a. co m
KOCKA ar n
Matematika za 9. razred osnovne šole
DELOVNI ZVEZEK
kn
jig
Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec
Kocka 9 DZ 001-004.indd 1
26.8.2016 7:48:52
KOCKA 9 Matematika za 9. razred osnovne šole DELOVNI ZVEZEK
Recenzentki prve izdaje Sonja Koželj, dr. Marina Rugelj Urednica Simona Knez Lektorica Renata Vrčkovnik Ilustracije Kostja Gatnik Tehnične ilustracije Darko Simeršek
a. co m
Avtorice Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec
Fotografije arhiv založbe Modrijan, Zvonka Kos, Andrej Križ, Borut Lazar, Igor Modic, Majda Vehovec, Voranc Vogel, Nina Zadel, Jože Žitko
Prelom Vilma Zupan
ar n
Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik
jig
Izdala in založila Modrijan založba, d. o. o. Za založbo Branimir Nešović Natisnjeno v Sloveniji Naklada 2000 izvodov Ljubljana 2016 11., prenovljena izdaja
kn
© Modrijan založba, d. o. o.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)
KOCKA 9 : matematika za 9. razred osnovne šole. Delovni zvezek / Marjana Dornik ... [et al.] ; [ilustracije Kostja Gatnik, tehnične ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan ... et al.]. - 11., prenovljena izd. - Ljubljana : Modrijan, 2016 ISBN 978-961-241-954-7 1. Dornik, Marjana 284402688
www.modrijan.si
Kocka 9 DZ 001-004.indd 2
26.8.2016 7:48:53
Vsebina
RAZMERJE, SORAZMERJE IN PODOBNOST Razmerje Sorazmerje Podobni trikotniki LINEARNE ENAČBE IN NEENAČBE Enačbe in rešitve enačb Reševanje linearnih enačb z eno neznanko Uporaba linearnih enačb z eno neznanko Reševanje enačb z algebrskimi ulomki Neenačbe in rešitve neenačb
5 5 8 12 14 18
a. co m
IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI Ponovimo Kvadrat dvočlenika Produkt vsote in razlike istih dveh členov Razstavljanje izrazov na faktorje Algebrski ulomki
ar n
TOČKA, PREMICA IN RAVNINA V PROSTORU GEOMETRIJSKA TELESA Prizma Površina in prostornina prizme Valj Površina in prostornina valja
21 21 27 33
39 39 43 52 58 59 62
68 68 72 83 86 96 96 101 107 114
OBDELAVA PODATKOV IN VERJETNOST Obdelava podatkov Merila za sredino in razpršenost Verjetnost
117 117 118 125
GEOMETRIJSKA TELESA Piramida Značilni pravokotni trikotniki v piramidi Površina piramide Prostornina piramide Stožec Površina in prostornina stožca Krogla
129 129 132 135 139 144 146 150
SISTEM DVEH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA
154
kn
jig
LINEARNA FUNKCIJA Koordinatni sistem v ravnini Funkcija Linearna funkcija in graf linearne funkcije Presečišče premic
Kocka 9 DZ 001-004.indd 3
26.8.2016 7:48:54
LINEARNE ENAČBE IN NEENAČBE
39
Enačbe in rešitve enačb 1.
Naslov poglavja Naslov podpoglavja
Z enačbami zapiši odnose med števili. a) Število y je petkratnik števila x. b) Vsota kvadratov števil a in b je enaka produktu teh dveh števil.
3.
Preveri, ali velja enakost. Obkroži. a) 32 : 0,5 – 3 = 12 – 2,5 · 0,2
Da.
Ne.
b) (1 38 – 5,4 : 0,09) · ( 34 – 32 : 2) = 0
Da.
Ne.
c) ( 6 – 5 )( 6 + 5 ) = 1
Da.
Ne.
Matej je reševal enačbe s preizkušanjem. Izpolnil je preglednico. Obkroži vrednost spremenljivke, ki je rešitev enačbe. x2 + 5 = 9 D
g
L
D
w
L
D
–2
9
9
–2
2
2
1
2
10
0
5
9
–1
3
1
2
8
13
1
6
9
0
4
0
3
18
18
2
9
9
1
5
1
0
0
9
Izračunaj višino valjaste posode s premerom 1 meter, če je njena prostornina 1 hektoliter.
