5.5 Baggrunden for binomialfordelingen 39 Introduktion I et eksperiment kastes en firesidet terning, og den stokastiske variabel X betegner antallet af 2’ere. Eksperimentet gentages 3 gange. X er binomialfordelt, og vi har X b 3, 41 , fordi der er:
• 3 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning” med • to udfald, hvor ”2” er succes og ”ikke 2” er fiasko, og hvor
• = 41 er basissandsynligheden for succes ved hver gentagelse. X bp3, I afsnittet her skal vi opstille en formel til beregning af sandsynlighederne i forbindelse med binomialeksperimenter. Vi tager udgangspunkt i ovennævnte eksempel i hele afsnittet. Da der kun er to udfald i et basiseksperiment, gælder følgende:
40 Sætning Hvis sandsynligheden for succes i basiseksperimentet betegnes med p, da er sandsynligheden for fiasko i basiseksperimentet 1 – p.
41 Eksempel Ved kast med en firesidet terning er sandsynligheden for at få en fiasko, en ”ikke 2’er”: 1− p = 1 − 1 = 3 . 4
4
Vi vil nu se på sandsynlighederne for P(X = 3) og P(X = 2) i detaljer.
42 Sandsynligheden P(X = 3) Vi vil beregne sandsynligheden for at få tre 2’ere: Brøkregneregel:
a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d
P(tre 2' ere ) =
3
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 3 ≈ 0,016. 4 4 4 4
I beregningen af sandsynligheden kunne vi blot multiplicere sandsynlighederne, fordi basiseksperimenterne er uafhængige af hinanden.
43 Sandsynligheden P(X = 2) Inden vi ser på denne sandsynlighed, så lad os beskrive samtlige udfald i sandsynlighedsfeltet. Idet vi husker, at en 2’er er succes, s, og ”ikke 2” kaldes fiasko, f, kan vi beskrive udfaldene ved tre kast således: sss
ssf
sfs
fss sff
ffs fsf
fff
Der er altså otte muligheder. Vi siger, der er otte mulige udfald, når terningen kastes tre gange, og vi holder øje med antal succeser.
74
5. Binomialfordelingen
9788770668668_Kernestof_2_stx.indb 74
31/03/2020 09.21
