øvelser.
= F (b ) − F ( a )
b. Arealet mellem graferne for f(x) og g(x) i intervallet [a ;b] er bestemt ved
Hvert kapitel indeholder mellem tre og seks opslag.
b
A A== ∫ (f ( x ) − g( x )) dx
Der er opgaver bagerst i hvert kapitel, og formelsamling på coverets flapper.
a
Funktionsforskrift f(x)
Stamfunktion F(x)
0
c
a
ax + c
ax + b
a 2 ⋅ x + bx + c 2
xa
1 ⋅ x a+1 + c , a ≠ −1 a +1
ax
1 ⋅ ax + c ln ( a )
e
Kernestof Mat 2 stx
Stamfunktioner og regneregler for ubestemte integraler
QR-koder linker til små film med uddybninger og eksempler. Facitliste bag i bogen.
www.lru.dk/kernestof
e +c
x
x
ek · x
1 k⋅ x ⋅e + c , k ≠ 0 k
1 x
ln|x| + c
= x −1 x=x
1 2
Kernestof Mat 2 stx Lindhardt og Ringhof
2 2 ⋅x⋅ x +c = x +c 3 3
∫h(x)dx = k · ∫f(x)dx
h(x) = f(x) ± g(x)
∫h(x)dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard ISBN 978-87-7066-866-8
www.lru.dk
9 788770 668668
Regneregler for differentialkvotienter Funktions forskrift f(x)
Tangenthældning f ′(x0)
k (konstant)
0
a·x+b
a
xa
a · x 0a – 1
ax
ln(a) · ax0
ex
e x0
ek · x
k · e k · x0
ln(x)
1 x0
1 x
−
= x −1
1 x02
= −1⋅ x0−2
1
x
2⋅
x0
h(x) = k · f(x)
h ′(x0) = k · f ′(x0)
h(x) = f(x) ± g(x)
h ′(x0) = f ′(x0) ± g ′(x0)
Tangentligning Ligningen for tangenten til grafen for f med røringspunkt i ( x0 ,f(x0)) er: y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0)
Frihedsgrader
3 2
h(x) = k · f(x)
Formelsamling
Det bestemte integral
10%
5%
1%
1
2,71
3,84
6,63
2
4,61
5,99
9,21
3
6,25
7,81
11,34
4
7,78
9,49
13,28
5
9,24
11,07
15,09
6
10,64
12,59
16,81
7
12,02
14,07
18,48
8
13,36
15,51
20,09
9
14,68
16,92
21,67
10
15,99
18,31
23,21
Af Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard
Kernestof Mat 2 stx Praxis
K-stof_2_kap_0_stx.indd 1
29.06.2021 09.12
KERNESTOF Mat 2 stx Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard © 2021 Praxis Forlag A/S Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Billedredaktion: Astrid Sletten Rybner Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 1. udgave 5. oplag 2021 Kernestof 2 er en revideret udgave af den tidligere Kernestof B af Per Gregersen og Peter Limkilde. En del af opgavesektionerne stammer fra denne udgivelse. ISBN 978 87 7571 3985 3
www.praxis.dk
K-stof_2_kap_0_stx.indd 2
29.06.2021 09.13
Indhold Forord 1. Andengradspolynomier 1.1 Parabler og koefficienter
6 8 8
1.2 Diskriminant og toppunktsformel
10
1.3 Rødder
12
1.4 Faktorisering og modellering
14
1.5 Polynomier af højere grad
16
Opgaver til kapitel 1
18
Træningssider 1
22
2. Funktioner 2.1 Introduktion
24
2.2 Monotoniforhold
26
2.3 At regne med funktioner
28
2.4 Sammensatte funktioner
30
2.5 Parallelforskydning af grafer
32
Opgaver til kapitel 2
34
Træningssider 2
38
3. Trigonometriske funktioner 3.1 Radianer 3.2 Funktionen sin(x)
24
40 40 42
3.3 Amplitude
44
3.4 Periode
46
Opgaver til kapitel 3
48
Træningssider 3
50
4. Logaritmer 4.1 Logaritmefunktioner
52
4.2 Logaritmiske skalaer 1
54
4.3 Logaritmiske skalaer 2
56
4.4 Beviser
58
Opgaver til kapitel 4
60
Træningssider 4
64
52
Indhold
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 3
3
31/03/2020 09.20
1
3 2
5. Binomialfordelingen 5.1 Stokastisk variabel
66
5.2 Middelværdi og spredning
68
5.3 Binomialfordelt stokastisk variabel
70
66
5.4 Middelværdi og spredning i binomialfordelingen
72
5.5 Baggrunden for binomialfordelingen
74
Opgaver til kapitel 5
76
Træningssider 5
80
6. Binomialtest 6.1 Er mønten ærlig?
82
6.2 Binomialtest
84
6.3 Enkeltsidet test, bias og konfundering
86
Opgaver til kapitel 6
88
Træningssider 6
90
82
7. Differentialregning 7.1 Tangenter og væksthastighed
92 92
7.2 B eregning af tangenthældninger (og væksthastighed) 7.3 Afledet funktion 7.4 Sekanthældninger
96 98
7.5 Beviser 1
100
7.6 Beviser 2
102
Opgaver til kapitel 7
104
Træningssider 7
106
8. Differentialregningens regneregler 8.1 Sum-, differens- og konstantreglen
4
94
110 110
8.2 Produkt- og kædereglen
112
8.3 Beviser 1
114
8.4 Beviser 2
116
Opgaver til kapitel 8
118
Træningssider 8
120
Indhold
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 4
31/03/2020 09.20
9. Differentialregningens anvendelser 9.1 Monotoniforhold
122 122
9.2 Om forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion 9.3 Optimering og andre anvendelser af f ′
124 126
9.4 Andengradspolynomier og differentialregning 128 9.5 O m begreberne voksende og aftagende
130
Opgaver til kapitel 9
132
Træningssider 9
138
10. Konklusioner fra data 10.1 Approksimation og simulering 10.2 Konfidensintervaller
140 140 142
10.3 Lineær regression –
mindste kvadraters metode
144
10.4 R esidualspredning
146
10.5 Polynomiel regression
148
Opgaver til kapitel 10
150
Træningssider 10
156
11. Analytisk geometri 11.1 Normalvektor og linjens ligning
158 158
11.2 Skæring mellem linjer
160
11.3 Afstande
162
11.4 Cirkler 1
164
11.5 Cirkler 2
166
11.6 Retningsvektor og parameterfremstilling
168
11.7 Skæringspunkter og skæringstidspunkter
170
11.6 Beviser 1
172
11.7 Beviser 2
174
11.8 Beviser 3
176
178
Opgaver til kapitel 11
Facitliste
184
Indhold
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 5
5
31/03/2020 09.20
Forord Kernestof Mat2, stx præsenterer anden del af matematikken på den gymnasiale stx-uddannelse. Den bygger ovenpå Kernestof Mat1, stx og kan bruges som grundbog på B- og A-niveau.
Matematik i opslag Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. En kort case introducerer det nye område med fokus på anvendelser og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen. Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression. Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver, som repeterer stoffet fra Kernestof Mat1, fx regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler mv. En stjerne (*) markerer, at beviset til en given sætning er placeret i et afsnit bagerst i kapitlet.
Rækkefølge Kapitlerne er organiseret i en rækkefølge, som vi selv finder hensigtsmæssig, og træningssiderne repeterer nødvendige emner, efterhånden som der bliver brug for dem. Men kapitlerne er skrevet med henblik på stor fleksibilitet: Kapitel 1 til 4 er indbyrdes uafhængige. Kapitlerne om differentialregning kræver fortrolighed med funktionsbegrebet, så det vil være hensigtsmæssigt at tage kapitel 1-4, før man starter på kapitel 7, 8 og 9. Kapitel 5, 6 og 10 skal læses i netop den rækkefølge, men er ellers uafhængige af resten af kapitlerne. Kapitel 11 er i princippet uafhængigt, men kræver fortrolighed med ligningsløsning, herunder løsning af andengradsligninger (som behandles i kapitel 1). Der er således rig mulighed for at variere rækkefølgen efter smag og behag.
6
Forord
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 6
31/03/2020 09.20
Seriens website På seriens website www.lru.dk/kernestof finder du facitlister til alle opgaver og træningssider. Du har også direkte adgang via bogens QR-koder.
Screencasts QR-koderne giver adgang til mere end 150 screencasts, der uddyber forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. Du kan også finde dem på websitet.
God fornøjelse med bogen. Per og Henrik
Forord
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 7
7
31/03/2020 09.20
5. Binomialfordelingen 5.1 Stokastisk variabel
1
3
1 Introduktion
Der er 0,65 = 65 % sandsynlighed for, at lykkehjulet lander på 1 point, 0,25 = 25 % sandsynlighed for at lande på 2 point og 0,10 = 10% sand-
2
synlighed for at lande på 3 point. I dette afsnit indføres begrebet stokastisk variabel, som netop kan beskrive sådanne sandsynligheder. Vi repeterer først, hvordan sandsynlighederne i et forsøg som det ovennævnte skal forstås.
Sandsynlighedsfelt:
2 Sandsynlighed
Sandsynligheden for en given hændelse skal forstås som frekvensen for – Et udfaldsrum, U, består af hændelsen ved en uendelig række gentagelser af forsøget. en række mulige udfald u. – Til hvert udfald, u, er der en sandsynlighed P(u), hvor 0 ≤ P(u)≤ 1.
