9789612417383

a. co m

ar n

SPATIUM NOVUM Matematika za gimnazije

kn

jig

Gregor Pavlič Marina Rugelj Janez Šparovec Dušan Kavka

uvodne spatium novum.indd 1

5.7.2013 8:43:07

SPATIUM NOVUM Matematika za gimnazije

a. co m

Avtorji Gregor Pavlič, Marina Rugelj, Janez Šparovec, Dušan Kavka Recenzenta dr. Marjan Jerman, Hanka Lebič Urednica Simona Knez

Lektorice Aleksandra Kocmut, Renata Vrčkovnik, Tatjana Hosta

Ilustracije Darko Simeršek, Kostja Gatnik (str. 154), Davor Grgičević (str. 83)

Fotografije arhiv založbe Modrijan, Can Stock Photo, Gregor Pavlič, Marina Rugelj Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik Prelom Goran Čurčič

ar n

Izdala in založila Modrijan založba, d. o. o.

Za založbo Branimir Nešović Natisnjeno v Sloveniji Naklada 1500 izvodov Ljubljana 2018 Prva izdaja, četrti natis

kn

jig

Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje je na seji dne 24. 10. 2013 s sklepom št. 013-110/2013/8 potrdil učbenik Spatium novum, matematika za gimnazije, ki so ga napisali Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj in Janez Šparovec.

© Modrijan založba, d. o. o.

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(0.75)3 CIPSPATIUM novum : matematika za gimnazije/ Gregor Pavlič … [et al.] ; [ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan, Gregor Pavlič, Marina Rugelj]. – 1. izd., 4. natis – Ljubljana : Modrijan, 2018 ISBN 978-961-241-738-3 1. Pavlič, Gregor, 1954– 294366976

www.modrijan.si

uvodne spatium novum.indd 2

11.4.2018 10:25:02

POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE

a. co m

KAZALO

6

STOŽNICE

ar n

Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Računanje s polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ničle polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Graf polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Metoda bisekcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Reševanje neenačb višje stopnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Modeliranje s polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Graf racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Racionalne enačbe in neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Modeliranje z racionalno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

80

jig

Kvadratne enačbe z dvema neznankama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Krožnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Presečišča stožnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Modeliranje s stožnicami (izbirna vsebina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Za radovedne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

kn

TRIGONOMETRIJA

124

Kotne funkcije poljubno velikega kota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Lastnosti in grafi kotnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Transformacije kotnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Adicijski izreki in posledice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Krožne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Trigonometrične enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Naklonski kot premice in kot med premicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Modeliranje s kotnimi funkcijami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Polarni zapis kompleksnega števila (izbirna vsebina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

uvodne spatium novum.indd 3

4.7.2013 12:35:50

METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

206

a. co m

Ploščina in obseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Ploščina in obseg pravokotnika in paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Ploščina in obseg trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Ploščina in obseg trapeza in deltoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Ploščina in obseg pravilnega n-kotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Razreševanje trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

METRIČNA GEOMETRIJA V PROSTORU

248

Geometrijska telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Stožec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

285

kn

jig

ar n

REŠITVE

uvodne spatium novum.indd 4

4.7.2013 12:35:51

a. co m

UVOD Učbenik Spatium novum je prenovljeni učbenik Spatium, ki so ga gimnazijci več kot desetletje uporabljali pri pouku matematike v 3. letniku. Prenovo sta

sprožila nov učni načrt ter dejstvo, da se v sodobnem času spreminja tudi poučevanje matematike. Avtorji so ob prenovi še bolj poudarili povezanost

matematike z drugimi predmetnimi področji in vsakdanjim življenjem, vključili veliko nalog za modeliranje ter uporabo sodobne tehnologije.

Naslov učbenika pove, da smo se iz ravnine »prebili« v prostor. Kot je že

v navadi, se vsa poglavja začnejo z zgodovinskim uvodom, ki je namenjen predvsem motivaciji in splošni razgledanosti. Sledi osnovna razlaga snovi

kn

jig

ar n

z rešenimi zgledi in dovolj nalogami za domače delo.

