5.5 Baggrunden for binomialfordelingen

39 Introduktion

I et eksperiment kastes en firesidet terning, og den stokastiske variabel X betegner antallet af 2’ere. Eksperimentet gentages 3 gange. X er binomialfordelt, og vi har X  b 3  , 1 4   , fordi der er: • 3 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning” med • to udfald, hvor ”2” er succes og ”ikke 2” er fiasko, og hvor • p =

1X  b 3  , 4   er basissandsynligheden for succes ved hver gentagelse. I afsnittet her skal vi opstille en formel til beregning af sandsynlighederne i forbindelse med binomialeksperimenter. Vi tager udgangspunkt i ovennævnte eksempel i hele afsnittet. Da der kun er to udfald i et basiseksperiment, gælder følgende:

Brøkregneregel: a c a c b d b d

40 Sætning

Hvis sandsynligheden for succes i basiseksperimentet betegnes med p, da er sandsynligheden for fiasko i basiseksperimentet 1 – p.

41 Eksempel

Ved kast med en firesidet terning er sandsynligheden for at få en fiasko, en ”ikke 2’er”: 1− p = 1 − 4 1 = 3 4 .

Vi vil nu se på sandsynlighederne for P(X = 3) og P(X = 2) i detaljer.

42 Sandsynligheden P(X = 3)

Vi vil beregne sandsynligheden for at få tre 2’ere:

P(tre 2'ere) = 1 4 ⋅ 1 4 ⋅ 1 4 = 3 3 1 4 ≈ 0,016. I beregningen af sandsynligheden kunne vi blot multiplicere sandsynlighederne, fordi basiseksperimenterne er uafhængige af hinanden.

43 Sandsynligheden P(X = 2)

Inden vi ser på denne sandsynlighed, så lad os beskrive samtlige udfald i sandsynlighedsfeltet. Idet vi husker, at en 2’er er succes, s, og ”ikke 2” kaldes fiasko, f, kan vi beskrive udfaldene ved tre kast således:

sss ssf sfs fss s s fsf f

Der er altså otte muligheder. Vi siger, der er otte mulige udfald, når terningen kastes tre gange, og vi holder øje med antal succeser.

Af de otte muligheder svarer den første mulighed sss til P(X = 3), som vi allerede har set på.

Når vi nu skal regne på P(X = 2), indgår der tre udfald, nemlig ssf, sfs og fss

P(X = 2) = 1 4 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 + 1 4 ⋅ 3 4 ⋅ 1 4 + 3 4 ⋅ 1 4 ⋅ 1 4 ≈

0,14 De tre led i udregningen har samme talstørrelse, fordi de er ens på nær rækkefølgen af faktorerne. Udregningen kan derfor også skrives

P(X = 2) = 3 ⋅   1 4   2 ⋅ 3 4 ≈ 0,14 At der var tre udfald, hvor der indgik 2 s’er og 1 f, kan også beregnes med binomialkoefficienten K(3,2) = 3, fordi det svarer til antal måder, man kan vælge 2 ud af 3 elementer (2 succeser ud af 3 kast). Alt i alt har vi:

P(X = 2) = K(3,2)P(X = 2) = 3 ⋅   1 4   2 ⋅ 3 4 ≈ 0,14 På baggrund af ovenstående eksempler formulerer vi nu en generel sætning om binomiale punktsandsynligheder: Den kommutative lov for multiplikation: a · b = b · a

Når der skal vælges r elementer ud af n mulige, kan det gøres på K(n,r) forskellige måder.

K(n,r) = (n ! ) n r− !r !

44 Sætning

For en binomialfordelt stokastisk variabel X ∼ b(n,p), hvor sandsynligheden for basishændelsen er p, gælder P(X = r) = K(n,r) · p r · (1 – p)n – r .

45 Eksempel

Sandsynligheden for P(X = 1) i det gennemgående eksempel udregnes direkte ved indsættelse i formlen.

P(X = 1) = K(3,1) ⋅   1 4   1 ⋅  1 − 1 4   3−1 ≈ 0,42

46 Øvelse

a. Beregn sandsynligheden for P(X = 0) i det gennemgående eksempel ved hjælp af ovenstående sætning. b. Kontroller i CAS med binompdf(n,p,r) eller lignende kommando.

47 Øvelse

Et lykkehjul, hvor chancen for gevinst er 30%, drejes 6 gange. X betegner antal succeser. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt. b. Beregn sandsynligheden for P(X = 4) ved hjælp af formlen.