25.8.2016 10:15:57
1 hℓ = 100 litrov 1 liter = 1 dm3
jig 71.
Učenci rišejo, dopolnjujejo, povezujejo, izpolnjujejo preglednice, berejo podatke s skic in slik.
ar n
L
90
70.
w2 + (–w)2 = w2 + 9
g + 4 = |g|
x
Kocka 9 DZ 039-061.indd 39
a. co m
c) Kvadratni koren števila m je enak količniku števila m s številom 7. 2.
Miha in Luka sta pri sosedu dobila dva metra dolg hlod, širok 8 dm. Mizar ga je po dolžini prežagal na pol in dobil plošči za dve mizi.
V okvirčkih so namigi za reševanje nalog in kratki povzetki snovi.
Naloge so treh težavnostnih stopenj:
kn
a) Koliko litrskih pločevink zaščitnega premaza morata Miha in Luka kupiti, če bo vsak svojo polovico hloda premazal trikrat? Z enim litrom prebarvaš približno 11 m2 lesa.
zahtevajo temeljno znanje zahtevajo nekoliko poglobljeno znanje zahtevajo več razmišljanja in poglobljeno znanje
Odgovor:
b) Koliko tehta vsaka polovica hloda, če je gostota lesa 800 kg/m3?
Rešitve vseh nalog lahko najdete na www.modrijan.si pri predstavitvi knjige.
Odgovor: 72.
Višina valja je 30 cm, njegov polmer pa 20 cm. Cene želi narediti dvakrat višji valj z enako prostornino. Za koliko centimetrov mora zmanjšati polmer valja?
Uporabo žepnega računala označuje ikona ki je ob številki naloge.
,
Odgovor:
Kocka 9 DZ 068-095.indd 90
Kocka 9 DZ 001-004.indd 4
25.8.2016 10:22:03
26.8.2016 7:48:54
IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI
5
Ponovimo Poišči enočlenike in zapiši njihove koeficiente. –3a
a 2 ·b
a 2 –b
r 2 + 2r
r2
1 7
a. co m
1.
x + 3y(–2) – x 2
r 2 · 2r 2.
Zapiši pet vrednosti spremenljivke, da bodo izjave pravilne. a) Število 8 je delitelj x. b) y je večkratnik števila 11.
3.
Uredi člene v izrazih in izpusti znak za množenje, kjer ga lahko. a) x · (–7) – 2 · y = b) u · u · u · 8 + (–5u) · 3 =
ar n
c) b · c3 · (–3) = č) (–2) · (g5) – (–g + 1) · (–1) = 4.
Zmnoži enočlenike in uredi produkte. a) 2a
·
–3b
jig
–7de
–4de
·
3
b)
5x 5
y2
kn
·
–7 u3 –3uv
·
–u
c) (2v)2
·
(v )
2 3
x4 (3z)
5
·
(xz )
2 3
Kocka 9 DZ 005-020.indd 5
26.8.2016 7:51:55
6
5.
Kateri izraz ima najmanjšo vrednost, če je vrednost spremenljivke p število 4? 4–p= –2p + 7 = –5(–5 – 5p) + 5 = .
6.
a) Izpolni preglednico. y
–3
–2
3y – 2
a. co m
Najmanjšo vrednost ima izraz
–1
0
1
2
3
b) Izraz (3y – 2) ima vrednost 10, če je vrednost spremenljivke y: (A) 83 7.
(B) 4
(C) –4
(Č) 2
(D) ne morem določiti
Obseg enakokrakega trapeza meri 12 cm, ena od osnovnic pa 4 cm.
a) V preglednico zapiši pet vrednosti za drugo osnovnico in oba kraka. Bodi pozoren, da ohraniš trapez. b
ar n
c
jig
b) Ali je lahko krak dolg 4 cm?
8.