Legend Legenda:

zgledi

naloge

posebna in izbirna znanja 1. 1. težje naloge in zgledi

uvodne spatium novum.indd 5

4.7.2013 12:35:51

01_polinomi.fm Page 6 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

6

SPATIUM NOVUM

POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE

ar n

a. co m

–•Polinomi –•Računanje s polinomi –•Ničle polinoma –•Graf polinoma –•Metoda bisekcije –•Reševanje neenačb višje stopnje –•Modeliranje s polinomi –•Racionalne funkcije –•Graf racionalne funkcije –•Racionalne enačbe in neenačbe –•Modeliranje z racionalnimi funkcijami

jig

Podobno kot rešujemo danes tekstne naloge, so si pred stoletji probleme zastavljali v obliki zgodb. Ker še niso poznali matematičnega simbolnega jezika, so računali v t. i. retoričnem stilu. Nekaj primerov v zgodbe zavitih enačb se je ohranilo na egipčanskih papirusih in na mezopotamskih glinastih ploščicah.

kn

Glinasta ploščica iz Mezopotamije

Kup, njegovi dve tretjini, njegova polovica, njegova sedmina, cel, znaša 33. Kolikšen je kup?

Danes bi kupu rekli x in dobili: --2- x + --1- x + --1- x + x = 33 3 2 7

Babilonci in Egipčani so bili kar dobri algebraiki. Reševali so linearne enačbe z eno ali dvema neznankama, kvadratne in celo bikvadratne enačbe. Kvadratne enačbe so reševali z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata, ugnali pa so celo marsikatero preprosto kubično enačbo.

Starogrški matematiki na splošno niso cenili algebre. Praktično računanje je bilo zanje manj vredno, zato so enačbe ponavadi reševali geometrijsko s sorazmerji. Izjema je bil Diofant iz 2. stol., ki je za pogosto uporabljane količine in za neznane količine že uporabljal posebne simbole. Tako je retorično ali pogovorno algebro nadomestil s sinkopirano ali »okrajšano« algebro.

Algebra je razcvet doživela v Indiji. Brahmagupta (okoli leta 630) je že poznal število 0, Bhaskara (okoli leta 1150) pa je s knjigama Lilavati (Lepotica) in Vijaganita (Štetje semen) zelo vplival na arabske matematike in prek njih na evropsko matematiko. Arabski matematiki so poleg prevoda Diofantove Aritmetike in svojega znanja prinesli v Evropo indijsko metodo pisanja števil (zato se jih je zmotno prijelo ime arabske številke).

01_polinomi.fm Page 7 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

Polinomi in racionalne funkcije

7

Od arabskih matematikov moramo omeniti vsaj Al Hvarizmija in njegovo delo z naslovom Hisab-al-jabr v-al-mukabalah. Besedi algebra in algoritem sta izšli iz njegovega polatinjenega imena.

a. co m

Eden najpomembnejših matematikov, ki se je zavedal pomembnosti indijskega pisanja števil, je bil Leonardo Pisano ali Fibonacci. V knjigi o algebri Liber Abaci (1202) je zbral znanje, ki ga je kot trgovec dobil na potovanjih.

S širjenjem trgovine se je tudi zanimanje za matematiko oz. algebro večalo.

Razvoj algoritmov za deljenje in množenje, ki je trajal nekaj stoletij, je bil okronan s prvo tiskano matematično knjigo, ki je izšla v Trevisu leta 1478.

Poleg drugega je prinašala kar 8 metod množenja in 6 metod deljenja.

