9789612416546

a. co m

ar n

PLANUMNOVUM NOVUM Matematika za gimnazije

kn

jig

Gregor Pavlič Dušan Kavka Marina Rugelj Janez Šparovec

uvodne planum novum.indd 1

07/01/2020 11:15

PLANUM NOVUM Matematika za gimnazije

a. co m

Avtorji Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec Recenzenta dr. Marjan Jerman, Hanka Lebič Urednica Simona Knez

Lektorici Renata Vrčkovnik, Aleksandra Kocmut Ilustracije Darko Simeršek

Fotografije Arhiv založbe Modrijan, Gregor Pavlič, Marina Rugelj, Janez Šparovec Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik Prelom Goran Čurčič

ar n

Izdala in založila Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Za založbo Matic Jurkošek Tisk Cicero, d. o. o.

Naklada 1000 izvodov Ljubljana 2020 Druga izdaja

jig

Strokovni svet RS za splošno izobraževanje je na seji dne 24. 9. 2012 s sklepom št. 6130-1/2012/122 potrdil učbenik PLANUM NOVUM, matematika za 2. letnik gimnazij, ki so ga napisali Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj in Janez Šparovec.

Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane.

kn

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki.

Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

uvodne planum novum.indd 2

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(0.75)3 CIPPLANUM novum : matematika za gimnazije / Gregor Pavlič … [et al.] ; [ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan … et al.]. – 2. izd., – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020 ISBN 978-961-7070-59-0 1. Pavlič, Gregor, 1954– COBISS.SI-ID 302656512

07/01/2020 11:15

GEOMETRIJA V RAVNINI

a. co m

KAZALO 6

Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Skladnost in merjenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Vzporednost in pravokotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Krožnica, krog, lok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Štirikotnik in pravilni n-kotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

KOTNE FUNKCIJE

66

ar n

Kotne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Razširitev pojma kotne funkcije za kote do polnega kota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Modeliranje s kotnimi funkcijami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Točka, premica in ravnina v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

VEKTORSKI RAČUN

94

jig

Definicija vektorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Seštevanje in odštevanje vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Množenje vektorja s številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Odvisni in neodvisni vektorji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Skalarno množenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Vektorsko množenje (izbirna vsebina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Enačba premice (izbirna vsebina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Enačba ravnine (izbirna vsebina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

kn

POTENCE IN KORENI

140

Potence z racionalnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Koreni poljubnih stopenj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Iracionalne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

FUNKCIJA

158

Funkcija in njene lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Transformacije funkcij – 1. del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Potenčne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

uvodne planum novum.indd 3

3.7.2012 13:50:44

a. co m

Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Korenske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Transformacije funkcij – 2. del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Modeliranje s potenčno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Modeliranje s kvadratno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

KOMPLEKSNA ŠTEVILA

224

Množica kompleksnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Računanje s kompleksnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA

244

ar n

Eksponentna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Eksponentna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Logaritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Pravila za računanje logaritmov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Logaritemska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Logaritemska enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Prehod k novi osnovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Modeliranje z eksponentno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Modeliranje z logaritemsko funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Za radovedne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

288

kn

jig

REŠITVE

uvodne planum novum.indd 4

3.7.2012 13:50:45

a. co m

UVOD Učbenik Planum novum, prenovljen in posodobljen učbenik Planum, ki so ga dijaki in profesorji matematike uporabljali že več kot deset let, po obliki in

zasnovi sledi Linei novi. Odlikujejo ga torej zgodovinski uvodi, dobro strukturirana poglavja, označene posebne vsebine, rubrika »ne pozabi«. Zaradi obravnave vrste elementarnih funkcij, ki jih predvideva učni načrt, je v učbe-

niku še več modeliranja, medpredmetnih povezav ter uporabe računalnika in grafičnega računala.

Vsako poglavje je opremljeno s primernim številom rešenih zgledov in kopico raznovrstnih nalog z rešitvami na koncu učbenika, tako da posebna zbirka vaj

ar n

ni potrebna. Pri nekaj poglavjih so dodane izbirne vsebine in nekaj primerov

kn

jig

»za radovedne«.

