U3
Raciocínio
lógico lógico
Álgebra de proposições e problemas de correlação
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ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES E PROBLEMAS DE CORRELAÇÃO Objetivo do estudo - Ao final desta unidade esperamos que você seja capaz de atribuir valores lógicos a proposições simples e compostas, relacionar duas ou mais proposições através de um conectivo lógico e construir tabelas verdade para proposições compostas; utilizar estruturas lógicas para estabelecer relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas e eventos, estando, dessa forma, completamente apto a deduzir novas informações a partir de um conjunto de relações e informações previamente fornecidas.
Proposição 2
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T1
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CONCEITOS DE PROPOSIÇÕES Nesta aula iremos abordar os conceitos de proposição, proposição simples e composta, conectivos lógicos e tabelas verdade. Iremos explicar os dois princípios fundamentais da lógica e apresentar as operações lógicas de negação, conjunção, disjunção, implicação e dupla implicação, mostrando como construir uma tabela verdade a partir de uma proposição composta. Vamos começar esta aula apresentando algumas ideias e conceitos básicos que serão bastante necessários para o entendimento das operações lógicas. Está pronto?
Proposição
Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Ou seja, explicando melhor, uma proposição é uma declaração afirmativa ou negativa que faça sentido. Portanto, uma proposição pode ser verdadeira ou falsa. Quando ela for verdadeira, iremos atribuir-lhe o valor lógico (V); quando for falsa, iremos atribuir-lhe o valor lógico (F). Os seguintes princípios regem a Lógica Proposicional: 1) Princípio do terceiro excluído Uma proposição só pode assumir um de dois valores possíveis, ou verdadeiro ou falso, não meio termo. 2) Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 3) Princípio da identidade Se uma proposição é verdadeira ela é verdadeira e se uma proposição é falsa ela é falsa.
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Preste atenção e examine as seguintes sentenças: Sentença 1: Será que vai chover? Isto não é uma proposição, pois é uma sentença interrogativa, que exprime dúvida. Sentença 2: Luiz André, vire para frente, preste atenção e cale a boca! Isto não é uma proposição, pois é uma sentença imperativa. Sentença 3: A Lua é satélite da Terra. Isto é uma proposição, pois é uma declaração afirmativa de sentido completo. Sentença 4: A cidade do Rio de Janeiro é a capital do Brasil. Isto é uma proposição, pois é uma declaração afirmativa de sentido completo. Como as sentenças 3 e 4 são proposições, podemos atribuir a cada uma delas um valor lógico. A sentença 3 é uma proposição lógica que assume o valor lógico verdadeiro (V), enquanto a sentença 4 é uma proposição lógica que assume que assume o valor lógico falso (F). Sentença 5: O dobro de 4 não é igual a 10. Isto é uma proposição, pois é uma declaração negativa de sentido completo. Analisando esta declaração, podemos atribuir-lhe valor lógico verdadeiro (V). Sentença 6: O dobro do número x é igual a 10. Isto é uma proposição, pois é uma declaração afirmativa de sentido completo. Mas observe que, neste caso, o valor lógico da proposição depende do valor atribuído à variável x. Este tipo de sentença é chamado de proposição aberta. Observe outros exemplos de sentenças abertas: - A cidade em que nasci é a capital da Argentina. - 2 x + 3 < 5. - O triplo da minha idade é igual à idade de meu pai. Agora tente você mesmo examinar as seguintes sentenças, identificando inicialmente se a sentença é ou não uma proposição e depois, quando possível, atribuindo-lhe um valor lógico: 1. Tiradentes morreu afogado. 2. O valor de sete mais dois é igual a nove. 3. O valor de x somado a quinze é menor do que vinte. 4. Brasília não é a capital do Brasil. 5. Será que eu estou entendendo a matéria?
Solução: 1. É proposição. Valor lógico falso (F). 2. É proposição. Valor lógico verdadeiro (V). 3. É proposição. Não se pode atribuir valor lógico, pois é uma proposição aberta. 4. É proposição. Valor lógico falso (F). 5. Não é proposição.
Espero que você esteja gostando de estudar conceito de proposições. Vamos continuar?
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Proposição simples e proposição composta Existem proposições simples e proposições compostas. A proposição simples, como o próprio nome indica, é uma proposição isolada, que não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma. Em geral representamos cada proposição simples por letras minúsculas, p, q, r, s,..., chamadas letras proposicionais. Observe atentamente os exemplos a seguir: p: Luíza é morena. q: Paulo é atleta. r: O número 2 é par. s: 2 × 2 = 4 . A proposição composta é aquela que é formada por duas ou mais proposições simples, que são ligadas através de conectivos lógicos (que iremos explicar detalhadamente daqui a pouco). Em geral representamos uma proposição composta por uma letra maiúscula. Observe atentamente os exemplos a seguir: P: Luíza não é morena. Q: Luíza é morena e Paulo é atleta. R: Luíza é morena ou Paulo é atleta. S: Se a Lua é satélite da Terra então a Lua é branca. T: O número 2 é par, se e somente se, 2 × 2 = 4 . Repare que as palavras em negrito em cada uma das proposições compostas acima são justamente os conectivos lógicos. Vamos treinar? Determine se as proposições são Simples (S) ou Compostas (C): a) Maria estuda e trabalha. b) Mário é feio. c) 3 é um número ímpar. d) Márcia é jogadora ou estudante. e) Paulo é rico e feliz. f) 32 é múltiplo de 4. g) Paris é a capital da França. h) Pedro é estudioso e Maria é bonita. i) Celso é pobre então é infeliz. j) João é velho. k) Ou Carla vai à festa ou fica em casa. l) 13 é número e primo.