Algebra se je rešila retoričnega in sinkopiranega stila šele z nastopom Francoisa Viète, ki je uvedel moderno simbolno pisavo in velja za začetnika simbolne algebre. To prakso je utrdil še René Descartes, ki je za neznanke dosledno uporabljal črke x, y in z, za konstante pa črke z začetka abecede (kot to počnemo še danes).

kn

jig

ar n

Čeprav se je s problemom števila rešitev enačbe n-te stopnje začel ukvarjati Viète, je flamski matematik Albert Girard že leta 1629 trdil, da je rešitev natanko n, ni pa tega znal dokazati. Dokaz je matematikom naslednja leta delal kar precej preglavic. Leta 1746 se mu je zelo približal d'Alembert, tri leta pozneje Euler, proti koncu stoletja Laplace, končno pa ga je kot doktorsko disertacijo 1799 predložil 19-letni Gauss. Pozneje se je izkazalo, da so v tem dokazu velike razpoke. Leta 1814 je švicarski matematik Jean Argand objavil zelo enostaven dokaz, dve leti pozneje pa spet Gauss popolni dokaz.

Leta 1849, petdeset let po svojem prvem dokazu, je Gauss postavil osnovni izrek algebre, ki pravi, da ima vsak polinom n-te stopnje n kompleksnih ničel.

Leonardo Pisano Fibonacci (1170–1250)

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

01_polinomi.fm Page 8 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

8

SPATIUM NOVUM

Polinomi

ar n

a. co m

Leta 2007 je v ugledni znanstveni reviji Phyisical Education and Sport izšel članek o napredku in dosežkih vrhunskih plavalcev pri prostem slogu na 50, 100, 200, 400 in 1500 m. Strokovnjaki so z izmerjenimi rezultati pri posamezni starosti plavalcev prišli do množice podatkov, ki so jih nato uporabili pri podrobnejših analizah. Spodnja grafa prikazujeta rezultate plavanja na 400 m prosto ter napredek plavalcev.

jig

Prilagoditveni krivulji kažeta, da je bila forma pri plavalcih, zajetih v raziskavo, največja pri 22 letih, napredek pa pri 19 letih.

3

2

f(x) = 0᝽01765x + 1᝽40853x - 36᝽45159x + 534᝽61336 4

3

2

g(x) = -0᝽00108x + 0᝽10585x - 3᝽7858x + 62᝽43705x - 366᝽06050

kn

Pri matematiki so zelo pomembni tudi polinomi s kompleksnimi koeficienti, vendar jih ne bomo obravnavali.

Obe funkciji spadata v veliko družino funkcij, imenovano polinomi.

To so realne funkcije realne spremenljivke, definirane za vsa realna števila, z zalogo vrednosti, ki je podmnožica množice ⺢, in imajo obliko: n

p(x) = anx + an - 1x

n-1

2

+ … + a2x + a1x + a0; an  0

Števila a0, a1, a2, a3, …, an so koeficienti polinoma p, an je vodilni koeficient, po dogovoru je an  0 a0 je prosti člen, naravno število n je stopnja polinoma p.

01_polinomi.fm Page 9 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

Polinomi in racionalne funkcije

Iz prvih dveh let gimnazijske matematike že poznamo tri funkcije, ki spadajo v to družino: Konstantna funkcija

f(x) = c

p(x) = a0

Linearna funkcija

f(x) = kx + n

p(x) = a1x + a0; a1  0

Kvadratna funkcija

f(x) = ax + bx + c; a  0 p(x) = a2x + a1x + a0; a2  0

Konstantna funkcija je polinom ničte stopnje,

2

a. co m

2

9

ZGLEDA

1. Zapišimo stopnjo in vse koeficiente polinoma 4 3 p(x) = 3x - 2x + 11x - 7 ter izračunajmo njegovo vrednost pri x = 2.

linearna funkcija je polinom prve stopnje,

n = 4, a4 = 3, a3 = -2, a2 = 0, a1 = 11, a0 = -7 Posebej pozorni moramo biti, če je kateri od koeficientov v polinomu enak 0.

4

3

p(2) = 3  2 - 2  2 + 11  2 - 7 V kasnejših poglavjih bomo videli, da lahko to nalogo rešimo veliko hitreje in na lažji način.

