9789612419547

a. co m

KOCKA ar n

Matematika za 9. razred osnovne šole

DELOVNI ZVEZEK

kn

jig

Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec

Kocka 9 DZ 001-004.indd 1

26.8.2016 7:48:52

KOCKA 9 Matematika za 9. razred osnovne šole DELOVNI ZVEZEK

Recenzentki prve izdaje Sonja Koželj, dr. Marina Rugelj Urednica Simona Knez Lektorica Renata Vrčkovnik Ilustracije Kostja Gatnik Tehnične ilustracije Darko Simeršek

a. co m

Avtorice Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec

Fotografije arhiv založbe Modrijan, Zvonka Kos, Andrej Križ, Borut Lazar, Igor Modic, Majda Vehovec, Voranc Vogel, Nina Zadel, Jože Žitko

Prelom Vilma Zupan

ar n

Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik

jig

Izdala in založila Modrijan založba, d. o. o.

Za založbo Branimir Nešović Natisnjeno v Sloveniji Naklada 2000 izvodov Ljubljana 2016 11., prenovljena izdaja

kn

© Modrijan založba, d. o. o.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)

KOCKA 9 : matematika za 9. razred osnovne šole. Delovni zvezek / Marjana Dornik ... [et al.] ; [ilustracije Kostja Gatnik, tehnične ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan ... et al.]. - 11., prenovljena izd. - Ljubljana : Modrijan, 2016 ISBN 978-961-241-954-7 1. Dornik, Marjana 284402688

www.modrijan.si

Kocka 9 DZ 001-004.indd 2

26.8.2016 7:48:53

Vsebina

RAZMERJE, SORAZMERJE IN PODOBNOST Razmerje Sorazmerje Podobni trikotniki LINEARNE ENAČBE IN NEENAČBE Enačbe in rešitve enačb Reševanje linearnih enačb z eno neznanko Uporaba linearnih enačb z eno neznanko Reševanje enačb z algebrskimi ulomki Neenačbe in rešitve neenačb

5 5 8 12 14 18

a. co m

IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI Ponovimo Kvadrat dvočlenika Produkt vsote in razlike istih dveh členov Razstavljanje izrazov na faktorje Algebrski ulomki

ar n

TOČKA, PREMICA IN RAVNINA V PROSTORU GEOMETRIJSKA TELESA Prizma Površina in prostornina prizme Valj Površina in prostornina valja

21 21 27 33

39 39 43 52 58 59 62

68 68 72 83 86 96 96 101 107 114

OBDELAVA PODATKOV IN VERJETNOST Obdelava podatkov Merila za sredino in razpršenost Verjetnost

117 117 118 125

GEOMETRIJSKA TELESA Piramida Značilni pravokotni trikotniki v piramidi Površina piramide Prostornina piramide Stožec Površina in prostornina stožca Krogla

129 129 132 135 139 144 146 150

SISTEM DVEH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA

154

kn

jig

LINEARNA FUNKCIJA Koordinatni sistem v ravnini Funkcija Linearna funkcija in graf linearne funkcije Presečišče premic

Kocka 9 DZ 001-004.indd 3

26.8.2016 7:48:54

LINEARNE ENAČBE IN NEENAČBE

39

Enačbe in rešitve enačb 1.

Naslov poglavja Naslov podpoglavja

Z enačbami zapiši odnose med števili. a) Število y je petkratnik števila x. b) Vsota kvadratov števil a in b je enaka produktu teh dveh števil.

3.

Preveri, ali velja enakost. Obkroži. a) 32 : 0,5 – 3 = 12 – 2,5 · 0,2

Da.

Ne.

b) (1 38 – 5,4 : 0,09) · ( 34 – 32 : 2) = 0

Da.

Ne.

c) ( 6 – 5 )( 6 + 5 ) = 1

Da.

Ne.

Matej je reševal enačbe s preizkušanjem. Izpolnil je preglednico. Obkroži vrednost spremenljivke, ki je rešitev enačbe. x2 + 5 = 9 D

g

L

D

w

L

D

–2

9

9

–2

2

2

1

2

10

0

5

9

–1

3

1

2

8

13

1

6

9

0

4

0

3

18

18

2

9

9

1

5

1

0

0

9

Izračunaj višino valjaste posode s premerom 1 meter, če je njena prostornina 1 hektoliter.