3 Hændelse og komplementær hændelse
En hændelse, H, er et eller flere udfald fra et udfaldsrum. Den komplemen– Summen af alle sandsynligtære hændelse, H ’, er de andre udfald i udfaldsrummet, som ikke er med i hederne er 1. H, og derfor gælder P(H ’) = 1 – P(H)
4 Eksempel I situationen ovenfor med lykkehjulet er der tre udfald, der alle har en sandsynlighed. Lægges de tre sandsynligheder sammen, får vi 0,65 + 0,25 + 0,1 = 1. Det er altså et sandsynlighedsfelt.
I hændelsen ”ulige” er de to udfald: 1 og 3.
Den komplementære hændelse er ”ikke ulige” og er udfaldet 2.
Vi kan udregne sandsynligheden for at få "ulige" som
P(ulige) = 1 – P(ikke ulige) = 1 – 0,25 = 0,75
Vi kunne naturligvis også blot have lagt P(1) = 0,65 og P(3) = 0,10 sammen.
5 Stokastisk variabel I et tilfældigt eksperiment, der har en talværdi X som resultat, kaldes X en stokastisk variabel. De konkrete talværdier af X betegnes med små bog0,7
staver x1, x2, x3 osv. Udtrykket P(X = xi) betyder ”sandsynligheden for, at X
0,6
antager værdien xi”.
0,5 0,4
6 Eksempel
0,3
Når lykkehjulet drejes, lander det på 1, 2 eller 3 point. Vi lader X betegne
0,2
antal point og har altså:
0,1
X = antal point. 1
66
2
3
xi P(X = xi)
1
2
3
0,65
0,25
0,1
I tabellen ses værdierne og sandsynlighederne for at få værdierne.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 66
31/03/2020 09.21
7 Sandsynlighedsfordeling En beskrivelse af, hvordan sandsynligheden er fordelt for en stokastisk variabel X, kaldes sandsynlighedsfordelingen for X. Ofte bruges en tabel eller et søjlediagram til at vise sandsynligheds-
xi
x1
x2
...
xn
P(X = xi)
p1
p2
...
pn
fordelingen for X.
8 Eksempel Der trækkes et tilfældigt af de viste 10 kort. En stokastisk variabel X betegner kortets værdi.
xi P(X = xi)
2
4
8
10
0,4
0,3
0,2
0,1
Sandsynlighedsfordelingen for X er vist i margenen. Sandsynligheden for at få mindre end eller
0,4 0,35
lig med 8 skrives P(X ≤ 8). Dermed menes:
0,3
P(X ≤ 8) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 8)
0,25 0,2
= 0,4 + 0,3 + 0,2
0,15
= 0,9
0,1 0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 Øvelse Der er 0,50 = 50 % sandsynlighed for, at lykkehjulet lander på 1 point, 0,35 = 35 % sandsynlighed for at lande på 2 point og 0,15 = 15% sand-
2
synlighed for at lande på 3 point. Den stokastiske variabel X betegner antal point. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X. b. Tegn stolpediagrammet.
3
1
c. Bestem sandsynligheden P(X = 2).
10 Øvelse En terning kastes, og X betegner antallet af øjne. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Bestem P(X = 4). c. Bestem P(X ≤ 3). d. Bestem 1 – P(X = 4).
11 Øvelse
0,7 0,6
Søjlediagrammet i margenen viser sandsynlighedsfordelingen
0,5
for en stokastisk variabel X.
0,4
a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen.
0,3
b. Bestem P(X ≤ 2).
0,2 0,1 1
2
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 67
3
67
31/03/2020 09.21
5.2 Middelværdi og spredning
12 Introduktion Et spillefirma overvejer at udbyde et spil, hvor der kastes en firesidet terning. Firmaet udbetaler 100 kr. i gevinst, hvis terningen lander på en 1’er. Til gengæld skal kunderne betale 30 kr., hvis den lander på en 2’er, 40 kr., hvis den lander på en 3’er, og 50 kr., hvis den lander på en 4’er.
Kommer firmaet mon til at tjene penge på spillet?
13 Eksempel For at få overblik, indfører vi en stokastisk variabel, X, der betegner firma-
xi
–100
30
40
50
P(X = xi)
0,25
0,25
0,25
0,25
ets indtægt. Sandsynlighedsfordelingen fremgår af tabellen i margenen.
Vi kan vurdere, hvor meget firmaet kommer til at tjene på spillet ved at udregne den forventede værdi af indtægten X.
xi
x1
x2
P(X = xi)
p1
p2
14 Definition
xn Den forventede værdi eller middelværdien af en stokastisk variabel er: ... pn µ = E ( X ) = x1 ⋅ p1 + x 2 ⋅ p2 + + x n ⋅ pn . ...
15 Eksempel
Den forventede værdi (gevinst/tab) af X i eksemplet ovenfor er
µ = E ( X ) = − 100 ⋅ 0,25 + 30 ⋅ 0,25 + 40 ⋅ 0,25 + 50 ⋅ 0,25 = 5
Den forventede værdi / middelværdien er altså 5 kr., svarende til, at firmaet i gennemsnit vil tjene 5 kr. pr. spil. Vi skal nu se på variansen af en stokastisk variabel. Den fortæller noget om, hvor langt fra middelværdien værdierne af den stokastiske variabel i gennemsnit er.
16 Definition
Varians: Var ( X ) = ( x1 − µ )2 ⋅ p1 + ( x 2 − µ )2 ⋅ p2 + + ( x n − µ )2 ⋅ pn Spredning:
σ = Var ( X )
17 Eksempel
Vi samler udregningerne for spiludbyderens varians og spredning.
Var ( X ) = ( −100 − 5)2 ⋅ 0,25 + (30 − 5)2 ⋅ 0,25 + (40 − 5)2 ⋅ 0,25 + (50 − 5)2 ⋅ 0,25 = 3725.
68
σ = 3725 = 61,03.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 68
31/03/2020 09.21
18 Bemærkning: En høj spredning kan være et problem Selvom spiludbyderen i gennemsnit tjener 5 kr. pr. spil, kan firmaet ikke være sikre på at tjene 5 kr. på et givet spil. Måske får de 50 kr., måske 30 kr. og måske skal de betale 100 kr. Spiludbyderen vil hellere have et spil, hvor det ikke varierer helt så meget, hvad de skal betale eller have.
19 Eksempel Spillefirmaet ændrer beløbene, så de udbetaler 40 kr. i gevinst, hvis terningen lander på en 1’er, og deltagerne skal betale 20 kr. hvis terningen lander på en 2’er, 3’er eller 4’er. Der er altså en sandsynlighed på 0,25 for at firmaet skal betale 40 kr., og der er en xi
–40
20
P(X = x i)
0,25
0,75
bliver plat, og 3, hvis det bliver krone.
X = xi
1
3
a. Bestem middelværdien.
P(X = x i)
1 2
1 2
sandsynlighed på 0,75 for at firmaet tjener 20 kr. Vi beregner det nye spils middelværdi, varians og spredning.
µ = E ( X ) = − 40 ⋅ 0,25 + 20 ⋅ 0,75 = 5 Var ( X ) = ( − 40 − 5)2 ⋅ 0,25 + (20 − 5)2 ⋅ 0,75 = 675
σ = 675 = 25,98 Firmaet tjener de samme 5 kr. i gennemsnit pr. spil, men det varierer mindre pr. spil.
20 Øvelse En mønt flippes, og den stokastiske variabel X får værdien 1, hvis det
b. Bestem varians og spredning.
21 Øvelse Et spillefirma laver et lotteri, hvor er det gratis at deltage, men: 30 % af lodderne er mærket
, og man skal betale 50 kr., hvis det trækkes.
60 % af lodderne er mærket X, og man skal betale 10 kr., hvis det trækkes. 10 % af lodderne er mærket
, og man får 150 kr., hvis det trækkes.
Den stokastiske variabel X betegner indtægten for firmaet. a. Tegn tabellen i margenen af, og udfyld nederste række.
X = xi
b. Bestem middelværdien.
P(X = x i)
50
10
–150
c. Bestem varians og spredning.
22 Øvelse a. Udtænk nogle andre beløb i ovenstående øvelse, så den forventede indtægt er den samme, men spredningen bliver mindre for spillefirmaet.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 69
69
31/03/2020 09.21
5.3 Binomialfordelt stokastisk variabel 23 Introduktion Når et basiseksperiment som at flippe en mønt gentages et bestemt antal gange, og vi lader en stokastisk variabel X tælle antal plat, så er dens sandsynligheder fordelt på en helt særlig måde. I resten af kapitlet skal vi se nærmere på sandsynlighederne i forbindelse med gentagelser af et basiseksperiment, der kun har to udfald.
24 Definition Et binomialeksperiment er et sammensat eksperiment, der består af: • n uafhængige gentagelser af et basiseksperiment med • to udfald, som vi kalder succes og fiasko, hvor • der er samme sandsynlighed p for succes ved hver gentagelse.