Solução: a) Composta
g) Simples
b) Simples
h) Composta
c) Simples
i) Compota
d) Composta
j) Simples
e) Composta
l) Composta
f) Simples
m) Simples
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Conectivos lógicos e princípios fundamentais da lógica Chamam-se conectivos lógicos as palavras utilizadas para formar novas proposições a partir de proposições simples ou compostas. Os cinco conectivos lógicos comumente usados são: não, e, ou, se... então se e somente se.
Veja na tabela abaixo como representamos cada um dos conectivos lógicos. Operação
Conectivo
Estrutura Lógica
Exemplos
Negação
~
Não p
A bicicleta não é azul
Conjunção
^
peq
Thiago é médico e João é Engenheiro
Disjunção
v
p ou q
Thiago é médico ou João é Engenheiro
Condicional
→
Se p então q
Se Thiago é Médico então João é Engenheiro
Bicondicional
↔
p se e somente se q
Thiago é médico se e somente se João é Engenheiro
Então temos: Negação (não): ~ Conjunção (e): ∧ Disjunção (ou): ∨ Condicional (se...então): →, ⇒ Bicondicional (se e somente se): ↔
exemplos
Vamos ver alguns exemplos para facilitar o aprendizado? EXEMPLO 1: Para afirmação p: Está chovendo e q: Eu estou dentro de casa. O significado das afirmações está chovendo e eu estou dentro de casa é transformado quando as duas são combinadas com conectivos lógicos: Está chovendo e eu estou dentro de casa (p ∧ q) Se está chovendo, então eu estou dentro de casa. (p → q) Se eu estou dentro de casa, então está chovendo. (q → p) Eu estou dentro de casa se e somente se está chovendo (q ↔ p) Não está chovendo (~P)
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EXEMPLO 2: Para afirmação p = Paulo não é advogado. Temos: Paulo não é advogado. Negação: NÃO p (~p), onde a negação de p é: Paulo é advogado. EXEMPLO 3: Para afirmação p: O número 3 é ímpar e q: O número 4 é par. Temos: O número 3 é ímpar e o número 4 é par. Conjunção: p E q (p ^ q) EXEMPLO 4: Para afirmação p: Joana é professora e q: Joana é médica. Temos: Joana é professora ou é médica. Disjunção: p OU q (p ^ q) EXEMPLO 5: Para afirmação p: Ana é médica e q: Ana estudou anatomia. Temos: Se Ana é médica então Ana estudou anatomia. Condicional: SE p ENTÃO q (p → q) EXEMPLO 6: Para afirmação p: O número é par e q: O número é múltiplo de 2. Temos: Um número é par se e somente se o número é múltiplo de 2. Bicondicional: p SE E SOMENTE SE q (p ↔ q) Espero que você tenha gostado de estudar conectivos lógicos.
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA Vamos começar recordando o que já foi comentado! A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os três seguintes princípios lógicos: 1) Princípio do terceiro excluído Uma proposição só pode assumir um de dois valores possíveis, ou verdadeiro ou falso, não meio termo. 2) Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 3) Princípio da identidade Se uma proposição é verdadeira ela é verdadeira e se uma proposição é falsa ela é falsa. A aplicação destes três princípios permite afirmar que, sempre que uma proposição for verdadeira, então a sua negação será falsa e vice-versa, correto? Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas, conhecidos os valores das proposições simples que as compõem usaremos tabelas-verdade.
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Tabela verdade Uma tabela verdade é um tipo de tabela matemática utilizada em lógica para determinar o valor de uma proposição composta. Na tabela verdade, cada proposição simples ou composta e todos os seus valores lógicos possíveis são representados.
exemplo
EXEMPLO: Considere a proposição simples p: Paulo é advogado. Pelos dois princípios fundamentais da lógica, sabemos que essa proposição poderá assumir os valores (V) ou (F); portanto sua tabela verdade será:
p V F Considere agora o caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p: Paulo é advogado e q: Joana é médica. O valor lógico da proposição composta dependerá unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes. Portanto, é necessário, ao construir a tabela verdade, representar nas duas primeiras colunas todos os valores lógicos possíveis para as proposições p e q. Logo:
P V V F F
q V F V F
Importante: Não é necessário decorar tabelas verdade, pois elas são apenas um instrumento para nos auxiliar quando precisamos tirar alguma conclusão sobre algum resultado. Utilizando tabelas-verdade Agora que já aprendemos um pouco sobre tabelas verdade vamos utilizá-las no estudo das operações lógicas fundamentais, que são justamente as operações definidas pelos cinco conectivos que já estudamos anteriormente:
1º negação:
Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa (F) e a falsidade (F) quando p é verdadeira (V). Indica-se a negação da proposição p por ~p. Tabela verdade da Negação:
p V F
~p F V
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exemplo
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EXEMPLO: A negação da proposição p: Clara é fisioterapeuta é a proposição ~p: Clara não é fisioterapeuta. Você deve tomar cuidado, pois algumas vezes uma proposição contradiz outra proposição sem ser a sua negação. Veja o seguinte caso: p: O lápis é branco. q: O lápis é vermelho. Essas duas proposições se contradizem, uma vez que não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Entretanto, como ambas podem ser falsas simultaneamente (caso a cor do lápis seja azul), uma proposição não é a negação da outra. Em outras palavras, o fato de o lápis não ser branco nos permite afirmar que ele será vermelho? Claro que não!