Legend Legenda:

zgledi

naloge

posebna in izbirna znanja

1. 1. težje naloge in zgledi

uvodne planum novum.indd 5

3.7.2012 13:50:45

06_poglavje_delovna.fm Page 6 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

6

PLANUM NOVUM

GEOMETRIJA V RAVNINI

Večina najstarejših civilizacij je nastala ob velikih rekah: kitajska civilizacija ob Rumeni reki, indijska ob Putri in Gangesu, mezopotamska ob Evfratu in Tigrisu ter egipčanska ob Nilu.

ar n

Mezopotamija je bila dežela med dvema rekama, Evfratom in Tigrisom. To pove že njeno ime, ki je sestavljeno iz grških besed mesos – srednji in potamos – reka.

Osnovni pojmi Skladnost in merjenje Vzporednost in pravokotnost Trikotnik Krožnica, krog, lok Štirikotnik in pravilni n-kotnik Podobnost

a. co m

– – – – – – –

Na zelo veliko popisanih glinastih ploščicah, ki so jih arheologi izkopali izpod ruševin starodavnih mest, vidimo, da so Babilonci poznali formule za računanje ploščine pravokotnika, trikotnika in trapeza, prostornino kocke, valja in celo prisekane piramide. Poznali so izrek, ki mu danes rečemo Pitagorov. Tudi njihovo znanje aritmetike in algebre je bilo na visoki ravni.

jig

Podobno je sestavljeno ime slovenskega kraja Medvode.

Iz zgodovinskih virov lahko razberemo, da je bila geometrija v tistih časih precej cenjena veda. O kitajski in indijski geometriji ne vemo skoraj ničesar, saj se zapisi na palmovih listih zaradi vlažnega podnebja niso ohranili.

Mnogo bolj zgovorni so babilonski zapisi na glinastih ploščicah in egipčanski papirusi.

kn

V Egiptu se je ohranilo okoli 80 piramid. Najznamenitejše so tri v Gizah pri Kairu, največja med njimi je Keopsova.

Visoka je kar 147 metrov, njen osnovni rob pa meri 230 metrov, tako da pokriva nekaj več kot 5 hektarov puščave. Zgradili so jo iz približno 2 300 000 kamnitih blokov, ki so jih pripeljali po Nilu iz več kot 1000 kilometrov oddaljenega kamnoloma.

Povprečna teža posameznega kamnitega bloka je kar 2300 kilogramov.

06_poglavje_delovna.fm Page 7 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

Geometrija v ravnini

Uporabljali so tabele za šestdesetiško poštevanko, tabele korenov, obratnih vrednosti naravnih števil, znali so reševati sisteme linearnih enačb …

Slika prikazuje eno izmed več kot 50 000 ploščic, izkopanih pri Nipurju. Skrivnostne zapise je razvozlal angleški diplomat in asiriolog Henry Creswicke Rawlinson (1810–1895).

a. co m

Glinaste tablice s klinopisi so našli arheologi pri izkopavanjih starodavnih mest Ur, Babilon, Nipur …

Nekaj ploščic se je ohranilo iz starega sumerskega obdobja (okoli 2100 pr. Kr.), večina pa iz časa vladavine kraljev Hamurabija (okoli 1700 pr. Kr.) in Nebukadnezarja (okoli 600 pr. Kr.).

7

Zelo podobno sliko o staroegipčanski matematiki nam kažeta dva ohranjena papirusa: Moskovski papirus (ker ga hranijo v Moskvi) iz leta 1859 pr. Kr. in približno četrt stoletja mlajši Rhindov papirus.

ar n

Stari Egipčani se z geometrijo niso ukvarjali znanstveno. Bila je izrazito praktične narave. Ne smemo pa podcenjevati njihovega znanja, saj sicer ne bi mogli graditi tako veličastnih piramid in svetišč.

jig

Elementi se niso ohranili v originalu, ampak v mnogo prepisih. Slika prikazuje prvo tiskano izdajo v latinskem jeziku, ki je izšla v Benetkah leta 1482.

kn

Tisočletni razvoj praktične geometrije so z znanstvenim pristopom kronali starogrški matematiki. Grški učenjaki so v geometriji videli mnogo več kot le spisek navodil za računanje ploščin in prostornin. Spraševali so se zakaj in kako, postavljali so hipoteze in se šli prave raziskovalce. Prvi med njimi je Tales iz Mileta, ki je s svojih trgovskih potovanj po Mali Aziji in Egiptu prinesel znanje geometrije v Grčijo. Drugi najpomembnejši človek starogrške matematike, Evklid, je obsežno geometrijsko znanje še dopolnil in objavil v 13 zvezkih knjige Elementi (Stoicheia). Geometrijo je postavil na aksiomatske temelje, ki so vzdržali celih 2200 let (evklidska geometrija). 19. stoletje je bilo za matematiko revolucionarno v bolj natančnem razumevanju geometrije ter po logičnih in aksiomatičnih metodah. Postalo je očitno, da je Evklidov aksiomski sistem nekonsistenten in ne ustreza več novim standardom. David Hilbert je v knjigi Grunladen der Geometrie (Osnove geometrije) leta 1908 postavil nov sistem aksiomov in jih uredil v pet skupin.