0,35 0,3
25 Eksempel
0,25
En mønt kastes 5 gange, og vi lader X betegne antal plat. Dette er et binomialeks-
0,2
periment, fordi vi har
0,15 0,1
• 5 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”flip en mønt”, med
0,05
• to udfald, hvor succes er plat, og fiasko er ”ikke plat”, og hvor;
• der er samme sandsynlighed p = 21 for succes ved hver gentagelse.
0
1
2
3
4
r P(X = r)
5
0
0,03
1
2
3
4
0,16
0,31
0,31
0,16
5
Sandsynlighedsfordelingen for X kan ses i
0,03
tabellen og søjlediagrammet i margenen.
De enkelte sandsynligheder kaldes 26 Binomialfordelt stokastisk variabel punktsandsynligheder, og de kan Når den stokastiske variabel X betegner antal succeser i et binomialberegnes i CAS eller et regneark eksperiment, siger vi, at den stokastiske variabel er binomialfordelt med med kommandoer som: antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. =binomdist(r;n;p; ) i Google Sheets og binompdf(n,p,r) i Texas Nspire. Vi skriver X ∼ b(n,p)
27 Eksempel Lad X betegne antal 3’ere ud af 10 kast med en terning. Derved er X binomialfordelt, fordi vi har
70
• 10 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning”, med
• to udfald, hvor succes er 3’er, og fiasko er ”ikke 3’er”, og hvor
• der er samme sandsynlighed p = 61 for succes ved hver gentagelse.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 70
31/03/2020 09.21
Vi kan nu beregne P(X = 2) til 0,29071 med kommandoen binompdf(10, 61 , 2). Der er altså 29,071 % chance for at få to 3’ere ved 10 kast med en terning. I søjlediagrammet er sandsynlighedsfordelingen for X illustreret. Det ses, at X = 2 er det næstmest sandsynlige udfald, mens sandsynlighederne for at få 8, 9 eller 10 styk 3’ere ved 10 kast er så lille, at søjlerne ikke kan ses på illustrationen. Det mest sandsynlige udfald er X = 1.
0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
Altså at vi får netop én 3’er ud af de 10 kast.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
28 Eksempel De tre første sandsynligheder i sandsynlighedsfordelingen af X i ovennævnte eksempel kan beregnes således. P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2)
binompdf(10, 61 , 0) = 0,16151
binompdf(10, 61 , 1) = 0,32301 binompdf(10, 61 , 2) = 0,29071
Vi kan beregne sandsynligheden for at få 2 eller færre 3’ere ved 10 kast ved at lægge de tre ovennævnte sandsynligheder sammen. P( X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) Vi finder, at P( X ≤ 2) = 0,16151 + 0,32301 + 0,29071 = 0,77523 . Der er altså 77,523 % chance for at få to eller færre 3’ere. Dermed kan vi også indse, at der er 1 – 0,77523 = 0,22477 = 22,477% chance for at få ”samtlige andre værdier” – altså sandsynligheden for at få tre eller flere 3’ere ved 10 kast.
29 Øvelse I et eksperiment kastes en firesidet terning 10 gange, og X betegner antallet af 2’ere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Bestem de mulige værdier X kan antage. c. Bestem P(X = 1) og P(X = 2).
30 Øvelse Når en bestemt skæv mønt flippes, er sandsynligheden for at få plat lig med 0,3. Mønten flippes 5 gange, og den stokastiske variabel X betegner antal plat. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Bestem de mulige værdier X kan antage. c. Bestem P(X = 3).
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 71
71
31/03/2020 09.21
5.4 Middelværdi og spredning i binomialfordelingen 31 Introduktion I roulette er der 37 felter, som kuglen kan lande på. Heraf er 18 røde, 18 sorte og 1 er grøn. Sandsynligheden for at lande på et rødt felt er dermed p = 18 ≈ 0, 4865 = 48,65 % 37
Kuglen vil altså forventeligt lande på et rødt felt knap halvdelen af gangene. Vi skal i dette afsnit behandle, hvordan man i binomialfordelingen kan beregne de tidligere indførte størrelser middelværdi/forventet værdi og spredning.
32 Sætning Den forventede værdi eller middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel er bestemt ved: µ = E ( X ) = n ⋅ p
33 Eksempel Vi forestiller os, at en kugle kastes i rouletten 100 gange. Vi beregner Middelværdien er en matematisk middelværdien med formlen: µ = E ( X ) = n ⋅ p og får: abstraktion. Derfor kan middelværdien
µ = E ( X ) = 100 ⋅ 18 ≈ 48 , 65 . godt være 48,65, selvom kuglen naturlig37 18 vis lander et helt antal gange på rødt. Middelværdien af X b 100 , er altså lig med 48,65. 37 Af 100 spil vil kuglen altså forventeligt lande ca. 49 gange på rødt.
Vi har at gøre med tilfældigheder, så vi kan ikke regne med at få 49 røde på 100 spil. Måske lander kuglen kun 34 gange på rødt ud af de 100 kast. Det kan vi ikke vide på forhånd. Men ved hjælp af spredningen for X kan vi vurdere, hvor ofte vi vil få et tal i nærheden af 48,65.
34 Sætning For en binomialfordelt stokastisk variabel X er spredningen σ bestemt ved: σ = n ⋅ p ⋅ (1− p ) Der gælder med tilnærmelse, at 68% af udfaldene af X vil ligge i området
µ ± σ , og at 95 % af udfaldene vil ligge i µ ± 2σ . Tilnærmelsen er god, når np og n(1-p) er større end 5.
72
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 72
31/03/2020 09.21
35 Eksempel
18 I roulettespillet, hvor X b 100 , 37 , er spredningen
σ = 100 ⋅
18 18 ⋅ 1− = 4, 9981 ≈ 5,00 37 37
Det kan vi i forhold til roulettespillet tolke på følgende måde: Der er omkring 68 % chance for, at antallet af gange, vi lander på rødt, ligger i intervallet 48,65 ± 5,00. Dvs. mellem 43,65 og 53,65 gange. Der er omkring 95 % chance for, at antallet af gange, vi lander på rødt, ligger i intervallet 48,65 ± 2 · 5,00. Dvs. mellem 38,65 og 58,65 gange. Vi kan deraf se, at det vil være utroligt sjældent at få et resultat som de førnævnte 34.
36 Eksempel 8 % af alle mænd er farveblinde. På et gymnasium undersøges 75 mænd. Den stokastiske variabel X betegner antal farveblinde, og "succes" er farveblindhed. X er binomialfordelt, fordi der er: • 75 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”undersøg en mand for farveblindhed”, hvor der er • to udfald, og der er • samme sandsynlighed for succes hver gang. Vi vil forvente at finde µ = E ( X ) = 75 ⋅ 0,08 = 6 farveblinde blandt de 75, men også at der vil være en spredning på σ = 75 ⋅ 0,08 ⋅ (1 − 0,08) = 2,34947 .
µ − 2σ = 6 − 2 ⋅ 2,34947 ≈ 1,3 µ + 2σ = 6 + 2 ⋅ 2,34947 ≈ 10,7
Dermed vil vi med 95% sandsynlighed finde mellem 1,3 og 10,7 farveblinde mænd i stikprøven.
37 Øvelse Fra et spil kort uden jokere trækkes et kort, og det noteres, om det er en ruder eller ej. Kortet lægges tilbage, og bunken blandes. Eksperimentet gentages 40 gange. Den stokastiske variabel X betegner antal ruder. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameter og sandsynlighedsparameter. b. Bestem middelværdien, og fortolk tallet i forhold til situationen. c. Bestem spredningen. d. Bestem det interval, som antal rudere med 95% sikkerhed vil ligge i.
38 Øvelse En terning kastes 1000 gange. X betegner antal 6’ere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt b(n,p), og bestem n og p. b. Bestem middelværdi og spredning, og fortolk tallene.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 73
73
31/03/2020 09.21
5.5 Baggrunden for binomialfordelingen 39 Introduktion I et eksperiment kastes en firesidet terning, og den stokastiske variabel X betegner antallet af 2’ere. Eksperimentet gentages 3 gange. X er binomialfordelt, og vi har X b 3, 41 , fordi der er:
• 3 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning” med • to udfald, hvor ”2” er succes og ”ikke 2” er fiasko, og hvor
• = 41 er basissandsynligheden for succes ved hver gentagelse. X bp3, I afsnittet her skal vi opstille en formel til beregning af sandsynlighederne i forbindelse med binomialeksperimenter. Vi tager udgangspunkt i ovennævnte eksempel i hele afsnittet. Da der kun er to udfald i et basiseksperiment, gælder følgende:
40 Sætning Hvis sandsynligheden for succes i basiseksperimentet betegnes med p, da er sandsynligheden for fiasko i basiseksperimentet 1 – p.
41 Eksempel Ved kast med en firesidet terning er sandsynligheden for at få en fiasko, en ”ikke 2’er”: 1− p = 1 − 1 = 3 . 4
4
Vi vil nu se på sandsynlighederne for P(X = 3) og P(X = 2) i detaljer.
42 Sandsynligheden P(X = 3) Vi vil beregne sandsynligheden for at få tre 2’ere: Brøkregneregel:
a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d
P(tre 2' ere ) =
3
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 3 ≈ 0,016. 4 4 4 4
I beregningen af sandsynligheden kunne vi blot multiplicere sandsynlighederne, fordi basiseksperimenterne er uafhængige af hinanden.