2º disjunção:
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira (V) e a falsidade (F) quando ambas as proposições p e q são falsas. Indica-se a disjunção das proposições p ou q por pVq. Tabela verdade da disjunção:
p
q
p∨ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observe que, em uma operação de disjunção, o resultado será falso apenas quando todas as proposições envolvidas na operação forem falsas.
exemplo
EXEMPLO 1: p: 5 é um número par q: Brasília é a capital do Brasil
(F) (V)
Solução: Aplicando a tabela da verdade:
p
q
p∨ q
F
V
V
Temos, 5 é um número par ou Brasília é a capital do Brasil, logo a proposição é verdadeira (V).
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exemplo
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EXEMPLO 2: p: Buenos Aires é a capital da Argentina q: 11 – 7 = 3 (F)
(V)
Solução: Aplicando a tabela da verdade:
p
q
p∨ q
V
F
V
Temos, Buenos Aires é a capital da Argentina ou 11 - 7 = 3 , logo a proposição é verdadeira (V).
leia com atenção
3º conjunção:
você vai precisar depois
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. Indica-se a conjunção das proposições p e q por p ∧ q.
na pág 12
Tabela verdade da conjunção:
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Observe que, em uma operação de conjunção, o resultado será verdadeiro apenas quando todas as proposições envolvidas na operação forem verdadeiras.
exemplo
EXEMPLO 1: p: 5 é um número par q: Brasília é a capital do Brasil
(F) (V)
Solução: Aplicando a tabela da verdade:
p
q
p∧q
F
V
F
Temos, 5 é um número par e Brasília é a capital do Brasil, logo a proposição é falsa (F). EXEMPLO 2: p: O girassol é amarelo. q: 9 é um número ímpar.
(V) (V)
Solução: Aplicando a tabela da verdade:
p
q
p∧q
V
V
V 10
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leia com atenção você vai precisar depois na pág 14
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4ª condicional:
Chama-se condicional uma proposição representada por se p então q cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) em todos os demais casos. Indica-se a implicação das proposições p e q por p → q. Tabela verdade da implicação ou condicional:
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Em uma condicional, a primeira proposição (p) é chamada de antecedente ou hipótese e a segunda proposição (q) é chamada de consequente. Observe que, em uma operação de implicação ou condicional, o resultado será falso apenas quando o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Á primeira vista, as duas últimas linhas desta tabela verdade podem parecer estranhas para você. As afirmações de que V → V é verdadeiro e V → F é falso são intuitivas. Mas como entender que F → F é verdadeiro e F → F também é verdadeiro? Imagine a seguinte situação: você prometeu à sua mãe que, sempre que estiver chovendo, quando você for sair de casa, você levará o guarda-chuva com que ela lhe presenteou. As proposições simples são as seguintes: p: Está chovendo. q: Eu levo o guarda-chuva. A proposição condicional ou a implicação é a seguinte: P: Se está chovendo então eu levo o guarda-chuva. ( P :
p → q)
Vamos analisar o que pode acontecer: I) Está chovendo (V) e você leva o seu guarda chuva (V). Portanto você manteve a promessa feita à sua mãe e o valor lógico da condicional será (V). II) Está chovendo (V) e você não leva o guarda-chuva (F). Portanto, você quebrou a promessa feita à sua mãe e o valor lógico da condicional será (F). III) Não está chovendo (F) e você leva o guarda-chuva (V). Mais uma vez você manteve a promessa feita à sua mãe e o valor lógico da condicional será (V). IV) Não está chovendo (F) e você não leva o guarda-chuva (F). Você fez algo de errado ao não levar seu guarda-chuva? Pense bem! Você tinha prometido levá-lo apenas se chovesse; portanto, também neste caso você manteve a sua promessa e o valor lógico da condicional será (V). Considere agora outro exemplo com as seguintes proposições simples: p: 5 é um número par (F) q: Brasília é a capital do Brasil (V) R: Se 5 é um número par então Brasília é a capital do Brasil. S: Se Brasília é a capital do Brasil então 5 é um número par.