2013

2

- x . Izračunajmo njegovo vrednost za

kvadratna funkcija je polinom druge stopnje …

ar n

2. Dan je polinom p(x) = x x = -1. p(-1) = (-1)

2013

2

- (-1) = -1 - (+1) = -2

Definicija: Dva polinoma sta enaka, če imata enako stopnjo in enake koeficiente pri potencah neznanke x z istim eksponentom.

jig

Polinom, ki ima vse koeficiente enake 0 (je »identično enak nič«), imenujemo ničelni polinom.

ZGLEDI

1. Določimo koeficienta r in s tako, da bosta polinoma 4 3 2 4 2 p(x) = 3x + sx + 4x - 7 in q(x) = 3x + 4x + r enaka.

kn

p(x) = q(x) 4 3 2 4 2 3x + sx + 4x - 7 = 3x + 4x + r 3

Na levi strani je koeficient pred x enak s, na desni strani pa nič.

Torej s = 0. Prosti člen na levi je -7, na desni pa r. Zato je r = -7.

Če so koeficienti realna (racionalna, cela) števila, imamo polinom z realnimi (racionalnimi, celimi) koeficienti. V tem primeru so polinomi realne funkcije realne spremenljivke. Če za koeficiente vzamemo kompleksna števila, pa dobimo polinom s kompleksnimi koeficienti; njegove vrednosti pri posameznih x so kompleksna števila.

01_polinomi.fm Page 10 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

10

SPATIUM NOVUM

2. Zapišimo polinom tretje stopnje, če vemo, da je p(0) = 6 in p(-1) = p(2) = p(3) = 0.

Ker je polinom tretje stopnje, napišemo nastavek za tak polinom: 3 2 p(x) = a3x + a2x + a1x + a0; a3  0 Kasneje se bo izkazalo, da za določitev polinoma n-te stopnje potrebujemo n + 1 točk.

a. co m

Graf linearne funkcije (premica) je določen z dvema različnima točkama.

Graf kvadratne funkcije (kvadratna parabola) je določen s tremi nekolinearnimi točkami.

Graf polinoma tretje stopnje je določen s štirimi nekolinearnimi točkami.

Analogno lahko rečemo, da gre skozi n nekolinearnih točk natanko en polinom (n + 1). stopnje.

Z upoštevanjem podatkov dobimo štiri linearne enačbe s štirimi neznankami: a0 = 6 3 2 (-1) a3 + (-1) a2 + (-1)a1 + a0 = 0 3 2 2 a3 + 2 a2 + 2a1 + a0 = 0 3 2 3 a3 + 3 a2 + 3a1 + a0 = 0 Ta sistem lahko takoj prevedemo na sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami: -a3 + a2 - a1 + 6 = 0 8a3 + 4a2 + 2a1 + 6 = 0 27a3 + 9a2 + 3a1 + 6 = 0

ar n

Po enem od načinov reševanja dobimo koeficiente a3 = 1, a2 = -4, a1 = 1 in a0 = 6 3 2 ter iskani polinom p(x) = x - 4x + x + 6.

3. Ko se raketa oddaljuje od Zemljinega površja, se njena teža manjša približno po formuli: 2

3

4x ----------------- + 3x p(x) = 1 - 2x 2 3 , r r

kjer x pomeni razdaljo od površja v km, r pa polmer Zemlje. Vzemimo za radij Zemlje 6400 km in izračunajmo, kolikšni delež sile teže ima raketa, ko se od Zemlje oddalji za 350 km.

jig

kn

r

Delež njene sile teže je funkcija, odvisna od razdalje x: 2

3

6400

6400

2x - + ------------3x - - ------------4x p(x) = 1 - ----------2 3 6400

Izračunajmo vrednost funkcije p, če je x = 350 km: 2

3

 350- + 3--------------- 350- - 4--------------- 350- = 0᝽882 p(350) = 1 - 2-------------2 3 6400 6400

6400

To pomeni, da se sila teža rakete na oddaljenosti 350 km zmanjša za približno 12 %.