43 Sandsynligheden P(X = 2) Inden vi ser på denne sandsynlighed, så lad os beskrive samtlige udfald i sandsynlighedsfeltet. Idet vi husker, at en 2’er er succes, s, og ”ikke 2” kaldes fiasko, f, kan vi beskrive udfaldene ved tre kast således: sss
ssf
sfs
fss sff
ffs fsf
fff
Der er altså otte muligheder. Vi siger, der er otte mulige udfald, når terningen kastes tre gange, og vi holder øje med antal succeser.
74
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 74
31/03/2020 09.21
Af de otte muligheder svarer den første mulighed sss til P(X = 3), som vi allerede har set på. Når vi nu skal regne på P(X = 2), indgår der tre udfald, nemlig ssf, sfs og fss 1 1 3 1 3 1 3 1 1 P( X = 2) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ≈ 0,14 4 4 4 4 4 4 4 4 4
De tre led i udregningen har samme talstørrelse, fordi de er ens på nær række-
Den kommutative lov for multiplikation: a·b=b·a
følgen af faktorerne. Udregningen kan derfor også skrives 2
1 3 P( X = 2) = 3 ⋅ ⋅ ≈ 0,14 4
4
At der var tre udfald, hvor der indgik 2 s’er og 1 f, kan også beregnes med binomialkoefficienten K(3,2) = 3, fordi det svarer til antal måder, man kan vælge 2 ud af 3 elementer (2 succeser ud af 3 kast). Alt i alt har vi:
2
1 3 2) = 3 ⋅ ⋅ ≈ 0,14 P(X =P(2)X = K(3,2) 4
4
Når der skal vælges r elementer ud af n mulige, kan det gøres på K(n,r) forskellige måder. K ( n, r ) =
n! ( n − r )! r !
På baggrund af ovenstående eksempler formulerer vi nu en generel sætning om binomiale punktsandsynligheder:
44 Sætning For en binomialfordelt stokastisk variabel X ∼ b(n ,p), hvor sandsynligheden for r n–r basishændelsen er p, gælder P(X = r) = K(n,r) · p · (1 – p) .
45 Eksempel Sandsynligheden for P(X = 1) i det gennemgående eksempel udregnes direkte ved indsættelse i formlen. 3−1 1 1 1 P( X = 1) = K (3,1) ⋅ ⋅ 1 − ≈ 0, 42 4 4
46 Øvelse a. Beregn sandsynligheden for P(X = 0) i det gennemgående eksempel ved hjælp af ovenstående sætning. b. Kontroller i CAS med binompdf(n,p,r) eller lignende kommando.
47 Øvelse Et lykkehjul, hvor chancen for gevinst er 30%, drejes 6 gange. X betegner antal succeser. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt. b. Beregn sandsynligheden for P(X = 4) ved hjælp af formlen.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 75
75
31/03/2020 09.21
Opgaver – 5. Binomialfordelingen
Opgave 503
S can QR-koden for at komme til facitlisten.
Opgave 501 En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen xi P(X = xi)
1
2
3
4
0,1
0,3
0,2
0,4
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
1
2
3
4
En stokastisk variabel er beskrevet ved ovenstående søjlediagram.
a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne.
a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen.
Bestem nedenstående sandsynligheder
b. Bestem P(X ≥ 2).
b. P(X = 1) c. P(X ≤ 2)
Opgave 504
d. Sandsynligheden for at få enten 2 eller 3. 0,3 0,2 0,1
e. P(X ≥ 2) f. Sandsynligheden for ikke at få 4.
–5 –4 –3 –2 –1
Opgave 502
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
En stokastisk variabel X har sandsynligheds-
En stokastisk variabel X er beskrevet ved ovenstå-
fordelingen
ende søjlediagram. a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen.
xi
–10
–5
0
5
10
15
P(X = xi)
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,5
b. Bestem P(X ≤ 3)
Opgave 505
a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne.
En 12-sidet terning kastes, og X betegner øjeantallet.
Bestem nedenstående sandsynligheder
a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen.
b. P(X = –5)
b. Bestem P(X = 2).
c. P(X ≥ 0)
c. Bestem P(X = 10) + P(X = 11).
d. P(X > 0) e. P(X ≤ 7)
f. P(X ≠ 10)
d. Bestem P(X ≥ 8). e. H vad er sandsynligheden for, at øjeantallet er et tal i 3-tabellen? f. Bestem sandsynligheden for ikke at få 12 øjne?
76
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 76
31/03/2020 09.21
Opgave 506
Opgave 510
En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen xi P(X = xi)
5
7
10
0,1
0,4
0,5
a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem variansen af X. c. Bestem spredningen af X.
En idrætsforening vil udstede lodsedler for at tjene penge til en lejrtur. 2% af lodderne giver en
Opgave 507
gevinst på 100 kroner. 10% giver en gevinst på
En stokastisk variabel X har sandsynligheds-
10 kroner. Resten af lodderne giver ingen gevinst.
fordelingen
Gevinsten ved et lod kan betragtes som en stoka-
xi
100
200
300
400
P(X = xi)
0,5
0,4
0,05
0,05
stisk variabel X. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Beregn middelværdien af X, og giv en fortolkning af tallet.
a. Bestem middelværdien af X.
De sælger lodderne for 20 kroner stykket.
b. Bestem variansen af X.
c. Bestem hvor mange lodder, de skal sælge for at
c. Bestem spredningen af X.
Opgave 508
tjene 10000 kroner?
Opgave 511
I et bestemt spil kastes en 6-sidet terning. Hvis terningen lander på en 1’er, 2’er eller 3’er, skal
0,8
man betale 50 kroner. Hvis terningen lander på 4,
0,7
får man 10 kroner, lander den på 5, får man 50 kro-
0,6
ner, og lander den på 6, får man 100 kroner. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen.
0,5
b. Bestem den gennemsnitlige gevinst, man kan
0,4
forvente at få i dette spil.
0,3
c. Bestem varians og spredning for spillet.
0,2 0,1
Opgave 509 Du kaster med en almindelig 6-sidet terning. a. Bestem middelværdien af øjeantallet. b. Bestem spredningen af øjeantallet.
–2
–1
1
2
3
4
5
6
En stokastisk variabel X er beskrevet ved ovenstående søjlediagram. a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem spredningen af X.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 77
77
31/03/2020 09.21
Opgaver – 5. Binomialfordelingen
Opgave 512
Opgave 516
En mønt flippes, og den stokastiske variabel X
10% af verdens befolkning er venstrehåndede. Vi
får værdien 10, hvis det bliver plat, og 1, hvis det
udtager en stikprøve på 1000 personer. X betegner
bliver krone.
antallet af venstrehåndede i stikprøven.
a. Bestem middelværdien.
a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem
b. Bestem spredningen.
antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren.
Opgave 513 En mønt flippes 10 gange. Lad X betegne antal gange, vi får plat. a. Gør rede for, at X er en binomialfordelt stokastisk variabel.
b. Bestem sandsynligheden for, at der er mindst 110 venstrehåndede i stikprøven. c. Bestem sandsynligheden for, at der er højst 70 venstrehåndede i stikprøven. d. Bestem middelværdien af X.
b. Bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p.
Opgave 517
c. Bestem P(X = 5).
Bestem sandsynligheden for at
d. Bestem P(X ≤ 4)
a. få en sekser ved et kast med en terning.
e. Bestem P(X ≥ 7)
b. få plat ved et flip med en mønt.
f. Bestem sandsynligheden for at få plat alle 10
c. få gevinst i et lotteri, hvor du trækker først, og
gange.
der er 5 lodder med gevinst og 1000 lodder i alt. d. du, med bind for øjnene, vælger en rødhåret
Opgave 514
elev i en klasse med 4 rødhårede, 6 lyshårede
En stokastisk variabel X er binomialfordelt med
og 10 mørkhårede.
1 X ∼ b(5, 3 ).
a. Bestem P(X = 2)
Opgave 518
b. Bestem P(X ≤ 3)
Afgør om følgende er binomialeksperimenter
c. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne
a. K ast 4 gange med to terninger; vi registrerer
for udfaldene. d. Bestem middelværdien af X. e. Bestem spredningen af X.
summen af øjnene. b. Flip 5 gange med en mønt; vi registrerer antal Plat. c. Drej 6 gange på et lykkehjul, hvor man enten får
Opgave 515 En firesidet terning kastes 20 gange. Den stokasti-
gevinst eller nitte. d. Kast en 8-sidet terning, og registrer antal 5’ere.
ske variabel X betegner antal ettere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren og sandsynlighedsparame-
Der kastes 3 gange med en skæv mønt, der viser
teren.
plat (P) 40% af gangene og krone (K) 60% af gan-
b. Bestem sandsynligheden for at få præcis 5 ettere. c. Bestem sandsynligheden for at få mindst 15 ettere. d. Bestem E(X).
78
Opgave 519
gene. a. Skriv udfaldsrummet op. b. Brug kombinatorik til at bestemme det samlede antal udfald, og kontroller, at du har alle med i spørgsmål a.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 78
31/03/2020 09.21
c. Bestem sandsynligheden for at få PPP.
Opgave 524
d. Bestem sandsynligheden for at få KKK.