(V) (F)
Repare que a proposição composta R é verdadeira, porque o antecedente é falso e o consequente é verdadeiro. Já a proposição composta S será falsa, porque o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
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5ª bicondicional:
Chama-se bicondicional uma proposição representada por p se e somente se q cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou são ambas falsas e a falsidade (F) quando as proposições p e q têm valores lógicos diferentes. Indica-se a dupla implicação das proposições p e q por p ↔ q. Tabela verdade da dupla implicação ou bicondicional:
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Observe que, em uma operação de dupla implicação, o resultado será verdadeiro apenas quando todas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico, ou seja, quando todas forem verdadeiras ou todas forem falsas. Por exemplo, considere as seguintes proposições simples: EXEMPLO 1: p: 5 é um número par q: Brasília é a capital do Brasil ~q: Brasília não é a capital do Brasil
(F) (V) (F)
R: 5 é um número par se e somente se Brasília é a capital do Brasil. S: 5 é um número par se e somente se Brasília não é a capital do Brasil.
(F) (V)
EXEMPLO 2: p: 6² = 36 q: Salvador é a capital da Bahia ~q: Salvador não é a capital da Bahia Solução: R: 6² = 36 se e somente se Salvador é a capital da Bahia. S: 6² = 36 se e somente se Salvador não é a capital da Bahia.
(V) (F)
Tudo entendido até aqui? Entender como montamos uma tabela verdade será muito importante para realizarmos operações lógicas fundamentais e nos ajudará a responder se uma proposição é verdadeira ou falsa. Vamos em frente?
T3
CONSTRUINDO TABELA-VERDADE Agora podemos construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada, que nos mostrará todos os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F).
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De modo geral, o número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta formada n por n proposições simples será igual a 2 . Vamos praticar para entender melhor? EXEMPLO 1: Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta: p
∧
(~ q).
Solução: Neste caso, temos uma proposição composta que é constituída de 2 proposições simples, p e q. 2 Portanto, a tabela-verdade terá 2 = 4 linhas. Inicialmente, devemos completar as duas primeiras colunas com todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p e q.
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
~q
p ∧ (~ q)
Em seguida, devemos realizar a operação de negação da proposição q (~q). Já aprendemos que a proposição ~q será (F) quando a proposição q for (V) e será (V) quando a proposição q for (F).
p
q
~q
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
p ∧ (~ q)
Finalmente, vamos fazer a conjunção p ∧ (~ q). Conforme aprendemos no tópico anterior, quando temos um conectivo de conjunção ( ∧ ) o resultado será verdadeiro (V) apenas quando ambas as proposições simples tiverem valor lógico verdadeiro (V). Relembre a tabela verdade do conectivo conjunção.
você já leu isso no tópico 1 - página 10 - Un3
relembre
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Ou seja, em nosso exemplo, na tabela, devemos fazer a conjunção entre a primeira (p) e terceira (~q) colunas. Assim, o resultado será (V) apenas quando a primeira e a terceira colunas tiverem valor lógico (V). Chegamos então ao resultado final:
P
q
~q
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
p ∧ (~ q)
E aí, achou dificíl? Não se preocupe, com muito treino ficará fácil. Então vamos praticar mais!
exemplo
EXEMPLO 2: Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta:
( p → q ) ↔ (q ∨ r ) .
Solução: Neste caso, temos uma proposição composta que é constituída de 3 proposições simples, p, q e r. Portanto, a tabela-verdade terá
23 = 8
linhas.
Inicialmente, devemos completar as três primeiras colunas com todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p, q e r, indicados na cor amarelo.
( p → q)
Na segunda etapa, iremos calcular os valores lógicos da condicional completando, assim, a quarta coluna, indicada na cor roxa, que terá valor (F) apenas quando a proposição p for (V) e a proposição q for (F). Relembre a tabela verdade do conectivo condicional. condicional.
você já leu isso no tópico 1 - página 14 - Un3
relembre
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(
)
Podemos calcular também os valores lógicos da disjunção q ∨ r completando a quinta coluna, indicada na cor rosa, que terá valor (F) apenas quando as duas proposições q e r tiverem valor lógico (F). Relembre a tabela verdade do conectivo disjunção.
você já leu isso no tópico 1 - página 09 - Un3
relembre Teremos então:
p
q
r
p→q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
q
→
r
(p → q) ↔ (q ∨ r)
(
)
(
Finalmente, na última etapa vamos realizar a dupla implicação p → q ↔ q ∨ seja, na tabela devemos fazer a bicondicional entre a quarta e a quinta colunas.
r ) . Ou
O resultado será (V) apenas quando estas duas colunas tiverem o mesmo valor lógico. Relembre a tabela verdade do conectivo bicondicional.
você já leu isso no tópico 1 - página 12 - Un3
relembre
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Assim, chegamos ao resultado final:
p
q
r
p→q
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
duas proposições serão equivalentes quando tiverem exatamente a mesma tabela verdade
q
→
r
(p → q) ↔ (q ∨ r)
Proposições Equivalentes Construindo e comparando as tabelas verdade de duas proposições compostas P e Q podemos verificar se os valores lógicos das proposições componentes simples dessas proposições P e Q são iguais. Uma situação muito importante ocorre quando duas proposições P e Q são iguais para quaisquer valores lógicos de suas proposições componentes. Nesse caso, diremos que essas proposições P e Q são proposições equivalentes. Em outras palavras: duas proposições serão equivalentes quando tiverem exatamente a mesma tabela verdade. Veja que nos próximos dois exemplos isso ocorre. Preste bastante atenção!
importante Lembre-se sempre que você deverá usar a tabela verdade do conectivo presente na proposição composta para saber os valores lógicos das mesmas.
