Matemática Básica
Raúl Owaldo Xiloj Vargas Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
¿Qué es la lógica matemática? Es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes y las propiedades meta lógicas de los mismos. ¿Cuáles son los elementos de lógica? Hay tres tipos de lenguaje: 1. Oral 2. Escrito 3. Simbólico ¿Qué es Proposición? Es toda expresión que tiene sentido mediante la cual se afirma o se niega algo que puede ser verdadero o falso. Las proposiciones por la cual son y no son proposiciones en la cual se detalla: Son proposiciones: Ejemplos: a) ¾ es un número fraccionario. b) El tigre es un insecto. c) El carburador tiene una falla. d) El transistor está conduciendo. e) Hoy es lunes. f) Llueve. No son proposiciones: Ejemplos: frases imperativas u órdenes: (Escriba esto.) interjecciones o exclamaciones: (¡Qué barbaridad!) instrucciones: (Volver al paso anterior.) frases sin sentido de “v” o “f”: (El mineral “x” es una piedra preciosa.) igualdades matemáticas tales como: (a + b) * (a - b) = a2 – b2 Las proposiciones cuando son: Verdaderas se escribe (V) Falsas se escribe (F) Negación de una proposición Es utilizar la palabra “no” en las proposiciones. Ej.: El símbolo del agua es H2O. 8 es numero par.
El símbolo del agua no es H2O. 8 no es numero par.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica Tipos de proposiciones: ďƒ˜ Proposiciones simples Ej.: A) B) C) D)
21 es divisible por 2 18 es mĂşltiplo de 6 El hombre es un animal racional 5 no es un numero par
=p =q =r =s
RepresentaciĂłn simbĂłlica: a) 21 es divisible por 2 b) 18 es mĂşltiplo de 6
=p =q
ď‚ś SimbĂłlicamente: “pâ€? y “qâ€?
=
21 es divisible por 2 “yâ€? 18 es mĂşltiplo de 6
ďƒ˜ Proposiciones compuestasď€ Es la combinaciĂłn de dos o mĂĄs proposiciones simples, unidas mediante uno o mĂĄs conectivos lĂłgicos u operantes lĂłgicos tales como: Conectivos lĂłgicos. Nombre lĂłgica Significado Conectivo “yâ€? ConjunciĂłn ∧ “oâ€? DisyunciĂłn đ?‘Ł “si... entoncesâ€? ImplicaciĂłn → â€œâ€Śsi y solo siâ€? Equivalencia ↔ “noâ€? NegaciĂłn ÂŹ ,~ ConjunciĂłn: Es cuando dos proposiciones estas unidas por la expresiĂłn “yâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: ∧ ď‚ś Regla: Es verdadera Ăşnicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas.  ProposiciĂłn q ∧ q  Se lee: p “yâ€? q ConjunciĂłn p
q
q∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica DisyunciĂłn: Es cuando dos proposiciones estĂĄn unidas por la expresiĂłn “oâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: đ?‘Ł ď‚ś Regla: Es falsa Ăşnicamente cuando las dos proposiciones sean falsas.  ProposiciĂłn q đ?‘Ł q  Se lee: p “oâ€? q DisyunciĂłn p q
qđ?’—q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
ImplicaciĂłn: Es cuando dos proposiciones estĂĄn unidas por la expresiĂłn “si‌ entoncesâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: → ď‚ś Regla: Es falsa Ăşnicamente cuando la primera sea verdadera y la segunda sea falsa.  ProposiciĂłn q → q  Se lee: p “si‌ entoncesâ€? q ImplicaciĂłn q p
q→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Doble ImplicaciĂłn o Equivalencia: Es cuando dos proposiciones estĂĄn unidas por la expresiĂłn “si y solo siâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: ↔ ď‚ś Regla: Es verdadera cuando las dos proposiciones sean iguales. (falsa o verdadera).  ProposiciĂłn q ↔ q  Se lee: p “si y solo siâ€? q Doble ImplicaciĂłn o Equivalencia q q↔q p V V V V
F
F
F
V
F
F
F
V
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica NegaciĂłn: Es cuando dos proposiciones estĂĄ siendo negadaâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: ÂŹ, ~ ď‚ś Regla: Es falsa cuando sea verdadera y verdadera cuando sea falsa.  ProposiciĂłn ÂŹ q  Se lee: NegaciĂłn de p Ăł no es p.
