Opgaver til kapitel 5

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 501

En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen

xi

1 2 3 4

P(X = xi) 0,1 0,3 0,2 0,4

a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne. Bestem nedenstående sandsynligheder b. P(X = 1) c. P(X ≤ 2) d. Sandsynligheden for at få enten 2 eller 3. e. P(X ≥ 2) f. Sandsynligheden for ikke at få 4.

Opgave 502

En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen

xi

–10 –5 0 5 10 15

P(X = xi) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,5

a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne. Bestem nedenstående sandsynligheder b. P(X = –5) c. P(X ≥ 0) d. P(X > 0) e. P(X ≤ 7) f. P(X ≠10)

Opgave 503

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0 1 2 3 4

En stokastisk variabel er beskrevet ved ovenstående søjlediagram. a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Bestem P(X ≥ 2).

Opgave 504

0,3 0,2 0,1

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

En stokastisk variabel X er beskrevet ved ovenstående søjlediagram. a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Bestem P(X ≤ 3)

Opgave 505

En 12-sidet terning kastes, og X betegner øjeantallet. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Bestem P(X = 2). c. Bestem P(X = 10) + P(X = 11). d. Bestem P(X ≥ 8). e. Hvad er sandsynligheden for, at øjeantallet er et tal i 3-tabellen? f. Bestem sandsynligheden for ikke at få 12 øjne?

Opgave 506

En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen

xi

5 7 10

P(X = xi) 0,1 0,4 0,5

a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem variansen af X. c. Bestem spredningen af X.

Opgave 507

En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen

xi

100 200 300 400

P(X = xi) 0,5 0,4 0,05 0,05

a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem variansen af X. c. Bestem spredningen af X.

Opgave 508

I et bestemt spil kastes en 6-sidet terning. Hvis terningen lander på en 1’er, 2’er eller 3’er, skal man betale 50 kroner. Hvis terningen lander på 4, får man 10 kroner, lander den på 5, får man 50 kroner, og lander den på 6, får man 100 kroner. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Bestem den gennemsnitlige gevinst, man kan forvente at få i dette spil. c. Bestem varians og spredning for spillet.

Opgave 509

Du kaster med en almindelig 6-sidet terning. a. Bestem middelværdien af øjeantallet. b. Bestem spredningen af øjeantallet.

Opgave 510

En idrætsforening vil udstede lodsedler for at tjene penge til en lejrtur. 2% af lodderne giver en gevinst på 100 kroner. 10% giver en gevinst på 10 kroner. Resten af lodderne giver ingen gevinst. Gevinsten ved et lod kan betragtes som en stokastisk variabel X. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Beregn middelværdien af X, og giv en fortolkning af tallet. De sælger lodderne for 20 kroner stykket. c. Bestem hvor mange lodder, de skal sælge for at tjene 10000 kroner?

Opgave 511

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

–2 –1 1 2 3 4 5 6

En stokastisk variabel X er beskrevet ved ovenstående søjlediagram. a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem spredningen af X.

Opgave 512

En mønt flippes, og den stokastiske variabel X får værdien 10, hvis det bliver plat, og 1, hvis det bliver krone. a. Bestem middelværdien. b. Bestem spredningen.

Opgave 513

En mønt flippes 10 gange. Lad X betegne antal gange, vi får plat. a. Gør rede for, at X er en binomialfordelt stokastisk variabel. b. Bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. c. Bestem P(X = 5). d. Bestem P(X ≤ 4) e. Bestem P(X ≥ 7) f. Bestem sandsynligheden for at få plat alle 10 gange.

Opgave 514

En stokastisk variabel X er binomialfordelt med X ∼ b(5, 1 3 ). a. Bestem P(X = 2) b. Bestem P(X ≤ 3) c. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne for udfaldene. d. Bestem middelværdien af X. e. Bestem spredningen af X.

Opgave 515

En firesidet terning kastes 20 gange. Den stokastiske variabel X betegner antal ettere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren. b. Bestem sandsynligheden for at få præcis 5 ettere. c. Bestem sandsynligheden for at få mindst 15 ettere. d. Bestem E(X).