Poenostavi izraze.
a) x + x =
kn
3y + 3y – 3y =
9.
b) 5a – a = b – 4 – 3b + 4 =
–v – v =
–de – e + de – e =
pz + pz + pz =
u4 – u4 + u4 – u4 =
Zmnoži in uredi, kjer je potrebno.
a) 5(a + b) =
b) (f – 6g)(–2) =
c) –4k3(3k2 – k – 1) =
č) (p + 3)(p + 5) =
d) (–3r + 7)(–2 + r) =
e) (n4 – 5s)(2n – s2) =
Kocka 9 DZ 005-020.indd 6
26.8.2016 7:51:56
7
Učenci so zmnožili dvočlenika (x – 5) in (–3x – 6) ter dobili kar nekaj zanimivih rezultatov. Obkroži pravilnega.
11.
Poenostavi izraze. a) –x + (–2x + 8) – (4x – 1) =
b) 6u · (–5) + (6u – 5) =
č) (v – 3)(–5) – (–5v – 3) =
ar n
c) 7y(y – 2) – 2y(–7y) =
a. co m
10.
e) –r(–2r + 7) – (2r – (r + 7)(–r)) =
jig
d) (2p + 7)(3p – 4) – 4p(p – 1) =
kn
f) z2(9 + 5z) – 5z · z2 – (z – 6)(3z – 1) =
12.
Ivan je poenostavil izraz. Ugotovi, ali je naredil kakšno napako, in jo popravi.
Kocka 9 DZ 005-020.indd 7
26.8.2016 7:51:57
8
a) Če izraz –3x3 – (2x + 1)(–3x) + 3x2 · (–2) poenostavimo, dobimo: (A) –3x3 + 3x (B) –3x3 – 3x (C) –3x3 – 12x2 – 3x (Č) –3x3 – 12x2 + 3x (D) –3x3 + 12x2 + 3x
a. co m
13.
b) Izračunaj še vrednost tega izraza za x = –3.
14.
Poenostavi izraze in nato izpostavi še največji skupni faktor. a) 4y – 9 + y – 1 = b) –3x – (x + 6) + (x – 12) =
Poenostavi izraz a(a – 2) + a – (a – 2) in izračunaj njegovo vrednost za a = 2.
jig
15.
ar n
c) 7(u – 7) – (7u + 3) · (–3) =
Kvadrat dvočlenika
16.
Zapiši kvadrate.
kn
a) Vsote števil y in 8:
b) Razlike števil (–3) in z: c) Razlike števil a in 3g: č) Vsote števil (–4x) in (–y):
17.
Damjan je kvadrat razdelil tako, da sta nastala dva kvadrata in dva skladna pravokotnika. a) V skico zapiši ploščine obeh manjših kvadratov in obeh pravokotnikov. b) Ploščina prvotnega kvadrata meri: (B) x2 + 64 (C) (x + 8)2 (A) x2
Kocka 9 DZ 005-020.indd 8
(Č) x2 + 8x + 64
26.8.2016 7:51:58
9
18.
Kvadriraj z uporabo pravila. a) (a + 5)2 =
b) (–8 + d)2 =
(a – 5)2 =
(8 – d)2 = č) (6h + 11k)2 =
(7b + 1)2 = 19.
a. co m
c) (7b – 1)2 =
(–6h + 11k)2 =
Izpolni preglednico. (a + b)2 a = 2, b = 3 a = 5, b = 1 a = –3, b = 4 a = –1, b = –5 a = 0, b = –3
a2 + b2
a2 + ab + b2
Zakaj?
20.
ar n
Vrednosti izrazov za vse pare izbranih spremenljivk se ujemajo pri
a2 + 2ab + b2
in
stolpcu.
Štirje rezultati niso pravilni. Popravi jih.
jig
(A) (x + y)(x + y) = x + y2
(B) (c – d)2 = c2 – 2cd + d2
(C) (4e + 7)2 = 4e2 + 56e + 49
(Č) (1 – 5u)2 = 1 – 10u – 25u2
kn
(D) (8 – k)(8 – k) = (8 – k)2
(E) (2a – 7b)2 = 2a2 – 14ab – 7b2
21.
Izrazi ploščino oranžnega kvadrata z a in jo poenostavi.
Kocka 9 DZ 005-020.indd 9
26.8.2016 7:51:59
10
22.