25.8.2016 10:15:57

1 hℓ = 100 litrov 1 liter = 1 dm3

jig 71.

Učenci rišejo, dopolnjujejo, povezujejo, izpolnjujejo preglednice, berejo podatke s skic in slik.

ar n

L

90

70.

w2 + (–w)2 = w2 + 9

g + 4 = |g|

x

Kocka 9 DZ 039-061.indd 39

a. co m

c) Kvadratni koren števila m je enak količniku števila m s številom 7.

2.

Miha in Luka sta pri sosedu dobila dva metra dolg hlod, širok 8 dm. Mizar ga je po dolžini prežagal na pol in dobil plošči za dve mizi.

V okvirčkih so namigi za reševanje nalog in kratki povzetki snovi.

Naloge so treh težavnostnih stopenj:

kn

a) Koliko litrskih pločevink zaščitnega premaza morata Miha in Luka kupiti, če bo vsak svojo polovico hloda premazal trikrat? Z enim litrom prebarvaš približno 11 m2 lesa.

zahtevajo temeljno znanje zahtevajo nekoliko poglobljeno znanje zahtevajo več razmišljanja in poglobljeno znanje

Odgovor:

b) Koliko tehta vsaka polovica hloda, če je gostota lesa 800 kg/m3?

Rešitve vseh nalog lahko najdete na www.modrijan.si pri predstavitvi knjige.

Odgovor: 72.

Višina valja je 30 cm, njegov polmer pa 20 cm. Cene želi narediti dvakrat višji valj z enako prostornino. Za koliko centimetrov mora zmanjšati polmer valja?

Uporabo žepnega računala označuje ikona ki je ob številki naloge.

,

Odgovor:

Kocka 9 DZ 068-095.indd 90

Kocka 9 DZ 001-004.indd 4

25.8.2016 10:22:03

26.8.2016 7:48:54

IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI

5

Ponovimo Poišči enočlenike in zapiši njihove koeficiente.

–3a

a 2 ·b

a 2 –b

r 2 + 2r

r2

1 7

a. co m

1.

x + 3y(–2) – x 2

r 2 · 2r 2.

Zapiši pet vrednosti spremenljivke, da bodo izjave pravilne. a) Število 8 je delitelj x. b) y je večkratnik števila 11.

3.

Uredi člene v izrazih in izpusti znak za množenje, kjer ga lahko. a) x · (–7) – 2 · y = b) u · u · u · 8 + (–5u) · 3 =

ar n

c) b · c3 · (–3) = č) (–2) · (g5) – (–g + 1) · (–1) = 4.

Zmnoži enočlenike in uredi produkte. a) 2a

·

–3b

jig

–7de

–4de

·

3

b)

5x 5

y2

kn

·

–7 u3 –3uv

·

–u

c) (2v)2

·

(v )

2 3

x4 (3z)

5

·

(xz )

2 3

Kocka 9 DZ 005-020.indd 5

26.8.2016 7:51:55

6

5.

Kateri izraz ima najmanjšo vrednost, če je vrednost spremenljivke p število 4?

4–p= –2p + 7 = –5(–5 – 5p) + 5 = .

6.

a) Izpolni preglednico. y

–3

–2

3y – 2

a. co m

Najmanjšo vrednost ima izraz

–1

0

1

2

3

b) Izraz (3y – 2) ima vrednost 10, če je vrednost spremenljivke y: (A) 83 7.

(B) 4

(C) –4

(Č) 2

(D) ne morem določiti

Obseg enakokrakega trapeza meri 12 cm, ena od osnovnic pa 4 cm.

a) V preglednico zapiši pet vrednosti za drugo osnovnico in oba kraka. Bodi pozoren, da ohraniš trapez. b

ar n

c

jig

b) Ali je lahko krak dolg 4 cm?

8.

