PREUNIVERSITARIO A-LAFKEN
PTU
| AÑO 2021 |
MATEMÁTICAS
GUIA ESTUDIANTE N°2 Ecuación lineal con dos incógnitas
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GUÍA DEL ESTUDIANTE N°2 1° medio
Ficha 3
GUÍA DEL ESTUDIANTE Ecuación lineal con dos incógnitas
Introducción La siguiente guía tiene como objetivo reforzar los conocimientos que sirven de transición entre lo que ya conoces sobre las ecuaciones y aquellos conocimientos que necesitas comprender para abordar, de manera eficiente, los conocimientos matemáticos correspondientes al siguiente objetivo de aprendizaje 4 de primero medio, el cual declara lo siguiente: OA 4: Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo
Se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que aborda los siguientes conocimientos: Tema 2. Ecuación lineal con dos incógnitas (Guía Nº2)
Ficha 1. Caracterización del concepto de ecuación lineal con dos incógnitas
En la ficha encontrarás las siguientes secciones:
Recordemos: Se activan los conocimientos previos. Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los conocimientos previos. Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones en contextos concretos o matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de los aprendizajes adquiridos.
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FICHA 1 CARACTERIZACIÓN DEL CONCEPTO DE ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS OBJETIVO: comprender que una ecuación con dos variables ax +by =c (con a, b, c fijo ) tiene como solución infinitos pares ordenados (x, y).
Recordemos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON UNA INCÓGNITA Corresponde al número que satisface la igualdad, número que será único en las ecuaciones lineales con una incógnita. Sin embargo, en las ecuaciones lineales con dos incógnitas las soluciones serán infinitas. ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella que se puede escribir de la forma ax +by =c , donde x e y son incógnitas; a ,b y c números racionales y a ≠ 0 , b ≠ 0. Ejemplos: a) 2 x+6 y =10 x 2y =22 b) − 5 11 c) x− y =3
MODELAMIENTO DE ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS A PARTIR DE ENUNCIADO CONTEXTUALIZADO. Para modelar una ecuación lineal con dos incógnitas se debe comprender a qué corresponde cada variable que se menciona, además de cómo estas se relacionan. Ejemplo: a) En la siguiente imagen se muestra un plano de un terreno rectangular que necesita ser cercado. La persona que trabajará cercando el
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terreno, no sabe cuáles son las medidas de este, pero le dijeron que utilizara 300 metros de cerca de alambre. Si x corresponde al ancho del rectángulo e y al largo, responde: 1. ¿Con qué definición matemática se relacionan los 300 metros de alambre? Los 300 metros corresponden al perímetro del rectángulo. 2. ¿Puedes plantear una ecuación que represente la situación descrita? La ecuación que representa esta situación es: x + y + x+ y=300 2 x+2 y=300
Sabemos que los lados del terreno suman 300 metros Obtenemos la ecuación
La ecuación que obtenemos es una ecuación lineal con dos incógnitas: el ancho ( x) y el largo ( y ) . 3. ¿Qué posibles medidas puede tener cada lado?, ¿existe una única solución? No existe una única solución, ya que para satisfacer la condición expuesta en el problema podemos considerar varias medidas tanto para el largo como para el ancho. El perímetro corresponde a la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana.
4. Si el ancho es 10 metros, ¿cuánto es el largo? Si sabemos que x=10 , podemos sustituir este valor en la ecuación que planteamos anteriormente.
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2 x+2 y=300 2 ∙10+2 y=300 20+2 y=300 2 y=300−20
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Sustituimos x=10 Obtenemos una ecuación lineal con una incógnita. Resolvemos la ecuación, para encontrar el valor de y
2 y=280 y=
280 2
y=140
Obtenemos el valor de y que satisface la igualdad
Por lo tanto, si el ancho es 10 metros el largo es 140 metros. Podemos comprobar esta solución: 2 x+2 y=300 2 ∙10+2 ∙ 140=300 20+280=300
Sustituimos x=10 e y=140 Esta igualdad es correcta, por lo que se comprueba que si x=10 entonces y=140
300=300
5. Si el ancho es 250 metros, ¿cuánto es el largo? Si sabemos que x=250 , podemos sustituir este valor en la ecuación que planteamos anteriormente.