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exemplo
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EXEMPLO 3: Mostre que as proposições
( p → q ) e (~ q →~ p ) são proposições equivalentes.
Solução: Para mostrar que duas proposições são equivalentes, basta construir suas tabelas verdade. Se as tabelas forem iguais, então as proposições serão equivalentes. A tabela verdade da proposição p → q é dada por:
(
)
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A tabela verdade da proposição
(~ q →~ p ) é dada por:
p
q
~q
~p
~q → ~p
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Portanto, as proposições são de fato equivalentes. Isto significa dizer que a frase “Se Flávia é filha de Fernanda, então Érica é irmã de Flávia” é logicamente equivalente à frase “Se Érica não é irmã de Flávia, então Flávia não é filha de Fernanda”.
exemplo
EXEMPLO 4: Mostre que as proposições
~ ( p ∧ q)
e
(~
p∨ ~ q )
são proposições equivalentes.
Solução: Vamos construir as tabelas verdade destas duas proposições. A tabela verdade da proposição ~ p ∧ q é dada por:
(
)
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p
q
p∧q
~(p ∧ q)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
A tabela verdade da proposição
(~
p∨ ~ q )
é dada por:
p
q
~p
~q
~p ∨ ~q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
Portanto, as proposições são de fato equivalentes. Isso significa dizer que a forma correta de fazer a negação da frase “João é advogado e Maria é bonita” é a seguinte: “João não é advogado ou Maria não é bonita”. Essas duas equivalências lógicas estudadas nos dois últimos exemplos são muito importantes e utilizadas com bastante frequência na resolução de problemas de lógica em concursos públicos. Vamos ver mais?
exemplo
EXEMPLO 5: Se Vera viajou, Carla não foi ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: (a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. (b) Carla não foi ao casamento e Vera viajou. (c) Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou (d) Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou. (e) Vera e Vanderleia não viajaram. Solução: Não se deixe atrapalhar pelo enunciado, que até parece ser um pouco confuso. Apenas parece! Na realidade, não é nada confuso. Vamos isolar as proposições lógicas simples que aparecem no enunciado desta questão: p: Vera viajou. q: Carla não foi ao casamento. r: Vanderleia viajou. s: O navio afundou. Observe que todas as frases do enunciado são da forma condicional, ou seja, se premissa A então premissa B. Observe também que a única coisa que sabemos ao certo da leitura do enunciado é que o navio não afundou. Esta é a nossa verdade absoluta nesta questão. Portanto a proposição s tem valor lógico (F).
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Agora vamos utilizar a equivalência lógica demonstrada no exemplo 3. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Mas como temos certeza de que o navio não afundou, então concluímos que Vanderleia não viajou. Portanto, a proposição r tem valor lógico (F). Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Como temos certeza de que Vanderleia não viajou, então concluímos que Carla foi ao casamento. Portanto, a proposição q tem valor lógico (F). Se Vera viajou, Carla não foi ao casamento. Como temos certeza de que Carla foi ao casamento, então concluímos que Vera não viajou. Portanto a proposição p também tem valor lógico (F). Podemos concluir que: Vanderleia não viajou, Carla foi ao casamento, Vera não viajou e o navio não afundou. A resposta correta para a questão é a E. Viu como não é difícil?
exemplo
EXEMPLO 6: Dizer que não é verdade que “André é artista e Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: (a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. (b) André é artista ou Bernardo é engenheiro (c) André não é artista ou Bernardo é engenheiro. (d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. (e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Solução: Nesta questão queremos saber, na realidade, qual é a negação da afirmativa contida no enunciado. Vamos isolar as proposições lógicas simples contidas nele: p: André é artista. q: Bernardo é engenheiro. ~q: Bernardo não é engenheiro.: Logo, a proposição composta expressa no enunciado é a seguinte:
( p∧ ~ q ) .
Utilizando a equivalência lógica demonstrada no exemplo 4, sabemos que a negação da proposição p ∧ ~ q é logicamente equivalente a ~ p ∨ ~ ~ q , que é o mesmo que ~ p∨q.
(
)
(
)
Portanto, a negação de “André é artista e Bernardo não é engenheiro” é a frase “André não é artista ou Bernardo é engenheiro”.
importante
A resposta correta da questão é a C.
Sempre desmembre as proposições compostas, isolando as proposições simples, assim o que parecia confuso se torna simples.