V oljčnem gaju blizu Aten je Platon, kar pomeni plečati – tako so ga klicali zaradi širokih ramen, sicer pa mu je bilo ime Aristokles – ustanovil filozofsko šolo, imenovano Akademija. Nad vhodnimi vrati je pisalo »Naj ne vstopa, kdor ne zna geometrije«.

Geometrija je bila poleg glasbe, astronomije in aritmetike del kvadrivija, ki je skupaj s trivijem (gramatika, retorika in filozofija) še v srednjem veku tvoril osnovo klasične izobrazbe ali sedem svobodnih umetnosti oz. znanosti (septem artes liberales).

Tales (ok. 600 pr. Kr.)

06_poglavje_delovna.fm Page 8 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

8

PLANUM NOVUM

S tem pa ni rečeno, da se v vmesnem času geometrija ni razvijala. Omeniti je treba nekaj ključnih dogodkov.

a. co m

• V prvi polovici 17. stol. sta francoska matematika René Descartes in Pierre de Fermat postavila temelje analitični geometriji, pri kateri točko v koordinatnem sistemu v ravnini zapišemo z urejenim parom koordinat, krivuljo pa z enačbo.

• V 18. stol. sta Gaspard Monge in Leonhard Euler z uporabo infinitezimalnega računa v analitični geometriji ustvarila novo samostojno diferencialno geometrijo.

• V začetku 19. stol. se je z bliskovitim razvojem algebre in analize predvsem po zaslugi Jeana-Victorja Ponceleta razvila projektivna geometrija, ki se ukvarja z lastnostmi, ki pri projiciranju ostanejo nespremenjene.

jig

ar n

Čeprav je pet aksiomov Evklidove geometrije trdno veljalo, so se matematiki zelo zgodaj začeli spraševati, ali je mogoče 5. aksiom oz. aksiom o vzporednici dokazati ali kako drugače nadomestiti. Prvi so poskusili arabski matematik Ibn al Haitan v 11. stol. in Perzijca Omara Khajam (12. stol.) in Nasi al Din al Tusi (13. stol.). Zelo resno sta se s tem vprašanjem ukvarjala tudi italijanski matematik Giovanni Girolamo Saccheri in Nemec Johann Heinrich Lambert (18. stol.).

kn

Evklid (ok. 300 pr. Kr.)

Leonhard Euler (1707–1783)

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

06_poglavje_delovna.fm Page 9 Friday, March 29, 2013 8:58 AM

Geometrija v ravnini

9

a. co m

Njihovo delo je precej pripomoglo k odkritju neevklidskih geometrij, ko so 5. aksiom enostavno opustili in iskali modele, ki bi ustrezali ostalim aksiomom. Okoli leta 1839 sta madžarski matematik Janos Bolyai in ruski matematik Nikolaj Ivanovič Lobačevski neodvisno drug od drugega objavila razpravi o hiperbolični geometriji. Zelo poenostavljeno rečeno, v tej geometriji lahko vsaki premici poiščemo neskončno mnogo vzporednic. Kasneje se je izkazalo, da je do skoraj enake ugotovitve že 20 let prej prišel Gauss, vendar svoje zamisli ni objavil.

jig

ar n

Leta 1854 je Bernhard Riemann v znamenitem predavanju predstavil primer eliptične geometrije (t. i. Riemannovo geometrijo). Za razliko od hiperbolične je njen model površje krogle in premici skozi zunanjo točko ne moremo najti nobene vzporednice. Premice v tej geometriji so namreč glavni krogelni krogi (krogi, ki imajo središče v središču krogle) in so enolično določeni z dvema različnima točkama na sferi. Ta model je zanimiv tudi zaradi enostavne praktične uporabe: najkrajša razdalja med krajema na Zemlji je ravno lok med tema točkama na glavnem krogelnem krogu, kar so takoj s pridom uporabili kapitani ladij in letal.

kn

Bernhard Riemann (1826–1866)

David Hilbert (1862–1943)

Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792–1856)

06_poglavje_delovna.fm Page 10 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

10

PLANUM NOVUM

Osnovni pojmi

Tem trditvam sledijo aksiomi ali temeljne resnice, ki jih ne dokazujemo, ampak jih privzamemo kot veljavne hipoteze.