01_polinomi.fm Page 11 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

Polinomi in racionalne funkcije

11

NALOGE 12. Zapišite polinom tretje stopnje, če velja p(1) = 1, p(-1) = 1, vodilni koeficient je enak 2, prosti člen pa 0.

a. co m

1. Za spodnja polinoma zapišite stopnjo ter vodilni in konstantni člen: 2 a) p(x) = 3x + x - 1 2 3 b) p(x) = x - 5x + x 2. Določite vrednosti neznanih števil a, b in c tako, 2 da bosta polinoma p(x) = x - 5x - 2 in q(x) = a(x - 1)(x - 2) + b(x + 2)(x - 2) + + c(x + 2)(x - 1) enaka.

3. Izračunajte vrednosti polinoma 3 2 p(x) = x + 2x - 3x - 4 v točkah: x1 = 1, x2 = 0, x3 = -2 in x4 = 4.

13. Izračunajte vrednost polinoma 3 2 p(x) = 2x - 3x + 2x - 3 v točkah x1 = 1, x2 = i.

14. Za kateri števili a in b je 2 (x + a)(3x - 2) = 3x + x + b?

15. Poiščite realna števila a, b in c, za katera je 2 3 2 (x + 3)(ax + bx + c) = 2x + 3x - 5x + 12.

4. Izračunajte natančne vrednosti polinoma 4 3 2 p(x) = x - 3x - 6x + 15x + 5 v točkah x1 = 1, 2 . x2 = 0, x3 = 5 , x4 = 3 in x5 = - -----2

ar n

5. Za katera realna števila a, b in c je 3 2 x + ax + x + b = (x + c)(x + 3)(x + 2)?

jig

6. Določite koeficiente a, b in c tako, da bo enakost veljala za vse vrednosti spremenljivke.

3 2 a) x - 3x - 4x + 16 = = (x - 2)(x + 3)(x - a) + bx + c 3 2 b) 3x + 5x - 4x - 3 = (ax + 2)(x + b)(x - 1) + c 2 3 2 c) (ax + b)(3x - 2x - 1) = 6x - 7x + 1 3 2 č) 2x + 3x - 14x - 5 = (ax + b)(x +3)(x + 1) + c

7. Za kateri števili a in b je a(x + 2) + b = 4x - 3?

8. Zapišite polinom druge stopnje, za katerega je p(1) = 4, p(-1) = 6 in p(0) = 3.

kn

9. Ali obstaja polinom druge stopnje, ki ima prosti člen 1--2- in je p(1) = -4 ter p(-3) = -22?

10. Zapišite polinom druge stopnje, ki ima vodilni koeficient enak 3, prosti člen enak -3, pri x = 2 pa vrednost 5.

11. Zapišite polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti, če je p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = -3 in p(-1) = 6.

01_polinomi.fm Page 12 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

12

SPATIUM NOVUM

Računanje s polinomi

a. co m

Množenje polinoma s številom Polinom p pomnožimo z realnim številom k tako, da s k množimo vse koeficiente polinoma. Grafično gledano gre za razteg grafa polinoma vzdolž ordinatne osi. Pri množenju z neničelnim številom se stopnja polinoma ne spremeni.

ZGLED

4 2 Pomnožimo polinom p(x) = 2x + 3x - 8x + 5 s številom 3--2- .

9 - 12x + 15 ------ .

Dobimo nov polinom q(x) = 3--2-  p(x) = 3x + ------2 2 4

2x

Seštevanje in odštevanje

ar n

st(p  q) £ st(p) + st(q)

Dva polinoma seštejemo tako, da seštejemo koeficiente pri potencah z istim eksponentom. Vsota je spet polinom. Njegova stopnja je enaka višji od stopenj obeh polinomov, ki ju seštevamo, ali kvečjemu nižja. Stopnja vsote se zniža, če sta seštevanca iste stopnje in imata nasprotna vodilna koeficienta.