Opgave 516

10% af verdens befolkning er venstrehåndede. Vi udtager en stikprøve på 1000 personer. X betegner antallet af venstrehåndede i stikprøven. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren. b. Bestem sandsynligheden for, at der er mindst 110 venstrehåndede i stikprøven. c. Bestem sandsynligheden for, at der er højst 70 venstrehåndede i stikprøven. d. Bestem middelværdien af X.

Opgave 517

Bestem sandsynligheden for at a. få en sekser ved et kast med en terning. b. få plat ved et flip med en mønt. c. få gevinst i et lotteri, hvor du trækker først, og der er 5 lodder med gevinst og 1000 lodder i alt. d. du, med bind for øjnene, vælger en rødhåret elev i en klasse med 4 rødhårede, 6 lyshårede og 10 mørkhårede.

Opgave 518

Afgør om følgende er binomialeksperimenter a. Kast 4 gange med to terninger; vi registrerer summen af øjnene. b. Flip 5 gange med en mønt; vi registrerer antal

Plat. c. Drej 6 gange på et lykkehjul, hvor man enten får gevinst eller nitte. d. Kast en 8-sidet terning, og registrer antal 5’ere.

Opgave 519

Der kastes 3 gange med en skæv mønt, der viser plat (P) 40% af gangene og krone (K) 60% af gangene. a. Skriv udfaldsrummet op. b. Brug kombinatorik til at bestemme det samlede antal udfald, og kontroller, at du har alle med i spørgsmål a.

c. Bestem sandsynligheden for at få PPP. d. Bestem sandsynligheden for at få KKK. e. Hvor mange udfald er der i hændelsen ”to P og en K”.

Opgave 520

En terning kastes fire gange. Vi vil holde øje med antallet af 2’ere. a. Gør rede for, at det er et binomialeksperiment. b. Bestem basissandsynligheden p. c. Bestem P(fire 2’ere). d. Bestem sandsynligheden for ikke at få en 2’er i et kast. e. Bestem P(fire ”ikke 2’ere”).

Opgave 521

På en restaurant kan man vælge imellem 3 forretter og 5 hovedretter. a. Hvor mange menuer kan man sammensætte, hvis man både skal have en forret og en hovedret.

Opgave 522

Bestem, hvor mange forskellige nummerplader man kan lave, hvis nummerpladen skulle bestå af 2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt). Bestem, hvor mange forskellige nummerplader man kan lave, hvis nummerpladen skulle bestå af 2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt) og 2 cifre (mellem 0 og 9).

Opgave 523

Blandt fem personer A, B, C, D og E skal vælges 2 personer. a. Skriv alle mulighederne op. b. Bestem antal måder ved brug af CAS-kommandoen nCr(n,r).

Opgave 524

Ved import af en bestemt type eksotisk frugt må man påregne et ret stort spild, da mange af frugterne er blevet stødt, har fået kulde eller er angrebet af skadedyr undervejs. En tommelfingerregel siger, at 15% af frugterne må sælges på tilbud. Ud af et nyt parti med et meget stort antal frugter, flere millioner, udtager importøren en stikprøve på 10 frugter. a. Gør rede for, at det er rimeligt at bruge en binomialmodel for denne stikprøveudtagning. b. Bestem sandsynligheden for, at der er 2 defekte varer i stikprøven.

Opgave 525

44% af danskere har blodtype A, og 10% har blodtype B. Et eksperiment går ud på at bestemme blodtypen på 10 mennesker. Vi indfører en stokastisk variabel, der tæller antal med blodtype B. a. Bestem sandsynligheden for basishændelsen i eksperimentet. b. Bestem sandsynligheden for, at der blandt 10 adspurgte er netop 2 med blodtype B?

Opgave 526

Vi betragter et eksperiment, hvor der kastes med to 6-sidede terninger. Vi indfører en stokastisk variabel X = summen af antal øjne i et kast med to terninger. a. Bestem de værdier, som X kan antage. b. Bestem sandsynligheden P(X = 2). c. Bestem sandsynligheden P(X = 3).

Opgave 527

En stokastisk variabel X er binomialfordelt med X ∼ b(10, 1 3 ). Bestem nedenstående sandsynligheder ved hjælp af formlen for binomialsandsynligheder. a. P(X = 1) b. P(X = 3)