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
exemplo
Raciocínio Lógico | UNISUAM
EXEMPLO 7: Se você simplifica o exercício, você acha a resposta. A negação desta proposição é: (a) Você simplifica o exercício e não acha a resposta. (b) Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta. (c) Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta. (d) Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta. Solução: Para resolver este problema, vamos novamente isolar as proposições lógicas simples que aparecem no enunciado da questão: p: Você simplifica o exercício. q: Você acha a resposta. Portanto, queremos encontrar uma equivalência lógica para a proposição tabela verdade é apresentada a seguir:
P
q
p→q
~ (p → q)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
~ ( p → q ) , cuja
Vamos expressar através de uma proposição cada uma das opções de resposta apresentadas. No item (a) temos a proposição “Você simplifica o exercício e não acha a resposta”, que é o mesmo que; p ∧ ~ q .
(
)
No item (b) temos a proposição “Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta”, que é o mesmo que: p →~ q .
(
)
No item (c) temos a proposição “Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta”, que é o mesmo que: ~ p →~ q .
(
)
No item (d) temos a proposição “Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta”, que é o mesmo que: ~ p ∧ ~ q .
(
)
Agora basta montarmos a tabela verdade destas proposições:
∧
~p ∧ ~q
p
q
~p
~q
p ∧ ~q
p → ~q
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
~p
~q
Observando atentamente as duas tabelas, concluímos que as proposições p ∧ ~ q são logicamente equivalentes.
(
)
~ ( p → q)
e
Portanto, a resposta correta para esta questão é a A. Espero que você tenha gostando de estudar tabela verdade!
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
T4
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PROBLEMAS DE CORRELAÇÃO Nesta aula iremos abordar problemas envolvendo o correlacionamento entre elementos de um mesmo universo, através da resolução de exercícios de correlação de nível fácil e intermediário. Vamos começar? Problemas de correlação são aqueles em que são prestadas informações de diferentes tipos, como: nomes, profissões, atividades, locais, cores, esposas etc. Nesse tipo de problema, devemos sempre procurar fazer a ligação, ou seja, a correlação entre os dados apresentados no conjunto de informações. Você saberá que está tentando resolver um exercício de correlação sempre que o problema pedir que identifique “quem usou o quê”, “quem foi aonde”, “quem estava com quem”, “de que cor era” etc. Vamos começar apresentando um método que pode ser utilizado para resolver problemas desse tipo. A explicação será feita através de um exemplo bem simples. Leia com atenção!
Problemas de correlação são aqueles em que são prestadas informações de diferentes
EXEMPLO 1: Três homens, Carlos, Bruno e José, são casados com Amanda, Eulina e Maria, mas não sabemos quem é casado com quem. Eles trabalham em Engenharia, Administração e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas informações a seguir, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão de cada um e o nome de suas esposas. 1. O médico é casado com Maria. 2. José é administrador de empresas. 3. Eulina não é casada com José. 4. Carlos não é médico. Bem, vamos iniciar a nossa tarefa! Resolução: Para facilitar a resolução deste tipo de problema, devemos incialmente construir uma tabela, passo a passo, contendo todas as informações. Neste caso os três grupos de informações são: homens, esposas e profissões. Escolha um dos grupos e coloque cada um de seus elementos em uma linha.
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
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Vamos escolher os nomes dos homens:
Carlos Bruno José Agora, o passo seguinte é criar uma coluna para cada elemento dos outros grupos, no caso as profissões e as esposas:
Médico
Engenheiro Administrador
Amanda
Eulina
Maria
Carlos Bruno José Por fim, toma-se o último grupo das colunas (neste caso, o das esposas) e cria-se uma linha para cada um de seus elementos, colocando-os abaixo da última linha:
Médico
Engenheiro Administrador
Amanda
Eulina
Maria
Carlos Bruno José Amanda Eulina Maria Observe ainda que os buracos na tabela representam regiões onde as informações seriam cruzadas com elas mesmas, o que é desnecessário. A próxima etapa consiste na construção da Tabela Gabarito, que não servirá apenas como gabarito; em alguns casos ela é fundamental para que se enxerguem as informações que não estão evidentes na tabela principal. Homens Carlos Bruno José
Profissões
Esposas
Achou complexo até aqui? Vamos em frente e você verá que é mais simples do que parece.
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Agora vamos cruzar as informações constantes no enunciado. Iniciamos a resolução marcando com S (sim) todas as afirmações que aparecem nas informações fornecidas no enunciado e preenchendo com N (não) as casas restantes da mesma linha e coluna onde cada S aparece. Utilizando as afirmações: (1) O médico é casado com Maria; e (2) José é administrador de empresas, teremos: Tabela principal:
Médico
Engenheiro Administrador
Carlos
N
Bruno
N
José
N
Amanda
N
Eulina
N
Maria
S
N
S
N
N
Tabela gabarito: Homens Carlos Bruno José
Profissões
Amanda
Eulina
Maria
Esposas
Administrador
Repare que as letras N colocadas do diagrama estão nos dizendo que: Do fato de José ser o administrador podemos concluir que ele não é médico, ele não é engenheiro, Bruno não é o administrador e Carlos também não é o administrador. A seguir marca-se com N as negações que aparecem nas dicas. Observe que temos as seguintes negações: (3) Eulina não é casada com José e (4) Carlos não é médico. Você deve prestar muita atenção, pois no caso das negações não se deve preencher com S as casas restantes das mesmas linhas e colunas onde cada N aparece. Isso ocorre porque o fato de Carlos não ser médico não nos permite afirmar que ele seja administrador ou engenheiro. Agora entramos na última etapa da resolução do problema e podemos deduzir por eliminação todas as correlações restantes. Se nem Carlos nem José são médicos, logo Bruno é o médico. Se Bruno é médico e José é administrador, então Carlos é engenheiro.