Za aksiomi so na vrsti izreki, ki jih lahko dokažemo z aksiomi in že dokazanimi izreki.

Geometrijsko zgradbo dopolnjujejo definicije. To so opisi novih pojmov in določenih lastnosti.

Osnovne geometrijske pojme opišemo tako, da jim predpišemo lastnosti in odnose, ki naj veljajo med njimi, materialno pa jih lahko predstavimo z bolj ali manj posrečenimi modeli.

Ker za resno spoznavanje Hilbertovega aksiomskega sistema ni dovolj časa, si bomo kot primer bolj natančno ogledali le tri aksiome prve skupine. To so aksiomi lege in povezave ali incidenčni aksiomi.

ar n

Izraz kolinearen je latinskega izvora.

Linea latinsko pomeni črta in cum skupaj.

Evklid je na začetek prvega zvezka Elementov postavil 23 »opredelitev« temeljnih geometrijskih pojmov. Med njimi so: • Točka je tisto, kar nima delov.

• Črta je dolžina brez širine.

• Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino.

a. co m

Geometrijske pojme razdelimo v dve skupini. V prvi so točka, premica, ravnina, daljica, kot …, v drugi pa so odnosi oz. relacije, na primer pripadati, sekati, biti vzporeden, skladen, ležati med …

Pri sprehodu skozi elementarno geometrijo se ne bomo držali stroge aksiomatične poti, vseeno pa bomo našteli nekaj pomembnih aksiomov, izrekov in definicij.

jig

Definicija: Incidenca je relacija, ki povezuje točko in premico – premica in točka sta v relaciji, če točka leži na premici; A R p, če A Œp.

Aksiom 1: Za dve različni točki A in B obstaja natanko določena premica p, tako da točki A in B ležita na njej.

Aksiom 2: Za vsako premico p obstajata vsaj dve različni točki P in Q, ki ležita na njej.

Aksiom 3: Obstajajo tri različne točke, ki ne ležijo hkrati na isti premici.

kn

Model točke je npr. mušji kakec na okenskem steklu ali krog polmera 25 m, ki ga iz zraka vidi padalec v skokih na cilj.

Premico lahko ponazorimo z laserskim žarkom, ravnino pa z mirno jezersko gladino.

ZGLED

Veljavnost te »mini teorije« bomo preverili na treh modelih.

Model 1: Točke A, B, C in premice (A, B), (A, C), (B, C).

Vsi trije aksiomi so očitno izpolnjeni, zato je model veljaven.

Model 2: Točke A, B, C in premica (A, B, C).

Izpolnjena sta prva dva aksioma, tretji pa ne, ker vse tri točke ležijo na isti premici, zato model ni veljaven.

Model 3: Točke A, B, C in premici (A, B), (A, C).

Tudi ta model ni veljaven, ker ni izpolnjen 1. aksiom. Ne obstaja premica skozi točki B in C.

06_poglavje_delovna.fm Page 11 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

Geometrija v ravnini

Definicija: Točke A1, A2, A3, …, ki ležijo na isti premici, so kolinearne, če ne ležijo na isti premici, pa so nekolinearne.

OZNAKE • točk: A, B, C, D, E, O, V …, • premic: p, q, s, t …, • ravnin: F, P, W …

a. co m

Točke A, B in C so kolinearne, točke A, B in D pa nekolinearne.

11

Izrek: Dve različni premici imata lahko največ eno skupno točko. Če bi imeli premici dve različni skupni točki, bi po prvem aksiomu sovpadali, in ne bi bili različni, kot pravi trditev.

Definicije: Premici, ki imata natanko eno skupno točko, se sekata. Skupno točko imenujemo presečišče premic.

Premici, ki ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali ki sovpadata, sta vzporedni.

Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, ena vedno leži med drugima dvema.

ar n

Aksiom: Če sta A in B različni točki premice p, potem na premici p ležita vsaj še točki C in D, in sicer C leži med A in B, D pa tako, da je C med A in D. Iz zadnjega aksioma sledi pomembna ugotovitev:

Izrek: Med dvema različnima točkama premice je neskončno mnogo točk.

jig

Ker je med dvema točkama vsaj še ena, so na premici vsaj tri točke. Med vsakima dvema točkama pa je spet vsaj še ena … Zato procesa tvorjenja vedno novih točk ne moremo nikoli dokončati.

kn

Definicije: Množica točk premice, ki ležijo med različnima točkama A in B, vključno z A in B, je daljica AB. Točki A in B sta njeni krajišči.

Poljubna točka razdeli premico na dva poltraka. Po dogovoru je pozitivni poltrak množica točk na desni strani ali nad izbrano točko, vključno s to točko, ki jo imenujemo izhodišče in označimo z O. Premica, na kateri leži daljica oz. poltrak, je nosilka daljice oz. poltraka.

Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. Točki A in B ležita na isti polravnini, če daljica AB ne seka roba polravnine.

Pri učenju geometrije se bomo ukvarjali z enostavnimi liki.

Definicija: Enostavni lik je množica točk v ravnini, ki jo omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne seka.

06_poglavje_delovna.fm Page 12 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

12 M je konveksna, če velja " A, B Œ M fi AB à M.

PLANUM NOVUM

Definicija: Množica točk v ravnini je konveksna, če za poljubni točki A in B iz te množice velja, da je daljica AB njena podmnožica.

ZGLED

a. co m

Množice (b), (f) in (g) so konveksne, množice (a), (c), (d) in (e) pa nekonveksne. (a)

(d)

OZNAČEVANJE KOTOV

(e)

(f)

(g)

zunanjost kota

notranjost kota

k, h – kraka V – vrh

Definicije: Če poltraka s skupnim izhodiščem ležita na isti premici, vendar na različnih straneh izhodišča, določata dva enaka konveksna – iztegnjena kota. Če se poltraka na isti premici pokrivata, določata polni kot (en krak je vmes obkrožil vrh kota) ali ničelni kot (notranjost kota je prazna).

kn

jig

Ko se divje gosi selijo s severa na jug, letijo visoko v obliki črke V ali v ostrem kotu. Ko ptica zamahne s krili, ustvari vzgonski veter za tisto, ki ji sledi. S takim načinom letenja celotna jata gosi leti 70 % hitreje, kakor če bi letele samostojno.

(c)

Definicija: Dva poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen.

ar n

• (h, k); s poltrakoma h in k, ki določata kot • AVB; s točko A na enem poltraku, vrhom V in točko B na drugem poltraku • a, b, g, d …; z grškimi črkami

(b)

iztegnjeni kot

polni kot

ničelni kot

06_poglavje_delovna.fm Page 13 Tuesday, July 3, 2012 9:15 PM

Geometrija v ravnini

13

a. co m

Definiciji: Kota s skupnim vrhom, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota. Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, ležita na isti premici, sta sokota.

Definicije: Tri nekolinearne točke A, B in C določajo trikotnik ABC. Točke A, B, C so oglišča trikotnika, daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti BAC, ACB in CBA so notranji koti trikotnika ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika.

Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri vrtenja urnega kazalca, če si sledijo v smeri vrtenja urnega kazalca, je negativno orientiran.

ar n

Definicije: Točke A1, A2, …, An v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne ležijo na isti premici, določajo n-kotnik. Točke A1, A2, …, An so oglišča n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni oglišči A1 A2, …, An A1, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo po dve nesosedni oglišči, pa diagonale n-kotnika.

kn

jig

Če za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala oglišča ležijo na isti polravnini te nosilke, je n-kotnik konveksen.

BAC = a CBA = b ACB = g

 n – 3 Poljuben n-kotnik ima n----------------2 diagonal (iz vsakega od n oglišč gre n - 3 diagonal, vsaka pa je šteta dvakrat).

06_poglavje_delovna.fm Page 14 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

14

PLANUM NOVUM

ZGLEDI 1. Izračunajmo število diagonal 10-kotnika.

a. co m

 10 – 3 - = 5 ◊ 7 = 35 ----------------------N = 10 2 10-kotnik ima 35 diagonal.

2. Ali lahko iz števila diagonal večkotnika ugotovimo, za kateri n-kotnik gre?

Naj ima n-kotnik 14 diagonal.

 n – 3 14 = n----------------2 2 14 ◊ 2 = n - 3n 2 n - 3n - 28 = 0 (n - 7)(n + 4) = 0 Iz razcepa razberemo, da je to lahko le 7-kotnik.

3. Ali obstaja tak n-kotnik, ki ima enako število diagonal kot stranic?

NALOGE

ar n

 n – 3 - n = n----------------2 2 n - 5n = 0 n(n - 5) = 0 Večkotnik s to lastnostjo je 5-kotnik.

jig

1. V ravnini narišite tri različne točke A, B in C, nato narišite vse različne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani točki. Koliko različnih premic ste narisali? Glede na število narisanih premic poiščite vse različne možnosti.

kn

2. V ravnini narišite štiri različne točke A, B, C in D, nato narišite vse različne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani točki. Koliko različnih premic ste narisali? Glede na število narisanih premic poiščite vse različne možnosti.

3. V ravnini narišite tri različne premice p, q in r.

Koliko presečišč lahko določajo? Narišite vse različne primere.

4. Narišite tri nekolinearne točke A, B in C. a) Narišite vse različne daljice, ki jih določajo te točke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic? b) Narišite poltrake, ki imajo eno od danih točk za izhodišče ter potekajo skozi eno od drugih dveh točk. Nato k narisanim poltrakom narišite še dopolnilne poltrake.

5. Narišite tri različne kolinearne točke A, B in C (točka B je med točkama A in C). a) Narišite in zapišite vse različne daljice, ki jih določajo dane točke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic? b) Narišite poltrake k, h, l in m, ki imajo eno od danih točk za izhodišče ter potekajo vsaj skozi eno od drugih dveh točk.

06_poglavje_delovna.fm Page 15 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

Geometrija v ravnini

6. Ugotovite, katere množice so konveksne. (a)

(b)

(č)

(c)

11. Izračunajte n, če ima n-kotnik 20 diagonal.

12. Za kateri n-kotnik je trikratnik števila stranic za 4 večji od števila diagonal?

a. co m

(g) (f)

9. Izračunajte, kateri n-kotnik ima 44 diagonal.

10. Izračunajte, kateri n-kotnik ima 65 diagonal.

(e)

(d)

7. V ravnini so dane tri različne točke A, B in C. Narišite najmanjšo konveksno množico, ki vsebuje dane točke. Koliko različnih možnosti imate? Narišite jih.

13. Kateri n-kotnik ima trikrat toliko diagonal kot stranic?

14. Od katerega n naprej imajo n-kotniki večje število diagonal kot stranic?

jig

ar n

8. Izračunajte število diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika.

kn

15

06_poglavje_delovna.fm Page 16 Monday, July 2, 2012 7:08 PM

16

PLANUM NOVUM

Skladnost in merjenje

a. co m

V tem podpoglavju bomo nadaljevali spoznavanje aksiomov in v geometrijo vpeljali števila. Začeli bomo z definicijo skladnosti.

Definicija: Dva lika L in L1 sta skladna, če lahko lik L prenesemo na lik L1 tako, da se popolnoma prekrijeta. Znak za skladnost je @.

Definicija: Kot, ki je skladen s svojim sokotom, je pravi kot. Če si kraka sledita v nasprotni smeri vrtenja urnega kazalca, je orientacija kota pozitivna, če si sledita v smeri vrtenja urnega kazalca, pa je orientacija negativna.

Po prvem delu, v katerem smo govorili o skladnosti, bomo v geometrijo vpeljali realna števila.

Dve daljici AB in CD, ki nista skladni, lahko premaknemo na poljubni premici v tako lego, da levi krajišči sovpadata in da eno od obeh desnih krajišč, npr. D, leži med A in B. V tem primeru je daljica AB daljša od daljice CD oz. je daljica CD krajša od daljice AB. Za taki dve daljici Arhimedov aksiom pravi, da obstaja tako naravno število n, pri katerem je vsota n krajših daljic CD daljša od daljice AB, vsota n - 1 krajših daljic CD pa je kvečjemu skladna daljici AB.

ar n

Skladnost v množici ravninskih likov je ekvivalenčna relacija, saj je 1.refleksivna: L @ L (vsaka množica je skladna sama s seboj); 2.simetrična: če je L1 @ L2, je tudi L2 @ L1 (če je prva množica skladna z drugo, je tudi druga skladna s prvo); 3.tranzitivna: če je L1 @ L2 in L2 @ L3, je tudi L1 @ L3 (če je prva množica skladna z drugo in druga skladna s tretjo, je tudi prva množica skladna s tretjo množico).

jig

Ostri kot je manjši od pravega kota.

kn

Topi kot je manjši od iztegnjenega in večji od pravega kota

n ◊ |CD| > |AB| (n - 1) ◊ |CD| £ |AB|

Na daljico AB lahko položimo vsoto (n - 1) daljic CD. Pri tem desno krajišče lahko sovpade s krajiščem B in je postopek merjenja končan. Če del daljice AB ostane nepokrit, daljico CD razdelimo na deset delov in z desetino pokrivamo ostanek. Spet se lahko zgodi, da je ostanek s temi desetinami daljice CD popolnoma pokrit, če ni, razdelimo desetino daljice CD na 10 delov in s stotino daljice CD pokrivamo novi ostanek. Ta postopek se lahko konča v končno mnogo korakih ali pa se nadaljuje v neskončno. Z vsakim korakom dobimo bolj natančno vrednost (na desetinko, stotinko, tisočinko … enote).

Daljico CD, s katero smo izmerili daljico AB, imenujemo enotska daljica.

Z opisanim merjenjem daljici AB priredimo natančno določeno število – dolžino daljice AB ali tudi razdaljo točk A in B: |AB|= d(A, B) Izreka: Skladni daljici imata enako dolžino.

Dolžina vsote daljic je enaka vsoti dolžin posameznih daljic.

06_poglavje_delovna.fm Page 17 Thursday, March 28, 2013 8:55 PM

Geometrija v ravnini

Osnovna enota za dolžino je meter, iz nje izpeljane enote pa so decimeter, centimeter, milimeter, kilometer itd.

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 km = 1000 m

17 Izrazi deci-, centi-, mili- zapored pomenijo desetina, stotina, tisočina in so latinskega izvora.

Izraz kilo- pomeni tisoč in je grškega izvora.

1 - polnega kota.

Enota za merjenje kotov je kotna stopinja – to je -------360

a. co m

Iz nje izpeljani enoti sta (kotna) minuta in (kotna) sekunda.

180° = 179° 60⬘ = 179° 59⬘ 60⬙

1° = 60⬘ = 3600⬙

Definicija: Kota a in b, katerih vsota meri 180°, sta suplementarna. Kota g in d, katerih vsota meri 90°, sta komplementarna. Sokota sta vedno suplementarna kota.

ZGLEDI

1. Kot j = 76° 36⬘ 53⬙ zapišimo v stopinjah na štiri mesta natančno, kot a = 34ᠨ78° pa v stopinjah, minutah in sekundah.

ar n

53 - = 76ᠨ61° ------ + ----------j = 76 + 36 60 3600 a = 34ᠨ78° = 34° 46⬘ 48⬙, ker je 0ᠨ78° ◊ 60 = 46ᠨ8⬘ in 0ᠨ8⬘ ◊ 60 = 48⬙

2. Kotu a = 37° 16⬘ 43⬙ izračunajmo suplementarni in komplementarni kot. a + a⬘ = 180°, zato je a⬘ = 179° 59⬘ 60⬙ - 37° 16⬘ 43⬙ = 142° 43⬘ 17⬙

jig

a + b = 90°, zato je b = 89° 59⬘ 60⬙ - 37° 16⬘ 43⬙ = 52° 43⬘ 17⬙

3. Razlika dveh komplementarnih kotov je 37° 16⬘. Izračunajmo, koliko merita oba kota.

kn

Iz podatkov sledi a - b = 37° 16¢, iz definicije pa a + b = 90°. To je sistem linearnih enačb z dvema neznankama. Če enačbi seštejemo, dobimo dvojno vrednost kota a, če odštejemo prvo od druge, pa dobimo dvojno vrednost kota b: 2a = 127° 16¢, 2b = 89° 60¢ - 37° 16¢ = 62° 44¢ in rešitev a = 63° 38¢, b = 26° 22¢.

4. Izračunajmo neznani kot x.

Vsota kotov predstavlja polni kot, ki meri 360°, zato neznani kot meri: x = 360° - 160° - 50° - 90° = 60°

g + d = 90° Kota g in d sta komplementarna.

a + b = 180° Kota a in b sta suplementarna.