Aula 2 estatistica

ANÁLISE ESTATÍSTICA PROF. CLAUDIO MACIEL Aula 2- Medidas de Posição

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Conteúdo Programático desta aula Entender como as medidas de posição central (média aritmética e ponderada, mediana e moda) são determinadas e como permitem uma melhor compreensão dos dados de uma análise estatística;  Analisar as relações entre média, moda e mediana. Compreender as medidas de ordenamento quartis, decis e percentis. Aplicação das medidas estatísticas em Microsoft Excel NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Médias MÉDIA ARITMÉTICA  SIMPLES → a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definido por: _ X = X1 + X2 + ....... + Xn / n EXEMPLO :  {1, 1, 3, 4,

4}

X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6

 MÉDIA PONDERADA → Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem com freqüências f1, f2, ....., fn, então: _ X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn = ∑ Xi fi -------------------------------------------f1 + f2 + ..... + fn ∑ fi

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

MODA Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.

EXEMPLOS :  X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal  Y = 2, 3, 4, 5, 6 não tem moda – amodal  Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9 tem duas modas 4 e 8 – bimodal

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

MODA FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS: Mo =( l * + L * ) / 2 Ou Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2) Sendo: l* → Limite Inferior da Classe Modal.

L* → Limite Inferior da Classe Modal. h → intervalo de classe.

D1 → Frequencia Simples – Frequencia Anterior.

D2 → Frequencia Simples – Frequencia Posterior

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Mediana Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra.

FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS: Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*) Sendo: l* → Limite Inferior da Classe Mediana. f* → frequencia simples da classe mediana. h → intervalo de classe.

Xm → Valor Mediano.

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Medidas de Assimetria As medidas de assimetria complementam as informações dadas pelas medidas de posição, a fim de permitir uma melhor compreensão das distribuições de frequências. A mediana se localiza na posição central da distribuição, devendo estar entre os valores da média e moda e podendo até mesmo ser igual a ambas.

Nesta situação temos três casos possíveis: 1o Caso ⇒ Média = Mediana = Moda ⇒ a curva da distribuição é SIMÉTRICA 2 o Caso ⇒ Média < Mediana < Moda ⇒ a curva da distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA 3 o Caso ⇒ Média > Mediana > Moda ⇒ a curva da distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Medidas de Assimetria O Coeficiente de Assimetria pode ser calculado pela fórmula do primeiro coeficiente de Pearson, tornando mais fácil determinar se a Assimetria da distribuição é positiva ou negativa: AS = Coeficiente de Assimetria; Me = Média Mo = Moda s = Desvio Padrão da amostra (σ quando for população) ( Me – Mo ) / DP

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Medidas de Assimetria No denominador da fórmula temos um símbolo que representa o desvio padrão da distribuição, quando for apresentado o estudo sobre as medidas de dispersão veremos mais detalhes sobre o cálculo do desvio padrão e seu significado. No momento podemos adiantar que terá sempre um valor positivo (ou seja, não é possível ocorrer desvio padrão negativo). Assim sendo o que vai determinar o sinal da fração é o sinal do numerador.

1o Caso ⇒ Média = Moda SIMÉTRICA 2 o Caso ⇒ Média < Moda 3 o Caso ⇒ Média > Moda

⇒

→ ASSIMÉTRICA NULA =

⇒ ⇒

→ ASSIMETRIA NEGATIVA → ASSIMETRIA POSITIVA

NOME DA AULA – AULA2

Medidas de Posição

•

Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos respectivamente de:  Quartis  Decis  Percentis

•

O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de uma variável X.

Medidas de Posição

• QUARTIS → dividem a distribuição em quatro partes iguais.

Qnq = X ( nqn / 4 + ½) Sendo: • Qnq → primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2 e 3) • nq → número do quartil que se deseja obter • X → elemento da série ordenada • n → tamanho da amostra

Medidas de Posição

DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais.

• Qnq = X ( nqn / 10 + ½) • Sendo: • Qnq → primeiro, segundo e terceiro decil ( i = 1, 2 e 3) • nq → número do quartil que se deseja obter • X → elemento da série ordenada • n → tamanho da amostra

Medidas de Posição

• PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda em cem partes iguais.

• Qnq = X ( nqn / 100+ ½) • Sendo: • Qnq → primeiro, segundo e terceiro centil ( i = 1, 2 e 3) • nq → número do quartil que se deseja obter • X → elemento da série ordenada • n → tamanho da amostra

EXCEL Cálculo da média: utilizando a função MÉDIA(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a serem calculados a média, teremos o resultado desejado; Cálculo da mediana: utilizando a função MED(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a serem calculados a mediana, teremos o resultado desejado; Cálculo da moda: utilizando a função MODO(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a serem calculados a mediana, teremos o resultado desejado;

EXCEL

4448 53 5657 60 6363 63 6868 69 7274 77 8286 90 97100 106

54 60 65 69 78 93 107

56 62 66 70 80 95

56 63 67 71 81 95

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Exercícios 1) Determine a Mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10): a) 33 b) 8 c) 6,6 d) 5

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Exercícios 2) Determine a Média para os dados (2, 3, 10, 15, 15): a) 10 b) 15 – 2 = 13 c) 15 d) 9

NOME DA AULA – AULA2

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Exercícios 3) A moda representa o elemento: a) O elemento central da distribuição b) Representa a diferença entre a média e a Mediana c) O elemento de maior frequência na distribuição de valores d) A soma de todos os valores dividido pela quantidade de dados

NOME DA AULA – AULA2