binomialfordelingen

5.4 Middelværdi og spredning i binomialfordelingen

31 Introduktion

I roulette er der 37 felter, som kuglen kan lande på. Heraf er 18 røde, 18 sorte og 1 er grøn. Sandsynligheden for at lande på et rødt felt er dermed p = 1 3 8 7 ≈ 0,4865 = 48,65 % Kuglen vil altså forventeligt lande på et rødt felt knap halvdelen af gangene.

Vi skal i dette afsnit behandle, hvordan man i binomialfordelingen kan beregne de tidligere indførte størrelser middelværdi/forventet værdi og spredning.

32 Sætning

Den forventede værdi eller middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel er bestemt ved: µ = E(X ) = n ⋅ p

Middelværdien er en matematisk abstraktion. Derfor kan middelværdien godt være 48,65, selvom kuglen naturligvis lander et helt antal gange på rødt.

33 Eksempel

Vi forestiller os, at en kugle kastes i rouletten 100 gange. Vi beregner middelværdien med formlen: µ = E(X ) = n ⋅ p og får: µ = E(X ) = 100 ⋅ 1 3 8 7 ≈ 48,65. Middelværdien af X  b 100  , 18 37   er altså lig med 48,65. Af 100 spil vil kuglen altså forventeligt lande ca. 49 gange på rødt. Vi har at gøre med tilfældigheder, så vi kan ikke regne med at få 49 røde på 100 spil. Måske lander kuglen kun 34 gange på rødt ud af de 100 kast. Det kan vi ikke vide på forhånd. Men ved hjælp af spredningen for X kan vi vurdere, hvor ofte vi vil få et tal i nærheden af 48,65.

34 Sætning

For en binomialfordelt stokastisk variabel X er spredningen σ bestemt ved:

σ = n⋅ p⋅(1− p) Der gælder med tilnærmelse, at 68% af udfaldene af X vil ligge i området µ ± σ, og at 95% af udfaldene vil ligge i µ ± 2σ. Tilnærmelsen er god, når np og n(1-p) er større end 5.

35 Eksempel

I roulettespillet, hvor X  b 100  , 18 37   , er spredningen

σ = 100 ⋅ 18 37 ⋅  1− 18 37   = 4,9981 ≈ 5,00 Det kan vi i forhold til roulettespillet tolke på følgende måde: Der er omkring 68% chance for, at antallet af gange, vi lander på rødt, ligger i intervallet 48,65 ± 5,00. Dvs. mellem 43,65 og 53,65 gange. Der er omkring 95% chance for, at antallet af gange, vi lander på rødt, ligger i intervallet 48,65 ± 2 · 5,00. Dvs. mellem 38,65 og 58,65 gange. Vi kan deraf se, at det vil være utroligt sjældent at få et resultat som de førnævnte 34.

36 Eksempel

8% af alle mænd er farveblinde. På et gymnasium undersøges 75 mænd. Den stokastiske variabel X betegner antal farveblinde, og "succes" er farveblindhed. X er binomialfordelt, fordi der er: • 75 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”undersøg en mand for farveblindhed”, hvor der er • to udfald, og der er • samme sandsynlighed for succes hver gang.

Vi vil forvente at finde µ = E(X ) = 75 ⋅ 0,08 = 6 farveblinde blandt de 75, men også at der vil være en spredning på σ = 75 ⋅ 0,08 ⋅ (1 − 0,08) = 2,34947. Dermed vil vi med 95% sandsynlighed finde mellem 1,3 og 10,7 farveblinde mænd i stikprøven. µ − 2σ = 6 − 2 ⋅ 2,34947 ≈ 1,3 µ + 2σ = 6 + 2 ⋅ 2,34947 ≈ 10,7

37 Øvelse

Fra et spil kort uden jokere trækkes et kort, og det noteres, om det er en ruder eller ej. Kortet lægges tilbage, og bunken blandes. Eksperimentet gentages 40 gange. Den stokastiske variabel X betegner antal ruder. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameter og sandsynlighedsparameter. b. Bestem middelværdien, og fortolk tallet i forhold til situationen. c. Bestem spredningen. d. Bestem det interval, som antal rudere med 95% sikkerhed vil ligge i.

38 Øvelse

En terning kastes 1000 gange. X betegner antal 6’ere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt b(n,p), og bestem n og p. b. Bestem middelværdi og spredning, og fortolk tallene.