Ved import af en bestemt type eksotisk frugt
e. H vor mange udfald er der i hændelsen
må man påregne et ret stort spild, da mange af
”to P og en K”.
frugterne er blevet stødt, har fået kulde eller er angrebet af skadedyr undervejs. En tommelfingerre-
Opgave 520
gel siger, at 15% af frugterne må sælges på tilbud.
En terning kastes fire gange. Vi vil holde øje med
Ud af et nyt parti med et meget stort antal frugter,
antallet af 2’ere.
flere millioner, udtager importøren en stikprøve på
a. Gør rede for, at det er et binomialeksperiment.
10 frugter.
b. Bestem basissandsynligheden p.
a. Gør rede for, at det er rimeligt at bruge en bino-
c. Bestem P(fire 2’ere). d. Bestem sandsynligheden for ikke at få en 2’er i et kast.
mialmodel for denne stikprøveudtagning. b. Bestem sandsynligheden for, at der er 2 defekte varer i stikprøven.
e. Bestem P(fire ”ikke 2’ere”).
Opgave 525 Opgave 521
44% af danskere har blodtype A, og 10% har blod-
På en restaurant kan man vælge imellem 3 forret-
type B.
ter og 5 hovedretter.
Et eksperiment går ud på at bestemme blodtypen
a. Hvor mange menuer kan man sammensætte, hvis
på 10 mennesker. Vi indfører en stokastisk variabel,
man både skal have en forret og en hovedret.
der tæller antal med blodtype B. a. Bestem sandsynligheden for basishændelsen i
Opgave 522 Bestem, hvor mange forskellige nummerplader man kan lave, hvis nummerpladen skulle bestå af
eksperimentet. b. Bestem sandsynligheden for, at der blandt 10 adspurgte er netop 2 med blodtype B?
2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt). Bestem, hvor mange forskellige nummerplader
Opgave 526
man kan lave, hvis nummerpladen skulle bestå af
Vi betragter et eksperiment, hvor der kastes med
2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt)
to 6-sidede terninger. Vi indfører en stokastisk
og 2 cifre (mellem 0 og 9).
variabel X = summen af antal øjne i et kast med to terninger.
Opgave 523
a. Bestem de værdier, som X kan antage.
Blandt fem personer A, B, C, D og E skal vælges
b. Bestem sandsynligheden P(X = 2).
2 personer.
c. Bestem sandsynligheden P(X = 3).
a. Skriv alle mulighederne op. b. Bestem antal måder ved brug af CAS-kommandoen nCr(n,r).
Opgave 527 En stokastisk variabel X er binomialfordelt med 1
X ∼ b(10, 3 ). Bestem nedenstående sandsynligheder ved hjælp af formlen for binomialsandsynligheder. a. P(X = 1) b. P(X = 3)
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 79
79
31/03/2020 09.21
Træningssider 5
Scan QR-koden for at komme til facitlisten
Regnearternes hierarki Parenteser (a + b) Potenser og rødderanan, n an a
a
Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b
(
)
Eksempel: 2 ⋅ 9 + 3 − 2 = (2 ⋅ 3 + 3) − 2 = (6 + 3) − 2 = 92 − 2 = 81 − 2 = 79 2
2
2
Husk, at rodtegn og brøker også tæller som parenteser. Eksempel:
1. Udregn
2. U dregn
a. 6 + 3 · 9
3. U dregn 2
a. (5 + 3) 2
a.
2
b. (4 + 2) · (3 – 1)
b. (3 – 5) – 10 · 2
c. 11 – 3 · (5 + 2 · 10)
2 c. 2 · 9 – 5 · 4
(
b.
5+3 8 = = 4 og 2 2
)
2 + 7 −1
4. U dregn
2
(
c. 3 4 2 + 32 − 3 ⋅ 5
5. L øs følgende ligninger "i hånden"
6. L øs følgende ligninger "i hånden"
4 ⋅ 20 − 12 2⋅2 4 ⋅ (5 − 4) b. 16 + 2 2 −13 + 7
a.
22 + 12 − 4 + 52
Ligninger
12 − 3 = 9 = 3 .
)
c.
2+2
2
7. Løs følgende andengradslignin-
a. 5x + 12 = 32
a. 2 · (x + 6) = 4
ger med diskriminantmetoden
b. 2x – 25 = 8
b. 25 = 5(x + 7)
2 a. x + 8x + 16 = 0
c. 5x + 8 = 3x – 2
c. 3(x + 4) = –3x – 6
b. 3x2 – 3x – 6 = 0
d. 2x + 4 = –3x + 29
d. 4(x – 4) + x = 9
2 c. x + 6x + 5 = 0 2 d. x + 8x – 20 = 0
Tjek af løsning 3 2 Eksempel: Vi vil undersøge, om x = 2 er løsning til tredjegradsligningen x + 9x + 2x – 48 = 0. 3 2 Det gør vi ved indsættelse: 2 + 9 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 48 = 8 + 9 ⋅ 4 + 4 − 48 = 8 + 36 + 4 − 48 = 0. Vi har vist, at x = 2 er en løsning.
Hvad med x = 1: 13 + 9 ⋅ 12 + 2 ⋅ 1 − 48 = 1 + 9 + 2 − 48 = 36 ≠ 0 Vi har vist, at x = 1 ikke er en løsning.
8. Tjek ved indsættelse, hvilke
9. T jek ved indsættelse, hvilke 10. Løs nedenstående ligninger med
af nedenstående tal der er løsninger til ligningen
af nedenstående tal der er løsninger til ligningen
CAS. Vær sikker på, at du får alle løsninger med.
x3 + 9x2 + 6x – 16 = 0
x4 + 4x3 – 7x2 –10x = 0
a. 2x3 + 8x2 – 14x – 20 = 0
a. x = 0
a. x = 0
b. x4 + 11x3 + 14x2 –80x = 0
b. x = 1
b. x = 1
5 4 3 2 c. x + 24x + 171x + 284x – 480x = 0
c. x = 2
c. x = 2
5 4 3 2 d. x – 5x + 10x – 10x + 15x – 1 = 0
d. x = –2
d. x = –2
Reduktion Husk, at du ikke må sammenblande variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 2 3a – b + 2a kan ikke reduceres.
Parenteser: a(b + c) = ab + ac (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq
80
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 80
31/03/2020 09.21
11. Reducer udtrykket
12. Reducer udtrykket
2
2
13. Reducer udtrykket 2
a. 3ab – 6ab + b
a. 3(3p –q) – p(5 + p) – p
2
2
b. a – 5b + 11a + b
a. (x + 5)(x + 2)
2
2
b. 2p – 3q + 4pq – 2q(p + q)
c. a + 7b + 6a + 4ab
b. (x + y)(x + 3y) – 5xy + 2x 2
c. x + 5xy – (x + 3)(y – x)
c. p(q + 2p) – q(q + 2p)
2
2
2
2
2 2 d. (x + y)(x – y) + 8x + y
d. 2(2 + p ) – 6p + p(3p – 2q)
d. –2 + 3b – a + 8 –2a + 7a
Kvadratsætninger (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 2 2 2 (a – b) = a + b – 2ab 2 2 (a + b)(a – b) = a – b
14. Brug en kvadratsætning 15. Brug en kvadratsætning 16. B rug en kvadratsætning 17. R educer følgende til at fjerne parentesen eller parenteserne.
til at fjerne parentesen, og reducér udtrykket.
2
2
a. (x + 4)
2
2
a. (p + q) b. (p – q)
til at fjerne parentesen, og reducér udtrykket.
2 b. (a + b) – 2ab
2
2 c. (x – 2y) – 2xy
b. (2p – q)
2
2 2 a. (p + q) – q
2
a. (a + 4b)
b. (t – 2)
udtryk mest muligt
2
c. (p + q) · (p – q)
c. (5 – p)
c. (2x – 3y)
d. (p – q) · (p + q)
d. (k – 3) · (k + 3)
d. (2x – p) · (2x + p)
2 2 d. (2p + q) – 2p + pq
Lineære funktioner Funktioner med forskrift af typen f(x) = ax + b kaldes lineære funktioner. Grafen for en lineær funktion er en ret linje med hældningskoefficient a, som skærer y-aksen i punktet (0,b).
18. Angiv hældningskoefficient og koordinaterne til grafens skæringspunkt med y-aksen for følgende lineære funktioner. a. f1(x) = 2x – 3
b. f2(x) = –4x – 1
c. f3(x) = –5x + 11
d. f4(x) = 9 + 3x
19. Beregn hældningskoefficienten for følgende fire forskellige lineære funktioner. Hældningskoefficienten er et heltal eller en brøk. a. Grafen for g1(x) går gennem punkterne (1,5) og (7,11). b. Grafen for g2(x) går gennem punkterne (–3,4) og (15,9). c. Grafen for g3(x) går gennem punkterne (2,–5) og (–3,8). d. Om g4 ved vi, at g4(x) = ax + 4 og at grafen går gennem punktet (5,-1).
20. Tegn i hånden, graferne for følgende fire lineære funktioner a. f1(x) = 2x + 3
b. f2(x) = –x + 10
c. f3(x) = – 1 x + 4 3
d. f4(x) = 9 – 3x
21. Graferne for 3 forskellige lineære funktioner går gennem punkterne som angivet nedenfor. Bestem en regneforskrift for hver af funktionerne. Koefficienterne a og b er heltal. a. Grafen for h1(x) går gennem punkterne (1,–1) og (5,7). b. Grafen for h2(x) går gennem punkterne (3,7) og (5,11). c. Grafen for h3(x) går gennem punkterne (–4,–8) og (0,–4).