Izpolni preglednico. x
(3 – x)2
3 – x2
32 – x2
4
–4 23.
a. co m
0
Izračunaj vrednost izraza za dane spremenljivke a in izpolni preglednico. a
(4a + 7)2
1 2 0 –1
Ali so izrazi enaki?
Dopolni tako, da bodo zapisi pravilni. a) (y + 7)2 = (4 – x)2 =
ar n
24.
+ 14y +
(3c +
+
(
– 5b)2 = a2 – 10ab + )2 = – e)2 =
+
+ 4d2
– 12ef +
Poenostavi izraze.
jig
25.
+ x2
–8·
(u – 9)2 = u2 –
b) (
3(–u) + (3 – u)2 =
b) (y – 8)2 – (y – 8) – y2 =
–2b(9 + b) + (1 + b)2 =
kn
a) (v – 1)2 – 2(v – 1) =
c) (2a + 3d)2 – (2a – 3d)2 =
–7(5g – 4h)2 – (3g – h)2 =
č) Poveži z ekvivalentnim izrazom. a6 – 4a3b4 + 4b8
a – 4a b + 4b 5
3 4
6
(a3 – 2b4)2 a6 – 4b8
Kocka 9 DZ 005-020.indd 10
a6 – 4a3b4 + 2b8 a6 – 2a3b4 + 4b8
26.8.2016 7:51:59
11
Od kvadrata dvočlenika (3 – g) odštej ta dvočlenik. Ko izraz poenostaviš, dobiš: (A) g2 – 7g + 6 (B) g2 – 5g + 6 (C) g2 – 2g + 6 (Č) –g2 + g + 6 (D) 6 – g – g2
27.
Poenostavi izraz in izračunaj njegovo vrednost, če je a = –2 in b = 7. a) (5 – a)2 – a(a – 7) =
a. co m
26.
b) (a – b)2 + (a + b)(a – b) + a2 · (–2) =
28.
ar n
c) (a – 3 )(a + 3 ) – 3(a – 5)2 =
Kvadriraj po pravilu za kvadriranje dvočlenika. a) Kvadrat vsote števil d in 7:
jig
b) Kvadrat razlike števil 3a in 1:
29.
Reši enačbe.
b) (3y + 7)2 + (2 – y)(9y + 3) = –2
kn
a) 4x(5 – x) + (2x – 1)2 = 1
c) –3(v – 5)2 – (2 – v)2 – 2v(–2v) = 6
Kocka 9 DZ 005-020.indd 11
26.8.2016 7:52:00
30.
Vrednost izraza ( 18 – 2 )2 je: (A) 4 (B) 8 (C) 20 (Č) 16 (D) ne morem določiti
a. co m
12
Produkt vsote in razlike istih dveh členov 31.
Dopolni, tako da množiš vsoto in razliko istih dveh členov. a) (a + 4)(a – 4) = a2 (b – 9)(b + (c –
)= )(c +
b) (2p –
– 92 ) = c2 – 9
(
)(
+ 7) =
) = 25r2 –
+ s)(5r –
(3e +
)(
– 72
–
)=
– 4g2
Dane produkte zapiši kot razliko kvadratov.
ar n
32.
16
a) (9 + d)(9 – d) =
(4x – 5)(4x + 5) =
(6r + 5s)(6r – 5s) =
(5 – v)(v + 5) =
(10g + 3k)(10g – 3k) =
jig
c) ( 7x – y)( 7x + y) =
33.
b) (1 – xy)(1 + xy) =
č) (p3 – 1)(p3 + 1) =
(x – 0,5)(x + 0,5) =
(a5 + b5)(a5 – b5) =
(2n + 17 )(2n – 17 ) =
(x – y4)(x + y4) =
V katerem primeru produkt ni enak razliki kvadratov?
kn
(A) (a – 3)(a + 3) = (B) (7 – b)(5 + b) =
(C) (cd + 10)(cd – 10) =
(Č) (1 – 3g)(–1 + 3g) =
34.
Popravi napake. (3f – 7)(3f + 7) = 3f 2 – 49
Kocka 9 DZ 005-020.indd 12
(g – 4)(g + 4) = (g – 4)2
(5k + 2j)(5k – 2j) = 25k2 – 2j2
26.8.2016 7:52:01