ZGLEDA

1. Seštejmo polinoma p in q.

jig

kn

Za seštevanje polinomov velja: komutativnost p(x) + q(x) = q(x) + p(x) asociativnost p(x) + (q(x) + r(x)) = = (p(x) + q(x)) + r(x)

4

3

2

p(x) = 3x + 7x - 4x + 6 5 4 3 2 q(x) = 7x - 2x + 2x + 7x + 8x - 5 5 4 3 2 p(x) + q(x) = 7x + x + 9x + 3x + 8x + 1

Vsota polinomov ima stopnjo, ki je enaka višji med seštevancema.

2. Seštejmo polinoma r in s: 5

4

3

2

r(x) = 7x - 2x + 2x + 7x + 8x - 5 5 4 3 2 s(x) = -7x + 5x - 2x + 8x + x - 2 4 2 r(x) + s(x) = 3x + 15x + 9x - 7 Stopnja vsote polinomov je nižja od stopnje seštevancev.

Odštevanje polinomov poteka tako, da odštevamo koeficiente pri potencah z istim eksponentom. Tudi v tem primeru dobimo polinom, katerega stopnja je nižja ali enaka višji od stopenj odštevanca in zmanjševanca.

01_polinomi.fm Page 13 Thursday, July 4, 2013 11:50 AM

Polinomi in racionalne funkcije

13

ZGLED Izračunajmo stopnjo in koeficiente polinoma 4 3 h(x) = 2  p(x) + q(x) - 3  r(x), če poznamo p(x) = 3x + 2x - 5x - 1, 3 2 4 3 2 q(x) = -x - 4x + 3x + 10 in r(x) = x + x - 2x + 2x + 3.

4

3

4

a. co m

h(x) = (2  3 + 0 - 3  1)x + (2  2 + (-1) - 3  1)x + 2 + (3  0 + (-4) - 3(-2))x + (2(-5) + 3 - 3  2)x + + 2(-1) + 10 - 3  3 2

h(x) = 3x + 2x - 13x - 1 n = 4, a4 = 3, a3 = 0, a2 = 2, a1 = -13, a0 = -1

Polinom, ki je enak razliki polinomov, ima v splošnem stopnjo enako višji od stopenj obeh polinomov. Le če odštevamo polinoma iste stopnje z enakima vodilnima koeficientoma, ima razlika polinomov nižjo stopnjo.

ZGLED 5

4

3

2

Odštejmo polinom q(x) = 7x - 2x + 2x + 7x + 8x - 5 od polinoma 4 3 2 p(x) = 3x + 7x - 4x + 6.

5

4

3

2

ar n

p(x) - q(x) = -7x + 5x + 5x - 11x - 8x + 11

Množenje polinomov

jig

Polinoma p in q pomnožimo tako, da pomnožimo vsak člen polinoma p z vsakim členom polinoma q. Produkt polinomov je polinom, njegova stopnja je enaka vsoti stopenj faktorjev.

st(p  q) = st(p) + st(q)

ZGLEDA

4

3

2

1. Zmnožimo polinoma p(x) = 2x + 2x + 7x + 8x - 5 in 3 2 q(x) = 7x - 4x + 6.

4

3

2

3

2

p(x) ◊ q(x) = (2x + 2x + 7x + 8x - 5) ◊ (7x - 4x + 6)

kn

Množenje potenc: n m n+m ax ◊ bx = abx

7

6

5

4

3

7

6

5

4

3

14x + 14x + 49x + 56x - 35x 6 5 4 3 2 -8x - 8x - 28x - 32x + 20x 4 3 2 12x + 12x + 42x + 48x - 30 2

14x + 6x + 41x + 40x - 55x + 62x + 48x - 30

Prvi polinom je četrte stopnje, drugi je tretje stopnje, produkt je sedme stopnje.

Za množenje polinomov velja: komutativnost p(x) ◊ q(x) = q(x) ◊ p(x) asociativnost p(x) ◊ (q(x) ◊ r(x)) = = (p(x) ◊ q(x)) ◊ r(x)