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Médico
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Engenheiro Administrador
Carlos
N
S
N
Bruno
S
N
N
José
N
N
S
Amanda
N
Eulina
N
Maria
S
N
N
Tabela gabarito: Homens Carlos Bruno José
Profissões Engenheiro Médico Administrador
Amanda
Eulina
Maria
N
Esposas
Observe que, se o médico é casado com Maria, então a tabela principal ficará assim:
Médico
Engenheiro Administrador
Carlos
N
S
N
Bruno
S
N
N
José
N
N
S
Amanda
N
Eulina
N
Maria
S
N
N
Tabela gabarito: Homens Carlos Bruno José
Profissões Engenheiro Médico Administrador
Amanda
Eulina
Maria N
N
N
S
N
N
Esposas Maria
Se José não é casado com Eulina nem Maria, logo José só pode ser casado com Amanda. Tabela gabarito: Homens Profissões Carlos Engenheiro Bruno Médico José Administrador
Esposas Maria Amanda
Só restou então para Carlos ser casado com Eulina. Tabela gabarito: Homens Carlos Bruno José
Profissões Engenheiro Médico Administrador
Esposas Eulina Maria Amanda
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E este é o formato final da tabela-gabarito. Agora já foram feitas todas as correlações. Percebeu como o método de resolução é realmente simples? Basta seguir os passos indicados, um de cada vez e sem pressa. No próximo tópico vamos estudar outros problemas envolvendo correlação de elementos. Mãos a obra!
T5
CONTINUANDO A RESOLVER PROBLEMAS DE CORRELAÇÃO Vamos praticar mais um pouco? A prática leva à perfeição!
exemplo
EXEMPLO 2: Jorge, Mauricio e Claudio são profissionais liberais. Um deles é arquiteto, outro é médico e outro é advogado. Seus escritórios estão localizados em diferentes andares de um mesmo edifício. Os nomes de suas secretárias são, não necessariamente nesta ordem, Ana, Cecília e Jane. Sabendo-se que: 1. O escritório do advogado está localizado no andar térreo; 2. Jane, ao invés de casar com seu chefe como a maioria das secretárias de fotonovelas, está noiva de Claudio e almoça com ele todos os dias na casa da sua futura sogra; 3. Todos os dias, Ana sobe para encontrar a secretária de Maurício, e então almoçam juntas no refeitório ao lado do escritório de Mauricio; 4. Ontem, Jorge mandou sua secretaria descer para entregar algumas gravuras ao arquiteto. A partir destes dados, determine a profissão e o nome da secretaria de cada um dos indivíduos. Resolução: Pelas informações, chegamos às conclusões: 1 - O Advogado está no térreo 2 - Jane não é secretária de Cláudio e não almoça com as colegas 3 - Ana almoça com a colega, que só pode ser Cecília, que é secretária de Maurício 4 - Jorge não é advogado nem arquiteto. Jorge é médico. 5 - Como Jorge mandou sua secretária descer e entregar gravuras ao arquiteto, este só pode estar no segundo andar e Jorge no terceiro.
Andar
Nomes
Profissão
3º
Jorge
Médico
2º
Arquiteto
Térreo
Advogado
Secretária
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
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6 - Pela conclusão 3, sabemos que Ana trabalha no térreo e que o arquiteto é Mauricio, cuja secretária é Cecília
Andar
Nomes
Profissão
3º
Jorge
Médico
2º
Mauricio
Arquiteto
Cecília
Advogado
Ana
Térreo
Secretária
7- O advogado só pode ser Claudio e a secretária de Jorge é Jane
Andar
Nomes
Profissão
Secretária
3º
Jorge
Médico
Jane
2º
Mauricio
Arquiteto
Cecília
Térreo
Cláudio
Advogado
Ana
exemplo
EXEMPLO 3: Um funcionário de uma seção da Procuradoria de Justiça foi incumbido de colocar nas cinco prateleiras de um armário cinco tipos de documentos, distintos entre si. Para tal, recebeu as seguintes instruções: • em cada prateleira, deverá ficar apenas um tipo de documento. • os processos a serem examinados deverão ficar em uma prateleira que fica acima da prateleira dos impressos em branco e imediatamente abaixo da prateleira de relatórios técnicos. • os registros financeiros deverão ficar em uma prateleira acima da prateleira de correspondências recebidas, que, por sua vez, deverão ficar na prateleira imediatamente abaixo da prateleira dos processos a serem encaminhados. Se o funcionário conseguir cumprir todas as instruções recebidas, então na prateleira mais alta, deverão ficar: (a) os processos a serem encaminhados. (b) as correspondências recebidas. (c) os registros financeiros. (d) os relatórios técnicos. (e) os impressos em branco. Resolução: Inicialmente vamos registrar as informações passadas no enunciado. Podemos identificar cinco tipos de documentos: • Processos • Relatórios Técnicos • Correspondências recebidas • Documentos em branco • Registros financeiros
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
