5.4 Middelværdi og spredning i binomialfordelingen 31 Introduktion I roulette er der 37 felter, som kuglen kan lande på. Heraf er 18 røde, 18 sorte og 1 er grøn. Sandsynligheden for at lande på et rødt felt er dermed p = 18 ≈ 0, 4865 = 48,65 % 37
Kuglen vil altså forventeligt lande på et rødt felt knap halvdelen af gangene. Vi skal i dette afsnit behandle, hvordan man i binomialfordelingen kan beregne de tidligere indførte størrelser middelværdi/forventet værdi og spredning.
32 Sætning Den forventede værdi eller middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel er bestemt ved: µ = E ( X ) = n ⋅ p
33 Eksempel Vi forestiller os, at en kugle kastes i rouletten 100 gange. Vi beregner Middelværdien er en matematisk middelværdien med formlen: µ = E ( X ) = n ⋅ p og får: abstraktion. Derfor kan middelværdien
µ = E ( X ) = 100 ⋅ 18 ≈ 48 , 65 . godt være 48,65, selvom kuglen naturlig37 18 vis lander et helt antal gange på rødt. Middelværdien af X b 100 , er altså lig med 48,65. 37 Af 100 spil vil kuglen altså forventeligt lande ca. 49 gange på rødt.
Vi har at gøre med tilfældigheder, så vi kan ikke regne med at få 49 røde på 100 spil. Måske lander kuglen kun 34 gange på rødt ud af de 100 kast. Det kan vi ikke vide på forhånd. Men ved hjælp af spredningen for X kan vi vurdere, hvor ofte vi vil få et tal i nærheden af 48,65.
34 Sætning For en binomialfordelt stokastisk variabel X er spredningen σ bestemt ved: σ = n ⋅ p ⋅ (1− p ) Der gælder med tilnærmelse, at 68% af udfaldene af X vil ligge i området
µ ± σ , og at 95 % af udfaldene vil ligge i µ ± 2σ . Tilnærmelsen er god, når np og n(1-p) er større end 5.
72
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 72
31/03/2020 09.21