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2 x+2 y=300 2 ∙250+2 y=300 500+2 y=300 2 y=300−500
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Sustituimos x=250 Obtenemos una ecuación lineal con una incógnita. Resolvemos la ecuación, para encontrar el valor de y
2 y=−200 y=
−200 2
y=−100
Obtenemos el valor de y que satisface la igualdad
Según lo anterior si el ancho mide 250 metros, entonces su largo es −100 metros. Respuesta: No, porque considerando el contexto, esta solución no nos sirve, ya que el largo no puede ser -100 metros, pues este debe ser un número positivo. Por lo tanto, el ancho del terreno no puede ser 250 metros. PERTINENCIA DE LAS SOLUCIONES SEGÚN CONTEXTO Como se observa en el ejemplo anterior, cuando el ancho del terreno es 250 metros, el valor de su largo debería ser −100 metros, lo que no corresponde a una medida existente. Es por lo anterior que es necesario verificar la pertinencia de los resultados de las incógnitas tanto x como y , es decir, comprender qué números pueden tomar estas incógnitas dependiendo del enunciado que nos entrega. Ejemplos: Otros ejemplos de ejercicios con incógnitas que solo pueden tomar valores de números reales positivos: a. Edades b. Sueldos c. Cantidad de frutas cosechadas. d. Precios de objetos USO DE TABLA DE VALORES Y DE PLANO CARTESIANO
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Para representar las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas, se hace uso de una tabla de valores, la cual nos permite obtener pares ordenados que se pueden graficar en el plano cartesiano. Ejemplo: a) Completa la tabla de valores para la ecuación 2 x+2 y=300 x -200 -100 0 100 200
y
Para completar la tabla, debemos encontrar los valores de y que cumplen con la igualdad para cada valor de x dado. Para obtener cada valor de forma más sencilla, podemos escribir la ecuación despejando y . 2 x+2 y=300 2 y=300−2 x
y=
300−2 x 2
y=
300 2 x − 2 2
y=150−x y=−x+150
Con la ecuación escrita de esta forma, es más sencillo obtener los valores de y , ya que ahora solo debemos sustituir x x -200 -100 0 100
y=−x+150 y=−(−200 ) +150=350 y=−(−100 ) +150=250 y=−( 0 ) +150=150 y=−( 100 ) +150=50
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200
y=−( 200 ) +150=−50
Entonces, obtenemos la tabla de valores: x -200 -100 0 100 200
y 350 250 150 50 -50
b) Representa la ecuación 2 x+2 y=300 en el plano cartesiano Para representar la ecuación, necesitamos utilizar pares ordenados (x , y ), que nos permitan ubicar estos como puntos en el plano cartesiano. x
y
-200 -100 0 100 200
350 250 150 50 -50
(x , y ) (-200,350) (-100,250) (0,150) (100,50) (200,-50)
Para graficar cada par ordenado en el plano cartesiano, la primera componente x corresponde al eje horizontal (eje x) y la segunda componente y al eje vertical (eje y). Luego debemos dirigir segmentos paralelos a los ejes hasta que se corten y allí se ubicará el punto que corresponde al par ordenado, tal como se muestra a continuación.
Par ordenado (x , y)
Plano cartesiano
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(-200,350)
(-100,250)
(0,150)
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(100,50)
(200,-50)
Finalmente, unimos los puntos marcados, para poder representar la recta asociada a 2 x+2 y=300 .
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Observación ¿Es necesario marcar los cinco puntos en el plano cartesiano? Respuesta: No, pues basta con dos puntos para poder trazar una única recta.
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c) Representa la ecuación 2 x− y=100 en el plano cartesiano 1° Despejamos y en la ecuación para facilitar el ejercicio 2 x− y=100
Utilizamos
− y=100−2 x
la
propiedad
de
la
igualdad
y=2 x−100
Multiplicamos por −1en ambos lados de la igualdad
2° Utilizamos una tabla de valores para obtener al menos dos pares ordenados. y=2 x−100 x y=2∙ (−100 )−100=−300 -100 y=2∙ ( 0 )−100=−100 0 y=2∙ ( 100 )−100=100 100 x
-100
y −300
0 100
−100 100
(x , y) (-100,300) (0,-100) (100,100)
3° Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano
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4° Trazamos la recta.
Pendiente y coeficiente de posición La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje horizontal (eje x). Se denota con la letra m. Si m>0 la recta es creciente y si m<0 la recta es decreciente. El coeficiente de posición es el número que señala en qué punto la recta se intersecta con el eje vertical (eje y ). Se denota con la letra n . Por lo tanto, la intersección en el eje y, será en el punto (0 , n). Al despejar y en una ecuación de la forma ax +by =c , obtenemos:
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ax +by =c by=c−ax y=
c−ax b
c ax y= − b b y=
−a c x+ b b
Sustituimos
−a c =m y =n b b
y=mx+n
Donde m es la pendiente yn es el coeficiente de posición
Ejemplo a) Observa cada ecuación y su representación en el plano cartesiano. y=−x+150 y=2 x−100
Coeficiente de posición n=150 Intersección en el eje y (0,150) Pendiente
Coeficiente de posición n=−100 Intersección en el eje y (0 ,−100) Pendiente 13
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m=−1 Tipo de recta Decreciente
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m=2 Tipo de recta Creciente
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Práctica 1) La diferencia entre dos números es 20. ¿Cuáles son los números? a) Plantea una ecuación que represente la situación descrita
b) Utilizando una tabla de valores, obtén al menos 5 pares ordenados
c) Representa la ecuación en el plano cartesiano, indicando su pendiente y su coeficiente de posición
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2) Observa cada gráfico y encierra la ecuación que está representada en cada caso.
a)
a) 3 x+ y=5 b) 5 x+ y=3 c) 5 x+ y=−3 d) −3 x+ y=5
b) a) 4 x+2 y=−1 b) x +2 y =−4 c) 4 x−2 y=−1 d) x−2 y=4
c) a) −3 x+ y=−2 b) 2 x+ y =3 c) −2 x+ y=3 d) 3 x+ y=2
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d) a) 12 x+ 4 y=1 b) x +4 y=−12 c) 12 x−4 y =1 d) x−4 y=12
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Desafío Aplica lo visto anteriormente para resolver la siguiente actividad. a) En la siguiente imagen se muestra un plano de una huerta rectangular comunitaria que necesita ser cercada. La persona que trabajará cercando el terreno, no sabe cuáles son las medidas de esta, pero le dijeron que utilizará 200 metros de cerca de alambre. Además, le dijeron que, si al largo le resta 25 metros y al ancho le suma 25 metros, el terreno sería cuadrado. ¿Cuáles son las medidas del terreno? %20el%20sistema%20de %20unidades%20de %20%C3%A1rea.pdf
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