22. Indfør passende variable og opstil en model der beskriver situationen. a. En tur med cykeltaxa koster 25 kroner i startgebyr og derefter 60 kroner pr 10 minutter. b. En sportsklub har 1000 medlemmer i år 1990. Årene efter voksede antallet af medlemmer med 35 om året. c. I et land koster strømmen 2 kr. pr. kWh, og 1000 kr. i fast årlig afgift.
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 81
81
31/03/2020 09.21
7. Differentialregning 7.1 Tangenter og væksthastighed 1 Introduktion Vi skal nu starte på emnet differentialregning. Meget forenklet handler differentialregning om at bestemme tangenters hældning, så vi starter med en repetition af begreberne tangent og tangenthældning. Den moderne differentialregning blev grundlagt for mere end 300 år siden af blandt andet Isaac Newton og Gottfried Leibniz.
2 Definition En tangent er en ret linje, som rører grafen i et punkt, og som approksimerer grafen i nærheden af dette punkt. At tangenten approksimerer grafen i nærheden af punktet betyder, at man ikke kan se forskel på grafen og tangenten, hvis man zoomer tæt nok ind på grafen.
3 Eksempel De tre figurer nedenfor viser grafen for f(x) = 0,5x2 samt tangenten til grafen i punktet (1 ; 0,5). Ad to omgange har vi zoomet ind på tangentens røringspunkt. I figuren længst til højre er der zoomet så langt ind, at man ikke kan se forskel på tangenten og grafen for f. y 2
1
0,6
0,51
0,5
0,5 0,49
0,4 1
2
3
x
0,9
1
0,99
1,1
1
y
1,01
f
4 Notation
f ′(x0)
Betragt funktionen f. Tangentens hældning i punktet ( x0 , f(x0)) kaldes differentialkvotienten og skrives ofte f ′(x0). f ′ læses som ”f-mærke”.
Hældningen af en ret linje
Nogle gange kan tangentens hældning aflæses manuelt.
gennem punkterne (x1 ,y1)
I margenen ses grafen for f(x) = x og tangenten i punktet
og (x2 ,y2) kan beregnes
(1,1). Vi kan aflæse, at punktet (4,7) ligger på tangenten. 7 −1 6 = = 2. Hældningen af tangenten er: a =
y −y
1 x0
2
4 −1
3
Når x = 1, er differentialkvotienten f ′(1) = 2.
7 6 5 4 3 2 1
x
(4,7)
(1,1) 1
92
x0+1
y
5 Eksempel
som a = x 2 − x1 . 2 1
f(x0)
2
3
4
5
x
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 92
31/03/2020 09.21
I matematiske modeller angiver tangentens hældning væksthastigheden. enhed på y -aksen
Enheden for væksthastigheden er enhed på x -aksen .
6 Eksempel
y
I et eksperiment kan antallet af bakterier i en petriskål beskrives med
1200
x
modellen f(x) = 320 · 1,073 , hvor x er antal minutter efter start, og f(x)
1000 800
er antal bakterier i skålen. Væksthastigheden efter 10 minutter kan findes som hældningen af tangenten til grafen for f i punktet ( 10, f(10)) . Denne hældning er 46. Enheden på x-aksen er minutter, og enheden
600
f
400 200
på y-aksen er antal bakterier. Væksthastigheden efter 10 minutter er
2
. dermed 46 bakterier minut
7 Eksempel
y
Ikke alle grafer har tangenter i alle punkter. Grafen for f ( x ) =
3
( x − 2)
2
+1
har ingen tangent i punktet (2,1). Uanset hvor meget man zoomer ind på grafen omkring dette punkt, kom-
4
6
x
8 10 12 14 16
y
3
3 f
2
f
2
1
1
mer den aldrig til at ligne en ret linje, så man kan ikke indlægge en enty-
1
2
3
4
x
1
2
3
x
4
dig tangent. Se graferne.
8 Øvelse Funktionen med forskriften g(x) = –x3 + 5x har en tangent i punktet (1,4). Denne tangent har ligningen y = 2x + 2. a. Bestem tangentens hældning, når x = 1. b. Bestem g ′(1). c. Tegn i samme koordinatsystem grafen for g samt tangenten. Zoom ind på punktet (1, 4), og undersøg, om det er rigtigt, at tangenten approk-
y
simerer grafen for g i punktet.
5 4
9 Øvelse Grafen for funktionen f er vist i margenen. Tangenten i punktet (2,3) er også indtegnet. a. Angiv tangentens hældning. Angiv facit som en brøk.
f
2 1 1
10 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen med forskriften f ( x ) =
(2,3)
3
3
2
3
4
5
x
( x − 2)2 + 1 .
b. Zoom ind på punktet (2 ,1), og undersøg, om det virkelig kan passe, at grafen aldrig kommer til at ligne en ret linje, uanset hvor meget man zoomer ind.
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 93
93
31/03/2020 09.21
7.2 Beregning af tangenthældninger (og væksthastigheder) 11 Introduktion En bjergklatrer taber sine nøgler fra et meget højt udhæng. Nøglernes fald kan med 2 god tilnærmelse beskrives med modellen g(x) = 5x , hvor x er tiden målt i sekunder,
og g(x) er afstanden, som nøglerne er faldet, målt i meter. Kan vi mon beregne, hvor hurtigt nøglerne falder? Det svarer til at spørge: Kan vi beregne tangentens hældning for en bestemt værdi af x?
12* Sætning Tangenthældningen for funktioner af typen f(x) = ax2 i punktet ( x0 ,f(x0)) kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2ax0. Vi vil bevise sætningen i et senere afsnit. Først vil vi bruge den på nogle konkrete tilfælde.
13 Eksempel
y 4
Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = 3x2. Vi vil beregne hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = –1. Dvs. tangenten i punktet ( –1, f(–1)) = (–1, 3).
f
2 Funktionen er af typen ax , hvor a = 3. Dvs. at tangenthældningen kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2 · 3x0 = 6x0. Med x0 = –1 indsat bliver det til f ′(–1) = 6 · (–1) = –6.
2
–1
1
x
Se grafen og tangenten i margenen.
14 Eksempel Funktionen g(x) = 5x2 fra introduktionen er også en funktion af typen ax2. Hvis vi benytter sætningen, kan vi se, at tangenthældningerne kan beregnes med formlen g ′(x0) = 2 · 5x0 = 10x0. Vi vil beregne nøglernes hastighed efter 2 sekunder. Det svarer til, at x0 = 2. Tangentens hældning er g ′(2) = 10 · 2 = 20. Enheden for hældningen (dvs. væksthastigheden) er som bekendt
enhed på y -aksen enhed på x -aksen .
meter . Nøglernes hastighed efter 2 sekunder er 20 sekund
15 Eksempel Betragt funktionen givet ved forskriften h(x) = 0,1x2. Hvad skal x være for at tangenthældningen er 10? 2 h er en funktion af typen ax , hvor a = 0,1, og derved kan tangenthældningen
beregnes med formlen 2 · 0,1x0. Det giver os ligningen 2 · 0,1x0 = 10.
94
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 94
31/03/2020 09.21
Den kan løses med omskrivningerne: 0,2x0 = 10
Mellemregningen 2 · 0,1 = 0,2
2x0 = 100
Der er ganget med 10 på begge sider
x0 = 50
Begge sider er divideret med 2.
Tangenthældningen er 10, når x er 50. Eller skrevet kort: h ′(50) = 10.
16 Eksempel Betragt igen de faldende nøgler fra introduktionen. Hvornår falder de med hastigmeter ? heden 30 sekund
Vi fandt tidligere ud af, at hastigheden (tangenthældningen) kunne beregnes som g ′(x0) = 10x0. Vi får altså ligningen 10x0 = 30, som har løsningen x0 = 3. Altså er g ′(3) = 30, og vi kan konkludere, at nøglerne falder med en hastighed på meter efter 3 sekunder. 30 sekund
I de 3 øvelser herunder skal du bruge sætning 12 til at beregne tangenthældninger (differentialkvotienter).
17 Øvelse En funktion f er givet ved forskriften f(x) = 3x2. a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2, og når x0 = –2. b. Beregn følgende differentialkvotienter: f ′(1), f ′(15) og f ′(–2). c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 36?
18 Øvelse En funktion h er givet ved forskriften h(x) = –2x2. a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for h, når x0 = 2, og når x0 = –2. b. Beregn følgende differentialkvotienter: h ′(1), h ′(15) og h ′(–2). c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 20?
19 Øvelse En funktion g er givet ved forskriften g(x) = 2x2.
x0
a. Udfyld tabellen.
g ′(x0)
b. Lav med et værktøjsprogram et punktplot over punk-
–3 –2 –1 0
1
2
3
–12
terne fra tabellen. Plot værdierne for x0 på den vandrette akse, og værdierne for g ′(x0) på den lodrette akse. Det første punkt skal altså være (–3 , –12). c. Udfør en lineær regression på punkterne. d. Sammenlign forskriften fra den lineære regression med formlen fra sætning 12. Hvad er sammenhængen?