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Também podemos identificar que: 1. Processos devem ficar acima de documentos em branco 2. Processos devem ficar imediatamente abaixo de relatórios técnicos 3. Registros financeiros devem ficar acima de correspondências recebidas 4. Correspondências recebidas devem ficar imediatamente abaixo de processos Olhando apenas para as sentenças (2) e (4), vemos que os Relatórios, Processos e Correspondências devem aparecer em prateleiras consecutivas, exatamente nesta ordem, de cima para baixo. Vamos analisar as possibilidades em uma tabela: P5 P4 P3 P2 P1
POSSIBILIDADE I Relatórios Processos Correspondências
POSSIBILIDADE II Relatórios Processos Correspondências
POSSIBILIDADE III
Relatórios Processos Correspondências
O próximo passo a ser dado é utilizar as informações referentes aos documentos em branco e registros financeiros para decidir qual das três possibilidades é a correta. Você consegue fazer isto? Tente! Só depois olhe a continuação... Continuação da resolução... Pela sentença (1) sabemos que os processos devem estar acima dos documentos em branco. Portanto, a possibilidade III deve ser descartada. Pela sentença (3) sabemos que os registros financeiros devem estar acima das correspondências recebidas. Portanto, a possibilidade I também deve ser descartada. Portanto, a possibilidade correta é a de número II. POSSIBILIDADE II P5 P4 P3 P2 P1
Relatórios Processos Correspondências
Com base nas sentenças (1) e (3), completamos a tabela com os registros financeiros na prateleira P5 e os documentos em branco na prateleira P1. Logo: P5 P4 P3 P2 P1
Registros financeiros Relatórios técnicos Processos Correspondências recebidas Documentos em branco
Portanto, conseguimos concluir que na prateleira mais alta deverão ficar os registros financeiros. A resposta correta é a letra C.
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
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Viu como as coisas não são tão difíceis!? Se você entendeu bem a resolução do problema das prateleiras, está na hora de tentar fazer sozinho o próximo problema. Se encontrar alguma dificuldade, pare e leia novamente a resolução do problema anterior. Só olhe a resposta depois de ter concluído a sua resolução. Vamos lá!
exemplo
EXEMPLO 4: Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Essa divisão deve ser feita de modo que: • Cada grupo possua no mínimo 2 pessoas e no máximo 3 pessoas. • Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo. • Beatriz, Arnaldo e Carlos não podem ficar no mesmo grupo de Geraldo. • Beatriz deve ficar no mesmo grupo de Flávio. • Carlos e Beatriz não podem ficar no mesmo grupo. Então, estarão necessariamente no mesmo grupo: (a) Arnaldo e Carlos. (b) Arnaldo e Douglas. (c) Carlos e Flávio. (d) Edna e Geraldo (e) Flávio e Geraldo. Agora é com você, tente resolver! Não vale olhar a resolução antes de tentar resolver, ok? Resolução: Observando as informações existentes no enunciado, podemos chegar a dois tipos de conclusão: I) Edna e Arnaldo têm que ficar no mesmo grupo Beatriz e Flávio têm que ficar no mesmo grupo II) Beatriz e Geraldo devem ficar em grupos diferentes Arnaldo e Geraldo devem ficar em grupos diferentes Carlos e Geraldo devem ficar em grupos diferentes Carlos e Beatriz devem ficar em grupos diferentes Para facilitar o nosso trabalho vamos representar estas informações em uma tabela, simbolizando cada pessoa pela letra inicial de seu nome. Como Edna e Arnaldo devem estar no mesmo grupo, Beatriz e Flávio também devem estar no mesmo grupo e o grupo pode ter no máximo 3 pessoas, concluímos que: GRUPO I A E
GRUPO II B F
GRUPO III
Observe agora que Geraldo não pode ficar no mesmo grupo de Arnaldo e nem no mesmo grupo de Beatriz. Portanto, ele deve estar no terceiro grupo:
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Álgebra de proposições e problemas de correlação
GRUPO I A E
GRUPO II B F
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GRUPO III G
Como o número mínimo de pessoas em cada grupo é de duas, deve haver mais alguém formando o grupo III com Geraldo. Mas Geraldo não pode estar no mesmo grupo de Carlos; logo, só sobra Douglas para completar o grupo de Geraldo. GRUPO I A E
GRUPO II B F
GRUPO III G D
Para completar a tabela, precisamos agora colocar Carlos em um dos grupos. Lembre-se de que Carlos não pode ficar no mesmo grupo de Geraldo nem no de Beatriz. Portanto, Carlos tem que ser colocado no grupo II. O formato final da tabela, então, é o seguinte: GRUPO I A E C
GRUPO II B F
GRUPO III G D
Analisando as alternativas da questão, podemos verificar que a resposta correta é a letra A. Podemos afirmar que Arnaldo e Carlos ficarão sempre no mesmo grupo.
Com isso terminamos nossa aula. Espero que você tenha gostado de aprender sobre correlação de elementos.
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