Computación V
La lógica matemática: Es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes y las propiedades meta lógicas de los mismos. Elementos de lógica: Hay tres tipos de lenguaje: 1. Oral 2. Escrito 3. Simbólico Proposiciones: Es toda expresión que tiene sentido mediante la cual se afirma o se niega algo que puede ser verdadero o falso. Las proposiciones por la cual son y no son proposiciones en la cual se detalla: Ej.: Son proposiciones: a) ¾ es un número fraccionario. b) El tigre es un insecto. c) El carburador tiene una falla. d) El transistor está conduciendo. e) Hoy es lunes. f) Llueve. No son proposiciones: frases imperativas u órdenes: (Escriba esto.) interjecciones o exclamaciones: ( ¡Qué barbaridad! ) instrucciones: (Volver al paso anterior.) frases sin sentido de “v” o “f”: ( El mineral “x” es una piedra preciosa.) igualdades matemáticas tales como: (a + b) . (a - b) = a2 – b2 Las proposiciones cuando son: Verdaderas se escribe (V) Falsas se escribe (F) Negación de una proposición Es utilizar la palabra “no” en las proposiciones. Ej.: El símbolo del agua es H2O. 8 es numero par.
El símbolo del agua no es H2O. 8 no es numero par.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Computación V Tipos de proposiciones: Proposiciones simples
Ej.: A) B) C) D)
21 es divisible por 2 18 es múltiplo de 6 El hombre es un animal racional 5 no es un numero par
=p =q =r =s
Representación simbólica: a) 21 es divisible por 2 b) 18 es múltiplo de 6
=p =q
Simbólicamente:
“p” y “q”
=
21 es divisible por 2 “y” 18 es múltiplo de 6
Proposiciones compuestas Es la combinación de dos o más proposiciones simples, unidas mediante uno o más conectivos lógicos u operantes lógicos tales como: Conectivos lógicos. Nombre lógica Significado Conectivo ∧ Conjunción “y” v Disyunción “o” → Implicación “si... entonces” ↔ Equivalencia “…si y solo si” ¬, Negación “no”
Conjunción: Es cuando dos proposiciones estas unidas por la expresión “y”. ∧ Su símbolo es: Regla: Es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas. Proposición q ∧ q Se lee: p “y” q Conjunción p q q ∧ q V
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Disyunción: Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Computación V Es cuando dos proposiciones están unidas por la expresión “o”. v Su símbolo es: Regla: Es falsa únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas. Proposición q v q Se lee: p “o” q Disyunción p q
q v
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F
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V
F
F
F
q
Implicación: Es cuando dos proposiciones están unidas por la expresión “si… entonces”. → Su símbolo es: Regla: Es falsa únicamente cuando la primera sea verdadera y la segunda sea falsa. Proposición q → q Se lee: p “si… entonces” q Implicación p q q → q V
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Doble Implicación o Equivalencia: Es cuando dos proposiciones están unidas por la expresión “si y solo si”. ↔ Su símbolo es: Regla: Es verdadera cuando las dos proposiciones sean iguales. (falsa o verdadera). Proposición q ↔ q Se lee: p “si y solo si” q Doble Implicación o Equivalencia p q q ↔ q V
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Negación: Es cuando dos proposiciones está siendo negada”. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Computación V Su símbolo es: Regla:
¬,
Es falsa cuando sea verdadera y verdadera cuando sea falsa. Proposición ¬ q Se lee: Negación de p ó no es p. p
Negación ¬ p
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Tablas de verdad: Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. Hay dos reglas o principios fundamentales de la lógica. P. De no contradicción: Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. P. Del tercer incluido: Una proposición es verdadera o es falsa, siempre se verifica uno de estos casos nunca un tercero. Entonces una proposición simple, tiene dos posibilidades de valor. Tablas de verdad. Una proposición Dos proposiciones Tres proposiciones Cuatro proposiciones Cinco proposiciones 6 proposiciones
2 posibilidades 4 posibilidades 8 posibilidades 16 posibilidades 32 posibilidades 64 posibilidades
Aplicación de las reglas p
q
∧
v
→
↔
¬ p
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Raúl Owaldo Xiloj Vargas