Poenostavi izraze.

a) x + x =

kn

3y + 3y – 3y =

9.

b) 5a – a = b – 4 – 3b + 4 =

–v – v =

–de – e + de – e =

pz + pz + pz =

u4 – u4 + u4 – u4 =

Zmnoži in uredi, kjer je potrebno.

a) 5(a + b) =

b) (f – 6g)(–2) =

c) –4k3(3k2 – k – 1) =

č) (p + 3)(p + 5) =

d) (–3r + 7)(–2 + r) =

e) (n4 – 5s)(2n – s2) =

Kocka 9 DZ 005-020.indd 6

26.8.2016 7:51:56

7

Učenci so zmnožili dvočlenika (x – 5) in (–3x – 6) ter dobili kar nekaj zanimivih rezultatov. Obkroži pravilnega.

11.

Poenostavi izraze. a) –x + (–2x + 8) – (4x – 1) =

b) 6u · (–5) + (6u – 5) =

č) (v – 3)(–5) – (–5v – 3) =

ar n

c) 7y(y – 2) – 2y(–7y) =

a. co m

10.

e) –r(–2r + 7) – (2r – (r + 7)(–r)) =

jig

d) (2p + 7)(3p – 4) – 4p(p – 1) =

kn

f) z2(9 + 5z) – 5z · z2 – (z – 6)(3z – 1) =

12.

Ivan je poenostavil izraz.

Ugotovi, ali je naredil kakšno napako, in jo popravi.

Kocka 9 DZ 005-020.indd 7

26.8.2016 7:51:57

8

a) Če izraz –3x3 – (2x + 1)(–3x) + 3x2 · (–2) poenostavimo, dobimo: (A) –3x3 + 3x (B) –3x3 – 3x (C) –3x3 – 12x2 – 3x (Č) –3x3 – 12x2 + 3x (D) –3x3 + 12x2 + 3x

a. co m

13.

b) Izračunaj še vrednost tega izraza za x = –3.

14.

Poenostavi izraze in nato izpostavi še največji skupni faktor. a) 4y – 9 + y – 1 = b) –3x – (x + 6) + (x – 12) =

Poenostavi izraz a(a – 2) + a – (a – 2) in izračunaj njegovo vrednost za a = 2.

jig

15.

ar n

c) 7(u – 7) – (7u + 3) · (–3) =

Kvadrat dvočlenika

16.

Zapiši kvadrate.

kn

a) Vsote števil y in 8:

b) Razlike števil (–3) in z: c) Razlike števil a in 3g: č) Vsote števil (–4x) in (–y):

17.

Damjan je kvadrat razdelil tako, da sta nastala dva kvadrata in dva skladna pravokotnika. a) V skico zapiši ploščine obeh manjših kvadratov in obeh pravokotnikov. b) Ploščina prvotnega kvadrata meri: (B) x2 + 64 (C) (x + 8)2 (A) x2

Kocka 9 DZ 005-020.indd 8

(Č) x2 + 8x + 64

26.8.2016 7:51:58

9

18.

Kvadriraj z uporabo pravila. a) (a + 5)2 =

b) (–8 + d)2 =

(a – 5)2 =

(8 – d)2 = č) (6h + 11k)2 =

(7b + 1)2 = 19.

a. co m

c) (7b – 1)2 =

(–6h + 11k)2 =

Izpolni preglednico. (a + b)2 a = 2, b = 3 a = 5, b = 1 a = –3, b = 4 a = –1, b = –5 a = 0, b = –3

a2 + b2

a2 + ab + b2

Zakaj?

20.

ar n

Vrednosti izrazov za vse pare izbranih spremenljivk se ujemajo pri

a2 + 2ab + b2

in

stolpcu.

Štirje rezultati niso pravilni. Popravi jih.

jig

(A) (x + y)(x + y) = x + y2

(B) (c – d)2 = c2 – 2cd + d2

(C) (4e + 7)2 = 4e2 + 56e + 49

(Č) (1 – 5u)2 = 1 – 10u – 25u2

kn

(D) (8 – k)(8 – k) = (8 – k)2

(E) (2a – 7b)2 = 2a2 – 14ab – 7b2

21.

Izrazi ploščino oranžnega kvadrata z a in jo poenostavi.

Kocka 9 DZ 005-020.indd 9

26.8.2016 7:51:59

10

22.