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 95
95
31/03/2020 09.21
7.3 Afledet funktion 20 Introduktion Vi betragter igen eksperimentet med bakterievækst i en petriskål. Tabellen angiver væksthastigheden af bakterier i petriskålen.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f ′(x0)
23
24
26
28
30
32
34
37
40
43 46
10
x er antal minutter efter start, og f ′(x) er væksthastigheden angivet i bakterier pr. minut.
Væksthastigheden kan opfattes som en funktion!
21 Eksempel I sidste afsnit brugte vi, at hvis en funktion er af typen f(x) = ax2, så kan tangenthældningen f ′(x0) i punktet ( x0 , f(x0)) beregnes som f ′(x0) = 2ax0. Det gælder for alle værdier af x0 , så vi kan opfatte reglen som en funktion, hvor funktionsværdierne netop er tangenthældningerne. Funktionen har så forskriften f ′(x) = 2ax. En sådan funktion kaldes en afledet funktion.
22 Sætning Den afledede funktion f ′af funktioner af typen f(x) = ax2 har forskriften f ′(x) = 2ax. y f
4
23 Eksempel Funktionen med forskriften f(x) = 0,5x2 har den afledede funktion f′ f ′(x) = 2 · 0,5x = x . Graferne for begge funktioner er her tegnet i samme
3 2
koordinatsystem. Grafen for f er grøn, og grafen for f ′er rød. Vi kan se, at det passer med, at f ′er negativ, når f er aftagende, og at f ′er positiv, når
1 –3
–2
–1
1
2
3
x
f er voksende.
–1 –2
I formelsamlingen er en tabel over funktioner og deres tilhørende afledede funktioner. Her er en lignende tabel.
96
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Funktion
f(x)
k
ax + b
ax 2
ex
ax
xa
1 = x −1 x
Afledet funktion
f ′(x)
0
a
2ax
ex
ax · ln(a)
ax a –1
− 12 = − x −2 x
9. 1
x = x2 1 = 1 x − 12 2⋅ x 2
ln(x) 1 = x −1 x
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 96
31/03/2020 09.21
24 Eksempel Den afledede funktion til g(x) = x4 er g ′(x) = 4x4–1 = 4x3. Vi har brugt regel nr. 6, hvor eksponenten er a = 4. y
25 Eksempel
5
Den afledede funktion til h(x) = 3x – 4 er den konstante funktion h ′(x) = 3
4 3
ifølge regel 2.
h
2
Det er ikke overraskende, for h er jo en lineær funktion, så tangenten må
1
have samme hældning overalt, nemlig 3. –3
For lineære funktioner er tangenten sammenfaldende med grafen for
–2 –1 –1
funktionen (De ligger ”oven i hinanden”). Se margenen.
1
2
3
4
5
x
–2 –3 –4 –5
26 Eksempel Betragt funktionen g(x) =
x . Vi vil gerne beregne hældningen af
tangenten, når x = 2.
3
Regel 8 fortæller os, at den afledede funktion har forskriften 1
g ′(x) =
2⋅ x
y
= 21 x −2
2) = Når x = 2, giver det gg′((2)
1 ≈ 0, 354 ≈ 0,354 . Med andre ord: Tangentens 2⋅ 2
2
g
1
hældning, når x = 2, er 0,354. I margenen ses grafen for g samt tangenten. 1
2
3
4
5
x
27 Øvelse Angiv forskriften for den afledede funktion til følgende funktioner a. f1(x) = –8x + 12 b. f2(x) = x c. f3(x) = x
7
100
d. f4(x) = x
–3
e. f5(x) = 1,5
x
28 Øvelse
1 x
Betragt funktionen f ( x ) = . a. Beregn tangenthældningen, når x = 2, og når x = 10.
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 97
97
31/03/2020 09.21
7.4 Sekanthældninger
29 Introduktion Da differentialregningen blev udviklet, fortolkede man tangenter på forskellige måder. Gottfried Leibniz opfattede tangenten som en ret linje, der gik gennem to punkter, der lå uendelig tæt på hinanden på grafen. y Tangent
30 Definition
f Sekant
En sekant er en ret linje, som skærer grafen for en funktion to steder. På figuren er grafen for funktionen grøn, og en sekant er indtegnet med blå. En tangent er indtegnet med rød. x
Hældningen af en ret linje
31 Eksempel
y
Lad f(x) = 0,2x .
gennem punkterne (x1, y1)
Vi tegner en sekant gennem punkterne ( 2, f(2))
og (x2, y2) kan beregnes
2
4 f(4) 3
og ( 4 ,f(4 )) . Se figuren. Vi kan beregne sekantens hældning a med
2
formlen for hældningen af en ret linje gennem
f f(2)
y −y
som a = x 2 − x1 . 2 1
to punkter:
1
1
2
3
4
2 2 a = f (4) − f (2) = 0, 2 ⋅ 4 − 0, 2 ⋅ 2 = 1,2 s
4 −2
x
5
2
y
32 Sætning
f(x0+h)
Hældningen as af sekanten gennem punkterne ( x0 , f(x0)) og ( x0 + h, f(x0+h)) kan beregnes som
f(x0)
as = f x0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
.
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) kaldes differenskvotienten. Brøken as =
x0+h
h
x
33 Bevis Sekanten går gennem punkterne( x0 ,f(x0)) og ( x0 + h ,f(x0+h)) . Ved indsættelse i formlen for hældningen af en ret linje gennem to punkter fås as =
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ( x 0 + h) − x 0
=
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
.
34 Sekant og tangent Vi betragter igen funktionen f(x) = 0,2x2. Vi er interesserede i hældningen af tangenten i punktet ( 2,f(2)) . Vi kan ikke beregne den direkte, da vi kun kender ét punkt på tangenten. Men vi kan beregne hældningen af en sekant, som ligger ”tæt på”.
98
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 98
31/03/2020 09.21
y f
4
I figuren er tangenten indtegnet samt en sekant gennem
(2,f(2)) og (4 , f(4 )) svarende til h = 2. Man kan få en bedre
f(2+2)
og bedre tilnærmelse til tangentens hældning ved at lade
2
h blive mindre og mindre. I tabellen nedenfor er hældningen af 6 sekanter beregnet.
3
f(2)
1 h=2
–1
Sekantens hældning
1
as =
f (2 + h) − f (2) h
4
2
as =
f (2 + 2) − f (2) = 1,2 2
3
1
as =
f (2 + 1) − f (2) =1 1
0,5
as =
f (2 + 0, 5) − f (2) = 0,9 0, 5
0,1
as =
f (2 + 0,1) − f (2) = 0,82 0,1
0,01
as =
f (2 + 0, 01) − f (2) = 0,802 0, 01
as =
3
4
5
x
y
h
0,00001
2 x0 = 2
f
f(2+1) 2 f(2)
1
–1
h =1 1
2 x0 = 2
3
4
5
x
y f
4
f (2 + 0, 00001) − f (2) = 0,800002 0, 00001
3 2
Det ser altså ud til, at sekanthældningerne nærmer sig 0,8, efterhånden som h nærmer sig 0. Vi siger, at sekanthældningen f (2 + h) − f (2) as = har grænseværdien 0,8, når h går mod 0. h
35 Grænseværdien skrives som
f(2+0,5) 1 f(2) –1
h =0,5 1
2 x0 = 2
3
4
5
x
Kort fortalt er en grænseværdi et tal,
f (2 + h) − f (2) lim = 0,8 h h→0
vi kan komme lige så tæt på, som vi
At tangentens hældning kan beregnes som en grænseværdi af sekanthældninger, er grundideen i beviserne i
vil. Ved at vælge h mindre og mindre kan vi få sekanthældningen så tæt på 0,8, som vi ønsker.
de næste par afsnit.
36 Øvelse Lad f(x) = 0,2x2. Vi ønsker at tilnærme hældningen af tangenten i punktet ( 3, f(3)) . Dvs. x0 = 3. a. Beregn følgende sekanthældninger. h
1
0,5
0,1
0,01
0,00001
Sekanthældningen as
b. Kom med et bud på tangentens hældning i ( 3,f(3)) . Tjek efter med CAS.
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 99
99
31/03/2020 09.21
7.5 Beviser 1 37 Introduktion I dette og det følgende afsnit vil vi udlede differentialkvotienter for nogle udvalgte funktioner. Vi vil udnytte de ideer, vi undersøgte i forrige afsnit.
38 Definition En funktion f er differentiabel i x0, hvis grænseværdien
lim h→0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
eksisterer. Hvis grænseværdien eksisterer, er den lig med differentialkvotienten i x0: lim h→0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = f ′(x0) h
Hvis en funktion er differentiabel for alle x0 i dens definitionsmængde, siger vi kort, at funktionen er differentiabel, med den afledede funktion f ′(x).
39 Bemærkning Hvis vi kalder sekanthældningen as og tangenthældningen at , er lim h→0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = f ′(x0) h
det samme som lim a = a ( s) t h→0
I sidste afsnit så vi en metode til at beregne bedre og bedre tilnærmelser til en tangents hældning. Denne metode kaldes ofte for tretrinsreglen og kan kort beskrives som: y
40 Tretrinsreglen
f(x0+h)
Trin 1: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) . Opskriv differenskvotienten (sekantens hældning) as = h
Trin 2:
f(x0)
h→0
f
Omskriv differenskvotienten til noget, der kan arbejdes videre med.