NegaciĂłn p
ÂŹp
V
F
V
F
F
V
F
V
Tablas de verdad: Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposiciĂłn compuesta, para cada combinaciĂłn de verdad que se pueda asignar. Hay dos reglas o principios fundamentales de la lĂłgica.
ďƒ˜ P. De no contradicciĂłn:ď€ Una proposiciĂłn no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. ďƒ˜ P. Del tercer incluido:ď€ Una proposiciĂłn es verdadera o es falsa, siempre se verifica uno de estos casos nunca un tercero. Entonces una proposiciĂłn simple, tiene dos posibilidades de valor. Tablas de verdad. Una proposiciĂłn Dos proposiciones Tres proposiciones Cuatro proposiciones Cinco proposiciones 6 proposiciones
2 posibilidades 4 posibilidades 8 posibilidades 16 posibilidades 32 posibilidades 64 posibilidades
AplicaciĂłn de las reglas p
q
∧
đ?‘Ł
→
↔
ÂŹp
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
TautologĂas, Contradicciones y contingencias Cuando no conocemos el valor de verdad de las proposiciones simples debemos considerar todas las posibilidades. SegĂşn sea el resultado final, ĂŠste recibe el nombre de tautologĂa, contradicciĂłn y contingencia. TautologĂa: Una proposiciĂłn se dice que es una tautologĂa si su valor de verdad es siempre verdadero, independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Es decir, cuando para todas las posibilidades de combinar los valores de verdad de las proposiciones simples el resultado final es verdadero.
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Ejemplo de tautología: Hallar el valor de verdad de (p → q ) ↔ (~q → ~p)
(p V V F F
→ V F V V
q) V F V F
↔ V V V V
(~q F V F V
→ V F V V
~p) F F V V
Respuesta: Es tautología. Contradicción: Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre falso independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Es decir, cuando para todas las posibilidades de combinar los valores de verdad de las proposiciones simples el resultado es falso. Ejemplo de Contradicción: Hallar el valor de verdad de (p ∧ ~ q) ∧ (p → q)
(p
∧
~q)
∧
(p
→
q)
V V
F V
F V
F F
V V
V F
V F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
Respuesta: Es contradicción. Contingencia: Cuando al final se obtienen algunos verdaderos y algunos falsos. Ejemplo de contingencia: Hallar el valor de verdad de (p → q) ∧ [(q ∧ p) ↔ q] (p
→
q)
∧
[(q
∧
p)
↔
q]
V V
V F
V F
V F
V F
V F
V V
V V
V F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
Respuesta: Es Contingencia.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica
Analice por medio de una tabla de verdad cada una de las proposiciones siguientes y clasifĂquelas de acuerdo al resultado final como tautologĂa, contradicciones y contingencias. 1) Hallar el valor de verdad de (p ↔ q) đ?‘Ł [(q ∧ p) → q] (p
↔
q)
đ?‘Ł
[(q
∧
p)
→
q]
V V
V F
V F
V V
V F
V F
V V
V V
V F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
Respuesta: Es TautologĂa 2) Hallar el valor de verdad de [(p ↔ q) → (~p ∧ q)] → q [(p
↔
q)
→
(~p
∧
q)]
→
q
V V
V F
V F
F V
F F
F F
V F
V F
V F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
Respuesta: Es contingencia 3) Hallar el valor de verdad de [(p ↔ q) → (p ∧ ~q)] đ?‘Ł (~q → p) [(p
↔
q)
→
(p
∧
~q)]
đ?‘Ł
(~q
→
p)
V V
V F
V F
F V
V V
F V
F V
V V
F V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V V V
V V F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
Respuesta: Es contingencia
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas