a. co m
MATEMATIKA ZA GIMNAZIJE
ar n
Zbirka nalog
kn
jig
Dušan Kavka
uvodne.indd 1
21.11.2019 9:44:43
MATEMATIKA ZA GIMNAZIJE
Avtor Dušan Kavka
a. co m
Zbirka nalog Priprava na maturo – osnovna raven
Recenzenti Darka Hvastja, Hanka Lebič, Gregor Pavlič, Marina Rugelj Urednica Simona Knez
Lektorici Aleksandra Kocmut, Renata Vrčkovnik Ilustracije Darko Simeršek Oprema Andreja Globočnik
Oblikovanje in prelom Goran Čurčič
ar n
Izdala in založila Modrijan izobraževanje, d. o. o. Za založbo Matic Jurkošek Tisk JP Službeni glasnik Naklada 500 izvodov Ljubljana 2020 Sedma izdaja
jig
Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane.
kn
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com
uvodne.indd 2
CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(076.2) KAVKA, Dušan KAVMatematika za gimnazije : zbirka nalog : [priprava na maturo – osnovna raven] / Dušan Kavka ; [ilustracije Darko Simeršek]. – 7. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020 ISBN 978-961-7070-64-4 COBISS.SI-ID 302656256
6.1.2020 14:44:23
KAZALO 6
Izjavne povezave 6 2. MNOŽICE
a. co m
1. OSNOVE LOGIKE
10
Operacije z množicami 10 3. NARAVNA ŠTEVILA
15
Potence z naravnimi eksponenti 16
Deljivost naravnih števil 18
4. CELA ŠTEVILA Urejenost celih števil 26
25
Izrazi 27
5. RACIONALNA ŠTEVILA
33
Računanje z ulomki 35 Potence s celimi eksponenti 37 Decimalna števila 39 Reševanje enačb 40 Sistemi linearnih enačb 42 Razmerja, deleži, odstotki 43 6. REALNA ŠTEVILA
53
ar n
Urejenost v množici realnih števil 54 Intervali 55 Reševanje neenačb 56 Absolutna vrednost 57 Približki in napake 58 Koreni 59 Enačbe s koreni 61 Potence z racionalnimi eksponenti 62 7. KOMPLEKSNA ŠTEVILA
Računanje s kompleksnimi števili 68
68
Absolutna vrednost 71
8. OSNOVE GEOMETRIJE V RAVNINI IN PROSTORU
74
jig
Osnovni geometrijski pojmi 74 Trikotnik, enakostranični trikotnik, enakokraki trikotnik, pravokotni trikotnik in Pitagorov izrek ter kotne funkcije 83 Štirikotnik, paralelogram, romb, pravokotnik, kvadrat, trapez in enakokraki trapez, deltoid 91 Konveksni n-kotnik, pravilni n-kotnik 96 Krog in krožnica, krožni lok, središčni in obodni kot 98 9. GEOMETRIJSKI LIKI
107
Lastnosti ploščin 107 Ploščina pravokotnika in paralelograma 107 Ploščina trikotnika. Sinusni in kosinusni izrek 109 Ploščina trapeza in deltoida 112 Ploščina pravilnega n-kotnika 113 Krog in krožnica. Krožni izsek in krožni odsek 113
10. GEOMETRIJSKA TELESA
119
kn
Površine in prostornine geometrijskih teles 119
11. VEKTORJI
130
Računanje z vektorji 130 Kolinearnost in koplanarnost. Linearna kombinacija 133 Skalarni produkt 134 Pravokotni koordinatni sistem 136
12. PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI Transformacije ravnine 143
143
Razdalja med točkama 144
Ploščina trikotnika 145
13. FUNKCIJE
Lastnosti realnih funkcij 150 na ravnini 158
uvodne.indd 3
149 Limita funkcije 154
Transformacije grafov funkcij
22.5.2013 16:07:47
14. LINEARNA FUNKCIJA
165
Oblike enačbe premice 166 15. POTENČNA IN KORENSKA FUNKCIJA
175
16. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna enačba 183
a. co m
Potenčna funkcija z naravnim eksponentom 175 Potenčna funkcija z negativnim Korenska funkcija 177 celim eksponentom 176
181
Kvadratna neenačba 185
17. EKSPONENTNA FUNKCIJA Eksponentna enačba 192 18. LOGARITEMSKA FUNKCIJA Logaritemska funkcija 198 19. POLINOMI
191 196 202
Graf polinoma 208 20. RACIONALNE FUNKCIJE
212
Racionalne enačbe in neenačbe 213 21. KOTNE FUNKCIJE
218
ar n
Definicija, lastnosti in zveze med kotnimi funkcijami 218 Grafi in lastnosti kotnih Krožne funkcije 225 Trigonometrične enačbe 226 funkcij 222 22. STOŽNICE
Krožnica 233
Elipsa 235
Hiperbola 237
233
Parabola 239
23. ZAPOREDJA IN VRSTE
245
Aritmetično zaporedje 246 Geometrijsko zaporedje 248 Limita zaporedja 250 Geometrijska vrsta 252 Obrestni račun 252 Vrste 251 24. ODVOD
jig
Definicija in geometrijski pomen odvoda 262 funkcij 267
262
Uporaba prvega odvoda. Ekstremi 278
26. DOLOČENI INTEGRAL
283
27. KOMBINATORIKA
293
kn
25. NEDOLOČENI INTEGRAL
28. VERJETNOSTNI RAČUN
302
29. STATISTIKA
309
Osnovni statistični pojmi. Grupiranje, urejanje in prikazovanje podatkov 309 Srednja vrednost in standardni odklon 310
30. PREGLEDNA TESTA REŠITVE
uvodne.indd 4
315 317
29.5.2013 14:20:25
NAPOTKI ZA REŠEVANJE ZBIRKE IN REŠEVANJE NALOG
kn
jig
ar n
a. co m
Zbirka nalog vsebuje učno snov in naloge le na osnovni zahtevnostni ravni gimnazijske matematike in je namenjena ponavljanju in utrjevanju učne snovi in nalog v vseh letnikih gimnazije kot: • priprava na pisna in ustna preverjanja znanj, • priprava na popravne izpite, • priprava na osnovno raven splošne mature in • osnovno gradivo za slušatelje maturitetnega tečaja. Temelj vsebine zbirke je učni načrt za matematiko v gimnaziji in maturitetni izpitni katalog za splošno maturo. Zato je, podobno kot v predmetnem izpitnem katalogu za matematiko, učna snov razdeljena na 29 poglavij in zapisana tako, da se posamezna poglavja nadgrajujejo. V vsakem poglavju je teoretični del razložen v skladu s katalogom znanj, od lažje snovi k težji, razumevanje snovi pa je olajšano zaradi primerno izbranih zgledov. Po vsakem sklopu teoretičnega dela je rešenih nekaj tipskih zgledov, ki so izbrani tako, da skorajda v celoti pokrijejo vse minimalne cilje znanj danega poglavja. Za pridobitev minimalnega znanja snovi je že lahko dovolj, če za posamezno poglavje bralec pozna celotno teorijo in zna samostojno rešiti zglede. Dijaki, ki imajo več vrzeli v znanju, ki želijo pridobiti več znanj in seveda boljšo oceno, bodo reševali naloge, ki sledijo na koncu vsakega poglavja. Te si sledijo od lažjih k težjim oz. od enostavnih k sestavljenim. Na koncu so dodane rešitve nalog. Da bi bil uspeh dijakov na splošni maturi boljši, bi jih rad opozoril na nekaj temeljnih pravil reševanja nalog. Ker pri večini maturitetnih nalog način reševanja ni predpisan, lahko rešujemo po katerem koli matematično pravilnem postopku. Pomembno je, da je pot do rezultata jasno in korektno predstavljena, z vmesnimi računi in sklepi. Če je naloga postavljena kot vprašanje, odgovorimo (rezultat zapišemo) s celim stavkom. Če smo nalogo rešili grafično, pravilnost rešitve praviloma potrdimo tudi računsko. Pri rezultatih nalog pazimo predvsem na to, da so zapisani vidno in v skladu z zahtevami iz besedila naloge. Pri reševanju nalog moramo paziti, da navodilo »Rezultat naj bo zapisan v natančni obliki« ali »Natančno izračunajte ...« pomeni, da moramo zapisati le cela števila, okrajšane ulomke, korene, konstante (npr. π, e) in krajše izraze, v katerih lahko nastopajo preproste funkcije. Pri tem morajo biti rezultati nalog primerno poenostavljeni (npr. okrajšani, delno korenjeni …). Če je v besedilu naloge predpisana natančnost, rezultat primerno zaokrožimo in ga zapišemo v decimalni obliki, pri tem bodimo pozorni na razliko med navodiloma »Na tri mesta natančno …« in »Na tri decimalke natančno …«. Vmesne rezultate vedno računamo natančneje, sicer bo končni rezultat premalo natančen. Če so podatki izraženi v merskih enotah, moramo tudi končne rezultate nalog zapisati z merskimi enotami v skladu z navodilom naloge. Pri nalogah, ki zahtevajo »Izračunajte presečišče …«, »Zapišite oglišča …«, »Zapišite teme funkcije …«, rezultate zapisujemo kot točke – z obema koordinatama T (x, y). Kote v geometrijskih nalogah praviloma izrazimo v stopinjah in minutah ali v stopinjah in stotinkah stopinje, vrednosti kotnih funkcij pa natančno ali pa na štiri decimalna mesta, glede na navodilo naloge. Pri reševanju trigonometričnih enačb praviloma izrazimo kote v radianih v natančni obliki. Pri reševanju geometrijskih nalog si vedno pomagamo s skico, tudi če to v besedilu naloge ni zahtevano. Skica mora ustrezati glavnim lastnostim geometrijskega objekta, ki ga predstavlja. Na njej morajo biti označene vse pomembnejše točke (oglišča, krajišča vseh narisanih geometrijskih objektov) ter vse količine, ki v nalogi nastopajo kot podatki ali kot delni in končni rezultati. Posebno pomembna je skica pri konstrukcijskih nalogah. Te naloge rešujemo s šestilom (za risanje krožnic in krožnih lokov, prenašanje razdalj) in z ravnilom (za risanje premic ali daljic skozi dve dani ali prej konstruirani točki). Pri konstrukcijskih nalogah moramo poiskati vse neskladne rešitve. Pri reševanju enačb moramo poiskati vse rešitve v dani številski množici. Pri tem smo pazljivejši pri postopkih, ki dane enačbe ne prevedejo v ekvivalentno obliko (kvadriranje, korenjenje, absolutna vrednost, antilogaritmiranje …), saj lahko pridobimo napačno rešitev ali pa nekaj rešitev izgubimo. Zato naredimo preizkus. Podobno velja za reševanje neenačb. Če neenačbo rešujemo z grafom ustrezne funkcije, je dovolj natančno narisati graf le v bližini ničel, tako da so lepo razvidna območja pozitivnosti in negativnosti. Druge dele grafa, ki so za reševanje neenačbe manj pomembni, lahko narišemo tudi bolj približno. Za risanje grafov funkcij in krivulj je koordinatni sistem ponavadi že dan, pazimo le, da krivuljo oz. graf funkcije narišemo v območju, ki je označeno na koordinatnem sistemu. Pri risanju grafov funkcij in krivulj moramo natančno narisati presečišča z obema osema, črtkano vodoravne in navpične asimptote (obvezno za eksponentno in logaritemsko funkcijo, kotni funkciji tangens in kotangens in racionalne funkcije), maksimume in minimume (obvezno pri funkcijah sinus in kosinus), temena (pri kvadratni funkciji) … Navedene značilnosti ponavadi predhodno izračunamo. Pri tem ničle in pole pišemo kot števila – samo s koordinato x (pri polinomih in racionalnih funkcijah zapišemo tudi stopnjo ničle oz. pola), teme kvadratne funkcije pa kot točke – z obema koordinatama. Če znamo krivulje in grafe funkcij narisati natančno s primerno izvedenimi premiki in raztegi, omenjeni računi niso potrebni, razen če naloga to izrecno zahteva, vendar pa ob nalogi priporočam kratek komentar. Definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcij, območja naraščanja in padanja funkcije praviloma zapišemo z intervali, lahko pa tudi uporabimo znake <, >, =, ≤, ≥, ≠. Na koncu bi se rad vsem delavcem in sodelavcem založbe Modrijan zahvalil za razumevanje, vzpodbudo, nasvete, pomoč in kvalitetno izvedeno delo ter domačim za izredno dolgo potrpežljivost. Vsem dijakom, profesorjem in inštruktorjem, ki boste kot pomoč pri matematiki uporabili to knjigo, pa želim veliko uspeha. Dušan Kavka
uvodne.indd 5
22.5.2013 16:07:47
00 matematika.book Page 6 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
6
MATEMATIKA V GIMNAZIJI
1. OSNOVE LOGIKE Poved v matematiki imenujemo izjava, če zanjo velja natanko ena od možnosti: ali je pravilna (pripišemo logično vrednost 1 oz. p) ali pa nepravilna (0 oz. n). Izjave označujemo z velikimi tiskanimi črkami: A, B, C itd.
a. co m
Z uporabo izjavnih povezav (spoznali bomo negacijo, konjunkcijo, disjunkcijo, implikacijo in ekvivalenco) iz izjav lahko gradimo sestavljene izjave. V matematični teoriji poimenujemo vrste izjav na naslednji način: • aksiomi so osnovne izjave, ki so izhodišče posamezne teorije, • definicije so izjave, s katerimi vpeljemo nove pojme, • izreki ali trditve so izjave, ki jih dokažemo z uporabo aksiomov in že prej dokazanih izrekov.
Izjavo, ki je pravilna pri vseh različnih naborih osnovnih izjav, iz katerih je sestavljena, imenujemo tavtologija.
Izjavne povezave
ZGLED
ar n
1. Negacija Vsaki izjavi A lahko priredimo nasprotno izjavo ali negacijo izjave A. Označimo jo z A ter preberemo: ni res, da velja A. Če je izjava A pravilna, potem je izjava A nepravilna. Če pa je izjava A nepravilna, potem je izjava A pravilna. To lahko prikažemo s pravilnostno tabelo:
A
A
p
n
n
p
jig
Izjavama zapišite nasprotni izjavi ter za vse ugotovite logično vrednost. A: Število 6 ima natanko štiri delitelje. B: Število 7 je sestavljeno število. Zapišemo: A: Število 6 ima natanko štiri delitelje. (p) A: Ni res, da ima število 6 natanko štiri delitelje. (n)
kn
B: Število 7 je sestavljeno število. (n) B: Ni res, da je število 7 sestavljeno število. (p)
2. Konjunkcija Izjavi A in izjavi B lahko priredimo novo izjavo A in B. Označimo jo z A B ter preberemo: veljata izjava A in izjava B. Za konjunkcijo velja pravilnostna tabela:
A
B
AB
p
p
p
p
n
n
n
p
n
n
n
n
00 matematika.book Page 7 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
12. FUNKCIJE
7
A
B
AB
p
p
p
p
n
p
n
p
p
n
n
n
a. co m
3. Disjunkcija Dvema izjavama A, B priredimo novo izjavo A ali B, jo označimo z A B ter preberemo: velja izjava A ali izjava B (lahko veljata obe izjavi hkrati). Za disjunkcijo velja pravilnostna tabela:
OSNOVE LOGIKE
ZGLEDA
Zapišite konjunkcijo in disjunkcijo danih izjav ter za vse ugotovite njihove logične vrednosti. 1. A: Produkt dveh zaporednih celih števil je sodo število. B: Vsota dveh zaporednih celih števil je sodo število.
ar n
Najprej preverimo pravilnost osnovnih izjav, nato po pravilnostni tabeli še pravilnost sestavljenih izjav. Zapišemo: A: Produkt dveh zaporednih celih števil je sodo število. (p) B: Vsota dveh zaporednih celih števil je sodo število. (n) A B: Produkt dveh zaporednih celih števil je sodo število in vsota dveh zaporednih celih števil je sodo število. (n) A B: Produkt dveh zaporednih celih števil je sodo število ali vsota dveh zaporednih celih števil je sodo število. (p) 2. C: Število 234 je sodo število. D: Število 234 je deljivo z 9.
jig
Zapišemo: C: Število 234 je sodo število. (p) D: Število 234 je deljivo z 9. (p) C D: Število 234 je sodo število in število 234 je deljivo z 9. (p) C D: Število 234 je sodo število ali število 234 je deljivo z 9. (p)
kn
4. Implikacija Izjavama A in B priredimo izjavo iz A sledi B, jo označimo z A B ter beremo kot: če velja A, potem velja B. Za implikacijo velja pravilnostna tabela:
A
B
AB
p
p
p
p
n
n
n
p
p
n
n
p
7
00 matematika.book Page 8 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
8
MATEMATIKA V GIMNAZIJI
ZGLEDA Zapišite implikacijo danih izjav ter ugotovite njeno logično vrednost. 1. A: Naravno število n je deljivo z 10. B: Naravno število n je deljivo s 5.
2. C: Naravno število n je praštevilo. D: Naravno število n ni sodo število.
a. co m
Zapišemo implikacijo A B: Če je naravno število n deljivo z 10, potem je n deljivo s 5. (p)
Zapišemo C D: Če je naravno število n praštevilo, potem n ni sodo število. Izjava ima vrednost (n), saj je število 2 sodo praštevilo.
ZGLEDA
A
B
AB
p
p
p
p
n
n
n
p
n
n
n
p
ar n
5. Ekvivalenca Izjavama A in B priredimo izjavo iz A sledi B in iz B sledi A in jo označimo z A B. Izjavo lahko beremo tudi kot: A velja natanko tedaj, ko velja B. Rečemo tudi: Izjavi A in B sta ekvivalentni (enakovredni) natanko takrat, ko iz A sledi B in iz B sledi A. Za ekvivalenco velja pravilnostna tabela:
Zapišite ekvivalenco danih izjav ter ugotovite ali sta dani izjavi enakovredni. 1. A: Število n je deljivo s 15. B: Število n je deljivo s 3 in deljivo s 5.
jig
Zapišemo ekvivalenco A B: Število n je deljivo s 15 natanko takrat, ko je število n deljivo s 3 in deljivo s 5. (p) Izjavi sta enakovredni.
2. C: Število n je večkratnik števila 24. D: Število n je deljivo s 4 in deljivo s 6.
kn
Zapišemo C D: Število n je večkratnik števila 24 natanko takrat, ko je število n deljivo s 4 in deljivo s 6. (n) Izjavi nista enakovredni, saj je npr. število 12 deljivo s 4 in s 6, ni pa večkratnik števila 24.
Pri ugotavljanju logične vrednosti (izvedbi) sestavljene izjave poleg oklepajev upoštevamo tudi prioriteto izjavnih povezav. Najvišjo prioriteto ima negacija (jo izvedemo najprej), nato sledijo konjunkcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca (jo izvedemo zadnjo). Pri izvedbi več zaporednih enakih izjavnih povezav velja pravilo združevanja od leve proti desni.
00 matematika.book Page 9 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
OSNOVE LOGIKE
ZGLEDA 1. Z oklepaji nakažite vrstni red operacij v sestavljeni izjavi A B B in s pravilnostno tabelo ugotovite njeno logično vrednost. Ali je dana sestavljena izjava tavtologija? Odgovor utemeljite. Velja (A B) (B). B
AB
B
(A B) (B)
p
p
p
n
p
p
n
p
p
n
p
p
n
n
n
n
p
a. co m
A
p p p
Izjava je tavtologija, saj je pravilna pri vseh različnih naborih vrednosti osnovnih izjav A in B.
2. Sestavljeno izjavo zapišite s simboli: Štirikotnik je kvadrat natanko takrat, ko ima skladne stranice in skladne notranje kote. Izjava A: Štirikotnik je kvadrat. Izjava B: Štirikotnik ima skladne stranice. Izjava C: Štirikotnik ima skladne notranje kote.
NALOGE
ar n
Sestavljena izjava je: A (B C).
jig
1. Ugotovite pravilnost izjave: Vsako število iz množice {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18} je deljivo s 3 ali pa je deljivo s 4. 2. Zapišite ekvivalenco izjav ter ugotovite, ali sta izjavi enakovredni. A: Število n liho število. 2 B: Število n je liho število.
kn
3. Izračunajte logično vrednost sestavljene izjave (A B) A pri vseh vrednostih enostavnih izjav A in B. Ali je dana izjava tavtologija? Odgovor utemeljite. 4. Izračunajte logično vrednost sestavljene izjave (A B) (B A) pri vseh vrednostih enostavnih izjav A in B. Ali je dana izjava tavtologija? Odgovor utemeljite.
5. Z oklepaji nakažite vrstni red operacij in s pravilnostno tabelo ugotovite logično vrednost izjave. a) A B A b) A B B A 6. Sestavljeno izjavo zapišite s simboli: Število n je deljivo z 2 natanko takrat, ko število n 1 ni deljivo z 2. 7. Dane so osnovne izjave o štirikotnikih: A: Štirikotnik je paralelogram. B: Diagonali se razpolavljata. C: Diagonali se sekata pod pravim kotom. D: Paralelogram je romb. Z uporabo danih izjav in z implikacijo ter ekvivalenco gradimo sestavljene izjave, tako da vedno uporabimo le eno izjavno povezavo in dve različni osnovni izjavi. S simboli zapišite le tiste smiselne sestavljene izjave, ki so pravilne.
9
00 matematika.book Page 10 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
10
MATEMATIKA V GIMNAZIJI
2. MNOŽICE
a. co m
Množico lahko podamo tako, • da njene elemente naštejemo, npr. A 2, 4, 6, 8, 10, • da njene elemente s kako skupno lastnostjo enolično določimo, npr. A 2n; n , n 5, • da množico grafično predstavimo. (Rečemo, da narišemo Vennov diagram.)
Moč množice A s končno mnogo elementi je enaka številu elementov n množice A: m(A) n.
Množico vseh elementov, ki nas v danem primeru podrobneje zanimajo, imenujemo univerzalna množica U. Prazna množica je množica, ki nima nobenega elementa.
Operacije z množicami
Množica A je podmnožica množice B, če je vsak element množice A tudi element množice B. Oznaka: A B
ar n
Množici A in B sta enaki natanko takrat, ko je množica A podmnožica množice B in množica B podmnožica množice A: A B (A B) (B A). Presek množic A in B je množica vseh tistih elementov, ki so v množici A in v množici B: A B e; (e A) (e B).
jig
Množici A in B sta disjunktni (tuji), če je njun presek prazna množica.
Presek množic
Disjunktni množici
Unija množic A in B je množica vseh tistih elementov, ki so v množici A ali v množici B: A B e; (e A) (e B).
kn
Moč unije dveh netujih končnih množic A in B dobimo tako, da seštejemo moči obeh množic in odštejemo moč preseka, saj smo elemente preseka pri seštevanju šteli dvakrat: m(A B) m(A) m(B) m(A B). Moč unije treh končnih množic: m(A B C) m(A) m(B) m(C) m(A B) m(B C) m(A C) m(A B C)
Razlika množic A \ B je množica vseh tistih elementov, ki so v množici A in niso v množici B: A \ B e; (e A) (e B).
Unija množic
Razlika množic
00 matematika.book Page 11 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
12. FUNKCIJE
11
MNOŽICE
11
ZGLEDI 1. Podani sta množici A n ; 10 n 20 in B n ; 9 n 15. Na dva različna načina zapišimo množice A B, A B, A \ B in B \ A.
a. co m
Zapišemo: A B 11, 12, 13, 14, 15 n ; 11 n 15 A B 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 n ; 9 n 19 A \ B 16, 17, 18, 19 n ; 16 n 19 B \ A 9, 10 n ; 9 n 10
2. Množica A je množica naravnih števil, ki delijo število 20, množica B je množica naravnih števil, manjših od 20, ki so deljiva s 4. Na dva različna načina zapišimo množice A, B, A B in A B. Zapišemo: A 1, 2, 4, 5, 10, 20 n ; n 20 B 4, 8, 12, 16 n ; (n 20) (4 n) A B 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 16, 20 n ; (n 20) (n 20 4 n) A B 4 n ; (n 20) (n 20 4 n)
ar n
3. Množica A je množica vseh naravnih števil, ki so manjša ali enaka 100 in deljiva s 5, množica B je množica vseh naravnih števil, ki so manjša ali enaka 100 in deljiva s 4. a) Zapišimo elemente množice A B. b) Izračunajmo, kolikšne so moči množic A, B in A B. Ker so v A B naravna števila manjša ali enaka 100, ki so deljiva s 5 in deljiva s 4, so torej deljiva s 5 4 20. Zapišemo A B 20, 40, 60, 80, 100. Ker je 100 : 5 20 in 100 : 4 25, je moč množice A enaka m(A) 20 in moč množice B enaka m(B) 25. Izračunamo še m(A B) m(A) m(B) m(A B) 20 25 5 40.
jig
Naj bo množica A podmnožica univerzalne množice U. Komplement množice A glede na univerzalno množico U je množica elementov, ki c so v množici U in niso v množici A: A e; (e U) (e A).
kn
ZGLED
Na sliki je dana univerzalna množica U in njeni podmnožici A in B. Zapišimo elemente množic U, A, B, A B, A B, c c A \ B, B \ A, A in B .
Iz diagrama preberemo in zapišemo: U 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 A 6, 12, 18, 24 B 12, 15, 18 A B 12, 18 A B 6, 12, 15, 18, 24
A \ B 6, 24 B \ A 15 A 3, 9, 15, 21, 27 c
B 3, 6, 9, 21, 24, 27 c
00 matematika.book Page 12 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
12
MATEMATIKA V GIMNAZIJI
Kartezični produkt nepraznih množic A in B je množica vseh urejenih parov (a, b), kjer je prvi element para iz množice A in drugi element para iz množice B: A B (a, b); (a A) (b B). Če ima množica A m elementov in množica B n elementov, potem ima kartezični produkt A B mn elementov. Kartezični produkt lahko grafično predstavimo s šahovnico ali točkami mreže.
a. co m
ZGLED
Za množici A 1, 2, 3 in B a, e zapišimo kartezična produkta A B in B A ter ju grafično predstavimo.
NALOGE
ar n
Zapišimo A B (1, a), (1, e), (2, a), (2, e), (3, a), (3, e) in B A (a, 1), (a, 2), (a, 3), (e, 1), (e, 2), (e, 3) in ju grafično predstavimo.
kn
jig
1. Na sliki so grafično predstavljene univerzalna množica U in njeni podmnožici A in B. Zapišite njihove elemente in elemente množic A B, c c A B, A in B .
2. Naj bo A množica prvih deset črk slovenske abecede in B množica samoglasnikov slovenske abecede. Zapišite elemente množic A in B in elemente množic A B, A B, A \ B in B \ A.
3. Zapišite elemente množic: a) A n ; 5n 1 9 2 b) B n ; n 25 c) C n ; n 7 1 č) D n ; 3 n 3 d) E 5k 3; k , 0 k 4
4. Množica A je množica vseh celih števil, katerih kvadrat je manjši od 4. Zapišite elemente množic A in A A. 5. Dani sta množici A 4, 2, 0, 2, 4 in B 0, 1, 2, 3, 4, 5. a) Zapišite A B. b) Množica C je množica z najmanjšo močjo, za katero sta množici A in B njeni podmnožici. Zapišite elemente množice C. c) Množica D je najmočnejša podmnožica množice C, ki je disjunktna z množico B. Zapišite elemente množice D.
00 matematika.book Page 13 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
12. FUNKCIJE
6. Naj bo U 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 univerzalna množica ter A 0, 2, 4, 6, 8 in B n ; n 6 njeni podmnožici. Zapišite elemente spodnjih množic in njihove moči. c a) B c) A B b) A B č) A \ B
MNOŽICE
13. Množica A je množica naravnih števil, ki delijo število 60, množica B pa je podana z B n ; 2 25 n 81. Zapišite elemente množic A in B. Ali sta množici A in B disjunktni? 14. Naj bo U n ; n 15 univerzalna množica ter A in B njeni podmnožici. Zapišite elemente množic A, B, A B in A \ B, če je množica A množica tistih števil iz U, ki so večkratniki števila 5, množica B pa množica tistih števil iz U, ki so deljiva z vsaj enim od števil 2 ali 3.
a. co m
7. Naj bo U univerzalna množica in množica A množica tistih naravnih števil, ki so manjša od 10. Množici A in komplement množice A zapišite na dva različna načina.
13
8. Dani sta množici A 1, 2 in B 1, 3, 5, 7. Zapišite elemente množic A B, A B, A \ B, B \ A, A B in C (A B) \ (A B).
16. Dane so množice celih števil 2 x + 1 , A x; x 2x 3 0, B x; 1 --x- ---------------3 2 3 2 C x; x x 4x 4. Zapišite njihove elemente in elemente množic A (B C) in (A B) C.
ar n
9. Množica A je množica vseh sodih naravnih števil. Ugotovite, ali velja: a) A b) 2, 4, 10, 40 A c) A č) A 2, 4, 6, 8, 10 …
15. Dana je univerzalna množica U k ; 5 k 5. a) Zapišite elemente množic A 2k 1; k ; 3 k 2 in B 3k 2, k , 0 k 2. b) Zapišite še elemente množic A B c in (A B) .
kn
jig
10. Dani sta množici A 1, 0, 1, 2 in B 1, 1. 17. Zapišite množice: a) Izračunajte m(A B) in m(B B). a) A vseh sodih celih števil, b) Zapišite kartezične produkte A B in B B. B vseh lihih celih števil, b) c) Ali je (1, 1) (1, 1)? c) C vseh večkratnikov števila 6, Kaj pa 1, 1 1, 1? č) D vseh celih števil, ki dajo pri deljenju s 6 č) Ali velja B B A B? ostanek 1. 11. Naj bo U n ; n 16 univerzalna mno18. Množica A je množica vseh naravnih števil, žica. Množica A je množica števil iz U, ki so ki so manjša od 50 in deljiva s 3, množica B večkratniki števila 4, množica B je množica števil je množica vseh naravnih števil, ki so manjša iz U, ki delijo število 12. Zapišite elemente od 50 in deljiva z 2. množic A, B, A B in B \ A. a) Zapišimo elemente množice A B. b) Izračunajmo, kolikšne so moči množic A, B 12. Elementi množice A so tista naravna števila, in A B. ki so delitelji števila 48, elementi množice B pa so tista praštevila, ki nastopajo v praštevilskem 19. Koliko je vseh naravnih števil, ki so manjša razcepu števila 48. ali enaka 1000 in so: a) Na dva različna načina zapišite množico A. a) deljiva s 5, b) Zapišite elemente množice B. b) deljiva s 7, c) Ali je B A? c) deljiva z vsaj enim od števil 5 ali 7? č) Zapišite B a, b in ga predstavite s šahovnico ali točkami mreže. d) Ali je (a, 2) B a, b?
13
00 matematika.book Page 14 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
14
MATEMATIKA V GIMNAZIJI
20. Naj bo univerzalna množica U množica vseh trimestnih naravnih števil. Izračunajte, koliko elementov imajo množice: a) A n U; 16 n, b) B n U; 24 n, c) A B.
a. co m
26. Na turistični agenciji so želeli predvideti, koliko ljudi bi med poletnimi počitnicami potovalo po Sloveniji ali v tujino. S telefonsko anketo so izvedeli, da 237 ljudi načrtuje potovanje vsaj po Sloveniji, 379 ljudi načrtuje potovanje vsaj v tujino, 41 ljudi bo potovalo tako po Sloveniji kot tudi v tujino. Vendar 108 ljudi ne bo potovalo 21. Naj bo množica naravnih števil univerzalna mnonikamor. Koliko ljudi so izprašali v telefonski žica. Zapišite elemente naslednjih množic in zapianketi? šite moči množic s končno mnogo elementi. a) A večkratniki števila 5 27. V 1. letniku gimnazije je bilo ob koncu šolskega b) B delitelji števila 50 leta 85 deklet in 42 fantov. Razred je izdelalo c) A B 119 dijakov, od tega 79 deklet. Koliko fantov č) A B ni izdelalo razreda?
28. Ob spremljanju prehranjevalnih navad prebivalcev nekega kraja so ugotavljali njihovo maso in količino holesterola v krvi. Ugotovili so, da ima 131 ljudi zmerno maso, 91 ljudi pa je predebelih. Ob tem so tudi ugotovili, da ima kar 112 ljudi prekomerno količino holesterola v krvi, od tega 45 ljudi z zmerno maso. Koliko ljudi s prekomerno maso nima povišanega holesterola v krvi?
ar n
22. Naj bosta A (x, y); x, y , x y 1 2 2 in B (x, y); x, y , x y 1 podmnožici ravnine. a) Ugotovite, katere od danih točk T(1, 1), P(1, 1), Q(0, 1) in R( 1--2- , 1--2- ) pripadajo množici A in katere množici B. b) V množici A poiščite tiste točke, ki ležijo na abscisni osi. c) V množici B poiščite tiste točke, ki ležijo na ordinatni osi. č) Zapišite presek množic A in B.
jig
23. V restavraciji s hitro prehrano ponujajo pet vrst hrane in tri vrste brezalkoholnih pijač: čevapčiče (č), ražnjiče (r), hrenovke (h), mini pice (p), vegetarijanske omlete (o), kokakolo (k), sok (s) in vodo (v). a) Na koliko različnih načinov se lahko prehranjujemo v dani restavraciji, če vedno najprej izberemo eno jed in nato eno pijačo? b) Zapišite vse različne izbire.
kn
24. Janez je opravil anketo med 65 dijaki neke šole. Izvedel je, da jih 30 obiskuje filmski abonma, 38 dramski abonma, 14 pa nobenega od njiju. Koliko dijakov obiskuje vsaj en abonma in koliko dijakov oba abonmaja? 25. Ob vpisu v 1. letnik jih je 58 od 126 dijakov navedlo, da se redno ukvarjajo vsaj s športom, 34 dijakov pa vsaj z glasbo. Izračunajte, koliko dijakov se ne ukvarja z nobeno od teh dveh dejavnosti, če se jih z obema dejavnostma ukvarja 11.
29. V oddelku 1. a je 30 dijakov, ki se ukvarjajo z vsaj enim športom. Sedem se jih ukvarja samo s košarko, šest samo z nogometom, štirje samo z odbojko, trije samo s košarko in nogometom, pet samo s košarko in odbojko ter eden samo z odbojko in nogometom. a) Koliko dijakov se ukvarja z vsemi tremi športi? b) Koliko se jih ukvarja z vsaj dvema športoma? c) Koliko se jih ukvarja s košarko? č) Koliko se jih ukvarja z nogometom, ne pa z odbojko? 30. Koliko je vseh naravnih števil, ki so manjša ali enaka 1000 in so: a) deljiva s 3 b) deljiva s 4 c) deljiva s 5 č) deljiva z vsaj enim od števil 3 ali 4 d) deljiva z vsaj enim od števil 3, 4 ali 5
00 matematika.book Page 15 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
NARAVNA ŠTEVILA
3. NARAVNA ŠTEVILA Naravna števila so števila, s katerimi štejemo. Množico naravnih števil označimo s črko : 1, 2, 3, 4 ….
a. co m
Število 1 je naravno število. Vsako naravno število n ima svojega naslednika n 1. Zato ni največjega naravnega števila in je naravnih števil neskončno mnogo. Naravna števila si predstavimo na (vodoravni) premici. Na njej si izberemo dve različni točki. Levo točko označimo z O, kar predstavlja število 0, desno pa z E, kar predstavlja število 1.
Nato daljico (enoto) od O do E nanašamo od E desno in postopoma dobivamo točke, ki predstavljajo števila 2, 3, 4 … Taki premici pravimo številska premica. Točka O je izhodišče številske premice. Vsa naravna števila ležijo na poltraku z izhodiščem v točki O, ki ga imenujemo pozitivni poltrak številske premice. Osnovni računski operaciji v množici naravnih števil sta seštevanje in množenje. 1. Seštevanje: Poljubnima naravnima številoma a in b priredimo vsoto a b. 2. Množenje: Poljubnima naravnima številoma a in b priredimo produkt a b.
ar n
Za poljubna naravna števila a, b in c veljajo naslednje lastnosti osnovnih računskih operacij: 1. a b b a komutativnost seštevanja ali zakon o zamenjavi 2. (a b) c a (b c) asociativnost seštevanja ali zakon o združevanju 3. a b b a komutativnost množenja ali zakon o zamenjavi 4. (a b) c a (b c) asociativnost množenja ali zakon o združevanju 5. a (b c) a b a c distributivnostni ali razčlenitveni zakon 6. 1 a a 1 1 je nevtralni element za množenje
jig
Če imamo v številskih izrazih več členov, potem pri izračunu vrednosti izraza ob upoštevanju zgornjih računskih zakonov pazimo na vrstni red operacij: najprej odpravimo oklepaje, nato množimo in nazadnje seštevamo.
ZGLEDA
1. Izračunajmo 37 43 37 57 na dva različna načina.
kn
Lahko izračunamo 37 43 37 57 1591 2109 3700 ali pa izpostavimo 37 in zapišemo 37 43 37 57 37 (43 57) 37 100 3700.
2. Izračunajmo (2 3 4) (7 3 10) 12 (6 4 (21 37)). Pri izračunu vrednosti izraza pazimo na vrstni red operacij: (2 3 4) ( 7 3 10) 12 (6 4 (21 37)) (2 12)(21 10) 12(6 4 58) 14 31 12 238 434 2856 3290
15
00 matematika.book Page 16 Wednesday, May 22, 2013 12:37 PM
16
MATEMATIKA V GIMNAZIJI
Potence z naravnimi eksponenti Naj bo a poljubno število in n naravno število. Produkt n enakih števil a a a … a krajše zapišemo kot a . n
Izraz a a a a … a imenujemo potenca števila a. n Število a je osnova, število n pa eksponent potence.
a. co m
n
ZGLEDI
1. Z uporabo definicije potence pisno izračunajmo 6 2 1 . 2
6
3
6 2 1 6 6 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 64 1 101 2
6
3
2. Zapišimo kot potence in z uporabo kalkulatorja izračunajmo 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4. 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 2 3 3 4 2 27 81 256 391 3
4
4
3. Izračunajmo 3 5 5 4 3 2 (3 4) . 1
3
3
4
2
3 5 5 4 3 2 (3 4) 3 5 5 64 27 16 7 15 320 432 49 816 1
3
3
4
2
2
ar n
4. Zapišimo kot potence a a a a a a a a a 5 a a 4 a a a a a.
a a a a a a a a a 5 a a 4 a a a a a a a 5a 4a a a 2a 9a 3
5
2
2
3
5
3
2
jig
Če sta a in b poljubni števili, m in n pa naravni števili, za računanje s potencami z naravnimi eksponenti veljajo naslednja pravila: m n mn Potenci z enako osnovo zmnožimo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta 1. a a a pa seštejemo. m m m Produkt števil potenciramo tako, da potenciramo posamezna faktorja in ju 2. (a b) a b potem zmnožimo. m n mn 3. (a ) a Potenco potenciramo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa zmnožimo.
ZGLEDI
1. Izračunajmo a a (a ) . 2
4
2 3
24
a a (a ) a 4
2 3
kn
2
23
a
a a 2a 6
6
6
2. Poenostavimo x x x (y ) (x y)(x y) (x y) . 3
2
3 2
2
3
x x x (y ) (x y)(x y) (x y) x y (x y) 3
2
3 2
2
3
6
6
3. Poenostavimo 2 2 2 . 8
7
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2 1) 7 2 8
7
6
2
6
6
6
6
2
6
6
02 naravna stevila.fm Page 17 Wednesday, March 12, 2014 9:48 AM
17
12. FUNKCIJE
NARAVNA ŠTEVILA
17
4. Izraz 9 72 zapišimo v obliki 2 3 , pri čemer sta m in n naravni števili. 2
n
m
Zapišimo 9 72 3 (9 8) 3 (3 2 ) 3 3 2 2 3 . 2
2
2
2
2
3 2
2
4
6
6
6
5. Zmnožimo 6a b 8ab . 4
6a b 8ab 6 8a 4 3
4
41 34
48a b
5 7
b
6. Zmnožimo 2a (2a ) . 3
2 4
4 24
2a (2a ) 2a 2 a 3
2 4
3
14
2
a
38
7. Poenostavimo (2a b ) (3ab ) . 2 3 3
2 2
3 23 33
(2a b ) (3ab ) 2 a 2 3 3
2 2
a. co m
4 3
2 a 32a 5 11
2 12 22
3a
b
b
11
8a b 9a b 72a b 6 9
2 4
8 13
8. Izraz 10 8 3 4 zapišimo v obliki potence z osnovo 2. 3
5
10 8 3 4 10 (2 ) 3 (2 ) 10 2 3 2 10 2 3 2 2 16 2 2 2 2 3
5
3 3
2 5
9
10
9
9
9
4
9
13
9. Brez uporabe kalkulatorja izračunajmo (2 10 ) (5 10 ) . 2 3
3 4
12 6
(2 10 ) (5 10 ) 2 10 5 10 5 5 2 10 2 3
3 4
3
6
n2
2
n2
12
32
3
n1
3
32
n1
5 (2 5) 10 5 10 10 5 10 3
n
2
n
3
18
n
2 2 2 3 2 2 2 2 (2 3 2 1) 11 2 n
18
2.
ar n
10. Izpostavimo skupni faktor 2
4
n
n
2
n
Vsako naravno število a lahko na en sam način zapišemo v številskem sestavu z osnovo 10 (desetiški sestav): n n1 a an10 an 110 … a110 a0. Zapis števila a skrajšamo v obliko a anan1 … a1a0.
jig
Tu so ai števke, ki jih izbiramo med 0, 1, 2, ..., 9, in je an 0. Ta zapis števila a imenujemo desetiški zapis. Za število a pravimo, da ima natančno n 1 mest.
ZGLED
Število 1957 je sestavljeno iz 1 tisočice, 9 stotic, 5 desetic in 7 enic in ga lahko zapišemo
kn
1957 1 10 9 10 5 10 7. 3
2
21