Trin 3: x x0+h Lad
x0
h gå mod nul, så sekanthældningen går mod tangenthældningen.
[12 Sætning] Tangenthældningen for funktioner af typen f(x) = ax2 i punktet ( x0 ,f(x0)) kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2ax0
100
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 100
31/03/2020 09.21
41 Bevis for sætning 12 Beviset følger tretrinsreglen. Trin 1: Differenskvotienten opskrives as =
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
=
a ⋅ ( x 0 + h) − a ⋅ x 0 h 2
2
Trin 2: Differenskvotienten omskrives as =
a ⋅ ( x 0 + h) − a ⋅ x 0 h 2
2
a ⋅ ( x 0 + h + 2 ⋅ x 0 ⋅ h) − a ⋅ x 0 = h 2
2
Husk kvadratsætningen ( p + q )2 = p 2 + q 2 + 2 pq 2
Sætte uden for en parentes a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c )
=
a ⋅ x0 + a ⋅ h + a ⋅ 2 ⋅ x0 ⋅ h − a ⋅ x0 h
=
a ⋅ h + a ⋅ 2 ⋅ x0 ⋅ h h
Brøkregneregel
h
a⋅b a ⋅b = =b a a
=
2
2
2
2
h ⋅ (a ⋅ h + a ⋅ 2 ⋅ x 0 )
= a ⋅ h + 2 ⋅ a ⋅ x0 . Trin 3: Vi kan nu lade h gå mod nul. Første led ah går mod 0, (vi kan komme lige så tæt på 0, som vi vil, ved at lade h blive mindre og mindre), og andet led bliver slet ikke påvirket af h. lim (=a ⋅(ah h + 2+⋅ 2ax a ⋅ x00)) == 00 + 22ax ⋅ a ⋅0 x=0 2ax = 2 ⋅0a ⋅ x 0 h→0
Vi har altså bevist, at differentialkvotienten (tangenthældningen) kan beregnes som f ′(x0) = 2ax0.
42 Bemærkninger
• H vordan kan vi være sikre på, at grænseværdien lim ((ah a ⋅ h++ 2ax 2 ⋅ a0⋅)xeksisterer? 0) Det korte svar er: Fordi vi kan regne den ud!
h→0
• I beviset er der ikke nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, så vi har faktisk 2 også bevist, at funktioner af typen f(x) = ax er differentiable og har den afledede funktion f ′(x) = 2ax.
43 Øvelse a. Skriv hele bevis 41 ned, og indsæt personlige kommentarer rundt omkring.
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 101
101
31/03/2020 09.21
7.6 Beviser 2 44 Introduktion Vi fortsætter med beviserne. Bemærk, hvordan de alle følger fremgangsmåden beskrevet i tretrinsreglen.
45 Sætning Den konstante funktion f(x) = k, hvor k er et reelt tal, er differentiabel, med den afledede funktion f ′(x) = 0.
46 Bevis Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten i x0: Trin 1 og 2: Opskriv differenskvotienten, og omskriv den, så den er til at arbejde videre med:
as =
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) k − k 0 = = =0 h h h
Trin 3: Lad h gå mod 0: f ′(′(x 00) = lim( 0 ) = 0 f h→0
Da vi ikke har nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, har vi vist, at den afledede funktion er f ′(x) = 0.
47 Sætning Den lineære funktion f(x0) = ax + b er differentiabel, med den afledede funktion f ′(x) = a.
48 Bevis Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten i x0: Trin 1 og 2: Opskriv differenskvotienten, og omskriv den, så den er til at arbejde videre med: as =
=
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h a( x 0 + h) + b − ( ax 0 + b ) h
ax 0 + ah + b − ax 0 − b h ah = h
=
=a Trin 3: Lad h gå mod 0: ff ′(′ x0)) = lim(a) (a) = a h→0
102
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 102
31/03/2020 09.21
Da vi ikke har nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, har vi vist, at den afledede funktion er f ′(x) = a.
49 Sætning
1 x
Funktionen f ( x ) = , x ≠ 0 er differentiabel, med den afledede funktion f ′′((x) x )==
−1 , x ≠ 0. x2
50 Bevis Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten i x0: Trin 1: Opskriv differenskvotienten as =
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = h
1 x0 +h
−
1 x0
h
.
Trin 2: For at få omskrevet differenskvotienten til noget, vi kan arbejde videre med, er vi nødt til at lægge de to brøker sammen, så vi starter med at skaffe os en fællesnævner. as = = = = = = =
1 x0 +h
− x10
h x0 x 0 ⋅( x 0 + h)
( x +h )
− x0 ⋅(0x0 +h) h
x 0 −( x 0 + h ) x 0 ⋅( x 0 + h)
h
Brøkregneregler
x 0 − x 0 −h x 0 ⋅ x 0 + x 0 ⋅h
Fællesnævner:
h
a c a⋅d − b⋅c − = b d b⋅d
−h x 0 + x 0 ⋅h 2
h
(
Brøk delt med et tal:
−h 2 x0 + x0 ⋅ h ⋅ h
a b
)
c
−1 2 x0 + x0 ⋅ h
=
a b⋅c
Trin 3: Lad h gå mod 0: −1 = −1 = −1 . f '(′(xx00))== lim 2 2 2 h→0 x + x ⋅ h x0 + 0 x0 0 0
Vi har begrænsningen x ≠ 0, men beviset har ikke tilført nye begrænsninger. Beviset 1
virker altså for alle x0 i definitionsmængden, så vi har vist, at f ( x ) = er differentiabel, x −1 med afledet funktion f ′′((x) x )== 2 . x
51 Øvelse a. Tag et blankt stykke papir, og træn beviserne ved at skrive alle beregningerne ned. Sørg for, at du forstår alle mellemregningerne.
7. Differentialregning
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 103
103
31/03/2020 09.21
Det bestemte integral af f(x) i intervallet [a ;b] er tallet F(b) – F(a), hvor F(x) er en stamfunktion til f(x)
∫
b
a
f ( x )dx =
[F ( x )]ba
= F (b ) − F ( a )
Indskudssætningen Hvis tallet c ligger mellem a og b (a ≤ c ≤ b), så kan
∫
b
a
a
f ( x )dx opdeles = [ F ( x )]i asummen = F (b ) −afF (to a) integraler b
f ( x )dx =
∫
c
a
f ( x )dx +
∫
b
c
f ( x )dx
KERNESTOF MAT B
Areal a. Arealet af den punktmængde, der i intervallet [a; b] er begrænset af på den ene side grafen for f(x) og på den anden side x–aksen, er bestemt ved A =
Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard
∫
b
∫
b
a
f ( x )dx =
[F ( x )]ba
Indhold i opslag Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler og øvelser.
= F (b ) − F ( a )
b. Arealet mellem graferne for f(x) og g(x) i intervallet [a ;b] er bestemt ved
Hvert kapitel indeholder mellem tre og seks opslag.
b
A A== ∫ (f ( x ) − g( x )) dx
Der er opgaver bagerst i hvert kapitel, og formelsamling på coverets flapper.
a
Funktionsforskrift f(x)
Stamfunktion F(x)
0
c
a
ax + c
ax + b
a 2 ⋅ x + bx + c 2
xa
1 ⋅ x a+1 + c , a ≠ −1 a +1
ax
1 ⋅ ax + c ln ( a )
e
Kernestof Mat 2 stx
Stamfunktioner og regneregler for ubestemte integraler
QR-koder linker til små film med uddybninger og eksempler. Facitliste bag i bogen.
www.lru.dk/kernestof
e +c
x
x
ek · x
1 k⋅ x ⋅e + c , k ≠ 0 k
1 x
ln|x| + c
= x −1 x=x
1 2
Kernestof Mat 2 stx Lindhardt og Ringhof
2 2 ⋅x⋅ x +c = x +c 3 3
∫h(x)dx = k · ∫f(x)dx
h(x) = f(x) ± g(x)
∫h(x)dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard ISBN 978-87-7066-866-8
www.lru.dk
9 788770 668668
Regneregler for differentialkvotienter Funktions forskrift f(x)
Tangenthældning f ′(x0)
k (konstant)
0
a·x+b
a
xa
a · x 0a – 1
ax
ln(a) · ax0
ex
e x0
ek · x
k · e k · x0
ln(x)
1 x0
1 x
−
= x −1
1 x02
= −1⋅ x0−2
1
x
2⋅
x0
h(x) = k · f(x)
h ′(x0) = k · f ′(x0)
h(x) = f(x) ± g(x)
h ′(x0) = f ′(x0) ± g ′(x0)
Tangentligning Ligningen for tangenten til grafen for f med røringspunkt i ( x0 ,f(x0)) er: y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0)
Frihedsgrader
3 2
h(x) = k · f(x)
Formelsamling
Det bestemte integral
10%
5%
1%
1
2,71
3,84
6,63
2
4,61
5,99
9,21
3
6,25
7,81
11,34
4
7,78
9,49
13,28
5
9,24
11,07
15,09
6
10,64
12,59
16,81
7
12,02
14,07
18,48
8
13,36
15,51
20,09
9
14,68
16,92
21,67
10
15,99
18,31
23,21