Izpolni preglednico. x

(3 – x)2

3 – x2

32 – x2

4

–4 23.

a. co m

0

Izračunaj vrednost izraza za dane spremenljivke a in izpolni preglednico. a

(4a + 7)2

1 2 0 –1

Ali so izrazi enaki?

Dopolni tako, da bodo zapisi pravilni. a) (y + 7)2 = (4 – x)2 =

ar n

24.

+ 14y +

(3c +

+

(

– 5b)2 = a2 – 10ab + )2 = – e)2 =

+

+ 4d2

– 12ef +

Poenostavi izraze.

jig

25.

+ x2

–8·

(u – 9)2 = u2 –

b) (

3(–u) + (3 – u)2 =

b) (y – 8)2 – (y – 8) – y2 =

–2b(9 + b) + (1 + b)2 =

kn

a) (v – 1)2 – 2(v – 1) =

c) (2a + 3d)2 – (2a – 3d)2 =

–7(5g – 4h)2 – (3g – h)2 =

č) Poveži z ekvivalentnim izrazom. a6 – 4a3b4 + 4b8

a – 4a b + 4b 5

3 4

6

(a3 – 2b4)2 a6 – 4b8

Kocka 9 DZ 005-020.indd 10

a6 – 4a3b4 + 2b8 a6 – 2a3b4 + 4b8

26.8.2016 7:51:59

11

Od kvadrata dvočlenika (3 – g) odštej ta dvočlenik. Ko izraz poenostaviš, dobiš: (A) g2 – 7g + 6 (B) g2 – 5g + 6 (C) g2 – 2g + 6 (Č) –g2 + g + 6 (D) 6 – g – g2

27.

Poenostavi izraz in izračunaj njegovo vrednost, če je a = –2 in b = 7. a) (5 – a)2 – a(a – 7) =

a. co m

26.

b) (a – b)2 + (a + b)(a – b) + a2 · (–2) =

28.

ar n

c) (a – 3 )(a + 3 ) – 3(a – 5)2 =

Kvadriraj po pravilu za kvadriranje dvočlenika. a) Kvadrat vsote števil d in 7:

jig

b) Kvadrat razlike števil 3a in 1:

29.

Reši enačbe.

b) (3y + 7)2 + (2 – y)(9y + 3) = –2

kn

a) 4x(5 – x) + (2x – 1)2 = 1

c) –3(v – 5)2 – (2 – v)2 – 2v(–2v) = 6

Kocka 9 DZ 005-020.indd 11

26.8.2016 7:52:00

30.

Vrednost izraza ( 18 – 2 )2 je: (A) 4 (B) 8 (C) 20 (Č) 16 (D) ne morem določiti

a. co m

12

Produkt vsote in razlike istih dveh členov 31.

Dopolni, tako da množiš vsoto in razliko istih dveh členov. a) (a + 4)(a – 4) = a2 (b – 9)(b + (c –

)= )(c +

b) (2p –

– 92 ) = c2 – 9

(

)(

+ 7) =

) = 25r2 –

+ s)(5r –

(3e +

)(

– 72

–

)=

– 4g2

Dane produkte zapiši kot razliko kvadratov.

ar n

32.

16

a) (9 + d)(9 – d) =

(4x – 5)(4x + 5) =

(6r + 5s)(6r – 5s) =

(5 – v)(v + 5) =

(10g + 3k)(10g – 3k) =

jig

c) ( 7x – y)( 7x + y) =

33.

b) (1 – xy)(1 + xy) =

č) (p3 – 1)(p3 + 1) =

(x – 0,5)(x + 0,5) =

(a5 + b5)(a5 – b5) =

(2n + 17 )(2n – 17 ) =

(x – y4)(x + y4) =

V katerem primeru produkt ni enak razliki kvadratov?

kn

(A) (a – 3)(a + 3) = (B) (7 – b)(5 + b) =

(C) (cd + 10)(cd – 10) =

(Č) (1 – 3g)(–1 + 3g) =

34.

Popravi napake.

(3f – 7)(3f + 7) = 3f 2 – 49

Kocka 9 DZ 005-020.indd 12

(g – 4)(g + 4) = (g – 4)2

(5k + 2j)(5k – 2j) = 25k2 – 2j2

26.8.2016 7:52:01